Cum să eliberezi de iraționalitate în numitorul unei fracții. Scutirea de iraționalitatea numitorului unei fracții. Extragerea unei rădăcini pătrate cu un anumit grad de precizie. Pași de bază pentru a scăpa de iraționalitatea în numitorul unei fracții

La transformarea unei expresii algebrice fracționale, în numitorul căreia este scrisă o expresie irațională, se încearcă de obicei să se reprezinte fracția în așa fel încât numitorul ei să fie rațional. Dacă A,B,C,D,... sunt niște expresii algebrice, atunci se pot indica regulile prin care se pot scăpa de semnele radicale în numitorul expresiilor de forma

În toate aceste cazuri, iraționalitatea este eliminată prin înmulțirea numărătorului și numitorului fracției cu un factor ales astfel încât produsul său cu numitorul fracției să fie rațional.

1) Pentru a scăpa de iraționalitate în numitorul unei fracții de forma . Înmulțiți numărătorul și numitorul cu

Exemplul 1. .

2) În cazul fracțiilor de forma . Înmulțiți numărătorul și numitorul cu un factor irațional

respectiv, adică la expresia irațională conjugată.

Sensul ultimei acțiuni este că în numitor produsul dintre sumă și diferență este convertit în diferența de pătrate, care va fi deja o expresie rațională.

Exemplul 2. Scăpați de iraționalitatea la numitorul expresiei:

Rezolvare, a) Înmulțim numărătorul și numitorul fracției cu expresia. Primim (cu condiția ca)

3) În cazul expresiilor ca

numitorul este tratat ca sumă (diferență) și înmulțit cu pătratul incomplet al diferenței (suma) pentru a obține suma (diferența) cuburilor ((20.11), (20.12)). Numărătorul este, de asemenea, înmulțit cu același factor.

Exemplul 3. Scăpați de iraționalitatea în numitorul expresiilor:

Rezolvare, a) Considerând numitorul unei fracții date ca sumă de numere și 1, înmulțim numărătorul și numitorul cu pătratul incomplet al diferenței acestor numere:

sau in sfarsit:

În unele cazuri, este necesară efectuarea unei transformări de natură opusă: eliberarea fracției de iraționalitate în numărător. Se desfășoară exact în același mod.

Exemplul 4. Scăpați de iraționalitatea în numărătorul unei fracții.

Scutire de iraționalitate în numitorul unei fracții

2015-06-13

Expresie irațională conjugată

La transformarea unei expresii algebrice fracționale, în numitorul căreia este scrisă o expresie irațională, se încearcă de obicei să se reprezinte fracția în așa fel încât numitorul ei să fie rațional. Dacă $A, B, C, D, \cdots$ sunt niște expresii algebrice, atunci se pot indica regulile prin care se pot scăpa de semnele radicale în numitorul expresiilor de forma

$\frac(A)(\sqrt[n](B)), \frac(A)(B+C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D)), \frac(A)( \sqrt(B) \pm \sqrt(C))$ etc.

În toate aceste cazuri, iraționalitatea este eliminată prin înmulțirea numărătorului și numitorului fracției cu un factor ales astfel încât produsul său cu numitorul fracției să fie rațional.

1) Pentru a scăpa de iraționalitate în numitorul unei fracții de forma $A/ \sqrt[n](B)$, înmulțiți numărătorul și numitorul cu $\sqrt[n](B^(n-1))$.
$\frac(A)(\sqrt[n](B)) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(\sqrt[n](B) \sqrt[n](B^(n-1)))) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(B)$.

Exemplul 1. $\frac(4a^(2)b)(\sqrt(2ac)) = \frac(4a^(2)b \sqrt(4a^(2)c^(2)))(2ac) = \frac(2ab)(c) \sqrt(4a^(2)c^(2))$.

În cazul fracțiilor de forma $\frac(A)(B+ C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D))$, înmulțiți numărătorul și numitorul cu un factor irațional
$B - C \sqrt(D)$ sau $\sqrt(B) - c \sqrt(D)$
respectiv, adică la expresia irațională conjugată.

Sensul ultimei acțiuni este că în numitor produsul dintre sumă și diferență este convertit în diferența de pătrate, care va fi deja o expresie rațională.

Exemplul 2. Scăpați de iraționalitatea la numitorul expresiei:
a) $\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x)$; b) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3))$.

Rezolvare, a) Înmulțim numărătorul și numitorul fracției cu
expresia $\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x$. Obținem (presupunând că $y \neq 0$)
$\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x) = \frac(xy (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x))((x^(2) + y^(2)) – x^(2)) = \frac(x)(y) (\sqrt(x^(2)) - x^(2)) + y^(2))
b) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3)) = \frac(2(\sqrt(5) + \sqrt(3)))(5 - 3) = \sqrt(5) + \sqrt(3)$.
3) În cazul expresiilor ca
$\frac(A)(B \pm C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) \pm C \sqrt(D))$
numitorul este tratat ca sumă (diferență) și înmulțit cu pătratul incomplet al diferenței (suma) pentru a obține suma (diferența) cuburilor. Numărătorul este, de asemenea, înmulțit cu același factor.

Exemplul 3. Scăpați de iraționalitatea în numitorul expresiilor:
a)$\frac(3)(\sqrt(5) + 1)$; b)$\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b))$

Rezolvare, a) Considerând numitorul acestei fracții ca sumă a numerelor $\sqrt(5)$ și $1$, înmulțim numărătorul și numitorul cu pătratul incomplet al diferenței acestor numere:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3 (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) +1))((\sqrt(5) + 1)(\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) + 1)) = \frac(3(\sqrt(5))(2)(2)(\sqrt(5)(2)) ^(3 ) +1)$,
sau in sfarsit:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))(6) = \frac(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1)(2)$
b) $\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b)) = \frac(\sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^(2)))((\sqrt(a))^(3) – (2 \sqrt(b))^(3)\(2)q)^(3)qrt \(3)q)\ + 4 \s qrt(b^(2)))(a-8b)$.

În unele cazuri, este necesară efectuarea unei transformări de natură opusă: eliberarea fracției de iraționalitate în numărător. Se desfășoară exact în același mod.

Exemplul 4. Scăpați de iraționalitatea la numărătorul $\frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b)$.
Soluţie. $ \frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b) = \frac((a+b) - (a-b))(2b(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b))) = \frac(1)(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b))$

Conversia expresiilor care conțin rădăcini pătrate aritmetice

Scopul lecției: crearea de condiții pentru formarea deprinderilor, pentru simplificarea expresiilor care conțin rădăcini pătrate aritmetice în cursul muncii în grupe de schimburi.

Obiectivele lecției: Verifica pregătire teoretică elevilor, capacitatea de a extrage rădăcina pătrată dintr-un număr, de a-și forma abilitățile de a-și reproduce corect cunoștințele și abilitățile, de a dezvolta abilități de calcul, de a cultiva capacitatea de a lucra în perechi și responsabilitatea pentru o cauză comună.

În timpul orelor.

eu. Organizarea timpului. "TABEL DE PREGĂTIRE»

Stabilirea nivelului de pregătire pentru începutul lecției.

25 de cărți roșii (5 puncte), galbene (4 puncte), albastre

culori (3 puncte).

Tabelul de pregătire

5 puncte (vrei să știi, să faci, să decizi)

4 puncte (sunt gata de plecare)

3 puncte (nu ma simt bine, nu inteleg materialul, am nevoie de ajutor)

II . Lucru cu cardul individual

Cardul 1

Scoateți multiplicatorul de sub semnul rădăcinii:

Cardul 2

Introduceți un multiplicator sub semnul rădăcină:

Cardul 3

Simplifica:
A)
b)
V)

(Verifică după ce ai verificat temele)

III . Verificarea temelor.

Nr. 166, 167 oral frontal

(autoevaluare folosind carduri de semnalizare: verde - totul este corect, roșu - există o eroare)

IV . Învățarea de materiale noi. Lucrați în grupuri de ture.

Să studieze în mod independent materialul pentru a-l putea explica mai târziu membrilor grupului. Clasa este împărțită în 6 grupe a câte 4 persoane.

1, 2 și 3 grupe - elevi cu abilități medii

Cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții? Luați în considerare cazul general și exemplele specifice.

Dacă numărul sau expresia de sub semn rădăcină pătrată la numitor, este unul dintre factorii pentru a scăpa de iraționalitate în numitor, iar numărătorul și numitorul fracției sunt înmulțite cu rădăcina pătrată a acestui număr sau expresie:

Exemple.

1) ;

2) .

Grupele 4, 5 și 6 - elevi cu abilități peste medie.

Dacă numitorul unei fracții este suma sau diferența a două expresii care conțin o rădăcină pătrată, pentru a scăpa de iraționalitatea în numitor, înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu radicalul conjugat:

Exemple. Scapă de iraționalitatea la numitorul unei fracții:

Lucrați în grupuri noi (4 grupuri de 6 persoane, 1 persoană din fiecare grup).

Explicarea materialelor învățate membrilor grup nou. (evaluare de la egal la egal - comentați explicația elevului asupra materialului)

V . Verificarea asimilării materialului teoretic.La întrebări răspund studenții care nu explică această parte a materialului teoretic.

1) Cum să scapi de iraționalitatea la numitorul unei fracții dacă numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii pătrate din numitor este unul dintre factori?

2) Cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții dacă numitorul unei fracții este suma sau diferența a două expresii care conțin o rădăcină pătrată?

3) cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții

4) Cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții

VI . Consolidarea materialului studiat. Verificarea muncii independente.

Nr. 81 („Algebră” clasa 8, A. Abylkasymova, I. Bekboev, A. Abdiev, Z, Zhumagulova)

Nr. 170 (1,2,3,5,6) ("Algebră" Clasa 8, A. Shynybekov)

Criteriu de evaluare:

Nivelul A - nr. 81 exemple 1-5 nota „3”

Nivelul B - nr. 81 exemple 6-8 și nr. 170 exemple 5,6 marcaj „4”

Nivelul C - nr. 170 exemple 1-6 nota „5”

(autoevaluare, verificare flipchart)

VII . Teme pentru acasă.

№ 218

VIII. Reflecţie. "Telegramă"

Toată lumea este invitată să completeze un formular de telegramă, în timp ce primește următoarea instrucțiune: „Ce părere ai despre lecția trecută? Ce a fost important pentru tine? Ce ai invatat? Ce ți-a plăcut? Ce rămâne neclar? În ce direcție ar trebui să mergem înainte? Vă rog să-mi scrieți un mesaj scurt despre asta - o telegramă de 11 cuvinte. Vreau sa stiu parerea ta pentru a o tine cont in lucrarile viitoare.

Rezumatul lecției.

În acest subiect, vom lua în considerare toate cele trei grupuri de limite de mai sus cu iraționalitate. Să începem cu limite care conțin o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$.

Dezvăluirea incertitudinii $\frac(0)(0)$.

Schema de rezolvare exemple standard de acest tip constă de obicei din doi pași:

• Scăpăm de iraționalitatea care a provocat incertitudinea prin înmulțirea prin așa-numita expresie „adjunctă”;
• Dacă este necesar, descompunem expresia din numărător sau numitor (sau ambii) în factori;
• Reducem factorii care duc la incertitudine și calculăm valoarea dorită a limitei.

Termenul "expresie adjunctă" folosit mai sus va fi explicat în detaliu în exemple. Până acum, nu există niciun motiv să ne oprim în detaliu. În general, poți merge pe altă cale, fără a folosi expresia conjugată. Uneori, un înlocuitor bine ales poate scăpa de iraționalitate. Astfel de exemple sunt rare în standard munca de control, prin urmare, vom lua în considerare doar un exemplu nr. 6 pentru a folosi înlocuirea (vezi a doua parte a acestui subiect).

Vom avea nevoie de câteva formule, pe care le voi scrie mai jos:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3)(a^3+b^3) ) \begin(equation) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equation)

În plus, presupunem că cititorul cunoaște formulele de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile trinomului pătrat $ax^2+bx+c$, atunci poate fi factorizat folosind următoarea formulă:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)

Formulele (1)-(5) sunt destul de suficiente pentru a rezolva probleme standard, la care ne întoarcem acum.

Exemplul #1

Găsiți $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Deoarece $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ și $\lim_(x\to 3) (x-3)=3-3=0$, atunci în limita dată avem o incertitudine de forma $\frac.(0) Diferența $\sqrt(7-x)-2$ ne împiedică să dezvăluim această incertitudine. Pentru a scăpa de astfel de iraționalități, se folosește înmulțirea prin așa-numita „expresie adjunctă”. Vom analiza acum cum funcționează o astfel de înmulțire. Înmulțiți $\sqrt(7-x)-2$ cu $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Pentru a extinde parantezele, aplicăm , înlocuind $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ în partea dreaptă a formulei menționate:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x.$$

După cum puteți vedea, dacă înmulțiți numărătorul cu $\sqrt(7-x)+2$, atunci rădăcina (adică iraționalitatea) din numărător dispare. Această expresie $\sqrt(7-x)+2$ va fi conjuga la expresia $\sqrt(7-x)-2$. Cu toate acestea, nu putem să luăm și să înmulțim pur și simplu numărătorul cu $\sqrt(7-x)+2$, deoarece acest lucru va schimba fracția $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, care este sub limită. Trebuie să înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul în același timp:

$$ \lim_(x\la 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\la 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))(c)$(x)-x)\

Acum amintiți-vă că $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ și extindeți parantezele. Și după ce deschidem parantezele și o mică transformare $3-x=-(x-3)$, reducem fracția cu $x-3$:

$$ \lim_(x\la 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\la 3)\frac(3-x)((x-3-x)\c)(x-3-x)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= la 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2) $$

Incertitudinea $\frac(0)(0)$ a dispărut. Acum puteți obține cu ușurință răspunsul la acest exemplu:

$$ \lim_(x\la 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac(1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Observ că expresia conjugată își poate schimba structura - în funcție de ce fel de iraționalitate ar trebui să înlăture. În exemplele #4 și #5 (vezi a doua parte a acestui subiect), va fi folosit un alt tip de expresie conjugată.

Răspuns: $\lim_(x\la 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Exemplul #2

Găsiți $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Deoarece $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2^2-19)=3-3=0$ și $\lim_(x\to 2)(3x^2+5-2-2-3x\cdot 2^2-19)=3-3=0$ , atunci avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Să scăpăm de iraționalitate în numitorul acestei fracții. Pentru a face acest lucru, să adăugăm atât numărătorul, cât și numitorul fracției $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ la expresia $\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ la conjugatul numitorului:

$$ \lim_(x\la 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0)(0)\right|= \lim_(x\la 2)\frac((3x^2-5x-2)(2-5x-2)+\sqrt(2-5x-19)^2) ( (\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Din nou, ca în exemplul nr. 1, trebuie să folosiți paranteze pentru a extinde. Înlocuind $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ în partea dreaptă a formulei menționate, obținem următoarea expresie pentru numitor:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\right)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\right)^2-\rt(7x^2-19)\right) 5-(7 x^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Să ne întoarcem la limita noastră:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+5)\sqrt(x^2+5)+)\=qrt(x^2+5)\)_^ frac(( 3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-2-19))\frac((3x^2-2-2-2-5)^ )))(x^2 -4) $$

În exemplul nr. 1, aproape imediat după înmulțirea cu expresia conjugată, fracția a fost redusă. Aici, înainte de reducere, este necesar să factorizați expresiile $3x^2-5x-2$ și $x^2-4$ și abia apoi să treceți la reducere. Pentru a factoriza expresia $3x^2-5x-2$ trebuie să utilizați . Pentru a începe, să decidem ecuație pătratică$3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5)-(7)=(frac(5)-(7))=(frac(5)-(7)); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(aliniat) $$

Înlocuind $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ în , avem:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot x+3\cdot)(x+3\cdot)(x)(1)(3) - 2). $$

Acum este timpul să factorizezi expresia $x^2-4$. Să folosim , înlocuind $a=x$, $b=2$ în el:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Să folosim rezultatele obținute. Deoarece $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, atunci:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2+5)\sqrt(7x^2-19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2-2) +5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Reducand prin paranteza $x-2$ obtinem:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot(x^2)+(x)\ 5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Toate! Incertitudinea a dispărut. Încă un pas și ajungem la răspuns:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac(((3\cdot(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(t2+1)^ 2^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Răspuns: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)(4)$.

În exemplul următor, luați în considerare cazul în care iraționalitatea va fi prezentă atât în ​​numărător, cât și în numitorul unei fracții.

Exemplul #3

Găsiți $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))$.

Deoarece $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ și $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)qrt(5x-9)qrt(9)-\sqrt(9)=0$, atunci avem în $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)qrt(5x-9)qrt(5x-9)qrt()=6) cy de forma $\frac(0)(0)$. Deoarece în acest caz rădăcinile sunt prezente atât la numitor, cât și la numărător, pentru a scăpa de incertitudine, va trebui să înmulțiți cu două paranteze deodată. Mai întâi, la expresia $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ se conjugă la numărător. Și în al doilea rând, la expresia $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ conjugată la numitor.

$$ \lim_(x\la 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\la 5x+6)-\sqrt(5x-9))=\left| ) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(x^2-3x+6)(\sqrt(x^2-3x+6)(\sqrt(x^2-3x+6)) (x^2-1 6))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)=\frac(-10)=\frac(-10)=\frac(-10)=\frac(-10) 1))(-2)= \frac(8)(-2)=-4. \end(aliniat) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Pentru expresia $x^2-8x+15$ obținem:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(-8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2-)=(frac\-2-)() 0)(2)=5. \end(aliniat)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Înlocuind expansiunile obținute $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ și $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ în limita considerată, avem:

$$ \lim_(x\la 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2-8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))))= \lim_(x)())=\(x^2-8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x)())= x^ 2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))=\\ =\lim_(x\la 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+4)(\sqrt(x^2-3x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)(x^2-3x+6)(x^2-3x+6)(x^2-3x+6)(x\sq+6) +4)+\sqrt (x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5\cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16.))) $$

Răspuns: $\lim_(x\la 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=-6$.

În următoarea (a doua) parte, vom lua în considerare câteva exemple în care expresia conjugată va avea o formă diferită decât în ​​problemele anterioare. Principalul lucru de reținut este că scopul utilizării unei expresii conjugate este de a scăpa de iraționalitatea care provoacă incertitudine.

Luați în considerare o problemă din algebra polinoamelor.

Sarcina 4.1

Fie a rădăcina polinomului x 3 + 6x - 3. Trebuie să scăpăm de iraționalitatea algebrică din numitorul fracției

Acestea. reprezentați fracția ca polinom într-un cu rațional

coeficienți reali.

Soluţie. Numitorul unei fracții este valoarea de la A polinom fix) = x 2 + 5 și polinomul minim al unui element algebric A este f(x) \u003d x 3 + 6x- 3,întrucât acest polinom este ireductibil asupra câmpului Q (după criteriul Eisenstein pentru prim p = 3). Să găsim NODO 3 + 6x - 3, x 2 + 5) cu folosind algoritmul Euclid:

Să generalizăm situația și să luăm în considerare problema generală.

Problema scăpării iraționalității algebrice în numitorul unei fracții

Fie a o iraționalitate algebrică asupra unui câmp P cu mi-

, . „ a k a k + a k _, a k ~ l-f-. + aia + Oo

polinom minim fOO și B = - - 1

b t a t +bro-ioc" 1 - 1 +... + bja +b 0

unde coeficienții polinoamelor din numărătorul și numitorul fracției aparțin câmpului R. Scapa de irationalitatea algebrica in numitorul unei fractii, i.e. prezent (3 ca

unde coeficienții aparțin câmpului R.

Soluţie. Notează /)*) = b nl x" + b m _ 1 x nl_1 +... + b) x + b 0și y =/(a). De cand ^ 0, apoi prin proprietatea polinomului minim gcd(/(x), φ(x)) = 1. Folosind algoritmul euclidian, găsim polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x) și(x) + f(x)y(x) = 1. Prin urmare, Da) și (a) + f (a) y (a) \u003d 1, și deoarece f (a) \u003d 0, atunci Da) și (a) \u003d 1. Prin urmare, înmulțind numărătorul și numitorul acestei fracții cu q (a), obținem unul la numitor și problema este rezolvată.

Rețineți că metoda generală de a scăpa de iraționalitatea algebrică în numitorul unei fracții în cazul complexului a + s

numere - duce la binecunoscuta procedură de înmulțire a numerelor -

numitor și numitor prin conjugatul numitorului.

Digresiune istorică

Pentru prima dată, existența numerelor transcendent peste câmpul Q a fost descoperită de J. Liouville (1809-1882) în lucrările sale din 1844 și 1851. Unul dintre numerele transcendentale Liouville este numărul

S. Pustnicul (1822-

a = Y--. Decimală a = 0D100010..

clasă 10*

1901) a demonstrat transcendența numărului e în 1873, iar K. F. Lindemann (1852-1939) a demonstrat în 1882 transcendența numărului P. Aceste rezultate nu au fost obținute ușor. În același timp, G. Kantor (1845-1918) a demonstrat pur și simplu că există „semnificativ mai multe” numere transcendentale decât cele algebrice: sunt „atâte” numere transcendentale câte sunt toate numerele reale, în timp ce sunt „atâte” numere algebrice ca toate. numere naturale. Mai precis, mulțimea numerelor algebrice este numărabilă, în timp ce mulțimea numerelor transcendentale este nenumărabilă. Dovada acestui fapt, stabilind existența numerelor transcendentale, nu oferă o rețetă pentru obținerea vreunuia dintre ele. Teoremele de existență de acest fel sunt deja extrem de importante în matematică, deoarece insuflă încredere în succesul căutării unui obiect a cărui existență a fost dovedită. În același timp, există o direcție în matematică, ai cărei reprezentanți nu recunosc teoreme de existență pură, numindu-le neconstructive. Cei mai proeminenți dintre acești reprezentanți sunt L. Kronecker și J. Brouwer.

În 1900, la Congresul Mondial al Matematicienilor de la Paris, matematicianul german D. Hilbert (1862-1943) a formulat următoarea problemă22: Care este natura numărului aP, unde a și (3 sunt numere algebrice, a ^ 0, a ^ 1 și gradul numărului algebric (3) nu este mai mic decât 0.28? că astfel de numere sunt transcendente Din aceasta rezultă, în special, că numerele 2^, 3r sunt transcendentale.