Calculați derivata la punctul x0. Găsiți valoarea derivatei funcției la punctul x0. Ecuația tangentei la graficul funcției

Exemplul 1

Referinţă: Următoarele modalități de a indica o funcție sunt echivalente: În unele sarcini, este convenabil să desemnați funcția ca „joc”, iar în unele ca „ff din x”.

În primul rând, găsim derivata:

Exemplul 2

Calculați derivata unei funcții într-un punct

, , studiu funcțional complet si etc.

Exemplul 3

Calculați derivata unei funcții într-un punct. Mai întâi, să găsim derivatul:

Ei bine, asta este cu totul altă problemă. Să calculăm valoarea derivatei la punctul:

În cazul în care nu înțelegeți cum a fost găsit derivatul, reveniți la primele două lecții ale subiectului. Dacă aveți dificultăți (neînțelegere) cu arctangentul și semnificațiile acestuia, neapărat studiați materialul didactic Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare - cel mai recent paragraf. Deoarece există încă suficiente arctangenți pentru vârsta studenților.

Exemplul 4

Calculați derivata unei funcții într-un punct.

Ecuația tangentei la graficul funcției

Pentru a consolida secțiunea anterioară, luați în considerare problema găsirii tangentei la grafică funcțională in acest punct. Am îndeplinit această sarcină la școală și se găsește și în cursul matematicii superioare.

Să luăm în considerare cel mai simplu exemplu „demo”.

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul cu abscisa. Voi da imediat o soluție grafică gata făcută problemei (în practică, acest lucru nu este necesar în majoritatea cazurilor):

O definiție strictă a tangentei este dată de definirea derivatei unei funcții, dar deocamdată vom stăpâni partea tehnică a întrebării. Cu siguranță aproape toată lumea înțelege intuitiv ce este o tangentă. Dacă se explică „pe degete”, atunci funcția tangentă la grafic este dreptcare se referă la graficul funcției în singurulpunct. Mai mult, toate punctele din apropiere ale liniei drepte sunt situate cât mai aproape posibil de graficul funcției.

În cazul nostru: at, tangenta (notația standard) atinge graficul funcției într-un singur punct.

Și sarcina noastră este să găsim ecuația liniei.

Derivată a unei funcții într-un punct

Cum se găsește derivata unei funcții într-un punct? Două puncte evidente ale acestei atribuții rezultă din formulare:

1) Este necesar să se găsească derivata.

2) Este necesar să se calculeze valoarea derivatei la un moment dat.

Exemplul 1

Calculați derivata unei funcții într-un punct

Ajutor: Următoarele modalități de a indica o funcție sunt echivalente:


În unele sarcini, este convenabil să desemnați funcția ca „joc”, iar în unele ca „ff din x”.

În primul rând, găsim derivata:

Sper că mulți s-au obișnuit deja să găsească astfel de derivate pe cale orală.

La al doilea pas, calculăm valoarea derivatei la punctul:

Un mic exemplu de încălzire pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Calculați derivata unei funcții într-un punct

Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Necesitatea de a găsi derivata la un moment dat apare în următoarele probleme: construirea unei tangente la graficul unei funcții (paragraful următor), studiu al funcției extremum , test de inflexiune , studiu funcțional complet si etc.

Dar sarcina în cauză se găsește în teste și de la sine. Și, de regulă, în astfel de cazuri, funcția este dată destul de complexă. În acest sens, luați în considerare încă două exemple.

Exemplul 3

Calculați derivata unei funcții la punct.
Mai întâi, să găsim derivatul:

Derivatul, în principiu, a fost găsit, iar valoarea cerută poate fi substituită. Dar nu prea vreau să o fac. Expresia este foarte lungă, iar valoarea „X” este fracțională. Prin urmare, încercăm să simplificăm pe cât posibil derivatele noastre. În acest caz, să încercăm să aducem ultimii trei termeni la un numitor comun: la punct.

Acesta este un exemplu pentru o soluție de bricolaj.

Cum se găsește valoarea derivatei funcției F (x) la punctul Xo? Cum să rezolvi acest lucru în general?

Dacă se dă formula, atunci găsiți derivata și înlocuiți X-zero în loc de X. calculati
Dacă vorbim despre b-8 USE, grafic, atunci trebuie să găsiți tangenta unghiului (acut sau obtuz), care formează o tangentă cu axa X (folosind construcția mentală a unui triunghi unghiular și determinând tangenta unghiului)

Timur adilkhodzhaev

Mai întâi, trebuie să decideți semnul. Dacă punctul x0 se află în partea inferioară a planului de coordonate, atunci semnul din răspuns va fi minus, iar dacă este mai mare, atunci +.
În al doilea rând, trebuie să știți ce tangențe sunt într-un dreptunghi dreptunghiular. Și acesta este raportul dintre partea opusă (piciorul) și partea adiacentă (de asemenea, piciorul). Pe tablou sunt de obicei niște urme negre. Din aceste semne pe care le faci triunghi dreptunghic și găsești tanguri.

Cum se găsește valoarea derivatei funcției f x în punctul x0?

nicio întrebare specifică pusă - acum 3 ani

În general, pentru a găsi valoarea derivatei unei funcții în raport cu o variabilă în orice moment, trebuie să diferențiați funcția dată în raport cu această variabilă. În cazul dvs., prin variabila X. În expresia rezultată, în loc de X, puneți valoarea lui x în punctul pentru care trebuie să găsiți valoarea derivatei, adică în cazul dvs., înlocuiți zero X și calculați expresia rezultată.

Ei bine, și dorința ta de a înțelege această problemă, în opinia mea, merită fără îndoială +, pe care am pus-o cu conștiința curată.

Această formulare a problemei găsirii derivatei este adesea pusă pentru a fixa materialul pe semnificația geometrică a derivatei. Se propune un grafic al unei anumite funcții, complet arbitrar și nu este dat de o ecuație și este necesar să se găsească valoarea derivatei (nu a derivatei în sine, observați!) La punctul specificat X0. Pentru aceasta, se construiește o linie tangentă la o funcție dată și se găsește punctul de intersecție cu axele de coordonate. Apoi ecuația acestei linii tangente este trasată sub forma y \u003d kx + b.

În această ecuație, coeficientul k și va fi valoarea derivatei. rămâne doar să se găsească valoarea coeficientului b. Pentru a face acest lucru, găsim valoarea lui y la x \u003d o, să fie 3 - aceasta este valoarea coeficientului b. Înlocuim valorile X0 și Y0 în ecuația originală și găsim k - valoarea noastră a derivatei în acest moment.

Problema B9 oferă un grafic al unei funcții sau derivate, din care doriți să determinați una dintre următoarele mărimi:

1. Valoarea derivatei la un moment dat x 0,
2. Puncte mari sau mici (puncte extreme),
3. Intervalele de creștere și descreștere a funcției (intervale de monotonie).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, ceea ce simplifică foarte mult soluția. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii de analiză matematică, este destul de în puterea chiar și a celor mai slabi studenți, deoarece nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde aici.

Există algoritmi simpli și universali pentru găsirea valorii derivatei, a punctelor extreme și a intervalelor monotonice - toate acestea vor fi discutate mai jos.

Citiți cu atenție afirmația problemei B9 pentru a evita greșelile stupide: uneori întâlniți texte destul de lungi, dar există puține condiții importante care afectează cursul soluției.

Calculul valorii derivatei. Metoda în două puncte

Dacă în problemă este dat graficul funcției f (x), tangent la acest grafic la un moment dat x 0 și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest moment, se aplică următorul algoritm:

1. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangent: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte cu A (x 1; y 1) și B (x 2; y 2). Notați corect coordonatele - aceasta este cheia soluției și orice greșeală de aici duce la un răspuns greșit.
2. Cunoscând coordonatele, este ușor să calculați creșterea argumentului Δx \u003d x 2 - x 1 și creșterea funcției Δy \u003d y 2 - y 1.
3. În cele din urmă, găsim valoarea derivatei D \u003d Δy / Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți creșterea funcției la creșterea argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Rețineți încă o dată: punctele A și B trebuie căutate exact pe linia tangentă și nu pe graficul funcției f (x), așa cum se întâmplă adesea. Linia tangentă va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte - altfel problema nu este scrisă corect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d −1 - (−3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Găsiți valoarea derivatei: D \u003d Δy / Δx \u003d 4/2 \u003d 2.

O sarcină. Figura arată graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Găsiți valoarea derivatei funcției f (x) în punctul x 0.

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incrementele:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d −3.

Acum găsim valoarea derivatei: D \u003d Δy / Δx \u003d −3/3 \u003d −1.

O sarcină. Figura arată graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Găsiți valoarea derivatei funcției f (x) în punctul x 0.

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incrementele:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 2 - 2 \u003d 0.

Rămâne să găsim valoarea derivatei: D \u003d Δy / Δx \u003d 0/5 \u003d 0.

Din ultimul exemplu, putem formula o regulă: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de tangență este zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să numărați nimic - uitați-vă doar la grafic.

Calculul punctelor maxime și minime

Uneori, în loc de un grafic al unei funcții, problema B9 oferă un grafic al derivatei și este necesar să se găsească punctul maxim sau minim al funcției. În această situație, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm, chiar mai simplu. În primul rând, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f (x) dacă în unele vecinătăți ale acestui punct se menține următoarea inegalitate: f (x 0) ≥ f (x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f (x) dacă în unele vecinătăți ale acestui punct are loc următoarea inegalitate: f (x 0) ≤ f (x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime pe graficul derivatei, este suficient să efectuați următorii pași:

1. Desenați din nou graficul derivatului, eliminând toate informațiile inutile. Practica arată că datele inutile împiedică soluția. Prin urmare, marcăm zerourile derivatei pe axa coordonatelor - atât.
2. Aflați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un anumit punct x 0 se știe că f '(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f' (x 0) ≥ 0 sau f '(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei poate fi ușor determinat din desenul inițial: dacă graficul derivatei se află deasupra axei OX, atunci f '(x) ≥ 0. Și invers, dacă graficul derivatei se află sub axa OX, atunci f' (x) ≤ 0.
3. Verificați din nou zerourile și semnele derivatei. În cazul în care semnul se schimbă de la minus la plus, există un punct minim. În schimb, dacă semnul derivatului se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se efectuează întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

O sarcină. Figura arată graficul derivatei funcției f (x), definită pe intervalul [−5; cinci]. Găsiți punctul minim al funcției f (x) pe acest segment.

Să scăpăm de informații inutile - vom părăsi doar granițele [−5; 5] și zerouri ale derivatei x \u003d −3 și x \u003d 2,5. Rețineți și semnele:

Evident, la punctul x \u003d −3 semnul derivatei se schimbă de la minus la plus. Acesta este punctul minim.

O sarcină. Figura arată graficul derivatei funcției f (x), definită pe segmentul [−3; 7]. Găsiți punctul maxim al funcției f (x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x \u003d −1,7 și x \u003d 5. Observați semnele derivatei pe graficul rezultat. Noi avem:

Evident, la punctul x \u003d 5 semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

O sarcină. Figura arată graficul derivatei funcției f (x) definită pe segmentul [−6; 4]. Găsiți numărul de puncte maxime ale funcției f (x), aparținând segmentului [−4; 3].

Rezultă din afirmația problemei că este suficient să se ia în considerare doar partea de grafic mărginită de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim o nouă diagramă pe care marchăm doar limitele [−4; 3] și zerouri ale derivatei din interior. Și anume, punctele x \u003d −3,5 și x \u003d 2. Obținem:

Acest grafic are doar un punct maxim x \u003d 2. Acolo se schimbă semnul derivatei de la plus la minus.

O notă rapidă asupra punctelor cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă, punctul a fost considerat x \u003d -3,5, dar la fel de bine puteți lua x \u003d -3,4. Dacă problema este formulată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără locuință fixă” nu sunt direct implicate în rezolvarea problemei. Desigur, acest truc nu va funcționa cu puncte întregi.

Găsirea intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare

Într-o astfel de problemă, cum ar fi punctele maxim și minim, se propune găsirea regiunilor în care funcția în sine crește sau scade din graficul derivat. În primul rând, să definim ce crește și scade:

1. O funcție f (x) se numește creșterea pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât este mai mare valoarea funcției.
2. O funcție f (x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Acestea. cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât este mai mică valoarea funcției.

Să formulăm condiții suficiente pentru creșterea și scăderea:

1. Pentru ca o funcție continuă f (x) să crească pe un segment, este suficient ca derivata sa din interiorul segmentului să fie pozitivă, adică f '(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f (x) să scadă pe un segment, este suficient ca derivata sa din interiorul segmentului să fie negativă, adică f '(x) ≤ 0.

Să acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și scădere, care este în multe feluri similară algoritmului pentru calcularea punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile inutile. Pe graficul original al derivatei, suntem interesați în primul rând de zerourile funcției, așa că le vom lăsa doar.
2. Observați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Unde f ’(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f’ (x) ≤ 0, scade. Dacă problema are restricții asupra variabilei x, le marcăm suplimentar pe noul grafic.
3. Acum, că cunoaștem comportamentul funcției și constrângerea, rămâne să calculăm valoarea cerută în problemă.

O sarcină. Figura arată graficul derivatei funcției f (x), definită pe segmentul [−3; 7.5]. Găsiți intervalele funcției descrescătoare f (x). În răspunsul dvs., indicați suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, redesenați graficul și marcați limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x \u003d -1,5 și x \u003d 5,3. Apoi marcăm semnele derivatei. Noi avem:

Deoarece derivata este negativă pe interval (- 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să rezumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

O sarcină. Figura arată graficul derivatei funcției f (x), definită pe intervalul [−10; 4]. Găsiți intervalele de funcție crescătoare f (x). În răspuns, indicați lungimea celei mai lungi dintre ele.

Să scăpăm de informații inutile. Lăsați doar granițele [−10; 4] și zerouri ale derivatei, care de data aceasta s-au dovedit a fi patru: x \u003d −8, x \u003d −6, x \u003d −3 și x \u003d 2. Observați semnele derivatei și obțineți următoarea imagine:

Ne interesează intervalele de creștere a funcției, adică astfel, unde f '(x) ≥ 0. Pe grafic există două astfel de intervale: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 \u003d - 6 - (−8) \u003d 2;
l 2 \u003d 2 - (−3) \u003d 5.

Deoarece este necesar să se găsească lungimea celui mai mare dintre intervale, în răspunsul scriem valoarea l 2 \u003d 5.