Soluția x 5. Soluția ecuațiilor liniare cu exemple. Cum se rezolvă ecuațiile: se adaugă sau se scade

pentru a rezolva matematica. Găsiți repede rezolvarea unei ecuații matematice în modul pe net... Site-ul www.site permite rezolvați ecuația aproape orice dat algebric, trigonometric sau ecuație transcendentală online... Când studiați aproape orice ramură a matematicii în diferite etape, trebuie să le rezolvați ecuații online... Pentru a obține un răspuns imediat și, cel mai important, un răspuns exact, aveți nevoie de o resursă care vă permite să faceți acest lucru. Mulțumim site-ului www.site rezolvarea ecuațiilor online va dura câteva minute. Principalul avantaj al site-ului în rezolvarea matematicii ecuații online este viteza și acuratețea răspunsului. Site-ul este capabil să rezolve orice ecuații algebrice online, ecuații trigonometrice online, ecuații transcendentale online, precum și ecuații cu parametri necunoscuți în mod pe net. Ecuații servesc ca un puternic aparat matematic soluții sarcini practice. Cu ajutor ecuații matematice poți exprima fapte și relații care pot părea confuze și complexe la prima vedere. Cantități necunoscute ecuații poate fi găsit prin formularea problemei pe matematic limba în formă ecuații și decide sarcina primită în modul pe net pe site-ul www.site. Orice ecuație algebrică, ecuație trigonometrică sau ecuații conținând transcendental funcționează ușor decide online și obțineți răspunsul exact. Studiind științele naturii, întâlnești inevitabil nevoia rezolvarea ecuațiilor... În acest caz, răspunsul trebuie să fie corect și trebuie să îl obțineți imediat în modul pe net... Prin urmare pentru rezolvarea ecuațiilor matematice online vă recomandăm site-ul www.site, care va deveni calculatorul dvs. indispensabil rezolvarea ecuațiilor algebrice online, ecuații trigonometrice pe net, precum și ecuații transcendentale online sau ecuații cu parametri necunoscuți. Pentru sarcini practice de găsire a rădăcinilor diverselor ecuații matematice resursa www .. Rezolvarea ecuații online pe cont propriu, este util să verificați răspunsul pe care l-ați primit folosind soluție online ecuații pe site-ul www.site. Este necesar să scrieți ecuația corect și să obțineți instantaneu soluție online, după care rămâne doar să comparați răspunsul cu soluția dvs. la ecuație. Nu va dura mai mult de un minut pentru a verifica răspunsul, suficient rezolvați ecuația online și comparați răspunsurile. Acest lucru vă va ajuta să evitați greșelile în decizie și corectați răspunsul la timp rezolvarea ecuațiilor online dacă algebric, trigonometric, transcendental sau ecuația cu parametri necunoscuți.

O ecuație este o egalitate în care există un termen necunoscut - x. Înțelesul său trebuie găsit.

Cantitatea necunoscută se numește rădăcina ecuației. Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea rădăcinii sale și pentru aceasta trebuie să cunoașteți proprietățile ecuațiilor. Ecuațiile pentru clasa a 5-a sunt simple, dar dacă veți învăța cum să le rezolvați corect, nu veți avea probleme cu ele în viitor.

Proprietatea principală a ecuațiilor

Când schimbați ambele părți ale ecuației cu aceeași cantitate, aceasta continuă să fie aceeași ecuație cu aceeași rădăcină. Să rezolvăm câteva exemple pentru a înțelege mai bine această regulă.

Cum se rezolvă ecuațiile: se adaugă sau se scade

Să presupunem că avem o ecuație de formă:

• a + x \u003d b - aici a și b sunt numere, iar x este un termen necunoscut în ecuație.

Dacă adăugăm (sau scădem din) cantitatea c pe ambele părți ale ecuației, aceasta nu se va schimba:

• a + x + c \u003d b + c
• a + x - c \u003d b - c.

Exemplul 1

Să folosim această proprietate pentru a rezolva ecuația:

• 37 + x \u003d 51

Scădeți 37 din ambele părți:

• 37 + x-37 \u003d 51-37

primim:

• x \u003d 51-37.

Rădăcina ecuației este x \u003d 14.

Dacă ne uităm cu atenție la ultima ecuație, vedem că este la fel ca prima. Pur și simplu am mutat termenul 37 dintr-o parte a ecuației în cealaltă, înlocuind plusul cu minus.

Se pare că orice număr poate fi transferat dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus.

Exemplul 2

• 37 + x \u003d 37 + 22

Efectuăm aceeași acțiune, transferăm numărul 37 din partea stângă a ecuației în dreapta:

• x \u003d 37 - 37 + 22

De la 37-37 \u003d 0, pur și simplu reducem acest lucru și obținem:

• x \u003d 22.

Termenii identici ai ecuației cu un singur semn, care se află în diferite părți ale ecuației, pot fi anulați (șterse).

Înmulțirea și împărțirea ecuațiilor

Ambele părți ale egalității pot fi, de asemenea, multiplicate sau împărțite cu același număr:

Dacă egalitatea a \u003d b este împărțită sau înmulțită cu c, nu se va schimba:

• a / c \u003d b / c,
• ac \u003d bc.

Exemplul 3

• 5x \u003d 20

Împărțiți ambele părți ale ecuației cu 5:

• 5x / 5 \u003d 20/5.

Deoarece 5/5 \u003d 1, atunci anulăm acest factor și divizorul din partea stângă a ecuației și obținem:

• x \u003d 20/5, x \u003d 4

Exemplul 4

• 5x \u003d 5a

Dacă ambele părți ale ecuației sunt împărțite la 5, obținem:

• 5x / 5 \u003d 5a / 5.

5 în numeratorul și numitorul părților stânga și dreapta sunt anulate, se dovedește x \u003d a. Aceasta înseamnă că aceiași factori din partea stângă și dreapta a ecuațiilor se anulează.

Să rezolvăm încă un exemplu:

• 13 + 2x \u003d 21

Mutați termenul 13 din partea stângă a ecuației spre dreapta cu semnul opus:

• 2x \u003d 21 - 13
• 2x \u003d 8.

Împărțim ambele părți ale ecuației la 2, obținem:

• x \u003d 4.

O ecuație cu o necunoscută, care după deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari ia forma

ax + b \u003d 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu o necunoscută. Astăzi vom afla cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o adevărată egalitate decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 \u003d 13 în loc de x necunoscut pentru a înlocui numărul 2, atunci obținem egalitatea corectă 3 · 2 +7 \u003d 13. Aceasta înseamnă că valoarea x \u003d 2 este soluția sau rădăcina ecuației.

Și valoarea x \u003d 3 nu transformă ecuația 3x + 7 \u003d 13 într-o adevărată egalitate, deoarece 3 · 2 +7 ≠ 13. Prin urmare, valoarea x \u003d 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă

ax + b \u003d 0.

Mutând termenul liber din partea stângă a ecuației spre dreapta, schimbând semnul din fața lui b în opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci x \u003d - b / a .

Exemplul 1. Rezolvați ecuația 3x + 2 \u003d 11.

Mutați 2 din partea stângă a ecuației spre dreapta, în timp ce schimbați semnul din fața lui 2 în opus, obținem
3x \u003d 11 - 2.

Scade apoi
3x \u003d 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x \u003d 9: 3.

Prin urmare, valoarea x \u003d 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x \u003d 3.

Dacă a \u003d 0 și b \u003d 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d 0. Această ecuație are infinit de multe soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar b este, de asemenea, egal cu 0. Orice număr este o soluție la această ecuație.

Exemplul 2.Rezolvați ecuația 5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1.

Să extindem parantezele:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Iată termeni similari:
0x \u003d 0.

Răspuns: x este orice număr.

Dacă a \u003d 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece înmulțind orice număr cu 0 obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3.Rezolvați ecuația x + 8 \u003d x + 5.

Să grupăm membrii care conțin necunoscute în stânga și membri liberi în dreapta:
x - x \u003d 5 - 8.

Iată termeni similari:
0x \u003d - 3.

Răspuns: nu există soluții.

Pe poza 1 arată schema de rezolvare a ecuației liniare

Să întocmim o schemă generală pentru rezolvarea ecuațiilor cu o singură variabilă. Luați în considerare soluția la exemplul 4.

Exemplul 4. Să se rezolve ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere, obținem
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 \u003d 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa membrii care conțin membri necunoscuți și liberi, extindem parantezele:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Să grupăm într-o parte membrii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - membri liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Iată termeni similari:
- 22x \u003d - 154.

6) Împărțiți la - 22, Primim
x \u003d 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

În general, așa ecuațiile pot fi rezolvate conform următoarei scheme:

a) aduceți ecuația la întreaga sa formă;

b) deschideți parantezele;

c) grupați termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației și termenii liberi în cealaltă;

d) aduc membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma ax \u003d b, care a fost obținută după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvi multe altele ecuații simple trebuie să începi nu cu primul, ci cu al doilea ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5.Rezolvați ecuația 2x \u003d 1/4.

Găsiți necunoscutul x \u003d 1/4: 2,
x \u003d 1/8 .

Luați în considerare soluția unor ecuații liniare găsite în examenul principal de stare.

Exemplul 6.Rezolvați ecuația 2 (x + 3) \u003d 5 - 6x.

2x + 6 \u003d 5 - 6x

2x + 6x \u003d 5-6

Răspuns: - 0, 125

Exemplul 7.Rezolvați ecuația - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

- 30 + 18x \u003d 8x - 7

18x - 8x \u003d - 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8. Rezolvați ecuația

3 (3x - 4) \u003d 4,7x + 24

9x - 12 \u003d 28x + 24

9x - 28x \u003d 24 + 12

Exemplul 9.Găsiți f (6) dacă f (x + 2) \u003d 3 7

Decizie

Deoarece trebuie să găsim f (6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 \u003d 6.

Rezolvați ecuația liniară x + 2 \u003d 6,
obținem x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Dacă x \u003d 4, atunci
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27

Răspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări, dacă doriți să înțelegeți mai bine soluția ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele din PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!

TutorOnline vă sfătuiește, de asemenea, să urmăriți un nou tutorial video de la profesorul nostru Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Înmulțind sistemul de ecuații normale NttXt1 + Bt1 \u003d 0 cu matricea inversă N-1

obține:

(34)

(35)

Rezolvarea ecuațiilor normale prin inversare.

Prin definitie matrice inversă, N-1N \u003d E. Această egalitate este utilizată pentru a fundamenta metoda de determinare a elementelor matricei inverse. Fie t \u003d 2.

Asta implică:

- primul sistem de ecuații normale ponderate.

- Al doilea sistem de ecuații normale ponderate.

În cazul general, ca urmare a unor astfel de acțiuni, obținem t sisteme de ecuații normale ponderate cu t ecuații în fiecare sistem. Aceste sisteme au aceeași matrice de coeficienți ca cea principală, cu unknownхj necunoscut și diferă de aceasta numai în coloane de termeni liberi. În ecuația j-a sistemului j-th, termenul liber este -1, restul sunt egale cu zero. Sistemele de ecuații normale ponderate sunt rezolvate în paralel cu sistemul principal, în schema generală, folosind coloane suplimentare pentru termenii liberi ai acestor sisteme (Tabelul 9). Pentru control, valorile calculate ale elementelor matricei inverse Qij sunt substituite în ecuațiile sumare compilate pentru sistemele de greutate. De exemplu, pentru t \u003d 2 aceste ecuații vor arăta ca:

(+ [pab]) Q11 + (+) Q12 - 1 \u003d 0;

(+) Q21 + (+) Q22 - 1 \u003d 0.

Pentru controlul preliminar, se utilizează egalitățile Qij \u003d Qji (i ≠ j).

Elementele matricei inverse Qij se numesc coeficienți de greutate.

Tabelul 9

Determinarea elementelor unei matrice inversă într-o schemă gaussiană

3.6. Estimarea preciziei pe baza materialelor de ajustare

Eroarea pătrată medie a rădăcinii funcției parametrului este determinată de formula:

unde

(36)

Eroarea medie pătrată a unității de greutate;

(37)

Greutatea inversă a funcției parametrului sau sub formă de matrice:

(38)

Greutatea inversă a parametrului, egală cu elementul diagonal al matricei inverse.

3.7. Diagrama bloc a metodei de ajustare parametrică

1. Analizați setul de măsurători yi, determinați t - numărul de măsurători necesare. Setați sistemul de cântărire pi (i \u003d 1, 2, ..., n).

2. Alegeți parametrii independenți x1, x2, ..., xt, al căror număr este egal cu t.

3. Alcătuiește ecuații de comunicare parametrice. Valorile egalizate ale tuturor valorilor măsurate sunt exprimate ca funcții ale parametrilor selectați.

4. Găsiți valorile aproximative ale parametrilor x0j.

5. Ecuațiile de constrângere parametrice duc la forma liniară, calculează coeficienții și termenii liberi ai ecuațiilor de corecție parametrică.

6. Alcătuiește o funcție de parametri pentru a evalua acuratețea acestuia. Funcția de ponderare este liniarizată.

7. Machiază ecuații normale, calculați coeficienții și termenii liberi ai ecuațiilor normale.

8. Rezolvați ecuațiile normale, calculați corecțiile pentru a aproxima valorile parametrilor și controlați-le.

9. Calculați corecțiile vi la rezultatele măsurătorilor și efectuați controlul νi și.

10. Calculați parametrii, rezultatele măsurătorilor ajustate și efectuați controlul ajustării.

11. Calculați greutățile inverse ale parametrilor și ale funcțiilor parametrilor.

12. Evaluează acuratețea rezultatelor măsurătorii, calculează eroarea pătrată medie a unității de greutate.

13. Calculați erorile pătrate ale rădăcinii medii ale valorilor ajustate.

Una dintre cele mai importante abilități în admiterea în clasa a 5-a este capacitatea de a rezolva cele mai simple ecuații. Întrucât clasa a 5-a nu este încă atât de departe de scoala primara, atunci nu există atât de multe tipuri de ecuații pe care un student le poate rezolva. Vă vom prezenta toate tipurile de bază ale ecuațiilor pe care trebuie să le puteți rezolva dacă doriți înscrie-te la o școală de fizică și matematică.

Tipul 1: „bulbos”
Acestea sunt ecuații care sunt aproape susceptibile să vă apară atunci când admiterea la orice școală sau un cerc de clasa 5 ca sarcină separată. Sunt ușor de distins de altele: conțin variabila o singură dată. De exemplu, sau.
Ele se rezolvă foarte simplu: trebuie doar să „ajungi” la necunoscut, „înlăturând” treptat tot ceea ce nu îl înconjoară - ca și cum ai curăța o ceapă - de unde și numele. Pentru a rezolva, este suficient să ne amintim câteva reguli din clasa a doua. Să le enumerăm pe toate:

Plus

1. termen1 + termen2 \u003d sumă
2. termen1 \u003d sumă - termen2
3. termen2 \u003d sumă - termen1

Scădere

1. scăzut - scăzut \u003d diferență
2. scăzut \u003d scăzut + diferență
3. scăzut \u003d scăzut - diferență

Multiplicare

1. factor1 * factor2 \u003d produs
2. factor1 \u003d produs: factor2
3. factor2 \u003d produs: factor1

Divizia

1. dividend: divizor \u003d coeficient
2. dividend \u003d divizor * coeficient
3. divizor \u003d dividend: quotient

Să luăm un exemplu de aplicare a acestor reguli.

Rețineți că împărțim mai departe și ajungem. În această situație, cunoaștem divizorul și coeficientul. Pentru a găsi dividendul, trebuie să înmulțiți divizorul cu coeficientul:

Ne-am apropiat puțin de noi înșine. Acum vedem asta adăugat și obținut. Prin urmare, pentru a găsi unul dintre termeni, trebuie să scădem termenul cunoscut din sumă:

Și încă un „strat” este eliminat din necunoscut! Acum vedem o situație cu o valoare cunoscută a produsului () și un factor cunoscut ().

Acum situația „a scăzut - scăzut \u003d diferență”

Și ultimul pas este produsul cunoscut () și unul dintre factori ()

Tipul 2: ecuații cu paranteze
Ecuațiile de acest tip se întâlnesc cel mai adesea în probleme - 90% din toate problemele pentru admiterea în clasa a 5-a... Spre deosebire de "ecuații de ceapă" variabila poate apărea aici de mai multe ori, deci este imposibil să o rezolvi folosind metodele din paragraful anterior. Ecuații tipice: sau
Dificultatea principală este deschiderea corectă a parantezelor. După ce am reușit să facem acest lucru corect, ar trebui să aducem termeni similari (numere la numere, variabile la variabile), iar după aceea obținem cel mai simplu "ecuație de ceapă"că știm să rezolvăm. Dar mai întâi lucrurile.

Paranteze extinse... Vom da câteva reguli care ar trebui utilizate în acest caz. Dar, după cum arată practica, elevul începe să deschidă corect parantezele numai după 70-80 de probleme rezolvate. Regula de bază este că orice factor din afara parantezelor trebuie înmulțit cu fiecare termen din paranteze. Iar minusul dinaintea parantezei schimbă semnul tuturor expresiilor care se află în interior. Deci, regulile de bază ale divulgării:

Aducerea similară... Totul este mult mai ușor aici: aveți nevoie, transferând termenii prin semnul egal, să vă asigurați că pe de o parte există doar termeni cu necunoscutul, iar pe de altă parte - numai numere. Regula de bază este următoarea: fiecare termen realizat își schimbă semnul - dacă a fost cu, atunci va deveni c și invers. După un transfer reușit, este necesar să se numere numărul total de necunoscute, numărul final stând pe cealaltă parte a egalității decât variabilele și să se rezolve primul "ecuație de ceapă".