Paano makalkula ang produkto ng tuldok ng mga module ng mga vector. Produkto ng tuldok ng mga vector. Ang haba ng vector. Dot produkto sa mga coordinate

Panayam: Mga coordinate ng vector; tuldok na produkto ng mga vector; anggulo sa pagitan ng mga vector

Mga coordinate ng vector

Kaya, tulad ng nabanggit nang mas maaga, ang mga vector ay isang direksyon na segment, na mayroong sariling simula at wakas. Kung ang simula at wakas ay kinakatawan ng ilang mga puntos, pagkatapos ay mayroon silang sariling mga coordinate sa isang eroplano o sa kalawakan.

Kung ang bawat punto ay may sariling mga coordinate, maaari nating makuha ang mga coordinate ng buong vector.

Ipagpalagay na mayroon kaming ilang vector, na ang simula at pagtatapos ng vector ay may mga sumusunod na pagtatalaga at koordinasyon: A (A x; Ay) at B (B x; Ni)

Upang makuha ang mga koordinasyon ng vector na ito, kinakailangan na bawasan ang mga kaukulang koordinasyon ng simula mula sa mga coordinate sa dulo ng vector:

Upang matukoy ang mga coordinate ng isang vector sa kalawakan, gamitin ang sumusunod na formula:

Produkto ng tuldok ng mga vector

Mayroong dalawang paraan upang tukuyin ang isang tuldok na produkto:

• Paraan ng geometriko. Ayon sa kanya, ang produkto ng tuldok ay katumbas ng produkto ng mga halaga ng mga modyul na ito ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.

• Algebraic kahulugan. Mula sa pananaw ng algebra, ang tuldok na produkto ng dalawang mga vector ay isang tiyak na dami na nakuha bilang isang resulta ng kabuuan ng mga produkto ng mga kaukulang vector.

Kung ang mga vector ay ibinibigay sa kalawakan, pagkatapos ay dapat gamitin ang isang katulad na formula:

Ari-arian:

• Kung pinarami mo ang dalawang magkaparehong mga vector scalarly, kung gayon ang kanilang produkto na tuldok ay hindi magiging negatibo:

• Kung ang scalar na produkto ng dalawang magkaparehong mga vector ay naging katumbas ng zero, kung gayon ang mga vector na ito ay itinuturing na zero:

• Kung ang isang vector ay pinarami ng kanyang sarili, pagkatapos ang produkto ng tuldok ay katumbas ng parisukat ng modulus nito:

• Ang produkto ng scalar ay may isang ari-arian na nakikipag-usap, iyon ay, ang produkto ng scalar ay hindi magbabago mula sa permutasyon ng mga vector

• Ang scalar na produkto ng mga nonzero vector ay maaaring zero lamang kung ang mga vector ay patayo sa bawat isa:

• Para sa produkto ng skalar ng mga vector, ang batas ng pag-aalis ay wasto sa kaso ng pagpaparami ng isa sa mga vector sa isang numero:

• Gamit ang produkto ng tuldok, maaari mo ring gamitin ang namamahagi ng pag-aari ng multiplikasyon:

Angle sa pagitan ng mga vector

Sa kaso ng problema sa eroplano, ang scalar na produkto ng mga vector a \u003d (a x; a y) at b \u003d (b x; b y) ay maaaring matagpuan gamit ang sumusunod na pormula:

a b \u003d a x b x + a y b y

Pormula ng produkto ng tuldok na Vector para sa mga problemang spatial

Sa kaso ng spatial problem, ang scalar na produkto ng mga vector a \u003d (a x; a y; a z) at b \u003d (b x; b y; b z) ay maaaring matagpuan gamit ang sumusunod na pormula:

a b \u003d a x b x + a y b y + a z b z

Dot na pormula ng produkto ng n -dimensional na mga vector

Sa kaso ng n-dimensional space, ang scalar na produkto ng mga vector a \u003d (a 1; a 2; ...; a n) at b \u003d (b 1; b 2; ...; b n) ay maaaring matagpuan gamit ang sumusunod na pormula:

a b \u003d a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Mga katangian ng produkto ng tuldok ng mga vector

1. Ang scalar na produkto ng isang vector sa pamamagitan ng kanyang sarili ay palaging mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero:

2. Ang scalar na produkto ng isang vector sa pamamagitan nito ay katumbas ng zero kung at kung ang vector ay katumbas ng zero vector:

a a \u003d 0<=> a \u003d 0

3. Ang scalar na produkto ng isang vector sa pamamagitan ng kanyang sarili ay katumbas ng parisukat ng modulus nito:

4. Ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng scalar ay nakikipag-usap:

5. Kung ang scalar na produkto ng dalawang mga nonzero vector ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga vector na ito ay orthogonal:

isang ≠ 0, b ≠ 0, isang b \u003d 0<=> a ┴ b

6. (αa) b \u003d α (a b)

7. Ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng scalar ay namamahagi:

(a + b) c \u003d a c + b c

Mga halimbawa ng mga problema para sa pagkalkula ng produkto ng tuldok ng mga vector

Mga halimbawa ng pagkalkula ng produktong tuldok ng mga vector para sa mga problema sa eroplano

Hanapin ang produktong tuldok ng mga vector a \u003d (1; 2) at b \u003d (4; 8).

Desisyon: a b \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

Hanapin ang scalar na produkto ng mga vector a at b kung ang kanilang haba | a | \u003d 3, | b | \u003d 6, at ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay 60˚.

Desisyon: isang b \u003d | a | · | B | cos α \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

Hanapin ang scalar na produkto ng mga vector p \u003d a + 3b at q \u003d 5a - 3 b kung ang haba nila | a | \u003d 3, | b | \u003d 2, at ang anggulo sa pagitan ng mga vector a at b ay 60˚.

Desisyon:

p q \u003d (a + 3b) (5a - 3b) \u003d 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b \u003d

5 | a | 2 + 12 a b - 9 | b | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng produktong tuldok ng mga vector para sa mga spatial na problema

Hanapin ang produktong tuldok ng mga vector a \u003d (1; 2; -5) at b \u003d (4; 8; 1).

Desisyon: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng produkto ng tuldok para sa n -dimensional na mga vector

Hanapin ang produktong tuldok ng mga vector a \u003d (1; 2; -5; 2) at b \u003d (4; 8; 1; -2).

Desisyon: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16 - 5 -4 \u003d 11.

13. Ang produktong vector ng mga vector at isang vector ay tinatawag pangatlong vector tinukoy bilang sumusunod:

2) patayo, patayo. (1 "")

3) ang mga vector ay nakatuon sa parehong paraan tulad ng batayan ng buong puwang (positibo o negatibo).

Italaga:

Ang pisikal na kahulugan ng isang produktong vector

- sandali ng puwersa na may kaugnayan sa point O; - Ang radius ay ang vector ng punto ng paglalapat ng puwersa, pagkatapos

bukod dito, kung ilipat sa point O, pagkatapos ang triplet ay dapat na oriented bilang isang batayan vector.

Kahulugan 1

Ang scalar na produkto ng mga vector ay isang bilang na katumbas ng produkto ng dyn ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila.

Ang notasyon ng produkto ng mga vector a → at b → ay may form na →, b →. Mag-convert tayo sa formula:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^. a → at b → ipahiwatig ang haba ng mga vector, isang →, b → ^ ipahiwatig ang anggulo sa pagitan ng mga ibinigay na vector. Kung hindi bababa sa isang vector ay zero, iyon ay, may halagang 0, kung gayon ang resulta ay zero, isang →, b → \u003d 0

Kapag pinararami ang vector nang mag-isa, nakukuha natin ang parisukat ng haba nito:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

Kahulugan 2

Ang pagdaragdag ng scalar ng isang vector sa pamamagitan ng kanyang sarili ay tinatawag na isang scalar square.

Kinakalkula ng formula:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^.

Ang notasyon a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → ipinapakita na ang npb → a → ay ang bilang na projection ng isang → on b →, npa → a → ay ang projection ng b → papunta sa isang →, ayon sa pagkakabanggit.

Pormulahin natin ang kahulugan ng isang produkto para sa dalawang mga vector:

Ang scalar na produkto ng dalawang mga vector a → by b → ay tinatawag na produkto ng haba ng vector a → ng projection b → ng direksyon a → o ng produkto ng haba b → ng projection a → ayon sa pagkakabanggit.

Dot produkto sa mga coordinate

Ang produkto ng tuldok ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vector sa isang naibigay na eroplano o sa kalawakan.

Ang scalar na produkto ng dalawang mga vector sa isang eroplano, sa three-dimensional space, ay tinatawag na kabuuan ng mga coordinate ng mga ibinigay na vector a → at b →.

Kapag kinakalkula ang scalar na produkto ng mga ibinigay na vector a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) sa sistemang Cartesian, gamitin ang:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

para sa three-dimensional space, nalalapat ang sumusunod na expression:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

Sa katunayan, ito ang pangatlong kahulugan ng produktong tuldok.

Patunayan natin ito.

Patunay 1

Para sa patunay na ginagamit namin ang isang →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay ng para sa mga vector a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) on Sistema ng Cartesian.

Ang mga vector ay dapat ipagpaliban

O A → \u003d a → \u003d a x, a y at O \u200b\u200bB → \u003d b → \u003d b x, b y.

Pagkatapos ang haba ng vector A B → ay katumbas ng A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y).

Isaalang-alang ang isang tatsulok O A B.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) ay totoo batay sa teoryang cosine.

Sa pamamagitan ng kundisyon, makikita na O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^, samakatuwid ang pormula para sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga vector ay nakasulat nang magkakaiba.

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Pagkatapos ay sumusunod ito mula sa unang kahulugan na b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), samakatuwid (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Ang paglalapat ng formula para sa pagkalkula ng haba ng mga vector, nakukuha namin ang:
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay ng

Patunayan natin ang mga pagkakapantay-pantay:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- ayon sa pagkakabanggit para sa mga vector ng three-dimensional space.

Ang produkto ng scalar ng mga vector na may mga coordinate ay nagsasabi na ang scalar square ng isang vector ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito sa kalawakan at sa isang eroplano, ayon sa pagkakabanggit. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) at (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

Produkto ng tuldok at mga katangian nito

Mayroong mga katangian ng produkto na tuldok na nalalapat para sa isang →, b → at c →:

1. commutibility (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. pamamahagi (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , c →);
3. ang pinag-isang pag-aari (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), ang λ ay anumang numero;
4. ang parisukat na parisukat ay palaging mas malaki kaysa sa zero (isang →, isang →) ≥ 0, kung saan (a →, isang →) \u003d 0 sa kaso kapag ang isang → ay zero.

Halimbawa 1

Ang mga pag-aari ay nasisiyasat dahil sa kahulugan ng produktong tuldok sa eroplano at mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga totoong numero.

Patunayan ang pag-aari ng commutivity (a →, b →) \u003d (b →, a →). Mula sa kahulugan, mayroon tayo iyan (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y at (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y.

Sa pamamagitan ng pag-aari ng commutibility, ang mga pagkakapantay-pantay a x b x \u003d b x a x at a y b y \u003d b y a y ay totoo, kaya't ang isang x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

Sumusunod ito sa (a →, b →) \u003d (b →, a →). Q.E.D.

Ang pamamahagi ay wasto para sa anumang mga numero:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

at (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (a →, b → (n)),

kaya mayroon tayo

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Dot produkto na may mga halimbawa at solusyon

Ang anumang problema ng naturang plano ay malulutas gamit ang mga katangian at pormula na nauugnay sa produktong tuldok:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y o (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng solusyon.

Halimbawa 2

Ang haba ng → ay 3, haba b → ay 7. Hanapin ang produktong tuldok kung ang anggulo ay 60 degree.

Desisyon

Sa kondisyon, mayroon kaming lahat ng data, kaya kinakalkula namin sa pamamagitan ng formula:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

Sagot: (a →, b →) \u003d 21 2.

Halimbawa 3

Mga naibigay na vector a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3). Ano ang produkto ng tuldok

Desisyon

Sa halimbawang ito, ang formula para sa pagkalkula ng mga coordinate ay isinasaalang-alang, dahil ang mga ito ay tinukoy sa pahayag ng problema:

(a →, b →) \u003d ax bx + ay ni + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Sagot: (a →, b →) \u003d - 9

Halimbawa 4

Hanapin ang produktong dot na A B → at A C →. Ang Mga Puntong A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) ay ibinibigay sa koordinasyong eroplano.

Desisyon

Upang magsimula, ang mga coordinate ng mga vector ay kinakalkula, dahil ang mga coordinate ng mga puntos ay ibinibigay ng kundisyon:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Ang pagpalit sa formula na gumagamit ng mga coordinate, nakukuha namin ang:

(A B →, A C →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Sagot: (A B →, A C →) \u003d 28.

Halimbawa 5

Ibinigay ang mga vector a → \u003d 7 m → + 3 n → at b → \u003d 5 m → + 8 n →, hanapin ang kanilang produkto. Ang m → ay katumbas ng 3 at ang n → ay katumbas ng 2 mga yunit, patayo ang mga ito.

Desisyon

(a →, b →) \u003d (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Paglalapat ng namamahaging pag-aari, nakukuha namin ang:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) \u003d \u003d (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →)

Kinukuha namin ang coefficient para sa pag-sign ng produkto at makuha ang:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Sa pamamagitan ng pagmamay-ari ng commutivity, binabago namin ang:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Bilang isang resulta, nakukuha namin ang:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Ngayon ay ilapat natin ang formula para sa produktong tuldok na may anggulo na tinukoy ng kundisyon:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

Sagot: (a →, b →) \u003d 411

Kung mayroong isang numerong projection.

Halimbawa 6

Hanapin ang produktong tuldok a → at b →. Ang Vector a → ay mayroong mga coordinate a → \u003d (9, 3, - 3), projection b → na may mga coordinate (- 3, - 1, 1).

Desisyon

Sa pamamagitan ng teorya, ang mga vector a → at ang projection b → ay salungat na nakadirekta, dahil ang isang → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, kaya ang projection b → ay tumutugma sa haba n p a → b → →, at may karatulang "-":

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

Pagpalit sa formula, nakukuha namin ang expression:

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

Sagot: (a →, b →) \u003d - 33.

Ang mga problema sa isang kilalang produkto ng tuldok, kung saan kinakailangan upang hanapin ang haba ng isang vector o isang projection na bilang.

Halimbawa 7

Anong halaga ang dapat λ kunin para sa isang naibigay na produkto ng scalar a → \u003d (1, 0, λ + 1) at b → \u003d (λ, 1, λ) ay katumbas ng -1.

Desisyon

Ipinapakita ng formula na kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng mga produkto ng mga coordinate:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

Dahil mayroon kaming (a →, b →) \u003d - 1.

Upang makahanap ng λ, kinakalkula namin ang equation:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, kaya't λ \u003d - 1.

Sagot: λ \u003d - 1.

Ang pisikal na kahulugan ng produktong tuldok

Isinasaalang-alang ng mga mekaniko ang aplikasyon ng produktong tuldok.

Kapag nagtatrabaho A na may pare-parehong puwersa F → ang katawan ay lumipat mula sa point M hanggang N, mahahanap mo ang produkto ng haba ng mga vector F → at M N → na may cosine ng anggulo sa pagitan nila, na nangangahulugang ang trabaho ay katumbas ng produkto ng mga vector ng puwersa at pag-aalis:

A \u003d (F →, M N →).

Halimbawa 8

Ang paggalaw ng isang materyal na punto ng 3 metro sa ilalim ng impluwensya ng isang puwersa na katumbas ng 5 ntons ay nakadirekta sa isang anggulo ng 45 degree na may kaugnayan sa axis. Humanap ng.

Desisyon

Dahil ang trabaho ay produkto ng force vector at pag-aalis, nangangahulugan ito, batay sa kundisyon F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 °, nakukuha natin ang A \u003d (F →, S →) \u003d F → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

Sagot: A \u003d 15 2 2.

Halimbawa 9

Ang materyal na punto, paglipat mula sa M (2, - 1, - 3) hanggang sa N (5, 3 λ - 2, 4) sa ilalim ng puwersang F → \u003d (3, 1, 2), ginampanan ang gawaing katumbas ng 13 J. Kalkulahin ang haba ng paggalaw.

Desisyon

Para sa ibinigay na mga koordinasyon ng vector M N → mayroon kaming M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7).

Sa pamamagitan ng pormula para sa paghahanap ng trabaho sa mga vector F → \u003d (3, 1, 2) at MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7), nakukuha natin ang A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3 λ.

Sa pamamagitan ng teorya, ibinigay na A \u003d 13 J, na nangangahulugang 22 + 3 λ \u003d 13. Samakatuwid λ \u003d - 3, samakatuwid M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

Upang hanapin ang haba ng pag-aalis M N →, ilapat ang formula at palitan ang mga halaga:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Sagot: 158.

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Angle sa pagitan ng mga vector

Isaalang-alang ang dalawang ibinigay na mga vector $ \\ overarrarrow (a) $ at $ \\ overarrarrow (b) $. Itabi natin ang mga vector $ $ overarrarrow (a) \u003d \\ overarrarrow (OA) $ at $ \\ overarrarrow (b) \u003d \\ overarrarrow (OB) $ mula sa isang arbitraryong napiling point na $ O $, kung gayon ang anggulong $ AOB $ ay tinawag na anggulo sa pagitan ng mga vector $ \\ overarrarrow ( a) $ at $ \\ overarrarrow (b) $ (fig 1).

Larawan 1.

Tandaan dito na kung ang mga vector $ $ overarrarrow (a) $ at $ \\ overarrarrow (b) $ ay codirectional o ang isa sa kanila ay isang zero vector, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay $ 0 ^ 0 $.

Pagtatalaga: $ \\ widehat (\\ overarrarrow (a), \\ overarrarrow (b)) $

Produkto ng tuldok ng mga vector

Sa matematika, ang kahulugan na ito ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Ang produkto ng tuldok ay maaaring zero sa dalawang kaso:

Kung ang isa sa mga vector ay isang zero vector (Simula noon ang haba nito ay zero).

Kung ang mga vector ay magkatulad na patayo (ibig sabihin, $ cos (90) ^ 0 \u003d 0 $).

Tandaan din na ang produkto ng tuldok ay mas malaki kaysa sa zero kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay talamak (dahil $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bkanan) \\)\u003e 0 $), at mas mababa sa zero kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay nakakakuha (dahil $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overarrarrow (b)) \\ \u200b\u200bkanan) \\)

Ang konsepto ng isang scalar square ay nauugnay sa konsepto ng isang produkto ng scalar.

Kahulugan 2

Ang parisukat na parisukat ng vector na $ \\ overarrarrow (a) $ ay ang produkto ng scalar ng vector na ito nang mag-isa.

Nakukuha namin na ang scalar square ay

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overarrarrow (a) \u003d \\ left | \\ overarrarrow (a) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | (cos 0 ^ 0 \\) \u003d \\ left | \\ overarrarrow (a ) \\ kanan | \\ kaliwa | \\ overarrarrow (a) \\ kanan | \u003d (\\ left | \\ overrightarrow (a) \\ kanan |) ^ 2 \\]

Kinakalkula ang produkto ng tuldok mula sa mga coordinate ng mga vector

Bukod sa karaniwang paraan ng paghahanap ng dot na halaga ng produkto na sumusunod mula sa kahulugan, may iba pang paraan.

Isaalang-alang natin ito.

Hayaan ang mga vector $ \\ overarrarrow (a) $ at $ \\ overarrarrow (b) $ may mga coordinate na $ \\ left (a_1, b_1 \\ kanan) $ at $ \\ left (a_2, b_2 \\ kanan) $, ayon sa pagkakabanggit.

Teorama 1

Ang scalar na produkto ng mga vector $ \\ overarrarrow (a) $ at $ \\ overarrarrow (b) $ ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng kaukulang mga coordinate.

Sa matematika, maaari itong isulat bilang mga sumusunod

\\ [\\ overarrarrow (a) \\ overarrarrow (b) \u003d a_1a_2 + b_1b_2 \\]

Katibayan.

Pinatunayan ang teorya.

Ang teoryang ito ay may maraming mga kahihinatnan:

Corollary 1: Ang mga vector $ $ overarrarrow (a) $ at $ \\ overarrarrow (b) $ ay patayo kung at kung $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $ lamang

Corollary 2: Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ay $ cos \\ alpha \u003d \\ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \\ cdot \\ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $

Mga katangian ng produkto ng tuldok ng mga vector

Para sa anumang tatlong mga vector at isang tunay na numero $ k $ totoo ito:

$ (\\ overarrarrow (a)) ^ 2 \\ ge 0 $

Ang pag-aari na ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang scalar square (Kahulugan 2).

Batas sa paglalakbay: $ \\ overarrarrow (a) \\ overarrarrow (b) \u003d \\ overarrarrow (b) \\ overarrarrow (a) $.

Sinusundan ang pag-aari na ito mula sa kahulugan ng produktong tuldok (Kahulugan 1).

Batas sa pamamahagi:

$ \\ left (\\ overarrarrow (a) + \\ overarrarrow (b) \\ right) \\ overarrarrow (c) \u003d \\ overarrarrow (a) \\ overarrarrow (c) + \\ overarrarrow (b) \\ overarrarrow (c) $. \\ end (enumerate)

Sa pamamagitan ng Theorem 1, mayroon kaming:

\\ [\\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overarrarrow (b) \\ kanan) \\ overarrarrow (c) \u003d \\ left (a_1 + a_2 \\ kanan) a_3 + \\ left (b_1 + b_2 \\ kanan) b_3 \u003d a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ overarrarrow (a) \\ overarrarrow (c) + \\ overarrarrow (b) \\ overarrarrow (c) \\]

Batas ng pagsasama-sama: $ \\ left (k \\ overarrarrow (a) \\ kanan) \\ overarrarrow (b) \u003d k (\\ overarrarrow (a) \\ overarrarrow (b)) $. \\ end (enumerate)

Sa pamamagitan ng Theorem 1, mayroon kaming:

\\ [\\ left (k \\ overarrarrow (a) \\ right) \\ overarrarrow (b) \u003d ka_1a_2 + kb_1b_2 \u003d k \\ left (a_1a_2 + b_1b_2 \\ kanan) \u003d k (\\ overarrarrow (a) \\ overarrarrow (b)) \\]

Isang halimbawa ng isang problema para sa pagkalkula ng produkto ng tuldok ng mga vector

Halimbawa 1

Hanapin ang produktong tuldok ng mga vector $ \\ overarrarrow (a) $ at $ \\ overarrarrow (b) $ kung $ \\ left | \\ overarrarrow (a) \\ kanan | \u003d 3 $ at $ \\ left | \\ overarrarrow (b) \\ kanan | \u003d 2 $, at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay $ ((30) ^ 0, \\ 45) ^ 0, \\ (90) ^ 0, \\ (135) ^ 0 $.

Desisyon.

Gamit ang Kahulugan 1, nakukuha namin

Para sa $ (30) ^ 0: $

\\ [\\ overarrarrow (a) \\ overarrarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((30) ^ 0 \\ kanan) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 3) \\]

Para sa $ (45) ^ 0: $

\\ [\\ overarrarrow (a) \\ overarrarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((45) ^ 0 \\ kanan) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 2) \\]

Para sa $ (90) ^ 0: $

\\ [\\ overarrarrow (a) \\ overarrarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((90) ^ 0 \\ kanan) \\) \u003d 6 \\ cdot 0 \u003d 0 \\]

Para sa $ (135) ^ 0: $

\\ [\\ overarrarrow (a) \\ overarrarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((135) ^ 0 \\ kanan) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ left (- \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\ Katulad na mga artikulo