Kalkulahin ang kabaligtaran ng matrix. Algorithm para sa pagkalkula ng kabaligtaran matrix gamit ang mga pandagdag sa algebraic: ang adjoint (adjoint) na matrix na pamamaraan. Pamamaraan ng matrix sa pagtatasa ng ekonomiya

Matrix Algebra - Inverse Matrix

kabaligtaran matrix

Kabaligtaran matrix ay tinatawag na isang matrix na, kapag pinarami pareho sa kanan at sa kaliwa ng isang naibigay na matrix, binibigyan ang matrix ng pagkakakilanlan.
Tukuyin natin ang matrix na kabaligtaran sa matrix AT sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ayon sa kahulugan na nakukuha natin:

kung saan E Ay ang matris ng pagkakakilanlan.
Square matrix tinawag hindi espesyal (hindi nabubulok) kung ang tumutukoy nito ay hindi zero. Kung hindi man, tinawag ito espesyal (lumala) o isahan.

Ang sumusunod na teorya ay humahawak: ang bawat nonsingular matrix ay may kabaligtaran.

Ang pagpapatakbo ng paghahanap ng kabaligtaran matrix ay tinatawag na apela mga matrice Isaalang-alang ang matrix inversion algorithm. Hayaan na bigyan ng isang nonsingular matrix n-th order:

kung saan Δ \u003d det A ≠ 0.

Pagkumpleto ng Algebraic ng isang Elementomga matrice n ikaayos AT ang tumutukoy ng matrix ( n –1) ang order na nakuha sa pamamagitan ng pagtanggal ako-th line at jika haligi ng matrix AT:

Isulat natin ang tinaguriang nakalakip matrix:

kung saan ang mga pandagdag sa algebraic ng mga kaukulang elemento ng matrix AT.
Tandaan na ang mga pagkumpleto ng algebraic ng mga elemento ng mga hilera ng matrix AT ay inilalagay sa kaukulang mga haligi ng matrix à , iyon ay, ang matrix ay transposed sa parehong oras.
Paghahati sa lahat ng mga elemento ng matrix à sa pamamagitan ng Δ - ang halaga ng tumutukoy ng matrix AT, nakukuha namin ang kabaligtaran na matrix bilang isang resulta:

Tandaan namin ang isang bilang ng mga espesyal na katangian ng kabaligtaran matrix:
1) para sa isang naibigay na matrix AT ang kabaligtaran nitong matrix ay ang nag-iisa;
2) kung mayroong isang kabaligtaran na matrix, kung gayon tamang baligtad at kaliwang baligtad kasabay nito ang mga matris;
3) isang espesyal na (degenerate) square matrix ay walang kabaligtaran na matrix.

Pangunahing mga katangian ng kabaligtaran matrix:
1) ang nagpapasiya ng kabaligtaran na matrix at ang tumutukoy ng orihinal na matrix ay mga katumbas na halaga;
2) ang kabaligtaran na matrix ng produkto ng square matrices ay katumbas ng produkto ng kabaligtaran na mga matrices ng mga kadahilanan, na kinuha sa reverse order:

3) ang transposter na kabaligtaran ng matrix ay katumbas ng kabaligtaran ng ibinigay na transposed matrix:

PRI ako r. Kalkulahin ang kabaligtaran ng ibinigay na matrix.

Para sa anumang nondegenerate matrix A, mayroong umiiral at, saka, isang natatanging matrix A -1 tulad nito

A * A -1 \u003d A -1 * A \u003d E,

kung saan ang E ay ang identity matrix ng parehong mga order tulad ng A. Ang matrix A -1 ay tinatawag na kabaligtaran ng matrix A

Kung sakaling may nakalimutan, sa matrix ng pagkakakilanlan, maliban sa diagonal na puno ng mga isa, lahat ng iba pang mga posisyon ay puno ng mga zero, isang halimbawa ng identity matrix:

Paghanap ng kabaligtaran na matrix sa pamamagitan ng magkadugtong na pamamaraan ng matrix

Ang kabaligtaran na matrix ay tinukoy ng pormula:

kung saan ang isang ij ay mga elemento ng isang ij.

Yung. upang makalkula ang kabaligtaran na matrix, kailangan mong kalkulahin ang tumutukoy ng matrix na ito. Pagkatapos hanapin ang mga pandagdag sa algebraic para sa lahat ng mga elemento nito at bumuo ng isang bagong matrix mula sa kanila. Susunod, kailangan mong i-transport ang matrix na ito. At hatiin ang bawat elemento ng bagong matrix sa pamamagitan ng tumutukoy ng orihinal na matrix.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

Maghanap ng Isang -1 para sa Matrix

Solusyon. Hahanapin natin ang A -1 sa pamamagitan ng magkadugtong na pamamaraan ng matrix. Mayroon kaming det A \u003d 2. Hahanapin natin ang mga pagkumpleto ng algebraic ng mga elemento ng matrix A. Sa kasong ito, ang mga pagkumpleto ng algebraic ng mga elemento ng matrix ay ang mga kaukulang elemento ng matrix mismo, kinuha na may isang pag-sign alinsunod sa pormula

Mayroon kaming A 11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2. Bumubuo kami ng magkakaugnay na matrix

Dinadala namin ang matrix A *:

Nahanap namin ang kabaligtaran na matrix sa pamamagitan ng formula:

Nakukuha namin:

Humanap ng Isang -1 gamit ang kasamang pamamaraan ng matrix kung

Solusyon.Pauna sa lahat, kinakalkula namin ang kahulugan ng naibigay na matrix upang matiyak na mayroon ang inverse matrix. Meron kami

Dito naidagdag namin sa mga elemento ng pangalawang hilera ang mga elemento ng pangatlong hilera, na-multiply dati ng (-1), at pagkatapos ay pinalawak ang determinant sa pangalawang hilera. Dahil ang ibinigay na matrix ay tinutukoy na maging nonzero, umiiral ang kabaligtaran na matrix. Upang maitayo ang magkadugtong na matrix, nakita namin ang mga pandagdag sa algebraic ng mga elemento ng matrix na ito. Meron kami

Ayon sa pormula

ihatid ang matrix A *:

Pagkatapos sa pamamagitan ng formula

Paghanap ng kabaligtaran na matrix sa pamamagitan ng pamamaraan ng mga pagbabagong elementarya

Bilang karagdagan sa pamamaraan para sa paghahanap ng kabaligtaran na matrix na sumusunod mula sa pormula (ang pamamaraan ng magkadugtong na matrix), mayroong isang pamamaraan para sa paghahanap ng kabaligtaran na matrix, na tinatawag na pamamaraan ng mga transformasyong elementarya.

Mga pagbabago sa elementarya na matrix

Ang mga sumusunod na pagbabago ay tinatawag na mga pagbabagong elementarya ng elementarya:

1) permutasyon ng mga hilera (haligi);

2) pag-multiply ng isang hilera (haligi) ng isang nonzero na numero;

3) pagdaragdag sa mga elemento ng isang hilera (haligi) ang mga kaukulang elemento ng isa pang hilera (haligi), na dating pinarami ng isang tiyak na numero.

Upang hanapin ang matrix A -1, nagtatayo kami ng isang hugis-parihaba matrix B \u003d (A | E) ng mga order (n; 2n), na nagtatalaga sa matrix A sa kanan ng pagkakakilanlan matrix E sa pamamagitan ng linya ng paghahati:

Tingnan natin ang isang halimbawa.

Gamit ang pamamaraan ng mga pagbabagong elementarya, hanapin ang A -1 kung

Solusyon. Bumuo tayo ng matrix B:

Tukuyin natin ang mga hilera ng matrix B ng α 1, α 2, α 3. Gawin natin ang mga sumusunod na pagbabago sa mga hilera ng matrix B.

Kahulugan 1: ang isang matrix ay tinatawag na degenerate kung ang determinant nito ay zero.

Kahulugan 2: ang isang matrix ay tinatawag na non-degenerate kung ang determinant nito ay hindi zero.

Ang matrix na "A" ay tinawag kabaligtaran matrixkung ang kundisyon A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (identity matrix) ay nasiyahan.

Ang isang square matrix ay hindi maibabalik lamang kung ito ay hindi nabulok.

Skema ng pagkalkula ng kabaligtaran na matrix:

1) Kalkulahin ang tumutukoy ng matrix na "A" kung ∆ A \u003d 0, kung gayon ang inverse matrix ay wala.

2) Hanapin ang lahat ng mga pampuno sa algebraic ng matrix na "A".

3) Bumuo ng isang matrix ng mga pandagdag sa algebraic (Aij)

4) Palipat-lipat ang matrix ng mga pandagdag sa algebraic (Aij) T

5) I-multiply ang transposed matrix ng kabaligtaran ng determinant ng matrix na ito.

6) Suriin:

Sa unang tingin, maaaring mukhang mahirap ito, ngunit sa katunayan, ang lahat ay napakasimple. Ang lahat ng mga solusyon ay batay sa simpleng pagpapatakbo ng arithmetic, ang pangunahing bagay kapag ang pagpapasya ay hindi malito sa mga palatandaan na "-" at "+", at hindi mawala ang mga ito.

Ngayon ay lutasin natin ang isang praktikal na gawain kasama mo sa pamamagitan ng pagkalkula ng kabaligtaran na matrix.

Gawain: hanapin ang kabaligtaran na matrix na "A" na ipinapakita sa larawan sa ibaba:

Malulutas namin ang lahat nang eksakto tulad ng ipinahiwatig sa kabaligtaran na plano ng pagkalkula ng matrix.

1. Ang unang bagay na dapat gawin ay hanapin ang tumutukoy sa matrix na "A":

Paliwanag:

Pinasimple namin ang aming kwalipikado sa pamamagitan ng pagsasamantala sa pangunahing pag-andar nito. Una, naidagdag namin sa mga linya 2 at 3 ang mga elemento ng unang linya, pinarami ng isang numero.

Pangalawa, binago namin ang mga haligi 2 at 3 ng tumutukoy, at ayon sa mga katangian nito, binago namin ang pag-sign sa harap nito.

Pangatlo, inilipat namin ang karaniwang kadahilanan (-1) ng pangalawang linya, sa gayon binago ulit ang pag-sign, at naging positibo ito. Pinadali rin namin ang linya 3 tulad ng sa simula ng halimbawa.

Nakuha namin ang isang tatsulok na tumutukoy, kung saan ang mga elemento sa ibaba ng dayagonal ay katumbas ng zero, at ayon sa ika-7 pag-aari, katumbas ito ng produkto ng mga elemento ng dayagonal. Bilang isang resulta, nakuha namin ∆ A \u003d 26, samakatuwid mayroon ang kabaligtaran.

A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1

A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6

A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3

A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5

A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2

A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1

A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7

3. Ang susunod na hakbang ay upang mag-ipon ng isang matrix mula sa mga nagresultang pagdaragdag:

5. I-multiply ang matrix na ito sa pamamagitan ng kabaligtaran ng determinant, iyon ay, sa pamamagitan ng 1/26:

6. Sa ngayon, kailangan lang nating suriin ang:

Sa panahon ng tseke, nakuha namin ang pagkakakilanlan matrix, samakatuwid, ang solusyon ay natupad ganap na tama.

2 paraan upang makalkula ang kabaligtaran matrix.

1. Pagbabago ng Elementary matrix

2. Kabaligtaran matrix sa pamamagitan ng isang elementarya na transpormer.

Kasama sa pagbabago ng Elementary matrix ang:

1. Pagpaparami ng isang string sa pamamagitan ng isang nonzero na numero.

2. Pagdaragdag sa anumang linya ng isa pang string na pinarami ng isang numero.

3. Pagpalit ng mga hilera ng matrix.

4. Paglalapat ng isang kadena ng mga pagbabago sa elementarya, nakakakuha kami ng isa pang matrix.

AT -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2.A -1 * A \u003d E

Tingnan natin ang isang praktikal na halimbawa na may totoong mga numero.

Ang gawain: Hanapin ang kabaligtaran ng matrix.

Desisyon:

Suriin natin:

Kaunting paglilinaw sa solusyon:

Una, muling binago namin ang mga hilera 1 at 2 ng matrix, pagkatapos ay pinarami ang unang hilera ng (-1).

Pagkatapos nito, ang unang hilera ay pinarami ng (-2) at idinagdag sa pangalawang hilera ng matrix. Pagkatapos ang 2 linya ay pinarami ng 1/4.

Ang pangwakas na yugto ng pagbabago ay nagpaparami ng pangalawang linya ng 2 at nagdaragdag mula sa una. Bilang isang resulta, sa kaliwa, nakuha namin ang pagkakakilanlan matrix, samakatuwid, ang kabaligtaran ay ang matrix sa kanan.

Matapos suriin, tinitiyak namin na ang solusyon ay tama.

Tulad ng nakikita mo, ang pagkalkula ng kabaligtaran ng isang matrix ay napakadali.

Bilang pagtatapos ng panayam na ito, nais ko ring maglaan ng kaunting oras sa mga pag-aari ng naturang matrix.

Mga Kompyente at Minor ng ALGEBRAIC

Magkaroon kami ng isang tumutukoy sa pangatlong order: .

Minornaaayon sa elementong ito isang ij tagatukoy ng ikatlong pagkakasunud-sunod, ay tinutukoy na tumutukoy ng pangalawang pagkakasunud-sunod, na nakuha mula sa ibinigay sa pamamagitan ng pagtanggal ng hilera at haligi, sa interseksyon kung saan nakatayo ang ibinigay na elemento, ako-th line at jika haligi. Mga menor de edad na naaayon sa isang naibigay na elemento isang ij ay magpahiwatig M ij.

Halimbawa, menor de edad M 12naaayon sa elemento isang 12, magkakaroon ng isang tumutukoy , na nakuha sa pamamagitan ng pagtanggal ng ika-1 hilera at ika-2 haligi mula sa ibinigay na tumutukoy.

Samakatuwid, ang formula na tumutukoy sa tumutukoy ng pangatlong order ay nagpapakita na ang determinant na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng unang hilera ng mga kaukulang menor de edad; ang menor de edad na naaayon sa elemento isang 12, kinunan ng isang tanda na "-", ibig sabihin maaari nating isulat iyon

.

(1)

Katulad nito, maaari naming ipakilala ang mga kahulugan ng mga menor de edad para sa mga tumutukoy sa pangalawang pagkakasunud-sunod at mas mataas na mga order.

Ipakilala natin ang isa pang konsepto.

Pagkumpleto ng algebraicelemento isang ij tinutukoy ay tinatawag na menor de edad M ijpinarami ng (–1) i + j.

Pagkumpleto ng Algebraic ng isang Elemento isang ij tinukoy Isang ij.

Mula sa kahulugan, nalaman namin na ang koneksyon sa pagitan ng algebraic na pandagdag ng isang elemento at ang menor de edad ay ipinahayag ng pagkakapantay-pantay Isang ij \u003d (–1) i + j M ij.

Halimbawa,

Halimbawa. Ibinibigay ang isang pantukoy. Hanapin A 13, A 21, A 32.

Madaling makita na ang paggamit ng mga pandagdag na algebraic ng mga elemento, ang pormula (1) ay maaaring nakasulat sa form:

Katulad din ng pormulang ito, maaari mong makuha ang agnas ng tumutukoy sa mga elemento ng anumang hilera o haligi.

Halimbawa, ang factorization ng determinant ng mga elemento ng ika-2 linya ay maaaring makuha tulad ng mga sumusunod. Ayon sa pag-aari 2 ng tumutukoy, mayroon kaming:

Palawakin natin ang nakuha na nagpasiya ng mga elemento ng ika-1 na hilera.

.

(2)

Mula rito mula noon ang mga tumutukoy sa pangalawang pagkakasunud-sunod sa pormula (2) ay ang mga menor de edad ng mga elemento isang 21, isang 22, isang 23... Sa gayon, ibig sabihin nakuha namin ang agnas ng nagpapahiwatig sa mga tuntunin ng mga elemento ng ika-2 hilera.

Katulad nito, maaari mong makuha ang agnas ng nagpapasiya ng mga elemento ng pangatlong hilera. Paggamit ng pag-aari 1 ng mga tumutukoy (tungkol sa transposisyon), maaaring ipakita ng isa na ang mga katulad na pagpapalawak ay wasto din para sa pagpapalawak sa mga tuntunin ng mga elemento ng haligi.

Kaya, ang sumusunod na teorama ay totoo.

Theorem (sa pagpapalawak ng isang tumutukoy sa isang naibigay na hilera o haligi). Ang tumutukoy ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng alinman sa mga hilera nito (o mga haligi) sa pamamagitan ng kanilang mga pandagdag sa algebraic.

Ang lahat ng nasa itaas ay totoo din para sa mga nagpapasiya ng anumang mas mataas na order.

Mga halimbawa.

INVERSE MATRIX

Ang konsepto ng isang kabaligtaran na matrix ay ipinakilala lamang para sa parisukat na matris.

Kung ang A Ay isang square matrix, kung gayon baligtarin para dito, ang isang matrix ay isang matrix na tinukoy Isang -1 at nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon. (Ang kahulugan na ito ay ipinakilala sa pamamagitan ng pagkakatulad na may pagpaparami ng mga numero)

Sa artikulong ito pag-uusapan natin ang tungkol sa pamamaraan ng matrix para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, hanapin ang kahulugan nito at magbigay ng mga halimbawa ng solusyon.

Kahulugan 1

Paraan ng kabaligtaran na matrix ay isang pamamaraan na ginamit upang malutas ang mga SLA sa kaganapan na ang bilang ng mga hindi kilalang katumbas ng bilang ng mga equation.

Halimbawa 1

Maghanap ng isang solusyon sa isang sistema ng mga n linear equation na may n hindi alam:

isang 11 x 1 + a 12 x 2 +. ... ... + a 1 n x n \u003d b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. ... ... + a n n x n \u003d b n

Pag-record ng Matrix : A × X \u003d B

kung saan ang А \u003d а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ 2 n ⋯ ⋯ ⋯ а а n 1 1 n 2 ⋯ а n n ay ang matrix ng system.

X \u003d x 1 x 2 ⋮ x n - haligi ng hindi alam,

B \u003d b 1 b 2 ⋮ b n - haligi ng mga libreng koepisyent.

Mula sa equation na nakuha namin, kailangan mong ipahayag ang X. Upang magawa ito, kailangan mong i-multiply ang magkabilang panig ng equation ng matrix sa kaliwa ng A - 1:

A - 1 × A × X \u003d A - 1 × B.

Dahil sa A - 1 × A \u003d E, pagkatapos ay E × X \u003d A - 1 × B o X \u003d A - 1 × B.

Magkomento

Ang kabaligtaran na matrix sa matrix A ay may karapatang mag-iral lamang kung ang kundisyon d e t A ay hindi katumbas ng zero. Samakatuwid, kapag nilulutas ang SLAE sa pamamagitan ng kabaligtaran na pamamaraan ng matrix, una sa lahat, d e t A.

Kung ang d e t A ay hindi katumbas ng zero, ang system ay may isang solusyon lamang: gamit ang inverse matrix na pamamaraan. Kung d t \u003d 0, kung gayon ang sistema ay hindi malulutas ng pamamaraang ito.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang sistema ng mga linear equation gamit ang inverse matrix na pamamaraan

Halimbawa 2

Malulutas namin ang SLAE sa pamamagitan ng kabaligtaran na pamamaraan ng matrix:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 \u003d 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 \u003d 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 \u003d 2

Paano malutas?

• Isusulat namin ang system sa anyo ng isang matrix equation A X \u003d B, kung saan

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Ipinapahayag namin mula sa equation na X na ito:

• Hanapin ang tumutukoy sa matrix A:

det A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 \u003d 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) \u003d - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 \u003d - 25

d e t А ay hindi katumbas ng 0, samakatuwid, ang inverse matrix solution solution ay angkop para sa sistemang ito.

• Hanapin ang kabaligtaran matrix A - 1 gamit ang union matrix. Kinakalkula namin ang mga pandagdag sa algebraic na A i j sa mga kaukulang elemento ng matrix A:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

Isang 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

Isang 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

Isang 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

Isang 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

Isang 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Isusulat namin ang union matrix A *, na binubuo ng mga pagdaragdag ng algebraic ng matrix A:

A * \u003d - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Isusulat namin ang kabaligtaran na matrix ayon sa pormula:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Pinarami namin ang kabaligtaran matrix A - 1 sa pamamagitan ng haligi ng mga libreng term B at makuha ang solusyon sa system:

X \u003d A - 1 × B \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 \u003d - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 \u003d - 1 0 1

Sagot : x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter