Equation at ang mga ugat nito: kahulugan, halimbawa. Aling mga equation ang walang mga ugat? Mga halimbawa ng mga equation Kapag ang isang equation ay walang hanggan maraming mga ugat

Nakatanggap ng isang pangkalahatang ideya ng pagkakapantay-pantay, at naging pamilyar sa isa sa kanilang mga uri - mga pagkakapantay-pantay na bilang, ang isang ay maaaring magsimulang makipag-usap tungkol sa isa pang napakahalagang porma ng pagkakapantay-pantay mula sa isang praktikal na pananaw - tungkol sa mga equation. Sa artikulong ito susuriin namin ano ang equation, at kung ano ang tinatawag na ugat ng equation. Dito ibibigay namin ang mga katumbas na kahulugan, pati na rin magbigay ng iba't ibang mga halimbawa ng mga equation at kanilang mga pinagmulan.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang isang equation?

Ang isang nakatuon na pagpapakilala sa mga equation ay karaniwang nagsisimula sa ika-2 baitang ng matematika. Sa oras na ito ang sumusunod ay ibinigay kahulugan ng equation:

Kahulugan

Ang equation Ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang hindi kilalang numero na matatagpuan.

Ang mga hindi kilalang numero sa mga equation ay karaniwang itinutukoy gamit ang maliliit na mga titik na Latin, halimbawa, p, t, u, atbp, ngunit ang mga titik na x, y at z ay madalas na ginagamit.

Kaya, ang equation ay tinukoy sa mga tuntunin ng form na notasyon. Sa madaling salita, ang pagkakapantay-pantay ay isang equation kapag sumusunod ito sa tinukoy na mga patakaran ng notasyon - naglalaman ito ng liham na ang halaga ay nais mong hanapin.

Narito ang ilang mga halimbawa ng pinakauna at pinakasimpleng mga equation. Magsimula tayo sa mga equation tulad ng x \u003d 8, y \u003d 3, atbp. Ang mga equation na naglalaman, kasama ang mga numero at titik, ang mga palatandaan ng pagpapatakbo ng arithmetic ay mukhang mas kumplikado, halimbawa, x + 2 \u003d 3, z - 2 \u003d 5, 3 · t \u003d 9, 8: x \u003d 2.

Ang pagkakaiba-iba ng mga equation ay lumalaki pagkatapos ng pagkakilala - ang mga equation na may mga braket ay nagsisimulang lumitaw, halimbawa, 2 (x - 1) \u003d 18 at x + 3 (x + 2 (x - 2)) \u003d 3. Ang isang hindi kilalang letra sa equation ay maaaring lumitaw nang maraming beses, halimbawa, x + 3 + 3 x - 2 - x \u003d 9, ang mga titik ay maaari ding nasa kaliwang bahagi ng equation, sa kanang bahagi nito, o sa magkabilang panig ng equation, halimbawa, x (3 + 1) −4 \u003d 8, 7−3 \u003d z + 1, o 3x - 4 \u003d 2 (x + 12).

Dagdag dito, pagkatapos mag-aral ng mga natural na numero, ang pagkakilala sa mga integer, makatuwiran, totoong mga numero ay nangyayari, ang mga bagong bagay sa matematika ay pinag-aaralan: degree, ugat, logarithms, atbp. Habang dumarami ang mga bagong uri ng mga equation na naglalaman ng mga bagay na ito. Ang kanilang mga halimbawa ay matatagpuan sa artikulo pangunahing uri ng mga equationnag aaral sa school.

Sa ika-7 baitang, kasama ang mga titik, kung saan nangangahulugang ilang mga tiyak na numero, sinisimulan nilang isaalang-alang ang mga titik na maaaring tumagal ng iba't ibang kahulugan, tinawag silang mga variable (tingnan ang artikulo). Sa kasong ito, ang salitang "variable" ay ipinakilala sa kahulugan ng equation, at ito ay naging katulad nito:

Kahulugan

Equation ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang variable na ang halaga ay matatagpuan.

Halimbawa, ang equation x + 3 \u003d 6 x + 7 ay isang equation na may variable x, at 3 · z - 1 + z \u003d 0 ay isang equation na may variable z.

Sa mga aralin sa algebra sa parehong ika-7 baitang, mayroong isang pagpupulong na may mga equation na naglalaman ng hindi isa, ngunit dalawang magkakaibang hindi kilalang mga variable sa kanilang talaan. Tinatawag silang mga equation sa dalawang variable. Sa hinaharap, pinapayagan ang pagkakaroon ng tatlo o higit pang mga variable sa mga equation.

Kahulugan

Mga equation na may isa, dalawa, tatlo, atbp. variable - ito ang mga equation na naglalaman ng isa, dalawa, tatlo, ... hindi kilalang mga variable, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, ang equation 3.2 x + 0.5 \u003d 1 ay isang equation na may isang variable x, habang ang isang equation ng form x - y \u003d 3 ay isang equation na may dalawang variable x at y. At isa pang halimbawa: x 2 + (y - 1) 2 + (z + 0.5) 2 \u003d 27. Malinaw na ang naturang equation ay isang equation na may tatlong hindi kilalang variable x, y at z.

Ano ang ugat ng isang equation?

Ang kahulugan ng equation ay direktang nauugnay sa kahulugan ng ugat ng equation na ito. Gumawa tayo ng ilang pangangatuwiran na makakatulong sa amin na maunawaan kung ano ang ugat ng equation.

Sabihin nating mayroon tayong equation na may isang letra (variable). Kung sa halip na ang titik ay kasama sa tala ng equation na ito, ang isang numero ay pinalitan, pagkatapos ang equation ay magiging isang pagkakapantay-pantay sa bilang. Bukod dito, ang nagresultang pagkakapantay-pantay ay maaaring parehong totoo at hindi. Halimbawa, kung papalitan mo ang numero 2 sa halip na letra a sa equation na + 1 \u003d 5, nakakuha ka ng maling pagkakapantay-pantay sa bilang na 2 + 1 \u003d 5. Kung papalitan namin ang numero 4 para sa isang sa equation na ito, makukuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay 4 + 1 \u003d 5.

Sa pagsasagawa, sa napakaraming kaso, ang mga naturang halaga ng variable ay interesado, ang pagpapalit nito sa equation ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay, ang mga halagang ito ay tinatawag na mga ugat o solusyon ng equation na ito.

Kahulugan

Root ng equation Ang halaga ba ng isang titik (variable), kapag pinalitan, ang equation ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay sa bilang.

Tandaan na ang ugat ng isang equation sa isang variable ay tinatawag ding solusyon sa equation. Sa madaling salita, ang solusyon sa equation at ang ugat ng equation ay magkatulad na bagay.

Ipaliwanag natin ang kahulugan na ito sa isang halimbawa. Upang magawa ito, bumalik kami sa equation sa itaas na isang + 1 \u003d 5. Ayon sa tunog na kahulugan ng ugat ng equation, ang bilang 4 ang ugat ng equation na ito, dahil kapag pinapalitan ang numerong ito sa halip na titik a, nakukuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay 4 + 1 \u003d 5, at ang numero 2 ay hindi ang ugat nito, dahil tumutugma ito sa isang maling pagkakapantay-pantay ng form 2 + 1 \u003d lima

Sa puntong ito, lumitaw ang isang bilang ng mga natural na katanungan: "Mayroon bang root ang anumang equation, at kung gaano karaming mga ugat ang mayroon ng isang naibigay na equation?" Sasagutin namin sila.

Mayroong parehong mga equation na may mga ugat at equation na walang mga ugat. Halimbawa, ang equation x + 1 \u003d 5 ay may ugat ng 4, at ang equation 0 x \u003d 5 ay walang mga ugat, dahil anuman ang bilang na pinalitan natin sa equation na ito sa halip na variable x, nakakuha kami ng maling pagkakapantay-pantay 0 \u003d 5.

Tulad ng para sa bilang ng mga ugat ng equation, mayroong parehong mga equation na may isang tiyak na may hangganan na bilang ng mga ugat (isa, dalawa, tatlo, atbp) at mga equation na walang hanggan maraming mga ugat. Halimbawa, ang equation x - 2 \u003d 4 ay may natatanging ugat 6, ang mga ugat ng equation x 2 \u003d 9 ay dalawang numero −3 at 3, ang equation x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 ay may tatlong mga ugat na 0, 1, at 2, at ang solusyon sa equation x \u003d x ay anumang numero, iyon ay, mayroon itong walang katapusang hanay ng mga ugat.

Ang ilang mga salita ay dapat na sinabi tungkol sa tinatanggap na pagsulat ng mga ugat ng equation. Kung ang mga equation ay walang mga ugat, pagkatapos ay karaniwang isinusulat nila ang "ang equation ay walang mga ugat", o gamitin ang walang laman na hanay ng pag-sign ∅. Kung ang mga equation ay may mga ugat, pagkatapos ang mga ito ay nakasulat na pinaghiwalay ng mga kuwit, o nakasulat bilang mga elemento ng set sa mga kulot na tirante. Halimbawa, kung ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -1, 2, at 4, pagkatapos ay isulat ang -1, 2, 4 o (-1, 2, 4). Pinapayagan din na isulat ang mga ugat ng equation sa anyo ng pinakasimpleng pagkakapantay-pantay. Halimbawa, kung ang titik x ay pumapasok sa equation, at ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga numero 3 at 5, pagkatapos ay maaari kang sumulat x \u003d 3, x \u003d 5, din ang variable ay madalas na idinagdag sa mga subscripts x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5, na parang nagpapahiwatig ng mga numero mga ugat ng equation. Ang walang katapusang hanay ng mga ugat ng equation ay karaniwang nakasulat sa form, at, kung maaari, gamitin ang notasyon ng mga hanay ng mga natural na numero N, integers Z, totoong mga numero R. Halimbawa, kung ang ugat ng isang equation na may variable x ay anumang integer, pagkatapos ay isulat, at kung ang mga ugat ng isang equation na may variable y ay anumang tunay na numero mula 1 hanggang 9, kasama, pagkatapos ay isulat.

Para sa mga equation na may dalawa, tatlo at higit pang mga variable, bilang panuntunan, hindi ginagamit ang term na "equation root", sa mga kasong ito sinabi nilang "equation solution". Ano ang tinatawag na solusyon ng mga equation sa maraming mga variable? Magbigay tayo ng angkop na kahulugan.

Kahulugan

Paglutas ng isang equation na may dalawa, tatlo, atbp. variable tumawag sa isang pares, tatlo, atbp. mga halaga ng mga variable, na ginagawang isang tunay na pagkakapantay-pantay sa bilang ng equation na ito.

Ipakita natin ang ilang mga halimbawang halimbawa. Isaalang-alang ang isang equation sa dalawang variable x + y \u003d 7. Palitan dito sa halip na x ang bilang 1, at sa halip na y ang bilang 2, at mayroon kaming pagkakapantay-pantay na 1 + 2 \u003d 7. Malinaw na, ito ay mali, samakatuwid, ang pares ng mga halagang x \u003d 1, y \u003d 2 ay hindi isang solusyon sa nakasulat na equation. Kung kukuha kami ng isang pares ng mga halagang x \u003d 4, y \u003d 3, pagkatapos pagkatapos ng pagpapalit sa equation makakarating kami sa tamang pagkakapantay-pantay 4 + 3 \u003d 7, samakatuwid, ang pares ng mga halagang ito ng mga variable ay sa pamamagitan ng kahulugan ng isang solusyon sa equation x + y \u003d 7.

Ang mga equation na may maraming mga variable, tulad ng mga equation na may isang variable, ay maaaring walang mga ugat, maaaring magkaroon ng isang may hangganan na bilang ng mga ugat, o maaaring magkaroon ng maraming mga ugat.

Mga pares, tatlo, apat, atbp. ang mga variable na halaga ay madalas na nakasulat nang maikli, nakalista ang kanilang mga halagang pinaghihiwalay ng mga kuwit sa panaklong. Sa kasong ito, ang mga nakasulat na numero sa mga braket ay tumutugma sa mga variable sa pagkakasunud-sunod ng alpabeto. Lilinawin natin ang puntong ito sa pamamagitan ng pagbabalik sa nakaraang equation x + y \u003d 7. Ang solusyon sa equation na ito x \u003d 4, y \u003d 3 ay maaaring maisulat nang maikling bilang (4, 3).

Ang pinakadakilang pansin sa kurso sa paaralan ng matematika, algebra at ang mga pagsisimula ng pagtatasa ay binabayaran sa paghahanap ng mga ugat ng mga equation na may isang variable. Susuriin namin ang mga patakaran ng prosesong ito nang detalyado sa artikulo. paglutas ng mga equation.

Listahan ng mga sanggunian.

• Matematika... 2 cl Teksbuk. para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyong may adj. sa elektron. tagadala. Alas-2 ng hapon Bahagi 1 / [M. I. Moro, MA Bantova, GV Beltyukova at iba pa] - 3rd ed. - M.: Prosveshenie, 2012 .-- 96 p.: May sakit. - (School of Russia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: mag-aral. para sa 7 cl. Pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ika-17 ed. - M .: Edukasyon, 2008 .-- 240 p. : may sakit - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Ika-16 na ed. - M .: Edukasyon, 2009 .-- 271 p. : may sakit - ISBN 978-5-09-021134-5.

Matapos naming mapag-aralan ang konsepto ng mga pagkakapantay-pantay, kabilang ang isa sa kanilang mga uri - mga pagkakapantay-pantay na bilang, maaari tayong lumipat sa isa pang mahalagang uri - mga equation. Sa loob ng balangkas ng materyal na ito, ipaliwanag namin kung ano ang isang equation at ang ugat nito, bumalangkas ng mga pangunahing kahulugan at magbibigay ng iba't ibang mga halimbawa ng mga equation at hanapin ang kanilang mga pinagmulan.

Konsepto ng equation

Karaniwan, ang konsepto ng isang equation ay pinag-aaralan sa simula pa lamang ng kurso sa algebra ng paaralan. Pagkatapos ito ay tinukoy tulad ng sumusunod:

Kahulugan 1

Equation tinawag na pagkakapantay-pantay na may isang hindi kilalang numero na matatagpuan.

Nakaugalian na tukuyin ang mga hindi kilalang may maliliit na letrang Latin, halimbawa, t, r, m, atbp, ngunit kadalasang ginagamit ang x, y, z. Sa madaling salita, tinutukoy ng equation ang anyo ng pagrekord nito, iyon ay, ang pagkakapantay-pantay ay magiging isang equation lamang kapag nabawasan ito sa isang tiyak na form - dapat itong maglaman ng isang titik, ang halagang dapat hanapin.

Narito ang ilang mga halimbawa ng pinakasimpleng mga equation. Ito ay maaaring mga pagkakapantay-pantay ng form x \u003d 5, y \u003d 6, atbp, pati na rin ang mga nagsasama ng mga pagpapatakbo ng arithmetic, halimbawa, x + 7 \u003d 38, z - 4 \u003d 2, 8 t \u003d 4, 6: x \u003d 3.

Matapos mapag-aralan ang konsepto ng mga braket, lilitaw ang konsepto ng mga equation na may mga braket. Kabilang dito ang 7 (x - 1) \u003d 19, x + 6 (x + 6 (x - 8)) \u003d 3, atbp. Ang titik na mahahanap ay maaaring mangyari hindi isang beses, ngunit maraming beses, tulad ng, halimbawa, sa equation x + 2 + 4 x - 2 - x \u003d 10. Gayundin, ang mga hindi alam ay matatagpuan hindi lamang sa kaliwa, ngunit din sa kanan o sa parehong bahagi nang sabay-sabay, halimbawa, x (8 + 1) - 7 \u003d 8, 3 - 3 \u003d z + 3 o 8 x - 9 \u003d 2 (x + 17).

Dagdag dito, pagkatapos na pamilyar sa mga mag-aaral ang konsepto ng mga integer, tunay, makatuwiran, natural na mga numero, pati na rin mga logarithm, ugat at kapangyarihan, lilitaw ang mga bagong equation na kasama ang lahat ng mga bagay na ito. Kami ay nakatuon ng isang hiwalay na artikulo sa mga halimbawa ng mga tulad expression.

Sa programa sa ika-7 baitang, ang konsepto ng mga variable ay unang lilitaw. Ito ang mga titik na maaaring kumuha ng magkakaibang kahulugan (para sa higit pang mga detalye, tingnan ang artikulo sa mga bilang, literal at variable na expression). Batay sa konseptong ito, maaari nating muling tukuyin ang equation:

Kahulugan 2

Ang equation Ay isang pagkakapantay-pantay na kasama ang variable na ang halaga ay nais mong suriin.

Iyon ay, halimbawa, ang ekspresyong x + 3 \u003d 6 x + 7 ay isang equation na may variable x, at 3 y - 1 + y \u003d 0 ay isang equation na may variable y.

Ang isang equation ay maaaring maglaman ng hindi isang variable, ngunit dalawa o higit pa. Ang mga ito ay tinawag, ayon sa pagkakabanggit, mga equation na may dalawa, tatlong variable, atbp. Isulat natin ang kahulugan:

Kahulugan 3

Ang mga equation na may dalawa (tatlo, apat o higit pa) na mga variable ay mga equation na kasama ang katumbas na bilang ng mga hindi kilalang.

Halimbawa, ang isang pagkakapantay-pantay ng form 3, 7 x + 0, 6 \u003d 1 ay isang equation na may isang variable x, at x - z \u003d 5 ay isang equation na may dalawang variable x at z. Ang isang halimbawa ng isang equation na may tatlong variable ay maaaring x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 \u003d 26.

Root ng equation

Kapag pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang equation, agad na lumitaw ang pangangailangan upang tukuyin ang konsepto ng ugat nito. Subukan nating ipaliwanag kung ano ang ibig sabihin nito.

Halimbawa 1

Binibigyan kami ng ilang uri ng equation na may kasamang isang variable. Kung papalitan namin ang isang numero para sa hindi kilalang titik, kung gayon ang equation ay nagiging isang pagkakapantay-pantay sa bilang - totoo o mali. Kaya, kung sa equation na isang + 1 \u003d 5 pinalitan namin ang titik ng numero 2, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay magiging mali, at kung 4, pagkatapos ay makukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay 4 + 1 \u003d 5.

Mas interesado kami sa eksaktong mga halagang iyon kung saan ang variable ay magiging tamang pagkakapantay-pantay. Tinatawag silang mga ugat o solusyon. Isulat natin ang kahulugan.

Kahulugan 4

Ang ugat ng equation ay tinatawag na isang halaga ng isang variable na ginagawang isang tunay na pagkakapantay-pantay ang isang naibigay na equation.

Ang ugat ay maaari ding tawaging isang solusyon, o kabaligtaran - pareho ng mga konseptong ito ang magkatulad na bagay.

Halimbawa 2

Kumuha tayo ng isang halimbawa upang linawin ang kahulugan na ito. Sa itaas binigyan namin ang equation na isang + 1 \u003d 5. Ayon sa kahulugan, ang ugat sa kasong ito ay magiging 4, sapagkat kapag pinalitan sa halip na isang titik, nagbibigay ito ng tamang pagkakapantay-pantay sa bilang, at ang dalawa ay hindi magiging isang solusyon, dahil tumutugma ito sa maling pagkakapantay-pantay na 2 + 1 \u003d 5.

Ilan ang mga ugat na maaaring magkaroon ng isang equation? Mayroon bang root ang isang equation? Sagutin natin ang mga katanungang ito.

Ang mga equation na walang solong ugat ay mayroon din. Ang isang halimbawa ay 0 x \u003d 5. Maaari nating palitan nang walang hanggan ang iba't ibang mga numero dito, ngunit wala sa kanila ang gagawing isang tunay na pagkakapantay-pantay, dahil ang pagpaparami ng 0 ay laging nagbibigay ng 0.

Mayroon ding mga equation na maraming mga ugat. Maaari silang magkaroon ng parehong may hangganan at isang walang hanggan malaking bilang ng mga ugat.

Halimbawa 3

Kaya, sa equation x - 2 \u003d 4 mayroon lamang isang ugat - anim, sa x 2 \u003d 9 mayroong dalawang mga ugat - tatlo at minus tatlo, sa x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 mayroong tatlong mga ugat - zero, isa at dalawa, sa equation x \u003d x mayroong walang hanggan maraming mga ugat.

Ipaliwanag natin ngayon kung paano isulat nang tama ang mga ugat ng equation. Kung wala ang mga ito, nagsusulat kami ng ganito: "ang equation ay walang mga ugat." Sa kasong ito, maaari ding ipahiwatig ng isa ang tanda ng walang laman na hanay ∅. Kung may mga ugat, isusulat namin ang mga ito na pinaghihiwalay ng mga kuwit o ipahiwatig ang mga ito bilang mga elemento ng isang hanay, na pinapaloob sa mga kulot na tirante. Kaya, kung ang anumang equation ay may tatlong mga ugat - 2, 1 at 5, pagkatapos ay nagsusulat kami - 2, 1, 5 o (- 2, 1, 5).

Pinapayagan na magsulat ng mga ugat sa anyo ng pinakasimpleng pagkakapantay-pantay. Kaya, kung ang hindi alam sa equation ay naipahiwatig ng letrang y, at ang mga ugat ay 2 at 7, pagkatapos ay nagsusulat kami ng y \u003d 2 at y \u003d 7. Minsan ang mga subscripts ay idinagdag sa mga titik, halimbawa, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Kaya, ipinapahiwatig namin ang mga bilang ng mga ugat. Kung ang equation ay may walang hanggan maraming mga solusyon, pagkatapos ay isusulat namin ang sagot bilang isang agwat na bilang o gamitin ang pangkalahatang tinatanggap na notasyon: ang hanay ng mga natural na numero ay tinukoy ng N, integers - Z, real - R. Halimbawa, kung kailangan nating isulat na ang solusyon sa equation ay anumang integer, pagkatapos ay isusulat namin ang x ∈ Z, at kung may anumang totoo mula isa hanggang siyam, pagkatapos ay y ∈ 1, 9.

Kapag ang isang equation ay may dalawa, tatlo o higit pang mga ugat, kung gayon, bilang isang panuntunan, ang isa ay hindi nagsasalita ng tungkol sa mga ugat, ngunit ng mga solusyon sa equation. Bumalangkas tayo sa kahulugan ng isang solusyon sa isang equation sa maraming mga variable.

Kahulugan 5

Ang solusyon sa isang equation na may dalawa, tatlo o higit pang mga variable ay dalawa, tatlo o higit pang mga halaga ng mga variable na ginagawang isang tunay na pagkakapantay-pantay sa bilang na ito.

Ipaliwanag natin ang kahulugan sa mga halimbawa.

Halimbawa 4

Sabihin nating mayroon kaming isang expression x + y \u003d 7, na isang equation sa dalawang variable. Palitan natin ang isa sa halip na ang una, at dalawa sa halip na ang pangalawa. Makakakuha kami ng isang maling pagkakapantay-pantay, na nangangahulugang ang pares ng mga halagang ito ay hindi magiging isang solusyon sa equation na ito. Kung kukuha kami ng isang pares ng 3 at 4, pagkatapos ay magiging totoo ang pagkakapantay-pantay, na nangangahulugang nakakita kami ng isang solusyon.

Ang mga nasabing equation ay maaari ding walang mga ugat o may walang katapusang bilang ng mga ito. Kung kailangan nating magsulat ng dalawa, tatlo, apat o higit pang mga halaga, sinusulat namin ang mga ito na pinaghihiwalay ng mga kuwit sa panaklong. Iyon ay, sa halimbawa sa itaas, ang sagot ay magiging hitsura ng (3, 4).

Sa pagsasagawa, kadalasan ang isa ay kailangang harapin ang mga equation na naglalaman ng isang variable. Isasaalang-alang namin ang algorithm para sa paglutas ng mga ito nang detalyado sa artikulong nakatuon sa paglutas ng mga equation.

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Ang solusyon ng mga equation sa matematika ay may isang espesyal na lugar. Ang prosesong ito ay naunahan ng maraming oras ng pag-aaral ng teorya, kung saan natututo ang mag-aaral ng mga paraan upang malutas ang mga equation, matukoy ang kanilang uri at dalhin ang kasanayan upang makumpleto ang automatism. Gayunpaman, ang paghahanap para sa mga ugat ay hindi palaging may katuturan, dahil maaaring wala lang sila. Mayroong mga espesyal na diskarte para sa paghahanap ng mga ugat. Sa artikulong ito, susuriin namin ang mga pangunahing pag-andar, ang kanilang mga lugar ng kahulugan, pati na rin ang mga kaso kung nawawala ang kanilang mga ugat.

Aling mga equation ang walang mga ugat?

Ang isang equation ay walang mga ugat kung walang tunay na mga argumento x kung saan ang equation ay magkatulad na totoo. Para sa isang layman, ang pagbabalangkas na ito, tulad ng karamihan sa mga theorem at pormula sa matematika, ay mukhang malabo at abstract, ngunit ito ay nasa teorya. Sa pagsasagawa, lahat ay nagiging sobrang simple. Halimbawa: ang equation 0 * x \u003d -53 ay walang solusyon, dahil walang tulad na bilang x, ang produkto na may zero ay magbibigay ng isang bagay maliban sa zero.

Titingnan namin ngayon ang pinaka-pangunahing uri ng mga equation.

1. Linear equation

Ang isang equation ay tinatawag na linear kung ang kanan at kaliwang panig nito ay kinakatawan bilang mga linear function: ax + b \u003d cx + d o sa pangkalahatang form na kx + b \u003d 0. Kung saan ang a, b, c, d ay kilalang mga numero, at x ay isang hindi kilalang halaga ... Aling mga equation ang walang mga ugat? Ang mga halimbawa ng mga linear equation ay ipinapakita sa ilustrasyon sa ibaba.

Talaga, ang mga linear na equation ay malulutas sa pamamagitan ng simpleng paglilipat ng numerong bahagi sa isang bahagi, at ang nilalaman na may x sa iba pa. Ang isang equation ng form mx \u003d n ay nakuha, kung saan ang m at n ay mga numero, at x ay hindi alam. Upang makahanap ng x, sapat na upang hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng m. Pagkatapos x \u003d n / m. Talaga, ang mga linear equation ay mayroon lamang isang ugat, ngunit may mga kaso kung mayroong walang katapusan na maraming mga ugat o walang mga ugat sa lahat. Para sa m \u003d 0 at n \u003d 0, ang equation ay kumukuha ng form na 0 * x \u003d 0. Ang solusyon sa naturang equation ay magiging ganap na anumang numero.

Gayunpaman, alin ang equation na walang mga ugat?

Para sa m \u003d 0 at n \u003d 0, ang equation ay walang mga ugat sa hanay ng mga totoong numero. 0 * x \u003d -1; 0 * x \u003d 200 - ang mga equation na ito ay walang mga ugat.

2. Quadratic equation

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng form ax 2 + bx + c \u003d 0 para sa a \u003d 0. Ang pinakakaraniwang solusyon ay sa pamamagitan ng diskriminasyon. Ang pormula para sa paghahanap ng diskriminante ng isang quadratic equation: D \u003d b 2 - 4 * a * c. Susunod, mayroong dalawang mga ugat x 1,2 \u003d (-b ± √D) / 2 * a.

Para sa D\u003e 0, ang equation ay may dalawang mga ugat, para sa D \u003d 0 - isang ugat. Ngunit anong quadratic equation ang walang mga ugat? Ang pinakamadaling paraan upang obserbahan ang bilang ng mga ugat ng isang quadratic equation ay ang paggamit ng function graph, na isang parabola. Para sa isang\u003e 0, ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, para sa isang< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Maaari mo ring matukoy nang biswal ang bilang ng mga ugat nang hindi kinakalkula ang diskriminasyon. Upang magawa ito, kailangan mong hanapin ang tuktok ng parabola at tukuyin kung aling direksyon ang nakadirekta sa mga sanga. Maaari mong matukoy ang x coordinate ng vertex gamit ang formula: x 0 \u003d -b / 2a. Sa kasong ito, ang y-coordinate ng vertex ay matatagpuan sa pamamagitan lamang ng pagpapalit ng x 0 sa orihinal na equation.

Ang quadratic equation x 2 - 8x + 72 \u003d 0 ay walang mga ugat, dahil mayroon itong isang negatibong diskriminasyon D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 72 \u003d -224. Nangangahulugan ito na ang parabola ay hindi hawakan ang abscissa axis at ang pag-andar ay hindi kailanman tumatagal ng halagang 0, samakatuwid, ang equation ay walang totoong mga ugat.

3. Mga equation na trigonometric

Ang mga pag-andar ng trigonometric ay isinasaalang-alang sa isang bilog na trigonometric, ngunit maaari rin silang mawakilan sa isang sistemang coordinate ng Cartesian. Sa artikulong ito, titingnan natin ang dalawang pangunahing mga pag-andar ng trigonometric at ang kanilang mga equation: sinx at cosx. Dahil ang mga pagpapaandar na ito ay bumubuo ng isang trigonometric na bilog na may radius na 1, | sinx | at | cosx | hindi maaaring higit sa 1. Kaya't aling equation sinx ang walang mga ugat? Isaalang-alang ang graph ng pagpapaandar ng sinx na ipinakita sa larawan sa ibaba.

Nakita namin na ang pagpapaandar ay simetriko at may tagal ng pag-uulit na 2pi. Batay dito, masasabi nating ang maximum na halaga ng pagpapaandar na ito ay maaaring 1, at ang minimum na -1. Halimbawa, ang expression na cosx \u003d 5 ay hindi magkakaroon ng mga ugat, dahil mas malaki ito sa isa sa ganap na halaga.

Ito ang pinakasimpleng halimbawa ng mga equation na trigonometric. Sa katunayan, ang paglutas sa mga ito ay maaaring tumagal ng maraming mga pahina, sa pagtatapos na mapagtanto mo na ginamit mo ang maling pormula at kailangan mong magsimulang muli. Minsan, kahit na sa wastong paghanap ng mga ugat, makalimutan mong isaalang-alang ang mga hadlang sa LDV, na ang dahilan kung bakit lumilitaw ang isang labis na ugat o agwat sa sagot, at ang buong sagot ay naging isang error. Samakatuwid, mahigpit na sundin ang lahat ng mga paghihigpit, dahil hindi lahat ng mga ugat ay umaangkop sa saklaw ng gawain.

4. Mga sistema ng mga equation

Ang isang sistema ng mga equation ay isang koleksyon ng mga equation na pinag-isa ng kulot o square bracket. Ang mga kulot na braket ay nagpapahiwatig ng magkasamang pagpapatupad ng lahat ng mga equation. Iyon ay, kung hindi bababa sa isa sa mga equation ay walang mga ugat o sumasalungat sa iba, ang buong sistema ay walang solusyon. Ang mga square bracket ay kumakatawan sa salitang "o". Nangangahulugan ito na kung hindi bababa sa isa sa mga equation ng system ay may solusyon, kung gayon ang buong system ay may solusyon.

Ang sagot ng system c ay ang hanay ng lahat ng mga ugat ng mga indibidwal na equation. At ang mga system ng kulot na brace ay may mga karaniwang ugat lamang. Ang mga system ng mga equation ay maaaring magsama ng ganap na magkakaibang mga pag-andar, kaya ang naturang pagiging kumplikado ay hindi pinapayagan kang agad mong sabihin kung aling equation ang walang mga ugat.

Sa mga librong may problema at aklat, mayroong iba't ibang mga uri ng mga equation: ang mga may mga ugat, at ang wala. Una sa lahat, kung hindi mo makita ang mga ugat, huwag isipin na wala man lang. Marahil ay nakagawa ka ng pagkakamali sa isang lugar, kung gayon sapat na upang maingat na suriin ang iyong pasya.

Isinasaalang-alang namin ang pinaka-pangunahing mga equation at kanilang mga uri. Ngayon ay maaari mong sabihin kung aling equation ang walang mga ugat. Sa karamihan ng mga kaso, hindi ito mahirap. Ang tagumpay sa paglutas ng mga equation ay nangangailangan lamang ng pansin at pokus. Magsanay nang higit pa, makakatulong ito sa iyong mag-navigate ng materyal nang mas mahusay at mas mabilis.

Kaya, ang equation ay walang mga ugat kung:

• sa linear equation mx \u003d n, ang halagang m \u003d 0 at n \u003d 0;
• sa isang quadratic equation kung ang diskriminante ay mas mababa sa zero;
• sa isang equonometric equation ng form na cosx \u003d m / sinx \u003d n, kung | m | \u003e 0, | n | \u003e 0;
• sa isang sistema ng mga equation na may kulot na mga braket kung hindi bababa sa isang equation ay walang mga ugat, at may mga square bracket kung ang lahat ng mga equation ay walang mga ugat.