Mga matrice ng Gaussian. Paraan ng Gauss para sa dummies: mga halimbawa ng mga solusyon. Mga problema sa paggamit ng panuntunan sa Gauss

Hayaan ang isang sistema ng mga linear na equation equation na ibibigay, na dapat malutas (hanapin ang mga naturang halaga ng hindi alam na xi na ginagawang isang pagkakapantay-pantay ang bawat equation ng system).

Alam namin na ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay maaaring:

1) Walang mga solusyon (maging hindi pantay-pantay).
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming mga solusyon.
3) Magkaroon ng isang natatanging solusyon.

Tulad ng naaalala namin, ang panuntunan ni Cramer at ang pamamaraan ng matrix ay hindi mailalapat sa mga kaso kung saan ang system ay may walang katapusang maraming mga solusyon o hindi naaayon. Paraan ng Gauss – ang pinaka-makapangyarihang at maraming nalalaman tool para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang sistema ng mga linear equation, kung saan ang sa bawat kasohahantong sa amin sa sagot! Ang algorithm ng pamamaraan mismo ay gumagana nang pareho sa lahat ng tatlong mga kaso. Kung ang kaalaman ng mga tumutukoy ay kinakailangan sa mga pamamaraan ng Cramer at matrix, pagkatapos ay upang mailapat ang pamamaraan ng Gauss, ang kaalaman lamang sa mga pagpapatakbo ng aritmetika ang kinakailangan, na ginagawang ma-access kahit na para sa mga mag-aaral sa pangunahing paaralan.

Pinalawak na mga pagbabago sa matrix ( ito ang matrix ng system - isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficients ng hindi alam, kasama ang isang haligi ng mga libreng term)mga system ng linear algebraic equation sa Gauss na pamamaraan:

1) mula sa mga kuwerdas mga matrice maaari ayusin mulisa mga lugar.

2) kung ang matrix ay naglalaman ng (o) proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - pareho) na mga hilera, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix ang lahat ng mga hilera na ito maliban sa isa.

3) kung ang isang hilera na zero ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabago, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin.

4) ang hilera ng matrix ay maaaring maging dumami (hatiin)sa anumang bilang maliban sa zero.

5) ang hilera ng matrix ay maaaring maging magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numerononzero

Sa pamamaraan ng Gauss, ang mga elementarya na pagbabago ay hindi binabago ang solusyon ng system ng mga equation.

Ang pamamaraan ng Gauss ay binubuo ng dalawang yugto:

1. "Direktang paglipat" - gamit ang mga elementarya na pagbabago upang mabawasan ang pinalawig na matrix ng system ng mga linear na equation ng algebraic sa isang "tatsulok" na stepwise form: ang mga elemento ng pinalawig na matrix na matatagpuan sa ibaba ng pangunahing diagonal ay katumbas ng zero ("top-down" na paglipat). Halimbawa, sa form na ito:

Upang magawa ito, gawin ang mga sumusunod na aksyon:

1) Ipagpalagay na isinasaalang-alang natin ang unang equation ng isang sistema ng mga linear algebraic equation at ang coefficient sa x 1 ay K. Ang pangalawa, pangatlo, atbp. ang mga equation ay binago tulad ng sumusunod: bawat equation (coefficients para sa mga hindi kilalang, kabilang ang mga libreng term) ay hinati sa koepisyent para sa hindi kilalang x 1, na nakatayo sa bawat equation, at pinarami ng K. Pagkatapos nito, binabawas namin ang una mula sa pangalawang equation (mga coefficients para sa mga hindi kilalang at libreng mga termino). Nakukuha namin ang coefficient 0 para x 1 sa pangalawang equation. Ibawas ang unang equation mula sa pangatlong transformed equation hanggang sa lahat ng mga equation, maliban sa una, para sa hindi kilalang x 1 ay may isang coefficient na 0.

2) Pumunta sa susunod na equation. Hayaan itong ang pangalawang equation at ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng M. Sa lahat ng mga "mas mababang" equation na nagpatuloy namin tulad ng inilarawan sa itaas. Kaya, "sa ilalim" ng hindi kilalang x 2 sa lahat ng mga equation ay magiging zero.

3) Pumunta sa susunod na equation at iba pa hanggang sa may huling hindi alam at nabago ang libreng term.

1. "Reverse" ng paraan ng Gauss - pagkuha ng isang solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation ng algebraic ("ilalim-up" na paglipat). Mula sa huling "mas mababang" equation nakakakuha kami ng isang unang solusyon - ang hindi kilalang x n. Upang magawa ito, nilulutas namin ang equation ng elementarya A * x n \u003d B. Sa halimbawa sa itaas, x 3 \u003d 4. Palitan ang nahanap na halaga sa "itaas" na susunod na equation at lutasin ito patungkol sa susunod na hindi alam. Halimbawa, x 2 - 4 \u003d 1, ibig sabihin x 2 \u003d 5. At iba pa hanggang sa makita natin ang lahat ng hindi alam.

Halimbawa.

Solusyunan natin ang sistema ng mga linear equation ng pamamaraan ng Gauss, tulad ng payo ng ilang mga may-akda:

Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Tumingin kami sa kaliwang itaas na "hakbang". Dapat may unit tayo doon. Ang problema ay wala sa mga unang haligi, kaya't ang muling pagbago ng mga hilera ay hindi malulutas ang anuman. Sa ganitong mga kaso, ang yunit ay kailangang isaayos gamit ang isang elementarya na pagbabago. Karaniwan itong maaaring magawa sa maraming paraan. Gawin natin ito:
1 hakbang ... Idagdag ang pangalawang linya na pinarami ng -1 sa unang linya. Iyon ay, pinarami namin ng itak ang pangalawang linya ng –1 at idinagdag ang una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa kaliwang tuktok ay "minus one", na mainam para sa amin. Ang sinumang nais na makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng isang karagdagang pagkilos: paramihin ang unang linya sa pamamagitan ng -1 (baguhin ang tanda nito).

Hakbang 2 ... Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa pangatlong linya.

Hakbang 3 ... Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang palatandaan ng pangatlong linya ay binago din at inilipat ito sa pangalawang lugar, sa gayon, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming kinakailangang yunit.

Hakbang 4 ... Ang pangatlong linya ay idinagdag sa pangalawang linya na pinarami ng 2.

Hakbang 5 ... Ang ikatlong linya ay hinati ng 3.

Ang isang pag-sign na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas madalas - isang typo) ay ang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung sa ibaba nakuha namin ang isang bagay tulad ng (0 0 11 | 23), at, nang naaayon, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, pagkatapos ay may isang mataas na antas ng posibilidad na maipagtalo na ang isang error ay nagawa sa mga pagbabagong elementarya.

Isinasagawa namin ang pabalik na paglipat, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling nasusulat, at ang mga equation "ay direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix." Ang pabalik na paglipat, ipaalala ko sa iyo, ay gumagana mula sa ibaba hanggang. Sa halimbawang ito, nakakuha kami ng isang regalo:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, samakatuwid x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Sagot: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Malutas natin ang parehong system alinsunod sa ipinanukalang algorithm. Nakukuha natin

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Hatiin ang pangalawang equation ng 5 at ang pangatlo ng 3. Nakukuha namin ang:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pinaparami ang pangalawa at pangatlong equation ng 4, nakukuha namin ang:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Inaalis ang unang equation mula sa pangalawa at pangatlong equation, mayroon kaming:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Hatiin ang pangatlong equation ng 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

I-multiply ang pangatlong equation ng 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Ang pagbabawas ng pangalawa mula sa pangatlong equation, nakakakuha kami ng isang "stepwise" na pinalawak na matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Samakatuwid, dahil ang isang error na naipon sa kurso ng mga kalkulasyon, nakakakuha kami ng x 3 \u003d 0.96 o humigit-kumulang na 1.

x 2 \u003d 3 at x 1 \u003d –1.

Ang paglutas sa ganitong paraan, hindi ka malilito sa mga kalkulasyon at, sa kabila ng mga pagkakamali sa pagkalkula, makukuha mo ang resulta.

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation equation ay madaling mai-program at hindi isinasaalang-alang ang mga tukoy na tampok ng mga coefficients para sa mga hindi kilalang, dahil sa pagsasanay (sa mga kalkulasyong pang-ekonomiya at panteknikal) kailangang makitungo sa mga coefficients na hindi integer.

Nagaasam ng iyong tagumpay! Sa muling pagkikita sa klase! Tutor.

site ng blog, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ng isang link sa mapagkukunan.

Hayaan ang isang sistema ng mga linear na equation equation na ibibigay, na dapat malutas (hanapin ang mga naturang halaga ng hindi alam na xi na ginagawang isang pagkakapantay-pantay ang bawat equation ng system).

Alam namin na ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay maaaring:

1) Walang mga solusyon (maging hindi pantay-pantay).
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming mga solusyon.
3) Magkaroon ng isang natatanging solusyon.

Tulad ng naaalala namin, ang panuntunan ni Cramer at ang pamamaraan ng matrix ay hindi mailalapat sa mga kaso kung saan ang system ay may walang katapusang maraming mga solusyon o hindi naaayon. Paraan ng Gauss – ang pinaka-makapangyarihang at maraming nalalaman tool para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang sistema ng mga linear equation, kung saan ang sa bawat kasohahantong sa amin sa sagot! Ang algorithm ng pamamaraan mismo ay gumagana nang pareho sa lahat ng tatlong mga kaso. Kung ang kaalaman ng mga tumutukoy ay kinakailangan sa mga pamamaraan ng Cramer at matrix, pagkatapos ay upang mailapat ang pamamaraan ng Gauss, ang kaalaman lamang sa mga pagpapatakbo ng aritmetika ang kinakailangan, na ginagawang ma-access kahit na para sa mga mag-aaral sa pangunahing paaralan.

Pinalawak na mga pagbabago sa matrix ( ito ang matrix ng system - isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficients ng hindi alam, kasama ang isang haligi ng mga libreng term)mga system ng linear algebraic equation sa Gauss na pamamaraan:

1) mula sa mga kuwerdas mga matrice maaari ayusin mulisa mga lugar.

2) kung ang matrix ay naglalaman ng (o) proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - pareho) na mga hilera, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix ang lahat ng mga hilera na ito maliban sa isa.

3) kung ang isang hilera na zero ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabago, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin.

4) ang hilera ng matrix ay maaaring maging dumami (hatiin)sa anumang bilang maliban sa zero.

5) ang hilera ng matrix ay maaaring maging magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numerononzero

Sa pamamaraan ng Gauss, ang mga elementarya na pagbabago ay hindi binabago ang solusyon ng system ng mga equation.

Ang pamamaraan ng Gauss ay binubuo ng dalawang yugto:

1. "Direktang paglipat" - gamit ang mga elementarya na pagbabago upang mabawasan ang pinalawig na matrix ng system ng mga linear na equation ng algebraic sa isang "tatsulok" na stepwise form: ang mga elemento ng pinalawig na matrix na matatagpuan sa ibaba ng pangunahing diagonal ay katumbas ng zero ("top-down" na paglipat). Halimbawa, sa form na ito:

Upang magawa ito, gawin ang mga sumusunod na aksyon:

1) Ipagpalagay na isinasaalang-alang natin ang unang equation ng isang sistema ng mga linear algebraic equation at ang coefficient sa x 1 ay K. Ang pangalawa, pangatlo, atbp. ang mga equation ay binago tulad ng sumusunod: bawat equation (coefficients para sa mga hindi kilalang, kabilang ang mga libreng term) ay hinati sa koepisyent para sa hindi kilalang x 1, na nakatayo sa bawat equation, at pinarami ng K. Pagkatapos nito, binabawas namin ang una mula sa pangalawang equation (mga coefficients para sa mga hindi kilalang at libreng mga termino). Nakukuha namin ang coefficient 0 para x 1 sa pangalawang equation. Ibawas ang unang equation mula sa pangatlong transformed equation hanggang sa lahat ng mga equation, maliban sa una, para sa hindi kilalang x 1 ay may isang coefficient na 0.

2) Pumunta sa susunod na equation. Hayaan itong ang pangalawang equation at ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng M. Sa lahat ng mga "mas mababang" equation na nagpatuloy namin tulad ng inilarawan sa itaas. Kaya, "sa ilalim" ng hindi kilalang x 2 sa lahat ng mga equation ay magiging zero.

3) Pumunta sa susunod na equation at iba pa hanggang sa may huling hindi alam at nabago ang libreng term.

1. "Reverse" ng paraan ng Gauss - pagkuha ng isang solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation ng algebraic ("ilalim-up" na paglipat). Mula sa huling "mas mababang" equation nakakakuha kami ng isang unang solusyon - ang hindi kilalang x n. Upang magawa ito, nilulutas namin ang equation ng elementarya A * x n \u003d B. Sa halimbawa sa itaas, x 3 \u003d 4. Palitan ang nahanap na halaga sa "itaas" na susunod na equation at lutasin ito patungkol sa susunod na hindi alam. Halimbawa, x 2 - 4 \u003d 1, ibig sabihin x 2 \u003d 5. At iba pa hanggang sa makita natin ang lahat ng hindi alam.

Halimbawa.

Solusyunan natin ang sistema ng mga linear equation ng pamamaraan ng Gauss, tulad ng payo ng ilang mga may-akda:

Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Tumingin kami sa kaliwang itaas na "hakbang". Dapat may unit tayo doon. Ang problema ay wala sa mga unang haligi, kaya't ang muling pagbago ng mga hilera ay hindi malulutas ang anuman. Sa ganitong mga kaso, ang yunit ay kailangang isaayos gamit ang isang elementarya na pagbabago. Karaniwan itong maaaring magawa sa maraming paraan. Gawin natin ito:
1 hakbang ... Idagdag ang pangalawang linya na pinarami ng -1 sa unang linya. Iyon ay, pinarami namin ng itak ang pangalawang linya ng –1 at idinagdag ang una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa kaliwang tuktok ay "minus one", na mainam para sa amin. Ang sinumang nais na makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng isang karagdagang pagkilos: paramihin ang unang linya sa pamamagitan ng -1 (baguhin ang tanda nito).

Hakbang 2 ... Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa pangatlong linya.

Hakbang 3 ... Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang palatandaan ng pangatlong linya ay binago din at inilipat ito sa pangalawang lugar, sa gayon, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming kinakailangang yunit.

Hakbang 4 ... Ang pangatlong linya ay idinagdag sa pangalawang linya na pinarami ng 2.

Hakbang 5 ... Ang ikatlong linya ay hinati ng 3.

Ang isang pag-sign na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas madalas - isang typo) ay ang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung sa ibaba nakuha namin ang isang bagay tulad ng (0 0 11 | 23), at, nang naaayon, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, pagkatapos ay may isang mataas na antas ng posibilidad na maipagtalo na ang isang error ay nagawa sa mga pagbabagong elementarya.

Isinasagawa namin ang pabalik na paglipat, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling nasusulat, at ang mga equation "ay direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix." Ang pabalik na paglipat, ipaalala ko sa iyo, ay gumagana mula sa ibaba hanggang. Sa halimbawang ito, nakakuha kami ng isang regalo:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, samakatuwid x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Sagot: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Malutas natin ang parehong system alinsunod sa ipinanukalang algorithm. Nakukuha natin

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Hatiin ang pangalawang equation ng 5 at ang pangatlo ng 3. Nakukuha namin ang:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pinaparami ang pangalawa at pangatlong equation ng 4, nakukuha namin ang:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Inaalis ang unang equation mula sa pangalawa at pangatlong equation, mayroon kaming:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Hatiin ang pangatlong equation ng 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

I-multiply ang pangatlong equation ng 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Ang pagbabawas ng pangalawa mula sa pangatlong equation, nakakakuha kami ng isang "stepwise" na pinalawak na matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Samakatuwid, dahil ang isang error na naipon sa kurso ng mga kalkulasyon, nakakakuha kami ng x 3 \u003d 0.96 o humigit-kumulang na 1.

x 2 \u003d 3 at x 1 \u003d –1.

Ang paglutas sa ganitong paraan, hindi ka malilito sa mga kalkulasyon at, sa kabila ng mga pagkakamali sa pagkalkula, makukuha mo ang resulta.

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation equation ay madaling mai-program at hindi isinasaalang-alang ang mga tukoy na tampok ng mga coefficients para sa mga hindi kilalang, dahil sa pagsasanay (sa mga kalkulasyong pang-ekonomiya at panteknikal) kailangang makitungo sa mga coefficients na hindi integer.

Nagaasam ng iyong tagumpay! Sa muling pagkikita sa klase! Tutor Dmitry Aistrakhanov.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ng isang link sa mapagkukunan.

Solusyon ng mga system ng mga linear equation ng pamamaraan ng Gauss.Kailangan nating maghanap ng solusyon sa system mula sa n mga linear equation na may n hindi kilalang mga variable
ang tumutukoy ng pangunahing matrix na kung saan ay nonzero.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ng Gauss binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng hindi kilalang mga variable: una, x 1 mula sa lahat ng mga equation ng system, simula sa pangalawa, karagdagang ibukod x 2ng lahat ng mga equation, simula sa pangatlo, at iba pa, hanggang sa huling equation ay naglalaman lamang ng hindi kilalang variable x n... Ang ganitong proseso ng pagbabago ng mga equation ng system para sa sunud-sunod na pag-aalis ng hindi kilalang mga variable ay tinawag sa pamamagitan ng direktang kurso ng pamamaraan ng Gauss... Matapos makumpleto ang pasulong na pagpapatakbo ng pamamaraan ng Gauss, mula sa huling equation, nakita namin x n, ang paggamit ng halagang ito mula sa penultimate equation ay kinakalkula x n-1, at iba pa, mula sa unang equation na nakita namin x 1... Ang proseso ng pagkalkula ng hindi kilalang mga variable kapag lumipat mula sa huling equation ng system patungo sa una ay tinawag paatras na pamamaraan ng Gaussian.

Maikli naming ilarawan ang algorithm para sa pag-aalis ng hindi kilalang mga variable.

Ipagpalagay namin iyon, dahil palagi naming makakamit ito sa pamamagitan ng pag-aayos ng mga equation ng system. Tanggalin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa lahat ng mga equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, sa pangalawang equation ng system, idinagdag namin ang una, pinarami ng, sa pangatlong equation idinagdag namin ang una, pinarami ng, at iba pa, sa nthsa equation idinagdag namin ang una, pinarami ng. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng naturang mga pagbabago ay kumukuha ng form

kung saan, a.

Darating kami sa parehong resulta kung ipahayag namin x 1 sa pamamagitan ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at ang nagresultang ekspresyon ay pinalitan ng lahat ng iba pang mga equation. Kaya ang variable x 1 naibukod mula sa lahat ng mga equation, nagsisimula sa pangalawa.

Para sa mga ito, sa pangatlong equation ng system idinagdag namin ang pangalawang pinarami ng, sa ika-apat na equation idinagdag namin ang pangalawang pinarami ng, at iba pa, sa nthsa equation ay idinagdag namin ang pangalawa, pinarami ng. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng naturang mga pagbabago ay kumukuha ng form

kung saan, a. Kaya ang variable x 2 ibinukod mula sa lahat ng mga equation na nagsisimula sa pangatlo.

Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang kurso ng pamamaraan ng Gauss hanggang sa makuha ng form ang system

Mula sa puntong ito, sinisimulan namin ang pabalik na kurso ng pamamaraan ng Gauss: kalkulahin x n mula sa huling equation bilang, gamit ang nakuha na halaga x n hanapin x n-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, nakita namin x 1 mula sa unang equation.

Halimbawa.

Malutas ang sistema ng mga linear equation gamit ang Gaussian na pamamaraan. ...

Sagot:

x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

KOSTROM BRANCH NG MILITARY UNIVERSITY NG RHB PROTECTION

Kagawaran ng "Awtomatiko ng utos at kontrol ng mga tropa"

Para sa mga guro lamang

"Sang-ayon ako"

Pinuno ng departamento bilang 9

si Koronel A.B. YAKOVLEV

"____" ______________ 2004

associate Professor A.I. SMIRNOVA

"MATRIXES. PARAAN NG GAUSS"

LECTURE Blg. 2/3

Tinalakay sa pagpupulong ng departamento bilang 9

"____" ___________ 2003

Minuto Blg.

Kostroma, 2003

Ckinahuhumalingan

Panimula

1. Mga kilos sa matrices.

2. Solusyon ng mga system ng mga linear equation ng pamamaraan ng Gauss.

Konklusyon

Panitikan

1. V.E. Schneider et al., Maikling Kurso sa Mas Mataas na Matematika, Dami I, Ch. 2, §6, 7.

2.V.S. Shchipachev, Mas Mataas na Matematika, Ch. 10, § 1, 7.

PANIMULA

Tinatalakay ng panayam ang konsepto ng isang matrix, mga aksyon sa mga matris, pati na rin ang pamamaraan ng Gauss para sa paglutas ng mga system ng mga linear equation. Para sa isang espesyal na kaso, ang tinatawag na square matrices, maaaring kalkulahin ng isa ang mga tumutukoy, na ang konsepto ay tinalakay sa nakaraang panayam. Ang pamamaraan ni Gauss ay mas pangkalahatan kaysa sa dating isinasaalang-alang na pamamaraan ng Cramer para sa paglutas ng mga linear system. Ang mga katanungang tinalakay sa panayam ay ginagamit sa iba`t ibang mga sangay ng matematika at sa mga inilapat na katanungan.

1st na tanong ng pag-aaral ACTIONS SA MATRICES

KAHULUGAN 1. Parihabang mesa mula sam, n mga numero na naglalamanm - mga linya atn - mga haligi, uri:

tinawag size matrix m ´ n

Ang mga numero na bumubuo sa matrix ay tinatawag mga elemento ng matrix.

Posisyon ng item at ako j sa matrix ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang dobleng index:

ang una ako - numero ng linya;

pangalawa j - ang bilang ng haligi sa intersection kung saan nakatayo ang elemento.

Sa dinaglat na form, ang mga matrice ay ipinahiwatig sa malalaking titik: A, B, C ...

Sa madaling sabi, maaari kang magsulat ng tulad nito:

KAHULUGAN 2.Isang matrix na may bilang ng mga hilera na katumbas ng bilang ng mga haligi, ibig sabihinm = n ay tinatawag na parisukat

Ang bilang ng mga hilera (haligi) ng isang parisukat na matrix ay tinatawag na pagkakasunud-sunod ng matrix.

HALIMBAWA.

TANDAAN 1. Isasaalang-alang namin ang mga matrice na ang mga entry ay bilang. Sa matematika at mga aplikasyon nito, may mga matrice na ang mga elemento ay iba pang mga bagay, halimbawa, mga pag-andar, vector.

TANDAAN 2. Ang Matrix ay isang espesyal na konsepto ng matematika. Sa tulong ng mga matrice, maginhawa ang pagsulat ng iba't ibang mga pagbabago, mga linear na sistema, atbp. Samakatuwid ang mga matrice ay madalas na matatagpuan sa matematika at teknikal na panitikan.

KAHULUGAN 3.Size Matrix1 nisang linya ang tinawag matrix - string.

T-size matrix1 na binubuo ng isang haligi ay tinawag matrix - haligi.

KAHULUGAN 4. Zero Matrix tinatawag na isang matrix, ang lahat ng mga elemento na kung saan ay zero.

Isaalang-alang ang isang parisukat na matrix ng pagkakasunud-sunod n:

diagonal sa gilid

pangunahing dayagonal

Ang dayagonal ng isang square matrix na pupunta mula sa itaas na kaliwang elemento ng talahanayan patungo sa ibabang kanan ay tinawag ang pangunahing dayagonal ng matrix (ang pangunahing dayagonal ay naglalaman ng mga elemento ng form at ako ako).

Ang diagonal na pagpunta mula sa kanang tuktok na elemento hanggang sa ibabang kaliwa ay tinatawag side diagonal ng matrix.

Isaalang-alang natin ang ilang mga espesyal na uri ng mga parisukat na matrice.

1) Isang square matrix ang tinawag dayagonalkung ang lahat ng mga elemento na wala sa pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero.

2) Ang isang diagonal matrix kung saan ang lahat ng mga elemento ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng isa ay tinawag walang asawa... Ipinapahiwatig ito:

3) Isang square matrix ang tinawag tatsulok, kung ang lahat ng mga elemento sa isang bahagi ng pangunahing diagonal ay zero:

itaas na ibabang

triangular matrix triangular matrix

Para sa isang square matrix, ipinakilala ang konsepto: nagpapasiya ng isang matrix... Ito ay isang tumutukoy na binubuo ng mga elemento ng matrix. Ito ay ipinahiwatig:

Ito ay malinaw na ang tumutukoy ng pagkakakilanlan matrix ay katumbas ng 1: 1 E½ \u003d 1

KOMENTARYO. Ang isang hindi parisukat na matris ay walang mapagtukoy.

Kung ang tumutukoy ng isang quadratic matrix ay nonzero, pagkatapos ay ang matrix ay tinatawag hindi nabubulok, kung ang determinant ay zero, kung gayon ang matrix ay tinatawag lumala

KAHULUGAN 5. Ang matrix na nakuha mula dito sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga hilera nito ng mga haligi na may parehong mga numero ay tinawag nagbalhin sa ibinigay.

Matrix transposed sa AT, magpahiwatig A T.

HALIMBAWA.

3 3 2

KAHULUGAN.Dalawang matris na may parehong laki ang tinawag pantay, kung ang lahat ng kanilang kaukulang elemento ay pantay .

Isaalang-alang natin ang mga pagpapatakbo sa mga matrice.

ADD OF MATRIXES.

Ang pagpapatakbo ng karagdagan ay ipinakilala lamang para sa mga matrice ng parehong laki.

KAHULUGAN 7. Ang kabuuan ng dalawang matrices A \u003d (a ako j ) at B \u003d ( b i j ) ang parehong laki ang matrix С \u003d (kasama ako j) ng parehong laki, na ang mga elemento ay katumbas ng mga kabuuan ng mga kaukulang elemento ng mga term ng matrix, ibig sabihin mula sa ako j \u003d a i j + b i j

Ang kabuuan ng mga matrice ay naipahiwatig A + B.

HALIMBAWA.

TUNAY NA PAGDAMI NG MATRICES

KAHULUGAN 8.Upang maparami ang isang matrix ng isang numerok, kailangan mong i-multiply ang bawat elemento ng matrix sa pamamagitan ng numerong ito:

kung ang A \u003d(at ako j )tapos k · A= (k · a ako j )

HALIMBAWA.

PROPERTIES OF MATRIX ADD AND MULTIPLICATION BY NUMBER

1. Pag-aari ng pag-aalis: A + B \u003d B + A

2. Pag-aari ng kumbinasyon: (A + B) + C \u003d A + (B + C)

3. Pag-aari ng pamamahagi: k · (A + B) = k A + k Bkung saan k – numero

MATRIX MULTIPLICATION

Ang matrix ATtatawaging isang globule na may matrix SAkung ang bilang ng mga haligi ng matrix AT ay katumbas ng bilang ng mga hilera ng matrix SA, ibig sabihin para sa pare-parehong matrices ang matrix AT may sukat m ´ n , matrix SA may sukat n ´ k . Ang mga parisukat na matrice ay pare-pareho kung magkapareho ang order.

KAHULUGAN 9.Produkto ng matrix A ng lakim ´ n bawat laki ng matrix Bn ´ k tinawag na isang matrix C ng lakim ´ kkaninong elemento a ako j na matatagpuan saako -Th linya atj - ika haligi, ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elementoako - ika hilera ng matrix A sa mga kaukulang elementoj - haligi ng matrix B, ibig sabihin

c ako j = a ako 1 b 1 j + a ako 2 b 2 j +……+ a ako n b n j

Isinasaad namin: C \u003d A· SA.

tapos

Komposisyon SA´ AT ay walang katuturan, sapagkat mga matrice

hindi pumayag

TANDAAN 1. Kung AT´ SA may katuturan noon SA´ AT maaaring hindi magkaroon ng kahulugan.

TANDAAN 2. Kung may katuturan ito AT´ SA at SA´ AT, kung gayon, sa pangkalahatan ay nagsasalita

AT´ SA ¹ SA´ AT, ibig sabihin ang pagpaparami ng matrix ay walang batas sa transposisyon.

TANDAAN 3. Kung ATAy isang parisukat na matris at EAng identidad matrix ba ng parehong pagkakasunud-sunod, pagkatapos AT´ E= E´ A \u003d A.

Mula dito sumusunod na ang identity matrix ay gumaganap ng papel ng pagkakaisa sa pagpaparami.

HALIMBAWA... Hanapin, kung maaari, AT´ SA at SA´ AT.

Desisyon: Ang mga parisukat na matrice ng parehong pangalawang pagkakasunud-sunod ay naitugma sa parehong pagkakasunud-sunod at samakatuwid AT´ SA at SA´ AT mayroon