220400 Algebra at geometry Tolstikov A.V.

Mga Lektura 16. Bilinear at quadratic na mga anyo.

Plano

1. Bilinear form at mga katangian nito.

2. Quadratic form. Matrix ng quadratic form. Pagbabago ng coordinate.

3. Pagbawas ng quadratic form sa kanonikal na anyo. Paraan ng Lagrange.

4. Ang batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo.

5. Pagbawas ng isang parisukat na anyo sa isang kanonikal na anyo gamit ang paraan ng eigenvalue.

6. Ang pamantayan ng Silverst para sa positibong katiyakan ng isang parisukat na anyo.

1 kurso analytical geometry at linear algebra. Moscow: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Mga elemento ng linear algebra at analytic geometry. 1997.

3. Voevodin V.V. Linear Algebra. M.: Nauka 1980.

4. Koleksyon ng mga gawain para sa mga teknikal na kolehiyo. Linear Algebra at Fundamentals of Mathematical Analysis. Ed. Efimov A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Linear algebra sa mga tanong at problema. Moscow: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Bilinear form at mga katangian nito. Hayaan V - n-dimensional na vector space sa ibabaw ng field P.

Kahulugan 1.bilinear form tinukoy sa V, ang ganitong pagpapakita ay tinatawag g: V2® P, na sa bawat nakaayos na pares ( x , y ) mga vector x , y ng mga inilalagay V tumugma sa numero mula sa field P, ipinahiwatig g(x , y ), at linear sa bawat isa sa mga variable x , y , ibig sabihin. pagkakaroon ng mga katangian:

1) ("x , y , z Î V)g(x + y , z ) = g(x , z ) + g(y , z );

2) ("x , y Î V) ("a О P)g(a x , y ) = a g(x , y );

3) ("x , y , z Î V)g(x , y + z ) = g(x , y ) + g(x , z );

4) ("x , y Î V) ("a О P)g(x , a y ) = a g(x , y ).

Halimbawa 1. Anuman produktong scalar, tinukoy sa espasyo ng vector V ay isang bilinear form.

2 . Function h(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 +x 2 y 1, saan x = (x 1 ,x 2), y = (y 1 ,y 2) О R 2, bilinear form sa R 2 .

Kahulugan 2. Hayaan v = (v 1 , v 2 ,…, v n v.Matrix ng bilinear formg(x , y ) kaugnay sa batayanv tinatawag na matrix B=(b ij)n ´ n, na ang mga elemento ay kinakalkula ng formula b ij = g(v i, v j):

Halimbawa 3. Matrix bilinear form h(x , y ) (tingnan ang Halimbawa 2) na may kinalaman sa batayan e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) ay katumbas ng .

Teorama 1. HayaanX, Y-coordinate na mga column ayon sa pagkakabanggit ng mga vectorx , y sa batayanv, B - matrix ng bilinear formg(x , y ) kaugnay sa batayanv. Pagkatapos ang bilinear form ay maaaring isulat bilang

g(x , y )=X t NG. (1)

Patunay. Sa pamamagitan ng mga katangian ng bilinear form, nakukuha namin

Halimbawa 3. bilinear form h(x , y ) (tingnan ang halimbawa 2) ay maaaring isulat bilang h(x , y )=.

Teorama 2. Hayaan v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - dalawang vector space baseV, T - transition matrix mula sa batayanv sa batayanu. Hayaan B= (b ij)n ´ n at SA=(kasama si ij)n ´ n - matrices ng bilinear formg(x , y ) ayon sa pagkakabanggit tungkol sa mga basev atu. Pagkatapos

SA=T t BT.(2)

Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng transition matrix at ang matrix ng bilinear form, makikita natin ang:



Kahulugan 2. Bilinear na anyo g(x , y ) ay tinatawag na simetriko, kung g(x , y ) = g(y , x ) para sa alinman x , y Î v.

Teorama 3. Bilinear na anyog(x , y )- simetriko kung at tanging kung ang matrix ng bilinear na anyo ay simetriko sa anumang batayan.

Patunay. Hayaan v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - batayan ng espasyo ng vector V, B= (b ij)n ´ n- matrices ng bilinear form g(x , y ) na may kaugnayan sa batayan v. Hayaang mabuo ang bilinear g(x , y ) ay simetriko. Pagkatapos sa pamamagitan ng kahulugan 2 para sa alinman ako, j = 1, 2,…, n meron kami b ij = g(v i, v j) = g(v j, v i) = bji. Tapos yung matrix B- simetriko.

Sa kabaligtaran, hayaan ang matris B- simetriko. Pagkatapos Bt= B at para sa anumang mga vectors x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vx, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, ayon sa formula (1), nakukuha namin (isinasaalang-alang namin na ang numero ay isang matrix ng order 1, at hindi nagbabago sa panahon ng transposisyon)

g(x , y ) =g(x , y )t = (X t NG)t = Y t B t X = g(y , x ).

2. Quadratic form. Matrix ng quadratic form. Pagbabago ng coordinate.

Kahulugan 1.parisukat na anyo tinutukoy sa V, ay tinatawag na pagmamapa f:V® P, na para sa anumang mga vector x mula sa V ay tinukoy ng pagkakapantay-pantay f(x ) = g(x , x ), saan g(x , y ) ay isang simetriko bilinear form na tinukoy sa V .

Ari-arian 1.Sa pamamagitan ng isang ibinigay na parisukat na anyof(x )ang bilinear na anyo ay natatangi sa pamamagitan ng formula

g(x , y ) = 1/2(f(x + y ) - f(x )-f(y )). (1)

Patunay. Para sa anumang mga vectors x , y Î V nakukuha natin sa pamamagitan ng mga katangian ng bilinear form

f(x + y ) = g(x + y , x + y ) = g(x , x + y ) + g(y , x + y ) = g(x , x ) + g(x , y ) + g(y , x ) + g(y , y ) = f(x ) + 2g(x , y ) + f(y ).

Ang formula (1) ay sumusunod mula dito.

Kahulugan 2.Matrix ng quadratic formf(x ) kaugnay sa batayanv = (v 1 , v 2 ,…, v n) ay ang matrix ng katumbas na simetriko na anyo ng bilinear g(x , y ) na may kaugnayan sa batayan v.

Teorama 1. HayaanX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- column ng vector coordinatex sa batayanv, B - quadratic form matrixf(x ) kaugnay sa batayanv. Pagkatapos ay ang parisukat na anyof(x )

Panimula

quadratic form canonical form equation

Sa una, ang teorya ng mga parisukat na anyo ay ginamit upang pag-aralan ang mga kurba at mga ibabaw na ibinigay ng pangalawang-order na mga equation na naglalaman ng dalawa o tatlong mga variable. Nang maglaon, natagpuan ng teoryang ito ang iba pang mga aplikasyon. Sa partikular, kapag pagmomodelo ng matematika mga prosesong pang-ekonomiya ang mga layuning function ay maaaring maglaman ng mga parisukat na termino. Maraming mga aplikasyon ng mga parisukat na anyo ang nangangailangan ng pagtatayo pangkalahatang teorya, kapag ang bilang ng mga variable ay katumbas ng anuman, at ang mga coefficient ng quadratic form ay hindi palaging tunay na mga numero.

Ang teorya ng mga quadratic form ay unang binuo ng French mathematician na si Lagrange, na nagmamay-ari ng maraming ideya sa teoryang ito, lalo na, ipinakilala niya ang mahalagang konsepto ng pinababang anyo, sa tulong kung saan napatunayan niya ang finiteness ng bilang ng mga klase ng binary. mga parisukat na anyo ng isang naibigay na discriminant. Pagkatapos ang teoryang ito ay makabuluhang pinalawak ni Gauss, na nagpakilala ng maraming bagong konsepto, sa batayan kung saan siya ay nakakuha ng mga patunay ng mahirap at malalim na mga theorems sa teorya ng numero na umiwas sa kanyang mga nauna sa lugar na ito.

Ang layunin ng gawain ay pag-aralan ang mga uri ng mga parisukat na anyo at mga paraan upang mabawasan ang mga parisukat na anyo sa kanonikal na anyo.

Sa gawaing ito, ang mga sumusunod na gawain ay itinakda: upang piliin ang kinakailangang panitikan, isaalang-alang ang mga kahulugan at pangunahing theorems, upang malutas ang isang bilang ng mga problema sa paksang ito.

Pagbawas ng isang parisukat na anyo sa isang kanonikal na anyo

Ang mga pinagmulan ng teorya ng mga parisukat na anyo ay nasa analytic geometry, lalo na sa teorya ng mga kurba (at mga ibabaw) ng pangalawang pagkakasunud-sunod. Ito ay kilala na ang equation ng central curve ng pangalawang order sa eroplano, pagkatapos ilipat ang pinagmulan ng rectangular coordinates sa gitna ng curve na ito, ay may anyo.

na sa mga bagong coordinate ang equation ng ating curve ay magkakaroon ng "canonical" form

sa equation na ito, ang coefficient sa produkto ng mga hindi alam ay, samakatuwid, zero. Ang pagbabagong-anyo ng mga coordinate (2) ay malinaw na maaaring bigyang-kahulugan bilang isang linear na pagbabagong-anyo ng mga hindi alam, bukod pa rito, di-degenerate, dahil ang determinant ng mga coefficient nito ay katumbas ng isa. Ang pagbabagong ito ay inilapat sa kaliwang bahagi ng equation (1), at samakatuwid ay masasabi na ang kaliwang bahagi ng equation (1) ay binago ng isang non-degenerate linear transformation (2) sa kaliwang bahagi ng equation (3) .

Maraming mga aplikasyon ang nangangailangan ng pagbuo ng isang katulad na teorya para sa kaso kapag ang bilang ng mga hindi alam sa halip na dalawa ay katumbas ng anuman, at ang mga coefficient ay alinman sa tunay o anumang kumplikadong mga numero.

Pag-generalize ng expression sa kaliwang bahagi ng equation (1), dumating tayo sa sumusunod na konsepto.

Ang isang parisukat na anyo sa mga hindi alam ay isang kabuuan kung saan ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga hindi alam na ito o ang produkto ng dalawang magkaibang hindi alam. Ang isang parisukat na anyo ay tinatawag na real o kumplikado depende sa kung ang mga coefficient nito ay totoo o maaaring maging anumang kumplikadong mga numero.

Ipagpalagay na ang pagbabawas ng mga katulad na termino ay nagawa na sa parisukat na anyo, ipinakilala namin ang sumusunod na notasyon para sa mga coefficient ng form na ito: tinutukoy namin ang coefficient ng at by, at ang coefficient ng produkto ng para sa - by (ihambing sa ( 1)!).

Dahil, gayunpaman, ang koepisyent ng produktong ito ay maaari ding tukuyin ng, i.e. ang notasyong ipinakilala namin ay nagpapahiwatig ng bisa ng pagkakapantay-pantay

Ang termino ay maaari na ngayong isulat sa form

at ang buong parisukat na anyo - bilang kabuuan ng lahat ng posibleng termino, kung saan at nang nakapag-iisa sa bawat isa ay kumukuha ng mga halaga mula 1 hanggang:

sa partikular, para sa, ang termino

Mula sa mga coefficient ang isa ay malinaw na makakabuo ng isang parisukat na matrix ng pagkakasunud-sunod; ito ay tinatawag na matrix ng parisukat na anyo, at ang ranggo nito ay tinatawag na ranggo ng parisukat na anyo na ito.

Kung, sa partikular, i.e. matrix ay non-degenerate, pagkatapos ay ang quadratic form ay tinatawag ding non-degenerate. Sa view ng pagkakapantay-pantay (4), ang mga elemento ng matrix A, na simetriko na may paggalang sa pangunahing dayagonal, ay katumbas ng bawat isa, i.e. ang matrix A ay simetriko. Sa kabaligtaran, para sa anumang simetriko matrix A ng pagkakasunud-sunod, ang isa ay maaaring magpahiwatig ng isang mahusay na tinukoy na quadratic form (5) sa mga hindi alam, na may mga elemento ng matrix A sa pamamagitan ng mga coefficient nito.

Ang quadratic form (5) ay maaaring isulat sa ibang anyo gamit ang rectangular matrix multiplication. Sumang-ayon muna tayo sa sumusunod na notasyon: kung ang isang parisukat o sa pangkalahatan ay hugis-parihaba na matrix A ay ibinigay, ang matrix na nakuha mula sa matrix A sa pamamagitan ng transposisyon ay ilalarawan ng . Kung ang mga matrice A at B ay tulad na ang kanilang produkto ay tinukoy, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay magaganap:

mga. ang matrix na nakuha sa pamamagitan ng transposing ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga matrice na nakuha sa pamamagitan ng transposing ng mga kadahilanan, bukod dito, kinuha sa reverse order.

Sa katunayan, kung ang produkto AB ay tinukoy, pagkatapos ay ang produkto ay tutukuyin, dahil ito ay madaling suriin, at ang produkto: ang bilang ng mga haligi ng matrix ay katumbas ng bilang ng mga hilera ng matrix. Ang elemento ng matrix, na nasa th row at m column nito, sa matrix AB ay matatagpuan sa th row at m column. Samakatuwid ito ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga kaukulang elemento ng ika hilera ng matrix A at ang ika-kolum ng matrix B, i.e. ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng kaukulang elemento ng ika-kolum ng matrix at ang ika-hilera ng matrix. Ito ay nagpapatunay ng pagkakapantay-pantay (6).

Tandaan na ang matrix A ay magiging simetriko kung at kung ito ay kasabay lamang ng nalipat nito, i.e. kung

Tinutukoy namin ngayon sa pamamagitan ng isang column na binubuo ng mga hindi alam.

ay isang matrix na may mga row at isang column. Ang paglipat ng matrix na ito, makuha namin ang matrix

Binubuo ng isang linya.

Ang parisukat na anyo (5) na may matrix ay maaari na ngayong isulat bilang sumusunod na produkto:

Sa katunayan, ang produkto ay magiging isang matrix na binubuo ng isang column:

Ang pag-multiply ng matrix na ito mula sa kaliwa ng isang matrix, makakakuha tayo ng isang "matrix" na binubuo ng isang hilera at isang haligi, lalo na ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (5).

Ano ang mangyayari sa isang parisukat na anyo kung ang mga hindi alam na kasama dito ay sasailalim sa isang linear na pagbabago

Kaya naman sa pamamagitan ng (6)

Ang pagpapalit ng (9) at (10) sa talaan (7) ng form, makakakuha tayo ng:

Magiging simetriko ang Matrix B, dahil sa pagtingin sa pagkakapantay-pantay (6), na malinaw na wasto para sa anumang bilang ng mga salik, at pagkakapantay-pantay na katumbas ng simetrya ng matrix, mayroon tayong:

Kaya, ang sumusunod na teorama ay napatunayan:

Ang isang parisukat na anyo sa mga hindi alam na may isang matrix, pagkatapos magsagawa ng isang linear na pagbabago ng mga hindi alam na may isang matrix, ay nagiging isang parisukat na anyo sa mga bagong hindi alam, at ang produkto ay ang matrix ng form na ito.

Ipagpalagay natin ngayon na nagsasagawa tayo ng non-degenerate linear transformation, i.e. , at samakatuwid ay mga nondegenerate na matrice. Ang produkto ay nakuha sa kasong ito sa pamamagitan ng pag-multiply ng matrix sa pamamagitan ng non-degenerate matrice, at samakatuwid, ang ranggo ng produktong ito ay katumbas ng ranggo ng matrix. Kaya, ang ranggo ng isang parisukat na anyo ay hindi nagbabago kapag nagsasagawa ng isang di-degenerate na linear na pagbabago.

Isaalang-alang natin ngayon, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa problemang geometriko na ipinahiwatig sa simula ng seksyon ng pagbabawas ng equation ng gitnang kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa canonical form (3), ang tanong ng pagbabawas ng isang arbitrary quadratic na anyo ng ilang hindi- degenerate linear transformation sa anyo ng kabuuan ng mga parisukat ng mga hindi alam, ibig sabihin sa ganoong anyo kapag ang lahat ng mga coefficient sa mga produkto ng iba't ibang hindi alam ay katumbas ng zero; ang espesyal na uri ng parisukat na anyo ay tinatawag na canonical. Ipagpalagay muna na ang quadratic na anyo sa mga hindi alam ay nabawasan na ng isang non-degenerate linear transformation sa canonical form

nasaan ang mga bagong hindi alam. Ang ilan sa mga coefficient ay maaaring Siyempre, maging zero. Patunayan natin na ang bilang ng mga nonzero coefficient sa (11) ay kinakailangang katumbas ng ranggo ng form.

Sa katunayan, dahil nakarating kami sa (11) gamit ang isang non-degenerate na pagbabago, ang parisukat na anyo sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (11) ay dapat ding nasa ranggo.

Gayunpaman, ang matrix ng quadratic form na ito ay may diagonal na anyo

at ang pag-aatas sa matrix na ito na magkaroon ng isang ranggo ay katumbas ng pag-aakalang ang pangunahing dayagonal nito ay naglalaman ng mga eksaktong hindi-zero na mga entry.

Magpatuloy tayo sa patunay ng sumusunod na pangunahing theorem sa quadratic forms.

Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo ng ilang di-degenerate na linear na pagbabago. Kung ang isang tunay na parisukat na anyo ay isinasaalang-alang, kung gayon ang lahat ng mga coefficient ng tinukoy na linear na pagbabago ay maaaring ituring na totoo.

Ang teorama na ito ay totoo para sa kaso ng mga parisukat na anyo sa isang hindi alam, dahil ang anumang anyo ay may isang anyo na kanonikal. Kaya nating isagawa ang patunay sa pamamagitan ng induction sa bilang ng mga hindi alam, i.e. patunayan ang theorem para sa mga parisukat na anyo sa n hindi alam, sa pag-aakalang ito ay napatunayan na para sa mga anyo na may mas kaunting mga hindi alam.

Binigyan ng isang parisukat na anyo

mula sa n hindi kilala. Susubukan naming hanapin ang gayong non-degenerate linear transformation na mag-iisa sa isa sa mga hindi alam mula sa parisukat, i.e. hahantong sa anyo ng kabuuan ng parisukat na ito at ilang parisukat na anyo mula sa natitirang mga hindi alam. Ang layuning ito ay madaling makamit kung kabilang sa mga coefficient ng mga form sa pangunahing dayagonal sa matrix ay may iba pang zero, i.e. kung ang parisukat ng hindi bababa sa isa sa mga hindi alam ay pumapasok sa (12) na may pagkakaiba mula sa zero coefficients

Hayaan, halimbawa, . Pagkatapos, tulad ng madaling suriin, ang expression, na isang parisukat na anyo, ay naglalaman ng parehong mga termino na may hindi kilala bilang aming anyo, at samakatuwid ang pagkakaiba

ay magiging isang parisukat na anyo na naglalaman lamang ng mga hindi alam, ngunit hindi. Mula rito

Kung ipinakilala natin ang notasyon

pagkatapos makuha namin

kung saan ngayon ang parisukat na anyo sa mga hindi alam. Ang pagpapahayag (14) ay ang nais na pagpapahayag para sa anyo, dahil ito ay nakuha mula sa (12) sa pamamagitan ng isang non-degenerate linear transformation, ibig sabihin, sa pamamagitan ng inverse transformation ng linear transformation (13), na may sariling determinant at samakatuwid ay hindi mabulok.

Kung may mga pagkakapantay-pantay, kailangan munang magsagawa ng isang pantulong na linear na pagbabago, na humahantong sa paglitaw ng mga parisukat ng mga hindi alam sa aming anyo. Dahil sa mga coefficient sa notation (12) ng form na ito ay dapat mayroong maliban sa zero, kung hindi, walang dapat patunayan, pagkatapos ay hayaan, halimbawa, i.e. ay ang kabuuan ng isang termino at mga termino, na ang bawat isa ay kinabibilangan ng hindi bababa sa isa sa mga hindi alam.

Gumawa tayo ng linear transformation

Ito ay magiging non-degenerate, dahil mayroon itong determinant

Bilang resulta ng pagbabagong ito, ang aming miyembro ng form ang kukuha ng form

mga. sa anyo, na may mga non-zero coefficient, ang mga parisukat ng dalawang hindi alam nang sabay-sabay ay lilitaw, at hindi sila makakakansela sa alinman sa iba pang mga termino, dahil ang bawat isa sa mga huling ito ay may kasamang hindi bababa sa isa sa mga hindi alam; ngayon tayo ay nasa mga kundisyon sa kasong isinaalang-alang na sa itaas, ang mga. sa pamamagitan ng isa pang non-degenerate linear transformation, maaari nating dalhin ang form sa form (14).

Upang makumpleto ang patunay, nananatili itong tandaan na ang parisukat na anyo ay nakasalalay sa mas kaunti kaysa sa bilang ng mga hindi alam, at samakatuwid, sa pamamagitan ng inductive assumption, ito ay nabawasan sa canonical na anyo ng ilang di-degenerate na pagbabago ng mga hindi alam. Ang pagbabagong ito, na isinasaalang-alang bilang isang (hindi degenerate, dahil madaling makita) na pagbabago ng lahat ng hindi alam, kung saan ito ay nananatiling hindi nagbabago, dahil dito ay binabawasan ang (14) sa canonical form. Kaya, ang quadratic form sa pamamagitan ng dalawa o tatlong non-degenerate linear transformations, na maaaring mapalitan ng isang non-degenerate transformation - ang kanilang produkto, ay nabawasan sa anyo ng kabuuan ng mga parisukat ng mga hindi alam na may ilang mga coefficient. Ang bilang ng mga parisukat na ito ay katumbas, tulad ng alam natin, sa ranggo ng anyo. Kung, bukod dito, ang parisukat na anyo ay totoo, kung gayon ang mga coefficient kapwa sa kanonikal na anyo ng anyo at sa linear na pagbabagong humahantong sa anyong ito ay magiging totoo; sa katunayan, pareho ang linear transformation inverse (13) at ang linear transformation (15) ay may totoong coefficients.

Ang patunay ng pangunahing teorama ay kumpleto na. Ang pamamaraang ginamit sa patunay na ito ay maaaring ilapat sa mga partikular na halimbawa upang aktwal na bawasan ang isang parisukat na anyo sa canonical na anyo. Kinakailangan lamang, sa halip na induction, na ginamit namin sa patunay, upang patuloy na kunin ang mga parisukat ng mga hindi alam gamit ang pamamaraan sa itaas.

Halimbawa 1. I-canonicalize ang isang quadratic form

Dahil sa kawalan ng hindi kilalang mga parisukat sa form na ito, nagsasagawa muna kami ng isang non-degenerate linear transformation

may matrix

pagkatapos nito makuha namin:

Ngayon ang mga coefficient sa ay nonzero, at samakatuwid maaari naming kunin ang parisukat ng isang hindi alam mula sa aming anyo. Ipagpalagay

mga. paggawa ng linear transformation kung saan ang inverse ay magkakaroon ng matrix

isasaisip natin

Sa ngayon, tanging ang parisukat ng hindi alam ang namumukod-tangi, dahil ang form ay naglalaman pa rin ng produkto ng dalawa pang hindi alam. Gamit ang hindi pagkakapantay-pantay na zero ng coefficient sa, muli naming inilalapat ang pamamaraan sa itaas. Paggawa ng linear transformation

kung saan ang kabaligtaran ay may matris

sa wakas ay dadalhin natin ang anyo sa kanonikal na anyo

Ang isang linear na pagbabagong-anyo na agad na binabawasan ang (16) sa anyo (17) ay magkakaroon bilang matrix nito ang produkto

Maaari ding suriin ng isa sa pamamagitan ng direktang pagpapalit na ang di-degenerate (dahil ang determinant ay pantay) linear transformation

nagiging (16) ang (17).

Ang teorya ng pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa isang kanonikal na anyo ay binuo sa pamamagitan ng pagkakatulad sa geometriko na teorya ng mga gitnang kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod, ngunit hindi maaaring ituring na isang generalisasyon ng huling teoryang ito. Sa katunayan, sa aming teorya, pinapayagan ang anumang di-degenerate na linear na pagbabago, habang ang pagbawas ng second-order curve sa canonical form ay nakakamit sa pamamagitan ng paglalapat ng mga linear na pagbabagong-anyo ng isang napaka-espesyal na anyo,

na mga pag-ikot ng eroplano. Ang teoryang geometriko na ito ay maaaring, gayunpaman, ay gawing pangkalahatan sa kaso ng mga parisukat na anyo sa mga hindi alam na may mga tunay na coefficient. Ang isang paglalahad ng paglalahat na ito, na tinatawag na pagbabawas ng mga parisukat na anyo sa mga pangunahing axes, ay ibibigay sa ibaba.

Pagbawas ng isang parisukat na anyo sa isang kanonikal na anyo.

Canonical at normal na anyo ng isang parisukat na anyo.

Mga linear na pagbabago ng mga variable.

Ang konsepto ng isang parisukat na anyo.

Mga hugis parisukat.

Kahulugan: Ang isang parisukat na anyo sa mga variable ay isang homogenous polynomial ng pangalawang degree na may paggalang sa mga variable na ito.

Ang mga variable ay maaaring ituring bilang affine coordinates ng isang punto sa isang arithmetic space A n o bilang mga coordinate ng isang vector sa isang n-dimensional space V n . Ipatukoy natin ang quadratic form sa mga variable bilang.

Halimbawa 1:

Kung ang pagbabawas ng mga katulad na termino ay naisagawa na sa parisukat na anyo, kung gayon ang mga koepisyent para sa ay denoted, at para sa () - . Kaya, pinaniniwalaan na. Ang parisukat na anyo ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Halimbawa 2:

System Matrix (1):

- ay tinatawag na parisukat na matris.

Halimbawa: Ang mga matrice ng quadratic na anyo ng halimbawa 1 ay may anyo:

Halimbawa 2 Quadratic Matrix:

Linear na pagbabago ng mga variable tinatawag na ganitong paglipat mula sa isang sistema ng mga variable patungo sa isang sistema ng mga variable, kung saan ang mga lumang variable ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga bago gamit ang mga form:

kung saan ang mga coefficient ay bumubuo ng isang nonsingular matrix.

Kung ang mga variable ay itinuturing na mga coordinate ng isang vector sa Euclidean space na may paggalang sa ilang batayan, kung gayon ang linear na pagbabagong-anyo (2) ay maaaring ituring bilang isang paglipat sa puwang na ito sa isang bagong batayan, na nauugnay kung saan ang parehong vector ay may mga coordinate.

Sa mga sumusunod, isasaalang-alang namin ang mga parisukat na anyo lamang na may mga tunay na koepisyent. Ipinapalagay namin na ang mga variable ay kumukuha lamang ng mga tunay na halaga. Kung ang mga variable sa parisukat na anyo (1) ay sumasailalim sa isang linear na pagbabagong-anyo (2), pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang parisukat na anyo sa mga bagong variable. Sa mga sumusunod, ipapakita namin na, na may naaangkop na pagpipilian ng pagbabagong-anyo (2), ang parisukat na anyo (1) ay maaaring bawasan sa isang form na naglalaman lamang ng mga parisukat ng mga bagong variable, ibig sabihin, . Ang ganitong uri ng quadratic form ay tinatawag kanonikal. Ang quadratic matrix sa kasong ito ay dayagonal: .

Kung ang lahat ng coefficient ay maaaring tumagal lamang ng isa sa mga halaga: -1,0,1 ang katumbas na anyo ay tinatawag normal.

Halimbawa: Equation ng central curve ng pangalawang order gamit ang paglipat sa isang bagong coordinate system

ay maaaring bawasan sa anyong: , at ang parisukat na anyo sa kasong ito ay kukuha ng anyong:

Lemma 1: Kung ang parisukat na anyo(1)ay hindi naglalaman ng mga parisukat ng mga variable, pagkatapos ay sa pamamagitan ng isang linear na pagbabagong-anyo maaari itong bawasan sa isang form na naglalaman ng parisukat ng hindi bababa sa isang variable.

Patunay: Sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang parisukat na anyo ay naglalaman lamang ng mga termino na may mga produkto ng mga variable. Hayaan, para sa anumang magkaibang mga halaga ng i at j, maging nonzero, ibig sabihin, ay isa sa mga naturang termino na kasama sa parisukat na anyo. Kung gagawa ka ng linear transformation, at hindi babaguhin ang lahat ng iba pa, i.e. (ang determinant ng pagbabagong ito ay naiiba mula sa zero), pagkatapos ay kahit na dalawang termino na may mga parisukat na variable ay lilitaw sa parisukat na anyo: . Ang mga terminong ito ay hindi maaaring mawala kapag ang mga katulad na termino ay nabawasan, dahil bawat isa sa mga natitirang termino ay naglalaman ng hindi bababa sa isang variable na naiiba sa o mula sa.

Halimbawa:

Lemma 2: Kung ang hugis parisukat (1) naglalaman ng isang termino na may parisukat ng variable, halimbawa, at kahit isa pang termino na may variable , pagkatapos ay sa tulong ng isang linear na pagbabago, f maaaring ma-convert sa isang form mula sa mga variable , pagkakaroon ng form: (2), saan g- parisukat na anyo na walang variable .

Patunay: Iisa-isa natin sa parisukat na anyo (1) ang kabuuan ng mga terminong naglalaman ng: (3) dito ang g 1 ay tumutukoy sa kabuuan ng lahat ng mga terminong hindi naglalaman.

Magpakilala

(4), kung saan nagsasaad ng kabuuan ng lahat ng mga terminong hindi naglalaman.

Hinahati namin ang parehong bahagi ng (4) sa pamamagitan ng at ibawas ang nagresultang pagkakapantay-pantay mula sa (3), pagkatapos bawasan ang mga katulad ay magkakaroon tayo ng:

Ang expression sa kanang bahagi ay hindi naglalaman ng variable at isang parisukat na anyo sa mga variable. Tukuyin natin ang expression na ito sa pamamagitan ng g, at ang koepisyent ng, at pagkatapos ay f ay magiging katumbas ng: . Kung gagawa tayo ng linear na pagbabagong-anyo: , na ang determinant ay naiiba sa zero, kung gayon ang g ay magiging isang parisukat na anyo sa mga variable, at ang parisukat na anyo f ay mababawasan sa anyo (2). Ang lemma ay napatunayan.

Teorama: Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang pagbabago ng mga variable.

Patunay: Isagawa natin ang induction sa bilang ng mga variable. Ang parisukat na anyo ng ay may anyong: , na canonical na. Ipagpalagay na ang theorem ay totoo para sa isang parisukat na anyo sa n-1 na mga variable at patunayan na ito ay totoo para sa isang parisukat na anyo sa n mga variable.

Kung ang f ay hindi naglalaman ng mga parisukat ng mga variable, kung gayon sa pamamagitan ng Lemma 1 maaari itong bawasan sa isang form na naglalaman ng parisukat ng hindi bababa sa isang variable; sa pamamagitan ng Lemma 2, ang resultang quadratic na anyo ay maaaring katawanin sa anyo (2). kasi ang quadratic form ay nakasalalay sa n-1 variable, pagkatapos ay sa pamamagitan ng inductive assumption maaari itong mabawasan sa canonical form gamit ang linear transformation ng mga variable na ito sa variable, kung magdadagdag tayo ng formula sa mga formula ng transition na ito, makukuha natin ang mga formula ng isang linear transformation na humahantong sa canonical form ang quadratic form na nakapaloob sa pagkakapantay-pantay (2). Ang komposisyon ng lahat ng pagbabagong-anyo ng mga variable na isinasaalang-alang ay ang nais na linear na pagbabagong humahantong sa kanonikal na anyo ng parisukat na anyo (1).

Kung ang parisukat na anyo (1) ay naglalaman ng parisukat ng ilang variable, hindi kailangang ilapat ang Lemma 1. Ang ibinigay na pamamaraan ay tinatawag Paraan ng Lagrange.

Mula sa canonical view, kung saan, maaari kang pumunta sa normal na view, kung saan, kung, at kung, gamit ang pagbabagong-anyo:

Halimbawa: Bawasan ang quadratic form sa canonical form sa pamamagitan ng Lagrange method:

kasi ang parisukat na anyo f ay naglalaman na ng mga parisukat ng ilang mga variable, kung gayon ang Lemma 1 ay hindi kailangang ilapat.

Pumili ng mga miyembro na naglalaman ng:

3. Upang makakuha ng isang linear na pagbabagong-anyo na direktang binabawasan ang anyo f sa anyo (4), una nating mahanap ang mga pagbabagong kabaligtaran sa mga pagbabagong-anyo (2) at (3).

Ngayon, sa tulong ng mga pagbabagong ito, bubuuin natin ang kanilang komposisyon:

Kung papalitan natin ang mga nakuhang halaga (5) sa (1), agad tayong makakakuha ng representasyon ng quadratic form sa form (4).

Mula sa canonical form (4) gamit ang transformation

maaari kang bumalik sa normal:

Ang linear transformation na nagdadala ng quadratic form (1) sa normal na anyo ay ipinahayag ng mga formula:

Bibliograpiya:

1. Voevodin V.V. Linear algebra. St. Petersburg: Lan, 2008, 416 p.

2. D. V. Beklemishev, Kurso ng Analytic Geometry at Linear Algebra. Moscow: Fizmatlit, 2006, 304 p.

3. Kostrikin A.I. Panimula sa algebra. bahagi II. Mga Batayan ng algebra: isang aklat-aralin para sa mga unibersidad, -M. : Physical and mathematical literature, 2000, 368 p.

Lektura Blg. 26 (II semester)

Paksa: Batas ng pagkawalang-galaw. positibong tiyak na anyo.

Kahulugan 10.4.Canonical view quadratic form (10.1) ay tinatawag na sumusunod na anyo: . (10.4)

Ipakita natin na sa batayan ng eigenvectors ang quadratic form (10.1) ay kumukuha ng canonical form. Hayaan

- na-normalize na eigenvector na tumutugma sa mga eigenvalues λ 1 , λ 2 , λ 3 matrice (10.3) sa orthonormal na batayan . Pagkatapos ang transition matrix mula sa lumang batayan patungo sa bago ang magiging matrix

. Sa bagong batayan, ang matrix A kumukuha ng diagonal na anyo (9.7) (sa pamamagitan ng pag-aari ng eigenvectors). Kaya, ang pagbabago ng mga coordinate ayon sa mga formula:

,

nakukuha natin sa bagong batayan ang canonical form ng isang quadratic form na may coefficients na katumbas ng eigenvalues λ 1 , λ 2 , λ 3:

Puna 1. C geometric na punto Sa pagtingin, ang itinuturing na pagbabago ng mga coordinate ay isang pag-ikot ng sistema ng coordinate, na pinagsasama ang mga lumang coordinate axes sa mga bago.

Puna 2. Kung ang alinman sa mga eigenvalues ​​ng matrix (10.3) ay nag-tutugma, maaari tayong magdagdag ng unit vector orthogonal sa bawat isa sa mga ito sa katumbas na orthonormal eigenvectors, at sa gayon ay bumuo ng isang batayan kung saan ang quadratic form ay kumukuha ng canonical form.

Bawasan natin sa canonical form ang quadratic form

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Ang matrix nito ay may anyo Sa halimbawang isinasaalang-alang sa lecture 9, ang mga eigenvalues ​​at orthonormal eigenvectors ng matrix na ito ay matatagpuan:

Buuin natin ang transition matrix sa batayan ng mga vectors na ito:

(ang pagkakasunud-sunod ng mga vector ay binago upang sila ay bumuo ng isang tamang triple). Ibahin natin ang mga coordinate ayon sa mga formula:

.

Kaya, ang quadratic form ay nabawasan sa canonical form na may mga coefficient na katumbas ng eigenvalues ​​ng matrix ng quadratic form.

Lektura 11

Mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod. Ellipse, hyperbola at parabola, ang kanilang mga katangian at canonical equation. Pagbawas ng equation ng pangalawang order sa canonical form.

Kahulugan 11.1.Mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa isang eroplano ay tinatawag na mga linya ng intersection pabilog na kono na may mga eroplanong hindi dumadaan sa tuktok nito.

Kung ang naturang eroplano ay bumalandra sa lahat ng mga generator ng isang lukab ng kono, pagkatapos ay sa seksyon na ito ay lumabas. ellipse, sa intersection ng mga generator ng parehong cavity - hyperbola, at kung ang cutting plane ay parallel sa anumang generatrix, kung gayon ang seksyon ng cone ay parabola.

Magkomento. Ang lahat ng mga curve ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay ibinibigay ng mga equation ng pangalawang degree sa dalawang variable.

Ellipse.

Kahulugan 11.2.Ellipse ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming puntos F 1 at F mga trick, ay isang pare-parehong halaga.

Magkomento. Kapag tumugma ang mga puntos F 1 at F 2 ang ellipse ay nagiging bilog.

Nakukuha namin ang equation ng ellipse sa pamamagitan ng pagpili ng Cartesian system

y M(x, y) mga coordinate upang ang axis Oh kasabay ng linya F 1 F 2, simulan

r 1 r 2 coordinate - na may gitna ng segment F 1 F 2. Hayaan ang haba nito

ang segment ay 2 Sa, pagkatapos ay sa napiling coordinate system

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Hayaan ang punto M(x, y) ay namamalagi sa isang ellipse, at

ang kabuuan ng mga distansya mula dito hanggang F 1 at F 2 ay katumbas ng 2 a.

Pagkatapos r 1 + r 2 = 2a, pero ,

Samakatuwid, ipinakilala ang notasyon b² = a²- c² at pagkatapos ng mga simpleng pagbabagong algebraic, nakukuha namin canonical equation ng isang ellipse: (11.1)

Kahulugan 11.3.eccentricity ellipse ay tinatawag na dami e=c/a (11.2)

Kahulugan 11.4.punong-guro D i ellipse na naaayon sa focus F i F i tungkol sa axis OU patayo sa axis Oh sa distansya a/e mula sa pinanggalingan.

Magkomento. Sa ibang pagpipilian ng coordinate system, maaaring hindi tukuyin ang ellipse canonical equation(11.1), ngunit sa pamamagitan ng pangalawang-degree na equation ng ibang uri.

Mga katangian ng Ellipse:

1) Ang ellipse ay may dalawang magkaparehong perpendicular axes ng symmetry (ang pangunahing axes ng ellipse) at isang center ng symmetry (ang gitna ng ellipse). Kung ang isang ellipse ay ibinigay ng isang canonical equation, kung gayon ang mga pangunahing axes nito ay ang mga coordinate axes, at ang sentro ay ang pinagmulan. Dahil ang mga haba ng mga segment na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng ellipse na may mga pangunahing axes ay katumbas ng 2 a at 2 b (2a>2b), kung gayon ang pangunahing axis na dumadaan sa foci ay tinatawag na major axis ng ellipse, at ang pangalawang major axis ay tinatawag na minor axis.

2) Ang buong ellipse ay nakapaloob sa loob ng parihaba

3) Ellipse eccentricity e< 1.

Talaga,

4) Ang mga directrix ng ellipse ay matatagpuan sa labas ng ellipse (dahil ang distansya mula sa gitna ng ellipse hanggang sa directrix ay a/e, a e<1, следовательно, a/e>a, at ang buong ellipse ay nasa isang parihaba )

5) ratio ng distansya r i mula sa punto ng ellipse hanggang sa tumutok F i sa distansya d i mula sa puntong ito hanggang sa directrix na naaayon sa focus ay katumbas ng eccentricity ng ellipse.

Patunay.

Mga distansya mula sa isang punto M(x, y) sa foci ng ellipse ay maaaring kinakatawan tulad ng sumusunod:

Binubuo namin ang mga directrix equation:

(D 1), (D 2). Pagkatapos Mula rito r i / d i = e, na dapat patunayan.

Hyperbola.

Kahulugan 11.5.Hyperbole ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng mga distansya sa dalawang nakapirming puntos F 1 at F 2 ng eroplanong ito, tinawag mga trick, ay isang pare-parehong halaga.

Nakukuha namin ang canonical equation ng hyperbola sa pamamagitan ng pagkakatulad sa derivation ng equation ng ellipse, gamit ang parehong notasyon.

|r 1 - r 2 | = 2a, kung saan kung nagsasaad b² = c² - a², mula dito maaari kang makakuha

- canonical equation ng isang hyperbola. (11.3)

Kahulugan 11.6.eccentricity hyperbola ay tinatawag na dami e = c / a.

Kahulugan 11.7.punong-guro D i hyperbola na naaayon sa focus F i, ay tinatawag na isang tuwid na linya na matatagpuan sa parehong kalahating eroplano na may F i tungkol sa axis OU patayo sa axis Oh sa distansya a / e mula sa pinanggalingan.

Mga katangian ng hyperbola:

1) Ang hyperbola ay may dalawang axes ng symmetry (pangunahing axes ng hyperbola) at isang center ng symmetry (ang sentro ng hyperbola). Bukod dito, ang isa sa mga palakol na ito ay sumasalubong sa hyperbola sa dalawang punto, na tinatawag na vertices ng hyperbola. Ito ay tinatawag na tunay na axis ng hyperbola (axis Oh para sa canonical na pagpili ng coordinate system). Ang ibang axis ay wala karaniwang mga punto na may hyperbola at tinatawag itong imaginary axis (sa canonical coordinates - ang axis OU). Sa magkabilang gilid nito ay ang kanan at kaliwang sanga ng hyperbola. Ang foci ng isang hyperbola ay matatagpuan sa totoong axis nito.

2) Ang mga sangay ng hyperbola ay may dalawang asymptotes na tinukoy ng mga equation

3) Kasama ng hyperbola (11.3), maaari nating isaalang-alang ang tinatawag na conjugate hyperbola na tinukoy ng canonical equation

kung saan ang tunay at haka-haka na mga palakol ay ipinagpapalit habang pinapanatili ang parehong mga asymptotes.

4) Eccentricity ng hyperbola e> 1.

5) ratio ng distansya r i mula sa punto ng hyperbola hanggang sa focus F i sa distansya d i mula sa puntong ito hanggang sa directrix na naaayon sa focus ay katumbas ng eccentricity ng hyperbola.

Ang patunay ay maaaring isagawa sa parehong paraan tulad ng para sa ellipse.

Parabola.

Kahulugan 11.8.parabola ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang distansya sa ilang nakapirming punto F ang eroplanong ito ay katumbas ng distansya sa ilang nakapirming tuwid na linya. Dot F tinawag focus parabola, at isang tuwid na linya - nito punong guro.

У Upang makuha ang parabola equation, pipiliin namin ang Cartesian

coordinate system upang ang pinagmulan nito ay ang gitna

D M(x,y) patayo FD, ibinaba mula sa focus patungo sa direktang

r su, at ang mga coordinate axes ay parallel at

patayo sa direktor. Hayaan ang haba ng segment FD

D O F x ay R. Pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay r=d sinusundan iyon

sa abot ng

Sa pamamagitan ng algebraic transformations, ang equation na ito ay maaaring bawasan sa anyo: y² = 2 px, (11.4)

tinawag ang canonical equation ng parabola. Halaga R tinawag parameter mga parabola.

Mga katangian ng parabola:

1) Ang parabola ay may axis ng symmetry (ang axis ng parabola). Ang punto ng intersection ng parabola na may axis ay tinatawag na vertex ng parabola. Kung ang parabola ay ibinigay ng canonical equation, kung gayon ang axis nito ay ang axis oh at ang vertex ay ang pinagmulan ng mga coordinate.

2) Ang buong parabola ay matatagpuan sa kanang kalahating eroplano ng eroplano Ohu.

Magkomento. Gamit ang mga katangian ng mga directrix ng isang ellipse at isang hyperbola at ang kahulugan ng isang parabola, maaari nating patunayan ang sumusunod na pahayag:

Ang hanay ng mga punto ng eroplano kung saan ang ratio e ang distansya sa ilang nakapirming punto sa distansya sa ilang tuwid na linya ay isang pare-parehong halaga, ay isang ellipse (na may e<1), гиперболу (при e>1) o isang parabola (kung kailan e=1).

Katulad na impormasyon.