Derivative ng FKP. Mga kondisyon ng Cauchy-Riemann. Analytical function. Mga function ng isang kumplikadong variable. Pagkita ng kaibhan ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable. Mga kundisyon ng Cauchy-Riemann Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann sa iba't ibang mga notasyon

Isaalang-alang natin ang ilang kumplikadong dami $w$, na ibinibigay ng expression na $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, kung saan $u(x,y),\, Ang \, \, v(x,y)$ ay mga tunay na function ng isang tunay na variable, $z=x+yi$.

Ang dami na ito ay isang kumplikadong function ng isang tunay na variable.

Kahulugan 1

Ang isang function na $w(z)$ ay tinatawag na analytic sa ilang punto z kung ang function na ito ay naiba sa ilang kapitbahayan ng puntong ito z.

Kahulugan 2

Ang isang function ay tinatawag na analytic sa ilang domain D kung ito ay analytic sa bawat punto sa domain na ito.

Hayaang maging differentiable ang mga function na $u(x),\, \, \, v(x)$.

Kahulugan 3

Ang expression na $w_(x) "=u"_(x) (x,y)+i\cdot v"_(x) (x,y)$ ay tinatawag na derivative ng isang complex function ng isang real variable na may paggalang sa totoong argumento $x$.

Ang derivative na may paggalang sa tunay na argumento na $y$ ay tinukoy nang katulad.

Upang kalkulahin ang derivative, ginagamit namin ang sumusunod na formula:

\ \

1) Para sa function na $w=(3x+2)+(x^(3) +2y)\cdot i$ nakukuha namin:

\ \

2) Para sa function na $w=(x+e^(y))+(3y^(2) +\ln x)\cdot i$ nakukuha namin:

\ \

Upang ang ilang function na $w(z)$ ay maging differentiable sa isang punto $z_(0) =x_(0) +y_(0) \cdot i$, ito ay kinakailangan at sapat na ang $u(x,y) Ang $ at $v(x,y)$ ay naiba sa puntong $(x_(0) ;y_(0))$ at ang mga sumusunod na kundisyon ay natugunan:

\[\begin(array)(l) (\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y) ) \\ ( \frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x) ) \end(array).\]

Ang mga kundisyong ito ay tinatawag na mga kondisyong Cauchy-Riemann.

Tandaan 1

Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay mga relasyon na nag-uugnay sa tunay at haka-haka na mga bahagi ng naiba-iba na function $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, kung saan $u(x,y) Ang ,\, \, \, v(x,y)$ ay mga tunay na function ng isang tunay na variable, $z=x+yi$.

Piliin natin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Ilagay natin ang $z=x+yi$ at makuha ang:

Samakatuwid, $u(x,y)=e^(1+2y) \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)$ - ang kinakailangang tunay at haka-haka na bahagi ng function.

Gamitin natin ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann: $\frac(\partial u)(\partial x) =\frac(\partial v)(\partial y) ;\frac(\partial u)(\partial y) =-\ frac( \partial v)(\partial x) $.

\[\begin(array)(l) (\frac(\partial u)(\partial x) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x);\frac(\partial v)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)=2e^(1+2y) \cdot \sin ( -2x)) \end(array)\] \[\begin(array)(l) (\frac(\partial u)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x) ;\frac(\partial v)(\partial x) =-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)= -(-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x))) \end(array)\]

Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan para sa anumang tunay na $x,y$. Samakatuwid, ang function ay analytic para sa anumang tunay na $x,y$.

Hanapin natin ang derivative ng function at kalkulahin ang value ng derivative ng function sa isang naibigay na punto $z_(0) =\frac(\pi )(6) $.

Ang derivative ng function ay may anyo:

Kalkulahin natin ang halaga ng derivative ng function sa isang naibigay na punto

Sa pagsasagawa, maaari kang makatagpo ng mga sumusunod na problema.

Problema 1

Dahil sa totoong bahagi na $u(x,y)$ ng ilang function ng complex variable na $w(z)$, kailangang hanapin ang imaginary part na $v(x,y)$ ng function na ito. Muling buuin ang function na $w(z)$ mula sa kilalang tunay at haka-haka na mga bahagi.

Problema 2

Dahil sa imaginary na bahagi $v(x,y)$ ng ilang function ng complex variable $w(z)$, ito ay kinakailangan upang mahanap ang imaginary part $u(x,y)$ ng function na ito. Muling buuin ang function na $w(z)$ mula sa kilalang tunay at haka-haka na mga bahagi.

Ang algorithm para sa paglutas ng problema 2 ay ang mga sumusunod:

• hanapin ang tunay na bahagi gamit ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann;
• buuin ang function na $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
• magsagawa ng mga pagbabagong-anyo at piliin ang variable na $z=x+yi$ o $\overline(z)=x-yi$.

Tandaan 1

Kapag nilulutas ang mga praktikal na problema, maaaring maging kapaki-pakinabang ang mga sumusunod na relasyon:

\ \ \

Tandaan 2

Ang operasyon ng paghahati ng imaginary unit na $i$ ay katumbas ng operasyon ng multiplikasyon sa $-i$.

Halimbawa 3

Mula sa tunay na bahagi $u(x,y)=-x^(2) +y^(2) -5y$ ng ilang function ng complex variable, ibalik ang haka-haka nitong bahagi $v(x,y)$ at ibalik ito function, habang ang function ay nakakatugon sa paunang kondisyon $w(0)=0$.

Hanapin natin ang haka-haka na bahagi $v(x,y)$ ng gustong function na $w(z)$. Gamitin natin ang unang kundisyon ng Cauchy-Riemann:

\[\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y) .\]

Palitan natin ang mga orihinal na halaga at makuha:

\[\frac(\partial v(x,y))(\partial y) =\frac(\partial (-x^(2) +y^(2) -5y))(\partial x) =-2x \] \ \

Hanapin natin ang hindi kilalang function na $\phi (x)$.

Gamitin natin ang pangalawang kondisyon ng Cauchy-Riemann:

\[\frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x).\] \ \[\phi "(x) =5\Rightarrow \phi (x)=\int 5dx =5x+C\]

Kaya naman,

Ang haka-haka na bahagi ng nais na function na $w(z)$ ay naibalik, pagkatapos ay maaari naming isulat ang function mismo:

Ibahin natin ang resultang expression:

\ \[=-x^(2) +y^(2) -5y+-2xyi+5xi+Ci=(-x^(2) +y^(2) -2xyi)+(-5y+5xi)+Ci =\] \[=-(x^(2) +2xyi-y^(2))+5i\cdot (x-\frac(y)(i))+Ci\] \

Gamit ang paunang kundisyon $w(0)=0$, makikita natin ang halaga ng pare-parehong $C$.

Samakatuwid, ang kinakailangang function ay may form:

Ang haka-haka na bahagi ng function ay kukuha ng anyo.

Hayaang gumana = u(x,y)+iv(x,y) ay tinukoy sa paligid ng punto z = x+iy. Kung ang variable z pagtaas  z= x+i y, pagkatapos ay ang function
ay makakatanggap ng dagdag


= (z+ z)–
=u(x+ x, y+ y)+

+ iv(x+ x, y+ y) - u(x,y) - iv(x,y) = [u(x+ x, y+ y) –

– u(x,y)] + i[v(x+ x, y+ y) - v(x,y)] =

= u(x,y) + i v(x,y).

Kahulugan. Kung may limitasyon

=

,

pagkatapos ang limitasyong ito ay tinatawag na derivative ng function
sa punto z at tinutukoy ng f(z) o
. Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan,

=

=

. (1.37)

Kung ang function
may derivative sa punto z, pagkatapos ay sinasabi nila na ang function
differentiable sa punto z. Malinaw, para sa function na maging differentiable
ito ay kinakailangan na ang mga function u(x,y) At v(x,y) ay naiba-iba. Gayunpaman, hindi ito sapat para sa pagkakaroon ng derivative f(z). Halimbawa, para sa function w== x–iy mga function u(x,y)=x

At v(x,y)=–y naiba sa lahat ng punto M( x,y), ngunit ang limitasyon ng ratio
sa  x0,  y0 ay wala, dahil kung  y= 0,  x 0, pagkatapos  w/ z= 1,

kung  x = 0,  y 0, pagkatapos  w/z = -1.

Walang iisang limitasyon. Nangangahulugan ito na ang function

w= ay walang derivative sa anumang punto z. Para sa pagkakaroon ng isang derivative ng isang function ng isang kumplikadong variable, kinakailangan ang mga karagdagang kundisyon. Alin ba talaga? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng sumusunod na teorama.

Teorama. Hayaan ang mga function u(x,y) At v(x,y) ay naiba sa puntong M( x,y). Pagkatapos ay para sa pag-andar

= u(x,y) + iv(x,y)

nagkaroon ng derivative sa punto z = x+iy, ito ay kinakailangan at sapat para mapanatili ang pagkakapantay-pantay

Ang mga pagkakapantay-pantay (1.38) ay tinatawag na mga kundisyon ng Cauchy-Riemann.

Patunay. 1) Pangangailangan. Hayaan ang function
ay may derivative sa point z, ibig sabihin, may limitasyon

=

=
.(1.39)

Ang limitasyon sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (1.39) ay hindi nakasalalay sa kung aling landas ang tatahakin ng punto  z =  x+i y nagsusumikap

sa 0. Sa partikular, kung y = 0, x  0 (Fig. 1.10), kung gayon

Kung x = 0, y  0 (Fig. 1.11), kung gayon

(1.41)

Fig.1.10 Fig. 1.11

Ang mga kaliwang bahagi sa equalities (1.40) at (1.41) ay pantay. Nangangahulugan ito na ang mga kanang panig ay pantay din

Sinusundan nito iyon

Kaya, mula sa pagpapalagay ng pagkakaroon ng derivative f(z) ang pagkakapantay-pantay (1.38) ay sumusunod, iyon ay, ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay kinakailangan para sa pagkakaroon ng derivative f(z).

1) Sapat. Ipagpalagay natin ngayon na ang mga pagkakapantay-pantay (1.38) ay nasiyahan:

at patunayan na sa kasong ito ang function
may derivative sa punto z= x+iy, iyon ay, ang limitasyon (1.39)

=

umiiral.

Dahil ang mga function u(x,y) At v(x,y) ay naiba sa puntong M( x,y), pagkatapos ay ang kabuuang pagtaas ng mga function na ito sa puntong M( x,y) ay maaaring katawanin sa anyo

,

kung saan  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 sa  x0, y0.

Dahil, sa bisa ng (1.38),

Kaya naman,

=
,

 1 =  1 +i 1 0,  2 =  2 +i 2 0 sa z =  x+iy0.

kaya,

Dahil  z 2 =  x 2 + y 2 , pagkatapos ay  x/ z1,  y/z1. kaya lang

sa  z  0.

Kasunod nito na ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (1.42) ay may limitasyon sa  z 0, samakatuwid, ang kaliwang bahagi ay mayroon ding limitasyon sa  z 0, at ang limitasyong ito ay hindi nakasalalay sa kung aling landas  z tends to 0. Kaya, napatunayan na kung sa punto M(x,y) kundisyon (1.38) ay nasiyahan, pagkatapos ay ang function
may derivative sa punto z = x+iy, at

.

Ang teorama ay ganap na napatunayan.

Sa proseso ng pagpapatunay ng theorem, dalawang formula (1.40) at (1.42) ang nakuha para sa derivative ng isang function ng isang complex variable

,

.

Gamit ang mga formula (1.38) makakakuha tayo ng dalawa pang formula

, (1.43)

. (1.44)

Kung ang function f(z) ay may derivative sa lahat ng mga punto ng rehiyon D, pagkatapos ay sinasabi namin na ang function
ay naiba-iba sa domain D. Para dito, kinakailangan at sapat na matugunan ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann sa lahat ng mga punto ng domain D.

Halimbawa. Suriin ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann para sa

mga function e z .

kasi e z = e x+iy = e x(cos y + i kasalanan y),

yun u(x, y) = Re e z = e x cos y, v(x, y) = Ako e z = e x kasalanan y,

,
,

,
,

kaya naman,

Mga kundisyon ng Cauchy-Riemann para sa isang function e z natupad sa lahat ng punto z. Kaya ang function e z ay differentiable sa buong plane ng complex variable, at

Ang pagkakaiba-iba ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan

mga function z n , cos z, kasalanan z,ch z, sh z, Ln z, at ang bisa ng mga formula

(z n) = n z n-1, (cos z) = -kasalanan z, (kasalanan z) = cos z,

(ch z) = sh z, (sh z) = ch z, (Ln z) = 1/z.

Para sa mga function ng isang kumplikadong variable, ang lahat ng mga patakaran para sa pagkakaiba-iba ng mga function ng isang tunay na variable ay mananatiling may bisa. Ang patunay ng mga panuntunang ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng derivative sa parehong paraan tulad ng para sa mga function ng isang tunay na variable.

Hayaan ang function W = f(Z) ay ibinigay sa ilang set at Z 0 , kabilang sa E, ang limit point ng set na ito. Dagdagan natin Z 0 = x 0 + i· y 0 pagtaas Δ Z = Δ x+ i· Δ y upang ituro Z = Z 0 + Δ Z pag-aari ng marami E. Pagkatapos ang function W = u+ i· v = f(Z) = u(x, y)+ i· v(x, y). Nakukuha namin ang increment Δ W = Δ u+ i· Δ v = f(Z 0 + Δ Z) - f(Z 0 ) = Δ f(Z 0 ) ,
.

Kung may hangganan ang hangganan
, pagkatapos ito ay tinatawag na derivative ng isang functionf(Z) sa puntoZ 0 ng maramiE, at ipinapahiwatig
,
,
, W" .

Sa pormal na paraan, ang derivative function ng isang complex variable ay eksaktong kapareho ng derivative function ng isang real variable, ngunit ang kanilang nilalaman ay naiiba.

Sa kahulugan ng derivative ng isang function f(x) tunay na variable sa isang punto X 0 , x→ x 0 sa isang tuwid na linya. Sa kaso ng isang function ng isang kumplikadong variable f(Z), Z maaaring magsumikap para sa Z 0 sa anumang landas ng eroplano na humahantong sa isang punto Z 0 .

Samakatuwid, ang pangangailangan para sa pagkakaroon ng isang derivative ng isang function ng isang kumplikadong variable ay napakahigpit. Ipinapaliwanag nito na kahit na ang mga simpleng function ng isang kumplikadong variable ay walang derivative.

Halimbawa.

Isaalang-alang ang function W = = x- i· y. Ipakita natin na ang function na ito ay walang derivative sa anumang punto. Kunin natin ang anumang punto Z 0 = x 0 + i· y 0 , bigyan natin ito ng increment Δ Z = Δ x+ i· Δ y, pagkatapos ang function ay makakatanggap ng isang pagtaas. ibig sabihin

,
,

Isasaalang-alang muna natin ang Δ Z = Δ x + i· Δ y tulad na Δ x → 0 , at Δ y = 0 , ibig sabihin, punto Z 0 + Δ Z → Z 0 sa isang pahalang na tuwid na linya. Sa kasong ito, nakukuha natin iyon

Isasaalang-alang natin ngayon ang increment ∆ Z tulad na ∆ x = 0 , at ∆ y → 0 , ibig sabihin. Kailan Z 0 + ∆ Z→ Z 0 kasama ang isang patayong tuwid na linya, at ito ay magiging halata
.

Ang mga resultang limitasyon ay iba, kaya ang ratio ay walang limitasyon sa ∆ Z → 0 , iyon ay, ang function
ay walang derivative sa anumang punto Z 0 .

Alamin natin ang kahulugan ng derivative na may kinalaman sa isang set. Hayaan E ay ang tunay na aksis, at W = f(Z) = x, kung gayon ito ay isang ordinaryong tunay na function ng isang tunay na variable f(x) = x at ang derivative nito ay magiging pantay 1 (
).

Hayaan mo na E- ito ang buong eroplano (Z). Ipakita natin na ang function f(Z) = x sa kasong ito ay walang derivative sa anumang punto. Sa katunayan, sa kasong ito
.Malinaw dito na kung
A
, Iyon
. Kung
, A
, Iyon
.Kaya, ang saloobin ay walang limitasyon sa
, kaya ang function f(Z) = x ay walang derivative sa anumang punto
.

Tandaan na kung ang isang kumplikadong pinahahalagahan na function ng isang tunay na variable ay isasaalang-alang, pagkatapos ay agad itong sumusunod mula sa kahulugan ng derivative na
, samakatuwid, (ito ang derivative na may paggalang sa tunay na axis).

Formula para sa pagdaragdag ng mga function.

Hayaan ang function W = f(Z) ay nasa punto Z 0 derivative
. Ipakita natin na ang representasyon (1) ay humahawak, kung saan ang dami
, Kailan
.

Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative mayroon tayo
, samakatuwid, ang halaga
, Kailan
. Samakatuwid, nagaganap ang representasyon (1) (multiply both sides by
at ilipat ito
sa kaliwang bahagi).

Lecture No. 8 Pagkakaiba at pagkakaiba ng isang function ng isang complex variable

Function W = f(Z) tinawag differentiable sa puntoZ 0 , kung sa puntong ito nagaganap ang representasyon (2), kung saan A ay isang nakapirming kumplikadong numero, at ang dami
may posibilidad na maging zero kapag
.

Kung ang function W = f(Z) differentiable sa punto Z 0 , pagkatapos ay ang pangunahing linear na nauugnay sa
bahagi ng mga ito A·
pagtaas
sa punto Z 0 tinawag pag-andar ng kaugalian f(Z) sa punto at itinalaga
.

Hawak ang teorama.

Teorama.

Upang ang pag-andarW = f(Z) ay naiba sa puntoZ 0 , ito ay kinakailangan at sapat na ito ay may isang finite derivative sa puntong ito
, at palaging lumalabas na sa representasyon (2)
.

Patunay.

Pangangailangan. Hayaang maging differentiable ang function sa punto Z 0 . Ipakita natin na mayroon itong finite derivative sa puntong ito, at ang derivative na ito ay katumbas ng numero A. Dahil sa pagkakaiba-iba f(Z) sa punto Z 0 nagaganap ang representasyon (2), ibig sabihin
(3). Pagpasa sa limitasyon dito sa
nakukuha natin yan
, Ibig sabihin
.

Kasapatan. Hayaan ang function f(Z) ay nasa punto Z 0 panghuling derivative
. Ipakita natin na ang representasyon (2) ay may hawak. Dahil sa pagkakaroon ng derivative
nagaganap ang representasyon (1), ngunit ito rin ay representasyon (2), kung saan A =
. Ang sapat ay naitatag.

Tulad ng alam natin, ang differential, na kumukuha bilang differential ng independent variable Z pagtaas nito
, ibig sabihin, ipagpalagay
, pwede tayong magsulat
at samakatuwid
(ito ay isang ratio ng mga pagkakaiba, hindi isang solong simbolo).

Konsepto ng isang function ng isang complex variable

Una, i-refresh natin ang ating kaalaman tungkol sa function ng paaralan ng isang variable:

Ang function ng isang variable ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat value ng independent variable (mula sa domain ng definition) ay tumutugma sa isa at isang value lang ng function. Naturally, ang "x" at "y" ay mga tunay na numero.

Sa kumplikadong kaso, ang functional dependence ay tinukoy nang katulad:

Ang single-valued function ng isang complex variable ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat complex value ng independent variable (mula sa domain ng definition) ay tumutugma sa isa at isang complex value lang ng function. Isinasaalang-alang din ng teorya ang multi-valued at ilang iba pang uri ng mga function, ngunit para sa pagiging simple ay tututuon ko ang isang kahulugan.

Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng isang kumplikadong variable function?

Ang pangunahing pagkakaiba: kumplikadong mga numero. Hindi ako ironic. Ang ganitong mga tanong ay madalas na nag-iiwan sa mga tao sa pagkahilo; sa dulo ng artikulo sasabihin ko sa iyo ang isang nakakatawang kuwento. Sa aralin Mga kumplikadong numero para sa mga dummies itinuring namin ang isang kumplikadong numero sa form. Dahil ngayon ang titik na "z" ay naging isang variable, ipahiwatig namin ito bilang mga sumusunod: , habang ang "x" at "y" ay maaaring tumagal sa iba't ibang mga tunay na halaga. Sa halos pagsasalita, ang pag-andar ng isang kumplikadong variable ay nakasalalay sa mga variable at , na kumukuha sa "ordinaryong" mga halaga. Ang sumusunod na punto ay lohikal na sumusunod mula sa katotohanang ito:

Tunay at haka-haka na bahagi ng isang function ng isang kumplikadong variable

Ang pag-andar ng isang kumplikadong variable ay maaaring isulat bilang:
, kung saan at ay dalawang function ng dalawang tunay na variable.

Ang function ay tinatawag na tunay na bahagi ng function.
Ang function ay tinatawag na imaginary na bahagi ng function.

Iyon ay, ang pag-andar ng isang kumplikadong variable ay nakasalalay sa dalawang tunay na pag-andar at . Upang sa wakas ay linawin ang lahat, tingnan natin ang mga praktikal na halimbawa:

Solusyon: Ang independiyenteng variable na "zet", tulad ng naaalala mo, ay nakasulat sa form , samakatuwid:

(1) Pinalitan namin ang .

(2) Para sa unang termino, ginamit ang pinaikling pormula ng pagpaparami. Sa termino, ang mga panaklong ay binuksan.

(3) Maingat na parisukat, hindi nakakalimutan iyon

(4) Pagpapangkat muli ng mga termino: una nating isusulat ang mga termino kung saan walang haka-haka na yunit (unang pangkat), pagkatapos ay ang mga termino kung saan mayroong (pangalawang pangkat). Dapat tandaan na ang pag-shuffling ng mga tuntunin ay hindi kinakailangan, at ang hakbang na ito ay maaaring laktawan (sa pamamagitan ng aktwal na paggawa nito nang pasalita).

(5) Para sa pangalawang grupo, inaalis namin ito sa mga bracket.

Bilang resulta, ang aming function ay lumabas na kinakatawan sa form

Sagot:
– tunay na bahagi ng function.
– haka-haka na bahagi ng function.

Anong uri ng mga pag-andar ang mga ito? Ang pinaka-karaniwang mga pag-andar ng dalawang mga variable mula sa kung saan maaari mong mahanap ang tulad sikat mga partial derivatives. Kung walang awa, mahahanap natin ito. Pero ilang sandali pa.

Sa madaling sabi, ang algorithm para sa nalutas na problema ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: pinapalitan namin , sa orihinal na pag-andar, nagsasagawa ng mga pagpapasimple at hatiin ang lahat ng mga termino sa dalawang grupo - nang walang isang haka-haka na yunit (tunay na bahagi) at may isang haka-haka na yunit (haka-haka na bahagi) .

Hanapin ang tunay at haka-haka na bahagi ng function

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Bago ka sumugod sa labanan sa kumplikadong eroplano na iginuhit ang iyong mga pamato, hayaan mo akong bigyan ka ng pinakamahalagang payo sa paksa:

MAG-INGAT KA! Kailangan mong mag-ingat, siyempre, sa lahat ng dako, ngunit sa mga kumplikadong numero dapat kang maging mas maingat kaysa dati! Tandaan na, maingat na buksan ang mga bracket, huwag mawalan ng anuman. Ayon sa aking mga obserbasyon, ang pinakakaraniwang pagkakamali ay ang pagkawala ng isang palatandaan. Huwag magmadali!

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ngayon ang kubo. Gamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon, nakukuha natin ang:
.

Ang mga formula ay napaka-maginhawang gamitin sa pagsasanay, dahil sila ay makabuluhang nagpapabilis sa proseso ng solusyon.

Pagkita ng kaibhan ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable.
Mga kondisyon ng Cauchy-Riemann

Mayroon akong dalawang balita: mabuti at masama. Magsisimula ako sa mabuti. Para sa isang function ng isang kumplikadong variable, ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya ay may bisa. Kaya, ang derivative ay kinuha sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa kaso ng isang function ng isang tunay na variable.

Ang masamang balita ay na para sa maraming mga pag-andar ng isang kumplikadong variable ay walang derivative, at kailangan mong malaman kung ang isang partikular na function ay naiba. At ang "pag-uunawa" kung ano ang nararamdaman ng iyong puso ay nauugnay sa mga karagdagang problema.

Isaalang-alang natin ang pag-andar ng isang kumplikadong variable. Upang ang function na ito ay maging differentiable ito ay kinakailangan at sapat:

1) Upang umiral ang mga partial derivative sa unang-order. Kalimutan kaagad ang tungkol sa mga notasyong ito, dahil sa teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable ay tradisyonal na ginagamit ang ibang notasyon: .

2) Upang ang tinatawag na mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan:

Sa kasong ito lamang magkakaroon ng derivative!

Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang function . Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Kung natugunan ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann, hanapin ang derivative ng function.

Ang solusyon ay nahahati sa tatlong magkakasunod na yugto:

1) Hanapin natin ang tunay at haka-haka na bahagi ng function. Ang gawaing ito ay tinalakay sa mga nakaraang halimbawa, kaya isusulat ko ito nang walang komento:

Simula noon:

kaya:
– tunay na bahagi ng function;
– haka-haka na bahagi ng function.

Hayaan akong manatili sa isa pang teknikal na punto: sa anong pagkakasunud-sunod dapat nating isulat ang mga termino sa tunay at haka-haka na mga bahagi? Oo, sa prinsipyo, hindi mahalaga. Halimbawa, ang tunay na bahagi ay maaaring isulat na ganito: , at ang haka-haka na bahagi ay ganito: .

3) Suriin natin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Dalawa sila.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagsuri sa kondisyon. Nahanap namin mga partial derivatives:

Kaya, ang kondisyon ay nasiyahan.

Siyempre, ang magandang balita ay ang mga partial derivatives ay halos palaging napakasimple.

Sinusuri namin ang katuparan ng pangalawang kondisyon:

Ang resulta ay pareho, ngunit may kabaligtaran na mga palatandaan, iyon ay, ang kondisyon ay natupad din.

Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan, samakatuwid ang function ay naiba-iba.

3) Hanapin natin ang derivative ng function. Ang derivative ay napaka-simple at matatagpuan ayon sa karaniwang mga patakaran:

Ang haka-haka na yunit ay itinuturing na pare-pareho sa panahon ng pagkita ng kaibhan.

Sagot: - tunay na bahagi, – haka-haka na bahagi.
Ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan, .

integral ng FKP. Ang teorama ni Cauchy.

Formula ( 52 ) ay tinatawag na Cauchy integral formula o Cauchy integral. Kung bilang isang contour sa ( 52 ) pumili ng isang bilog , pagkatapos, palitan at isinasaalang-alang na ang pagkakaiba ng haba ng arko , ang Cauchy integral ay maaaring katawanin bilang isang formula para sa average na halaga:

Bilang karagdagan sa independiyenteng kahulugan ng Cauchy integral formula, ( 52 ), (54 ) ay talagang nagbibigay ng isang napaka-maginhawang paraan upang makalkula ang mga integral ng contour, na, tulad ng makikita, ay ipahahayag sa pamamagitan ng halaga ng "natitira" ng integrand sa punto kung saan ang function na ito ay may isang singularity.

Halimbawa 3-9. Kalkulahin ang integral ng isang function kasama ang tabas (Fig.20).

Solusyon. Ang punto kung saan ang function ay may singularity, hindi tulad ng Halimbawa 4-1, ay matatagpuan sa loob ng bilog. Katawan natin ang integral sa anyo ( 52 ):

Ang formula ni Cauchy.

Hayaan ang isang rehiyon sa kumplikadong eroplano na may hiwa-hiwalay na makinis na hangganan, ang function ay holomorphic sa at maging isang punto sa loob ng rehiyon. Kung gayon ang sumusunod na formula ng Cauchy ay wasto:

Ang formula ay wasto din kung ipagpalagay natin na ito ay holomorphic sa loob at tuloy-tuloy sa pagsasara, at gayundin kung ang hangganan ay hindi hiwa-hiwalay na makinis, ngunit maitutuwid lamang. (Ang holomorphic function ay isang function ng isang kumplikadong numero, piecewise smooth ay isang function ng tunay na numero)

Elementarya FKP: Taylor function, trigonometric function, hyperbolic function, inverse trigonometric function, logarithmic function, Cauchy formula.

1. Derivative at differential. Ang mga kahulugan ng derivative at differential ng isang function ng isang complex variable ay nagtutugma sa verbatim sa mga kaukulang kahulugan para sa mga function ng isang solong real variable.

Hayaan ang function w = f(z) = at + iv tinukoy sa ilang kapitbahayan U puntos zo. Ibigay natin ang independent variable z = x + gu pagtaas A z= A.g + gau, hindi humahantong sa labas ng nakapalibot na lugar U. Pagkatapos ang function w = f(z) ay makakatanggap ng kaukulang increment Aw = = f(z 0 + Dg) - f(z 0).

Derivative ng function na w = f(z) sa puntong zq ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function Aw sa pagdami ng argumento A z habang nagsusumikap Az sa zero (sa isang arbitrary na paraan).

Ang derivative ay tinutukoy f"(z Q), w o y-. Ang kahulugan ng derivative ay maaaring isulat bilang

Maaaring wala ang limitasyon sa (6.1); tapos sinasabi nila na ang function w = f(z) ay walang derivative sa puntong zq.

Function w = f(z) tinawag naiba-iba tungkol sa puntong Zq, kung ito ay tinukoy sa ilang kapitbahayan U puntos zq at ang pagtaas nito Aw maaaring katawanin sa anyo

kung saan ang isang kumplikadong numero L ay hindi nakadepende sa A g, at ang function na a(Ag) ay infinitesimal sa Az-» 0, ibig sabihin. Pm a(Ag) = 0.

Tulad ng para sa mga function ng isang tunay na variable, ito ay pinatunayan na ang function f(z) differentiable sa punto zq kung at kung mayroon lamang itong derivative sa zo. at A = f"(zo). Pagpapahayag f"(zo)Az tinawag kaugalian ng function na f(z) sa puntong Zqat itinalaga dw o df(zo). Sa kasong ito, ang pagtaas Az ng independent variable -r ay tinatawag ding differential ng variable r at

ipinapahiwatig ng dz. kaya,

Ang kaugalian ay ang pangunahing linear na bahagi ng pagtaas ng function.

Halimbawa 6.1. Siyasatin kung mayroon ang function w= /(r) = R ez derivative sa isang arbitrary point Zq.

Solusyon. Sa kondisyon, w = Rea = X. Dahil sa kahulugan ng derivative, ang limitasyon (C.1) ay hindi dapat nakadepende sa kung aling landas

tuldok z = Zq + Az papalapit ika sa A z-? 0. Kunin muna natin ang A z - Ah(Larawan 15, a). kasi Ay = Ah. pagkatapos = 1. Kung

kumuha ng A z = iAy(Larawan 15, b), Iyon Oh= 0 at samakatuwid Aw = 0.

Ang ibig sabihin nito ay u = 0. Samakatuwid, ang relasyon ay magtataksil kapag Az-> 0 hindi A z A z

umiiral at samakatuwid ang pag-andar w= Re g = X ay walang derivative sa anumang punto.

Kasabay nito ang pag-andar w = z = X + iy, malinaw na may hinango sa anumang punto r, at /"(th) = 1. Mula dito ay malinaw na ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng differentiable function na f(r) ay hindi maaaring maging arbitrary; dapat silang konektado ng ilang karagdagang relasyon. Ang mga ugnayang ito ay lumitaw dahil ang kundisyon para sa pagkakaroon ng derivative /"(0) ay higit na mahigpit kaysa sa kundisyon para sa pagkakaroon ng derivative ng mga function ng isang tunay na variable o partial derivatives ng mga function ng ilang totoong variable: kinakailangan na ang limitasyon sa (6.1) ay umiiral at hindi nakasalalay sa landas, ayon sa kung saan ang punto r = r + Ar ay lumalapit sa r bilang Ar 0. Upang makuha ang mga ugnayang ito, alalahanin ang kahulugan ng pagkakaiba-iba ng isang function ng dalawang variable.

Tunay na pag-andar u = u(x,y) tunay na mga variable X At sa tinatawag na differentiable sa isang punto Ro(ho, oh), kung ito ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto D> at ang kabuuang pagtaas nito ay A At = kanilang o + Oh, oh+ A y) - at (ho, Uo) kinakatawan sa anyo

saan SA At SA- tunay na mga numero na independiyente sa J , Ay, A {3 Oh At Ay, tending to zero sa Oh -» 0, Ay-> 0.

Kung ang function At ay differentiable sa puntong Po, pagkatapos ay mayroon itong a

G," di(P 0)^ di(Ro) gt ,

ny derivatives sa Po, at SA= ---, C = ---. Ngunit (iba

oh oh

mula sa mga function ng isang variable) mula sa pagkakaroon ng mga partial derivatives ng function u(x,y) hindi pa nasusunod ang pagkakaiba-iba nito.

2. Mga kondisyon ng Cauchy-Riemann.

Teorama 6.1. Hayaan ang function na w = f(z) ng complex variable z= (f, y) ay tinukoy sa kapitbahayan ng punto, zq= (jo, y o) at f(z) = u(x,y) +iv(x, y). Upang ang f(z) ay maging differentiable sa puntong Zq, kinakailangan at sapat na ang mga function na u(x, y) XI v(x, y) ay naiba-iba sa punto(jo, oo) at sa puntong ito natutugunan ang mga kundisyon

Ang mga pagkakapantay-pantay (6.4) ay tinatawag Mga kondisyon ng Cauchy-Riemann .

Patunay. Pangangailangan. Hayaan ang function w = f(z) ay naiba sa puntong zq, i.e.

Tukuyin natin f"(zo) = a + ib a(Dg) = fi(Ax, Ау)+ g7(J, Ay); Az = Ah + (Ay, saan /3 at 7 - tunay na pag-andar ng mga variable Ah, oh, nagiging zero bilang J -> 0, Au -> 0. Ang pagpapalit ng mga pagkakapantay-pantay na ito sa (6.5) at paghihiwalay ng tunay at haka-haka na mga bahagi, makuha natin ang:

Dahil ang pagkakapantay-pantay ng mga kumplikadong numero ay katumbas ng pagkakapantay-pantay ng kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi, kung gayon ang (6.6) ay katumbas ng sistema ng pagkakapantay-pantay.

Ang mga pagkakapantay-pantay (6.7) ay nangangahulugan na ang mga function u(x,y), v(x,y) matugunan ang kundisyon (6.3) at, samakatuwid, ay naiba. Dahil ang mga coefficient para sa J at Ay ay katumbas ng mga partial derivatives na may paggalang sa w at sa naaayon, pagkatapos ay mula sa (6.7) makuha namin

kung saan sumusunod ang mga kondisyon (6.4).

Kasapatan. Ipagpalagay natin ngayon na ang mga function u(x, y) At v(x,y) naiba sa isang punto (ho.oo) At u(x,y) at nasiyahan ang mga kondisyon (6.4).

Ang pagtukoy ng a = ^, 6 = -^ at paglalapat ng (6.4), dumarating tayo sa mga pagkakapantay-pantay (6.8). Mula sa (6.8) at ang kondisyon ng pagkakaiba-iba ng mga function u(x,y), v(x,y) meron kami

kung saan ft, 7i, ft, d-2 - function na may posibilidad na zero bilang Ah -> 0, Au ->-> 0. Mula rito

An + iAv= (o + ib) (Ah + i.Ay)+ (ft + ift)Ax + (71 + *72) Ay.(6.9) Tukuyin natin ang function a(Dr) sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay

at ilagay A = A 4- ib. Pagkatapos (6.9) ay muling isusulat bilang pagkakapantay-pantay

na kasabay ng (6.2). Araw ng patunay ng pagkakaiba-iba

mga function f(z) Ito ay nananatiling ipakita na ang lim a(Az) = 0. Mula sa pagkakapantay-pantay

sinusundan iyon Oh^ |Dg|, Ay^ |Dg|. kaya lang

Kung Az-? 0, pagkatapos Oh-? 0, Ay-> 0, na nangangahulugan na ang mga function na ft, ft, 71, 72 ay may posibilidad na zero. Samakatuwid a(Dr) -> 0 sa Az-> 0, at ang patunay ng Theorem 6.1 ay kumpleto na.

Halimbawa 6.2. Alamin kung ang isang function ay w = z 2 naiba-iba; kung gayon, sa anong mga punto?

Solusyon, w = u + iv = (x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2ixy, saan at = = x 2 - y 2, V = 2xy. Kaya naman,

Kaya, ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann (6.4) ay nasiyahan sa bawat punto; ibig sabihin ang function w = g 2 ay magiging differentiable sa C.

Halimbawa 6.3. Siyasatin ang pagkakaiba-iba ng isang function w = - z - x - iy.

Solusyon. w = u + iv = x - iy, saan u = x, v = -y At

Kaya, ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay hindi nasiyahan sa anumang punto, at samakatuwid ang pag-andar w = z ay hindi naiba kahit saan.

Maaari mong suriin ang pagkakaiba-iba ng isang function at direktang maghanap ng mga derivative gamit ang formula (6.1).

Halimbawa 6.4. Gamit ang formula (6.1), siyasatin ang differentiability ng function IV = z 2.

Solusyon. A w- (zq + A z) 2- Zq = 2 zqAz -I- (A z) 2 , saan

Samakatuwid, ang pag-andar w = zr ay differentiable sa anumang punto 2o, at ang hinango nito f"(zo) =2 zo-

Dahil ang mga pangunahing theorems sa mga limitasyon ay pinapanatili para sa mga pag-andar ng isang kumplikadong variable, at ang kahulugan ng derivative ng isang function ng isang kumplikadong variable ay hindi rin naiiba sa kaukulang kahulugan para sa mga function ng isang tunay na variable, kung gayon ang mga kilalang panuntunan para sa Ang pagkakaiba-iba ng kabuuan, pagkakaiba, produkto, quotient at kumplikadong function ay mananatiling wasto para sa mga function ng isang kumplikadong variable . Katulad nito, maaari ding mapatunayan na kung ang function f(z) differentiable sa punto zo. pagkatapos ito ay tuloy-tuloy sa puntong ito; hindi totoo ang kabaligtaran.

3. Analytical function. Function w= /(^nakakaiba lamang sa mismong punto zq, ngunit din sa ilang kapitbahayan ng puntong ito, ay tinatawag analitikal sa puntong zq. Kung f(z) ay analytic sa bawat punto ng rehiyon D, tapos tinawag na analytic (regular, holomorphic) sa domain D.

Mula sa mga katangian ng mga derivatives ito ay agad na sumusunod na kung f(z) At g(z)- analytical function sa larangan D, pagkatapos ay ang mga pag-andar f(z) + g(z), f(z) - g(z), f(z) g(z) analytical din sa larangan D, at ang quotient f(z)/g(z) analytical function sa lahat ng punto ng rehiyon D. kung saan g(z) f 0. Halimbawa, function

ay analytic sa C plane na may mga bumabagsak na puntos z= = 1 at z - ako.

Ang sumusunod na pahayag ay sumusunod mula sa theorem sa derivative ng isang complex function: kung ang function At = u(z) ay analitikal sa domain D at mga pagpapakita D sa rehiyon D" variable at, at function w = f(u) analitikal sa larangan D", pagkatapos ay isang kumplikadong function w = f(u(z)) variable z analitikal sa D.

Ipakilala natin ang konsepto ng isang function na analytic sa isang closed domain D. Ang pagkakaiba sa bukas na rehiyon dito ay ang mga boundary point ay idinagdag na walang kapitbahayan na kinabibilangan D; samakatuwid ang derivative sa mga puntong ito ay hindi tinukoy. Function f(z) tinawag analitikal (regular, holomorphic) sa isang saradong rehiyon D, kung ang function na ito ay maaaring palawakin sa ilang mas malawak na lugar D i naglalaman D, sa analitikal D mga function.

• Ang mga kondisyon (6.4) ay pinag-aralan noong ika-18 siglo. d'Alembert at Euler. Samakatuwid, kung minsan ay tinatawag din silang mga kondisyon ng d'Alembert-Euler, na mas tama mula sa makasaysayang pananaw.