Mag-log ayon sa base. Mga katangian ng mga logarithms at halimbawa ng kanilang mga solusyon. Pangkalahatang gabay (2020). Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms
"Naiikling mga formula ng pagpaparami" - Kapag pinararami ang dalawang polynomial, ang bawat termino ng unang polynomial ay pinarami ng bawat term ng pangalawang polynomial at idinagdag ang mga produkto. Naiikling mga formula ng pagpaparami. Kapag nagdaragdag at nagbawas ng mga polynomial, ginagamit ang mga panuntunan sa pagpapalawak ng panaklong. Ang mga ekonomiko ay mga produkto ng mga numero, variable at kanilang likas na degree.
"Paglutas ng isang sistema ng mga equation" - Para sa graphic na graphic (algorithm). Ang isang equation ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isa o higit pang mga variable. Pagkakapantay-pantay at mga katangian nito. Paraan ng mga determinasyon (algorithm). System ng mga equation at ang solusyon nito. Solusyon ng system sa pamamagitan ng paghahambing. Pagkakabit ng Linear na may dalawang variable. Solusyon ng system sa pamamagitan ng pamamaraan ng karagdagan.
"Mga Paglulutas ng Mga Sistema ng Mga Katangian" - Mga Interval. Dictation ng matematika. Mga halimbawa ng mga solusyon ng mga system mga hindi pagkakapantay-pantay na linya... Paglutas ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Upang malutas ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na linya, sapat na upang malutas ang bawat isa sa mga hindi pagkakapareho na kasama dito at hanapin ang interseksyon ng mga hanay ng kanilang mga solusyon. Isulat ang mga hindi pagkakapareho na ang mga hanay ng solusyon ay mga agwat.
"Mga Katangian ng Kahusayan" - Hindi karapat-dapat na pag-sign. Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay. Pinakasimpleng solusyon hindi pagkakapantay-pantay na hindi pagkakapantay-pantay... Solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na hindi pagkakapantay-pantay. Ano ang dapat isaalang-alang kapag paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay na pagkakapareho? Solusyon ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay na pagkakapareho. Ang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi kilalang isang exponent ay tinatawag na isang hindi pagkakapantay-pantay na pagkakapantay-pantay.
"Mga ratio ng mga numero" - Ano ang proporsyon? Ano ang mga bilang m at n na tinatawag sa proporsyon a: m \u003d n: b? Ang quotient ng dalawang numero ay tinatawag na ratio ng dalawang numero. Marketing LAN. Sa tamang proporsyon, ang produkto ng matinding termino ay katumbas ng produkto ng mga gitnang term at kabaligtaran. Ano ang isang saloobin? Mga proporsyon. Ang ratio ay maaaring ipahayag bilang isang porsyento.
"Kawalang-kilos ng isang kuwadradong equation" - teorema ni Vieta. Quadratic equation. Hindi mapaniniwalaan. Anong mga equation ang tinatawag na hindi kumpletong mga equation ng quadratic? Gaano karaming mga ugat ang mayroon ng isang equation kung ang diskriminaryo nito ay zero? Paglutas ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic. Gaano karaming mga ugat ang mayroon ng isang equation kung negatibo ang diskriminasyon nito?
Mayroong 14 na presentasyon sa kabuuan
Saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga (ODV) ng logarithm
Ngayon pag-usapan natin ang tungkol sa mga hadlang (ODZ ay ang saklaw ng mga pinapayagan na halaga ng mga variable).
Natatandaan namin iyon, halimbawa, ang ugat ng square hindi maaaring makuha mula sa mga negatibong numero; o kung mayroon kaming isang bahagi, kung gayon ang denominator ay hindi maaaring maging zero. Ang mga logarithms ay may katulad na mga paghihigpit:
Iyon ay, kapwa ang argumento at ang base ay dapat na malaki kaysa sa zero, at ang batayan ay hindi rin maaaring maging pantay.
Bakit ganito?
Magsimula tayo nang simple: sabihin natin iyan. Kung gayon, halimbawa, ang bilang ay hindi umiiral, dahil kahit na anong antas kami itataas, palaging lumiliko ito. Bukod dito, hindi ito umiiral para sa anuman. Ngunit sa parehong oras maaari itong maging pantay sa anumang bagay (para sa parehong dahilan - sa anumang degree ay pantay). Samakatuwid, ang bagay ay walang interes, at ito ay simpleng itinapon sa matematika.
Mayroon kaming isang katulad na problema sa kaso: sa anumang positibong degree na ito, ngunit hindi ito maiangat sa isang negatibong antas, dahil ang paghahati sa zero ay makuha (tandaan na).
Kapag nahaharap tayo sa problema ng pagtaas sa isang fractional power (na kung saan ay kinakatawan bilang isang ugat:. Halimbawa, (iyon ay), ngunit hindi umiiral.
Samakatuwid, mas madaling itapon ang negatibong mga batayan kaysa sa gulo sa kanila.
Buweno, dahil ang batayan ay mayroon lamang tayong positibo, kung gayon kahit anong antas natin itataas ito, palaging makakakuha tayo ng isang mahigpit na positibong numero. Samakatuwid, ang argumento ay dapat na positibo. Halimbawa, hindi ito umiiral, dahil hindi ito magiging isang negatibong numero sa anumang paraan (at kahit zero, samakatuwid ay hindi ito umiiral).
Sa mga problema sa mga logarithms, ang unang hakbang ay isulat ang ODV. Narito ang isang halimbawa:
Malutas natin ang equation.
Alalahanin ang kahulugan: ang isang logarithm ay ang antas kung saan dapat itataas ang base upang makakuha ng isang argumento. At sa kondisyon, ang degree na ito ay katumbas ng:.
Nakukuha namin ang karaniwang quadratic equation:. Malutas natin ito gamit ang teorema ng Vieta: ang kabuuan ng mga ugat ay pantay, at ang produkto. Madaling pumili, ito ay mga numero at.
Ngunit kung agad mong isusulat at isulat ang pareho sa mga bilang na ito sa sagot, makakakuha ka ng 0 puntos para sa problema. Bakit? Isipin natin kung ano ang mangyayari kung papalitan natin ang mga ugat na ito sa paunang pagkakapareho?
Malinaw na mali ito, dahil ang base ay hindi maaaring negatibo, iyon ay, ang ugat ay "labas".
Upang maiwasan ang mga hindi kanais-nais na trick, kailangan mong isulat ang ODV bago mo simulan ang paglutas ng equation:
Pagkatapos, natanggap ang mga ugat at, agad naming itapon ang ugat at isulat ang tamang sagot.
Halimbawa 1 (subukang lutasin ito sa iyong sarili) :
Hanapin ang ugat ng equation. Kung mayroong maraming mga ugat, ipahiwatig ang pinakamaliit sa mga ito sa iyong sagot.
Desisyon:
Una sa lahat, isulat natin ang ODZ:
Ngayon tandaan natin kung ano ang isang logarithm: sa anong antas dapat itataas ang base upang makakuha ng isang argumento? Pangalawa. I.e:
Tila na ang mas maliit na ugat ay pantay. Ngunit hindi ito: ayon sa ODZ, ang ugat ay panlabas, iyon ay, hindi ito ugat ng ibinigay na equation. Kaya, ang equation ay may isang ugat lamang:.
Sagot: .
Batayang pagkakakilanlan ng logarithmic
Alalahanin natin ang kahulugan ng logarithm sa pangkalahatan:
Palitan natin ang pangalawang pagkakapantay-pantay sa halip na logarithm:
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag ang pangunahing pagkakakilanlan ng logarithmic... Bagaman sa kakanyahan ang pagkakapantay-pantay na ito ay simpleng isinulat nang naiiba kahulugan ng logarithm:
Ito ang degree na dapat itaas ng isa upang matanggap.
Halimbawa:
Malutas ang mga sumusunod na halimbawa:
Halimbawa 2.
Hanapin ang kahulugan ng expression.
Desisyon:
Alalahanin natin ang panuntunan mula sa seksyon: iyon ay, kapag pinalaki ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga tagapagpahiwatig ay dumami. Ilapat natin ito:
Halimbawa 3.
Patunayan na.
Desisyon:
Mga katangian ng logarithms
Sa kasamaang palad, ang mga gawain ay hindi laging simple - madalas kailangan mo munang gawing simple ang pagpapahayag, dalhin ito sa karaniwang form nito, at pagkatapos ay posible na kalkulahin ang halaga. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay ang pag-alam mga katangian ng logarithms... Kaya alamin natin ang mga pangunahing katangian ng logarithms. Patunayan ko ang bawat isa sa kanila, sapagkat ang anumang patakaran ay mas madaling matandaan kung alam mo kung saan nanggaling.
Dapat tandaan ang lahat ng mga pag-aari na ito; kung wala ang mga ito, ang karamihan sa mga problema sa mga logarithms ay hindi malulutas.
At ngayon tungkol sa lahat ng mga pag-aari ng mga logarithms nang mas detalyado.
Ari-arian 1:
Katibayan:
Hayaan, kung gayon.
Mayroon kaming :, h.t.d.
Ari-arian 2: Kabuuan ng mga logarithms
Ang kabuuan ng mga logarithms na may parehong mga base ay pantay sa logarithm ng produkto: .
Katibayan:
Hayaan, kung gayon. Hayaan, kung gayon.
Halimbawa:Hanapin ang kahulugan ng expression:.
Desisyon: .
Ang formula na natutunan mo lamang ay nakakatulong upang gawing simple ang kabuuan ng mga logarithms, hindi ang pagkakaiba, kaya ang mga logarithms ay hindi maaaring pagsamahin kaagad. Ngunit maaari mong gawin ang kabaligtaran - "split" ang unang logarithm sa dalawa: At narito ang ipinangakong pagpapasimple:
.
Bakit ito kinakailangan? Well, halimbawa: ano ang mahalaga?
Malinaw na ngayon iyon.
Ngayon gawing simple ang iyong sarili:
Mga Gawain:
Mga sagot:
Ari-arian 3: Pagkakaiba ng mga logarithms:
Katibayan:
Ang lahat ay eksaktong pareho sa point 2:
Hayaan, kung gayon.
Hayaan, kung gayon. Meron kami:
Ang halimbawa mula sa huling talata ay nagiging mas madali:
Isang mas kumplikadong halimbawa:. Maaari mong hulaan kung paano magpasya?
Dapat pansinin dito na wala kaming isang solong pormula tungkol sa mga parisukat na logarithms. Ito ay isang bagay na nauugnay sa isang expression - hindi ito maaaring gawing gawing simple.
Samakatuwid, maghuhukay tayo mula sa mga pormula tungkol sa mga logarithms, at isipin kung ano ang mga formula na ginagamit natin sa matematika madalas? Kahit na simula sa ika-7 na baitang!
Ito -. Kailangan mong masanay sa katotohanan na sila ay kahit saan! At sa exponential, at sa trigonometriko, at sa mga hindi makatwiran na mga problema, sila ay matatagpuan. Samakatuwid, dapat nilang alalahanin.
Kung titingnan mo nang mabuti ang unang dalawang termino, malinaw na ito pagkakaiba-iba ng mga parisukat:
Sagot para sa pagpapatunay:
Pasimplehin ang iyong sarili.
Mga halimbawa ng
Mga sagot.
Ari-arian 4: Pag-alis ng exponent mula sa argumento ng logarithm:
Katibayan:At dito ginagamit din namin ang kahulugan ng isang logarithm: hayaan, kung gayon. Mayroon kaming :, h.t.d.
Maaari mong maunawaan ang panuntunang ito tulad nito:
Iyon ay, ang antas ng argumento ay inilipat nangunguna sa logarithm, bilang isang koepisyent.
Halimbawa:Hanapin ang kahulugan ng expression.
Desisyon: .
Magpasya para sa iyong sarili:
Mga halimbawa:
Mga sagot:
Ari-arian 5: Pag-alis ng exponent mula sa base ng logarithm:
Katibayan:Hayaan, kung gayon.
Mayroon kaming :, h.t.d.
Tandaan: mula bakuran ang degree ay nai-render bilang baligtad bilang, hindi katulad ng nakaraang kaso!
Ari-arian 6: Pag-aalis ng exponent mula sa base at ang logarithm argument:
O kung pareho ang mga degree:.
Ari-arian 7: Paglilipat sa isang bagong base:
Katibayan:Hayaan, kung gayon.
Mayroon kaming :, h.t.d.
Ari-arian 8: Pagpalit ng base at logarithm argument:
Katibayan:Ito ay isang espesyal na kaso ng formula 7: kung kapalit namin, nakuha namin:, p.t.d.
Tingnan natin ang ilan pang mga halimbawa.
Halimbawa 4.
Hanapin ang kahulugan ng expression.
Ginagamit namin ang pag-aari ng mga logarithms number 2 - ang kabuuan ng logarithms na may parehong base ay katumbas ng logarithm ng produkto:
Halimbawa 5.
Hanapin ang kahulugan ng expression.
Desisyon:
Ginagamit namin ang pag-aari ng mga logarithms # 3 at # 4:
Halimbawa 6.
Hanapin ang kahulugan ng expression.
Desisyon:
Paggamit ng pag-aari # 7 - lumipat sa base 2:
Halimbawa 7.
Hanapin ang kahulugan ng expression.
Desisyon:
Paano mo gusto ang artikulo?
Kung binabasa mo ang mga linyang ito, nabasa mo na ang buong artikulo.
At ang cool!
Ngayon sabihin sa amin kung paano mo gusto ang artikulo?
Nalaman mo ba kung paano malutas ang mga logarithms? Kung hindi, ano ang problema?
Sumulat sa amin sa mga komento sa ibaba.
At, oo, good luck sa iyong mga pagsusulit.
Sa pagsusulit at pagsusulit at sa pangkalahatan sa buhay
(mula sa Greek λόγος - "salita", "ugnayan" at ἀριθμός - "number") b sa kadahilanan a (mag-log α b) ay tinatawag na tulad ng isang numero cat b= a c, iyon ay, mag-log α b=c at b \u003d a c katumbas. Ang logarithm ay may katuturan kung isang 0, at ≠ 1, b\u003e 0.
Sa ibang salita logarithm numero b sa kadahilanan atformulated bilang isang tagapagpahiwatig degree , kung saan kailangan mong itaas ang bilang aupang makuha ang numero b(ang logarithm ay umiiral lamang para sa mga positibong numero).
Ang pagbabalangkas na ito ay nagpapahiwatig na ang pagkalkula x \u003d log α b, ay katumbas sa paglutas ng equation a x \u003d b.
Halimbawa:
mag-log 2 8 \u003d 3 dahil 8 \u003d 2 3.
Binibigyang diin namin na ang pagbubuo sa itaas logarithm ginagawang posible upang matukoy agad halaga ng logarithm, kapag ang numero sa ilalim ng pag-sign ng logarithm ay ilang antas ng base. At sa katotohanan, ang pagbabalangkas ng logarithm ay posible upang mapatunayan na kung b \u003d a c, pagkatapos ay ang logarithm ng bilang b sa kadahilanan a ay pantay mula sa... Malinaw din na ang paksa ng logarithm ay malapit na nauugnay sa paksa antas ng bilang .
Ang pagkalkula ng logarithm ay tinatawag sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithm... Ang pagkuha ng logarithm ay ang pagpapatakbo ng matematika ng pagkuha ng logarithm. Kapag kumukuha ng logarithm, ang produkto ng mga kadahilanan ay binago sa kabuuan ng mga term.
Potentiation ay isang pagpapatakbo ng matematika na kabaligtaran sa logarithm. Kapag potentiating, ang ibinigay na base ay nakataas sa kapangyarihan expression na maging potensyal. Sa kasong ito, ang mga kabuuan ng mga miyembro ay binago sa produkto ng mga kadahilanan.
Ang mga totoong logarithms na may mga batayan 2 (binary), e bilang ng Euler's e ≈ 2.718 (natural logarithm) at 10 (desimal) ay madalas na ginagamit.
Sa yugtong ito, ipinapayong isaalang-alang mga halimbawa ng logarithmsmag-log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
At ang mga entry lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ay hindi nagkakaroon ng kahulugan, dahil sa una sa mga ito sa ilalim ng logarithm sign ay nakalagay negatibong numero , sa pangalawa - isang negatibong numero sa base, at sa pangatlo - parehong isang negatibong numero sa ilalim ng pag-sign ng logarithm at isa sa base.
Mga kundisyon para sa pagtukoy ng logarithm.
Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nang hiwalay ang mga kundisyon ng\u003e 0, isang ≠ 1, b\u003e 0 sa ilalim ng kung saan kahulugan logarithm. Isaalang-alang natin kung bakit kinuha ang mga paghihigpit na ito. Isang pagkakapantay-pantay ng form x \u003d log α b na tinatawag na pangunahing logarithmic pagkakakilanlan , na direktang sumusunod mula sa kahulugan ng isang logarithm na ibinigay sa itaas.
Alisin natin ang kundisyon isang. 1... Dahil ang yunit sa anuman degree ay pantay sa isa, kung gayon ang pagkakapantay-pantay x \u003d log α b maaaring umiiral lamang kapag b \u003d 1, ngunit sa kasong ito ang log 1 1 ay magkakaroon totoong numero ... Upang matanggal ang kalabuan, kinuha namin isang. 1.
Patunayan natin ang pangangailangan ng kundisyon isang\u003e 0... Kailan isang \u003d 0 ayon sa pagbabalangkas ng logarithm, maaari lamang itong umiral para sa b \u003d 0... At ayon doon mag-log 0 0maaaring maging anumang nonzero totoong numero, dahil zero sa anumang degree nonzero ay zero. Upang ibukod ang kalabuan na ito ay ibinibigay ng kundisyon isang ≠ 0... At kailan a<0 kailangan nating tanggihan ang pag-parse makatuwiran at hindi makatwiran ang mga halaga ng logarithm, dahil ang degree na may makatwiran at hindi makatwiran na exponent ay tinukoy lamang para sa mga hindi negatibong mga base. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang kondisyon ay itinakda isang\u003e 0.
At ang huling kondisyon b\u003e 0 sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay isang\u003e 0mula nang x \u003d mag-log α b, at ang halaga ng degree na may positibong base a laging positibo.
Mga Tampok ng logarithms.
Logarithms nailalarawan sa pamamagitan ng natatanging tampok, na humantong sa kanilang malawak na paggamit upang makabuluhang mapadali ang pagkalkula ng painstaking. Sa paglipat "sa mundo ng logarithms" pagpaparami ay nabago sa isang mas madaling pagdaragdag, paghahati sa pagbabawas, at ang exponentiation at root extraction ay nagbabago nang naaayon sa pagpaparami at paghahati ng isang exponent.
Pagbubuo ng mga logarithms at isang talahanayan ng kanilang mga halaga (para sa mga pag-andar ng trigonometriko) ay unang nai-publish noong 1614 ng Scottish matematika John Napier. Ang mga talahanayan ng Logarithmic, pinalaki at detalyado ng iba pang mga siyentipiko, ay malawakang ginamit sa mga kalkulasyong pang-agham at engineering, at nanatiling may kaugnayan hanggang sa ginagamit ang mga electronic calculator at computer.
