Pagbabago ng mga sistema ng coordinate sa isang eroplano. Pagbabago ng isang Cartesian rectangular coordinate system sa isang eroplano. I. Privalov "Analytical geometry"

Hayaang magbigay ng dalawang arbitrary na Cartesian rectangular coordinate system sa eroplano. Ang una ay tinutukoy ng simula ng O at ang mga batayang vectors i j , ang pangalawa – ang sentro TUNGKOL SA' at mga batayang vector i ’ j ’ .

Itakda natin ang layunin ng pagpapahayag ng x y coordinate ng ilang point M na may kaugnayan sa unang coordinate system sa pamamagitan ng x’ At y’ – mga coordinate ng parehong punto na may kaugnayan sa pangalawang sistema.

pansinin mo yan

Tukuyin natin ang mga coordinate ng point O' na may kaugnayan sa unang sistema ng a at b:

Palawakin natin ang mga vectors i ’ At j ’ sa pamamagitan ng batayan i j :

(*)

Bilang karagdagan, mayroon kaming:
. Ipakilala natin dito ang pagpapalawak ng mga vector na may paggalang sa batayan i ’ j ’ :

mula rito

Maaari nating tapusin: anuman ang dalawang arbitrary na sistema ng Cartesian sa eroplano, ang mga coordinate ng anumang punto sa eroplano na may kaugnayan sa unang sistema ay mga linear na function ng mga coordinate ng parehong punto na nauugnay sa pangalawang sistema.

I-multiply muna natin ang mga equation (*) nang scalar sa i , pagkatapos j :

TUNGKOL SA tinutukoy ng  ang anggulo sa pagitan ng mga vectors i At i ’ . Sistema ng coordinate i j maaaring isama sa sistema i ’ j ’ sa pamamagitan ng parallel translation at kasunod na pag-ikot sa isang anggulo . Ngunit narito ang isang opsyon sa arko ay posible rin: ang anggulo sa pagitan ng mga batayang vector i i ’ gayundin ang , at ang anggulo sa pagitan ng mga batayang vector j ’ j ’ katumbas ng  - . Ang mga sistemang ito ay hindi maaaring pagsamahin sa parallel na pagsasalin at pag-ikot. Kinakailangan din na baguhin ang direksyon ng axis sa sa kabaligtaran.

Mula sa formula (**) nakukuha namin sa unang kaso:

Sa pangalawang kaso

Ang mga formula ng conversion ay:

Hindi namin isasaalang-alang ang pangalawang kaso. Sumang-ayon tayo na isaalang-alang ang parehong mga sistema na tama.

Yung. konklusyon: anuman ang dalawang tamang sistema ng coordinate, ang una sa mga ito ay maaaring pagsamahin sa pangalawa sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin at kasunod na pag-ikot sa paligid ng pinagmulan sa pamamagitan ng isang tiyak na anggulo .

Parallel transfer formula:

Mga formula ng pag-ikot ng axes:

Baliktad na mga conversion:

Pagbabago ng Cartesian rectangular coordinate sa espasyo.

Sa espasyo, pangangatwiran sa katulad na paraan, maaari nating isulat:

(***)

At para sa mga coordinate makakuha ng:

(****)

Kaya, anuman ang dalawang arbitrary coordinate system sa espasyo, ang x y z coordinates ng ilang punto na nauugnay sa unang sistema ay mga linear function ng mga coordinate. x’ y’ z’ ang parehong punto na nauugnay sa pangalawang sistema ng coordinate.

Pag-multiply ng bawat isa sa mga pagkakapantay-pantay (***) nang scalar sa i ’ j ’ k ’ nakukuha natin:

SA Linawin natin ang geometric na kahulugan ng mga formula ng pagbabagong-anyo (****). Upang gawin ito, ipagpalagay na ang parehong mga sistema ay may isang karaniwang simula: a = b = c = 0 .

Ipakilala natin sa pagsasaalang-alang ang tatlong anggulo na ganap na nagpapakilala sa lokasyon ng mga axes ng pangalawang sistema na may kaugnayan sa una.

Ang unang anggulo ay nabuo ng x-axis at ang u-axis, na siyang intersection ng xOy at x'Oy' na mga eroplano. Ang direksyon ng anggulo ay ang pinakamaikling pagliko mula sa x hanggang y axis. Tukuyin natin ang anggulo sa pamamagitan ng . Ang pangalawang anggulo  ay ang anggulo na hindi lalampas sa  sa pagitan ng mga axes ng Oz at Oz. Panghuli, ang ikatlong anggulo  ay ang anggulo sa pagitan ng u-axis at Ox’, na sinusukat mula sa u-axis sa direksyon ng pinakamaikling pagliko mula sa Ox’ hanggang Oy’. Ang mga anggulong ito ay tinatawag na mga anggulo ng Euler.

Ang pagbabago ng unang sistema tungo sa pangalawa ay maaaring ilarawan bilang sunud-sunod na tatlong pag-ikot: sa pamamagitan ng isang anggulo  na may kaugnayan sa Oz axis; sa pamamagitan ng anggulo  na may kaugnayan sa axis ng Ox; at sa pamamagitan ng isang anggulo  na may kaugnayan sa axis ng Oz.

Ang mga numerong  ij ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga anggulo ng Euler. Hindi namin isusulat ang mga formula na ito dahil masalimuot ang mga ito.

Ang pagbabagong-anyo mismo ay isang superposisyon ng parallel na pagsasalin at tatlong magkakasunod na pag-ikot sa pamamagitan ng mga anggulo ng Euler.

Ang lahat ng mga argumentong ito ay maaaring isagawa para sa kaso kapag ang parehong mga sistema ay kaliwa, o may iba't ibang oryentasyon.

Kung mayroon tayong dalawang arbitrary na sistema, kung gayon, sa pangkalahatan, maaari nating pagsamahin ang mga ito sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin at isang pag-ikot sa espasyo sa paligid ng isang tiyak na axis. Hindi namin siya hahanapin.

1) Paglipat mula sa isang Cartesian rectangular coordinate system sa isang eroplano patungo sa isa pang Cartesian rectangular system na may parehong oryentasyon at parehong pinagmulan.

Ipagpalagay natin na ang dalawang Cartesian rectangular coordinate system ay ipinakilala sa eroplano xOy at may iisang pinanggalingan TUNGKOL SA, pagkakaroon ng parehong oryentasyon (Larawan 145). Tukuyin natin ang mga unit vector ng mga palakol Oh At OU ayon sa pagkakabanggit, through at , at ang unit vectors ng mga axes at through at . Sa wakas, hayaan ang anggulo mula sa axis Oh sa axis. Hayaan X At sa– mga coordinate ng isang di-makatwirang punto M sa sistema xOy, at at ang mga coordinate ng parehong punto M sa sistema.

Dahil ang anggulo mula sa axis Oh sa vector ay katumbas ng , pagkatapos ay ang mga coordinate ng vector

Anggulo mula sa axis Oh sa vector ay katumbas ng ; samakatuwid ang mga coordinate ng vector ay pantay.

Ang mga formula (3) § 97 ay kunin ang form

Transition matrix mula sa isang Cartesian xOy rectangular coordinate system sa isa pang rectangular system na may parehong oryentasyon ay may anyo

Ang isang matrix ay tinatawag na orthogonal kung ang kabuuan ng mga parisukat ng mga elemento na matatagpuan sa bawat haligi ay katumbas ng 1, at ang kabuuan ng mga produkto ng mga kaukulang elemento ng iba't ibang mga haligi ay katumbas ng zero, i.e. Kung

Kaya, ang transition matrix (2) mula sa isang rectangular coordinate system patungo sa isa pang rectangular system na may parehong orthogonal ay orthogonal. Tandaan din na ang determinant ng matrix na ito ay +1:

Sa kabaligtaran, kung ang isang orthogonal matrix (3) na may determinant na katumbas ng +1 ay ibinigay, at isang Cartesian rectangular coordinate system ay ipinakilala sa eroplano xOy, pagkatapos ay sa bisa ng mga relasyon (4) ang mga vector ay parehong unit at magkaparehong patayo, samakatuwid, ang mga coordinate ng vector sa system xOy ay katumbas ng at , kung saan ang anggulo mula sa vector patungo sa vector, at dahil ang vector ay unit at nakukuha natin mula sa vector sa pamamagitan ng pag-ikot ng , kung gayon alinman sa , o .

Ang pangalawang posibilidad ay hindi kasama, dahil kung kami ay nagkaroon ng , pagkatapos ito ay ibinigay sa amin na .

Ang ibig sabihin nito ay , at ang matrix A parang

mga. ay ang transition matrix mula sa isang rectangular coordinate system xOy sa isa pang hugis-parihaba na sistema na may parehong oryentasyon, at ang anggulo .

2. Paglipat mula sa isang Cartesian rectangular coordinate system sa isang eroplano patungo sa isa pang Cartesian na rectangular system na may kabaligtaran na oryentasyon at parehong pinagmulan.

Hayaang ipakilala ang dalawang Cartesian rectangular coordinate system sa eroplano xOy at may iisang pinanggalingan TUNGKOL SA, ngunit ang pagkakaroon ng kabaligtaran na oryentasyon, sabihin natin ang anggulo mula sa axis Oh sa axis through (ang oryentasyon ng eroplano ay itinakda ng system xOy).

Dahil ang anggulo mula sa axis Oh sa vector ay katumbas ng , pagkatapos ay ang mga coordinate ng vector ay katumbas:

Ngayon ang anggulo mula sa vector hanggang sa vector ay pantay (Fig. 146), kaya ang anggulo mula sa axis Oh sa vector ay pantay (sa pamamagitan ng Chasles' theorem para sa mga anggulo) at samakatuwid ang mga coordinate ng vector ay pantay:

At ang mga formula (3) § 97 ay kunin ang form

Transition Matrix

orthogonal, ngunit ang determinant nito ay –1. (7)

Sa kabaligtaran, ang anumang orthogonal matrix na may determinant na katumbas ng –1 ay tumutukoy sa pagbabago ng isang rectangular coordinate system sa eroplano patungo sa isa pang rectangular system na may parehong pinagmulan ngunit kabaligtaran ng oryentasyon. Kaya, kung ang dalawang Cartesian rectangular coordinate system xOy at magkaroon ng isang karaniwang simula, kung gayon

saan X, sa– mga coordinate ng anumang punto sa system xOy; at ang mga coordinate ng parehong punto sa system, at

orthogonal matrix.

Balik kung

arbitrary orthogonal matrix, pagkatapos ay ang mga relasyon

nagpapahayag ng pagbabago ng isang Cartesian rectangular coordinate system sa isang Cartesian rectangular sistema na may parehong pinagmulan; - mga coordinate sa system xOy isang unit vector na nagbibigay ng positibong direksyon ng axis; - mga coordinate sa system xOy unit vector na nagbibigay ng positibong direksyon ng axis.

mga sistema ng coordinate xOy at may parehong oryentasyon, at sa kasong ito, ang kabaligtaran.

3. Pangkalahatang pagbabago ng isang Cartesian rectangular coordinate system sa isang eroplano patungo sa isa pang rectangular system.

Batay sa mga puntos 1) at 2) ng talatang ito, gayundin sa batayan ng § 96, napagpasyahan namin na kung ang mga rectangular coordinate system ay ipinakilala sa eroplano xOy at , pagkatapos ay ang mga coordinate X At sa di-makatwirang punto M mga eroplano sa system xOy na may mga coordinate ng parehong punto M sa sistema ay konektado sa pamamagitan ng mga relasyon - ang mga coordinate ng pinagmulan ng coordinate system sa system xOy.

Tandaan na ang luma at bagong mga coordinate X, sa at , ang mga vector sa ilalim ng pangkalahatang pagbabago ng Cartesian rectangular coordinate system ay nauugnay sa mga relasyon

kung sakaling ang mga sistema xOy at may parehong oryentasyon at relasyon

kung sakaling ang mga sistemang ito ay may kabaligtaran na oryentasyon, o sa anyo

orthogonal matrix. Ang mga pagbabagong-anyo (10) at (11) ay tinatawag na orthogonal.

Paksa 5. Mga linear na pagbabago.

Sistema ng coordinateay isang paraan na nagpapahintulot sa isa na malinaw na maitatag ang posisyon ng isang punto na may kaugnayan sa ilang geometric figure gamit ang mga numero. Kasama sa mga halimbawa ang isang coordinate system sa isang tuwid na linya - isang coordinate axis at rectangular Cartesian coordinate system, ayon sa pagkakabanggit, sa isang eroplano at sa kalawakan.

Mag-transition tayo mula sa isang xy coordinate system sa eroplano patungo sa isa pang system, i.e. Alamin natin kung paano nauugnay sa isa't isa ang mga coordinate ng Cartesian ng parehong punto sa dalawang sistemang ito.

Pag-isipan muna natin parallel transfer hugis-parihaba Cartesian coordinate system xy, ibig sabihin, ang kaso kapag ang mga axes at ng bagong sistema ay parallel sa mga kaukulang axes x at y ng lumang sistema at may parehong direksyon sa kanila.

Kung ang mga coordinate ng mga puntos na M (x; y) at (a; b) sa xy system ay kilala, kung gayon (Fig. 15) sa system point M ay may mga coordinate: .

Hayaan ang segment na OM ng haba ρ bumuo ng isang anggulo na may axis at. Pagkatapos (Fig. 16) ang segment na OM ay bumubuo ng isang anggulo na may x-axis at ang mga coordinate ng point M sa xy system ay pantay. , .

Isinasaalang-alang na sa system ang mga coordinate ng point M ay katumbas ng at , nakukuha namin

Kapag lumiko sa isang anggulo "clockwise", ayon sa pagkakabanggit, nakukuha namin ang:

Problema 0.54. Tukuyin ang mga coordinate ng point M(-3; 7) sa bagong coordinate system x / y /, ang pinagmulan kung saan ang 0 / ay matatagpuan sa point (3; -4), at ang mga axes ay parallel sa mga axes ng lumang coordinate system at may parehong direksyon tulad ng mga ito.

Solusyon. Palitan natin ang mga kilalang coordinate ng mga puntos na M at O ​​/ sa mga formula: x / = x-a, y / = y-b.
Nakukuha namin ang: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. Sagot: M / (-6; 11).

§2. Ang konsepto ng linear transformation, ang matrix nito.

Kung ang bawat elemento x ng set X, ayon sa ilang tuntunin f, ay tumutugma sa isa at isa lamang elemento y ng set Y, pagkatapos ay sinasabi natin na ang ibinigay display f ng set X sa set Y, at set X ay tinatawag domain ng kahulugan pagpapakita f . Kung, sa partikular, ang elementong x 0 Î X ay tumutugma sa elementong y 0 Î Y, pagkatapos ay isulat ang y 0 = f (x 0). Sa kasong ito, ang elementong y 0 ay tinatawag paraan elemento x 0, at elemento x 0 - prototype elemento sa 0. Ang subset Y 0 ng set Y, na binubuo ng lahat ng mga imahe, ay tinatawag set ng mga kahulugan pagpapakita f.

Kung, sa isang pagmamapa f, ang iba't ibang elemento ng set X ay tumutugma sa iba't ibang elemento ng set Y, kung gayon ang pagmamapa f ay tinatawag nababaligtad.

Kung Y 0 = Y, kung gayon ang pagmamapa f ay tinatawag na pagmamapa ng set X sa setY.

Ang invertible na pagmamapa ng isang set X sa isang set Y ay tinatawag isa sa isa.

Ang mga espesyal na kaso ng konsepto ng pagmamapa ng isang set sa isang set ay ang konsepto numerical function at konsepto geometric na pagmamapa.

Kung ang pagmamapa f sa bawat elemento ng set X ay nag-uugnay ng isang elemento ng parehong set X, kung gayon ang naturang pagmamapa ay tinatawag pagbabagong-anyo nagtatakda ng X.

Hayaang magbigay ng isang set ng mga n-dimensional na vector ng linear space L n.

Ang pagbabagong f ng isang n-dimensional na linear space L n ay tinatawag linear pagbabagong-anyo kung

para sa anumang mga vector mula sa L n at anumang mga tunay na numero α at β. Sa madaling salita, ang isang pagbabago ay tinatawag na linear kung ang isang linear na kumbinasyon ng mga vector ay nagiging isang linear na kumbinasyon ng kanilang mga imahe. na may pareho coefficients.

Kung ang isang vector ay ibinibigay sa isang tiyak na batayan at ang pagbabagong f ay linear, kung gayon sa pamamagitan ng kahulugan , nasaan ang mga larawan ng mga batayan ng mga vector.

Samakatuwid, ang linear na pagbabago ay ganap tinukoy, kung ang mga larawan ng mga batayang vector ng linear space na isinasaalang-alang ay ibinigay:

(12)

Matrix kung saan ang k-th column ay ang coordinate column ng vector sa batayan, tinatawag matris linear pagbabagong-anyo f sa batayan na ito.

Ang determinant det L ay tinatawag na determinant ng transformation f at Rg L ay tinatawag na ranggo ng linear transformation f.

Kung ang matrix ng isang linear na pagbabagong-anyo ay hindi-isahan, kung gayon ang pagbabagong-anyo mismo ay hindi-isahan. Binabago nito ang espasyo L n isa-sa-isa sa sarili nito, i.e. bawat vector mula sa L n ay ang imahe ng natatanging vector nito.

Kung ang matrix ng isang linear na pagbabago ay isahan, kung gayon ang pagbabago mismo ay isahan. Binabago nito ang linear space L n sa ilang bahagi nito.

Teorama.Bilang resulta ng paglalapat ng linear transformation f na may matrix L sa vector ito pala ay isang vector ganyan .

Ang mga numerong nakasulat sa mga bracket ay ang mga coordinate ng vector ayon sa batayan:

(13)

Sa pamamagitan ng kahulugan ng operasyon ng pagpaparami ng matrix, ang system (13) ay maaaring mapalitan ng isang matrix

pagkakapantay-pantay , na kung ano ang kailangang patunayan.

Mga halimbawamga linear na pagbabago.

1. Ang kahabaan sa kahabaan ng x-axis ng k 1 beses, at kasama ang y-axis ng k 2 beses sa xy plane ay tinutukoy ng matrix at ang mga formula ng pagbabagong-anyo ng coordinate ay may anyo: x / = k 1 x; y / = k 2 y.

2. Ang salamin na salamin na may kaugnayan sa y-axis sa xy plane ay tinutukoy ng matrix at ang mga formula ng pagbabagong-anyo ng coordinate ay may anyo: x / = -x, y / = y.

Hayaang magbigay ng dalawang arbitrary na Cartesian rectangular coordinate system sa eroplano. Ang una ay tinutukoy ng simula ng O at ang mga batayang vectors i j , ang pangalawa – ang sentro TUNGKOL SA' at mga batayang vector i ’ j ’ .

Itakda natin ang layunin ng pagpapahayag ng x y coordinate ng ilang point M na may kaugnayan sa unang coordinate system sa pamamagitan ng x’ At y’ – mga coordinate ng parehong punto na may kaugnayan sa pangalawang sistema.

pansinin mo yan

Tukuyin natin ang mga coordinate ng point O' na may kaugnayan sa unang sistema ng a at b:

Palawakin natin ang mga vectors i ’ At j ’ sa pamamagitan ng batayan i j :

(*)

Bilang karagdagan, mayroon kaming:
. Ipakilala natin dito ang pagpapalawak ng mga vector na may paggalang sa batayan i ’ j ’ :

mula rito

Maaari nating tapusin: anuman ang dalawang arbitrary na sistema ng Cartesian sa eroplano, ang mga coordinate ng anumang punto sa eroplano na may kaugnayan sa unang sistema ay mga linear na function ng mga coordinate ng parehong punto na nauugnay sa pangalawang sistema.

I-multiply muna natin ang mga equation (*) nang scalar sa i , pagkatapos j :

Tukuyin natin sa pamamagitan ng  ang anggulo sa pagitan ng mga vector i At i ’ . Sistema ng coordinate i j maaaring isama sa sistema i ’ j ’ sa pamamagitan ng parallel translation at kasunod na pag-ikot sa isang anggulo . Ngunit narito ang isang opsyon sa arko ay posible rin: ang anggulo sa pagitan ng mga batayang vector i i ’ gayundin ang , at ang anggulo sa pagitan ng mga batayang vector j ’ j ’ katumbas ng  - . Ang mga sistemang ito ay hindi maaaring pagsamahin sa parallel na pagsasalin at pag-ikot. Kinakailangan din na baguhin ang direksyon ng axis sa sa kabaligtaran.

Mula sa formula (**) nakukuha namin sa unang kaso:

Sa pangalawang kaso

Ang mga formula ng conversion ay:

Hindi namin isasaalang-alang ang pangalawang kaso. Sumang-ayon tayo na isaalang-alang ang parehong mga sistema na tama.

Yung. konklusyon: anuman ang dalawang tamang sistema ng coordinate, ang una sa mga ito ay maaaring pagsamahin sa pangalawa sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin at kasunod na pag-ikot sa paligid ng pinagmulan sa pamamagitan ng isang tiyak na anggulo .

Parallel transfer formula:

Mga formula ng pag-ikot ng axes:

Baliktad na mga conversion:

Pagbabago ng Cartesian rectangular coordinate sa espasyo.

Sa espasyo, pangangatwiran sa katulad na paraan, maaari nating isulat:

(***)

At para sa mga coordinate makakuha ng:

(****)

Kaya, anuman ang dalawang arbitrary coordinate system sa espasyo, ang x y z coordinates ng ilang punto na nauugnay sa unang sistema ay mga linear function ng mga coordinate. x’ y’ z’ ang parehong punto na nauugnay sa pangalawang sistema ng coordinate.

Pag-multiply ng bawat isa sa mga pagkakapantay-pantay (***) nang scalar sa i ’ j ’ k ’ nakukuha natin:

SA Linawin natin ang geometric na kahulugan ng mga formula ng pagbabagong-anyo (****). Upang gawin ito, ipagpalagay na ang parehong mga sistema ay may isang karaniwang simula: a = b = c = 0 .

Ipakilala natin sa pagsasaalang-alang ang tatlong anggulo na ganap na nagpapakilala sa lokasyon ng mga axes ng pangalawang sistema na may kaugnayan sa una.

Ang unang anggulo ay nabuo ng x-axis at ang u-axis, na siyang intersection ng xOy at x'Oy' na mga eroplano. Ang direksyon ng anggulo ay ang pinakamaikling pagliko mula sa x hanggang y axis. Tukuyin natin ang anggulo sa pamamagitan ng . Ang pangalawang anggulo  ay ang anggulo na hindi lalampas sa  sa pagitan ng mga axes ng Oz at Oz. Panghuli, ang ikatlong anggulo  ay ang anggulo sa pagitan ng u-axis at Ox’, na sinusukat mula sa u-axis sa direksyon ng pinakamaikling pagliko mula sa Ox’ hanggang Oy’. Ang mga anggulong ito ay tinatawag na mga anggulo ng Euler.

Ang pagbabago ng unang sistema tungo sa pangalawa ay maaaring ilarawan bilang sunud-sunod na tatlong pag-ikot: sa pamamagitan ng isang anggulo  na may kaugnayan sa Oz axis; sa pamamagitan ng anggulo  na may kaugnayan sa axis ng Ox; at sa pamamagitan ng isang anggulo  na may kaugnayan sa axis ng Oz.

Ang mga numerong  ij ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga anggulo ng Euler. Hindi namin isusulat ang mga formula na ito dahil masalimuot ang mga ito.

Ang pagbabagong-anyo mismo ay isang superposisyon ng parallel na pagsasalin at tatlong magkakasunod na pag-ikot sa pamamagitan ng mga anggulo ng Euler.

Ang lahat ng mga argumentong ito ay maaaring isagawa para sa kaso kapag ang parehong mga sistema ay kaliwa, o may iba't ibang oryentasyon.

Kung mayroon tayong dalawang arbitrary na sistema, kung gayon, sa pangkalahatan, maaari nating pagsamahin ang mga ito sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin at isang pag-ikot sa espasyo sa paligid ng isang tiyak na axis. Hindi namin siya hahanapin.

Kabanata 1. Dagdag. Pagbabago ng Cartesian rectangular coordinates sa eroplano at sa kalawakan. Mga espesyal na sistema ng coordinate sa eroplano at sa kalawakan.

Ang mga patakaran para sa pagbuo ng mga sistema ng coordinate sa isang eroplano at sa kalawakan ay tinalakay sa pangunahing bahagi ng Kabanata 1. Ang kaginhawahan ng paggamit ng mga rectangular coordinate system ay nabanggit. Sa praktikal na paggamit ng analytical geometry tool, madalas na kailangang baguhin ang pinagtibay na coordinate system. Ito ay karaniwang idinidikta ng mga pagsasaalang-alang sa kaginhawahan: ang mga geometric na imahe ay pinasimple, ang mga analytical na modelo at mga algebraic na expression na ginagamit sa mga kalkulasyon ay nagiging mas malinaw.

Ang pagbuo at paggamit ng mga espesyal na sistema ng coordinate: polar, cylindrical at spherical ay idinidikta ng geometric na kahulugan ng problemang nilulutas. Ang pagmomodelo gamit ang mga espesyal na sistema ng coordinate ay kadalasang nagpapadali sa pagbuo at paggamit ng mga analytical na modelo sa paglutas ng mga praktikal na problema.

Ang mga resultang nakuha sa Appendix ng Kabanata 1 ay gagamitin sa linear algebra, karamihan sa mga ito sa calculus at physics.

Pagbabago ng Cartesian rectangular coordinates sa eroplano at sa kalawakan.

Kung isasaalang-alang ang problema ng pagtatayo ng isang sistema ng coordinate sa isang eroplano at sa kalawakan, nabanggit na ang sistema ng coordinate ay nabuo sa pamamagitan ng mga numerical axes na nagsa-intersecting sa isang punto: dalawang axes ang kinakailangan sa eroplano, tatlo sa espasyo. Kaugnay ng pagtatayo ng mga analytical na modelo ng mga vector, ang pagpapakilala ng scalar na produkto ng operasyon ng mga vectors at ang solusyon ng mga problema ng geometric na nilalaman, ipinakita na ang paggamit ng mga rectangular coordinate system ay pinaka-kanais-nais.

Kung isasaalang-alang namin ang problema ng pagbabago ng isang tiyak na sistema ng coordinate nang abstract, kung gayon sa pangkalahatang kaso posible na payagan ang arbitrary na paggalaw ng mga coordinate axes sa isang naibigay na puwang na may karapatang arbitraryong palitan ang pangalan ng mga axes.

Magsisimula tayo sa pangunahing konsepto mga sistema ng sanggunian , tinanggap sa physics. Sa pamamagitan ng pagmamasid sa paggalaw ng mga katawan, natuklasan na ang paggalaw ng isang nakahiwalay na katawan ay hindi maaaring matukoy nang mag-isa. Kailangan mong magkaroon ng hindi bababa sa isa pang katawan na may kaugnayan sa kung saan ang paggalaw ay sinusunod, iyon ay, isang pagbabago sa loob nito kamag-anak mga probisyon. Upang makakuha ng mga analytical na modelo, batas, at paggalaw, ang isang coordinate system ay nauugnay sa pangalawang katawan na ito, bilang isang reference system, at sa paraang ang coordinate system ay solid !

Dahil ang di-makatwirang paggalaw ng isang matibay na katawan mula sa isang punto sa espasyo patungo sa isa pa ay maaaring kinakatawan ng dalawang independiyenteng paggalaw: pagsasalin at pag-ikot, ang mga opsyon para sa pagbabago ng sistema ng coordinate ay limitado sa dalawang paggalaw:

1). Parallel transfer: isang punto lang ang sinusunod namin - ang punto.

2). Ang pag-ikot ng coordinate system axes na nauugnay sa isang punto: bilang isang matibay na katawan.

Pag-convert ng Cartesian rectangular coordinate sa isang eroplano.

Magkaroon tayo ng mga coordinate system sa eroplano: , at . Ang coordinate system ay nakuha sa pamamagitan ng parallel translation ng system. Nakukuha ang coordinate system sa pamamagitan ng pag-ikot ng system sa pamamagitan ng isang anggulo , at ang positibong direksyon ng pag-ikot ay itinuturing na isang counterclockwise na pag-ikot ng axis.

Tukuyin natin ang mga batayang vector para sa pinagtibay na mga sistema ng coordinate. Dahil ang sistema ay nakuha sa pamamagitan ng parallel na paglipat ng system, kung gayon para sa parehong mga sistemang ito ay tinatanggap namin ang mga batayang vectors: , at mga unit at tumutugma sa direksyon sa mga coordinate axes , , ayon sa pagkakabanggit. Para sa system, bilang mga batayang vector ay kukuha kami ng mga unit vector na tumutugma sa direksyon sa mga axes , .

Hayaang magbigay ng isang coordinate system at isang punto = tinukoy dito. Ipagpalagay natin na bago ang pagbabagong-anyo ay mayroon tayong magkakatulad na mga sistema ng coordinate at . Ilapat natin ang parallel translation sa coordinate system, na tinukoy ng vector. Kinakailangang tukuyin ang pagbabagong-anyo ng coordinate ng isang punto. Gamitin natin ang pagkakapantay-pantay ng vector: = + , o:

Ilarawan natin ang pagbabago ng parallel translation sa isang halimbawang kilala sa elementary algebra.

Halimbawa D–1 : Ang equation ng parabola ay ibinigay: = = . Bawasan ang equation ng parabola na ito sa pinakasimpleng anyo nito.

Solusyon:

1). Gamitin natin ang pamamaraan pag-highlight ng isang kumpletong parisukat : = , na madaling kinakatawan bilang: –3 = .

2). Ilapat natin ang coordinate transformation - parallel transfer := . Pagkatapos nito, ang equation ng parabola ay tumatagal sa anyo: . Ang pagbabagong ito sa algebra ay tinukoy bilang mga sumusunod: parabola = nakuha sa pamamagitan ng paglilipat ng pinakasimpleng parabola sa kanan ng 2, at pataas ng 3 unit.

Sagot: Ang pinakasimpleng anyo ng parabola ay: .

Hayaang magbigay ng isang coordinate system at isang punto = tinukoy dito. Ipagpalagay natin na bago ang pagbabagong-anyo ay mayroon tayong magkakatulad na mga sistema ng coordinate at . Ilapat natin ang pagbabagong-anyo ng pag-ikot sa sistema ng coordinate upang kaugnay sa orihinal na posisyon nito, iyon ay, kamag-anak sa system, ito ay lumiliko na pinaikot ng isang anggulo . Kinakailangang tukuyin ang pagbabagong-anyo ng coordinate ng punto = . Isulat natin ang vector sa mga coordinate system at : = . (2) =1. Mula sa teorya ng pangalawang-order na mga linya ay sumusunod na ang pinakasimpleng (canonical!) equation ng ellipse ay nakuha.

Sagot: ang pinakasimpleng anyo ng isang linya: =1 ay ang canonical equation ng isang ellipse.