Libreng pagtatasa ng cell- (tingnan ang potensyal na paraan)

Ikot – tulad ng isang pagkakasunud-sunod ng mga cell sa transport table (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),...(i k ,j 1), kung saan dalawa at dalawang katabing cell lamang ang matatagpuan sa isang row o column, na ang una at huling mga cell ay nasa parehong row o column din.

(?)Permutation along the cycle - (shift along the cycle by value t)- pagtaas ng volume sa lahat ng odd cell ng cycle na may markang "+" ng t at pagbaba sa volume ng transportasyon sa lahat ng even na cell na may markang "-" ng t.

1. 
   ^ Kundisyon para sa pinakamainam ng reference plan.

Ang pinakamainam na plano ay dapat matukoy ang pinakamababang kabuuang halaga ng transportasyon, nang hindi lalampas sa dami ng produksyon ng bawat isa sa mga supplier at ganap na sumasaklaw sa mga pangangailangan ng bawat isa sa mga mamimili.

Ang pinakamainam na plano sa transportasyon ay tumutugma sa minimum ng linear na layunin function f(X)= min sa ilalim ng mga paghihigpit sa pagkonsumo at supply

32. Bumuo ng depinisyon ng difference equation ng order k at ang pangkalahatang solusyon nito. Sabihin ang kahulugan ng isang linear difference equation ng order k na may pare-parehong coefficient. Bumuo ng theorems sa pangkalahatang solusyon ng homogenous at inhomogeneous linear difference equation (nang walang patunay).

Isang equation ng anyong F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, kung saan ang k ay isang fixed number at n ay isang arbitrary na natural na numero, x n ; x n +1 ;…; Ang x n + k ay mga termino ng ilang hindi kilalang pagkakasunod-sunod ng numero, na tinatawag na difference equation ng order k.

Ang paglutas ng difference equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng sequences (x n) na nagbibigay-kasiyahan sa equation.

Ang pangkalahatang solusyon ng isang kth order equation ay ang solusyon nito x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), depende sa k independent arbitrary constants C 1 , C 2 , …, C k . Ang bilang ng mga k constant ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng equation ng pagkakaiba, at ang pagsasarili ay nangangahulugan na wala sa mga constant ang maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba.

Isaalang-alang ang isang linear difference equation ng order k na may pare-parehong coefficient:

a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , kung saan a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) at

(f n ) – ibinigay na mga numero at pagkakasunod-sunod.

^ Theorem sa pangkalahatang solusyon ng isang inhomogeneous equation.

Ang pangkalahatang solusyon x n ng isang linear inhomogeneous difference equation ay ang kabuuan ng partikular na solusyon x n * ng equation na ito at ang pangkalahatang solusyon n ng katumbas na homogeneous equation.

^ Theorem sa pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na equation.

Hayaang ang x n 1 ,…, x n k ay isang sistemang binubuo ng k linearly independent solutions ng isang linear homogeneous difference equation. Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito ay ibinibigay ng formula: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k.
33. Ilarawan ang isang algorithm para sa paglutas ng isang homogenous na linear difference equation na may pare-parehong coefficient. Bumuo ng mga kahulugan ng mga sumusunod na konsepto: pangunahing hanay ng mga solusyon ng isang linear difference equation, characteristic equation, Casoratti determinant.

Ang pag-alam sa mga ugat ng katangian na equation ay nagpapahintulot sa amin na bumuo ng isang pangkalahatang solusyon sa homogeneous difference equation. Isaalang-alang natin ito gamit ang halimbawa ng isang pangalawang-order na equation: Ang mga resultang solusyon ay madaling mailipat sa kaso ng mga equation na mas mataas ang pagkakasunud-sunod.

Depende sa mga halaga ng discriminant D=b 2 -4ac ng characteristic equation, posible ang mga sumusunod na kaso:

C 1 , C 2 ay arbitrary constants.

Ang set ng mga solusyon sa isang linear homogeneous difference equation ng kth order ay bumubuo ng k-dimensional linear space, at anumang set ng k linearly independent solutions (tinatawag na fundamental set) ang batayan nito. Ang isang tanda ng linear na kalayaan ng mga solusyon ng isang homogenous na equation ay ang Casoratti determinant ay hindi katumbas ng zero:

Ang equation ay tinatawag na characteristic equation ng isang homogenous linear equation.
№ 34. Nabigyan ng linear difference equation na may constant coefficients X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.

^ Sa anong anyo dapat hanapin ng isang tao ang partikular na solusyon nito? Ipaliwanag ang sagot.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n Sa anong anyo dapat hanapin ang partikular na solusyon nito? Dapat ipaliwanag ang sagot.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n

X n +2 -4x n +1 +3x n =0

X n =C 1 3 n +C 2 1 n

X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n

X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n

X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
Hindi. 35. Given a linear difference equation with constant coefficients x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. Sa anong anyo dapat hanapin ng isang tao ang partikular na solusyon nito?

x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n

1) x n +2 -4x n +1 +3x=0

λ 1 =3, λ 2 =1

x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2

2) f(n)=2 n , g(n)=3 n , z(n)=n 2

Dahil ang base ng exponential power f(n)=2 n, katumbas ng 2, ay hindi nag-tutugma sa alinman sa mga ugat ng characteristic equation, hinahanap namin ang kaukulang partikular na solusyon sa anyong Y n =C(2) n . Dahil ang base ng exponential function na g(n)=3 n, katumbas ng 3, ay tumutugma sa isa sa mga ugat ng katangian na equation, hinahanap namin ang kaukulang partikular na solusyon sa anyong X n =Bn(3) n. Dahil ang z(n)=n 2 ay isang polynomial, hahanapin natin ang isang partikular na solusyon sa anyo ng isang polynomial: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
36. Ang isang linear difference equation na may pare-parehong coefficients x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2 ay ibinigay. Sa anong anyo dapat hanapin ng isang tao ang partikular na solusyon nito?

x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2

1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

Dahil ang base ng exponential power f(n)=3 n, katumbas ng 3, ay hindi nag-tutugma sa alinman sa mga ugat ng characteristic equation, hinahanap namin ang kaukulang partikular na solusyon sa anyong Y n =B(3) n . Dahil ang g(n)=n 2 ay isang polynomial, hahanapin natin ang isang partikular na solusyon sa anyo ng isang polynomial: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
No. 37. Given a linear difference equation with constant coefficients x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . Sa anong anyo dapat hanapin ng isang tao ang partikular na solusyon nito?

x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin )

2) f(n)=3 n , g(n)=n 2 , z(n)=cos

Dahil ang base ng exponential power f(n)=3 n, katumbas ng 3, ay hindi nag-tutugma sa alinman sa mga ugat ng characteristic equation, hinahanap namin ang kaukulang partikular na solusyon sa anyong Y n =B(3) n . Dahil ang g(n)=n 2 ay isang polynomial, hahanapin natin ang isang partikular na solusyon sa anyo ng isang polynomial: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
#38: Ilarawan ang modelo ng Samuelson-Hicks. Anong mga pang-ekonomiyang pagpapalagay ang sumasailalim dito? Sa anong kaso ang solusyon sa Hicks equation ay isang nakatigil na pagkakasunod-sunod?

Ipinapalagay ng Samuelson-Hicks business cycle model ang direktang proporsyonalidad ng mga volume ng pamumuhunan sa pagtaas ng pambansang kita (acceleration principle), i.e.

kung saan ang coefficient V>0 ay ang acceleration factor,

I t - ang halaga ng pamumuhunan sa panahon t,

X t -1 ,X t -2 - ang halaga ng pambansang kita sa mga panahon (t-1) at (t-2), ayon sa pagkakabanggit.

Ipinapalagay din na demand sa yugtong ito depende sa halaga ng pambansang kita sa nakaraang yugto
linearly
. Ang kondisyon para sa pagkakapantay-pantay ng supply at demand ay may anyo
. Pagkatapos ay dumating tayo sa Hicks equation

kung saan ang a, b ay ang mga coefficient ng linear expression ng demand sa yugtong ito:

Nakatigil na pagkakasunud-sunod
ay isang solusyon sa Hicks equation para lamang sa
; salik
ay tinatawag na Keynes multiplier (isang one-dimensional na analogue ng kabuuang cost matrix).
№ ^ 39. Ilarawan ang modelo ng spider market. Anong mga pang-ekonomiyang pagpapalagay ang sumasailalim dito? Hanapin ang equilibrium na estado ng modelo ng web market.

40. Bumuo ng problema sa pagtukoy sa kasalukuyang halaga ng isang coupon bond. Ano ang problema ng Cauchy para sa equation ng pagkakaiba? Humanap ng equilibrium na solusyon sa problemang Cauchy ng pagtukoy sa kasalukuyang halaga ng isang coupon bond. Suriin na ang halagang nakita ay tumutugma sa halagang dapat bayaran sa sandaling ito upang matanggap ang halaga ng kupon sa bawat panahon ng kupon sa loob ng walang katapusang mahabang panahon sa isang partikular na rate ng interes para sa isang panahon ng kupon.

Hayaan F – ang par value ng isang coupon bond (ibig sabihin, ang halaga ng pera na binayaran ng nagbigay sa oras ng pagtubos na kasabay ng pagtatapos ng huling panahon ng kupon), K – halaga ng kupon (i.e. ang halaga ng pera na binayaran sa katapusan ng bawat panahon ng kupon), X - kasalukuyang halaga ng bono sa pagtatapos ng ika-n na panahon ng kupon,

Yung. p tumutugma sa halagang dapat bayaran sa sandaling ito upang matanggap ang halaga ng kupon sa bawat panahon ng kupon para sa isang walang katapusang mahabang panahon sa isang partikular na rate ng interes para sa isang panahon ng kupon.

Kung saan hindi alam ang C 1 at C 2.

Ang lahat ng y ay kilalang mga numero, na kinakalkula sa x = x 0. Para magkaroon ng solusyon ang system para sa anumang kanang bahagi, kinakailangan at sapat na ang pangunahing determinant ay naiiba sa 0.

Ang determinant ni Vronsky. Kung ang determinant ay 0, kung gayon ang sistema ay may solusyon lamang kung mayroong isang proporsyon ng mga paunang kondisyon. Samakatuwid, ito ay sumusunod mula dito na ang pagpili ng mga paunang kondisyon ay napapailalim sa batas, upang ang anumang mga paunang kundisyon ay hindi makuha, at ito ay isang paglabag sa mga kondisyon ng problema ng Cauchy.

Kung , kung gayon ang determinant ng Wronski ay hindi katumbas ng 0, para sa anumang mga halaga ng x 0.

Patunay. Hayaang ang determinant ay katumbas ng 0, ngunit piliin natin ang mga paunang non-zero na kondisyon y=0, y’=0. Pagkatapos ay makuha namin ang sumusunod na sistema:

Ang sistemang ito ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon kapag ang determinant ay 0. Ang C 11 at C 12 ay mga solusyon sa system.

Sumasalungat ito sa unang kaso, na nangangahulugan na ang determinant ng Wronski ay hindi katumbas ng 0 para sa anumang x 0 kung . Palaging posible na pumili ng isang partikular na solusyon mula sa pangkalahatang solusyon para sa .

Ticket No. 33

Isang teorama sa istruktura ng pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous differential equation ng 2nd order na may patunay.

Theorem sa pangkalahatang solusyon ng isang differential equation:

mga solusyon sa equation na ito, pagkatapos ay ang function solusyon din. Batay sa teorem na ito, maaari nating tapusin ang tungkol sa istraktura ng pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na equation: kung ang 1 at 2 ay may mga solusyon sa differential equation na ang kanilang mga ratio ay hindi katumbas ng isang pare-pareho, kung gayon ang linear na kumbinasyon ng mga function na ito ay ang pangkalahatang solusyon sa differential equation. Ang isang maliit na solusyon (o isang null) ay hindi maaaring magsilbi bilang isang solusyon sa equation na ito.

Patunay:

Ticket No. 34

Isang teorama sa istruktura ng pangkalahatang solusyon ng isang linear na hindi magkakatulad na equation ng kaugalian ng ika-2 order na may patunay.

Hayaang magbigay ng equation na may kanang bahagi: . Equation na walang kanang bahagi

kung ilalagay namin ang 0 sa halip na isang function, tinatawag namin itong katangian.

Isang teorama sa istruktura ng pangkalahatang solusyon ng isang equation na may kanang bahagi.

T.1 Ang pangkalahatang solusyon ng equation na may kanang bahagi ay maaaring binubuo bilang kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng equation na walang kanang bahagi at ilang partikular na solusyon ng equation na ito.

Patunay.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng pangkalahatang solusyon at ilang partikular na solusyon ng equation na ito. Kunin natin ang function . Meron kami

, .

Ang pagpapalit ng mga expression para sa y, y', y'' sa kaliwang bahagi ng equation, makikita natin: Ang expression sa unang square bracket ay katumbas ng 0. At ang expression sa pangalawang bracket ay katumbas ng function na f(x ). Samakatuwid, ang pag-andar may solusyon sa equation na ito.

Ticket No. 35

Linear homogeneous differential equation ng 2nd order na may pare-parehong coefficient, F.S.R. at pangkalahatang solusyon sa kaso ng iba't ibang tunay na ugat, mga katangiang equation na may patunay.

Kumuha tayo ng isang homogenous na linear equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient:

,

kung saan ang mga numero.

Subukan nating bigyang-kasiyahan ang equation na may function ng form . Mula dito mayroon kaming:

Mula dito makikita natin kung ano ang magiging solusyon sa equation na ito kung r ang ugat ng quadratic equation. Ang equation na ito ay tinatawag na katangian. Upang lumikha ng isang katangian na equation, kailangan mong palitan ang y ng isa, at ang bawat derivative ng r sa isang kapangyarihan ng pagkakasunud-sunod ng derivative.

1) Ang mga ugat ng katangiang equation ay totoo at naiiba.

Sa kasong ito, ang parehong mga ugat ay maaaring kunin bilang mga tagapagpahiwatig ng r function. Dito makakakuha ka kaagad ng dalawang equation. Malinaw na ang kanilang ratio ay hindi katumbas ng isang pare-parehong halaga.

Ang pangkalahatang solusyon sa kaso ng tunay at magkakaibang mga ugat ay ibinibigay ng formula:

.

Ticket No. 36

Linear homogeneous differential equation ng 2nd order na may pare-parehong coefficient, F.S.R. at pangkalahatang solusyon sa kaso ng maraming ugat, mga katangiang equation na may patunay.

Ang mga ugat ng isang tunay na equation ay totoo at pantay.

Pagbabago ng mga variable sa isang triple integral. Mga halimbawa: mga kaso ng cylindrical at spherical coordinates.

Pagkalkula ng lugar ng isang makinis na ibabaw, na tinukoy sa parametrically at tahasang. Elemento ng surface area.

Kahulugan ng isang curvilinear integral ng unang uri, ang mga pangunahing katangian at pagkalkula nito.

Kahulugan ng isang curvilinear integral ng pangalawang uri, ang mga pangunahing katangian at pagkalkula nito. Koneksyon sa integral ng unang uri.

Formula ni Green. Mga kondisyon para sa katotohanan na ang isang curvilinear integral sa isang eroplano ay hindi nakasalalay sa landas ng pagsasama.

Kahulugan ng isang integral sa ibabaw ng unang uri, ang mga pangunahing katangian at pagkalkula nito.

Kahulugan ng isang integral sa ibabaw ng pangalawang uri, ang mga pangunahing katangian at pagkalkula nito. Koneksyon sa integral ng unang uri.

Ang Gauss-Ostrogradsky theorem, ang pag-record nito sa coordinate at vector (invariant) na mga form.

Stokes' theorem, ang representasyon nito sa coordinate at vector (invariant) forms.

Mga kondisyon para sa katotohanan na ang isang curvilinear integral sa espasyo ay hindi nakasalalay sa landas ng pagsasama.

Scalar field. Scalar field gradient at mga katangian nito. Pagkalkula ng gradient sa mga coordinate ng Cartesian.

Kahulugan ng isang vector field. gradient na field. Mga potensyal na larangan, mga kondisyon ng potensyal.

Daloy ng vector field sa isang ibabaw. Kahulugan ng divergence ng isang vector field at mga katangian nito. Pagkalkula ng divergence sa mga coordinate ng Cartesian.

Solenoidal vector field, mga kondisyon ng solenoidality.

Vector field circulation at vector field rotor. Pagkalkula ng rotor sa mga coordinate ng Cartesian.

Hamilton operator (nabla), second order differential operations, mga koneksyon sa pagitan nila.

Pangunahing konsepto na nauugnay sa unang order ode: pangkalahatan at partikular na mga solusyon, pangkalahatang integral, integral na mga kurba. Ang problemang Cauchy, ang geometric na kahulugan nito.

Pagsasama ng mga first order odes na may mga separable at homogenous na variable.

Pagsasama ng mga first order linear equation at Bernoulli equation.

Pagsasama ng mga first order odes sa kabuuang pagkakaiba. Salik ng pagsasanib.

Paraan ng pag-input ng parameter. Pagsasama ng unang order ode ng Lagrange at Clairaut.

Ang pinakasimpleng odes ng mas matataas na mga order, integrable sa quadratures at nagbibigay-daan sa isang pagbawas sa pagkakasunud-sunod.

Normal na anyo ng isang sistema ng linear odes, scalar at vector (matrix) notation. Ang problemang Cauchy para sa isang normal na sistema ng mga linear od, ang geometric na kahulugan nito.

Linearly dependent at linearly independent system ng mga function ng vector. Kinakailangang kondisyon para sa linear dependence. Theorem sa Wronski determinant ng mga solusyon sa isang sistema ng homogenous linear odes.

Theorem sa pangkalahatang solusyon (sa istraktura ng pangkalahatang solusyon) ng isang normal na sistema ng hindi magkakatulad na linear odes.

Paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants para sa paghahanap ng mga bahagyang solusyon ng isang normal na sistema ng hindi magkakatulad na linear odes.

Pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang normal na sistema ng homogenous linear equation na may pare-parehong coefficient sa kaso ng mga simpleng tunay na ugat ng katangian na equation.

Linearly dependent at linearly independent system ng mga function. Kinakailangang kondisyon para sa linear dependence. Theorem sa Wronski determinant ng mga solusyon sa isang homogenous linear code.

Theorem tungkol sa pangkalahatang solusyon (tungkol sa istraktura ng pangkalahatang solusyon) ng isang homogenous na linear oda.

Theorem tungkol sa pangkalahatang solusyon (tungkol sa istruktura ng pangkalahatang solusyon) ng isang hindi magkakatulad na linear oda.

Paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant para sa paghahanap ng mga bahagyang solusyon ng isang hindi magkakatulad na linear oda.

Isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na linear equation na may pare-parehong coefficient sa kaso ng mga simpleng ugat ng katangian na equation, totoo o kumplikado.

Isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na linear equation na may pare-parehong coefficient sa kaso kung saan mayroong maraming mga ugat ng katangian na equation.

Paghahanap ng mga bahagyang solusyon sa isang inhomogeneous linear ode na may pare-parehong coefficient at isang espesyal na kanang bahagi.

Existence theorem para sa isang (lokal) na solusyon sa problemang Cauchy para sa first-order na ODE.

Isang uniqueness theorem para sa solusyon ng Cauchy problem para sa first-order oode.

1. Theorem sa pangkalahatang solusyon (sa istraktura ng pangkalahatang solusyon) ng isang normal na sistema ng hindi magkakatulad na linear odes.

Isaalang-alang natin ang isang hindi magkakatulad na linear na sistema ng mga ordinaryong differential equation ng nth order

Dito A

Ang sumusunod ay totoo pangkalahatang solusyon istraktura teorama ng inhomogeneous linear system na ito ng mga ODE.

Kung matrix A(x) at vector function b (x) ay tuloy-tuloy sa [ a, b], bumitaw Φ (x) ay ang pangunahing matrix ng mga solusyon ng isang homogenous na linear na sistema, pagkatapos ay ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous system Y" = A(x) Y + b(x) ay may anyo:

saan C- isang arbitrary constant column vector, x 0 - isang arbitrary fixed point mula sa segment.

Mula sa formula sa itaas, madaling makakuha ng formula para sa paglutas ng problemang Cauchy para sa isang linear na inhomogeneous na ODE system - ang Cauchy formula.

Paglutas ng problemang Cauchy, Y(x 0) = Y 0 ay isang vector function

1. Paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants para sa paghahanap ng mga bahagyang solusyon ng isang normal na sistema ng hindi magkakatulad na linear odes.

Kahulugan ng isang sistema ng mga inhomogeneous linear ODEs. Sistema ng ODU uri:

tinawag linear magkakaiba . Hayaan

System (*) sa vector-matrix form: .- homogenous ang system, kung hindi man ay inhomogeneous.

Ang pamamaraan mismo. Hayaang magkaroon ng linear inhomogeneous system , pagkatapos ay isang linear homogenous na sistema na tumutugma sa isang linear na hindi homogenous. Hayaan ang pangunahing matrix ng sistema ng desisyon, , kung saan ang C ay isang arbitrary constant vector, ay ang pangkalahatang solusyon ng system. Maghanap tayo ng solusyon sa system (1) sa form , kung saan ang C(x) ay isang hindi kilalang (pa) vector function. Gusto namin ang vector function (3) na maging solusyon sa system (1). Kung gayon ang pagkakakilanlan ay dapat na totoo:

(isang di-makatwirang pare-parehong vector, na nakuha bilang isang resulta ng pagsasama, ay maaaring ituring na katumbas ng 0). Narito ang mga puntos x 0 , ay anuman.

Nakikita natin, samakatuwid, na kung sa (3) kunin natin bilang C(t) , pagkatapos ay ang vector function magiging solusyon sa sistema (1).

Ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous system (1) ay maaaring isulat sa anyo . Hayaang kailanganin na makahanap ng solusyon sa sistema (1) na nakakatugon sa paunang kondisyon . Ang pagpapalit (4) ng inisyal na data (5) ay nagbibigay . Samakatuwid, ang solusyon sa problemang Cauchy (1)-(5) ay maaaring isulat bilang: . Sa espesyal na kaso kapag ang huling formula ay kinuha ang form: .

1. Pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang normal na sistema ng homogenous linear equation na may pare-parehong coefficient sa kaso ng mga simpleng tunay na ugat ng katangian na equation.

Normal na linear homogenous na sistemanpagkakasunud-sunod na may pare-parehong coefficient - o , Ang mga coefficient ng mga linear na kumbinasyon ng mga hinahangad na function ay pare-pareho. Ang sistemang ito ay nasa anyong matrix –matrix form, kung saan ang A ay isang pare-parehong matrix. Paraan ng matrix: Mula sa katangian equation makakahanap tayo ng iba't ibang mga ugat at para sa bawat ugat (isinasaalang-alang ang multiplicity nito) tutukuyin natin ang kaukulang partikular na solusyon. Ang pangkalahatang solusyon ay: . Sa kasong ito 1) kung - ay isang tunay na ugat ng maramihang 1, kung gayon , kung saan ang eigenvector ng matrix A ay naaayon sa eigenvalue, iyon ay. 2) – multiplicity root, pagkatapos ay ang solusyon ng system na naaayon sa ugat na ito ay hinahanap sa anyo ng isang vector (**), na ang mga coefficient ay tinutukoy mula sa isang sistema ng mga linear na equation na nakuha sa pamamagitan ng equating ng mga coefficient sa parehong powersx bilang resulta ng pagpapalit ng vector (**) sa orihinal na sistema.

Pangunahing sistema ng mga solusyon sa NLOS ay isang koleksyon ng mga arbitrary n linearly independent na solusyon

Isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang normal na sistema ng mga homogenous na linear na ODE na may pare-parehong coefficient sa kaso kapag ang lahat ng mga ugat ng katangian na equation ay simple, ngunit may mga kumplikadong ugat.

Inalis na ang tanong.

Pangkalahatang view ng system

, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - mga coefficient ng system; - mga libreng miyembro; - mga variable;

Kung lahat = 0, ang sistema ay tinatawag na homogenous.

Pangkalahatang solusyon ng isang sistema ng mga linear na equation

Kahulugan 1. Homogeneous na sistema m linear algebraic equation para sa n Ang mga hindi alam ay tinatawag na sistema ng mga equation

uri (1) o sa matrix form (2)

kung saan ang A ay isang ibinigay na matrix ng mga coefficient na may sukat na mxn,

Ang column n ng mga hindi alam ay ang zero column ng taas m.

Ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho (ang pinahabang matrix ay tumutugma sa A) at may mga malinaw na solusyon: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.

Ang solusyon na ito ay tinatawag na zero o walang kuwenta. Anumang ibang solusyon, kung mayroon man, ay tinatawag hindi mahalaga.

Teorama 1. Kung ang ranggo ng matrix A ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, kung gayon ang sistema (1) ay may natatanging (walang halaga) na solusyon.

Sa katunayan, ayon sa teorama ni Cramer, ang r=n at ang solusyon ay natatangi.

Teorama 2. Upang ang isang homogenous na sistema ay magkaroon ng isang non-zero na solusyon, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng system matrix ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam ( sumusunod mula sa theorem sa bilang ng mga solusyon).

Þ kung mayroong mga non-zero na solusyon, kung gayon ang solusyon ay hindi natatangi, kung gayon ang determinant ng system ay katumbas ng zero, pagkatapos ay r

Ü kung r

Teorama 3. Ang isang homogenous na sistema ng n equation na may n hindi alam ay may nonzero na solusyon kung at kung detA = 0 lamang.

Þ kung mayroong mga di-zero na solusyon, kung gayon mayroong walang katapusang maraming solusyon, pagkatapos ay ayon sa teorama sa bilang ng mga solusyon r

Ü kung detA = 0, kung gayon r

Teorama 4. Upang ang isang homogenous na sistema ay magkaroon ng isang non-zero na solusyon, kinakailangan na ang bilang ng mga equation ng sistema ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam.

Dahil ang ranggo ng isang matrix ng mga coefficient ay hindi maaaring mas malaki kaysa sa bilang ng mga hilera nito (pati na rin ang bilang ng mga haligi), kung gayon r

Kahulugan 2. Tinatawag ang mga variable ng system na matatagpuan sa mga base column ng orihinal na coefficient matrix pangunahing mga variable, at ang natitirang mga variable ng system ay tinatawag libre.

Kahulugan 4. Pribadong desisyon Ang inhomogeneous system na AX = B ay tinatawag na column vector X na nakuha ng sero mga halaga libre mga variable.

Teorama 6. Pangkalahatang solusyon ng isang inhomogeneous system Ang mga linear na equation na AX = B ay may anyo, kung saan ang isang partikular na solusyon sa sistema ng mga equation na AX = B, at ang FSR ng homogenous na sistema AX = 0.

Ang isang hindi homogenous na sistema ng mga linear na equation ay isang sistema ng anyo:

Ang pinahabang matrix nito.

Theorem (sa pangkalahatang solusyon ng mga inhomogeneous system).
Hayaang maging pare-pareho (i.e. system (2)), pagkatapos:

· kung , saan ang bilang ng mga variable ng system (2), kung gayon ang solusyon (2) ay umiiral at ito ay natatangi;

· kung , kung gayon ang pangkalahatang solusyon ng system (2) ay may anyo , kung saan ang pangkalahatang solusyon ng system (1), na tinatawag na pangkalahatang homogenous na solusyon, ay isang partikular na solusyon ng system (2), na tinatawag na pribadong inhomogeneous na solusyon.

Ang isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay isang sistema ng anyo:

Ang zero solution ng system (1) ay tinatawag walang kuwentang solusyon.

Ang mga homogenous system ay palaging magkatugma, dahil laging may maliit na solusyon.

Kung mayroong anumang non-zero na solusyon sa system, kung gayon ito ay tinatawag hindi mahalaga.

Ang mga solusyon ng isang homogenous na sistema ay may pag-aari ng linearity:

Theorem (sa linear na solusyon ng mga homogenous na sistema).
Hayaan ang mga solusyon ng homogenous system (1), at maging arbitrary constants. Pagkatapos ay isa ring solusyon sa sistemang isinasaalang-alang.

Theorem (tungkol sa istraktura ng pangkalahatang solusyon).
Hayaan pagkatapos:

· kung , nasaan ang bilang ng mga variable ng system, kung gayon isang maliit na solusyon lamang ang umiiral;

· kung , kung gayon ay may mga linear na independiyenteng solusyon sa system na isinasaalang-alang: , at nito karaniwang desisyon ay may anyo: , kung saan ang ilang mga constant.

2. Mga permutasyon at pagpapalit. Determinant ng nth order. Mga katangian ng mga determinant.

Kahulugan ng determinant - ika-order.

Hayaang magbigay ng square matrix ng unang pagkakasunud-sunod:

Kahulugan. Ang produkto ng mga elemento ng matrix A, na kinuha ng isa mula sa bawat row at bawat column, ay tinatawag na miyembro ng determinant ng matrix A.3 Kung ang alinmang dalawang row o dalawang column ay ipinagpalit sa determinant, ang determinant ay nagbabago ng sign nito sa ang kabaliktaran. 4Kung ang isang matrix ay naglalaman ng isang zero row (column), kung gayon ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero.5 Kung ang dalawang row (column) ng isang matrix ay pantay sa isa't isa, kung gayon ang determinant ng matrix na ito ay pantay. sa zero.6 Kung ang dalawang row (column) ng isang matrix ay proporsyonal sa isa't isa, kung gayon ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero.7 Ang determinant ng isang triangular matrix ay katumbas ng produkto ng mga elemento sa ang pangunahing dayagonal.8 Kung lahat ng elemento k ang th row (column) ng determinant ay ipinakita bilang mga kabuuan isang k j + b k j, kung gayon ang determinant ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga katumbas na determinant.9 Ang determinant ay hindi magbabago kung ang mga katumbas na elemento ng isa pang row (o ang kaukulang column) ay idaragdag sa mga elemento ng alinman sa mga row nito (o ang kaukulang column) , pinarami sa parehong bilang.10. Hayaan A At B ay mga square matrice ng parehong pagkakasunud-sunod. Kung gayon ang determinant ng produkto ng mga matrice ay katumbas ng produkto ng mga determinant:

1 | | | | | | | | | | |

Mga sistemang linear na kaugalian mga equation.

Ang sistema ng mga differential equation ay tinatawag linear, kung ito ay linear na may paggalang sa mga hindi kilalang function at ang kanilang mga derivatives. sistema n-Ang mga linear na equation ng 1st order ay nakasulat sa form:

Ang mga coefficient ng system ay const.

Maginhawang isulat ang sistemang ito sa anyong matrix: ,

kung saan ay isang column vector ng hindi kilalang mga function depende sa isang argumento.

Column vector ng mga derivatives ng mga function na ito.

Column vector ng mga libreng miyembro.

Coefficient matrix.

Teorama 1: Kung ang lahat ng matrix coefficients A ay tuloy-tuloy sa isang tiyak na pagitan at , pagkatapos ay sa isang tiyak na kapitbahayan ng bawat m. Natutugunan ang mga kundisyon ng TS&E. Dahil dito, ang isang integral curve ay dumadaan sa bawat naturang punto.

Sa katunayan, sa kasong ito, ang mga kanang bahagi ng system ay tuluy-tuloy na may paggalang sa hanay ng mga argumento at ang kanilang mga partial derivatives na may paggalang sa (katumbas ng mga coefficient ng matrix A) ay limitado, dahil sa pagpapatuloy sa isang saradong pagitan.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga SLD

1. Ang isang sistema ng mga differential equation ay maaaring bawasan sa isang equation sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam.

Halimbawa: Lutasin ang sistema ng mga equation: (1)

Solusyon: ibukod z mula sa mga equation na ito. Mula sa unang equation na mayroon kami. Pagpapalit sa pangalawang equation, pagkatapos ng pagpapasimple ay nakuha namin: .

Ang sistemang ito ng mga equation (1) binawasan sa isang solong pangalawang-order na equation. Matapos mahanap mula sa equation na ito y, dapat matagpuan z, gamit ang pagkakapantay-pantay.

2. Kapag nilulutas ang isang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam, ang isang equation ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod ay karaniwang nakuha, kaya sa maraming mga kaso ito ay mas maginhawa upang malutas ang system sa pamamagitan ng paghahanap pinagsamang mga kumbinasyon.

Ipinagpatuloy 27b

Halimbawa: Lutasin ang sistema

Solusyon:

Lutasin natin ang sistemang ito gamit ang pamamaraan ni Euler. Isulat natin ang determinant para sa paghahanap ng katangian

equation: , (dahil homogenous ang system, para magkaroon ito ng di-trivial na solusyon, dapat na katumbas ng zero ang determinant na ito). Kumuha kami ng isang katangian na equation at hanapin ang mga ugat nito:

Ang pangkalahatang solusyon ay: ;

- eigenvector.

Isinulat namin ang solusyon para sa: ;

- eigenvector.

Isinulat namin ang solusyon para sa: ;

Nakukuha namin ang pangkalahatang solusyon: .

Suriin natin:

hanapin natin : at palitan ito sa unang equation ng sistemang ito, i.e. .

Nakukuha namin:

- tunay na pagkakapantay-pantay.

Linear diff. nth order equation. Theorem sa pangkalahatang solusyon ng isang inhomogeneous linear equation ng nth order.

Ang isang linear differential equation ng nth order ay isang equation ng form: (1)

Kung ang equation na ito ay may coefficient, pagkatapos ay paghahati nito, dumating tayo sa equation: (2) .

Karaniwan ang mga equation ng uri (2). Kumbaga sa ur-i (2) lahat ng posibilidad, pati na rin f(x) tuloy-tuloy sa ilang pagitan (a,b). Pagkatapos, ayon sa TS&E, ang equation (2) ay may natatanging solusyon na nakakatugon sa mga unang kundisyon: , , …, para sa . Dito - anumang punto mula sa pagitan (a,b), at lahat - anumang ibinigay na mga numero. Ang equation (2) nakakatugon sa TC&E , samakatuwid ay wala mga espesyal na solusyon.

Def.: espesyal ang mga puntos ay ang mga kung saan =0.

Mga katangian ng isang linear equation:

1. Nananatili ang isang linear equation para sa anumang pagbabago sa independent variable.
2. Nananatili ang isang linear equation para sa anumang linear na pagbabago ng nais na function.

Def: kung sa equation (2) ilagay f(x)=0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang equation ng form: (3) , na tinatawag na homogenous equation kamag-anak sa inhomogeneous equation (2).

Ipakilala natin ang linear differential operator: (4). Gamit ang operator na ito, maaari mong muling isulat sa maikling anyo ang equation (2) At (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operator (4) ay may mga sumusunod na simpleng katangian:

Mula sa dalawang katangiang ito ay mahihinuha ang isang kaakibat: .

Function y=y(x) ay isang solusyon sa inhomogeneous equation (2), Kung L(y(x))=f(x), Pagkatapos f(x) tinatawag na solusyon sa equation. Kaya ang solusyon sa equation (3) tinatawag na function y(x), Kung L(y(x))=0 sa mga itinuturing na pagitan.

Isipin mo inhomogeneous linear equation: , L(y)=f(x).

Ipagpalagay na nakahanap kami ng isang partikular na solusyon sa ilang paraan, kung gayon .

Ipakilala natin ang isang bagong hindi kilalang function z ayon sa formula: , nasaan ang isang partikular na solusyon.

I-substitute natin ito sa equation na: , buksan ang mga bracket at kunin ang: .

Ang resultang equation ay maaaring muling isulat bilang:

Dahil ay isang partikular na solusyon sa orihinal na equation, kung gayon .

Kaya, nakuha namin ang isang homogenous na equation na may paggalang sa z. Ang pangkalahatang solusyon sa homogenous na equation na ito ay isang linear na kumbinasyon: , kung saan ang mga function - ay bumubuo sa pangunahing sistema ng mga solusyon sa homogenous na equation. Pagpapalit z sa kapalit na formula, nakukuha namin: (*) para sa function y– hindi kilalang function ng orihinal na equation. Ang lahat ng solusyon sa orihinal na equation ay mapapaloob sa (*).

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous na linya. Ang equation ay kinakatawan bilang kabuuan ng isang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na linear equation at ilang partikular na solusyon ng isang inhomogeneous equation.

(patuloy sa kabilang side)

30. Teorama ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng solusyon sa kaugalian. mga equation

Teorama: Kung ang kanang bahagi ng equation ay tuloy-tuloy sa parihaba at limitado, at natutugunan din ang kondisyon ng Lipschitz: , N=const, pagkatapos ay mayroong isang natatanging solusyon na nakakatugon sa mga paunang kundisyon at tinukoy sa segment , Saan .

Patunay:

Isaalang-alang ang kumpletong sukatan na espasyo SA, na ang mga puntos ay ang lahat ng posibleng tuluy-tuloy na pag-andar y(x) na tinukoy sa pagitan , ang mga graph na nasa loob ng parihaba, at ang distansya ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay: . Ang puwang na ito ay kadalasang ginagamit sa mathematical analysis at tinatawag na espasyo ng pare-parehong tagpo, dahil pare-pareho ang convergence sa sukatan ng espasyong ito.

Palitan natin ang differential. equation na may ibinigay na mga paunang kondisyon sa isang katumbas na integral equation: at isaalang-alang ang operator A(y), katumbas ng kanang bahagi ng equation na ito: . Ang operator na ito ay nagtatalaga sa bawat tuluy-tuloy na function

Gamit ang hindi pagkakapantay-pantay ng Lipschitz, maaari nating isulat na ang distansya . Ngayon pumili tayo ng isa kung saan ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mananatili: .

Dapat kang pumili kaya na, pagkatapos. Kaya ipinakita namin iyon.

Ayon sa prinsipyo ng contraction mappings, mayroong isang punto o, kung ano ang pareho, isang solong function - isang solusyon sa isang differential equation na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kondisyon.