Mga gawain para sa yugto ng paaralan ng All-Russian Olympiad para sa mga mag-aaral sa matematika. Mga problema sa Mathematical Olympiad at Olympiad Si Nikolay ay bumili ng karaniwang notebook na may dami na 96 na mga sheet

Gawain 16:

Posible bang makipagpalitan ng 25 rubles sa sampung banknotes sa mga denominasyon ng 1, 3 at 5 rubles? Solusyon:

Sagot: Hindi

Bumili si Petya ng isang karaniwang kuwaderno na may dami ng 96 na mga sheet at binilang ang lahat ng mga pahina nito sa pagkakasunud-sunod ng mga numero mula 1 hanggang 192. Pinunit ni Vasya ang 25 na mga sheet mula sa notebook na ito at idinagdag ang lahat ng 50 numero na nakasulat sa mga ito. Nagawa kaya niya ang 1990? Solusyon:

Sa bawat sheet, ang kabuuan ng mga numero ng pahina ay kakaiba, at ang kabuuan ng 25 na kakaibang mga numero ay kakaiba.

Ang produkto ng 22 integer ay katumbas ng 1. Patunayan na ang kanilang kabuuan ay hindi katumbas ng zero. Solusyon:

Kabilang sa mga bilang na ito - kahit na numero"minus units", at upang ang kabuuan ay maging katumbas ng zero, dapat mayroong eksaktong 11 sa kanila.

Posible bang gumawa ng magic square mula sa unang 36 prime number? Solusyon:

Sa mga bilang na ito, isa (2) ang even at ang iba ay odd. Samakatuwid, sa linya kung saan mayroong isang deuce, ang kabuuan ng mga numero ay kakaiba, at sa iba ay kahit na.

Ang mga numero mula 1 hanggang 10 ay nakasulat sa isang hilera. Posible bang ilagay ang mga palatandaan na "+" at "-" sa pagitan ng mga ito upang ang halaga ng resultang expression ay katumbas ng zero?

Tandaan: tandaan na ang mga negatibong numero ay maaari ding maging kahit at kakaiba. Solusyon:

Sa katunayan, ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 10 ay 55, at sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan dito, binabago namin ang buong expression sa isang even na numero.

Ang tipaklong ay tumalon sa isang tuwid na linya, at sa unang pagkakataon ay tumalon siya ng 1 cm sa ilang direksyon, sa pangalawang pagkakataon ay tumalon siya ng 2 cm, at iba pa. Patunayan na pagkatapos ng 1985 na pagtalon ay hindi na siya kung saan siya nagsimula. Solusyon:

Tandaan: Ang kabuuan 1 + 2 + … + 1985 ay kakaiba.

Ang mga numerong 1, 2, 3, ..., 1984, 1985 ay nakasulat sa pisara. Pinapayagan na burahin ang alinmang dalawang numero sa pisara at isulat sa halip ang modulus ng kanilang pagkakaiba. Sa huli, isang numero lang ang mananatili sa board. Maaari ba itong maging zero? Solusyon:

Suriin na ang ipinahiwatig na mga operasyon ay hindi nagbabago sa pagkakapareho ng kabuuan ng lahat ng mga numerong nakasulat sa pisara.

Posible bang takpan ang isang chessboard na may 1 × 2 domino sa paraang ang mga cell a1 at h8 lamang ang mananatiling libre? Solusyon:

Ang bawat domino ay sumasaklaw sa isang itim at isang puting parisukat, at kapag ang a1 at h8 na mga parisukat ay itinapon, mayroong 2 mas kaunting itim na mga parisukat kaysa sa mga puti.

Sa 17-digit na numero ay idinagdag ang numerong nakasulat sa parehong mga digit, ngunit sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod. Patunayan na kahit isang digit ng resultang kabuuan ay pantay. Solusyon:

Pag-aralan ang dalawang kaso: ang kabuuan ng una at huling mga digit ng numero ay mas mababa sa 10, at ang kabuuan ng una at huling mga digit ng numero ay hindi bababa sa 10. Kung ipagpalagay natin na ang lahat ng mga digit ng kabuuan ay kakaiba , pagkatapos ay sa unang kaso ay hindi dapat magkaroon ng isang solong carry sa mga digit (na, malinaw naman, ay humahantong sa isang pagkakasalungatan), at sa pangalawang kaso, ang pagkakaroon ng isang carry kapag lumilipat mula sa kanan papuntang kaliwa o mula kaliwa hanggang kanan ay kahalili. sa kawalan ng isang carry, at bilang isang resulta nakuha namin na ang digit ng kabuuan sa ikasiyam na digit ay kinakailangang kahit na.

Mayroong 100 katao sa pangkat ng mga tao, at tuwing gabi ay tatlo sa kanila ang duty. Maaari bang lumabas pagkatapos ng ilang oras na ang lahat ay naka-duty sa lahat nang eksaktong isang beses? Solusyon:

Dahil sa bawat tungkuling kanyang sinasalihan itong tao, siya ay nasa tungkulin kasama ang dalawang iba pa, pagkatapos ang lahat ng natitira ay maaaring hatiin sa mga pares. Gayunpaman, ang 99 ay isang kakaibang numero.

Mayroong 45 puntos na minarkahan sa tuwid na linya na nasa labas ng segment AB. Patunayan na ang kabuuan ng mga distansya mula sa mga puntong ito hanggang sa puntong A ay hindi katumbas ng kabuuan ng mga distansya mula sa mga puntong ito hanggang sa puntong B. Solusyon:

Para sa anumang puntong X na nasa labas ng AB, mayroon tayong AX - BX = ± AB. Kung ipagpalagay natin na ang mga kabuuan ng mga distansya ay pantay, pagkatapos ay makukuha natin na ang expression ± AB ± AB ± … ± AB, kung saan 45 termino ang kasangkot, ay katumbas ng zero. Ngunit ito ay imposible.

Mayroong 9 na numero na nakaayos sa isang bilog - 4 at 5 zero. Bawat segundo, ginagawa ang sumusunod na operasyon sa mga numero: inilalagay ang zero sa pagitan ng mga katabing numero kung magkaiba ang mga ito, at isa kung magkapantay sila; pagkatapos nito, ang mga lumang numero ay nabubura. Maaari bang maging pareho ang lahat ng numero pagkatapos ng ilang panahon? Solusyon:

Malinaw na hindi makukuha ang kumbinasyon ng siyam bago ang siyam na zero. Kung mayroong siyam na mga zero, pagkatapos ay sa nakaraang paglipat, ang mga zero at isa ay dapat na magkapalit, na imposible, dahil mayroon lamang isang kakaibang bilang ng mga ito.

25 lalaki at 25 babae ang nakaupo sa isang round table. Patunayan na ang isa sa mga taong nakaupo sa mesa ay may parehong kapitbahay na lalaki. Solusyon:

Isagawa natin ang ating patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon. Binibilang namin ang lahat ng nakaupo sa mesa sa pagkakasunud-sunod, simula sa isang lugar. Kung sa k-ika lugar isang batang lalaki ang nakaupo, malinaw na ang (k - 2)-th at (k + 2)-th na lugar ay inookupahan ng mga babae. Ngunit dahil may pantay na bilang ng mga lalaki at babae, kung gayon para sa sinumang batang babae na nakaupo sa ika-n puwesto, totoo na ang (n - 2)th at (n + 2)th na lugar ay inookupahan ng mga lalaki. Kung isasaalang-alang lamang natin ngayon ang 25 tao na nakaupo sa "pantay" na mga lugar, kung gayon makukuha natin na sa kanila ang mga lalaki at babae ay kahalili kung sila ay umiikot sa mesa sa ilang direksyon. Ngunit ang 25 ay isang kakaibang numero.

Ang snail ay gumagapang sa kahabaan ng eroplano sa patuloy na bilis, lumiliko sa tamang mga anggulo tuwing 15 minuto. Patunayan na maaari itong bumalik sa panimulang punto pagkatapos lamang ng isang integer na bilang ng mga oras. Solusyon:

Malinaw na ang bilang a ng mga seksyon kung saan gumapang ang snail pataas o pababa ay katumbas ng bilang ng mga seksyon kung saan ito gumapang sa kanan o sa kaliwa. Nananatili lamang na tandaan na ang isang ay pantay.

Tatlong tipaklong ang naglalaro ng leapfrog sa isang tuwid na linya. Sa bawat oras na ang isa sa kanila ay tumalon sa ibabaw ng isa (ngunit hindi higit sa dalawa nang sabay-sabay!). Maaari ba silang bumalik sa kanilang orihinal na posisyon pagkatapos ng pagtalon noong 1991? Solusyon:

Tukuyin ang mga tipaklong A, B at C. Tawagin nating tama ang mga kaayusan ng mga tipaklong ABC, BCA at CAB (mula kaliwa pakanan), at mali ang ACB, BAC at CBA. Madaling makita na sa anumang pagtalon ay nagbabago ang uri ng pag-aayos.

Mayroong 101 na barya, kung saan 50 ay peke, na may pagkakaiba sa timbang ng 1 gramo mula sa mga tunay. Kinuha ni Petya ang isang barya at para sa isang tumitimbang sa timbangan na may isang arrow na nagpapakita ng pagkakaiba sa mga timbang sa mga tasa, nais niyang matukoy kung ito ay pekeng. Kaya ba niya? Solusyon:

Kailangan mong itabi ang barya na ito, at pagkatapos ay hatiin ang natitirang 100 barya sa dalawang tumpok ng 50 barya, at ihambing ang mga timbang ng mga tambak na ito. Kung magkaiba sila ng pantay na bilang ng mga gramo, kung gayon ang barya na interesado tayo ay totoo. Kung kakaiba ang pagkakaiba sa pagitan ng mga timbang, kung gayon ang barya ay peke.

Posible bang isulat ang mga numero mula 1 hanggang 9 sa isang hilera nang isang beses upang mayroong isang kakaibang bilang ng mga numero sa pagitan ng isa at dalawa, dalawa at tatlo, ..., walo at siyam? Solusyon:

Kung hindi, ang lahat ng mga numero sa hilera ay nasa mga lugar ng parehong parity.

Ang gawaing ito ay bumili si Petya ng isang karaniwang kuwaderno na may dami ng 96 na mga sheet at binilang ang lahat ng mga pahina nito sa pagkakasunud-sunod ng mga numero mula 1 hanggang 192. Si Vasya ay bumunot (Kontrol) sa paksa (AHD at pagsusuri sa pananalapi), ay pasadyang ginawa ng aming kumpanya mga espesyalista at pumasa sa matagumpay nitong pagtatanggol. Trabaho - Bumili si Petya ng isang karaniwang kuwaderno na may dami ng 96 na mga sheet at binilang ang lahat ng mga pahina nito sa pagkakasunud-sunod na may mga numero mula 1 hanggang 192. Inilabas ni Vasya ang paksa ng AHD at ang pagsusuri sa pananalapi ay sumasalamin sa paksa nito at ang lohikal na bahagi ng pagsisiwalat nito, ang ang kakanyahan ng isyung pinag-aaralan ay inihayag, ang mga pangunahing probisyon at nangungunang mga ideya ay naka-highlight sa paksang ito.
Trabaho - Bumili si Petya ng isang karaniwang kuwaderno na may dami ng 96 na mga sheet at binilang ang lahat ng mga pahina nito sa pagkakasunud-sunod ng mga numero mula 1 hanggang 192. Pinunit ito ni Vasya, naglalaman ng: mga talahanayan, mga guhit, ang pinakabagong mga mapagkukunang pampanitikan, ang taon ng pagsusumite at pagtatanggol ng ang trabaho - 2017. Sa trabaho, bumili si Petya ng isang karaniwang dami ng notebook na 96 na mga sheet at binilang ang lahat ng mga pahina nito sa pagkakasunud-sunod ng mga numero mula 1 hanggang 192. Inilabas ni Vasya (AHD at pagsusuri sa pananalapi) ang kaugnayan ng paksa ng pananaliksik ay ipinahayag, ang antas ng pag-unlad ng problema ay makikita, batay sa isang malalim na pagtatasa at pagsusuri ng siyentipiko at metodikal na panitikan, sa gawain sa paksa ng AHD at pagsusuri sa pananalapi, ang layunin ng pagsusuri at mga isyu nito ay isinasaalang-alang nang komprehensibo, parehong mula sa teoretikal at praktikal na bahagi, ang layunin at mga tiyak na gawain ng paksang isinasaalang-alang ay nabuo, mayroong isang lohika ng presentasyon ng materyal at ang pagkakasunud-sunod nito.

Mga Seksyon: Math

Mahal na kalahok ng Olympiad!

Ang School Mathematics Olympiad ay ginaganap sa isang round.
Mayroong 5 mga gawain ng iba't ibang antas ng kahirapan.
Walang mga espesyal na kinakailangan para sa disenyo ng trabaho. Ang anyo ng pagtatanghal ng solusyon ng mga problema, gayundin ang mga paraan ng solusyon, ay maaaring anuman. Kung mayroon kang anumang mga indibidwal na pag-iisip tungkol sa isang partikular na gawain, ngunit hindi mo maaaring dalhin ang solusyon sa dulo, huwag mag-atubiling sabihin ang lahat ng iyong mga iniisip. Kahit na bahagyang nalutas ang mga problema ay susuriin ng kaukulang bilang ng mga puntos.
Simulan ang paglutas ng mga gawain na tila mas madali sa iyo, at pagkatapos ay magpatuloy sa iba pa. Sa ganitong paraan makakatipid ka ng oras.

Nais ka naming tagumpay!

Ang yugto ng paaralan ng All-Russian Olympiad para sa Mga Mag-aaral sa Matematika

Baitang 5

Ehersisyo 1. Sa expression na 1*2*3*4*5, palitan ang "*" ng mga senyales ng aksyon at ilagay ang mga bracket nang ganito. Upang makakuha ng isang expression na ang halaga ay 100.

Gawain 2. Kinakailangang tukuyin ang talaan ng pagkakapantay-pantay ng aritmetika, kung saan ang mga numero ay pinapalitan ng mga titik, at ang iba't ibang mga numero ay pinapalitan ng iba't ibang mga titik, ang parehong mga ay pareho.

LIMA - TATLO \u003d DALAWA Ito ay kilala na sa halip na ang sulat PERO kailangan mong ilagay sa numero 2.

Gawain 3. Paano hatiin ang 80 kg ng mga kuko sa dalawang bahagi - 15 kg at 65 kg gamit ang mga kaliskis ng kawali na walang timbang?

Gawain 4. Gupitin ang figure na ipinapakita sa figure sa dalawang pantay na bahagi upang ang bawat bahagi ay may isang bituin. Maaari ka lamang mag-cut sa mga linya ng grid.

Gawain 5. Ang isang tasa at platito na magkasama ay nagkakahalaga ng 25 rubles, habang ang 4 na tasa at 3 platito ay nagkakahalaga ng 88 rubles. Hanapin ang presyo ng tasa at ang presyo ng platito.

ika-6 na baitang.

Ehersisyo 1. Ihambing ang mga fraction nang hindi dinadala ang mga ito sa isang karaniwang denominator.

Gawain 2. Kinakailangang tukuyin ang talaan ng pagkakapantay-pantay ng aritmetika, kung saan ang mga numero ay pinapalitan ng mga titik, at ang iba't ibang mga numero ay pinapalitan ng iba't ibang mga titik, ang parehong mga ay pareho. Ipinapalagay na ang orihinal na pagkakapantay-pantay ay totoo at nakasulat ayon sa karaniwang mga tuntunin ng aritmetika.

TRABAHO
+ AY
SWERTE

Gawain 3. AT kampo ng tag-init tatlong kaibigan ang nagpahinga: sina Misha, Volodya at Petya. Ito ay kilala na ang bawat isa sa kanila ay may isa sa mga sumusunod na apelyido: Ivanov, Semenov, Gerasimov. Si Misha ay hindi Gerasimov. Ang ama ni Volodya ay isang inhinyero. Si Volodya ay nasa ika-6 na baitang. Si Gerasimov ay nasa ika-5 baitang. Ang ama ni Ivanov ay isang guro. Ano ang apelyido ng bawat isa sa tatlong magkakaibigan?

Gawain 4. Hatiin ang figure kasama ang mga linya ng grid sa apat na magkaparehong bahagi upang ang bawat bahagi ay may isang punto.

Gawain 5. Ang tumatalon na tutubi ay natutulog sa kalahating oras ng bawat araw ng pulang tag-araw, sumayaw sa ikatlong bahagi ng oras ng bawat araw, at kumanta para sa ikaanim na bahagi. Ang natitirang oras ay nagpasya siyang italaga sa paghahanda para sa taglamig. Ilang oras sa isang araw naghanda ang Tutubi para sa taglamig?

ika-7 baitang.

Ehersisyo 1. Lutasin ang rebus kung alam mo na ang pinakamalaking digit sa numerong STRONG ay 5:

MAGDESISYON
KUNG
MALAKAS

Gawain 2. Lutasin ang equation│7 - x│ = 9.3

Gawain 3. Pagkatapos ng pitong paghuhugas, nahati ang haba, lapad at kapal ng sabon. Ilan sa parehong paghuhugas ang magtatagal sa natitirang sabon?

Gawain 4 . Hatiin ang parihaba ng 4 × 9 na mga cell sa mga gilid ng mga cell sa dalawang pantay na bahagi upang makagawa ka ng isang parisukat mula sa mga ito.

Gawain 5. Ang isang kahoy na kubo ay pininturahan ng puting pintura sa lahat ng panig, at pagkatapos ay nilagare sa 64 na magkaparehong mga cube. Ilang cube ang naging kulay sa tatlong panig? Mula sa dalawang panig?
Isang panig? Ilang cube ang hindi nakukulayan?

ika-8 baitang.

Ehersisyo 1. Anong dalawang digit ang nagtatapos sa numerong 13!

Gawain 2. Bawasan ang fraction:

Gawain 3. Ang bilog ng drama ng paaralan, na naghahanda para sa paggawa ng isang sipi mula sa fairy tale ni A.S. Pushkin tungkol kay Tsar Saltan, nagpasya na ipamahagi ang mga tungkulin sa pagitan ng mga kalahok.
- Ako ay magiging Chernomor, - sabi ni Yura.
- Hindi, ako ay magiging Chernomor, - sabi ni Kolya.
- Sige, - Yura conceed to him, - I can play Gvidon.
- Buweno, maaari akong maging Saltan, - Nagpakita rin si Kolya ng pagsunod.
- Sumasang-ayon akong maging Guidon lamang! sabi ni Misha.
Nasiyahan ang kagustuhan ng mga lalaki. Paano ipinamahagi ang mga tungkulin?

Gawain 4. Ang Median AD ay iginuhit sa isang isosceles triangle ABC na may base AB = 8m. Ang perimeter ng triangle ACD ay mas malaki kaysa sa perimeter ng triangle ABD ng 2m. Hanapin ang AS.

Gawain 5. Bumili si Nikolai ng karaniwang notebook na may 96 na sheet at binilang ang mga pahina mula 1 hanggang 192. Pinunit ng kanyang pamangkin na si Arthur ang 35 sheet mula sa notebook na ito at idinagdag ang lahat ng 70 numero na nakasulat sa mga iyon. Makuha kaya niya ang 2010.

Baitang 9

Ehersisyo 1. Hanapin ang huling digit ng 1989 1989 .

Gawain 2. Ang kabuuan ng mga ugat ng ilan quadratic equation ay 1 at ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay 2. Ano ang kabuuan ng kanilang mga cube?

Gawain 3. Gamit ang tatlong median m a , m b at m c ∆ ABC hanapin ang haba ng gilid AC = b.

Gawain 4. Bawasan ang fraction .

Gawain 5. Sa ilang paraan maaari kang pumili ng patinig at katinig sa salitang "kamzol"?

Baitang 10.

Ehersisyo 1. Sa kasalukuyan mayroong mga barya ng 1, 2, 5, 10 rubles. Ipahiwatig ang lahat ng halaga ng pera na maaaring bayaran ng parehong pantay at kakaibang bilang ng mga barya.

Gawain 2. Patunayan na ang 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 ay nahahati sa 6.

Gawain 3. Sa isang quadrilateral A B C D ang mga diagonal ay bumalandra sa isang punto M. Ito ay kilala na AM = 1,
VM = 2, CM = 4. Sa anong halaga DM may apat na gilid A B C D ay isang trapezoid?

Gawain 4. Lutasin ang System of Equation

Gawain 5. Tatlumpung mag-aaral - ikasampung baitang at ikalabing-isang baitang - nakipagkamay. Kasabay nito, ang bawat ikasampung baitang ay nakipagkamay sa walong ikalabing-isang baitang, at ang bawat ika-labing isang baitang ay nakipagkamay sa pitong ika-sampung baitang. Ilan ang ikasampung baitang at ilan ang ika-labing isang baitang?