Dağıtım işlevi. Olasılık teorisine giriş Dağılım fonksiyonu iki sabit
Dağıtım fonksiyonunun tanımı
$X$ bir rastgele değişken olsun ve $x$ bu rastgele değişkenin dağılım olasılığı olsun.
Tanım 1
Bir dağıtım işlevi, $F\left(x\right)=P(X) koşulunu karşılayan bir $F(x)$ işlevidir
Ayrıca aksi takdirde dağıtım fonksiyonu bazen çağrılır. kümülatif dağılım fonksiyonu veya integral dağılım yasası.
Genel olarak, dağıtım fonksiyonunun grafiği, $\left$ segmentine ait bir değer aralığına sahip, azalmayan bir fonksiyonun grafiğidir (ve 0 ve 1 mutlaka değer aralığına dahil edilir). Bu durumda fonksiyonda fonksiyon atlamaları olabilir veya olmayabilir (Şekil 1)
Şekil 1. Dağıtım fonksiyonu grafiği örneği
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu
Rastgele değişken $X$ ayrık olsun. Ve onun için bir dizi dağılım verilsin. Böyle bir değer için olasılık dağılım fonksiyonu aşağıdaki biçimde yazılabilir:
Sürekli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu
Rastgele değişken $X$ şimdi sürekli olsun.
Böyle bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği her zaman azalmayan sürekli bir fonksiyonu temsil eder (Şekil 3).
Şimdi $X$ rastgele değişkeninin karıştırıldığı durumu ele alalım.
Böyle bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği her zaman minimum değeri 0 ve maksimum değeri 1 olan, azalmayan bir fonksiyondur, ancak tüm tanım alanı boyunca sürekli bir fonksiyon değildir (yani, bireysel noktalarda sıçramalar vardır) (Şek. 4).
Şekil 4. Karışık rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu
Dağıtım fonksiyonunu bulma problemlerine örnekler
örnek 1
$A$ olayının üç deneyde ortaya çıkışına ilişkin bir dizi dağılım verilmiştir.
Şekil 5.
Olasılık dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini çizin.
Çözüm.
Rastgele değişken kesikli olduğundan $\F\left(x\right)=\sum\limits_(x_i) formülünü kullanabiliriz
$x>3$ için, $F\left(x\right)=0,2+0,1+0,3+0,4=1$;
Buradan aşağıdaki olasılık dağılım fonksiyonunu elde ederiz:
Şekil 6.
Grafiğini oluşturalım:
Şekil 7.
Örnek 2
$A$ olayının gerçekleşip gerçekleşmeyebileceği bir deney gerçekleştirilir. Bu olayın gerçekleşme olasılığı 0,6$'dır. Bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulun ve oluşturun.
Çözüm.
$A$ olayının gerçekleşme olasılığı $0,6$ olduğuna göre, bu olayın gerçekleşmeme olasılığı $1-0,6=0,4$'a eşittir.
Öncelikle bu rastgele değişken için bir dağılım serisi oluşturalım:
Şekil 8.
Rastgele değişken kesikli olduğundan, dağıtım fonksiyonunu Problem 1'e benzeterek buluyoruz:
$x\le 0$ olduğunda, $F\left(x\right)=0$;
$x>1$ için, $F\left(x\right)=0,4+0,6=1$;
Böylece aşağıdaki dağıtım fonksiyonunu elde ederiz:
Şekil 9.
Grafiğini oluşturalım:
Şekil 10.
Dağıtım fonksiyonu, dağıtım yasasını belirlemenin en genel şeklidir. Hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenleri belirtmek için kullanılır. Genellikle belirlenir. Dağıtım işlevi rastgele bir değişkenin sabit bir gerçek sayıdan daha düşük değerler alma olasılığını belirler, yani. Dağılım fonksiyonu, olasılıksal bir bakış açısıyla rastgele bir değişkeni tam olarak karakterize eder. O da denir kümülatif dağılım fonksiyonu.
Dağılım fonksiyonunun geometrik yorumu çok basittir. Rastgele bir değişken, test sonucunda eksen üzerinde bir veya başka bir konum alabilen eksen üzerinde rastgele bir nokta olarak kabul edilirse (Şekil 6), o zaman dağılım fonksiyonu, sonuç olarak rastgele noktanın olasılığıdır. Testin solundaki nokta düşecektir.
Değer alabilen ayrık bir rastgele değişken için dağılım fonksiyonu şu şekildedir: 
burada eşitsizlik, toplamın 'den küçük tüm değerler için geçerli olduğu anlamına gelir. Bu formülden, ayrı bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun kademeli bir kesikli çizgi olduğu anlaşılmaktadır (Şekil 7). Rastgele bir değişkenin her yeni değeriyle, adım bu değerin olasılığına eşit miktarda artar. Dağıtım fonksiyonundaki tüm sıçramaların toplamı bire eşittir.
Sürekli bir rastgele değişkenin sürekli bir dağılım fonksiyonu vardır; bu fonksiyonun grafiği düzgün bir eğri şeklindedir (Şekil 8). 
Dağıtım fonksiyonlarının genel özelliklerini ele alalım.
Mülk 1. Dağılım fonksiyonu sıfır ile bir arasında negatif olmayan bir fonksiyondur:
Bu özelliğin geçerliliği, dağılım fonksiyonunun rastgele bir olayın olasılığı olarak tanımlanmasından kaynaklanmaktadır.
Mülk 2. Rastgele bir değişkenin bir aralığa düşme olasılığı, bu aralığın uçlarındaki dağılım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir, yani.
Sürekli bir rastgele değişkenin herhangi bir bireysel değerinin olasılığının sıfır olduğu sonucu çıkar.
Mülk 3. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu azalmayan bir fonksiyondur, yani. 
.
Mülk 4. Eksi sonsuzda dağılım fonksiyonu sıfıra, artı sonsuzda ise bire eşittir; 
Ve 
.
Örnek 1. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu şu ifadeyle verilir:
Katsayıyı bulun ve bir grafik çizin. Deney sonucunda bir rastgele değişkenin aralıkta değer alma olasılığını belirleyin.
Rastgele değişken çeşitli koşullara bağlı olarak belirli değerleri alabilen bir değişkendir ve rastgele değişkene sürekli denir , herhangi bir sınırlı veya sınırsız aralıktan herhangi bir değer alabiliyorsa. Sürekli bir rastgele değişken için olası tüm değerleri belirtmek imkansızdır, bu nedenle bu değerlerin belirli olasılıklarla ilişkili aralıklarını belirleriz.
Sürekli rastgele değişkenlerin örnekleri şunları içerir: belirli bir boyuta göre taşlanan bir parçanın çapı, bir kişinin boyu, bir merminin uçuş menzili, vb.
Sürekli rastgele değişkenler için fonksiyon F(X), Farklı ayrık rastgele değişkenler, hiçbir yerde sıçrama yoksa, sürekli bir rastgele değişkenin herhangi bir bireysel değerinin olasılığı sıfırdır.
Bu, sürekli bir rastgele değişken için, değerleri arasındaki olasılık dağılımından bahsetmenin bir anlamı olmadığı anlamına gelir: her birinin olasılığı sıfırdır. Ancak bir anlamda sürekli bir rastgele değişkenin değerleri arasında “daha fazla ve daha az olası” olanlar vardır. Örneğin, pratikte her iki değer de ortaya çıkabilse de, rastgele bir değişkenin değerinin - rastgele karşılaşılan bir kişinin boyu - 170 cm - 220 cm'den daha muhtemel olduğundan neredeyse hiç kimse şüphe duymaz.
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu
Yalnızca sürekli rastgele değişkenler için anlamlı olan bir dağılım yasası olarak dağılım yoğunluğu veya olasılık yoğunluğu kavramı tanıtılmıştır. Sürekli bir rastgele değişken ve kesikli bir rastgele değişken için dağılım fonksiyonunun anlamını karşılaştırarak yaklaşalım.
Yani, bir rastgele değişkenin (hem kesikli hem de sürekli) dağılım fonksiyonu veya integral fonksiyonu Rastgele bir değişkenin değerinin olma olasılığını belirleyen fonksiyona denir. X sınır değerinden küçük veya ona eşit X.
Değer noktalarında ayrık bir rastgele değişken için X1 , X 2 , ..., X Ben,... olasılık kitleleri yoğunlaşmıştır P1 , P 2 , ..., P Ben,... ve tüm kütlelerin toplamı 1'e eşittir. Bu yorumu sürekli rastgele değişken durumuna aktaralım. 1'e eşit bir kütlenin bireysel noktalarda yoğunlaşmadığını, apsis ekseni boyunca sürekli olarak "yayıldığını" hayal edelim. Ah bazı düzensiz yoğunluklarla. Rasgele bir değişkenin herhangi bir alana düşme olasılığı Δ X bölüm başına kütle ve o bölümdeki ortalama yoğunluk, kütlenin uzunluğa oranı olarak yorumlanacaktır. Az önce olasılık teorisinde önemli bir kavramı tanıttık: dağıtım yoğunluğu.
Olasılık yoğunluğu F(X Sürekli bir rastgele değişkenin ) dağılım fonksiyonunun türevidir:
.
Yoğunluk fonksiyonunu bilerek, sürekli bir rastgele değişkenin değerinin kapalı aralığa ait olma olasılığını bulabilirsiniz [ A; B]:
sürekli bir rastgele değişkenin olasılığı X[ aralığından herhangi bir değer alacaktır A; B], olasılık yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir Aönce B:
.
Bu durumda fonksiyonun genel formülü F(X) yoğunluk fonksiyonu biliniyorsa kullanılabilecek sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı F(X) :
.
Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk grafiğine dağılım eğrisi denir (aşağıdaki şekil).
Bir eğri ile sınırlanmış bir şeklin alanı (şekilde gölgeli), noktalardan çizilen düz çizgiler A Ve B x eksenine dik ve eksen Ah, sürekli bir rastgele değişkenin değerinin olasılığını grafiksel olarak görüntüler X aralığındadır Aönce B.
Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri
1. Rastgele bir değişkenin aralıktan (ve fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan şeklin alanından) herhangi bir değer alma olasılığı F(X) ve eksen Ah) bire eşittir:
2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif değerler alamaz:
ve dağıtımın varlığı dışında değeri sıfırdır
Dağıtım yoğunluğu F(X) ve dağıtım fonksiyonunun yanı sıra F(X), dağıtım yasasının biçimlerinden biridir, ancak dağıtım fonksiyonundan farklı olarak evrensel değildir: dağıtım yoğunluğu yalnızca sürekli rastgele değişkenler için mevcuttur.
Uygulamada sürekli bir rastgele değişkenin en önemli iki dağılım türünden bahsedelim.
Dağıtım yoğunluğu fonksiyonu ise F(X) sonlu bir aralıkta sürekli rastgele değişken [ A; B] sabit bir değer alır C ve aralığın dışında sıfıra eşit bir değer alırsa bu dağılıma tekdüze denir .
Dağılım yoğunluk fonksiyonunun grafiği merkeze göre simetrik ise, ortalama değerler merkeze yakın yoğunlaşır ve merkezden uzaklaşıldığında ortalamadan daha farklı olanlar toplanır (fonksiyon grafiği bir kesite benzer) bir zil), sonra bu dağılıma normal denir .
Örnek 1. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu bilinmektedir:
İşlev bul F(X) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu. Her iki fonksiyonun grafiklerini oluşturun. Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ila 8 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .
Çözüm. Olasılık dağılım fonksiyonunun türevini bularak olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde ederiz:
Bir fonksiyonun grafiği F(X) - parabol:
Bir fonksiyonun grafiği F(X) - dümdüz:
Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ila 8 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:
Örnek 2. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir:
Katsayıyı hesapla C. İşlev bul F(X) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı. Her iki fonksiyonun grafiklerini oluşturun. Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ila 5 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .
Çözüm. Katsayı C olasılık yoğunluk fonksiyonunun 1. özelliğini kullanarak şunu buluruz:
Dolayısıyla sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:
İntegral alarak fonksiyonu buluyoruz F(X) olasılık dağılımları. Eğer X < 0 , то F(X) = 0 . 0 ise< X < 10 , то
.
X> 10, o halde F(X) = 1 .
Dolayısıyla olasılık dağılım fonksiyonunun tam kaydı şu şekildedir:
Bir fonksiyonun grafiği F(X) :
Bir fonksiyonun grafiği F(X) :
Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:
Örnek 3. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu X eşitlikle verilir ve . Katsayıyı bul A sürekli bir rastgele değişkenin olasılığı X sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olan ]0, 5[ aralığından herhangi bir değeri alacaktır X.
Çözüm. Koşullu olarak eşitliğe ulaşırız
Bu nedenle, nereden . Bu yüzden,
.
Şimdi sürekli bir rastgele değişkenin olasılığını buluyoruz X]0, 5[ aralığından herhangi bir değer alacaktır:
Şimdi bu rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu elde ediyoruz:
Örnek 4. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu bulun X Yalnızca negatif olmayan değerleri alan ve dağıtım işlevi 
.
Herhangi bir rastgele deneyin sonucu niteliksel ve niceliksel olarak karakterize edilebilir. Nitel rastgele bir deneyin sonucu - rastgele etkinlik. Herhangi niceliksel özellik Rastgele bir deneyin sonucu olarak bir dizi değerden birini alabilen, - rastgele değer. Rastgele değer olasılık teorisinin temel kavramlarından biridir.
Keyfi bir olasılık uzayı olsun. Rastgele değişken herhangi bir gerçek sayı için x =x (w), w W gerçek sayısal fonksiyonu olarak adlandırılır. X 
.
Etkinlik Bunu x biçiminde yazmak gelenekseldir.< X. Aşağıda rastgele değişkenler küçük Yunan harfleri x, h, z, ... ile gösterilecektir.
Rastgele değişken, bir zar atıldığında elde edilen puan sayısı veya bir çalışma grubundan rastgele seçilen bir öğrencinin boyudur. Karşılaştığımız ilk durumda ayrık rastgele değişken(ayrı bir sayı kümesinden değerler alır M=(1, 2, 3, 4, 5, 6) ; ikinci durumda - ile sürekli rastgele değişken(sürekli bir sayı kümesinden değerler alır - sayı doğrusu aralığından BEN=).
Her rastgele değişken tamamen kendi tarafından belirlenir. dağıtım işlevi.
Eğer x rastgele bir değişken ise, o zaman fonksiyon F(X) = döviz(X) = P(X< X) denir dağıtım işlevi rastgele değişken x. Burada P(X<X) - rastgele değişken x'in bundan daha düşük bir değer alma olasılığı X.
Dağılım fonksiyonunun bir rastgele değişkenin “pasaportu” olduğunu anlamak önemlidir: rastgele değişken hakkındaki tüm bilgileri içerir ve dolayısıyla bir rastgele değişkenin incelenmesi onu incelemekten ibarettir dağıtım fonksiyonları, buna genellikle basitçe denir dağıtım.
Herhangi bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:
Eğer x değerleri alan ayrık bir rastgele değişken ise X 1 <X 2 < … <x ben < … с вероятностями P 1 <P 2 < … <ben < …, то таблица вида
| X 1 | X 2 | … | x ben | … |
| P 1 | P 2 | … | ben | … |
isminde ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı.
Böyle bir dağılıma sahip bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu şu şekildedir:
Ayrık bir rastgele değişkenin bir adım dağılım fonksiyonu vardır. Örneğin, bir zarın tek atışında elde edilen rastgele sayıda puan için dağılım, dağılım fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunun grafiği şöyledir:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Dağıtım fonksiyonu ise döviz(X) sürekli ise rasgele değişken x olarak adlandırılır sürekli rastgele değişken.
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu ise türevlenebilir, daha sonra rastgele değişkenin daha görsel bir temsili şu şekilde verilir: rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu p x(X), dağıtım fonksiyonu ile ilgilidir döviz(X) formüller
Ve 
.
Buradan özellikle herhangi bir rastgele değişken için şu sonuç çıkar.
Pratik problemleri çözerken çoğu zaman değeri bulmak gerekir. X dağıtım fonksiyonu burada döviz(X) rastgele değişken x belirli bir değeri alır P yani denklemin çözülmesi gerekiyor döviz(X) = P. Böyle bir denklemin çözümleri (karşılık gelen değerler X) olasılık teorisinde denir yüzdelikler.
Nicelik x p ( P-kantil, düzey niceliği P) bir dağılım fonksiyonuna sahip rastgele değişken döviz(X), çözüm olarak adlandırıldı xp denklemler döviz(X) = P, P(0, 1). Bazı P denklem döviz(X) = P Bazıları için birkaç çözümü olabilir, bazıları için ise hiçbiri. Bu, karşılık gelen rastgele değişken için bazı yüzdelik dilimlerin benzersiz şekilde tanımlanmadığı ve bazı yüzdelik dilimlerin mevcut olmadığı anlamına gelir.
3. Dağıtım fonksiyonu azalmayan: eğer öyleyse
4. Dağıtım işlevi sürekli sol: herkes için .
Not. Son özellik, dağılım fonksiyonunun kırılma noktalarında hangi değerleri aldığını gösterir. Bazen dağıtım fonksiyonunun tanımı gevşek bir eşitsizlik kullanılarak formüle edilir: . Bu durumda soldaki sürekliliğin yerini sağdaki süreklilik alır: ne zaman . Bu, dağıtım fonksiyonunun herhangi bir anlamlı özelliğini değiştirmez; dolayısıyla bu soru yalnızca terminolojiktir.
Özellikler 1-4 karakteristiktir, yani. Bu özellikleri karşılayan herhangi bir fonksiyon, bazı rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonudur.
Dağılım fonksiyonu, bir rastgele değişkenin olasılık dağılımını benzersiz bir şekilde belirtir. Aslında bu dağılımı tanımlamanın evrensel ve en görsel yoludur.
Sayı doğrusunda belirli bir aralıkta dağılım fonksiyonu büyüdükçe, rastgele bir değişkenin bu aralığa düşme olasılığı da artar. Bir aralığa düşme olasılığı sıfırsa, o zaman aralıktaki dağılım fonksiyonu sabittir.
Özellikle, bir rastgele değişkenin belirli bir değeri alma olasılığı, dağıtım fonksiyonunda belirli bir noktadaki sıçramaya eşittir:
.Dağılım fonksiyonu noktasında sürekli ise bu değeri bir rastgele değişken için alma olasılığı sıfırdır. Özellikle, dağılım fonksiyonu tüm sayısal eksen üzerinde sürekli ise (ve buna karşılık gelen dağılıma sürekli), bu durumda verilen herhangi bir değeri kabul etme olasılığı sıfırdır.
Dağılım fonksiyonunun tanımından, bir rastgele değişkenin solda kapalı ve sağda açık bir aralığa düşme olasılığının şuna eşit olduğu sonucu çıkar:
Bu formülü ve yukarıdaki herhangi bir noktaya çarpma olasılığını bulma yöntemini kullanarak, rastgele bir değişkenin diğer türdeki aralıklara girme olasılıkları kolayca belirlenir: , ve . Ayrıca ölçü genişletme teoremi ile ölçüyü sayı doğrusundaki tüm Borel kümelerine benzersiz şekilde genişletebiliriz. Bu teoremi uygulamak için, aralıklarda bu şekilde tanımlanan ölçünün bunlara sigma katkısı olduğunu göstermek gerekir; bunu kanıtlarken 1-4 arasındaki özellikler tam olarak kullanılır (özellikle sol süreklilik 4 özelliği, dolayısıyla atılamaz).
Belirli bir dağılıma sahip rastgele bir değişken oluşturma
Dağılım fonksiyonuna sahip bir rastgele değişkeni ele alalım. Öyleymiş gibi yapalım sürekli. Rastgele değişkeni düşünün
.Bu durumda segment üzerinde düzgün bir dağılıma sahip olacağını göstermek kolaydır.
