Tanım. Aksiyomlar - Geometri - Okul çocukları için harika bir referans kitabı. Segmentleri ve açıları ertelemek Açıları ertelemenin ana özelliği

>>Matematik 7. sınıf. Dersleri tamamlayın >>Geometri: Parçaların ve açıların yerleşimi. Dersleri tamamla

Çizgileri ve Açıları Ertelemek

Resim nasıl kullanılacağını gösterir Cetveller Başlangıç ​​noktası A olan bir yarım çizgi üzerinde 3 cm uzunluğunda bir parça çizebilirsiniz.

Bu şekil nasıl kullanılacağını gösterir iletki yarım çizgi a'dan üst düzleme kadar 60° derecelik bir açı koyun


Segmentlerin ve açıların birikmesinin temel özelliklerini formüle edelim:

1. başlangıç ​​noktasından itibaren herhangi bir yarım çizgiye, belirli bir uzunlukta ve yalnızca bir parça çizebilirsiniz;
2. Herhangi bir yarım çizgiden, belirli bir derece ölçüsüne sahip, 180°'den küçük bir açı, belirli bir yarım düzlemde çizilebilir.

Bir problemin çözümüne bir örnek.

AB ışınında AB doğru parçasından daha küçük bir AC parçası vardır. A, B, C noktalarından hangisi diğer ikisi arasında yer alır?

Çözüm.
B ve C noktaları, A başlangıç ​​noktasıyla aynı yarım çizgi üzerinde yer aldığından, bu onların A noktasıyla ayrılmadığı anlamına gelir; yani A noktası, B ve C noktaları arasında değildir.

B noktası A ve C noktaları arasında yer alıyorsa eşitlik doğru olacaktır: AB+BC=AC. Bu imkansızdır, çünkü koşul gereği AC segmenti AB segmentinden daha küçüktür. Bu nedenle C noktası A ve C noktaları arasında değildir.

A, B, C noktalarından yalnızca biri diğer ikisinin arasındadır. Bizim durumumuzda: C noktası A ve B noktaları arasındadır.

Ray.

Düz bir çizgi a çizelim ve üzerine O noktasını işaretleyelim (Şek. 11).

Bu nokta, çizgiyi her birine O noktasından çıkan ışın adı verilen iki parçaya böler (Şekil 11'de ışınlardan biri kalın çizgiyle vurgulanmıştır). O noktasına her ışının başlangıcı denir. Tipik olarak, bir ışın ya küçük bir Latin harfiyle (örneğin, Şekil 12, a'daki ışın h) ya da iki büyük Latin harfiyle gösterilir; bunlardan ilki ışının başlangıcını, ikincisi ise ışının üzerinde bir noktayı gösterir. ışın (örneğin, Şekil 12, b'deki OA ışını).

Köşe.

Açıyı hatırlayın bir nokta ve bu noktadan çıkan iki ışından oluşan geometrik bir şekildir. Işınlara açının kenarları denir ve ortak kökenleri açının tepe noktasıdır. Şekil 13, O köşesine sahip ve h ve k kenarlarına sahip bir açıyı göstermektedir. A ve B noktaları yanlarda işaretlenmiştir: hk veya AOB veya O.

Açıya döndürülmüş denir, eğer her iki tarafı da aynı düz çizgide yer alıyorsa. Açılmamış bir açının her bir kenarının diğer kenarın devamı olduğunu söyleyebiliriz. Şekil 14, köşe noktası C ve kenarları p ve q olan gelişmiş bir açıyı göstermektedir.

Herhangi bir açı düzlemi iki parçaya böler. Açı döndürülmezse parçalardan birine denir. dahili, ve diğer - harici bu açının alanı (Şekil 15, a). Şekil 15,b gelişmemiş bir açıyı göstermektedir. A, B, C noktaları bu açının içinde (yani açının iç bölgesinde), D ve E noktaları açının yanlarında, P ve Q noktaları ise açının dışında (yani dış bölgede) bulunur. açısı). Açı açılırsa, düzlemi böldüğü iki parçadan herhangi biri açının iç bölgesi olarak düşünülebilir. Bir açı ve onun iç bölgesinden oluşan şekle de açı denir.

Bir ışın gelişmemiş bir açının tepesinden gelip açının içinden geçerse bu açıyı iki açıya böler. Şekil (16,a)'da OS ışını AOB açısını iki açıya böler: AOS ve COB. AOB açısı açılırsa, OA ve OB ışınlarıyla çakışmayan herhangi bir OC ışını bu açıyı iki açıya böler: AOS ve COB (Şekil 16, b).


Segmentlerin ve açıların karşılaştırılması.

Şekil 20a'da iki bölüm gösterilmektedir. Eşit olup olmadıklarını belirlemek için, bir parçanın sonu diğerinin ucuyla çakışacak şekilde bir parçayı diğerinin üzerine koyacağız (Şekil 20, b). Aynı zamanda diğer iki uç da çakışırsa, parçalar tamamen çakışacak ve dolayısıyla eşit olacaktır. Diğer iki uç çakışmazsa, diğerinin parçasını oluşturan parça daha küçük kabul edilir. Şekil 20'de AC parçası AB parçasının bir parçasıdır, dolayısıyla AC parçası AB parçasından küçüktür (şu şekilde yazılır: AC)<АВ).

Bir doğru parçası üzerinde onu ikiye, yani iki eşit parçaya bölen noktaya, doğru parçasının orta noktası denir. Şekil 21'de C noktası AB doğru parçasının ortasıdır.

Şekil 22a'da gösterilmektedir çevrilmemiş köşeler 1 ve 2. Eşit olup olmadıklarını belirlemek için, bir açının kenarı diğerinin kenarıyla hizalanacak ve diğer ikisi hizalanan kenarların aynı tarafında olacak şekilde bir açıyı diğerinin üzerine bindireceğiz (Şek. 22). , B). Diğer iki kenar da buluşuyorsa açılar tamamen hizalanmıştır ve dolayısıyla eşittir. Bu kenarlar çakışmazsa, diğerinin parçasını oluşturan açının daha küçük olduğu kabul edilir. Şekil (22,b)'de açı 1, açı 2'nin bir parçasıdır, dolayısıyla 1<2.

Dönülmemiş köşeşuna eşittir: genişletilmiş kısmı(Şekil 23), bu nedenle gelişmiş açı, geliştirilmemiş açıdan daha büyüktür. Herhangi iki ters açı açıkça eşittir.

Bir açının köşesinden çıkan ve onu iki eşit açıya bölen ışına denir. açıortay köşe. Şekil 24'te bir ışın var ben- hk açısının açıortayı.

Sorular:

1. Döndürme açısı kaç derecedir?
2. Bisektör nedir?
3. İletkinin amacı nedir?

Kullanılan kaynakların listesi:

1. P. I. Altynov, Geometri notları 7-9. Moskova. Yayınevi "Drofa", 2005.
2. Genel eğitim kurumlarının programları. Geometri 7-9. Sınıflar. Derleyen: S.A. Burmistrova. Moskova. "Aydınlanma", 2009.
3. Gazete "Matematik" No. 19, 2000.
4. Atanasyan, Geometri 7-9. sınıflar.
5. Pavlov A. N. Geometri: Tezler ve çözümlerde planimetri.
6. Potunak S.A. tarafından düzenlenmiş ve gönderilmiştir.

Ders üzerinde çalıştım:

Poturnak S.A.

Şu anda derslerimde kullandığım öğretim sistemi şu prensibe dayanmaktadır: Öğretmenin konumu sınıfa bir cevapla (hazır bilgi, yetenek ve beceriler) yaklaşmak değil, soruyla yaklaşmak, öğrencinin konumu anlamaktır. Dünya. Düşünmenin temelini oluşturan entelektüel becerilerin ve bilişsel becerilerin oluşması, öğrencilerin yaratıcı yeteneklerinin ve bağımsız etkinliklerinin geliştirilmesi, temel yeterliliklerin oluşturulması için sınıfta koşullar yaratmak, öğretimde problem arama yaklaşımıyla iyi gider. Bütün derslerimi "keşfederek öğrenme" temeline dayandırmaya çalışıyorum. 7.sınıftaki ilk geometri derslerinden itibaren çocuklara sabırla ve bilinçli olarak deneme yanılma yoluyla bilinmeyen bilgileri edinmelerini öğretiyorum. Sorunlu sorular, çelişkili gerçekler, birbirini dışlayan bakış açıları veya öğrencilerden gelen cevaplar ve bilinmeyen bilginin araştırılmasına yol açan pratik görevler, düşünceyi kontrol etmenin bir aracı haline gelir. Yukarıdaki prensipler üzerine inşa edilen 7. sınıf geometri derslerine ilişkin çeşitli sunumlar sunmak istiyorum.

İndirmek:

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Segmentleri ve açıları düzenlemenin temel özellikleri

1. Düz bir çizgi çizin (yatay olarak), üzerine O ve B noktalarını işaretleyin 2. OB ışınının başlangıç ​​noktasından itibaren 5 cm'ye eşit bir parça ayırın. 3. OB ışınından alt yarı düzleme kadar, 50 °'ye eşit bir BOA açısı bırakın. Sorular: Başlangıç ​​noktasından itibaren bir yarım çizgiye belirli bir uzunlukta kaç parça yerleştirilebilir? Belirli bir noktadan belirli bir doğruya belirli uzunlukta kaç parça çizilebilir? Belirli bir büyüklükte (derece ölçüsü) kaç tane açı, bir yarım çizgiden belirli bir yarım düzleme çizilebilir? Belirli bir yarım çizgiden belirli bir derece ölçüsünün kaç açısı çizilebilir?

O B C OS = 5 cm B O A 50 ° ∠ BOA = 50 ° O B C C " OS = 5 cm OS ' = 5 cm O B A B " 50 ° 50 ° ∠ BOA = 50 ° ∠ B ‘ OA = 50 °

VI. Başlangıç ​​noktasından itibaren herhangi bir yarım çizgiye, belirli bir uzunlukta ve yalnızca bir parça çizebilirsiniz. VII. Herhangi bir yarım çizgiden belirli bir yarım düzleme, belirli bir derece ölçüsüne sahip 180 ° 'den küçük ve yalnızca bir açı koyabilirsiniz.

KONU “Bir segmentin temel özellikleri”

7. sınıf geometri derslerinde elektronik ders kitabı kullanımına örnek olarak “Bir doğru parçasının temel özellikleri” kavramının nasıl tanıtıldığına bakacağız.

Bu seçim aşağıdaki hususlardan kaynaklanmaktadır:

1. Bu hem başlangıç ​​hem de sistematik geometri derslerindeki en önemli kavramlardan biridir;

2. Bir parça, örneğin bir ışının veya düz bir çizginin aksine, bir metrik özelliğe sahiptir - uzunluk.

Mevcut matematik programı aşağıdaki önerilerde bulunmaktadır:

1. Materyalin çalışması öğrencilerin yaşam deneyimlerine ve pratik becerilerine göre düzenlenir;

2. Sorunların çözümünde ve inşaatların gerçekleştirilmesinde segmentin karakteristik özellikleri fark edilir;

3. Ana odak noktası, bir cetvel kullanarak parçaları ölçme ve oluşturma becerilerini geliştirmektir.

Geometrik materyallerin mevcut programa uygun olarak incelenmesi sonucunda öğrenciler şunları bilmelidir:

1. Düzlemin iki noktasını birleştiren tek bir doğru parçasının bulunması;

2. Parçanın her iki taraftan sınırlı olması ve düz bir çizginin parçası olması;

3. Eşit bölümlerin belirlenmesi;

4. Bir parçanın uzunluğunun özelliği - bölümlerin toplamının uzunluğu, toplam bölümlerinin uzunluklarının toplamına eşittir.

Öğrenciler şunları yapabilmelidir:

1. Çeşitli geometrik şekillerin içerdiği parçalar da dahil olmak üzere parçaları tanır;

2. Segmentleri oluşturun, etiketleyin ve ölçün;

3. Segmentleri karşılaştırın.

Geleneksel sunumda, bu materyalin çalışması aşağıdaki şemaya göre gerçekleştirilir:

1. Bir bölümün inşası;

2. Segmentin belirlenmesi;

3. Parçanın uzunluğu, uzunluk birimleri;

4. Segmentleri yerleştirmenin özellikleri;

5. Doğru parçalarının toplamının uzunluğunu bulma.

Çeşitli güncel ders kitaplarında ve öğretim yardımcılarında yer alan alıştırmalar aşağıdaki türlerde sınıflandırılabilir:

a) bölümlerin inşası;

b) bölümlerin belirlenmesi;

c) bölümlerin ölçülmesi ve karşılaştırılması;

d) kesikli bir çizginin uzunluğunu veya bir çokgenin çevresini bulmak;

e) bölümlerin toplamının uzunluğunu bulmak.

Dolayısıyla “segment” kavramı uzunluğuyla doğrudan ilişkilidir. "Segment" kavramını değerlendirmemize ölçümle ilgisi olmayan karakteristik özellikleri vurgulayarak başlayacağız. Bunlar bir doğru parçasının diğer geometrik şekillerle benzerliğini ve onlardan farklılığını belirlemeyi, yani parça fikrini öğrencilerin halihazırda var olan geometrik fikir sistemine dahil etmeyi mümkün kılan özelliklerdir.

Bir parçanın ana özellikleri - iki yöndeki düzlük ve sınırlılık - düz bir çizgi veya ışınla karşılaştırıldığında ortaya çıkar.

Bu özellikler bir segmenti ölçmenize, yani uzunluğunu bir uzunluk standardı ile karşılaştırmanıza olanak tanır.

Aslında sınırsız doğaları nedeniyle düz bir çizginin ve ışının uzunluğu ölçülemez. Eğri bir çizgi için, keyfi şekli nedeniyle uzunluğun doğrudan ölçümü zordur. Ancak eğrinin uzunluğu bilinse bile, belirli bir uzunlukta sonsuz sayıda eğri çizgi bulunduğundan bu sayı şekli hakkında hiçbir şey söylemez. Segmentin uzunluğu onu benzersiz bir şekilde geometrik bir şekil olarak tanımlar.

Bu çalışmada “segment” kavramının aşağıdaki şemaya göre incelenmesi önerilmektedir:

1. bir bölümün inşası;

2. bölüm tanımı;

3. bir segmentin metrik olmayan temel özellikleri;

4. bir segmenti geciktirmenin ana özelliği;

5. parçanın uzunluğu, uzunluk birimleri;

6. eşit bölümler, bölümlerin uzunluklarına göre karşılaştırılması;

7. Doğru parçaları toplamının uzunluğunu bulma.

“A segmenti ve özellikleri” konusunu tanımak için bir saat ayrılmıştır.

DERS “Bölümlerin temel özellikleri.”

Dersin amacı: Öğrencilerin sınırlı bir doğrusal geometrik şekil olarak bir parça ve bir düzlem üzerindeki noktaların göreceli konumu hakkındaki fikirlerini geliştirmek.

I. Yeni materyali incelemeye hazırlık.

Öğrenciler ilkokuldan itibaren bir segmente, onun yapısına ve ölçümüne aşinadır. Bu nedenle dersin başında öğrenciler bir cetvel ve onun gösterimini kullanarak bir parça oluşturmanın çeşitli yollarını hatırlarlar.

Tekrarlama:

Yöntem 1: Bir cetvel kullanarak düz bir çizgi çizin, üzerine AB parçasını tanımlayan iki A ve B noktasını işaretleyin.

AB doğru parçası bir doğrunun parçasıdır,

AB puanlarla sınırlıdır.

Çizgi segmenti AB

Yöntem 2: Düzlemde iki A ve B noktasını işaretleyin ve bunları A ve B noktalarının ötesine geçmeyecek bir cetvel kullanarak bağlayın.

AB segmenti tüm noktalardan oluşur

noktalar arasında uzanan düz çizgi

A İÇİNDE A ve B ve noktaların kendisi.

Çizgi segmenti AB

Öğrenciler bir doğru parçası hakkında bildikleri her şeyi hatırlarlar: 1) bir doğru parçası düz bir şekildir (bir düzlem üzerinde yer alır); 2) bu düz bir çizginin parçasıdır; 3) segment sonsuz sayıda noktadan oluşur; 4) her iki tarafta da sınırlıdır; 5) doğru parçasının her noktası, parçanın uçları adı verilen iki nokta arasında yer alır.

Öğrenciler tüm bunları elektronik ders kitabına dayanarak “bölüm” sayfasını açarak hatırlarlar. (Şekil 8)

Şekil 8.

Yeni materyalin sunumu. EUP sayfasının kullanılması “Planimetri”: “Bir segmentin temel özellikleri”

Öğrenciler doğru parçası hakkında bildiklerini hatırlayıp tekrarladıktan sonra öğretmen şunu söyler: Parçanın uçlarına sınır noktaları denir ve bunların arasında kalanlar da parçanın iç noktalarıdır.

Bundan sonra öğretmen çocuklardan bir çizim gösteren ve öğrencileri bir parçayı ölçmenin ve çizmenin temel özelliklerine yönlendiren bir açıklama veren elektronik ders kitabına dönmelerini ister.

II. Konsolidasyon

Öğrencilerden noktaların parçalara, doğru parçalarına ve ışınlara ait olması ve formun oluşturulmasıyla ilgili çeşitli görevleri tamamlamaları istenir:

1. Defterinizde K ve M noktalarını işaretleyin. Bir cetvel kullanarak bir KM doğru parçası oluşturun. Bu doğru parçası üzerinde P ve T noktalarını işaretleyin. Bu noktaların KM doğru parçasını böldüğü parçaları adlandırın. T noktası KM doğru parçasını hangi parçalara ayırır?

2. Şekil 2'de belirtilen noktalardan hangisi? CD segmentine aittir ve bunlardan hangisi ait değildir?

Birleştirilecek sorular:

1. Noktalar ve çizgiler nasıl belirlenir?

2. Şekilde işaretlenen noktalar a doğrusu üzerinde, hangileri b doğrusu üzerinde yer almaktadır? a ve b doğruları hangi noktada kesişir?

3. Segmentleri yerleştirmenin temel özelliklerini formüle edin.

4. Ölçüm bölümlerinin ana özelliğini formüle edin.

Geometri

En basit geometrik şekillerin temel özellikleri

Tanım. Aksiyomlar

Geometri geometrik şekillerin özelliklerinin bilimidir.
Lütfen unutmayın: geometrik bir şekil yalnızca bir üçgen, daire, piramit vb. değil aynı zamanda herhangi bir nokta kümesidir.
Planimetri düzlemdeki şekillerin incelendiği geometri dalıdır.
Nokta Ve dümdüz Planimetrinin temel kavramlarıdır. Bu, bu kavramın kesin olarak tanımlanamayacağı anlamına gelir. Yalnızca deneyime ve özelliklerinin listelenmesine dayanarak hayal edilebilirler.
Doğruluğu kanıtlanmadan kabul edilen ifadelere denir aksiyomlar. En basit şekillerin temel özelliklerinin formülasyonlarını içerirler.
Kanıtlanmış ifadelere denir teoremler.
Tanım Bir kavramın ya temel kavramlara ya da daha önce tanımlanmış kavramlara dayanan bir açıklamasıdır.
Tanımlar: noktalar büyük Latin harfleriyle belirtilmiştir; düz çizgiler - küçük Latin harfleriyle veya iki büyük Latin harfiyle (düz bir çizgide iki nokta belirtilmişse).
Resimdeki noktalar A, B, C, N,M ve düz A Ve B. Doğrudan A düz bir çizgi olarak gösterilebilir MN(veya N.M.).

Giriş şu anlama gelir: M düz bir çizgi üzerinde yatıyor A. Giriş şu anlama gelir: İLE düz bir çizgi üzerinde uzanmıyor A.
Bunu net olarak anlamamız gerekiyor A Ve BŞekilde görmesek de bir noktada kesişiyor.

Düzlemdeki noktaların ve doğruların üyeliğinin temel özellikleri (aksiyomları)

Aksiyom I.
1. Doğru ne olursa olsun bu doğruya ait olan noktalar olduğu gibi, ona ait olmayan noktalar da vardır.
2. Herhangi iki noktadan düz bir çizgi çizebilirsiniz, hem de yalnızca bir tane. (Bunun iki ifadeyi içerdiğini anlamalıyız: Birincisi, böyle bir çizginin varlığı, ikincisi ise onun benzersizliği.)
Aksiyom II. Bir doğru üzerindeki üç noktadan biri ve yalnızca biri diğer ikisinin arasında yer alır.
Segmente göre verilen iki nokta arasında kalan bu doğrunun tüm noktalarından oluşan bir doğrunun parçasıdır. Bu noktalara denir segmentin sonları. Şekil bir segmenti göstermektedir AB(bir bölüm sonu yazılarak belirtilir).

Ölçüm segmentlerinin temel özellikleri (aksiyomları)

Aksiyom III.
1. Her parçanın sıfırdan büyük belirli bir uzunluğu vardır.
2. Bir doğru parçasının uzunluğu, herhangi bir noktasıyla bölündüğü parçaların uzunluklarının toplamına eşittir.

Noktaları bir düzlem üzerindeki düz bir çizgiye göre yerleştirmenin ana özelliği

Aksiyom IV. Düz bir çizgi, bir düzlemi iki yarım düzleme böler.
Bu bölüm şu özelliğe sahiptir: herhangi bir parçanın uçları aynı düzleme aitse, parça çizgiyle kesişmez; parçanın uçları farklı yüzeylere aitse parça çizgiyi keser.
Direkt olarak, veya ışınÜzerinde belirli bir noktanın bir tarafında bulunan bu çizginin tüm noktalarından oluşan bir çizginin parçası olarak adlandırılır. Bu noktaya denir ışın başlangıç ​​noktası. Başlangıç ​​noktası ortak olan bir doğrunun farklı çizgilerine ne ad verilir? ek olarak.
Şekil ışınları göstermektedir AB(diğer adıyla AC.), D.A.(veya D.B., DC), M.Ö., C.B.(veya CA., CD), B.A.(veya BD), reklam.

Işınlar AB Ve M.S., M.Ö. Ve BD- bunlara ek olarak. Işınlar BD Ve AC. Farklı başlangıç ​​noktalarına sahip oldukları için tamamlayıcı değildirler.
Köşe- bu bir noktadan oluşan bir şekildir - köşe köşeleri- ve bu noktadan çıkan iki farklı düz çizgi, - açının kenarları.
Şekilde gösterilen açı şu şekilde gösterilebilir: , , .

Bir açının kenarları birbirini tamamlayan düz çizgiler ise bu açıya denir. genişletilmiş:

Bunu söylüyorlar ışın açının kenarları arasından geçer, eğer tepe noktasından geliyorsa ve uçları yanlarında olan bir parçayı kesiyorsa. Gelişmiş bir açı için tepe noktasından gelen ve kenarlarından farklı olan herhangi bir ışının, açının kenarları arasından geçtiğini varsayıyoruz.

Açı ölçümünün temel özellikleri

Aksiyom V.
1. Her açının sıfırdan büyük belirli bir derece ölçüsü vardır. Doğru açı eşittir.
2. Bir açının derece ölçüsü, kenarları arasından geçen herhangi bir ışın tarafından bölündüğü açıların derece ölçülerinin toplamına eşittir.

Segmentleri ve açıları düzenlemenin temel özellikleri

Aksiyom VI. Başlangıç ​​noktasından itibaren herhangi bir düz çizgide, belirli uzunluktaki bir parçayı ve yalnızca bir parçayı çizebilirsiniz.
Aksiyom VII. Herhangi bir doğrudan çizgiden belirli bir düzleme, belirli bir dereceden daha küçük ve yalnızca bir derecelik bir açı yapılabilir.
Üçgen aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç doğru parçasından oluşan şekildir. Noktalara denir üçgenin köşeleri ve segmentler onun partiler.
Şekildeki üçgen şu şekilde gösterilebilir: veya, vb.

Yukarıdaki üçgenin temel elemanları: kenarlar AB, AC., M.Ö.(veya A, B, C); açılar (veya), , . ve - yan tarafa bitişik AC.. - ters taraf AC..
Üçgenlere denir eşit, karşılık gelen kenarları eşitse ve karşılık gelen açıları eşitse. Bu durumda karşılık gelen açıların karşılık gelen kenarların karşısında olması gerekir.
Giriş şu anlama gelir (şekle bakın):
; ;
; ;
; .

Eş üçgenlerin varlığının temel özelliği

Aksiyom VIII. Üçgen ne olursa olsun, belirli bir düz çizgiye göre belirli bir konumda ona eşit bir üçgen vardır.
Doğrudan hatlar denir paralel eğer kesişmiyorlarsa.
Şekilde gösterilen paralel çizgiler aşağıdaki gibi gösterilebilir: veya.

Paralel çizgiler aksiyomu

Aksiyom IX. Belirli bir çizgi üzerinde olmayan bir noktadan, düzlem üzerinde verilen çizgiye paralel en fazla bir düz çizgi çizmek mümkündür.
Lütfen dikkat: aksiyom böyle bir çizginin benzersizliğini ileri sürer, ancak varlığını iddia etmez.

Düzlemdeki çizgilerin göreceli konumu

Bir düzlemdeki iki düz çizgi şunları yapabilir:
çakışıyor;
paralel olun (yani kesişmeyin);
tek bir ortak noktamız var.
(Aslında, iki doğrunun en az iki ortak noktası olabilseydi, bu iki noktadan iki farklı doğru geçerdi, bu da Aksiyom I, paragraf 2 ile çelişir).