rastgele değişkenler. Ayrık rasgele değişken Matematiksel beklenti. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı Portföy teorisinde, ortalama matematiksel beklenti şunu gösterir:

Cevaplarını görebileceğiniz bağımsız bir çözüm için görevler de olacaktır.

Matematiksel beklenti ve varyans, rastgele bir değişkenin en sık kullanılan sayısal özellikleridir. Dağılımın en önemli özelliklerini karakterize ederler: konumu ve dağılım derecesi. Matematiksel beklenti genellikle basitçe ortalama olarak adlandırılır. rastgele değişken. Rastgele bir değişkenin dağılımı - dağılımın bir özelliği, rastgele bir değişkenin dağılımı matematiksel beklentisi etrafında.

Birçok uygulama probleminde, rastgele bir değişkenin tam ve kapsamlı bir tanımı - dağıtım yasası - ya elde edilemez ya da hiç gerekli değildir. Bu durumlarda, sayısal özellikler kullanılarak rastgele bir değişkenin yaklaşık bir tanımıyla sınırlıdırlar.

Ayrık bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi

Gelelim matematiksel beklenti kavramına. Bazı maddelerin kütlesi x ekseninin noktaları arasında dağıtılsın X1 , X 2 , ..., X N. Ayrıca, her malzeme noktasının, kendisine karşılık gelen bir kütleye sahip olması olasılığı vardır. P1 , P 2 , ..., P N. Kütlelerini dikkate alarak tüm malzeme noktaları sisteminin konumunu karakterize eden x ekseni üzerinde bir nokta seçmek gerekir. Maddi noktalar sisteminin kütle merkezini böyle bir nokta olarak almak doğaldır. Bu, rastgele değişkenin ağırlıklı ortalamasıdır X, her noktanın apsisi XBen karşılık gelen olasılığa eşit bir "ağırlık" ile girer. Bu şekilde elde edilen rastgele değişkenin ortalama değeri X matematiksel beklentisi olarak adlandırılır.

Ayrık bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi, tüm olası değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır:

örnek 1 Kazan-kazan çekilişi düzenlendi. 400'ü her biri 10 ruble olan 1000 kazanç var. Her biri 300 - 20 ruble Her biri 200 - 100 ruble. ve her biri 100-200 ruble. Bir bilet alan bir kişinin ortalama kazancı nedir?

Çözüm. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 ruble'ye eşit olan toplam kazanç miktarı 1000'e (toplam kazanç miktarı) bölünürse ortalama kazancı bulacağız. Sonra 50000/1000 = 50 ruble alırız. Ancak ortalama kazancı hesaplama ifadesi aşağıdaki biçimde de gösterilebilir:

Öte yandan bu koşullar altında kazanç miktarı 10, 20, 100 ve 200 ruble değerlerini alabilen rastgele bir değişkendir. sırasıyla 0.4'e eşit olasılıklarla; 0,3; 0,2; 0.1. Bu nedenle, beklenen ortalama getiri, getirilerin boyutunun ve bunları alma olasılığının çarpımlarının toplamına eşittir.

Örnek 2 Yayıncı yeni bir kitap yayınlamaya karar verdi. Kitabı 280 rubleye satacak, bunun 200'ü kendisine, 50'si kitapçıya ve 30'u yazara verilecek. Tablo, bir kitabı yayınlamanın maliyeti ve kitabın belirli sayıda kopyasını satma olasılığı hakkında bilgi verir.

Yayıncının beklenen kârını bulun.

Çözüm. Rastgele değişken "kar", satıştan elde edilen gelir ile maliyetlerin maliyeti arasındaki farka eşittir. Örneğin, bir kitabın 500 kopyası satılırsa, satıştan elde edilen gelir 200 * 500 = 100.000 ve basım maliyeti 225.000 ruble olur. Böylece yayıncı 125.000 ruble zararla karşı karşıya kalır. Aşağıdaki tablo, rasgele değişkenin beklenen değerlerini özetlemektedir - kâr:

Sayı	Kâr XBen	olasılık PBen	XBen P Ben
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Toplam:		1,00	25000

Böylece, yayıncının karının matematiksel beklentisini elde ederiz:

.

Örnek 3 Tek atışla vurma şansı P= 0.2 5'e eşit isabet sayısının matematiksel beklentisini sağlayan mermilerin tüketimini belirleyin.

Çözüm. Şimdiye kadar kullandığımız aynı beklenti formülünden, X- mermi tüketimi:

.

Örnek 4 Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini belirleme X her atışta isabet olasılığı varsa, üç atışla yapılan vuruş sayısı P = 0,4 .

İpucu: rastgele bir değişkenin değerlerinin olasılığını şu şekilde bulun: Bernoulli formülü .

Beklenti Özellikleri

Matematiksel beklentinin özelliklerini göz önünde bulundurun.

Mülk 1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi şu sabite eşittir:

Mülk 2. Sabit çarpan, beklenti işaretinden çıkarılabilir:

Mülk 3. Rastgele değişkenlerin toplamının (farkının) matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına (farkına) eşittir:

Mülk 4. Rastgele değişkenlerin ürününün matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir:

Mülk 5. Rastgele değişkenin tüm değerleri ise X aynı sayı kadar azaltmak (arttırmak) İLE, o zaman matematiksel beklentisi aynı sayı kadar azalacaktır (artacaktır):

Sadece matematiksel beklenti ile sınırlı kalamayacağınız zaman

Çoğu durumda, yalnızca matematiksel beklenti bir rasgele değişkeni yeterince karakterize edemez.

Rastgele değişkenlere izin ver X Ve Y aşağıdaki dağıtım kanunları tarafından verilmektedir:

Anlam X	olasılık
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Anlam Y	olasılık
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Bu niceliklerin matematiksel beklentileri aynıdır - sıfıra eşittir:

Ancak dağılımları farklıdır. rastgele değer X yalnızca matematiksel beklentiden biraz farklı olan değerleri alabilir ve rastgele değişken Y matematiksel beklentiden önemli ölçüde sapan değerler alabilir. Benzer bir örnek: ortalama ücret, yüksek ve düşük ücretli çalışanların oranını yargılamayı mümkün kılmaz. Başka bir deyişle, matematiksel beklentiyle, en azından ortalama olarak, ondan hangi sapmaların mümkün olduğu yargılanamaz. Bunu yapmak için rastgele bir değişkenin varyansını bulmanız gerekir.

Ayrı bir rasgele değişkenin dağılımı

dağılım Ayrık rassal değişken X matematiksel beklentiden sapmasının karesinin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır:

Rastgele bir değişkenin standart sapması X varyansının karekökünün aritmetik değeridir:

.

Örnek 5 Rastgele değişkenlerin varyanslarını ve standart sapmalarını hesaplayın X Ve Y, dağıtım yasaları yukarıdaki tablolarda verilmiştir.

Çözüm. Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentileri X Ve Y, yukarıda bulunduğu gibi, sıfıra eşittir. Dispersiyon formülüne göre E(X)=E(y)=0 elde ederiz:

Daha sonra rastgele değişkenlerin standart sapmaları X Ve Y oluşturmak

.

Böylece, aynı matematiksel beklentilerle, rastgele değişkenin varyansı Xçok küçük ve rastgele Y- önemli. Bu, dağılımlarındaki farklılığın bir sonucudur.

Örnek 6 Yatırımcının 4 adet alternatif yatırım projesi bulunmaktadır. Tablo, bu projelerde beklenen karla ilgili verileri karşılık gelen olasılıkla özetlemektedir.

1. Proje	Proje 2	Proje 3	Proje 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Her alternatif için matematiksel beklenti, varyans ve standart sapmayı bulun.

Çözüm. 3. alternatif için bu miktarların nasıl hesaplandığını gösterelim:

Tablo, tüm alternatifler için bulunan değerleri özetlemektedir.

Tüm alternatifler aynı matematiksel beklentiye sahiptir. Bu, uzun vadede herkesin aynı gelire sahip olduğu anlamına gelir. Standart sapma, bir risk ölçüsü olarak yorumlanabilir - ne kadar büyükse, yatırımın riski de o kadar büyük olur. Fazla risk istemeyen bir yatırımcı, en küçük standart sapmaya (0) sahip olduğu için proje 1'i seçecektir. Yatırımcı kısa vadede riski ve yüksek getiriyi tercih ediyorsa, standart sapması en büyük olan projeyi seçecektir - proje 4.

Dispersiyon Özellikleri

Dispersiyonun özelliklerini sunalım.

Mülk 1. Sabit bir değerin dağılımı sıfırdır:

Mülk 2. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:

.

Mülk 3. Rastgele bir değişkenin varyansı, bu değerin karesinin matematiksel beklentisine eşittir ve değerin kendisinin matematiksel beklentisinin karesi çıkarılır:

,

Nerede .

Mülk 4. Rastgele değişkenlerin toplamının (farkı) varyansı, varyanslarının toplamına (farkına) eşittir:

Örnek 7 Ayrık bir rasgele değişken olduğu bilinmektedir. X sadece iki değer alır: -3 ve 7. Ek olarak, matematiksel beklenti bilinmektedir: E(X) = 4 . Ayrık bir rastgele değişkenin varyansını bulun.

Çözüm. ile göster P rastgele bir değişkenin bir değer alma olasılığı X1 = −3 . O zaman değerin olasılığı X2 = 7 1 olacak - P. Matematiksel beklenti için denklemi türetelim:

E(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,

olasılıkları nereden alırız: P= 0,3 ve 1 - P = 0,7 .

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası:

X	−3	7
P	0,3	0,7

Bu rastgele değişkenin varyansını, varyansın 3. özelliğindeki formülü kullanarak hesaplıyoruz:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini kendiniz bulun ve ardından çözümü görün

Örnek 8 Ayrık rassal değişken X sadece iki değer alır. 0.4 olasılıkla 3'ün büyük değerini alır. Ayrıca rastgele değişkenin varyansı da bilinmektedir. D(X) = 6 Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun.

Örnek 9 Bir vazoda 6 beyaz ve 4 siyah top vardır. Torbadan 3 top çekiliyor. Çekilen toplar arasındaki beyaz topların sayısı ayrı bir rasgele değişkendir. X. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Çözüm. rastgele değer X 0, 1, 2, 3 değerlerini alabilir. Karşılık gelen olasılıklar şu şekilde hesaplanabilir: olasılıkların çarpımı kuralı. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası:

X	0	1	2	3
P	1/30	3/10	1/2	1/6

Dolayısıyla bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Belirli bir rasgele değişkenin varyansı:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve dağılımı

Sürekli bir rasgele değişken için, matematiksel beklentinin mekanik yorumu aynı anlamı koruyacaktır: yoğunluğa sahip x ekseni üzerinde sürekli olarak dağıtılan birim kütle için kütle merkezi F(X). İşlev bağımsız değişkeninin kendisi için geçerli olduğu ayrı bir rasgele değişkenin aksine XBen aniden değişir, sürekli bir rasgele değişken için bağımsız değişken sürekli olarak değişir. Ancak sürekli bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi, ortalama değeriyle de ilişkilidir.

Sürekli bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulmak için belirli integralleri bulmanız gerekir. . Sürekli bir rastgele değişkenin yoğunluk fonksiyonu verilirse, doğrudan integrale girer. Bir olasılık dağılım fonksiyonu verilmişse, o zaman bunun türevini alarak yoğunluk fonksiyonunu bulmanız gerekir.

Sürekli bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin aritmetik ortalamasına onun adı verilir. matematiksel beklenti veya ile gösterilir.

Beklenen değer

Dağılım olası değerleri tüm Ox eksenine ait olan sürekli rasgele değişken X, eşitlikle belirlenir:

hizmet ataması. Çevrim içi hesaplayıcı, aşağıdaki sorunları çözmek için tasarlanmıştır: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağıtım fonksiyonu F(x) (örneğe bakın). Genellikle bu tür görevlerde bulmak gerekir matematiksel beklenti, standart sapma, f(x) ve F(x) fonksiyonlarını çizin.

Talimat. Giriş verilerinin tipini seçin: dağılım yoğunluğu f(x) veya dağılım fonksiyonu F(x) .

Dağılım yoğunluğu f(x) şu şekilde verilir:

Dağılım fonksiyonu F(x) verilir:

Sürekli bir rasgele değişken, bir olasılık yoğunluğu ile tanımlanır
(Rayleigh dağıtım yasası - radyo mühendisliğinde kullanılır). M(x) , D(x)'i bulun.

Rastgele değişken X denir sürekli , eğer dağılım fonksiyonu F(X)=P(X) ise< x) непрерывна и имеет производную.
Sürekli bir rasgele değişkenin dağılım işlevi, bir rasgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamak için kullanılır:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
ayrıca sürekli bir rastgele değişken için sınırlarının bu aralığa dahil olup olmamasının bir önemi yoktur:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
dağıtım yoğunluğu sürekli rasgele değişkene fonksiyon denir
f(x)=F'(x) , dağılım fonksiyonunun türevi.

Dağıtım Yoğunluğu Özellikleri

1. Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu, x'in tüm değerleri için negatif değildir (f(x) ≥ 0).
2. Normalleştirme koşulu:

Normalleştirme koşulunun geometrik anlamı: dağılım yoğunluk eğrisinin altındaki alan bire eşittir.
3. α ile β arasındaki aralıkta rastgele bir X değişkenine ulaşma olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Geometrik olarak, sürekli bir rasgele değişken X'in (α, β) aralığına düşme olasılığı, eğrisel yamuğun bu aralığa dayalı dağılım yoğunluk eğrisi altındaki alanına eşittir.
4. Dağılım fonksiyonu, yoğunluk cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir:

x noktasındaki dağılım yoğunluğu değeri, bu değeri alma olasılığına eşit değildir, sürekli bir rastgele değişken için sadece belirli bir aralığa düşme olasılığından söz edebiliriz. İzin vermek )