Bir aralıkta trigonometrik denklemler nasıl çözülür? Trigonometrik denklemler
İsteğin üzerine!
13. 3-4cos 2 x=0 denklemini çözün. aralığına ait köklerinin toplamını bulun.
1+cos2α=2cos2α formülünü kullanarak kosinüs derecesini azaltalım. Eşdeğer bir denklem elde ederiz:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Eşitliğin her iki tarafını da (-2)'ye böleriz ve en basit trigonometrik denklemi elde ederiz:
14. b 4 =25 ve b 6 =16 ise geometrik ilerlemenin b 5'ini bulun.
İkinciden başlayarak geometrik ilerlemenin her terimi, komşu terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir:
(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20'ye sahibiz.
15. Fonksiyonun türevini bulun: f(x)=tgx-ctgx.
16. y(x)=x 2 -12x+27 fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun
segmentte.
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için y=f(x) segmentte, bu fonksiyonun değerlerini segmentin uçlarında ve bu segmente ait kritik noktalarda bulmanız ve ardından elde edilen tüm değerlerden en büyüğünü ve en küçüğünü seçmeniz gerekir.
Fonksiyonun değerlerini x=3 ve x=7'de bulalım, yani. segmentin sonlarında.
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
Bu fonksiyonun türevini bulun: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); kritik nokta x=6 bu aralığa aittir. Fonksiyonun değerini x=6'da bulalım.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Şimdi elde edilen üç değerden birini seçiyoruz: 0; -8 ve -9 en büyük ve en küçük: en büyüğünde. =0; ismen =-9.
17. Fonksiyonun antiderivatiflerinin genel formunu bulun:
Bu aralık, bu fonksiyonun tanım alanıdır. Cevaplar f(x) ile değil F(x) ile başlamalıdır; sonuçta bir ters türev arıyoruz. Tanım gereği, F(x) fonksiyonu, eğer eşitlik geçerliyse, f(x) fonksiyonunun bir ters türevidir: F'(x)=f(x). Böylece verilen fonksiyonu elde edene kadar önerilen cevapların türevlerini kolayca bulabilirsiniz. Kesin bir çözüm, belirli bir fonksiyonun integralinin hesaplanmasıdır. Formülleri uyguluyoruz:
19. Köşeleri A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6) olan ABC üçgeninin BD kenarortayını içeren doğrunun denklemini yazın.
Bir doğrunun denklemini oluşturmak için bu doğrunun 2 noktasının koordinatlarını bilmeniz gerekir ama biz sadece B noktasının koordinatlarını biliyoruz. BD ortancası karşı kenarı ikiye böldüğü için D noktası doğru parçasının orta noktasıdır. AC. Bir parçanın ortasının koordinatları, parçanın uçlarının karşılık gelen koordinatlarının yarı toplamlarıdır. D noktasının koordinatlarını bulalım.
20. Hesaplamak:
24. Sağ prizmanın tabanında yer alan normal bir üçgenin alanı eşittir
Bu sorun, seçenek 0021'deki 24 numaralı sorunun tersidir.
25. Deseni bulun ve eksik sayıyı ekleyin: 1; 4; 9; 16; ...
Açıkçası bu sayı 25 , bize doğal sayıların karelerinden oluşan bir dizi verildiğinden:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
Herkese iyi şanslar ve başarılar!
Başarılı bir şekilde çözmek için trigonometrik denklemler kullanımı uygun azaltma yöntemi Daha önce çözülmüş sorunlara. Bu yöntemin özünün ne olduğunu bulalım mı?
Önerilen herhangi bir problemde, daha önce çözülmüş bir problemi görmeniz ve ardından ardışık eşdeğer dönüşümleri kullanarak size verilen problemi daha basit bir hale getirmeye çalışmanız gerekir.
Bu nedenle, trigonometrik denklemleri çözerken, genellikle son halkası açık bir çözümü olan bir denklem olan belirli bir sonlu eşdeğer denklem dizisi oluştururlar. Sadece en basit trigonometrik denklemleri çözme becerilerinin geliştirilmemesi durumunda daha karmaşık denklemleri çözmenin zor ve etkisiz olacağını unutmamak önemlidir.
Ayrıca trigonometrik denklemleri çözerken birden fazla olası çözüm yönteminin olduğunu asla unutmamalısınız.
Örnek 1. Cos x = -1/2 denkleminin aralıktaki kök sayısını bulun.
Çözüm:
Yöntem I y = cos x ve y = -1/2 fonksiyonlarını çizelim ve aralıktaki ortak noktalarının sayısını bulalım (Şekil 1).
Fonksiyonların grafikleri aralıkta iki ortak noktaya sahip olduğundan denklemin bu aralıkta iki kökü vardır.
II yöntemi. Trigonometrik bir daire kullanarak (Şekil 2), cos x = -1/2 olan aralığa ait noktaların sayısını buluruz. Şekil denklemin iki kökü olduğunu göstermektedir. 
III yöntemi. Trigonometrik denklemin köklerine ilişkin formülü kullanarak cos x = -1/2 denklemini çözüyoruz.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – tam sayı (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – tam sayı (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – tam sayı (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – tamsayı (k € Z).
Aralık 2π/3 ve -2π/3 + 2π köklerini içerir; k bir tam sayıdır. Dolayısıyla denklemin belirli bir aralıkta iki kökü vardır.
Cevap: 2.
Gelecekte trigonometrik denklemler önerilen yöntemlerden biri kullanılarak çözülecek ve bu çoğu durumda diğer yöntemlerin kullanımını dışlamayacaktır.
Örnek 2. tg (x + π/4) = 1 denkleminin [-2π; 2π].
Çözüm:
Trigonometrik bir denklemin köklerine ilişkin formülü kullanarak şunu elde ederiz:
x + π/4 = arktan 1 + πk, k – tamsayı (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – tam sayı (k € Z);
x = πk, k – tamsayı (k € Z);
Aralık [-2π; 2π] -2π sayılarına aittir; -π; 0; π; 2π. Yani denklemin belirli bir aralıkta beş kökü vardır.
Cevap: 5.
Örnek 3. Cos 2 x + sin x · cos x = 1 denkleminin [-π; π].
Çözüm:
1 = sin 2 x + cos 2 x (temel trigonometrik özdeşlik) olduğundan orijinal denklem şu şekli alır:
cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;
günah 2 x – sin x çünkü x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. Çarpım sıfıra eşittir; bu, faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması gerektiği anlamına gelir; dolayısıyla:
sin x = 0 veya sin x – çünkü x = 0.
cos x = 0 olan değişkenin değerleri ikinci denklemin kökleri olmadığından (aynı sayının sinüsü ve kosinüsü aynı anda sıfıra eşit olamaz), ikinci denklemin her iki tarafını da bölüyoruz çünkü x'e göre:
sin x = 0 veya sin x / cos x - 1 = 0.
İkinci denklemde tg x = sin x / cos x gerçeğini kullanırız, o zaman:
sin x = 0 veya tan x = 1. Formülleri kullanarak elimizde:
x = πk veya x = π/4 + πk, k – tam sayı (k € Z).
İlk kök serisinden [-π aralığına; π] -π sayılarına aittir; 0; π. İkinci seriden: (π/4 – π) ve π/4.
Dolayısıyla orijinal denklemin beş kökü [-π; π].
Cevap: 5.
Örnek 4. [-π; aralığında tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 denkleminin köklerinin toplamını bulun. 1.1π].
Çözüm:
Denklemi şu şekilde yeniden yazalım:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 ve yerine koyma işlemini yapın.
tg x + сtgx = a olsun. Denklemin her iki tarafının karesini alalım:
(tg x + сtg x) 2 = a 2. Parantezleri genişletelim:
tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.
tg x · сtgx = 1 olduğundan, tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2 olur, bunun anlamı
tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.
Şimdi orijinal denklem şuna benziyor:
a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Vieta teoremini kullanarak a = -1 veya a = -2 olduğunu buluruz.
Ters yerine koyma işlemini yapalım, elimizde:
tg x + сtgx = -1 veya tg x + сtgx = -2. Ortaya çıkan denklemleri çözelim.
tg x + 1/tgx = -1 veya tg x + 1/tgx = -2.
Karşılıklı ters iki sayının özelliği ile ilk denklemin köklerinin olmadığını belirleriz ve ikinci denklemden şunu elde ederiz:
tg x = -1, yani. x = -π/4 + πk, k – tam sayı (k € Z).
Aralık [-π; 1,1π] köklere aittir: -π/4; -π/4 + π. Toplamları:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Cevap: π/2.
Örnek 5. Sin 3x + sin x = sin 2x denkleminin köklerinin [-π; 0,5π].
Çözüm:
sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2) formülünü kullanalım, o zaman
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x ve denklem şöyle olur:
2sin 2x çünkü x = sin 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Sin 2x ortak faktörünü parantezlerden çıkaralım
sin 2x(2cos x – 1) = 0. Ortaya çıkan denklemi çözün:
sin 2x = 0 veya 2cos x – 1 = 0; 
sin 2x = 0 veya cos x = 1/2;
2x = πk veya x = ±π/3 + 2πk, k – tam sayı (k € Z).
Böylece köklerimiz var
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – tam sayı (k € Z).
Aralık [-π; 0,5π] -π köklerine aittir; -π/2; 0; π/2 (ilk kök serisinden); π/3 (ikinci seriden); -π/3 (üçüncü seriden). Aritmetik ortalamaları:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Cevap: -π/6.
Örnek 6. Sin x + cos x = 0 denkleminin [-1,25π; 2π].
Çözüm:
Bu denklem birinci dereceden homojen bir denklemdir. Her iki kısmını da cosx'e bölelim (cos x = 0 olan değişkenin değerleri bu denklemin kökleri değildir, çünkü aynı sayının sinüsü ve kosinüsü aynı anda sıfıra eşit olamaz). Orijinal denklem:
x = -π/4 + πk, k – tam sayı (k € Z).
Aralık [-1,25π; 2π] -π/4 köklerine aittir; (-π/4 + π); ve (-π/4 + 2π).
Dolayısıyla verilen aralık denklemin üç kökünü içerir.
Cevap: 3.
En önemli şeyi yapmayı öğrenin - bir sorunu çözmek için bir planı açıkça hayal edin ve ardından herhangi bir trigonometrik denklem elinizin altında olacaktır.
Hala sorularınız mı var? Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Dersin amacı:
- En basit trigonometrik denklemleri çözmek için formülleri tekrarlayın.
- Trigonometrik denklemleri çözerken kökleri seçmenin üç ana yöntemini düşünün:
eşitsizliğe göre seçim, paydaya göre seçim ve aralığa göre seçim.
Teçhizat: Multimedya ekipmanı.
Metodik yorum.
- Öğrencilerin dikkatini ders konusunun önemine çekin.
- Köklerin seçilmesinin gerekli olduğu trigonometrik denklemler genellikle Birleşik Devlet Sınavının tematik testlerinde bulunur;
Bu tür problemleri çözmek, öğrencilerin önceden edindikleri bilgileri pekiştirmelerine ve derinleştirmelerine olanak tanır.
Dersler sırasında
Tekrarlama. En basit trigonometrik denklemleri (ekran) çözmek için formülleri hatırlamakta fayda var.
| Değerler | Denklem | Denklemleri çözmek için formüller |
| sinx=a | ||
| sinx=a | en Denklemin çözümü yok | |
| a=0 | sinx=0 | |
| a=1 | sinx= 1 |
 |
| a= -1 | sinx= -1 |
 |
| cosx=a | ||
| cosx=a | Denklemin çözümü yok | |
| a=0 | cosx=0 |
 |
| a=1 | cosx= 1 | |
| a= -1 | cosx= -1 |
 |
| tgx=a | ||
| ctgx=a |
Trigonometrik denklemlerde kök seçerken denklem çözümlerinin yazılması sinx=a, сosx=a bir bütün olarak daha haklıdır. Sorunları çözerken buna dikkat edeceğiz.
Denklem çözme.
Görev. Denklemi çözün 
Çözüm. Bu denklem aşağıdaki sisteme eşdeğerdir
Bir daire düşünün. Üzerinde her sistemin köklerini işaretleyelim ve dairenin eşitsizliğin olduğu kısmını bir yay ile işaretleyelim ( pirinç. 1)
Pirinç. 1
Bunu anlıyoruz 
orijinal denklemin çözümü olamaz.
Cevap:
Bu problemde kökleri eşitsizliğe göre seçtik.
Bir sonraki problemde paydaya göre seçim yapacağız. Bunu yapmak için payın köklerini seçeceğiz ancak bunlar paydanın kökleri olmayacak şekilde.
Görev 2. Denklemi çözün.
Çözüm. Ardışık eşdeğer geçişleri kullanarak denklemin çözümünü yazalım.
Bir sistemin denklemini ve eşitsizliğini çözerken, çözüme tam sayıları temsil eden farklı harfler koyarız. Şekilde gösterildiği gibi, denklemin köklerini daire ile, paydanın köklerini ise çarpı işareti ile dairenin üzerine işaretleriz (Şekil 2).
Pirinç. 2
Şekilden açıkça görülmektedir ki 
– orijinal denklemin çözümü.
Öğrencilerin dikkatini, daire üzerinde karşılık gelen noktaların işaretlendiği bir sistem kullanarak kökleri seçmenin daha kolay olduğu gerçeğine çekelim.
Cevap:
Görev 3. Denklemi çözün
3sin2x = 10 çünkü 2 x – 2/
Segmente ait denklemin tüm köklerini bulun.
Çözüm. Bu problemde kökler problemin koşuluna göre belirlenen aralığa seçilir. Bir aralığa köklerin seçimi iki şekilde yapılabilir: bir değişkenin değerlerini tamsayılar için arayarak veya bir eşitsizliği çözerek.
Bu denklemde kökleri ilk yöntemle, sonraki problemde ise eşitsizliği çözerek seçeceğiz.
Temel trigonometrik özdeşliği ve sinüs için çift açı formülünü kullanalım. Denklemi elde ederiz
6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, onlar. günah 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0
Çünkü aksi takdirde sinx = 0 hem sinüs hem de kosinüsün sıfıra eşit olduğu açılar bulunmadığından bu olamaz günah 2 x+ çünkü 2 x = 0.
Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim: çünkü 2x. Aldık tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0/
İzin vermek tgx = t, Daha sonra t2 + 6t – 9 = 0, t1 = 2, t2 = –8.
tgx = 2 veya tg = –8;
Her seriyi ayrı ayrı ele alalım, aralığın içindeki noktaları ve onun solunda ve sağında birer nokta bulalım.
Eğer k=0, O x=arktg2. Bu kök, söz konusu aralığa aittir.
Eğer k=1, O x=arktg2+. Bu kök aynı zamanda söz konusu aralığa da aittir.
Eğer k=2, O 
. Bu kökün bizim aralığımıza ait olmadığı açıktır.
Bu aralığın sağında bir nokta olduğunu düşündük, yani k=3,4,… dikkate alınmaz.
Eğer k = –1, elde ettiğimiz – aralığa ait değil.
Değerler k = –2, –3,… dikkate alınmaz.
Dolayısıyla bu seriden iki kök aralığa aittir
Önceki duruma benzer şekilde, ne zaman n = 0 Ve n = 2, ve bu nedenle ne zaman p = –1, –2,…p = 3,4,… aralığa ait olmayan kökleri alacağız. Yalnızca n=1 bu aralığa ait olanı elde ederiz.
Cevap:
Görev 4. Denklemi çözün 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 ve aralığa ait kökleri belirtin.
Çözüm. Denklemi verelim 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 ikinci dereceden denkleme göre cos2x.
Nerede cos2x 
Burada çift eşitsizliği kullanarak seçim yöntemini aralığa uyguluyoruz
Çünkü İle yalnızca tamsayı değerleri alır, yalnızca mümkündür k=2,k=3.
Şu tarihte: k=2 ile alıyoruz k=3 Alacağız .
Cevap: 
Metodolojik yorum.Öğretmenin bu dört problemi öğrencilerin katılımıyla tahtada çözmesi önerilmektedir. Bir sonraki sorunu çözmek için, güçlü bir öğrenciyi kızınıza çağırmak ve ona muhakeme konusunda maksimum bağımsızlık vermek daha iyidir.
Görev 5. Denklemi çözün
Çözüm. Payı dönüştürerek denklemi daha basit bir forma indiririz
Ortaya çıkan denklem iki sistemin birleşimine eşdeğerdir:
Aralıktaki köklerin seçimi (0; 5) Bunu iki şekilde yapalım. Birinci yöntem birinci agrega sistemi için, ikinci yöntem ise ikinci agrega sistemi içindir.
, 0
Çünkü İle bir tamsayıdır, o zaman k=1. Daha sonra x =– orijinal denklemin çözümü.
Agreganın ikinci sistemini düşünün
Eğer n=0, O 
. Şu tarihte: n = -1; -2;… hiçbir çözüm olmayacak.
Eğer n=1, 
– sistemin çözümü ve dolayısıyla orijinal denklem.
Eğer n=2, O
Hiçbir karar olmayacak.
