Як вирішувати складні дробові раціональні рівняння. Раціональні рівняння - Гіпермаркет знань. "Рішення дробових раціональних рівнянь"

\(\bullet\) Раціональне рівняння - це рівняння, представлене у вигляді \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] де \(P(x), \ Q(x)\) - багаточлени (сума "іксів" у різних ступенях, помножених на різні числа).
Вираз у лівій частині рівняння називається раціональним виразом.
ОДЗ (область допустимих значень) раціонального рівняння - це значення \(x\) , при яких знаменник НЕ звертається в нуль, тобто \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Наприклад, рівняння \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]є раціональними рівняннями.
У першому рівнянні ОДЗ - це все \(x\) , такі що \(x\ne 3\) (пишуть \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); у другому рівнянні - це все \(x\) , такі що \(x\ne -1; x\ne 1\) (пишуть \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); а третьому рівнянні ніяких обмежень на ОДЗ немає, тобто ОДЗ – це все (x) (пишуть (x in mathbb (R))).
\(\bullet\) Теореми: 1) Добуток двох множників дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли один з них дорівнює нулю, а інший при цьому не втрачає сенсу, отже, рівняння \(f(x)\cdot g(x)=0\) рівносильне системі\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ text(ОДЗ рівняння) \end(cases)\] 2) Дроб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю, отже, рівняння \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\) рівносильне системі рівнянь\[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]

\(\bullet\) Розглянемо кілька прикладів.
1) Розв'яжіть рівняння \(x+1=\dfrac 2x\) .
Знайдемо ОДЗ цього рівняння – це \(x\ne 0\) (оскільки \(x\) знаходиться у знаменнику). Отже, ОДЗ можна записати так: .Перенесемо всі доданки в одну частину і приведемо до спільного знаменника:

\[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( cases) x^2+x-2=0\xxne 0\end(cases)\] Рішенням першого рівняння системи будуть \(x=-2, x=1\). Бачимо, що обидва корені ненульові. Отже, відповідь: \ (x \ in \ (-2; 1 \) \) .. Знайдемо ОДЗ цього рівняння. Бачимо, єдине значення \(x\) , у якому ліва частина немає сенсу – це \(x=0\) . Отже, ОДЗ можна записати так:.
\(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\)

Таким чином, дане рівняння рівносильне системі:\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(gathered) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(gathered) \right.\]
Дійсно, незважаючи на те, що \(x=0\) - корінь другого множника, якщо підставити \(x=0\) у початкове рівняння, воно не матиме сенсу, т.к. не визначено вираз \(\dfrac 40\).

Таким чином, розв'язком даного рівняння є \(x\in \(1;2\)\) . 3) Розв'яжіть рівняння\[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]
У нашому рівнянні \(4x^2-1\ne 0\) , звідки \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , тобто \(x\ne -\frac12; \frac12\) .

Перенесемо всі складові в ліву частину і приведемо до спільного знаменника:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered) \begin( aligned) &x=\dfrac12 \\ &x=-3 \end(aligned)\end(gathered) \right.\x\ne\dfrac 12\\x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Leftrightarrow \quad x=-3\)

Відповідь: \(x\in \(-3\)\) .

Завдання, у яких потрібно вирішити раціональні рівняння, в ЄДІ з математики зустрічаються щороку, тому під час підготовки до проходження атестаційного випробування випускникам неодмінно варто самостійно повторити теорію на цю тему. Вміти справлятися з такими завданнями обов'язково повинні випускники, які складають як базовий, так і профільний рівень іспиту. Засвоївши теорію та розібравшись із практичними вправами на тему «Раціональні рівняння», учні зможуть вирішувати завдання з будь-якою кількістю дій та розраховувати на отримання конкурентних балів за підсумками здачі ЄДІ.

Як підготуватися до іспиту разом із освітнім порталом «Школкове»?

Іноді знайти джерело, у якому повноцінно представлена ​​базова теорія на вирішення математичних завдань, виявляється досить складно. Підручника може просто не опинитися під рукою. А знайти необхідні формули іноді досить складно навіть в Інтернеті.

Освітній портал «Школкове» позбавить вас необхідності пошуку потрібного матеріалу і допоможе якісного підготуватися до проходження атестаційного випробування.

Всю необхідну теорію на тему «Раціональні рівняння» наші фахівці підготували та виклали у максимально доступній формі. Вивчивши подану інформацію, учні зможуть заповнити прогалини у знаннях.

Для успішної підготовки до ЄДІ випускникам необхідно не тільки освіжити в пам'яті базовий теоретичний матеріал на тему «Раціональні рівняння», а й попрактикуватися у виконанні завдань на конкретних прикладах. Велика добірка завдань представлена ​​розділ «Каталог».

Для кожної вправи на сайті наші спеціалісти прописали алгоритм рішення та вказали правильну відповідь. Учні можуть практикуватися у вирішенні завдань різного ступеня складності залежно від рівня підготовки. Перелік завдань у відповідному розділі постійно доповнюється та оновлюється.

Вивчити теоретичний матеріал і відточити навички розв'язання задач на тему «Раціональні рівняння», подібних до тих, які включені до тестів ЄДІ, можна в режимі онлайн. У разі потреби будь-яке з поданих завдань можна додати до розділу «Вибране». Ще раз повторивши базову теорію на тему «Раціональні рівняння», старшокласник зможе надалі повернутися до завдання, щоб обговорити хід її вирішення з викладачем на уроці алгебри.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Дробним рівнянням називається рівняння, в якому хоча б один із доданків - дріб, у знаменнику якого є невідоме. Наприклад, дробовим рівнянням є рівняння .

Вирішувати дробові рівняння зручно в наступному порядку:

• знайти спільний знаменник дробів, що входять до рівняння, якщо кожен дріб має сенс,
• замінити дане рівняння цілим, помноживши обидві його частину на загальний знаменник,
• вирішити ціле рівняння, що вийшло,
• виключити з його коріння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник.

приклад 1.Розв'язати дробове рівняння:

Рішення. Скористаємося основною властивістю дробу з представимо ліву та праву частини цього рівняння у вигляді дробів з однаковим знаменником:

.

Ці дроби рівні за тих і тих значеннях, у яких рівні їхні чисельники, а знаменник відмінний від нуля. Якщо знаменник дорівнює нулю, то дроби, отже, і рівняння немає сенсу.

Таким чином, щоб знайти коріння даного рівняння, потрібно вирішити рівняння

Спростивши рівняння (розкривши дужки та навівши подібні члени), отримаємо квадратне рівняння

.

При розв'язання квадратного рівнянняотримуємо його коріння:

.

Знайдені коріння не перетворюють знаменник на нуль, тому вони є корінням вихідного дробового рівняння.

приклад 2.Розв'язати дробове рівняння:

.

Рішення. Знайдемо спільний знаменник дробів, що входять до даного дробового рівняння. Спільний знаменник -

Замінимо вихідне рівняння цілим. Для цього помножимо обидві його частини на спільний знаменник. Отримаємо:

Виконаємо необхідні перетворення в отриманому рівнянні та прийдемо до квадратного рівняння

Розв'язавши квадратне рівняння, Отримуємо його коріння:

Якщо x= -3 , Знайдений на першому кроці знаменник звертається в нуль:

,

те саме, якщо x = 3 .

Отже, числа -3 і 3 не є корінням вихідного рівняння, а оскільки ніякі інші коріння не знайдені, дане рівняння не має рішення.

приклад 3.Розв'язати дробове рівняння:

.

Рішення. Знайдемо спільний знаменник дробів, що входять до цього рівняння. Для цього знаменники дробів розкладемо на множники:

.

Загальний знаменник - вираз

Замінимо вихідне рівняння цілим, помноживши обидві його частини на загальний знаменник. Отримаємо:

Виконавши перетворення, прийдемо до квадратного рівняння

.

Розв'язавши квадратне рівняння, Отримуємо його коріння:

.

Жоден з коренів не перетворює загальний знаменник на нуль. Отже, числа -4 та 9 - коріння даного рівняння.

приклад 4.Розв'язати дробове рівняння:

.

Рішення. Введемо нову змінну, позначивши . Отримаємо рівняння зі змінною y .

Давайте познайомимося з раціональними та дробовими раціональними рівняннями, дамо їх визначення, наведемо приклади, а також розберемо найпоширеніші типи завдань.

Раціональне рівняння: визначення та приклади

Знайомство з раціональними виразами починається у 8 класі школи. У цей час під час уроків алгебри учні дедалі частіше починають зустрічати завдання з рівняннями, які містять раціональні висловлювання у записах. Давайте освіжимо у пам'яті, що це таке.

Визначення 1

Раціональне рівняння- Це таке рівняння, в обох частинах якого містяться раціональні вирази.

У різних посібниках можна зустріти ще одне формулювання.

Визначення 2

Раціональне рівняння- Це таке рівняння, запис лівої частини якого містить раціональний вираз, а права - нуль.

Визначення, які ми привели для раціональних рівнянь, є рівнозначними, оскільки говорять про те саме. Підтверджує правильність наших слів той факт, що для будь-яких раціональних виразів Pі Qрівняння P = Qі P − Q = 0будуть рівносильними виразами.

А тепер звернемося до прикладів.

Приклад 1

Раціональні рівняння:

x = 1 , 2 · x − 12 · x 2 · y · z 3 = 0 , x x 2 + 3 · x - 1 = 2 + 2 7 · x - a · (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Раціональні рівняння так само, як і рівняння інших видів, можуть містити будь-яку кількість змінних від 1 до декількох. Для початку ми розглянемо прості приклади, в яких рівняння будуть містити лише одну змінну. А потім почнемо поступово ускладнювати завдання.

Раціональні рівняння поділяються на дві великі групи: цілі та дробові. Подивимося, які рівняння ставитимуться до кожної групи.

Визначення 3

Раціональне рівняння буде цілим у тому випадку, якщо в записі лівої та правої його частин містяться цілі раціональні вирази.

Визначення 4

Раціональне рівняння буде дробовим у тому випадку, якщо одна або обидві його частини містять дріб.

Дробно раціональні рівняння обов'язково містять поділ на змінну або змінна є в знаменнику. У записі цілих рівнянь такого поділу немає.

Приклад 2

3 · x + 2 = 0і (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5- Цілі раціональні рівняння. Тут обидві частини рівняння представлені цілими виразами.

1 x - 1 = x 3 та x: (5 · x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5– це дрібно раціональні рівняння.

До цілих раціональних рівнянь можна віднести лінійні та квадратні рівняння.

Вирішення цілих рівнянь

Розв'язання таких рівнянь зазвичай зводиться до перетворення їх на рівносильні рівняння алгебри. Досягти цього можна шляхом проведення рівносильних перетворень рівнянь відповідно до наступного алгоритму:

• спочатку отримаємо нуль у правій частині рівняння, при цьому необхідно перенести вираз, що у правої частини рівняння, у його ліву частину і поміняти знак;
• потім перетворимо вираз у лівій частині рівняння в багаточлен стандартного вигляду.

Ми повинні отримати рівняння алгебри. Це рівняння буде рівносильним по відношенню до вихідного рівняння. Легкі випадки дозволяють нам вирішити завдання звести ціле рівняння з лінійному чи квадратному. У випадку ми вирішуємо алгебраїчне рівняння ступеня n.

Приклад 3

Необхідно знайти коріння цілого рівняння 3 · (x + 1) · (x - 3) = x · (2 ​​· x - 1) - 3.

Рішення

Проведемо перетворення вихідного виразу з метою отримати рівносильне йому рівняння алгебри. Для цього зробимо перенесення виразу, що міститься у правій частині рівняння, в ліву частину та замінимо знак на протилежний. У результаті отримаємо: 3 · (x + 1) · (x - 3) - x · (2 ​​· x - 1) + 3 = 0.

Тепер проведемо перетворення виразу, яке знаходиться в лівій частині в багаточлен стандартного виду і зробимо необхідні дії з цим багаточленом:

3 · (x + 1) · (x - 3) - x · (2 ​​· x - 1) + 3 = (3 · x + 3) · (x - 3) - 2 · x 2 + x + 3 = = 3 · x 2 − 9 · x + 3 · x − 9 − 2 · x 2 + x + 3 = x 2 − 5 · x − 6

У нас вдалося звести рішення вихідного рівняння до розв'язання квадратного рівняння виду x 2 − 5 · x − 6 = 0. Дискримінант цього рівняння позитивний: D = (−5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .Це означає, дійсних коренів буде два. Знайдемо їх, скориставшись формулою коренів квадратного рівняння:

x = - - 5 ± 49 2 · 1

x 1 = 5 + 7 2 або x 2 = 5 - 7 2

x 1 = 6 або x 2 = - 1

Перевіримо вірність коренів рівняння, що ми знайшли під час рішення. Для цього числа, які ми отримали, підставимо у вихідне рівняння: 3 · (6 + 1) · (6 - 3) = 6 · (2 ​​· 6 - 1) - 3і 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. В першому випадку 63 = 63 , у другому 0 = 0 . Коріння x = 6і x = − 1справді є корінням рівняння, даного за умови прикладу.

Відповідь: 6 , − 1 .

Давайте розберемо, що означає «ступінь цілого рівняння». З цим терміном ми часто зустрічатимемося у тих випадках, коли нам треба буде уявити ціле рівняння у вигляді алгебраїчного. Дамо визначення поняття.

Визначення 5

Ступінь цілого рівняння- Це ступінь рівняння алгебри, рівносильного вихідного цілого рівняння.

Якщо подивитися на рівняння прикладу, наведеного вище, можна встановити: ступінь даного цілого рівняння другий.

Якби наш курс обмежувався рішенням рівнянь другого ступеня, то розгляд теми можна було б закінчити. Але все не так просто. Вирішення рівнянь третього ступеня пов'язане з труднощами. А для рівнянь вище четвертого ступеня і не існує загальних формул коренів. У зв'язку з цим рішення цілих рівнянь третього, четвертого та інших ступенів вимагає від нас застосування цілого ряду інших прийомів та методів.

Найчастіше використовується підхід до вирішення цілих раціональних рівнянь, який ґрунтується на методі розкладання на множники. Алгоритм дій у разі наступний:

• переносимо вираз із правої частини в ліву для того, щоб у правій частині запису залишився нуль;
• представляємо вираз у лівій частині як добуток множників, а потім переходимо до сукупності кількох більш простих рівнянь.

Приклад 4

Знайдіть розв'язок рівняння (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Рішення

Переносимо вираз із правої частини запису до лівої з протилежним знаком: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Перетворення лівої частини на багаточлен стандартного виду недоцільно у зв'язку з тим, що це дасть нам рівняння алгебри четвертого ступеня: x 4 − 12 · x 3 + 32 · x 2 − 16 · x − 13 = 0. Легкість перетворення не виправдовує всіх труднощів із рішенням такого рівняння.

Набагато простіше піти іншим шляхом: винесемо за дужки спільний множник x 2 − 10 · x + 13 .Так ми прийдемо до рівняння виду (x 2 − 10 · x + 13) · (x 2 − 2 · x − 1) = 0. Тепер замінимо отримане рівняння сукупністю двох квадратних рівнянь x 2 − 10 · x + 13 = 0і x 2 − 2 · x − 1 = 0і знайдемо їх коріння через дискримінант: 5 + 2 · 3, 5 - 2 · 3, 1 + 2, 1 - 2.

Відповідь: 5 + 2 · 3, 5-2 · 3, 1 + 2, 1-2.

Так само ми можемо використовувати метод введення нової змінної. Цей метод дозволяє нам переходити до рівносильних рівнянь зі ступенями нижчими, ніж були ступеня у вихідному цілому рівнянні.

Приклад 5

Чи є коріння у рівняння (x 2 + 3 · x + 1) 2 + 10 = − 2 · (x 2 + 3 · x − 4)?

Рішення

Якщо ми зараз спробуємо звести ціле раціональне рівняння до алгебраїчного, то отримаємо рівняння 4 ступеня, яке не має раціонального коріння. Тому нам буде простіше піти іншим шляхом: ввести нову змінну у, яка замінить у рівнянні вираз x 2 + 3 · x.

Тепер ми працюватимемо з цілим рівнянням (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Перенесемо праву частину рівняння до лівої з протилежним знаком і проведемо необхідні перетворення. Отримаємо: y 2 + 4 · y + 3 = 0. Знайдемо коріння квадратного рівняння: y = − 1і y = − 3.

Тепер проведемо зворотну заміну. Отримаємо два рівняння x 2 + 3 · x = − 1і x 2 + 3 · x = − 3 .Перепишемо їх як x 2 + 3 · x + 1 = 0 x 2 + 3 · x + 3 = 0. Використовуємо формулу коренів квадратного рівняння для того, щоб знайти коріння першого рівняння з одержаних: - 3 ± 5 2 . Дискримінант другого рівняння негативний. Це означає, що справжнього коріння другого рівняння немає.

Відповідь:- 3 ± 5 2

Цілі рівняння високих ступенів трапляються у завданнях досить часто. Лякатися їх не потрібно. Потрібно бути готовим застосувати нестандартний метод їх вирішення, у тому числі ряд штучних перетворень.

Розв'язання дробово раціональних рівнянь

Почнемо розгляд цієї підтеми з алгоритму розв'язання дробово раціональних рівнянь виду p (x) q (x) = 0 , де p(x)і q (x)- Цілі раціональні вирази. Вирішення інших дробово раціональних рівнянь завжди можна звести до розв'язання рівнянь зазначеного виду.

В основу найбільш уживаного методу розв'язання рівнянь p(x) q(x) = 0 покладено таке твердження: числовий дріб u v, де v- Це число, яке відмінно від нуля, дорівнює нулю тільки в тих випадках, коли чисельник дробу дорівнює нулю. Дотримуючись логіки наведеного твердження, ми можемо стверджувати, що рішення рівняння p(x) q(x) = 0 може бути зведене у виконанні двох умов: p(x) = 0і q (x) ≠ 0. На цьому побудовано алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь виду p(x) q(x) = 0:

• знаходимо рішення цілого раціонального рівняння p(x) = 0;
• перевіряємо, чи виконується для коренів, знайдених у ході рішення, умова q (x) ≠ 0.

Якщо ця умова виконується, то знайдений корінь. Якщо ні, то корінь не є рішенням задачі.

Приклад 6

Знайдемо коріння рівняння 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0.

Рішення

Ми маємо справу з дробовим раціональним рівнянням виду p (x) q (x) = 0, в якому p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Приступимо до вирішення лінійного рівняння 3 · x − 2 = 0. Коренем цього рівняння буде x = 2 3.

Проведемо перевірку знайденого кореня, чи він задовольняє умові 5 · x 2 − 2 ≠ 0. Для цього підставимо числове значення у вираз. Отримаємо: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0 .

Умова виконується. Це означає що x = 2 3є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: 2 3 .

Є ще один варіант розв'язання дробових раціональних рівнянь p(x)q(x)=0. Згадаймо, що це рівняння рівносильне цілому рівнянню p(x) = 0на ділянці допустимих значень змінної x вихідного рівняння. Це дозволяє нам використовувати наступний алгоритм у розв'язанні рівнянь p(x) q(x) = 0:

• вирішуємо рівняння p(x) = 0;
• знаходимо область допустимих значень змінної x;
• беремо коріння, яке лежить в області допустимих значень змінної x , як шукане коріння вихідного дробового раціонального рівняння.

Приклад 7

Розв'яжіть рівняння x 2 - 2 · x - 11 x 2 + 3 · x = 0 .

Рішення

Для початку вирішимо квадратне рівняння x 2 − 2 · x − 11 = 0. Для обчислення його коріння ми використовуємо формулу коренів для парного другого коефіцієнта. Отримуємо D 1 = (−1) 2 − 1 · (− 11) = 12і x = 1 ± 2 3 .

Тепер ми можемо знайти ОДЗ змінної x для вихідного рівняння. Це все числа, для яких x 2 + 3 · x ≠ 0. Це те саме, що x · (x + 3) ≠ 0, звідки x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Тепер перевіримо, чи входять отримані першому етапі рішення коріння x = 1 ± 2 3 в область допустимих значень змінної x . Ми бачимо, що входять. Це означає, що вихідне раціональне дробове рівняння має два корені x = 1 ± 2 3 .

Відповідь: x = 1 ± 2 3

Другий описаний метод рішення простіше першого у випадках, коли легко знаходиться область допустимих значень змінної x , а корені рівняння p(x) = 0ірраціональні. Наприклад, 7 ± 4 · 26 9 . Коріння може бути і раціональним, але з великим чисельником або знаменником. Наприклад, 127 1101 і − 31 59 . Це дозволяє заощадити час на проведенні перевірки умови q (x) ≠ 0: набагато простіше виключити коріння, яке не підходить, по ОДЗ

У тих випадках, коли коріння рівняння p(x) = 0цілі, доцільніше використовувати перший із описаних алгоритмів розв'язання рівнянь виду p(x) q(x) = 0 . Швидше одразу знаходити коріння цілого рівняння p(x) = 0, після чого перевіряти, чи виконується для них умова q (x) ≠ 0, а не знаходити ОДЗ, після чого вирішувати рівняння p(x) = 0на цій ОДЗ. Це з тим, що у разі зробити перевірку зазвичай простіше, ніж знайти ОДЗ.

Приклад 8

Знайдіть корені рівняння (2 · x - 1) · (x - 6) · (x 2 - 5 · x + 14) · (x + 1) x 5 - 15 · x 4 + 57 · x 3 - 13 · x 2 + 26 · x + 112 = 0.

Рішення

Почнемо з розгляду цілого рівняння (2 · x - 1) · (x - 6) · (x 2 - 5 · x + 14) · (x + 1) = 0та знаходження його коріння. Для цього застосуємо метод розв'язання рівнянь через розкладання на множники. Виходить, що вихідне рівняння рівносильне сукупності чотирьох рівнянь 2 · x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 · x + 14 = 0, x + 1 = 0, з яких три лінійних і одне квадратне. Знаходимо коріння: з першого рівняння x = 1 2, з другого – x = 6з третього – x = 7 , x = − 2 , з четвертого – x = − 1.

Проведемо перевірку отриманого коріння. Визначити ОДЗ у разі нам складно, оскільки цього доведеться провести рішення алгебраїчного рівняння п'ятого ступеня. Простіше буде перевірити умову, за якою знаменник дробу, що знаходиться в лівій частині рівняння, не повинен звертатися в нуль.

По черзі підставимо коріння на місце змінної х у вираз x 5 − 15 · x 4 + 57 · x 3 − 13 · x 2 + 26 · x + 112і обчислимо його значення:

1 2 5 − 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 − 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 12 + ≠ 0;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0;

(−2) 5−15 · (−2) 4 + 57 · (−2) 3 − 13 · (−2) 2 + 26 · (−2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(−1) 5−15 · (−1) 4 + 57 · (−1) 3−13 · (−1) 2 + 26 · (−1) + 112 = 0 .

Проведена перевірка дозволяє нам встановити, що корінням вихідного дробового рацинального рівняння є 1 2 , 6 − 2 .

Відповідь: 1 2 , 6 , - 2

Приклад 9

Знайдіть коріння дробового раціонального рівняння 5 · x 2 - 7 · x - 1 · x - 2 x 2 + 5 · x - 14 = 0.

Рішення

Почнемо роботу з рівнянням (5 · x 2 − 7 · x − 1) · (x − 2) = 0. Знайдемо його коріння. Нам простіше уявити це рівняння як сукупність квадратного та лінійного рівнянь 5 · x 2 − 7 · x − 1 = 0і x − 2 = 0.

Використовуємо формулу коренів квадратного рівняння для пошуку коренів. Отримуємо з першого рівняння два корені x = 7 ± 69 10 , а з другого x = 2.

Підставляти значення коріння у вихідне рівняння для перевірки умов нам буде досить складно. Простіше буде визначити ОДЗ змінної x. В даному випадку ОДЗ змінної x - це все числа, крім тих, для яких виконується умова x 2 + 5 · x − 14 = 0. Отримуємо: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Тепер перевіримо, чи належать знайдене нами коріння до області допустимих значень змінної x .

Коріння x = 7 ± 69 10 - належать, тому вони є корінням вихідного рівняння, а x = 2– не належить, тому це сторонній корінь.

Відповідь: x = 7 ± 69 10 .

Розберемо окремо випадки, коли у чисельнику дробового раціонального рівняння виду p(x)q(x) = 0 знаходиться число. У таких випадках, якщо в чисельнику знаходиться число, відмінне від нуля, то рівняння не матиме коріння. Якщо це число дорівнюватиме нулю, то коренем рівняння буде будь-яке число з ОДЗ.

Приклад 10

Розв'яжіть дробове раціональне рівняння - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Рішення

Дане рівняння не матиме коренів, тому що в чисельнику дробу з лівої частини рівняння знаходиться відмінне від нуля число. Це означає, що при жодних значеннях x значення наведеного в умові завдання дробу не дорівнюватиме нулю.

Відповідь:немає коріння.

Приклад 11

Розв'яжіть рівняння 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 .

Рішення

Так як в чисельнику дробу знаходиться нуль, розв'язуванням рівняння буде будь-яке значення x з ОДЗ змінної x .

Тепер визначимо ОДЗ. Воно буде включати всі значення x , за яких x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. Рішеннями рівняння x 4 + 5 · x 3 = 0є 0 і − 5 , так як це рівняння рівносильне рівнянню x 3 · (x + 5) = 0, а воно у свою чергу рівносильне сукупності двох рівнянь x 3 = 0 x + 5 = 0, звідки і видно це коріння. Ми приходимо до того, що областю допустимих значень є будь-які x , крім x = 0і x = − 5.

Виходить, що дробове раціональне рівняння 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 має безліч рішень, якими є будь-які числа крім нуля і - 5 .

Відповідь: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Тепер поговоримо про дробові раціональні рівняння довільного виду та методи їх вирішення. Їх можна записати як r(x) = s(x), де r(x)і s(x)– раціональні висловлювання, причому хоча б один із них дробовий. Розв'язання таких рівнянь зводиться до розв'язання рівнянь виду p(x) q(x) = 0 .

Ми вже знаємо, що ми можемо отримати рівносильне рівняння при перенесенні виразу з правої частини рівняння до лівого з протилежним знаком. Це означає, що рівняння r(x) = s(x)рівносильне рівняння r(x) − s(x) = 0. Також ми вже розібрали способи перетворення раціонального вираження на раціональний дріб. Завдяки цьому ми легко можемо перетворити рівняння r(x) − s(x) = 0в тотожний йому раціональний дріб виду p (x) q (x) .

Так ми переходимо від вихідного дробового раціонального рівняння r(x) = s(x)до рівняння виду p (x) q (x) = 0, вирішувати які ми вже навчилися.

Слід враховувати, що під час проведення переходів від r(x) − s(x) = 0 p (x) q (x) = 0 , а потім до p(x) = 0ми можемо не враховувати розширення області допустимих значень змінної x.

Цілком реальна ситуація, коли вихідне рівняння r(x) = s(x)та рівняння p(x) = 0внаслідок перетворень перестануть бути рівносильними. Тоді рішення рівняння p(x) = 0може дати нам коріння, яке буде стороннім для r(x) = s(x). У зв'язку з цим у кожному випадку необхідно проводити перевірку будь-яким із описаних вище способів.

Щоб полегшити роботу з вивчення теми, ми узагальнили всю інформацію в алгрітм рішення дробового раціонального рівняння виду r(x) = s(x):

• переносимо вираз із правої частини з протилежним знаком і отримуємо праворуч нуль;
• перетворимо вихідний вираз у раціональний дріб p (x) q (x) , послідовно виконуючи дії з дробами та багаточленами;
• вирішуємо рівняння p(x) = 0;
• виявляємо стороннє коріння шляхом перевірки їх належності ОДЗ або методом підстановки у вихідне рівняння.

Візуально ланцюжок дій виглядатиме так:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → відс і в а н і е п о с т о р о н і х к о р н й

Приклад 12

Розв'яжіть дробове раціональне рівняння x x + 1 = 1 x + 1 .

Рішення

Перейдемо до рівняння x x + 1 – 1 x + 1 = 0 . Перетворимо дробовий раціональний вираз у лівій частині рівняння до виду p(x)q(x).

Для цього нам доведеться привести раціональні дроби до спільного знаменника та спростити вираз:

x x + 1 - 1 x - 1 = x · x - 1 · (x + 1) - 1 · x · (x + 1) x · (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Для того, щоб знайти коріння рівняння - 2 · x - 1 x · (x + 1) = 0 нам необхідно вирішити рівняння − 2 · x − 1 = 0. Отримуємо один корінь x = - 1 2.

Нам залишилося виконати перевірку будь-яким із методів. Розглянемо їх обоє.

Підставимо отримане значення у вихідне рівняння. Отримаємо - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Ми прийшли до вірної числової рівності − 1 = − 1 . Це означає що x = − 1 2є коренем вихідного рівняння.

Тепер проведемо перевірку через ОДЗ. Визначимо область допустимих значень змінної x. Це буде безліч чисел, за винятком − 1 і 0 (при x = − 1 і x = 0 перетворюються на нуль знаменники дробів). Отриманий нами корінь x = − 1 2належить ОДЗ. Це означає, що він є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: − 1 2 .

Приклад 13

Знайдіть корені рівняння x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Рішення

Ми маємо справу з дрібним раціональним рівнянням. Отже, діятимемо за алгоритмом.

Перенесемо вираз із правої частини до лівої з протилежним знаком: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = 0

Проведемо необхідні перетворення: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Приходимо до рівняння x = 0. Корінь цього рівняння – нуль.

Перевіримо, чи це корінь стороннім для вихідного рівняння. Підставимо значення вихідне рівняння: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0 . Як бачите, отримане рівняння не має сенсу. Це означає, що 0 – це сторонній корінь, а вихідне дробове раціональне рівняння коренів немає.

Відповідь:немає коріння.

Якщо ми не включили в алгоритм інші рівносильні перетворення, це зовсім не означає, що ними не можна користуватися. Алгоритм універсальний, але він створений для того, щоб допомагати, а не обмежувати.

Приклад 14

Розв'яжіть рівняння 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Рішення

Найпростіше буде вирішити наведене дробове раціональне рівняння згідно з алгоритмом. Але є й інший шлях. Розглянемо його.

Віднімемо від правої та лівої частин 7, отримуємо: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24 .

Звідси можна зробити висновок, що вираз у знаменнику лівої частини має дорівнювати числу, зворотному числу з правої частини, тобто, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Віднімемо з обох частин 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . За аналогією 2 + 1 5 - x 2 = 7 3 , звідки 1 5 - x 2 = 1 3 і далі 5 - x 2 = 3 , x 2 = 2 , x = ± 2

Проведемо перевірку для того, щоб встановити, чи є знайдене коріння корінням вихідного рівняння.

Відповідь: x = ±2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Клас: 8

Цілі уроку:

Навчальна:

• формування поняття дробових раціонального рівняння;
• розглянути різні способи розв'язання дробових раціональних рівнянь;
• розглянути алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь, що включає умову рівності дробу нулю;
• навчити рішенню дробових раціональних рівнянь за алгоритмом;
• перевірка рівня засвоєння теми шляхом проведення тестової роботи.

Розвиваюча:

• розвиток уміння правильно оперувати здобутими знаннями, логічно мислити;
• розвиток інтелектуальних умінь та розумових операцій - аналіз, синтез, порівняння та узагальнення;
• розвиток ініціативи, вміння приймати рішення, не зупинятися на досягнутому;
• розвиток критичного мислення;
• розвиток навичок дослідницької роботи.

Виховує:

• виховання пізнавального інтересу до предмета;
• виховання самостійності під час вирішення навчальних завдань;
• виховання волі та завзяття задля досягнення кінцевих результатів.

Тип уроку: урок - пояснення нового матеріалу

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Здрастуйте, хлопці! На дошці написані рівняння подивіться на них уважно. Чи всі з цих рівнянь ви можете вирішити? Які ні і чому?

Рівняння, в яких ліва і правяча частина є дробово-раціональними виразами, називаються дробові раціональні рівняння. Як ви вважаєте, що ми вивчатимемо сьогодні на уроці? Сформулюйте тему уроку. Отже, відкриваємо зошити та записуємо тему уроку «Рішення дробових раціональних рівнянь».

2. Актуалізація знань. Фронтальне опитування, усна робота із класом.

Нині ж ми повторимо основний теоретичний матеріал, який знадобиться нам вивчення нової теми. Дайте відповідь, будь ласка, на такі запитання:

1. Що таке рівняння? ( Рівність зі змінною чи змінними.)
2. Як називається рівняння №1? ( Лінійне.) Спосіб розв'язання лінійних рівнянь. ( Усі з невідомим перенести до лівої частини рівняння, усі числа - до правої. Навести подібні доданки. Знайти невідомий множник).
3. Як називається рівняння №3? ( Квадратне.) Способи розв'язання квадратних рівнянь. ( Виділення повного квадрата, за формулами, використовуючи теорему Вієта та її наслідки.)
4. Що таке пропорція? ( Рівність двох відносин.) Основна властивість пропорції. ( Якщо пропорція вірна, то добуток її крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.)
5. Які властивості використовуються під час вирішення рівнянь? ( 1. Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши його знак, то вийде рівняння, що дорівнює даному. 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному.)
6. Коли дріб дорівнює нулю? ( Дроб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.)

3. Пояснення нового матеріалу.

Вирішити в зошитах та на дошці рівняння №2.

Відповідь: 10.

Яке дробово-раціональне рівняння можна спробувати розв'язати, використовуючи основну властивість пропорції? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х 2 -4х-2х +8 = х 2 +3х +2х +6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Вирішити в зошитах та на дошці рівняння №4.

Відповідь: 1,5.

Яке дробово-раціональне рівняння можна спробувати вирішити, помножуючи обидві частини рівняння на знаменник? (№6).

х 2 -7х +12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Відповідь: 3;4.

Тепер спробуйте вирішити рівняння №7 одним із способів.

(х 2 -2х-5) х (х-5) = х (х-5) (х +5)
(х 2 -2х-5) х (х-5)-х (х-5) (х +5) = 0			х 2 -2х-5 = х +5
х(х-5)(х 2 -2х-5-(х+5))=0			х 2 -2х-5-х-5 = 0
х(х-5)(х 2 -3х-10)=0
х=0 х-5=0 х 2 -3х-10=0
х 1 =0 х 2 =5 D=49
х 3 =5 х 4 =-2			х 3 =5 х 4 =-2
Відповідь: 0;5;-2.			Відповідь: 5;-2.

Поясніть, чому так сталося? Чому в одному випадку три корені, в іншому – два? Які числа є корінням даного дробно-раціонального рівняння?

Досі учні з поняттям стороннього коріння не зустрічалися, їм справді дуже важко зрозуміти, чому так вийшло. Якщо в класі ніхто не може дати чіткого пояснення цієї ситуації, тоді вчитель задає питання, що наводять.

• Чим відрізняються рівняння № 2 та 4 від рівнянь № 5,6,7? ( У рівняннях № 2 і 4 у знаменнику числа, № 5-7 – вирази зі змінною.)
• Що таке корінь рівняння? ( Значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильну рівність.)
• Як з'ясувати чи є число коренем рівняння? ( Зробити перевірку.)

Під час перевірки деякі учні зауважують, що доводиться ділити на нуль. Вони роблять висновок, що числа 0 і 5 є корінням даного рівняння. Виникає питання: чи існує спосіб розв'язання дробових раціональних рівнянь, що дозволяє виключити цю помилку? Так, це спосіб ґрунтується на умові рівності дробу нулю.

х 2 -3х-10 = 0, D = 49, х 1 = 5, х 2 = -2.

Якщо х=5, то х(х-5)=0, отже 5- сторонній корінь.

Якщо х=-2, то х(х-5)≠0.

Відповідь: -2.

Спробуймо сформулювати алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь даним способом. Діти самі формулюють алгоритм.

Алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь:

1. Перенести все до лівої частини.
2. Привести дроби до спільного знаменника.
3. Скласти систему: дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
4. Вирішити рівняння.
5. Перевірити нерівність, щоб унеможливити стороннє коріння.
6. Записати відповідь.

Обговорення: як оформити рішення, якщо використовується основна властивість пропорції та множення обох частин рівняння загальний знаменник. (Доповнити рішення: виключити з його коріння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник).

4. Первинне осмислення нового матеріалу.

Робота у парах. Учні вибирають спосіб розв'язання рівняння самостійно залежно від виду рівняння. Завдання із підручника «Алгебра 8», Ю.М. Макарічев, 2007: № 600 (б, в, і); № 601 (а, д, ж). Вчитель контролює виконання завдання, відповідає на питання, надає допомогу слабоуспевающим учням. Самоперевірка: відповіді записані на дошці.

б) 2 – сторонній корінь. Відповідь:3.

в) 2 – сторонній корінь. Відповідь: 1,5.

а) Відповідь: -12,5.

ж) Відповідь: 1; 1,5.

5. Постановка домашнього завдання.

1. Прочитати п.25 із підручника, розібрати приклади 1-3.
2. Вивчити алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь.
3. Вирішити в зошитах № 600 (а, г, д); №601(г,з).
4. Спробувати вирішити №696(а)(за бажанням).

6. Виконання контролюючого завдання з вивченої теми.

Робота виконується на листочках.

Приклад завдання:

А) Які із рівнянь є дробовими раціональними?

Б) Дроб дорівнює нулю, коли чисельник ______________________ , а знаменник _______________________ .

В) Чи є число -3 коренем рівняння №6?

Р) Розв'язати рівняння №7.

Критерії оцінювання завдання:

• "5" ставиться, якщо учень виконав правильно більше 90% завдання.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• «2» ставиться учню, який виконав менше 50% завдання.
• Оцінка 2 у журнал не ставиться, 3 – за бажанням.

7. Рефлексія.

На листочках із самостійною роботою поставте:

• 1 – якщо на уроці вам було цікаво та зрозуміло;
• 2 - цікаво, але не зрозуміло;
• 3 – не цікаво, але зрозуміло;
• 4 – не цікаво, не зрозуміло.

8. Підбиття підсумків уроку.

Отже, сьогодні на уроці ми з вами познайомилися з дробовими раціональними рівняннями, навчилися розв'язувати ці рівняння у різний спосіб, перевірили свої знання за допомогою навчальної самостійної роботи. Результати самостійної роботи ви дізнаєтесь на наступному уроці, вдома ви матимете можливість закріпити отримані знання.

Який метод розв'язання дробових раціональних рівнянь, на Вашу думку, є більш легким, доступним, раціональним? Незалежно від способу розв'язання дробових раціональних рівнянь, про що потрібно не забувати? У чому «підступність» дробових раціональних рівнянь?

Всім дякую, урок закінчено.