Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь методом підстановки. Тема уроку: "Спосіб підстановки" Рішення систем методом підстановки

2. Метод алгебраїчної складання.
3. Метод запровадження нового змінного (метод заміни змінної).

Визначення:Системою рівнянь називаються кілька рівнянь однієї чи кількох змінних, які мають виконуватися одночасно, тобто. при однакових змінних значеннях для всіх рівнянь. Рівняння у системі об'єднуються знаком системи – фігурною дужкою.
Приклад 1:

- Система двох рівнянь із двома змінними xі y.
Рішенням системи є коріння. При підстановці цих значень рівняння перетворюються на вірні тотожності:

Вирішення систем лінійних рівнянь.

Найпоширенішим методом розв'язання системи є метод підстановки.

Метод підстановки.

Метод підстановки для вирішення систем рівнянь полягає в тому, щоб з одного рівняння системи висловити якусь змінну через інші, і підставити цей вираз до інших рівнянь системи замість вираженої змінної.
Приклад 2:
Розв'язати систему рівнянь:

Рішення:
Дана система рівнянь і її потрібно вирішити шляхом підстановки.
Виразимо змінну yіз другого рівняння системи.
Примітка:«Виразити змінну» означає перетворити рівність те щоб ця змінна залишилася ліворуч від знака рівності з коефіцієнтом 1, проте інші доданки перейшли у праву частину рівності.
Друге рівняння системи:

Залишимо зліва тільки y:

І підставимо (ось звідти і йде назва методу) в перше рівняння замість увираз, якому воно одно, тобто. .
Перше рівняння:

Підставимо:

Вирішимо це банальне квадратне рівняння. Для тих, хто забув, як це робиться, є стаття Розв'язання квадратних рівнянь. .

Отже, значення змінної xзнайдено.
Підставимо ці значення у вираз для змінної y. Тут вийшло два значення x, тобто. для кожного з них слід знаходити значення y .
1) Нехай
Підставляємо у вираз.

2) Нехай
Підставляємо у вираз.

Все можна складати відповідь:
Примітка:Відповідь у разі слід записувати попарно, ніж переплутати, яке значення змінної y відповідає якому значенням змінної x.
Відповідь:
Примітка:У прикладі 1 як рішення системи вказано лише одну пару, тобто. Ця пара є рішенням системи, але не повним. Тому, як вирішити рівняння чи систему, означає вказати рішення і показати, що інших рішень немає. А тут ще одна пара.

Оформимо рішення цієї системи по-шкільному:

Примітка:Знак «» означає «рівносильно», тобто. наступна система чи вираз рівносильно попередньої.

Зазвичай рівняння системи записують у стовпчик одне під одним і об'єднують фігурною дужкою

Система рівнянь такого виду, де a, b, c- Числа, а x, y- Змінні, називається системою лінійних рівнянь.

При вирішенні системи рівнянь використовують властивості, справедливі на вирішення рівнянь .

Розв'язання системи лінійних рівнянь способом підстановки

Розглянемо приклад

1) Виразити в одному з рівнянь змінну. Наприклад, висловимо yу першому рівнянні, отримаємо систему:

2) Підставляємо у друге рівняння системи замість yвираз 3х-7:

3) Вирішуємо отримане друге рівняння:

4) Отримане рішення підставляємо у перше рівняння системи:

Система рівнянь має єдине рішення: кілька чисел x=1, y=-4. Відповідь: (1; -4) , записується в дужках, на першій позиції значення x, на другий - y.

Розв'язання системи лінійних рівнянь способом складання

Розв'яжемо систему рівнянь з попереднього прикладу шляхом додавання.

1) Перетворити систему таким чином, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними. Помножимо перше рівняння системи на "3".

2) Складаємо почленно рівняння системи. Друге рівняння системи (будь-яке) переписуємо без змін.

3) Отримане рішення підставляємо у перше рівняння системи:

Розв'язання системи лінійних рівнянь графічним способом

Графічне рішення системи рівнянь із двома змінними зводиться до пошуку координат загальних точок графіків рівнянь.

Графік лінійної функції є пряма. Дві прямі на площині можуть перетинатися в одній точці, бути паралельними або збігатися. Відповідно, система рівнянь може: а) мати єдине рішення; б) не мати рішень; в) мати безліч рішень.

2) Рішенням системи рівнянь є точка (якщо рівняння є лінійними) перетину графіків.

Графічний розв'язок системи

Метод запровадження нових змінних

Заміна змінних може призвести до вирішення простішої системи рівнянь, ніж вихідна.

Розглянемо рішення системи

Введемо заміну, тоді

Переходимо до початкових змінних

Особливі випадки

Не вирішуючи системи лінійних рівнянь, можна визначити кількість її рішень за коефіцієнтами за відповідних змінних.

Розберемо два види розв'язання систем рівняння:

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Для того щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

Вирішення системи рівнянь методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

Розв'язання системи рівнянь методом додавання

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y=-10 | *3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.

Давайте розберемося, як вирішувати системи рівнянь способом підстановки?

1) Виразимо з першого чи другого рівняння системи невідоме хабо у(як нам зручніше);

2) Підставимо до іншого рівняння (у те, з якого не висловлювали невідоме) замість невідомого хабо у(якщо висловлювали х, підставляємо замість х; якщо висловлювали у, підставляємо замість у) отриманий вираз;

3) Вирішуємо рівняння, яке одержали. Знаходимо хабо у;

4) Підставляємо отримане значення невідомого та знаходимо друге невідоме.

Правило записано. Тепер давайте спробуємо застосувати його під час вирішення системи рівнянь.

Приклад 1.

Уважно подивимося на систему рівнянь. Зауважуємо, що з першого рівняння легше висловити у.

Висловлюємо у:

-2у = 11 - 3х

у = (11 - 3х) / (-2)

у = -5,5 + 1,5 х

Тепер акуратно підставимо у друге рівняння замість увираз -5,5 + 1,5 х.

Отримаємо: 4х - 5(-5,5 + 1,5х) = 3

Вирішуємо це рівняння:

4х + 27,5 - 7,5 х = 3

-3,5 х = 3 - 27,5

-3,5 х = -24,5

х = -24,5 / (-3,5)

Підставляємо у вираз у = – 5,5 + 1,5х замість хзначення, що ми знайшли. Отримуємо:

у = - 5,5 + 1,5 · 7 = -5,5 + 10,5 = 5.

Відповідь: (7; 5)

Цікаво, а якщо висловити з першого рівняння не у, а х, чи зміниться відповідь?

Давайте спробуємо висловити хз першого рівняння.

х = (11 + 2у)/3

Підставимо замість ху друге рівняння вираз (11 +2у)/3, отримаємо рівняння з одним невідомим і вирішимо його.

4(11 + 2у)/3 – 5у = ​​3, помножимо обидві частини рівняння на 3, отримаємо

4 (11 + 2у) - 15у = 9

44 + 8у - 15у = 9

-7у = 9 - 44

у = -35/(-7)

Знаходимо змінну х, підставляючи 5 вираз х = (11 +2у)/3.

х = (11 +2 · 5) / 3 = (11 +10) / 3 = 21 / 3 = 7

Відповідь: (7; 5)

Як бачите, відповідь вийшла такою ж. Якщо ви будете уважні та акуратні, то незалежно від того, яку змінну ви висловлюєте. хабо у, відповідь отримаєте правильну.

Досить часто учні запитують: « Чи є ще інші способи вирішення систем, крім додавання та підстановки?»

Є деяка видозміна способу підстановки – спосіб порівняння невідомих .

1) Треба з кожного рівняння системи висловити одне й те саме невідоме через друге.

2) Отримані невідомі порівнюють, одержують рівняння з одним невідомим.

3) Знаходять значення одного невідомого.

4) Підставляють отримане значення невідомого та знаходять друге невідоме.

Приклад 2. Розв'язати систему рівнянь

З двох рівнянь висловимо змінну хчерез у.

Отримаємо першого рівняння х = (13 – 6у) / 5, та якщо з другого х = (–1 – 18у) / 7.

Порівнюючи ці висловлювання, отримуємо рівняння з одним невідомим і вирішуємо його:

(13 - 6у) / 5 = (-1 - 18у) / 7

7 (13 - 6у) = 5 (-1 - 18у)

91 - 42у = -5 - 90у

-42у + 90у = -5 - 91

у = - 96 / 48

Невідоме хзнайдемо підставивши значення ув один із виразів для х.

(13 – 6(– 2)) / 5= (13+12) / 5 = 25/5 = 5

Відповідь: (5; -2).

Думаю, що і у вас все вийде. Якщо залишилися питання, приходьте до мене на уроки.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

1 . П.І.Б. вчителі: ____Ткачук Наталія Петрівна _________________________________________________________________________________________________

2. Клас: _8 Дата: .11.03________Предмет_-математика, №71 уроку за розкладом:

3. Тема урока Рішення систем способом підстановки 4 . Місце і роль уроку в темі, що вивчається :. Урок закріплення знань. Мета уроку :

Освітня: розвинути знання розв'язання систем рівнянь способом підстановки. Знати/розуміти: якщо графіки мають спільні точки, система має рішення; якщо графіки не мають спільних точок, то система рішень не має; алгоритм розв'язання систем рівнянь.Вміти вирішувати системи способом підстановки Сприяти розвитку умінь застосовувати отримані знання у нестандартних (типових) умовахРозвиваюча: Сприяти розвитку умінь учнів узагальнювати отримані знання, проводити аналіз, синтез, порівняння, робити необхідні висновки. Сприяти розвитку умінь застосовувати отримані знання у нестандартних та типових умовах.Виховна: Сприяти розвитку творчого ставлення до навчальної діяльності

Характеристика етапів уроку

Діяльність

учнів

Самовизначення.

Активізувати пізнавальну активність

Вирішити систему

словесний

Фронтальна

Привітання учнів. проведення. Створення ситуації готовності до уроку, успіху майбутньому уроці.

Перевіряють готовність до уроку.

2. Актуалізація знань.

Виявити якість та рівень оволодіння знаннями та вміннями, отриманими на попередніх уроках на тему

З'ясувати, чи є пара чисел рішенням системи. х = 5 у = 9

Які операції можна виконувати з рівняннями?

(множити обидві частини рівняння на одне й те саме число, ділити на число, що не дорівнює нулю ….)

Робота у групі

Фронтальний. Гуппова-розбір алгоритмів розв'язання задач;

За необхідності ставить навідні питання.

Відповідають на ці запитання.

3. Постановка навчальної задачі, цілей уроку.

Формування

та розвиток вміння

визначати та формулювати

проблему, мету та тему

для вивчення ліній

Як вирішується система рівнянь способом додавання, способом підстановки.

Який спосіб доцільно застосувати під час вирішення. даної системи?

Робота у групі.

Індивідуальна.

Фронтальний.

Які дії ми зробили, щоб дізнатися вартість покупки?

Яку тему ми вивчатимемо?

Висловлюються.

4. Етап актуалізації знань на тему

Сприяти розвитку умінь розрізняти і зіставляти лінії. Забезпечити умови у розвиток умінь грамотно, чітко і висловлювати свої думки.

№ 621

З'ясувати взаємне розташування прямих

2х + 0.5у = 1,2 і х-4у = 0

Чи можна визначити перетинаються прямі чи ні за їхніми коефіцієнтами?

2. склади рівняння прямих, які паралельні між собою.

Робота з підручником

Робота в парах із самоперевіркою

Фронтальна, індивідуальна. практикум щодо вирішення завдань

За необхідності ставить навідні питання. Проводить паралель із раніше вивченим матеріалом.

Забезпечує мотивацію виконання запропонованих завдань.

Підводить учнів висновку про існування формул.

Вирішують завдання, відповідають питання вчителя у разі потреби Виконують вправу в зошиті.

По черзі коментують, аналізують, визначають причини та способи вирішення.

5.Робота по самостійному

застосування отриманих знань. Актуалізація знань та умінь у вирішенні завдань.

Формування та розвиток умінь читання чисел. Планування своєї діяльності для вирішення поставленого завдання, контроль отриманого результату, корекція отриманого результату, саме регулювання

1 вар -

2 вар

Самостійна робота. Перевірка сусіда.

"мозковий штурм",

Контролює виконання роботи.

Здійснює: індивідуальний контроль; вибірковий контроль.

Заохочує до висловлювання своєї думки.

Вирішують завдання. Здійснюють: самооцінку; взаємоперевірку; виставляють попередню оцінку.

6.Оцінка уроку, самооцінка.

Формування та розвиток вміння аналізувати та осмислювати свої досягнення.

Вміння визначати рівень оволодіння навчальним матеріалом.

Оцінка проміжних результатів та саме регуляція для підвищення мотивації навчальної діяльності

Оцінка на кожному етапі

1. чи вмієш будувати графіки лінійних рівнянь?

2.Вмієш ти визначати, перетинаються вони чи ні.

3.Чи знаєш ти алгоритм розв'язання систем рівнянь?

4. які методи ти знаєш розв'язання систем рівнянь?

Робота у групі.

Групова та індивідуальна.

Заохочує до висловлювання своєї думки.

Здійснюють: самооцінку та оцінку товариша.

7.Підсумки уроку. Домашнє завдання.

Вміння співвідносити цілі та результати власної діяльності. Підтримка здорового духу суперництва для підтримки мотивації навчальної діяльності; участь у колективному обговоренні проблем.

п п. 4.4 №623

Робота у групі.

Фронтальна-Виділення та формулювання-вання по-знательной мети рефлексія способів та умов дії

Аналіз та синтез об'єктів

Заохочує до висловлювання своєї думки.

Надає коментар до домашнього завдання; завдання на пошук у тексті особливостей...

Діти беруть участь у дискусії, аналізують, промовляють. Осмислюють та фіксують свої досягнення.

Сьогодні на уроці я дізнався...

Сьогодні на уроці я навчився.