Вирішення систем рівнянь способом підстановки. Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь методом підстановки Спосіб складання та підстановки
Системи рівнянь набули широкого застосування в економічній галузі при математичному моделюванні різних процесів. Наприклад, під час вирішення завдань управління та планування виробництва, логістичних маршрутів (транспортне завдання) чи розміщення устаткування.
Системи рівняння використовуються у галузі математики, а й фізики, хімії та біології, під час вирішення завдань з знаходження чисельності популяції.
Системою лінійних рівнянь називають два і більше рівняння з кількома змінними, котрим необхідно знайти загальне рішення. Таку послідовність чисел, коли всі рівняння стануть вірними рівностями чи довести, що послідовності немає.
Лінійне рівняння
Рівняння виду ax+by=c називають лінійними. Позначення x, y – це невідомі, значення яких треба знайти, b, a – коефіцієнти при змінних, c – вільний член рівняння.
Рішення рівняння шляхом побудови його графіка матиме вигляд прямої, всі точки якої є рішенням багаточлена.
Види систем лінійних рівнянь
Найбільш простими вважаються приклади систем лінійних рівнянь із двома змінними X та Y.
F1(x, y) = 0 і F2(x, y) = 0, де F1,2 – функції, а (x, y) – змінні функцій.
Розв'язати систему рівнянь - це означає знайти такі значення (x, y), у яких система перетворюється на правильну рівність чи встановити, що відповідних значень x і y немає.
Пара значень (x, y), записана як координат точки, називається рішенням системи лінійних рівнянь.
Якщо системи мають одне загальне рішення чи рішення немає їх називають рівносильними.
Однорідними системами лінійних рівнянь є системи права частина яких дорівнює нулю. Якщо права після знака " рівність " частина має значення чи виражена функцією, така система неоднорідна.
Кількість змінних може бути набагато більше двох, тоді слід говорити про приклад системи лінійних рівнянь із трьома змінними або більше.
Зіткнувшись із системами школярі припускають, що кількість рівнянь обов'язково має збігатися з кількістю невідомих, але це не так. Кількість рівнянь у системі залежить від змінних, їх може бути скільки завгодно багато.
Прості та складні методи вирішення систем рівнянь
Немає загального аналітичного способу вирішення подібних систем, всі методи засновані на чисельних рішеннях. У шкільному курсі математики докладно описані такі методи як перестановка, складення алгебри, підстановка, а так само графічний і матричний спосіб, рішення методом Гауса.
Основне завдання під час навчання способам рішення - це навчити правильно аналізувати систему та знаходити оптимальний алгоритм рішення кожному за прикладу. Головне не визубрити систему правил та дій для кожного способу, а зрозуміти принципи застосування того чи іншого методу
Рішення прикладів систем лінійних рівнянь 7 класу програми загальноосвітньої школи досить просте і дуже докладно. У будь-якому підручнику математики цьому розділу приділяється достатньо уваги. Рішення прикладів систем лінійних рівнянь методом Гаусса і Крамера докладніше вивчають перших курсах вищих навчальних закладів.
Рішення систем методом підстановки
Дії методу підстановки спрямовані вираз значення однієї змінної через другу. Вираз підставляється в рівняння, що залишилося, потім його приводять до вигляду з однією змінною. Дія повторюється в залежності від кількості невідомих у системі
Наведемо рішення прикладу системи лінійних рівнянь 7 класу методом підстановки:
Як видно з прикладу, змінна x була виражена через F(X) = 7 + Y. Отриманий вираз, підставлений у 2-е рівняння системи на місце X, допоміг отримати одну змінну Y у 2-му рівнянні. Рішення цього прикладу не викликає труднощів і дозволяє отримати значення Y. Останній крок це перевірка отриманих значень.
Вирішити приклад системи лінійних рівнянь підстановкою не завжди можливо. Рівняння можуть бути складними і вираз змінної через другу невідому виявиться надто громіздким для подальших обчислень. Коли невідомих у системі більше трьох рішень підстановкою також недоцільно.
Розв'язання прикладу системи лінійних неоднорідних рівнянь:
Рішення за допомогою алгебраїчного додавання
При пошуку рішенні систем шляхом додавання роблять почленное складання і множення рівнянь різні числа. Кінцевою метою математичних процесів є рівняння з однією змінною.
Для застосування даного методу необхідна практика та спостережливість. Вирішити систему лінійних рівнянь шляхом додавання при кількості змінних 3 і більше складно. Алгебраїчне додавання зручно застосовувати коли в рівняннях присутні дроби та десяткові числа.
Алгоритм дій рішення:
- Помножити обидві частини рівняння деяке число. В результаті арифметичної дії один із коефіцієнтів при змінній повинен стати рівним 1.
- Почленно скласти отриманий вираз і знайти один із невідомих.
- Підставити отримане значення у 2-е рівняння системи для пошуку змінної, що залишилася.
Спосіб вирішення запровадженням нової змінної
Нову змінну можна вводити, якщо в системі потрібно знайти рішення не більше ніж для двох рівнянь, кількість невідомих теж має бути не більшою за два.
Спосіб використовується, щоб спростити одне із рівнянь, введенням нової змінної. Нове рівняння вирішується щодо введеної невідомої, а отримане значення використовується визначення початкової змінної.
З прикладу видно, що, ввівши нову змінну t, вдалося звести 1-е рівняння системи до стандартного квадратного тричлена. Вирішити многочлен можна знайшовши дискримінант.
Необхідно знайти значення дискримінанта за відомою формулою: D = b2 - 4*a*c, де D - дискримінант, що шукається, b, a, c - множники многочлена. У заданому прикладі a=1, b=16, c=39, отже, D=100. Якщо дискримінант більший за нуль, то рішень два: t = -b±√D / 2*a, якщо дискримінант менший за нуль, то рішення одне: x= -b / 2*a.
Рішення для отриманих у результаті системи знаходять шляхом складання.
Наочний метод вирішення систем
Підходить для систем з трьома рівняннями. Метод полягає у побудові на координатній осі графіків кожного рівняння, що входить до системи. Координати точок перетину кривих і будуть загальним рішенням системи.
Графічний метод має низку аспектів. Розглянемо кілька прикладів розв'язання систем лінійних рівнянь наочним способом.
Як видно з прикладу, для кожної прямої було побудовано дві точки, значення змінної x були обрані довільно: 0 і 3. Виходячи із значень x, знайдені значення для y: 3 і 0. Точки з координатами (0, 3) та (3, 0) були відзначені на графіку та з'єднані лінією.
Події необхідно повторити для другого рівняння. Точка перетину прямих є розв'язком системи.
У наступному прикладі потрібно знайти графічне рішення системи лінійних рівнянь: 0,5x-y+2=0 та 0,5x-y-1=0.
Як видно з прикладу, система не має рішення, тому що графіки паралельні і не перетинаються по всьому своєму протязі.
Системи з прикладів 2 і 3 схожі, але при побудові стає очевидним, що їх рішення різні. Слід пам'ятати, що не завжди можна сказати, чи має система рішення чи ні, завжди необхідно побудувати графік.
Матриця та її різновиди
Матриці використовують для короткого запису системи лінійних рівнянь. Матрицею називають таблицю спеціального виду, заповнену числами. n*m має n - рядків та m - стовпців.
Матриця є квадратною, коли кількість стовпців і рядків дорівнює між собою. Матрицею - вектором називається матриця з одного стовпця з нескінченно можливою кількістю рядків. Матриця з одиницями по одній із діагоналей та іншими нульовими елементами називається одиничною.
Зворотна матриця - це така матриця при множенні на яку вихідна перетворюється на одиничну, така матриця існує тільки для вихідної квадратної.
Правила перетворення системи рівнянь на матрицю
Щодо систем рівнянь як чисел матриці записують коефіцієнти і вільні члени рівнянь, одне рівняння - один рядок матриці.
Рядок матриці називається ненульовим, якщо хоча б один елемент рядка не дорівнює нулю. Тому якщо в якомусь із рівнянь кількість змінних відрізняється, то необхідно на місці відсутньої невідомої вписати нуль.
Стовпці матриці повинні суворо відповідати змінним. Це означає, що коефіцієнти змінної x можуть бути записані тільки в один стовпець, наприклад перший, коефіцієнт невідомої y - тільки в другий.
При множенні матриці всі елементи матриці послідовно множаться число.
Варіанти знаходження зворотної матриці
Формула знаходження зворотної матриці досить проста: K -1 = 1 / | K |, де K -1 - Зворотна матриця, а | K | - Визначник матриці. |K| не повинен дорівнювати нулю, тоді система має рішення.
Визначник легко обчислюється для матриці два на два, необхідно лише помножити один на одного елементи по діагоналі. Для варіанта "три на три" існує формула | K | b 2 c 1 . Можна скористатися формулою, а можна запам'ятати що необхідно взяти по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця так, щоб у творі не повторювалися номери стовпців та рядків елементів.
Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь матричним методом
Матричний спосіб пошуку рішення дозволяє скоротити громіздкі записи під час вирішення систем із великою кількістю змінних і рівнянь.
У прикладі a nm – коефіцієнти рівнянь, матриця – вектор x n – змінні, а b n – вільні члени.
Рішення систем методом Гауса
У вищій математиці метод Гаусса вивчають разом із методом Крамера, а процес пошуку рішення систем і називається метод рішення Гаусса - Крамера. Дані методи застосовують при знаходженні змінних систем з великою кількістю лінійних рівнянь.
Метод Гауса дуже схожий на рішення за допомогою підстановок та алгебраїчної складання, але більш систематичний. У шкільному курсі рішення способом Гаусса застосовується для систем із 3 та 4 рівнянь. Мета методу полягає у приведенні системи до виду перевернутої трапеції. Шляхом перетворень алгебри і підстановок знаходиться значення однієї змінної в одному з рівнянні системи. Друге рівняння є виразом з двома невідомими, а 3 і 4 - відповідно з трьома і чотирма змінними.
Після приведення системи до описаного виду, подальше рішення зводиться до послідовної підстановки відомих змінних рівняння системи.
У шкільних підручниках для 7 класу приклад рішення методом Гауса описаний таким чином:
Як видно з прикладу, на кроці (3) було отримано два рівняння 3x3 -2x4 = 11 і 3x3 +2x4 =7. Рішення будь-якого рівняння дозволить дізнатися одну зі змінних x n .
Теорема 5, про яку згадується в тексті, свідчить, що якщо одне з рівнянь системи замінити рівносильним, то отримана система буде також рівносильна вихідній.
Метод Гаусса важкий для сприйняття учнів середньої школи, але є одним із найцікавіших способів для розвитку кмітливості дітей, які навчаються за програмою поглибленого вивчення в математичних та фізичних класах.
Для простоти запису обчислень прийнято робити так:
Коефіцієнти рівнянь та вільні члени записуються у вигляді матриці, де кожен рядок матриці співвідноситься з одним із рівнянь системи. відокремлює ліву частину рівняння від правої. Римськими цифрами позначаються номери рівнянь у системі.
Спочатку записують матрицю, з якою належить працювати, потім усі дії, що проводяться з одного з рядків. Отриману матрицю записують після знака "стрілка" і продовжують виконувати необхідні дії алгебри до досягнення результату.
У результаті повинна вийти матриця в якій по одній з діагоналей стоять 1, а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто матрицю призводять до поодинокого вигляду. Не можна забувати робити обчислення з цифрами обох частин рівняння.
Цей спосіб запису менш громіздкий і дозволяє не відволікатися на перелік численних невідомих.
Вільне застосування будь-якого способу вирішення потребує уважності та певного досвіду. Не всі методи мають прикладний характер. Якісь способи пошуку рішень більш переважні в тій іншій галузі діяльності людей, інші існують з метою навчання.
Системою лінійних рівнянь із двома невідомими - це два або кілька лінійних рівнянь, для яких необхідно знайти всі їхні загальні рішення. Ми розглядатимемо системи з двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Загальний вид системи із двох лінійних рівнянь із двома невідомими представлений на малюнку нижче:
(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2
Тут х і у невідомі змінні, a1, a2, b1, b2, с1, с2 – деякі речові числа. Рішенням системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими називають пару чисел (x,y) таку, що якщо підставити ці числа до рівняння системи, то кожне із рівнянь системи звертається до правильної рівності. Розглянь один із способів розв'язання системи лінійних рівнянь, а саме спосіб підстановки.
Алгоритм рішення способом підстановки
Алгоритм розв'язання системи лінійних рівнянь способом підстановки:
1. Вибрати одне рівняння (краще вибирати те, де числа менше) і виразити з нього одну змінну через іншу, наприклад, x через y. (можна і у через x).
2. Отриманий вираз підставити замість відповідної змінної в інше рівняння. Таким чином у нас вийде лінійне рівняння з однією невідомою.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння та отримуємо рішення.
4. Підставляємо отримане рішення у вираз, отримане у першому пункті, отримуємо другу невідому від рішення.
5. Виконати перевірку одержаного рішення.
приклад
Для того, щоб було зрозуміліше, вирішимо невеликий приклад.
приклад 1.Розв'язати систему рівнянь:
(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18
Рішення:
1. З першого рівняння даної системи виражаємо змінну х. Маємо x=(12-2*y);
2. Підставляємо цей вираз у друге рівняння, отримуємо 2*x-3*y=-18; 2 * (12 -2 * y) - 3 * y = -18; 24 - 4y - 3 * y = -18;
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння: 24 - 4y - 3 * y = -18; 24-7 * y = -18; -7 * y = -42; y=6;
4. Підставляємо отриманий результат у вираз, отриманий у першому пункті. x = (12 -2 * y); x = 12-2 * 6 = 0; x=0;
5. Перевіряємо отримане рішення, для цього підставляємо знайдені числа у вихідну систему.
(x + 2 * y = 12;
(2*x-3*y=-18;
{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;
{12 =12;
{-18=-18;
Здобули вірні рівності, отже, ми правильно знайшли рішення.
Вирішення систем рівнянь методом підстановки
Згадаймо, що таке система рівнянь.
Система двох рівнянь із двома змінними – це записані один під одним два рівняння, об'єднані фігурною дужкою. Вирішити систему - це означає знайти таку пару чисел, яка буде рішенням і першого, і другого рівняння одночасно.
У цьому уроці познайомимося з таким способом вирішення систем, як спосіб підстановки.
Давайте розглянемо систему рівнянь:
Можна вирішити цю систему графічно. Для цього нам треба буде побудувати в одній системі координат графіки кожного з рівнянь, перетворивши їх на вигляд:
Потім знайти координати точки перетину графіків, які будуть рішенням системи. Але графічний метод які завжди зручний, т.к. відрізняється малою точністю, або навіть зовсім недоступністю. Спробуємо розглянути нашу систему уважніше. Тепер вона має вигляд:
Можна помітити, що ліві частини рівнянь рівні, а отже, мають бути рівними і правими. Тоді ми отримаємо рівняння:
Це знайоме нам рівняння з однією змінною, яке ми вирішуватимемо. Перенесемо невідомі доданки в ліву частину, а відомі - у праву, не забувши змінити знаки +, - при переносі. Отримаємо:
Тепер підставимо знайдене значення х у будь-яке рівняння системи та знайдемо значення у. У нашій системі зручніше використовувати друге рівняння у = 3 – х, після підстановки отримаємо у = 2. А тепер проаналізуємо виконану роботу. Спочатку ми у першому рівнянні висловили змінну у через змінну х. Потім отриманий вираз - 2х + 4 підставили друге рівняння замість змінної у. Потім вирішили отримане рівняння з однією змінною х та знайшли її значення. І на завершення використовували знайдене значення х для знаходження іншої змінної у. Тут виникає запитання: а чи обов'язково було виражати змінну з обох рівнянь відразу? Звичайно, ні. Ми могли виразити одну змінну через іншу лише в одному рівнянні системи та використовувати його замість відповідної змінної у другому. Причому можна висловити будь-яку змінну з будь-якого рівняння. Тут вибір залежить виключно із зручності рахунку. Подібний порядок дій математики назвали алгоритмом розв'язання систем двох рівнянь із двома змінними методом підстановки. Ось як він виглядає.
1.Виразити одну із змінних через іншу в одному з рівнянь системи.
2.Підставити отриманий вираз замість відповідної змінної в інше рівняння системи.
3. Вирішити отримане рівняння з однією змінною.
4.Знайдене значення змінної підставити у вираз, отриманий у пункті першому, і знайти значення інший змінної.
5. Записати відповідь у вигляді пари чисел, які були знайдені на третьому та четвертому кроці.
Давайте розглянемо ще один приклад. Розв'язати систему рівнянь:
Тут зручніше висловити змінну з першого рівняння. Отримаємо у = 8 – 2х. Отримане вираз треба підставити замість у друге рівняння. Отримаємо:
Випишемо це рівняння окремо та вирішимо його. Спочатку розкриємо дужки. Отримаємо рівняння 3х - 16 + 4х = 5. Зберемо невідомі складові в лівій частині рівняння, а відомі - у правій і наведемо подібні доданки. Отримаємо рівняння 7х = 21, звідси х = 3.
Тепер, використовуючи знайдене значення х, можна знайти:
Відповідь: пара чисел (3; 2).
Таким чином, на цьому уроці ми навчилися вирішувати системи рівнянь із двома невідомими аналітичним, точним способом, не вдаючись до сумнівного графічного.
Список використаної литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 1, Підручник для загальноосвітніх закладів/А.Г. Мордкович. – 10 – е вид., перероблене – Москва, «Мнемозина», 2007.
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 2, Задачник для загальноосвітніх установ/[А.Г. Мордкович та ін.]; за редакцією А.Г. Мордковича - 10-е видання, перероблене - Москва, "Мнемозіна", 2007.
- Є.Є. Тульчинська, Алгебра 7 клас. Бліц опитування: посібник для учнів загальноосвітніх установ, 4-те видання, виправлене та доповнене, Москва, «Мнемозина», 2008.
- Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематичні перевірочні роботи у новій формі для учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича, Москва, "Мнемозина", 2011.
- Александрова Л.А. Алгебра 7 клас. Самостійні роботи для учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича - 6-е видання, стереотипне, Москва, "Мнемозіна", 2010.
Зазвичай рівняння системи записують у стовпчик одне під одним і об'єднують фігурною дужкою
Система рівнянь такого виду, де a, b, c- Числа, а x, y- Змінні, називається системою лінійних рівнянь.
При вирішенні системи рівнянь використовують властивості, справедливі на вирішення рівнянь .
Розв'язання системи лінійних рівнянь способом підстановки
Розглянемо приклад 
1) Виразити в одному з рівнянь змінну. Наприклад, висловимо yу першому рівнянні, отримаємо систему:
2) Підставляємо у друге рівняння системи замість yвираз 3х-7:
3) Вирішуємо отримане друге рівняння:
4) Отримане рішення підставляємо у перше рівняння системи:
Система рівнянь має єдине рішення: кілька чисел x=1, y=-4. Відповідь: (1; -4) , записується в дужках, на першій позиції значення x, на другий - y.
Розв'язання системи лінійних рівнянь способом складання
Розв'яжемо систему рівнянь з попереднього прикладу шляхом додавання.
1) Перетворити систему таким чином, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними. Помножимо перше рівняння системи на "3".
2) Складаємо почленно рівняння системи. Друге рівняння системи (будь-яке) переписуємо без змін.
3) Отримане рішення підставляємо у перше рівняння системи:
Розв'язання системи лінійних рівнянь графічним способом
Графічне рішення системи рівнянь із двома змінними зводиться до пошуку координат загальних точок графіків рівнянь.
Графік лінійної функції є пряма. Дві прямі на площині можуть перетинатися в одній точці, бути паралельними або збігатися. Відповідно, система рівнянь може: а) мати єдине рішення; б) не мати рішень; в) мати безліч рішень.
2) Рішенням системи рівнянь є точка (якщо рівняння є лінійними) перетину графіків.
Графічний розв'язок системи
Метод запровадження нових змінних
Заміна змінних може призвести до вирішення простішої системи рівнянь, ніж вихідна.
Розглянемо рішення системи
Введемо заміну, тоді
Переходимо до початкових змінних
Особливі випадки
Не вирішуючи системи лінійних рівнянь, можна визначити кількість її рішень за коефіцієнтами за відповідних змінних.
В даному випадку зручно з другого рівняння системи виразити x через y і підставити отриманий вираз замість x у перше рівняння:
Перше рівняння – рівняння з однією змінною y. Вирішуємо його:
5(7-3y)-2y = -16
Отримане значення y підставляємо у вираз x:
Відповідь: (-2; 3).
У цій системі простіше з першого рівняння виразити y через x і підставити отриманий вираз замість y до другого рівняння:
Друге рівняння – рівняння з однією змінною x. Вирішимо його:
3x-4(-1,5-3,5x)=23
У вираз для y замість x підставляємо x=1 і знаходимо y:
Відповідь: (1; -5).
Тут зручніше з другого рівняння виразити y через x (оскільки ділити на 10 простіше, ніж 4, -9 чи 3):
Вирішуємо перше рівняння:
4x-9 (1,6-0,3x) = -1
4x-14,4+2,7x=-1
Підставляємо x=2 і знаходимо y:
Відповідь: (2; 1).
Перш ніж застосувати метод підстановки, цю систему слід спростити. Обидві частини першого рівняння можна помножити на найменший загальний знаменник, у другому рівнянні розкриваємо дужки та наводимо такі складові:
Отримали систему лінійних рівнянь із двома змінними. Тепер застосуємо підстановку. Зручно з другого рівняння виразити a через b:
Вирішуємо перше рівняння системи:
3(21,5 + 2,5b) - 7b = 63
Залишилось знайти значення a:
Відповідно до правил оформлення, відповідь записуємо у круглих дужках через крапку з комою в алфавітному порядку.
Відповідь: (14; -3).
Висловлюючи одну змінну через іншу, іноді зручніше залишати її з деяким коефіцієнтом.
