Гравець і квадратний корінь з ікс. Функція y = корінь квадратний із x, її властивості та графік. Урок та презентація на тему: "Графік функції квадратного кореня. Область визначення та побудова графіка"
Урок та презентація на тему: "Графік функції квадратного кореня. Область визначення та побудова графіка"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Електронний навчальний посібник до підручника Мордковича О.Г.
Електронний робочий зошит з алгебри для 8 класу
Графік функції квадратного кореня
Діти, з побудовою графіків функцій ми з вами вже зустрічалися, і не раз. Ми будували безліч лінійних функцій і парабол. Загалом будь-яку функцію зручно записати, як $y=f(x)$. Це рівняння з двома змінними – для кожного значення x ми отримуємо y. Виконавши деяку задану операцію f, ми відображаємо безліч можливих x на безліч y. Як функцію f ми можемо записувати практично будь-яку математичну операцію.Зазвичай при побудові графіків функцій ми користуємося таблицею, де записуємо значення х і у. Наприклад, для функції $y=5x^2$ зручно використовувати таку таблицю: Відзначимо отримані точки на декартовій системі координат і акуратно з'єднаємо їх гладкою кривою. Наша функція не обмежена. Тільки цими точками ми можемо підставити будь-яке значення х із заданої області визначення, тобто тих х, у яких вираз має сенс.
На одному з минулих уроків ми вивчили нову операцію вилучення кореня квадратного. Виникає питання, а чи можемо ми, використовуючи цю операцію, поставити якусь функцію та побудувати її графік? Скористаємося загальним виглядом функції $y=f(x)$. y їх залишимо на своєму місці, а замість f введемо операцію кореня квадратного: $y=\sqrt(x)$.
Знаючи математичну операцію, ми змогли встановити функцію.
Побудова графіка функції квадратного кореня
Давайте побудуємо графік цієї функції. Виходячи з визначення квадратного кореня, ми можемо обчислювати його тільки з невід'ємних чисел, тобто $x≥0$.Складемо таблицю:
Зазначимо наші точки на координатній площині.
Нам залишилося акуратно поєднати отримані точки.
Діти, зверніть увагу: якщо графік нашої функції повернути на бік, то вийде ліва гілка параболи. Насправді, якщо рядки в таблиці значень поміняти місцями (верхній рядок з нижньою), то у нас виходити значення якраз для параболи.
Область визначення функції $y=\sqrt(x)$
Використовуючи графік функції, властивості описати досить просто.1. Область визначення: $$.
б) $$.
Рішення.
Ми можемо вирішити наш приклад двома способами. У кожній букві опишемо різні способи.
А) Повернемося до графіка функції, побудованого вище, і відзначимо потрібні точки відрізка. Добре видно, що з $х=9$ функція більше від інших значень. Значить і найбільше значення вона досягає у цій точці. При $х=4$ значення функції нижче від інших точок, отже, тут і є найменше значення.
$y_(найб)=\sqrt(9)=3$, $y_(найм)=\sqrt(4)=2$.
Б) Ми знаємо, що наша функція зростає. Значить кожному більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Найбільше та найменше значення досягаються на кінцях відрізка:
$y_(найб)=\sqrt(11)$, $y_(найм)=\sqrt(2)$.
приклад 2.
Вирішити рівняння:
$ \ sqrt (x) = 12-x $.
Рішення.
Найпростіше побудувати два графіки функції та знайти їх точку перетину.
На графіку добре видно точку перетину з координатами $ (9; 3) $. Отже, $х=9$ - рішення нашого рівняння.
Відповідь: $ х = 9 $.
Хлопці, а чи можемо ми бути впевнені, що більше рішень цей приклад не має? Одна з функцій зростає, інша – зменшується. У загальному випадку вони або не мають спільних точок або перетинаються тільки в одній.
приклад 3.
Побудувати та прочитати графік функції:
$\begin (cases) -x, x 9. \end (cases)$
Нам потрібно побудувати три приватні графіки функції, кожен на своєму проміжку.
Опишемо властивості нашої функції:
1. Область визначення: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ при $х=0$ і $х=12$; $у>0$ при $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Функція зменшується на відрізках $(-∞;0)U(9;+∞)$. Функція зростає на відрізку $ (0; 9) $.
4. Функція безперервна по всій області визначення.
5. Найбільшого та найменшого значення немає.
6. Область значень: $(-∞;+∞)$.
Завдання для самостійного вирішення
1. Знайти найбільше та найменше значення функції кореня квадратного на відрізку:а) $$;
б) $$.
2. Вирішити рівняння: $ sqrt (x) = 30-x $.
3. Побудувати та прочитати графік функції: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Побудувати та прочитати графік функції: $y=\sqrt(-x)$.
Ви шукали x корінь з x так само? . Докладне рішення з описом та поясненнями допоможе вам розібратися навіть із найскладнішим завданням і x корінь із y, не виняток. Ми допоможемо вам підготуватися до домашніх робіт, контрольних, олімпіад, а також до вступу до вузу.
І який би приклад, якого б запиту з математики ви не ввели - у нас вже є рішення.
Наприклад, "x корінь з x одно".
Застосування різних математичних завдань, калькуляторів, рівнянь та функцій широко поширене у нашому житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Математику людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Однак зараз наука не стоїть на місці і ми можемо насолоджуватися плодами її діяльності, такими, наприклад, як онлайн-калькулятор, який може вирішити завдання, такі, як x корінь з x рівно, x корінь з y, корінь з x, корінь з х дорівнює х, корінь з х дорівнює х, корінь х дорівнює х, функція y корінь з мінус x, функція y мінус корінь з x, х корінь y, х корінь з х дорівнює. На цій сторінці ви знайдете калькулятор, який допоможе вирішити будь-яке питання, у тому числі і x корінь з x. (наприклад, корінь із x).
Де можна вирішити будь-яке завдання з математики, а також x корінь з x дорівнює Онлайн?
Вирішити завдання x корінь з x одно ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити онлайн завдання будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як правильно ввести ваше завдання на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у чаті знизу зліва на сторінці калькулятора.
Головні цілі:
1) сформувати уявлення про доцільність узагальненого дослідження залежностей реальних величин на прикладі величин, пов'язаних ставленням у=
2) формувати здатність до побудови графіка у = та його властивості;
3) повторити та закріпити прийоми усних та письмових обчислень, зведення у квадрат, вилучення квадратного кореня.
Устаткування демонстраційний матеріал: роздатковий матеріал.
1. Алгоритм:
2. Зразок для виконання завдання у групах:
3. Зразок для самоперевірки самостійної роботи:
4. Картка для етапу рефлексії:
1) Я зрозумів, як побудувати графік функції у =.
2) Я можу за графіком перерахувати його властивості.
3) Я не припустився помилок у самостійній роботі.
1. Самовизначення до навчальної діяльності
Мета етапу:
1) включити учнів до навчальної діяльності;
2) визначити змістовні рамки уроку: продовжуємо працювати з дійсними числами.
Організація навчального процесу на етапі 1:
– Що ми вивчали на минулому уроці? (Ми вивчали безліч дійсних чисел, дії з ними, побудували алгоритм для опису властивостей функції, повторювали функції, вивчені в 7 класі).
– Сьогодні ми продовжимо працювати з безліччю дійсних чисел, функцією.
2. Актуалізація знань та фіксація труднощів у діяльності
Мета етапу:
1) актуалізувати навчальний зміст, необхідний та достатній для сприйняття нового матеріалу: функція, незалежна змінна, залежна змінна, графіки
y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2 , y = - x 2
2) актуалізувати розумові операції, необхідні та достатні для сприйняття нового матеріалу: порівняння, аналіз, узагальнення;
3) зафіксувати всі повторювані поняття та алгоритми у вигляді схем та символів;
4) зафіксувати індивідуальне складне становище у діяльності, демонструє на особистісно значному рівні недостатність наявних знаний.
Організація навчального процесу на етапі 2:
1. Давайте пригадаємо, як можна задати залежності між величинами? (за допомогою тексту, формули, таблиці, графіка)
2. Що називається функцією? (Залежність між двома величинами, де кожному значенню однієї змінної відповідає єдине значення іншої змінної y = f(x)).
Як називається х? (Незалежна змінна – аргумент)
Як називається у? (Залежна змінна).
3. У 7-му класі ми вивчили функції? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,).
Індивідуальне завдання:
Що є графіком функцій y = kx + m, y = x 2, y =?
3. Виявлення причин труднощів та постановка мети діяльності
Мета етапу:
1) організувати комунікативну взаємодію, під час якої виявляється і фіксується відмінна властивість завдання, що спричинило складне становище у навчальній діяльності;
2) узгодити мету та тему уроку.
Організація навчального процесу на етапі 3:
– Що особливого у цьому завданні? (Залежність задана формулою y = з якою ми ще зустрічалися).
- Яка мета уроку? (Познайомитися з функцією y = , її властивостями та графіком. Функцією у таблиці визначати вид залежності, будувати формулу та графік.)
– Чи можна сформулювати тему уроку? (Функція у=, її властивості та графік).
– Запишіть тему у зошиті.
4. Побудова проекту виходу із скрути
Мета етапу:
1) організувати комунікативну взаємодію для побудови нового способу дії, що усуває причину виявленої скрути;
2) зафіксувати новий спосіб дії у знаковій, вербальній формі та за допомогою еталона.
Організація навчального процесу на етапі 4:
Роботу на етапі можна організувати за групами, запропонувавши групам побудувати графік y = , потім проаналізувати результати. Також групам можна запропонувати алгоритмом описати властивості цієї функції.
5. Первинне закріплення у зовнішній мові
Мета етапу: зафіксувати вивчений навчальний зміст у зовнішній мові.
Організація навчального процесу на етапі 5:
Побудуйте графік у = - та опишіть його властивості.
Властивості у = -.
1.Область визначення функції.
2.Область значень функції.
3. y = 0, y> 0, y<0.
y = 0, якщо x = 0.
y<0, если х(0;+)
4.Зростання, зменшення функції.
Функція зменшується при х.
Побудуємо графік у =.
Виділимо його частину на відрізку. Зауважимо, що у найм. = 1 при х = 1, а в найб. =3 при x = 9.
Відповідь: у найм. = 1, у найб. =3
6. Самостійна робота із самоперевіркою за зразком
Мета етапу: перевірити своє вміння застосовувати новий навчальний зміст у типових умовах на основі зіставлення свого рішення з еталоном для самоперевірки.
Організація навчального процесу на етапі 6:
Учні виконують завдання самостійно, проводять самоперевірку за зразком, аналізують, виправляють помилки.
Побудуємо графік у =.
За допомогою графіка знайдіть найменше та найбільше значення функції на відрізку.
7. Включення в систему знань та повторення
Мета етапу: тренувати навички використання нового змісту разом із раніше вивченим: 2) повторити навчальний зміст, який буде потрібно наступних уроках.
Організація навчального процесу на етапі 7:
Розв'яжіть графічно рівняння: = х – 6.
Один учень біля дошки решта у зошитах.
8. Рефлексія діяльності
Мета етапу:
1) зафіксувати новий зміст, вивчений на уроці;
2) оцінити свою діяльність на уроці;
3) подякувати однокласникам, які допомогли отримати результат уроку;
4) зафіксувати невирішені труднощі як напрями майбутньої навчальної діяльності;
5) обговорити та записати домашнє завдання.
Організація навчального процесу на етапі 8:
- Хлопці, яка ціль стояла сьогодні перед нами? (Вивчити функцію у=, її властивості та графік).
– Які знання нам допомогли досягти мети? (Уміння шукати закономірності, вміння читати графіки.)
– Проаналізуйте свою діяльність на уроці. (Картки з рефлексією)
Домашнє завдання
п. 13 (наприклад, 2) № 13.3, 13.4
Розв'яжіть графічно рівняння.
Наведено основні властивості статечної функції, включаючи формули та властивості коренів. Представлені похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд і подання за допомогою комплексних чисел статечної функції.
ЗмістСтупінна функція, y = x p, з показником p має такі властивості:
(1.1)
визначена і безперервна на безлічі
при ,
при;
(1.2)
має безліч значень
при ,
при;
(1.3)
строго зростає при ,
суворо зменшується при ;
(1.4)
при;
при;
(1.5)
;
(1.5*)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.7*)
;
(1.8)
;
(1.9)
.
Доказ властивостей наводиться на сторінці «Ступінна функція (доказ безперервності та властивостей)»
Коріння - визначення, формули, властивості
Корінь із числа x ступеня n - це число, зведення якого в ступінь n дає x:.
Тут n = 2, 3, 4, ... - Натуральне число, більше одиниці.
Також можна сказати, що корінь у складі x ступеня n - це корінь (тобто рішення) рівняння
.
Зауважимо, що функція є зворотною до функції .
Квадратний корінь у складі x - це корінь ступеня 2: .
Кубічний корінь у складі x - це корінь ступеня 3: .
Парний ступінь
Для парних ступенів n = 2 m, корінь визначений за x ≥ 0
.
.
Часто використовується формула, справедлива як для позитивних, так і для негативних x:
.
Для квадратного кореня:
Тут важливий порядок, у якому виконуються операції - тобто спочатку виробляється зведення у квадрат, у результаті виходить неотрицательное число, та був із нього витягується корінь (з неотрицательного числа можна витягувати квадратний корінь). Якби змінили порядок: , то за негативних x корінь було б визначено, разом із не визначено і весь вираз.
Непарний ступінь
;
.
Для непарних ступенів корінь визначений для всіх x :
Властивості та формули коріння
.
Корінь з x є статечною функцією: 0
При x ≥
;
;
,
;
.
мають місце такі формули:
Ці формули можуть бути застосовні і за негативних значеннях змінних .
Потрібно лише стежити, щоб підкорене вираз парних ступенів був негативним.
Приватні значення
Корінь 0 дорівнює 0: .
Корінь 1 дорівнює 1: .
Квадратний корінь 0 дорівнює 0: .
Квадратний корінь 1 дорівнює 1: .
.
приклад. Корінь з коріння
.
Розглянемо приклад квадратного кореня з коріння:
.
Перетворимо внутрішній квадратний корінь, застосовуючи наведені вище формули:
.
Тепер перетворимо вихідний корінь:
Отже,
y = x p при різних значеннях показника p.
Зворотною для статечної функції з показником p є статечна функція з показником 1/p.
Якщо то .
Похідна статечної функції
Похідна n-го порядку:
;
Висновок формул > > >
Інтеграл від статечної функції
P ≠ - 1
;
.
Розкладання в статечний ряд
При - 1
< x < 1
має місце наступне розкладання:
Вирази через комплексні числа
Розглянемо функцію комплексного змінного z:
f (z) = z t.
Виразимо комплексну змінну z через модуль r та аргумент φ (r = |z|):
z = r e i φ.
Комплексне число t представимо у вигляді дійсної та уявної частин:
t = p + i q.
Маємо:
Далі врахуємо, що аргумент φ визначено неоднозначно:
,
Розглянемо випадок, коли q = 0
, Тобто показник ступеня - дійсне число, t = p.
.
Тоді
.
Якщо p – ціле, те й kp – ціле. Тоді, через періодичність тригонометричних функцій:
Тобто показова функція при цілому показнику ступеня для заданого z має тільки одне значення і тому є однозначною. Якщо p - ірраціональне, то твори kp за жодного k не дають цілого числа. Оскільки k пробігає нескінченний ряд значень k = 0, 1, 2, 3, ... , то функція z p має нескінченно багато значень. Щоразу, коли аргумент z отримує приріст 2 π
(один оборот), ми переходимо на нову галузь функції.
Якщо p - раціональне, то його можна подати у вигляді: , де m, n
.
- Цілі, що не містять спільних дільників. Тоді Перші n величин при k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1
.
, дають n різних значень kp: Однак наступні величини дають значення, що відрізняються від попередніх на ціле число. Наприклад, при k = k 0 + n
.
маємо: Тригонометричні функції, аргументи яких різняться на величини, кратні 2 π Перші n величин при k = k.
мають рівні значення. Тому при подальшому збільшенні ми отримуємо ті ж значення z p , що і для k = k Тригонометричні функції, аргументи яких різняться на величини, кратніТаким чином, показова функція з раціональним показником ступеня є багатозначною та має n значень (гілок). Щоразу, коли аргумент z отримує приріст
(один оборот), ми переходимо на нову галузь функції. Через n таких оборотів ми повертаємось на першу гілку, з якої починався відлік. Зокрема, корінь ступеня n має значення n. Як приклад розглянемо корінь n-го ступеня дійсного позитивного числа z = x.,
.
.
У цьому випадку φ 2
,
.
0 = 0, z = r = | z | = x Так, для квадратного кореня, n =Для парних k, (-1) k = 1.
.
Для непарних k,
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
Де можна вирішити будь-яке завдання з математики, а також x корінь з x дорівнює Онлайн?
Вирішити завдання x корінь з x одно ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити онлайн завдання будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як правильно ввести ваше завдання на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у чаті знизу зліва на сторінці калькулятора.
Головні цілі:
1) сформувати уявлення про доцільність узагальненого дослідження залежностей реальних величин на прикладі величин, пов'язаних ставленням у=
2) формувати здатність до побудови графіка у = та його властивості;
3) повторити та закріпити прийоми усних та письмових обчислень, зведення у квадрат, вилучення квадратного кореня.
Устаткування демонстраційний матеріал: роздатковий матеріал.
1. Алгоритм:
2. Зразок для виконання завдання у групах:
3. Зразок для самоперевірки самостійної роботи:
4. Картка для етапу рефлексії:
1) Я зрозумів, як побудувати графік функції у =.
2) Я можу за графіком перерахувати його властивості.
3) Я не припустився помилок у самостійній роботі.
1. Самовизначення до навчальної діяльності
Мета етапу:
1) включити учнів до навчальної діяльності;
2) визначити змістовні рамки уроку: продовжуємо працювати з дійсними числами.
Організація навчального процесу на етапі 1:
– Що ми вивчали на минулому уроці? (Ми вивчали безліч дійсних чисел, дії з ними, побудували алгоритм для опису властивостей функції, повторювали функції, вивчені в 7 класі).
– Сьогодні ми продовжимо працювати з безліччю дійсних чисел, функцією.
2. Актуалізація знань та фіксація труднощів у діяльності
Мета етапу:
1) актуалізувати навчальний зміст, необхідний та достатній для сприйняття нового матеріалу: функція, незалежна змінна, залежна змінна, графіки
y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2 , y = - x 2
2) актуалізувати розумові операції, необхідні та достатні для сприйняття нового матеріалу: порівняння, аналіз, узагальнення;
3) зафіксувати всі повторювані поняття та алгоритми у вигляді схем та символів;
4) зафіксувати індивідуальне складне становище у діяльності, демонструє на особистісно значному рівні недостатність наявних знаний.
Організація навчального процесу на етапі 2:
1. Давайте пригадаємо, як можна задати залежності між величинами? (за допомогою тексту, формули, таблиці, графіка)
2. Що називається функцією? (Залежність між двома величинами, де кожному значенню однієї змінної відповідає єдине значення іншої змінної y = f(x)).
Як називається х? (Незалежна змінна – аргумент)
Як називається у? (Залежна змінна).
3. У 7-му класі ми вивчили функції? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,).
Індивідуальне завдання:
Що є графіком функцій y = kx + m, y = x 2, y =?
3. Виявлення причин труднощів та постановка мети діяльності
Мета етапу:
1) організувати комунікативну взаємодію, під час якої виявляється і фіксується відмінна властивість завдання, що спричинило складне становище у навчальній діяльності;
2) узгодити мету та тему уроку.
Організація навчального процесу на етапі 3:
– Що особливого у цьому завданні? (Залежність задана формулою y = з якою ми ще зустрічалися).
- Яка мета уроку? (Познайомитися з функцією y = , її властивостями та графіком. Функцією у таблиці визначати вид залежності, будувати формулу та графік.)
– Чи можна сформулювати тему уроку? (Функція у=, її властивості та графік).
– Запишіть тему у зошиті.
4. Побудова проекту виходу із скрути
Мета етапу:
1) організувати комунікативну взаємодію для побудови нового способу дії, що усуває причину виявленої скрути;
2) зафіксувати новий спосіб дії у знаковій, вербальній формі та за допомогою еталона.
Організація навчального процесу на етапі 4:
Роботу на етапі можна організувати за групами, запропонувавши групам побудувати графік y = , потім проаналізувати результати. Також групам можна запропонувати алгоритмом описати властивості цієї функції.
5. Первинне закріплення у зовнішній мові
Мета етапу: зафіксувати вивчений навчальний зміст у зовнішній мові.
Організація навчального процесу на етапі 5:
Побудуйте графік у = - та опишіть його властивості.
Властивості у = -.
1.Область визначення функції.
2.Область значень функції.
3. y = 0, y> 0, y<0.
y = 0, якщо x = 0.
y<0, если х(0;+)
4.Зростання, зменшення функції.
Функція зменшується при х.
Побудуємо графік у =.
Виділимо його частину на відрізку. Зауважимо, що у найм. = 1 при х = 1, а в найб. =3 при x = 9.
Відповідь: у найм. = 1, у найб. =3
6. Самостійна робота із самоперевіркою за зразком
Мета етапу: перевірити своє вміння застосовувати новий навчальний зміст у типових умовах на основі зіставлення свого рішення з еталоном для самоперевірки.
Організація навчального процесу на етапі 6:
Учні виконують завдання самостійно, проводять самоперевірку за зразком, аналізують, виправляють помилки.
Побудуємо графік у =.
За допомогою графіка знайдіть найменше та найбільше значення функції на відрізку.
7. Включення в систему знань та повторення
Мета етапу: тренувати навички використання нового змісту разом із раніше вивченим: 2) повторити навчальний зміст, який буде потрібно наступних уроках.
Організація навчального процесу на етапі 7:
Розв'яжіть графічно рівняння: = х – 6.
Один учень біля дошки решта у зошитах.
8. Рефлексія діяльності
Мета етапу:
1) зафіксувати новий зміст, вивчений на уроці;
2) оцінити свою діяльність на уроці;
3) подякувати однокласникам, які допомогли отримати результат уроку;
4) зафіксувати невирішені труднощі як напрями майбутньої навчальної діяльності;
5) обговорити та записати домашнє завдання.
Організація навчального процесу на етапі 8:
- Хлопці, яка ціль стояла сьогодні перед нами? (Вивчити функцію у=, її властивості та графік).
– Які знання нам допомогли досягти мети? (Уміння шукати закономірності, вміння читати графіки.)
– Проаналізуйте свою діяльність на уроці. (Картки з рефлексією)
Домашнє завдання
п. 13 (наприклад, 2) № 13.3, 13.4
Розв'яжіть графічно рівняння.
