Чи можна ділити на. Чи можна ділити на нуль? Відповідає математик. Коли з'явився нуль

«Ділити на нуль не можна!» - більшість школярів заучивает це правило напам'ять, що не переймаючись питаннями. Всі діти знають, що таке «не можна» і що буде, якщо у відповідь на нього запитати: «Чому?» Але ж насправді дуже цікаво і важливо знати, чому ж не можна.

Вся справа в тому, що чотири дії арифметики - додавання, віднімання, множення і ділення - насправді нерівноправні. Математики визнають повноцінними тільки два з них - додавання і множення. Ці операції і їх властивості включаються в саме визначення поняття числа. Всі інші дії будуються тим чи іншим чином з цих двох.

Розглянемо, наприклад, віднімання. Що значить 5 - 3? Школяр відповість на це просто: треба взяти п'ять предметів, відняти (прибрати) три з них і подивитися, скільки залишиться. Але ось математики дивляться на цю задачу зовсім по-іншому. Немає ніякого віднімання, є тільки складання. Тому запис 5 - 3 означає таке число, яке при додаванні з числом 3 дасть число 5. Тобто 5 - 3 - це просто скорочений запис рівняння: x + 3 \u003d 5. У цьому рівнянні немає ніякого віднімання. Є тільки завдання - знайти підходяще число.

Точно так само йде справа з множенням і діленням. Запис 8: 4 можна розуміти як результат поділу восьми предметів за чотирма рівним купках. Але в дійсності, це просто скорочена форма запису рівняння 4 x \u003d 8.

Ось тут-то і стає ясно, чому не можна (а точніше неможливо) ділити на нуль. Запис 5: 0 - це скорочення від 0 x \u003d 5. Тобто це завдання знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть 5. Але ми знаємо, що при множенні на 0 завжди виходить 0. Це невід'ємна властивість нуля, строго кажучи, частина його визначення.

Такого числа, яке при множенні на 0 дасть щось крім нуля, просто не існує. Тобто наше завдання не має рішення. (Так, таке буває, не у всякої завдання є рішення.) А значить, записи 5: 0 не відповідає ніякого конкретного числа, і вона просто нічого не означає, і тому не має сенсу. Безглуздість цього запису коротко висловлюють, кажучи, що на нуль ділити не можна.

Найбільш уважні читачі в цьому місці неодмінно запитають: а чи можна нуль ділити на нуль? Справді, адже рівняння 0 x \u003d 0 благополучно вирішується. Наприклад, можна взяти x \u003d 0, і тоді отримуємо 0 0 \u003d 0. Виходить, 0: 0 \u003d 0? Але не будемо поспішати. Спробуємо взяти x \u003d 1. Отримаємо 0 1 \u003d 0. Правильно? Значить, 0: 0 \u003d 1? Але ж так можна взяти будь-яке число і отримати 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317 і т. Д.

Але якщо підходить будь-яке число, то у нас немає ніяких підстав зупинити свій вибір на якомусь одному з них. Тобто ми не можемо сказати, якого числа відповідає запис 0: 0. А раз так, то ми змушені визнати, що цей запис теж не має сенсу. Виходить, що на нуль не можна ділити навіть нуль. (В математичному аналізі бувають випадки, коли завдяки додатковим умовам завдання можна віддати перевагу одному з можливих варіантів вирішення рівняння 0 x \u003d 0; в таких випадках математики говорять про «розкриття невизначеності», але в арифметиці таких випадків не зустрічається.)

Ось така особливість є у операції ділення. А точніше - у операції множення і пов'язаного з нею числа нуль.

Ну, а найбільш допитливі, дочитавши до цього місця, можуть запитати: чому так виходить, що ділити на нуль не можна, а віднімати нуль можна? У певному сенсі, саме з цього питання і починається справжня математика. Відповісти на нього можна тільки познайомившись з формальними математичними визначеннями числових множин і операцій над ними. Це не так вже й складно, але чомусь не вивчається в школі. Зате на лекціях з математики в університеті вас, в першу чергу, будуть вчити саме цьому.

Ще в школі вчителі нам всім намагалися вбити в голову найпростіше правило: «Будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю!», - але все одно навколо нього постійно виникає купа суперечок. Хтось просто запам'ятав правило і не забиває собі голову питанням «чому?». «Не можна і все тут, тому що в школі так сказали, правило є правило!» Хтось може списати полтетраді формулами, доводячи це правило або, навпаки, його нелогічність.

Вконтакте

Хто в підсумку прав

Під час цих суперечок обидві людини, що мають протилежні точки зору, дивляться один на одного, як на барана, і доводять всіма силами свою правоту. Хоча, якщо подивитися на них з боку, то можна побачити не одного, а двох баранів, що упираються один в одного рогами. Різниця між ними лише в тому, що один трохи менш освічений, ніж другий.

Найчастіше, ті, хто вважають це правило невірним, намагаються закликати до логіки ось таким способом:

У мене на столі лежить два яблука, якщо я покладу до них нуль яблук, тобто не покладу жодного, то від цього мої два яблука не зникнуть! Правило нелогічно!

Дійсно, яблука нікуди не зникнуть, але не через те, що правило нелогічно, а тому що тут використано трохи інше рівняння: 2 + 0 \u003d 2. Так що такий умовивід відкинемо відразу - воно нелогічно, хоч і має зворотну мету - закликати до логіки.

Що таке множення

Спочатку правило множення було визначено тільки для натуральних чисел: множення - це кількість, доданий до самого себе певну кількість разів, що має на увазі натуральність числа. Таким чином, будь-яке число з множенням можна звести ось до такого рівняння:

25 × 3 \u003d 75
25 + 25 + 25 = 75
25 × 3 \u003d 25 + 25 + 25

З цього рівняння випливає висновок, що множення - це спрощене додавання.

Що таке нуль

Будь-яка людина з самого дитинства знає: нуль - це порожнеча, дивлячись на те, що ця порожнеча має позначення, вона не несе за собою взагалі нічого. Стародавні східні вчені вважали інакше - вони підходили до питання філософськи і проводили якісь паралелі між порожнечею і нескінченністю і бачили глибокий сенс в цьому числі. Адже нуль, який має значення порожнечі, ставши поруч з будь-яким натуральним числом, примножує його в десять разів. Звідси і всі суперечки з приводу множення - це кількість несе в собі стільки суперечливості, що стає складно не заплутатися. Крім того, нуль постійно використовується для визначення порожніх розрядів в десяткових дробах, це робиться і до, і після коми.

Чи можна множити на порожнечу

Множити на нуль можна, але марно, бо, як не крути, але навіть при множенні негативних чисел все одно буде виходити нуль. Досить просто запам'ятати це найпростіше правило і ніколи більше не задаватися цим питанням. Насправді все простіше, ніж здається на перший погляд. Немає ніяких прихованих смислів і таємниць, як вважали стародавні вчені. Нижче буде приведено саме логічне пояснення, що це множення марно, адже при множенні числа на нього все одно буде виходити один і той же - нуль.

Повертаючись в самий початок, до доводу з приводу двох яблук, 2 помножити на 0 виглядає ось так:

Якщо з'їсти по два яблука п'ять разів, то з'їдено 2 × 5 \u003d 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \u003d 10 яблук
Якщо їх з'їсти по два тричі, то з'їдено 2 × 3 \u003d 2 + 2 + 2 \u003d 6 яблук
Якщо з'їсти по два яблука нуль раз, то не буде з'їдено нічого - 2 × 0 \u003d 0 × 2 \u003d 0 + 0 \u003d 0

Адже з'їсти яблуко 0 раз - це означає не з'їсти жодного. Це буде зрозуміло навіть самому маленькому дитині. Як не крути - вийде 0, двійку або трійку можна замінити абсолютно будь-яким числом і вийде абсолютно те ж саме. А якщо простіше кажучи, то нуль - це нічого, А коли у вас нічого нема, То скільки не множ - все одно буде нуль. Чарівництва не буває, і з нічого не вийде яблуко, навіть при множенні 0 на мільйон. Це найпростіше, зрозуміле і логічне пояснення правила множення на нуль. Людині, далекій від всіх формул і математики буде досить такого пояснення, для того щоб дисонанс в голові розсмоктався, і все встало на свої місця.

розподіл

З усього перерахованого вище випливає й інше важливе правило:

На нуль ділити не можна!

Це правило нам теж з самого дитинства наполегливо вбивають в голову. Ми просто знаємо, що не можна і все, не забиваючи собі голову зайвою інформацією. Якщо вам несподівано поставлять запитання, з якої причини заборонено ділити на нуль, то більшість розгубиться і не зможе чітко відповісти на найпростіше запитання зі шкільної програми, тому що навколо цього правила не ходить стільки суперечок і протиріч.

Все просто зазубрили правило і не ділять на нуль, не підозрюючи, що відповідь криється на поверхні. Додавання, множення, ділення і віднімання - нерівноправні, повноцінні з перерахованого тільки множення і складання, а всі інші маніпуляції з числами будуються з них. Тобто запис 10: 2 є скороченням рівняння 2 * х \u003d 10. Значить, запис 10: 0 таке ж скорочення від 0 * х \u003d 10. Виходить, що поділ на нуль - це завдання знайти число, множачи яке на 0, вийде 10 . А ми вже розібралися, що такого числа не існує, значить, у цього рівняння немає рішення, і воно буде апріорі невірним.

Розповім тобі дозволь,

Щоб не ділив на 0!

Ріж 1 як хочеш, уздовж,

Тільки не діли на 0!

Євген Ширяєв, викладач і керівник Лабораторії математики Політехнічного музею, Розповів «АиФ» про розподіл на нуль:

1. Юрисдикція питання

Погодьтеся, особливу провокативність правилом надає заборона. Як це не можна? Хто заборонив? А як же наші громадянські права?

Ні конституція, ні Кримінальний кодекс, ні навіть статут вашої школи не заперечують проти нас цікавить інтелектуального дії. А значить, заборона не має юридичної сили, і ніщо не заважає прямо тут, на сторінках "АиФ", спробувати що-небудь розділити на нуль. Наприклад, тисячу.

2. Розділимо, як вчили

Згадайте, коли ви тільки дізналися, як ділити, перші приклади вирішували з перевіркою множенням: результат, помножений на дільник, повинен був співпасти з діленим. Чи не збігся - не вирішили.

Приклад 1. 1000: 0 =...

Забудемо на хвилину про заборонене правило і зробимо кілька спроб вгадати відповідь.

Неправильні відсіче перевірка. Перебирайте варіанти: 100, 1, -23, 17, 0, 10 000. Для кожного з них перевірка дасть один і той же результат:

100 · 0 \u003d 1 · 0 \u003d - 23 · 0 \u003d 17 · 0 \u003d 0 · 0 \u003d 10 000 · 0 \u003d 0

Нуль множенням все перетворює в себе і ніколи - в тисячу. Висновок сформулювати нескладно: ніяке число не пройде перевірку. Т. е. Жодне число не може бути результатом ділення ненульового числа на нуль. Такий поділ не заборонено, а просто не має результату.

3. Нюанс

Трохи не упустили одну можливість спростувати заборона. Так, ми визнаємо, що нульове число не розділиться на 0. Але може бути, сам 0 зможе?

Приклад 2. 0: 0 = ...

Ваші пропозиції для приватного? 100? Будь ласка: приватна 100, помножене на дільник 0, так само делимому 0.

Ще варіанти! 1? Теж підходить. І -23, і 17, і все-все-все. У цьому прикладі перевірка на результат буде позитивною для будь-якого числа. І, по-чесному, рішенням в цьому прикладі треба називати не число, а безліч чисел. Всіх. А так недовго домовитися і до того, що Аліса - це не Аліса, а Мері-Енн, а обидві вони - сон кролика.

4. Що там про вищу математику?

Проблема вирішена, нюанси враховані, крапки розставлені, все прояснилося - відповіддю для прикладу з розподілом на нуль не може бути жодна число. Такі завдання вирішувати - справа безнадійна і неможливе. А значить ... цікаве! Дубль два.

Приклад 3. Придумати, як розділилися 1000 на 0.

А ніяк. Зате 1000 можна без труднощів ділити на інші числа. Ну, давайте хоча б робити те, що виходить, нехай навіть змінивши поставлену задачу. А там, дивись, захоплені, і відповідь сам собою з'явиться. Забуваємо на хвилину про нуль і ділимо на сто:

Сотня далека від нуля. Зробимо крок до нього, зменшивши дільник:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Очевидна динаміка: чим ближче дільник до нуля, тим більше приватне. Тенденцію можна спостерігати і далі, переходячи до дробям і продовжуючи зменшувати чисельник:

Залишилося помітити, що до нуля ми можемо підійти як завгодно близько, роблячи приватне як завгодно великим.

У цьому процесі немає нуля і немає останнього приватного. Ми позначили рух до них, замінивши число на послідовність, що сходиться до цікавого для нас числу:

При цьому мається на увазі аналогічна заміна і для діленого:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Стрілки не дарма поставлені двосторонніми: деякі послідовності можуть сходитися до чисел. Тоді ми можемо поставити у відповідність послідовності її числовий межа.

Подивимося на послідовність приватних:

Вона росте необмежено, не прагнучи ні до якого числа і перевершуючи будь-яке. Математики додають до чисел символ ∞, щоб мати можливість поряд з такою послідовністю поставити двосторонню стрілку:

Зіставлення числах послідовностей, що мають межу, дозволяє запропонувати рішення до третього наприклад:

При поелементному розподілі послідовності, збіжної до 1000, на послідовність з позитивних чисел, що сходиться до 0, отримаємо послідовність, що сходиться до ∞.

5. І тут нюанс з двома нулями

Що буде результатом ділення двох послідовностей позитивних чисел, що сходяться до нуля? Якщо вони однакові, то тотожна одиниця. Якщо до нуля швидше сходиться послідовність-ділене, то в приватному - послідовність з нульовою межею. А коли елементи дільника зменшуються набагато швидше, ніж у ділимо, послідовність приватного буде сильно зростати:

Невизначена ситуація. І так і називається: невизначеність виду 0/0 . Коли математики бачать послідовності, які підходять під таку невизначеність, вони не кидаються ділити два однакових числа один на одного, а розбираються, яка з послідовностей швидше біжить до нуля і як саме. І в кожному прикладі буде свій конкретний відповідь!

6. У житті

Закон Ома пов'язує силу струму, напругу і опір в ланцюзі. Часто його записують в такій формі:

Дозволимо собі знехтувати акуратним фізичним розумінням і формально подивимося на праву частину як на приватне двох чисел. Уявімо, що вирішуємо шкільну задачу з електрики. В умови дано напруга в вольтах і опір в Омасі. Питання очевидний, рішення в одну дію.

А тепер зазирнемо в визначення надпровідності: це властивість деяких металів володіти нульовим електричним опором.

Ну що, вирішимо завдання для надпровідної ланцюги? Просто так підставити R \u003d0 вийде, фізика підкидає цікаву задачу, за якої, очевидно, варто наукове відкриття. І люди, які зуміли поділити на нуль в цій ситуації, отримали Нобелівську премію. Будь-які заборони корисно вміти обходити!

А ось ще цікаве твердження. «Ділити на нуль не можна!» - більшість школярів заучивает це правило напам'ять, що не переймаючись питаннями. Всі діти знають, що таке «не можна» і що буде, якщо у відповідь на нього запитати: «Чому?». Ось що буде, якщо

Але ж насправді дуже цікаво і важливо знати, чому ж не можна.

Точно так само йде справа з множенням і діленням. Запис 8: 4 можна розуміти як результат поділу восьми предметів за чотирма рівним купках. Але в дійсності це просто скорочена форма запису рівняння 4 · x \u003d 8.

Ось тут-то і стає ясно, чому не можна (а точніше неможливо) ділити на нуль. Запис 5: 0 - це скорочення від 0 · x \u003d 5. Тобто це завдання знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть 5. Але ми знаємо, що при множенні на 0 завжди виходить 0. Це невід'ємна властивість нуля, строго кажучи , частина його визначення.

Такого числа, яке при множенні на 0 дасть щось крім нуля, просто не існує. Тобто наше завдання не має рішення. (Так, таке буває, не у всякої завдання є рішення.) А значить, записи 5: 0 не відповідає ніякого конкретного числа, і вона просто нічого не означає і тому не має сенсу. Безглуздість цього запису коротко висловлюють, кажучи, що на нуль ділити не можна.

Найбільш уважні читачі в цьому місці неодмінно запитають: а чи можна нуль ділити на нуль? Справді, адже рівняння 0 · x \u003d 0 благополучно вирішується. Наприклад, можна взяти x \u003d 0, і тоді отримуємо 0 · 0 \u003d 0. Виходить, 0: 0 \u003d 0? Але не будемо поспішати. Спробуємо взяти x \u003d 1. Отримаємо 0 · 1 \u003d 0. Правильно? Значить, 0: 0 \u003d 1? Але ж так можна взяти будь-яке число і отримати 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317 і т. Д.

Але якщо підходить будь-яке число, то у нас немає ніяких підстав зупинити свій вибір на якомусь одному з них. Тобто ми не можемо сказати, якого числа відповідає запис 0: 0. А раз так, то ми змушені визнати, що цей запис теж не має сенсу. Виходить, що на нуль не можна ділити навіть нуль. (В математичному аналізі бувають випадки, коли завдяки додатковим умовам завдання можна віддати перевагу одному з можливих варіантів вирішення рівняння 0 · x \u003d 0; в таких випадках математики говорять про «розкриття невизначеності», але в арифметиці таких випадків не зустрічається.)

Ось така особливість є у операції ділення. А точніше - у операції множення і пов'язаного з нею числа нуль.

Число 0 можна уявити, як певну межу, що відокремлює світ дійсних чисел від уявних або негативних. Завдяки двозначному положенню, багато операцій з цієї числової величиною не підкоряються математичній логіці. Неможливість ділення на нуль - яскравий тому приклад. А дозволені арифметичні дії з нулем можуть бути виконані за допомогою загальноприйнятих визначень.

Історія нуля

Нуль є точкою відліку у всіх стандартних системах числення. Європейці стали використовувати це число порівняно недавно, але мудреці Стародавньої Індії користувалися нулем за тисячу років до того, як пусте число стало регулярно використовуватися європейськими математиками. Ще раніше індійців нуль був обов'язковою величиною в числовий системі майя. Цей американський народ використовував Дванадцяткова систему обчислення, а нулем у них починався перший день кожного місяця. Цікаво, що у майя знак, що позначає «нуль», повністю збігався зі знаком, що визначає «нескінченність». Таким чином, древні майя робили висновок про тотожність і непізнаваності цих величин.

Математичні дії з нулем

Стандартні математичні операції з нулем можна звести до декількох правил.

Додавання: якщо до довільного числа додати нуль, то воно не змінить свого значення (0 + x \u003d x).

Віднімання: при відніманні нуля з будь-якого числа значення від'ємника залишається незмінним (x-0 \u003d x).

Множення: будь-яке число, помножене на 0, дає в творі 0 (a * 0 \u003d 0).

Розподіл: нуль можна розділити на будь-яке число, не рівне нулю. При цьому значення такої дробу буде 0. А поділ на нуль заборонено.

Зведення в ступінь. Цю дію можна виконати з будь-яким числом. Довільне число, зведена в нульову ступінь, дасть 1 (x 0 \u003d 1).

Нуль в будь-якого ступеня дорівнює 0 (0 а \u003d 0).

При цьому відразу виникає протиріччя: вираз 0 0 не має сенсу.

парадокси математики

Про те, що поділ на нуль неможливо, багато хто знає зі шкільної лави. Але пояснити причину такої заборони чомусь не виходить. Справді, чому формула розподілу на нуль не існує, а ось інші дії з цим числом цілком розумні і можливі? Відповідь на це питання дають математики.

Вся справа в тому, що звичні арифметичні дії, які школярі вивчають в початкових класах, насправді далеко не так рівноправні, як нам здається. Всі прості операції з числами можуть бути зведені до двох: додаванню і множенню. Ці дії становлять суть самого поняття числа, а інші операції будуються на використанні цих двох.

Додавання і множення

Візьмемо стандартний приклад на віднімання: 10-2 \u003d 8. У школі його розглядають просто: якщо від десяти предметів відняти два, залишиться вісім. Але математики дивляться на цю операцію зовсім по-іншому. Адже такої операції, як віднімання, для них не існує. Даний приклад можна записати і іншим способом: х + 2 \u003d 10. Для математиків невідома різниця - це просто число, яке потрібно додати до двох, щоб вийшло вісім. І ніякого віднімання тут не потрібно, потрібно просто знайти підходяще числове значення.

Множення і ділення розглядаються так само. У прикладі 12: 4 \u003d 3 можна зрозуміти, що мова йде про поділ восьми предметів на дві рівні купки. Але в дійсності це просто перевернута формула записи 3х4 \u003d 12.Такіе приклади на ділення можна наводити нескінченно.

Приклади на ділення на 0

Ось тут і стає потроху зрозумілим, чому не можна ділити на нуль. Множення і ділення на нуль підпорядковується своїм правилам. Всі приклади на ділення цієї величини можна сформулювати у вигляді 6: 0 \u003d х. Але це ж перевернута запис виразу 6 * х \u003d 0. Але, як відомо, будь-яке число, помножене на 0, дає в творі тільки 0. Це властивість закладено в самому понятті нульовий величини.

Виходить, що такого числа, яке при множенні на 0 дає якусь відчутну величину, не існує, тобто дана задача не має рішення. Такої відповіді боятися не слід, це природний відповідь для задач такого типу. Просто запис 6: 0 не має ніякого сенсу, і вона нічого не може пояснити. Коротко кажучи, цей вислів можна пояснити тим самим безсмертним «поділ на нуль неможливо».

Чи існує операція 0: 0? Дійсно, якщо операція множення на 0 законна, чи можна нуль розділити на нуль? Адже рівняння виду 0х 5 \u003d 0 цілком легально. Замість числа 5 можна поставити 0, твір від цього не зміниться.

Дійсно, 0х0 \u003d 0. Але поділити на 0, як і раніше не можна. Як було сказано, розподіл - це просто зворотна операція множення. Таким чином, якщо в прикладі 0х5 \u003d 0, потрібно визначити другий множник, отримуємо 0х0 \u003d 5. Або 10. Або нескінченність. Розподіл нескінченності на нуль - як вам це сподобається?

Але якщо в вираз підходить будь-яке число, то воно не має сенсу, ми не можемо з нескінченної кількості чисел вибрати якесь одне. А раз так, це означає і вираз 0: 0 не має сенсу. Виходить, що на нуль не можна ділити навіть сам нуль.

Вища математика

Ділення на нуль - це головний біль для шкільної математики. Досліджуваний в технічних вузах математичний аналіз трохи розширює поняття завдань, які не мають рішення. Наприклад, до вже відомим висловом 0: 0 додаються нові, які не мають рішення в шкільних курсах математики:

нескінченність, розділена на нескінченність:?:?;
нескінченність мінус нескінченність: ???;
одиниця, зведена в нескінченну ступінь: 1? ;
нескінченність, помножена на 0:? * 0;
деякі інші.

Елементарними методами вирішити такі вирази неможливо. Але вища математика завдяки додатковим можливостям для ряду подібних прикладів дає кінцеві рішення. Особливо це видно в розгляді завдань з теорії меж.

розкриття невизначеності

В теорії меж значення 0 замінюється умовною нескінченно малої змінною величиною. А вирази, в яких при підставляння потрібного значення виходить розподіл на нуль, перетворюються. Нижче представлений стандартний приклад розкриття межі за допомогою звичайних алгебраїчних перетворень:

Як видно в прикладі, просте скорочення дробу призводить її значення до цілком раціональному відповіді.

При розгляді меж тригонометричних функцій їх вираження прагнуть звести до першого чудовому межі. При розгляді меж, в яких знаменник звертається в 0 при підставляння межі, використовують другий чудовий межа.

метод Лопиталя

У деяких випадках межі виразів можна замінити межею їх похідних. Гійом Лопиталь - французький математик, основоположник французької школи математичного аналізу. Він довів, що межі виразів рівні меж похідних цих виразів. У математичної записи його правило виглядає наступним чином.

В даний час метод Лопиталя з успіхом застосовується при вирішенні невизначеностей типу 0: 0 або?:?.

Як ділити і множити на 0,1; 0,01; 0,001 і т.д.?

Напишіть правила розподілу і множення.

Щоб помножити число на 0.1, потрібно просто перенести кому.

наприклад було 56 , стало 5,6 .

Щоб розділити на це ж число, потрібно перенести кому в протилежну сторону:

наприклад було 56 , стало 560 .

З числом 0,01 все те ж саме, але потрібно перенести на 2 знака, а не на один.

Вообщем скільки нулів, на стільки і переносите.

Наприклад є число 123456789.

Потрібно його помножити на 0.000000001

Нулів в числі 0.000000001 дев'ять (нуль зліва від коми теж вважаємо), значить число 123456789 зрушуємо на 9 розрядів:

Було 123456789 стало 0,123456789.

Щоб не помножити, а розділити на це ж число, зрушує в іншу сторону:

Було 123456789 стало 123456789000000000.

Щоб зрушити так ціле число, просто приписуємо до нього нулик. А в дробовому пересуваємо кому.

Розподіл числа на 0,1 відповідає множенню цього числа на 10

Розподіл числа на 0,01 відповідає множенню цього числа на 100

Розподіл на 0,001 - множенню на 1000.

Щоб легше було запам'ятати - читаємо число, на яке потрібно розділити справа наліво, не звертаючи уваги на кому, і на отримане число множимо.

Приклад: 50: 0,0001. Це все одно що 50 помножити на (читаємо справа наліво без коми - 10000) 10000. Виходить 500000.

Те ж саме з множенням, тільки навпаки:

400 х 0,01 - те ж саме, що розділити 400 на (читаємо справа наліво без коми - 100) 100: 400: 100 \u003d 4.

Кому зручніше переносити при множенні і діленні на такі числа коми вправо при розподілі і вліво при множенні, можна робити і так.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Розподіл на десяткову дріб

I. Щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно перенести коми в подільному і дільнику на стільки цифр вправо, скільки їх стоїть після коми в дільнику, а потім виконати поділ на натуральне число.

Приміри.

Виконати ділення: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Рішення.

приклад 1) 16,38: 0,7.

У дільнику 0,7 після коми стоїть одна цифра, тому, перенесемо коми в подільному і дільнику на одну цифру вправо.

Тоді нам потрібно буде розділити 163,8 на 7 .

Виконаємо поділ за правилом ділення десяткового дробу на натуральне число.

Ділимо так, як ділять натуральні числа. Як знесемо цифру 8 - першу цифру після коми (тобто цифру в розряді десятих), так відразу поставимо в приватному кому і продовжимо розподіл.

Відповідь: 23,4.

приклад 2) 15,6: 0,15.

Переносимо коми в подільному ( 15,6 ) І дільнику ( 0,15 ) На дві цифри вправо, так як в дільнику 0,15 після коми стоять дві цифри.

Пам'ятаємо, що справа до десяткового дробу можна приписати хоч греблю гати нулів, і від цього десяткова дріб не зміниться.

15,6:0,15=1560:15.

Виконуємо ділення натуральних чисел.

Відповідь: 104.

приклад 3) 3,114: 4,5.

Перенесемо коми в подільному і дільнику на одну цифру вправо і розділимо 31,14 на 45 за правилом ділення десяткового дробу на натуральне число.

3,114:4,5=31,14:45.

У приватному поставимо кому відразу, як зносимо цифру 1 в розряді десятих. Потім продовжуємо розподіл.

Щоб закінчити розподіл нам довелося приписати нуль до числа 9 - різниці чисел 414 і 405 . (ми знаємо, що справа до десяткового дробу можна приписувати нулі)

Відповідь: 0,692.

приклад 4) 53,84: 0,1.

Переносимо коми в подільному і дільнику на 1 цифру вправо.

отримуємо: 538,4:1=538,4.

Проаналізуємо рівність: 53,84:0,1=538,4. Звертаємо увагу на кому в подільному в даному прикладі і на кому в отриманому приватному. Помічаємо, що кома в подільному перенесена на 1 цифру вправо, як якщо б ми множили 53,84 на 10. (Дивіться відео «Множення десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т.д.») Звідси правило ділення десяткового дробу на 0,1; 0,01; 0,001 і т.д.

II. Щоб розділити десяткову дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і т. Д., Потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3 і т. Д. Чисел. (Розподіл десяткового дробу на 0,1; 0,01; 0,001 і т. Д. Рівносильно множенню цієї десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т.д.)

Приклади.

Виконати ділення: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Рішення.

приклад 1) 617,35: 0,1.

згідно з правилом II поділ на 0,1 рівносильно множенню на 10 , І кому в подільному перенесемо на 1 цифру вправо:

1) 617,35:0,1=6173,5.

приклад 2) 0,235: 0,01.

розподіл на 0,01 рівносильно множенню на 100 , Значить, кому в подільному перенесемо на 2 цифри вправо:

2) 0,235:0,01=23,5.

приклад 3) 2,7845: 0,001.

Так як поділ на 0,001 рівносильно множенню на 1000 , То перенесемо кому на 3 цифри вправо:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

приклад 4) 26,397: 0,0001.

Розділити десяткову дріб на 0,0001 - це все одно, що помножити її на 10000 (Переносимо кому на 4 цифри вправо). отримуємо:

www.mathematics-repetition.com

Множення і ділення на числа виду 10, 100, 0,1, 0,01

Цей відеоурок доступний за абонементом

У вас вже є абонемент? Увійти

На даному уроці буде розглянуто, як виконувати множення і ділення на числа виду 10, 100, 0,1, 0,001. Також будуть вирішені різні приклади на дану тему.

Множення чисел на 10, 100

Вправа. Як помножити число 25,78 на 10?

Десяткова запис даного числа - це скорочений запис суми. Необхідно розписати її більш детально:

Таким чином, потрібно помножити суму. Для цього можна просто помножити кожний доданок:

Виходить, що.

Можна зробити висновок, що помножити десяткову дріб на 10 дуже просто: потрібно кому зрушити вправо на одну позицію.

Вправа. Помножити 25,486 на 100.

Помножити на 100 - це те ж саме, що і помножити два рази на 10. Іншими словами, необхідно зрушити кому вправо два рази:

Розподіл чисел на 10, 100

Вправа. Розділити 25,78 на 10.

Як і в попередньому випадку, необхідно представити число 25,78 у вигляді суми:

Так як потрібно поділити суму, то це еквівалентно поділу кожного доданка:

Виходить, щоб розділити на 10, потрібно кому тиснути вліво на одну позицію. наприклад:

Вправа. Розділити 124,478 на 100.

Розділити на 100 - це те ж саме, що два рази розділити на 10, тому кома зсувається вліво на 2 позиції:

Правило множення і ділення на 10, 100, 1000

Якщо десяткову дріб потрібно помножити на 10, 100, 1000 і так далі, потрібно кому зрушити вправо на стільки позицій, скільки нулів у множника.

І навпаки, якщо десяткову дріб потрібно поділити на 10, 100, 1000 і так далі, потрібно кому тиснути вліво на стільки позицій, скільки нулів у множника.

Приклади, коли необхідно зрушити кому, а цифр вже не залишилося

Помножити на 100 значить зрушити кому вправо на дві позиції.

Після зсуву можна виявити, що після коми вже немає цифр, а це значить, що дрібна частина відсутня. Тоді і кома не потрібна, число вийшло ціле.

Зрушувати потрібно на 4 позиції вправо. Але цифр після коми всього дві. Варто згадати, що для дробу 56,14 є еквівалентна запис.

Тепер помножити на 10 000 не складає труднощів:

Якщо не дуже зрозуміло, чому можна дописати два нуля до дробу в попередньому прикладі, то додаткове відео за посиланням зможе допомогти в цьому.

Еквівалентні десяткові записи

Запис 52 означає наступне:

Якщо попереду поставити 0, отримаємо запис 052. Ці записи еквівалентні.

Чи можна поставити два нуля попереду? Так, ці записи еквівалентні.

Тепер подивимося на десяткову дріб:

Якщо приписати нуль, то виходить:

Ці записи еквівалентні. Аналогічно можна приписати кілька нулів.

Таким чином, до будь-якого числа можна приписати кілька нулів після дробової частини і кілька нулів перед цілою частиною. Це будуть еквівалентні записи одного і того ж числа.

Так як відбувається розподіл на 100, то необхідно зрушити кому на 2 позиції вліво. Зліва від коми не залишилося цифр. Ціла частина відсутня. Такий запис часто використовують програмісти. В математиці ж, якщо цілої частини немає, то ставлять нуль замість неї.

Зрушувати потрібно вліво на три позиції, але позицій всього дві. Якщо перед числом написати кілька нулів, то це буде еквівалентна запис.

Тобто при зсуві вліво, якщо цифри скінчилися, необхідно заповнити їх нулями.

В даному випадку варто пам'ятати, що кома завжди стоїть після цілої частини. тоді:

Множення і ділення на 0,1, 0,01, 0,001

Множення і ділення на числа 10, 100, 1000 - дуже проста процедура. Точно так само справа йде і з числами 0,1, 0,01, 0,001.

приклад. Помножити 25,34 на 0,1.

Виконаємо запис десяткового дробу 0,1 у вигляді звичайної. Але помножити на - те ж саме, що розділити на 10. Тому необхідно зрушити кому на 1 позицію вліво:

Аналогічно помножити на 0,01 - це розділити на 100:

Приклад. 5,235 розділити на 0,1.

Рішення даного прикладу будується аналогічним чином: 0,1 виражається у вигляді звичайного дробу, а ділити на - це все одно, що помножити на 10:

Тобто щоб поділити на 0,1, потрібно кому зрушити вправо на одну позицію, що рівносильно множенню на 10.

Правило множення і ділення на 0,1, 0,01, 0,001

Помножити на 10 і розділити на 0,1 - це одне і те ж. Кому потрібно зрушити вправо на 1 позицію.

Розділити на 10 і помножити на 0,1 - це одне і те ж. Кому потрібно зрушити вправо на 1 позицію:

рішення прикладів

висновок

На цьому уроці було вивчено правила розподілу і множення на 10, 100 і 1000. Крім того, були розглянуті правила множення і ділення на 0,1, 0,01, 0,001.

Приклади на застосування даних правил були розглянуті і вирішені.

Список літератури

1. Виленкин Н.Я. Математика: навч. для 5 кл. загальноосвітніх. учр. 17-е изд. - М .: Мнемозина, 2005.

2. Шовкун А.В. Текстові завдання з математики: 5-6. - М .: Ілекса, 2011 року.

3. Єршова А.П., Голобородько В.В. Вся шкільна математика в самостійних і контрольних роботах. Математика 5-6. - М .: Ілекса, 2006.

4. Хлевнюк М.М., Іванова М.В .. Формування обчислювальних навичок на уроках математики. 5-9 класи. - М .: Ілекса, 2011 .

1. Інтернет портал «Фестиваль педагогічних ідей» (Джерело)

2. Інтернет портал «Matematika-na.ru» (Джерело)

3. Інтернет портал «School.xvatit.com» (Джерело)

Домашнє завдання

3. Порівняйте значення виразів:

Дії з нулем

В математиці число нуль займає особливе місце. Справа в тому, що воно, по суті справи, означає «ніщо», «порожнечу», однак його значення дійсно важко переоцінити. Для цього достатньо згадати хоча б те, що саме з нульової позначкиі починається відлік координат положення точки в будь-якій системі координат.

нуль широко використовується в десяткових дробах для визначення значень «порожніх» розрядів, які перебувають як до, так і після коми. Крім того, саме з ним пов'язана одна з основних правил арифметики, з якого випливає про те, що на нуль ділити не можна. Його логіка, власне кажучи, випливає з самої суті цього числа: дійсно, неможливо уявити, щоб якась відмінне від нього значення (та й саме воно - теж) було розділено на «ніщо».

З нулем здійснюються всі арифметичні дії, причому в якості його «партнерів» по \u200b\u200bним можуть використовуватися цілі числа, звичайні і десяткові дроби, причому всі вони можуть мати як позитивний, так і негативне значення. Наведемо приклади їх здійснення і деякі пояснення до них.

при додаванні нуля до деякого числа (як цілого, так і до дробового, як до позитивного, так і до негативного) його значення залишається абсолютно незмінним.

Двадцять чотири плюс нуль дорівнює двадцять чотири.

Сімнадцять цілих три восьмих плюс нуль дорівнює сімнадцять цілих три восьмих.

Бланки податкових декларацій Пропонуємо вашій увазі бланки декларації за всіма видами податків і зборів: 1. Податок на прибуток. Увага з 10.02.2014 звіт з податку на прибуток подається за новими зразками декларацій, затверджених наказом Міндоходов № 872 від 30.12.2013.1. 1. Податкова декларація з податку на [...]
Квадрат суми квадрат різниці правила Мета: вивести формули для зведення в квадрат суми і різниці виразів. Плановані результати: навчитися користуватися формулами квадрата суми і квадрата різниці. Тип уроку: урок проблемного викладу. I. Повідомлення теми і мети уроку II. Робота по темі уроку При перемножуванні [...]
Чим відрізняється приватизація квартири з неповнолітніми дітьми від приватизації без дітей? Особливості їх участі, документи Будь-які операції з нерухомістю вимагають пильної уваги учасників. Особливо якщо планується приватизація квартири з неповнолітніми дітьми. Щоб вона була визнана що відбулася, а [...]
Розмір держмита на закордонний паспорт старого зразка на дитину до 14 років і де її заплатити Звернення до державних органів за отриманням будь-якої послуги завжди супроводжується оплатою державного мита. Щоб оформити закордонний паспорт, також необхідно сплатити федеральний збір. Скільки становить розмір [...]
Як заповнити бланк заяви на заміну паспорта в 45 років Паспорти росіян в обов'язковому порядку підлягають заміні при досягненні вікової позначки - 20 або 45 років. Для отримання адміністративної послуги слід подати заяву встановленого зразка, докласти необхідні документи та сплатити державне [...]
Як і де оформити дарчу на частку в квартирі Багато громадян стикаються з такою юридичною процедурою, як дарування нерухомості, що знаходиться в частковій власності. Інформації про те, як оформити дарчу на частку в квартирі правильно, досить багато, і вона не завжди достовірна. Перш ніж починати, [...]