Analitik funktsiyalar yordamida trigonometrik qatorlarni yig'ish. trigonometrik furye qator trigonometrik furye qator

Deyarli har qanday davriy funktsiyani trigonometrik qator deb ataladigan a'zolari oddiy garmonik bo'lgan qator sifatida ko'rsatish mumkinligini ko'rsatamiz.

Ta'rif. Trigonometrik qator shaklning funksional qatoridir

haqiqiy raqamlar qayerda a 0 , a n , b n qator koeffitsientlari deyiladi.

Seriyaning erkin termini keyinchalik olingan formulalarning bir xilligi uchun shaklda yoziladi.

Ikkita savolga javob berish kerak:

1) Funksiyani qanday sharoitlarda bajaradi f(x) 2p davri bilan ketma-ket (5.2.1) kengaytirilishi mumkinmi?

2) Koeffitsientlarni qanday hisoblash mumkin a 0 ,… a n , b n ?

Ikkinchi savoldan boshlaylik. Funktsiyaga ruxsat bering f(x) intervalda uzluksiz va davri bor T=2p. Bizga quyidagi formulalar kerak bo'ladi.

Har qanday butun son uchun, chunki funktsiya juft bo'ladi.

Har qanday butun uchun.

(m va n butun sonlar)

Da ( m va n butun sonlar) (III, IV, V) integrallarning har biri (I) yoki (II) integrallarning yig'indisiga aylantiriladi. Agar bo'lsa, (IV) formulada biz quyidagilarni olamiz:

Tenglik (V) ham xuddi shunday isbotlangan.

Faraz qilaylik, funksiya shunday bo'ldiki, uning uchun Furyening konvergent qatoriga kengayish topildi, ya'ni,

(E'tibor bering, yig'indi indeksdan yuqori n).

Agar qator yaqinlashsa, uning yig'indisini belgilang S(x).

dan berish oralig'ida muddatli integratsiya (ketmalarning yaqinlashuvi taxmini tufayli qonuniydir)

chunki birinchisidan tashqari barcha atamalar nolga teng (I, II munosabatlar). Bu erdan topamiz

(5.2.2) ni () ga ko'paytirish m=1,2,…) va dan gacha boʻlgan oraliqda hadlar boʻyicha integrallash koeffitsientini topamiz a n.

Tenglikning o'ng tomonida bittadan tashqari barcha shartlar nolga teng m=n(IV, V munosabatlar), shuning uchun biz olamiz

(5.2.2) ni () ga ko'paytirish m\u003d 1,2, ...) va dan gacha bo'lgan oraliqda atama bo'yicha integrallash biz ham xuddi shunday koeffitsientni topamiz. b n

Qiymatlar - (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) formulalar bilan aniqlanadigan Furye koeffitsientlari deb ataladi va trigonometrik qator (5.2.2) berilgan funktsiya uchun Furye qatoridir. f(x).

Shunday qilib, biz funktsiyaning parchalanishini oldik f(x) Furye seriyasida

Keling, birinchi savolga qaytaylik va funksiya qanday xususiyatlarga ega bo'lishi kerakligini bilib olaylik f(x), shunday qilib qurilgan Furye qatori yaqinlashadi va qatorlar yig'indisi to'liq teng bo'ladi f(x).

Ta'rif. f(x) funksiya bo'lakcha uzluksiz deyiladi, agar u uzluksiz bo'lsa yoki birinchi turdagi uzilish nuqtalarining cheklangan soniga ega bo'lsa.

Ta'rif. f(x) funktsiyasi, intervalda berilgan deb ataladi qismli monotonik, agar segmentni nuqtalar bo'yicha cheklangan miqdordagi oraliqlarga bo'lish mumkin bo'lsa, ularning har birida funktsiya monoton ravishda o'zgaradi (o'sish yoki kamayish).

Biz funktsiyalarni ko'rib chiqamiz f(x), davrga ega T=2p. Bunday funktsiyalar deyiladi 2p- davriy.

Funksiyaning Furye qatoriga kengayishi uchun yetarli shartni ifodalovchi teoremani tuzamiz.

Dirixlet teoremasi(dalilsiz qabul qiling) . Agar 2p- davriy funktsiya f(x) segmentda bo'lak-bo'lak uzluksiz va parcha-parcha monotonik bo'lsa, u holda funktsiyaga mos keladigan Furye qatori ushbu segmentda yaqinlashadi va bu holda:

1. Funksiyaning uzluksizlik nuqtalarida qatorlar yig‘indisi funksiyaning o‘zi bilan mos tushadi S(x)=f(x);

2. Har bir nuqtada x 0 funksiya uzilishi f(x) qator yig'indisi,

bular. nuqtaning chap va o'ng tomonidagi funksiya chegaralarining o'rtacha arifmetik qiymati x 0 ;

3. Nuqtalarda (segmentning oxirida) Furye qatorining yig‘indisi ,

bular. argument intervalning ichki qismidan ushbu nuqtalarga moyil bo'lganda, segment oxiridagi funktsiyaning chegara qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Eslatma: agar funktsiya f(x) 2p davri bilan butun intervalda uzluksiz va differentsial bo'ladi va uning oraliq oxiridagi qiymatlari tengdir, ya'ni davriylik tufayli bu funktsiya butun real o'qda va har qanday uchun uzluksizdir. X uning Furye seriyasining yig'indisi bilan bir xil f(x).

Shunday qilib, agar funksiya intervalda integrallansa f(x) Dirixlet teoremasining shartlarini qanoatlantirsa, u holda tenglik oraliqda sodir bo'ladi (Furye qatorida kengayish):

Koeffitsientlar (5.2.3) - (5.2.5) formulalar bo'yicha hisoblanadi.

Dirichlet shartlari matematikada va uning qo'llanilishida uchraydigan ko'pgina funktsiyalar tomonidan qondiriladi.

Funksiya qiymatlarini taxminiy hisoblash uchun Furye seriyalari, quvvat seriyalari kabi ishlatiladi. Funktsiyaning kengayishi bo'lsa f(x) ichiga trigonometrik qator sodir bo'ladi, keyin siz har doim foydalanishingiz mumkin taxminiy tenglik , bu funktsiyani bir nechta harmoniklar yig'indisi bilan almashtiring, ya'ni. qisman summa (2 n+1) Furye seriyasining muddati.

Trigonometrik qatorlar elektrotexnikada keng qo'llaniladi, ularning yordami bilan matematik fizikaning ko'plab masalalarini hal qiladi.

(-p; p) oraliqda berilgan 2p davriga ega funktsiyani Furye qatorida kengaytiring.

Yechim. Furye qatorining koeffitsientlarini toping:

Biz Furye seriyasida funktsiyaning kengayishini oldik

Uzluksizlik nuqtalarida Furye qatorining yig'indisi funksiya qiymatiga teng bo'ladi f(x)=S(x), nuqtada x=0 S(x)=1/2, nuqtalarda x=p,2p,… S(x)=1/2.

Eslatib o'tamiz, real tahlilda trigonometrik qator bir nechta yoylarning kosinuslari va sinuslaridagi qatordir, ya'ni. shakl qatori

Biroz tarix. Bunday qatorlar nazariyasining boshlang'ich davri 18-asrning o'rtalariga torli tebranish muammosi bilan bog'liq bo'lib, kerakli funktsiya qatorlar yig'indisi sifatida qidirilgan (14.1). Bunday vakillik imkoniyati haqidagi savol matematiklar orasida bir necha o'n yillar davom etgan qizg'in munozaralarga sabab bo'ldi. Funksiya tushunchasining mazmuni bilan bog'liq bahslar. O'sha paytda funktsiyalar odatda ularning analitik tayinlanishi bilan bog'liq edi, ammo bu erda (14.1) yonidagi funktsiyani ko'rsatish kerak bo'ldi, uning grafigi ancha ixtiyoriy egri chiziqdir. Ammo bu bahslarning ahamiyati kattaroqdir. Aslida, ular matematik tahlilning ko'plab fundamental muhim g'oyalari bilan bog'liq savollarni ko'tardilar.

Kelajakda, xuddi shu dastlabki davrda bo'lgani kabi, trigonometrik qatorlar nazariyasi yangi g'oyalar manbai bo'lib xizmat qildi. Aynan ular bilan bog'liq holda, masalan, to'plam nazariyasi va haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi paydo bo'ldi.

Ushbu yakuniy bobda biz yana bir bor haqiqiy va murakkab tahlilni bog'laydigan, ammo TFCT bo'yicha darsliklarda kam aks ettirilgan materialni ko'rib chiqamiz. Tahlil jarayonida ular oldindan belgilangan funktsiyadan kelib chiqib, uni trigonometrik Furye qatoriga kengaytirdilar. Bu erda biz teskari masalani ko'rib chiqamiz: berilgan trigonometrik qator uchun uning yaqinlashuvi va yig'indisini belgilang. Buning uchun Eyler va Lagrange analitik funktsiyalardan muvaffaqiyatli foydalanganlar. Ko'rinishidan, Eyler birinchi marta (1744) tenglikni qo'lga kiritdi

Quyida biz Eylerning izidan boramiz, o'zimizni faqat seriyalarning maxsus holatlari (14.1), ya'ni trigonometrik qatorlar bilan cheklaymiz.

Izoh. Quyidagi fakt asosan qo'llaniladi: agar ijobiy koeffitsientlar ketma-ketligi bo'lsa a p monotonik ravishda nolga intiladi, keyin bu qatorlar shaklning nuqtalari bo'lmagan har qanday yopiq oraliqda bir xilda yaqinlashadi. 2lx (gZ ga). Xususan, (0,2n -) oraliqda nuqtali yaqinlashuv bo'ladi. Bu haqda ishda qarang, 429-430-betlar.

Eylerning (14.4), (14.5) qatorlarini yig'ish g'oyasi shundan iboratki, z = almashtirishdan foydalangan holda. e a quvvat seriyasiga o'ting

Agar birlik doira ichida uning yig'indisini aniq topish mumkin bo'lsa, u holda muammo odatda undan haqiqiy va xayoliy qismlarni ajratish yo'li bilan hal qilinadi. Biz Eyler usulidan foydalanib, (14.4), (14.5) qatorlarning yaqinligini tekshirish kerakligini ta'kidlaymiz.

Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik. Ko'p hollarda geometrik qator foydali bo'ladi

shuningdek, undan atama bo'yicha differensiallash yoki integratsiya yo'li bilan olingan qatorlar. Masalan,

14.1-misol. Ketma-ket yig‘indisini toping

Yechim. Biz kosinuslar bilan o'xshash qatorni kiritamiz

Ikkala seriya ham hamma joyda birlashadi, chunki geometrik qator 1 + tomonidan kattalashtirilgan r + r 2+.... Taxmin qilib z = e"x, olamiz

Bu erda kasr shaklga keltiriladi

muammoning savoliga javobni qaerdan olamiz:

Yo'lda biz tenglikni o'rnatdik (14.2): 14.2-misol. Yig'indi qatorlar

Yechim. Yuqoridagi izohga ko'ra, ikkala qator ham belgilangan oraliqda yaqinlashadi va ular belgilaydigan funktsiyalar uchun Furye qatori bo'lib xizmat qiladi. f(x) 9 g(x). Bu qanday funktsiyalar? Savolga javob berish uchun Eyler usuliga muvofiq koeffitsientli (14.6) qator tuzamiz. a p= -. rozilik -

lekin tenglikni (14.7) olamiz

Tafsilotlarni qoldirib (o'quvchi ularni takrorlashi kerak), biz logarifm belgisi ostidagi ifodani quyidagicha ifodalash mumkinligini ta'kidlaymiz.

Ushbu ifodaning moduli - ga teng va argument (aniqrog'i, uning asosiy qiymati

• 2sin-

qiymat) teng Shuning uchun In ^ = -ln(2sin

14.3-misol. Da -qatorlarni jamladim

Yechim. Ikkala qator ham hamma joyda yaqinlashadi, chunki ularda konvergent ustunlik qiladi

umumiy a'zoning yonida -! . Qator (14,6)

n (n +1)

bevosita

J_ _\_ __1_

/?(/? +1) P /1 + 1

ns ma'lum miqdorni beradi. Buning asosida biz uni shaklda ifodalaymiz

tenglik

Bu yerda qavs ichidagi ifoda ln(l + z) va kvadrat qavs ichidagi ifoda ^ ^ + ** ^--. Demak,

= (1 + -)ln(1 + z). Hozir

bu yerga qo'yish kerak z = eLX va oldingi misoldagi kabi amallarni bajaring. Tafsilotlarni e'tiborsiz qoldirib, biz buni ta'kidlaymiz

Qavslarni ochish va javobni yozish qoladi. Buni o‘quvchi ixtiyoriga qoldiramiz.

14-bob uchun vazifalar

Quyidagi qatorlar yig‘indisini hisoblang.

• 1.3.1. a) z = 0 va z-- 2;
• b) z = l va z=-1;
• v) z = i va z= - Men.
• 1.3.2. a) 1; 6)0; c) oo.
• 2.1.1. Parabola yoyi, r = da 2 (1;1) nuqtadan (1;- 1) nuqtaga va orqaga yugurish.
• 2.1.2. Boshlash bilan segment a, oxiri b.
• 2.1.3. Iordaniya shakldagi to'g'rilangan yo'l. o'n to'qqiz.

• 2.1.4. parabola yoyi y = x 2 boshlanishi (-1;0), oxiri (1;1) bilan.
• 2.1.5. Aylana dg 2 + (da - 1) 2 = 4.
• 2.2.1. Yarim tekislik Rez > .
• 2.2.2. Ochiq doira C x ""^) 2 + Y 2
• 2.2.3. Parabolaning ichki qismi 2y = 1 - x 2.
• 2.2.4. Shafqatsiz doira (d: - 2) 2 + 2 da
• 2.2.5. Parabolaning ko'rinishi 2x \u003d - y 2.

3.1.a) Agar w=u + iv, keyin va= -r- -v = -^-^.Demak

l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d:) 2

Koordinatalarning kelib chiqishi bu doiradan chiqarib tashlanishi kerak, chunki (m, v) 9* (0; 0) V* e R, ohang va= lim v = 0.

x-yx>.v->oo

• b). Yo'q qilish x,y tenglikdan x + y \u003d l va \u003d x 2 - y, v = 2 xy. Javob: 2v = l-va 2 parabola.
• 3.2. l: = i (l^O) to'g'ri chiziq aylana ichiga kiradi
• (w--) 2 + v 2 = (-) 2 teshilgan nuqta bilan (r/, v) = (0; 0). bilan qo'llang
• 2a 2 a

a = 1, a = 2.

• 3.4. a), b) hollarda "chegaraning yo'qligi belgisi" qo'llaniladi. c) holatda chegara mavjud va 2 ga teng.
• 3.5. Emas. Muvofiq ravishda umumiy atamalar bilan ikkita ketma-ketlikdagi funktsiya chegaralarini ko'rib chiqing

z "=-! + -> z,=-l -

• 4.1. a) hech bir joyda ns farqlanmaydi; b) hamma joyda farqlanadi.
• 4.2. a) chiziqning barcha nuqtalarida hosilaga ega y = x, har birida

ular w = 2x; hech qayerda golomorf emas;

• b) C(0) da golomorf va / = - j.
• 4.3. C da golomorf, V=3z 2.
• 4.4. Tengliklardan / ; (z) = -- + i-/ / (z) = 0 w,v emas degan xulosa kelib chiqadi

Sent St

"t" o'zgaruvchisiga bog'liq. Koshi-Riman shartlari bu funksiyalarning y dan ham mustaqil ekanligini bildiradi.

4.5. Masalan, Re ishini ko'rib chiqaylik f(z) = i(x, y) = const. BILAN

Koshi-Riman shartlaridan foydalanib, bundan Im/(z) = degan xulosaga keling v(x 9y) = const.

• 5.1. a) chunki J=--=- =-* 0(z * -/) va masalaning shartiga ko'ra
• (l-/z) 2 (z+/) 2

hosilaning argumenti nolga teng, u holda uning tasavvur qismi nolga teng, haqiqiy qismi esa musbat. Bu erdan javobni oling: to'g'ridan-to'g'ri da = -X-1 (X * 0).

b) aylana z + i=j2.

• 5.3. Funktsiya nol qiymatga ega emasligini va uning hosilasi hamma joyda mavjudligini va berilgan funktsiyaga teng ekanligini tekshiring.
• 6.1. Tangensning sinusning kosinusga nisbati sifatidagi ta'rifidan shuni isbotlang tg(z + n^-tgz haqiqiy argument qiymatlari bilan. Mayli T boshqa davr tg(z + T) = tgz. Bu yerdan va oldingi tenglikdan gunoh (/r- T)= 0, bundan kelib chiqadi T bir nechta Kimga .
• 6.2. Tengliklardan foydalaning (6.6).
• 6.3. Birinchi formula to'g'ri emas, chunki har doim ham arg(zH ,) = argz + argvv emas (masalan, z = -1, w = -1). Ikkinchi formula ham noto'g'ri. Masalan, z = 2 holatini ko'rib chiqaylik.
• 6.4. Tenglikdan a a = e 01 "0 xulosa qiling, bu erda o'ng tomon |i|« ko'rinishiga ega. , e ca(a^a+2 yak)? sli p r va ba'zi bir xil butun sonlar 19 dan 2 gacha

qavs ichidagi ifoda bir xil ma'noni oldi, keyin ular bo'lar edi

bu irratsionallikka ziddir a .

• 6.5. z \u003d 2? / r- / "ln (8 ± V63).
• 7.1. a) burchak - men w
• b) aylana sektori | w2, | argvr|
• 7.2. Ikkala holatda ham radiusi 1 bo'lgan aylana koordinata boshida joylashgan.
• 7.3. Biz yarim doira chegarasi bo'ylab harakat qilamiz, shunda uning ichki qismi chap tomonda qoladi. Biz belgidan foydalanamiz z = x + yi, w = u + vi. Joylashuv yoqilgan

da= 0, -1 x 1 bizda mavjud va =--e [-1,1]" v = 0. Chegaraning ikkinchi segmentini - yarim doirani ko'rib chiqing. z=yi,tg. Ushbu bo'limda ifoda

shaklga aylantiriladi w=u=-- ,/* -. Orasida. (8.6) ga binoan kerakli integral ga teng

b). Pastki yarim doira tenglamasi shaklga ega z(t) = e“,t e[l, 2n). Formula (8.8) bo'yicha integral ga teng

• 8.2. a). Kerakli integralni segment bo'yicha integrallar yig'indisiga bo'ling O A va segment bo'ylab AB. Ularning tenglamalari mos ravishda z= / + //,/ va bilan

z = t + i,te. Javob: - + - i.

• b). Integratsiya egri chizig'i tenglamasini z = shaklida yozish mumkin e", t € . Keyin Vz ikki xil qiymatga ega, ya'ni,

.1 .t+2/r

e 2, e 2. Masalaning shartlaridan kelib chiqadiki, biz ildizning asosiy qiymati haqida gapiramiz: Vz, ya'ni. ulardan birinchisi haqida. Keyin integral bo'ladi

8.3. Muammoni hal qilishda chizma ataylab berilmaydi, lekin o'quvchi uni to'ldirishi kerak. Berilgan ikkita i, /> e C nuqtalarini bog‘lovchi to‘g‘ri chiziqli segment tenglamasi qo‘llaniladi (a - Boshlash, b - end): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Keling, kerakli integralni to'rtga ajratamiz:

I = I AB + I BC + I CD +1 D.A. Segmentda AB bizda ... bor z- (1 -1) ? 1 +1 /, shuning uchun (8.8) ga ko'ra ushbu segmentdagi integral ga teng

Shunga o'xshash tarzda davom etsak, biz topamiz

• 9.1. a) 2n7; b) 0.
• 9.2. O'zgartirish qiling z = z0 + re 11,0 t2/g.
• 9.3 Funktsiya f(z)=J ba'zi oddiy bog'langanlarda golomorf z-a

o'z ichiga G va ns o'z ichiga olgan D maydoni a. /),/] ga qo'llaniladigan integral teorema bo'yicha kerakli integral nolga teng.

• 9.4. a) 2/n(cosl2 + /sinl2); b) 34l-/.
• 9.5. a) ±2/ birlik nuqtalari berilgan aylana ichida yotadi, shuning uchun integral ga teng bo'ladi.

• b). ±3/ yagona nuqtalari ham aylana ichida yotadi. Yechim shunga o'xshash. Javob: 0.
• 10.1. Funksiyani /(z) = -----use shaklida ifodalang
• 3 1 + -

Geometrik qator 1 + q + q2 (||

• 1 -h
• 10.2. Atamalarni geometrik qatorga qarab ajrating.
• 10.3. a) | z+/1t = z2. Javob: z.
• 11.1. Eksponent va sinusning quvvat kengayishlaridan foydalaning. a) holatda tartib 3 ga, b) holatda esa 2 ga teng.
• 11.2. O'zgaruvchining aniq o'zgarishiga qadar, tenglama bo'lishi mumkin

/(z) = /(-^z) shaklida ifodalaydi. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz buni taxmin qilishimiz mumkin

0 nuqtada markazlashtirilgan funksiyaning Teylor qatorining yaqinlashish radiusi birdan katta. Bizda ... bor:

Funktsiyaning qiymatlari konvergentsiya doirasiga tegishli chegara nuqtasi bo'lgan diskret to'plamda bir xil bo'ladi. Yagonalik teoremasi bo'yicha /(z) = const.

11.3. Istalgan analitik funksiya /(z) mavjud deb faraz qilaylik. Keling, uning qiymatlarini funktsiya bilan taqqoslaylik (z) = z2 to'plamda E,

nuqtalardan iborat z n = - (n = 2,3,...). Ularning ma'nolari bir xil va shundan beri E

berilgan aylanaga tegishli chegara nuqtasiga ega, keyin yagonalik teoremasi bo'yicha /(z) = z 2 berilgan aylananing barcha argumentlari uchun. Lekin bu /(1) = 0 shartiga ziddir. Javob: ns mavjud emas.

• 11.4. Ha, /(*) = -L
• 2 + 1
• 11.5. Hech qanday qarama-qarshilik yo'q, chunki birlik qiymatlarining chegara nuqtasi funktsiya sohasida yotmaydi.
• - 1 1
• 12.1. a) 0; b) 2

  12.2. a). Funksiyani shaklda ifodalang va qavslarni kengaytiring.

  • b). Shartlarni almashtiring, standart kosinus va sinus kengayishlaridan foydalaning.
  • 12.3.
  
  • 12.4. a) 0, ± 1 nuqtalar oddiy qutblar;
  • b) z = 0 - olinadigan nuqta;
  • c) z = 0 mohiyatan birlik nuqtadir.
  • 13.1. a). a = 1, a = 2 nuqtalar integralning qutblaridir. Birinchi (oddiy) qutbga nisbatan qoldiq (13.2) ga muvofiq topiladi, u 1 ga teng. Ikkinchi qutbga nisbatan qoldiq (13.3) formula bo‘yicha u = 2 ko‘paytma tartibi bilan topiladi va -1 ga teng. Qoldiqlarning yig'indisi nolga teng, shuning uchun asosiy qoldiq teoremasi bo'yicha integral nolga teng.
  • b). Ko'rsatilgan uchlari bo'lgan to'rtburchakning ichida uchta

  oddiy qutblar 1,-1,/. Ulardagi qoldiqlar yig'indisi -- ga, integral esa teng

  v). Qutblar orasida 2 Trki(kGZ) integralning faqat ikkitasi berilgan aylana ichida yotadi. Bu 0 va 2 men ikkalasi ham oddiy, ulardagi qoldiqlar teng 1. Javob: 4z7.

  uni 2/r/ ga ko'paytiring. Tafsilotlarni qoldirib, biz javobni ko'rsatamiz: / = -i .

  13.2. a). Keling, e" = z ni qo'yamiz e"idt =dz , dt= - . Xo

  e" - e~" z-z~ x

  sin / =-=-, intefal shaklga tushiriladi

  

  Bu yerda maxraj faktorlarga ajratiladi (z-z,)(z-z 2), bu yerda z, = 3 - 2 V2 / aylana ichida yotadi. da , a z,=3 + 2V2 / yuqorida yotadi. Oddiy z qutbga nisbatan qoldiqni (13.2) va formuladan foydalanib topish qoladi.

  b) . Yuqoridagi kabi faraz qilsak, e" = z , biz intefalni shaklga qisqartiramiz

  

  Subintefal funktsiya uchta oddiy qutbga ega (qaysi biri?). Ulardagi qoldiqlarni hisoblash uchun o'quvchini qoldirib, biz javobni ko'rsatamiz: I= .

  • v) . Subintegral funksiya 2(1--=-) ga teng, kerakli integral
  • 1 + chunki t

  teng 2(^-1- h-dt). Qavs ichidagi integralni / bilan belgilang.

  Cos "/ = - (1 + cos2f) tengligini qo'llasak, / = [- cit .

  a), b) hollarga o‘xshatish bo‘yicha o‘zgartirish kiriting e 2, t = z, integralni shaklga keltiring

  

  bu erda integratsiya egri chizig'i bir xil birlik doirasi. Keyingi argumentlar a) holidagi kabi. Javob: original, qidirilayotgan integral /r(2-n/2) ga teng.

  13.3. a). Yordamchi kompleks integralni ko'rib chiqing

  /(/?)=f f(z)dz, qayerda f(z) = - p-, G (I) - dan tuzilgan kontur

  yarim doiralar y (R): | z |= R> 1, Imz > 0 va barcha diametrlar (chizma qiling). Keling, bu integralni ikki qismga ajratamiz - interval bo'yicha [-/?,/?] va bo'yicha. y (R).

  Ya.

  Sxema ichida faqat oddiy qutblar yotadi z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (186-rasm). Ularning qoldiqlariga nisbatan biz quyidagilarni topamiz:

  Bu integral tugaganligini tekshirish uchun qoladi y(R) sifatida nolga intiladi R. Tengsizlikdan |g + A|>||i|-|/>|| va uchun integralni baholashdan z e y(R) shundan kelib chiqadi

Bir qator hollarda, (C) ko'rinishdagi qatorlar koeffitsientlarini o'rganish orqali yoki bu qatorlar yaqinlashishi (ehtimol, alohida nuqtalar bundan mustasno) va ularning yig'indilari uchun Furye qatorlari ekanligi aniqlanishi mumkin (masalan, oldingi n ° ga qarang). ), lekin bu barcha holatlarda savol tug'ilishi tabiiy

bu qatorlar yig‘indilarini qanday topish yoki aniqrog‘i, agar ular umuman shunday ko‘rinishda ifodalangan bo‘lsa, elementar funksiyalar bo‘yicha yakuniy shaklda qanday ifodalanadi. Hatto Eyler (shuningdek, Lagrange) ham trigonometrik qatorlarni yakuniy shaklda jamlash uchun murakkab o‘zgaruvchining analitik funksiyalaridan muvaffaqiyatli foydalangan. Eyler usulining g'oyasi quyidagicha.

Faraz qilaylik, ma'lum bir koeffitsientlar to'plami uchun (C) qator va faqat alohida nuqtalarni hisobga olmaganda, intervalning hamma joyida funktsiyalarga yaqinlashadi. Endi murakkab o'zgaruvchining darajalarida joylashgan bir xil koeffitsientlarga ega bo'lgan kuch seriyasini ko'rib chiqing

Birlik doirasining aylanasi bo'yicha, ya'ni da, bu qator alohida nuqtalarni hisobga olmaganda, faraz bilan yaqinlashadi:

Bunda darajali qatorlarning ma'lum xususiyatiga ko'ra (5) qator albatta, ya'ni birlik doirasi ichida yaqinlashadi va u erda kompleks o'zgaruvchining ma'lum bir funktsiyasini belgilaydi. Bizga ma'lum bo'lgan foydalanish [qarang. Kompleks o'zgaruvchining elementar funksiyalarini kengaytirishning XII bobning 5-§ ], ko'pincha ularga funktsiyani qisqartirish mumkin.U holda bizda:

va Abel teoremasi bo'yicha, (6) qator yaqinlashishi bilanoq, uning yig'indisi chegara sifatida olinadi.

Odatda bu chegara oddiygina teng bo'lib, bu bizga yakuniy shaklda funktsiyani hisoblash imkonini beradi

Misol uchun, seriya

Oldingi paragrafda isbotlangan bayonotlar ikkala qator bir-biriga yaqinlashadi degan xulosaga olib keladi (birinchi, 0 va punktlardan tashqari)

Ular belgilagan funksiyalar uchun Furye qatori bo‘lib xizmat qiladi, ammo bu funksiyalar nima? Bu savolga javob berish uchun biz bir qator yaratamiz

Logarifmik qatorga o'xshashligi tufayli uning yig'indisi osongina aniqlanadi:

shuning uchun,

Endi oson hisoblash quyidagilarni beradi:

shuning uchun bu ifodaning moduli, argumenti esa.

va nihoyat

Bu natijalar bizga tanish va hatto bir marta "murakkab" mulohazalar yordamida olingan; lekin birinchi holatda biz va funksiyalaridan, ikkinchisida esa analitik funksiyadan boshladik.Bu yerda birinchi marta qatorlarning o‘zi boshlang‘ich nuqta bo‘lib xizmat qildi. O'quvchi keyingi bo'limda shunga o'xshash boshqa misollarni topadi.

Yana bir bor ta'kidlaymizki, yaqinlashish va qatorlar (C) ga oldindan ishonch hosil qilish kerak va ularning yig'indilarini cheklovchi tenglik (7) yordamida aniqlash huquqiga ega bo'lish uchun. Ushbu tenglikning o'ng tomonida chegaraning mavjudligi yuqoridagi qatorlar yaqinlashadi degan xulosaga kelishimizga hali imkon bermaydi. Buni misol bilan ko'rsatish uchun seriyani ko'rib chiqing

Fan va texnologiyada ko'pincha davriy hodisalar bilan shug'ullanish kerak, ya'ni. ma'lum vaqtdan keyin ko'paytiriladiganlar T davr deb ataladi. Davriy funktsiyalarning eng oddiyi (doimiydan tashqari) sinusoidal qiymatdir: asin(x+ ), garmonik tebranish, bu erda nisbat bilan davrga bog'liq "chastota" mavjud: . Bunday oddiy davriy funktsiyalardan murakkabroqlarini tuzish mumkin. Shubhasiz, tarkibiy sinusoidal miqdorlar turli chastotalarda bo'lishi kerak, chunki bir xil chastotali sinusoidal miqdorlarning qo'shilishi bir xil chastotali sinusoidal miqdorga olib keladi. Agar formaning bir nechta qiymatlarini qo'shsak

Masalan, biz bu erda uchta sinusoidal miqdorning qo'shilishini takrorlaymiz: . Ushbu funktsiyaning grafigini ko'rib chiqing

Ushbu grafik sinus to'lqinidan sezilarli darajada farq qiladi. Bu shunday turdagi atamalardan tashkil topgan cheksiz qator yig'indisi uchun yanada to'g'ri keladi. Keling, savol beraylik: davrning ma'lum bir davriy funktsiyasi uchun mumkinmi? T chekli yoki hech bo'lmaganda cheksiz sinusoidal miqdorlarning yig'indisi sifatida ifodalanadi? Ma'lum bo'lishicha, funktsiyalarning katta sinfiga nisbatan bu savolga ijobiy javob berish mumkin, ammo bu faqat bunday atamalarning cheksiz ketma-ketligini aniq o'z ichiga olgan taqdirdagina. Geometrik jihatdan, bu davriy funktsiyaning grafigi sinusoidlar qatorini qo'shish orqali olinadi. Agar har bir sinusoidal qiymatni ma'lum bir garmonik tebranish harakati deb hisoblasak, bu funktsiya yoki oddiygina uning harmoniklari (birinchi, ikkinchi va boshqalar) bilan tavsiflangan murakkab tebranish deb aytishimiz mumkin. Davriy funktsiyaning garmoniklarga parchalanish jarayoni deyiladi garmonik tahlil.

Shuni ta'kidlash kerakki, bunday kengayishlar ko'pincha faqat ma'lum bir chekli oraliqda berilgan va hech qanday tebranish hodisalari tomonidan umuman hosil bo'lmagan funktsiyalarni o'rganishda foydali bo'ladi.

Ta'rif. Trigonometrik qator quyidagi shakldagi qatordir:

Yoki (1).

Haqiqiy sonlar trigonometrik qator koeffitsientlari deyiladi. Bu seriyani ham shunday yozish mumkin:

Agar yuqorida keltirilgan turdagi qator yaqinlashsa, uning yig'indisi 2p davriga ega bo'lgan davriy funktsiyadir.

Ta'rif. Trigonometrik qatorning Furye koeffitsientlari deyiladi: (2)

(3)

(4)

Ta'rif. Funksiya uchun Furye yaqinida f(x) koeffitsientlari Furye koeffitsientlari bo'lgan trigonometrik qator deyiladi.

Funktsiyaning Furye qatori bo'lsa f(x) unga uzluksizlikning barcha nuqtalarida yaqinlashadi, keyin funksiya deymiz f(x) Furye seriyasida kengayadi.

Teorema.(Dirichlet teoremasi) Agar funktsiya davri 2p bo'lsa va segmentda uzluksiz bo'lsa yoki birinchi turdagi chekli sonli uzilish nuqtalariga ega bo'lsa, segmentni cheklangan miqdordagi segmentlarga bo'lish mumkin, shunda funktsiya har birining ichida monotonik bo'ladi. Ulardan, keyin funktsiya uchun Furye seriyasi barcha qiymatlar uchun yaqinlashadi X, funksiyaning uzluksizlik nuqtalarida esa uning yig‘indisi S(x) ga teng va uzilish nuqtalarida uning yig'indisi ga teng, ya'ni. chap va o'ngdagi chegara qiymatlarining arifmetik o'rtachasi.

Bunda funksiyaning Furye qatori f(x) funktsiyaning uzluksizligi oralig'iga tegishli bo'lgan har qanday oraliqda bir xilda yaqinlashadi.

Bu teorema shartlarini qanoatlantiradigan funksiya oraliqda bo'lak-bo'lak silliq deyiladi.

Funksiyani Furye qatorida kengaytirishga misollarni ko‘rib chiqamiz.

1-misol. Funksiyani Furye qatorida kengaytiring f(x)=1-x, davri bor 2p va segmentida berilgan.

Yechim. Keling, ushbu funktsiyani chizamiz

Bu funksiya segmentda, ya'ni davr uzunligi bo'lgan segmentda uzluksizdir, shuning uchun uni ushbu segmentning har bir nuqtasida unga yaqinlashadigan Furye qatoriga kengaytirish mumkin. (2) formuladan foydalanib, ushbu qatorning koeffitsientini topamiz: .

Biz qismlar bo'yicha integratsiya formulasini qo'llaymiz va mos ravishda (3) va (4) formulalarni topamiz va ishlatamiz:

Koeffitsientlarni formulaga (1) almashtirib, biz olamiz yoki .

Bu tenglik nuqtalardan va (grafiklarning yelimlash nuqtalaridan) tashqari barcha nuqtalarda sodir bo'ladi. Ushbu nuqtalarning har birida ketma-ketlik yig'indisi uning o'ng va chapdagi chegara qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng, ya'ni.

Funksiyani kengaytirish algoritmini keltiramiz Furye seriyasida.

Qo'yilgan muammoni hal qilishning umumiy tartibi quyidagicha.