Nuqtali o'zgarishlar seriyasi. Oddiy muammolarni echishga misol. Odds nisbatini qo'llash shartlari va cheklovlari

Statistik tahlilda o'rganilayotgan belgi yoki hodisaning o'rtacha darajasini aniqlash alohida o'rin tutadi. Xususiyatning o'rtacha darajasi o'rtacha qiymatlar bilan o'lchanadi.

O'rtacha qiymat o'rganilayotgan belgining umumiy miqdoriy darajasini tavsiflaydi va statistik populyatsiyaning guruh xususiyatidir. U individual kuzatishlarning u yoki bu yo'nalishdagi tasodifiy og'ishlarini tekislaydi, zaiflashtiradi va o'rganilayotgan belgining asosiy, tipik xususiyatini ta'kidlaydi.

O'rtacha ko'rsatkichlar keng qo'llaniladi:

1. Для оценки состояния здоровья населения: характеристики физического развития (рост, вес, окружность грудной клетки и пр.), выявления распространенности и длительности различных заболеваний, анализа демографических показателей (естественного движения населения, средней продолжительности предстоящей жизни, воспроизводства населения, средней численности населения va boshq.).

2. Tibbiyot muassasalari, tibbiyot xodimlari faoliyatini o‘rganish va ularning ish sifatini baholash, aholining turli turdagi tibbiy yordamga bo‘lgan ehtiyojini rejalashtirish va aniqlash (bir yilda bir aholiga o‘rtacha murojaatlar yoki tashriflar soni, o‘rtacha yashash muddati kasalxonadagi bemorning soni, bemorni tekshirishning o'rtacha davomiyligi, shifokorlar, yotoqxonalar bilan o'rtacha ta'minlanish va boshqalar).

3. Sanitariya-epidemiologik holatni tavsiflash (tsexdagi havoning o'rtacha changliligi, bir kishiga o'rtacha maydon, oqsillar, yog'lar va uglevodlarning o'rtacha iste'moli va boshqalar).

4. Norm va patologiyada, laboratoriya ma'lumotlarini qayta ishlashda tibbiy-fiziologik ko'rsatkichlarni aniqlash, ijtimoiy-gigiyenik, klinik, eksperimental tadqiqotlarda selektiv tadqiqot natijalarining ishonchliligini o'rnatish.

O'rtacha qiymatlarni hisoblash variatsion qatorlar asosida amalga oshiriladi. Variatsiya seriyasi- bu sifat jihatidan bir hil statistik to'plam bo'lib, uning alohida birliklari o'rganilayotgan xususiyat yoki hodisaning miqdoriy farqlarini tavsiflaydi.

Miqdoriy o'zgarishlar ikki xil bo'lishi mumkin: uzluksiz (diskret) va doimiy.

Uzluksiz (diskret) belgi faqat butun son sifatida ifodalanadi va hech qanday oraliq qiymatga ega bo'lishi mumkin emas (masalan, tashriflar soni, saytning aholisi, oiladagi bolalar soni, ballardagi kasallikning og'irligi. , va boshqalar.).

Uzluksiz belgi ma'lum chegaralar ichida har qanday qiymatlarni, shu jumladan kasrlarni ham qabul qilishi mumkin va faqat taxminan ifodalanadi (masalan, vazn - kattalar uchun siz o'zingizni kilogramm bilan cheklashingiz mumkin, yangi tug'ilgan chaqaloqlar uchun - gramm; bo'y, qon bosimi, vaqt bemorni ko'rish uchun sarflangan va hokazo).

Variatsiya qatoriga kiritilgan har bir alohida xususiyat yoki hodisaning raqamli qiymati variant deb ataladi va harf bilan ko'rsatiladi. V . Masalan, matematika adabiyotida boshqa belgilar ham mavjud x yoki y.

Har bir variant bir marta ko'rsatilgan variatsion qator oddiy deyiladi. Bunday qatorlar kompyuter ma'lumotlarini qayta ishlash holatlarida ko'pgina statistik masalalarda qo'llaniladi.

Kuzatishlar sonining ko'payishi bilan, qoida tariqasida, variantning takroriy qiymatlari mavjud. Bunday holda, u yaratadi guruhlangan variatsion qator, bu erda takrorlashlar soni ko'rsatilgan (chastotasi, "harfi bilan belgilangan" R »).

Reytingli variatsion seriyalar o'sish yoki kamayish tartibida joylashtirilgan variantlardan iborat. Oddiy va guruhlangan seriyalar reyting bilan tuzilishi mumkin.

Intervalli o'zgarishlar qatori juda ko'p kuzatuv birliklari (1000 dan ortiq) bilan kompyuterdan foydalanmasdan bajariladigan keyingi hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun tuziladi.

Uzluksiz o'zgaruvchan seriyalar har qanday qiymat bo'lishi mumkin bo'lgan variant qiymatlarini o'z ichiga oladi.

Agar variatsiya qatorida atributning qiymatlari (variantlari) alohida aniq raqamlar ko'rinishida berilgan bo'lsa, unda bunday qator deyiladi. diskret.

Variatsiya qatorida aks ettirilgan atribut qiymatlarining umumiy xarakteristikalari o'rtacha qiymatlardir. Ular orasida eng ko'p qo'llaniladiganlari: arifmetik o'rtacha M, moda Mo va median men. Bu xususiyatlarning har biri o'ziga xosdir. Ular bir-birini almashtira olmaydi va faqat agregatda, juda to'liq va ixcham shaklda, variatsion qatorning xususiyatlari.

Moda (Oy) eng tez-tez uchraydigan variantlarning qiymatini nomlang.

Median (men) diapazonli variatsion qatorni yarmiga bo'ladigan variantning qiymati (mediananing har bir tomonida variantning yarmi mavjud). Kamdan kam hollarda, simmetrik variatsiya qatori mavjud bo'lganda, rejim va mediana bir-biriga teng va o'rtacha arifmetik qiymatga to'g'ri keladi.

Variant qiymatlarining eng tipik xususiyati hisoblanadi arifmetik o'rtacha qiymat( M ). Matematik adabiyotlarda u belgilanadi .

Arifmetik o'rtacha (M, ) sifat jihatidan bir hil statistik to‘plamni tashkil etuvchi o‘rganilayotgan hodisalarning muayyan belgisining umumiy miqdoriy tavsifi. Oddiy arifmetik o'rtacha va vaznli o'rtachani farqlang. Oddiy arifmetik o'rtacha oddiy variatsion qator uchun barcha variantlarni yig'ish va bu summani ushbu variatsion qatorga kiritilgan variantlarning umumiy soniga bo'lish yo'li bilan hisoblanadi. Hisob-kitoblar quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:

Qayerda: M - oddiy arifmetik o'rtacha;

Σ V - miqdor opsiyasi;

n- kuzatishlar soni.

Guruhlangan variatsion qatorda o'rtacha og'irlikdagi arifmetik aniqlanadi. Uni hisoblash formulasi:

Qayerda: M - o'rtacha arifmetik og'irlik;

Σ vp - bir variant ko'paytmalarining ularning chastotalari bo'yicha yig'indisi;

n- kuzatishlar soni.

Ko'p sonli kuzatishlar bilan qo'lda hisob-kitoblar bo'lsa, momentlar usulidan foydalanish mumkin.

Arifmetik o'rtacha quyidagi xususiyatlarga ega:

variantning o'rtacha qiymatdan og'ishlari yig'indisi ( Σ d ) nolga teng (15-jadvalga qarang);

Barcha variantlarni bir xil koeffitsientga (bo'luvchiga) ko'paytirishda (bo'lishda) o'rtacha arifmetik bir xil ko'rsatkichga (bo'luvchiga) ko'paytiriladi (bo'linadi);

Agar siz barcha variantlarga bir xil sonni qo'shsangiz (ayırsangiz), o'rtacha arifmetik bir xil songa ortadi (kamayadi).

O'z-o'zidan olingan o'rtacha arifmetik qiymatlar, ular hisoblanayotgan qatorlarning o'zgaruvchanligini hisobga olmagan holda, variatsion qatorlarning xususiyatlarini to'liq aks ettirmasligi mumkin, ayniqsa, boshqa o'rtacha qiymatlar bilan taqqoslash zarur bo'lganda. Qiymatiga yaqin bo'lgan o'rtacha qiymatlarni turli darajadagi tarqalish darajasi bo'lgan seriyalardan olish mumkin. Alohida variantlar miqdoriy xarakteristikalari bo'yicha bir-biriga qanchalik yaqin bo'lsa, shunchalik kamroq tarqalish (to'lqinlanish, o'zgaruvchanlik) qator, uning o'rtacha tipikroq.

Belgilarning o'zgaruvchanligini baholashga imkon beradigan asosiy parametrlar:

· qamrovi;

amplituda;

· Standart og'ish;

· Variatsiya koeffitsienti.

Taxminan, belgining tebranishini o'zgaruvchanlik qatorining ko'lami va amplitudasi bilan baholash mumkin. Diapazon seriyadagi maksimal (V max) va minimal (V min) variantlarni ko'rsatadi. Amplituda (A m) bu variantlar orasidagi farq: A m = V max - V min.

Variatsion qatorlar o'zgarishining asosiy, umumiy qabul qilingan o'lchovidir dispersiya (D ). Ammo eng qulayroq parametr dispersiya asosida hisoblab chiqiladi - standart og'ish ( σ ). Bu og'ish qiymatini hisobga oladi ( d ) variatsion qatorning har bir variantining oʻrtacha arifmetik qiymatidan ( d=V - M ).

Variantning o'rtacha qiymatdan og'ishlari ijobiy va salbiy bo'lishi mumkinligi sababli, ular yig'ilganda "0" qiymatini beradi (S d=0). Bunga yo'l qo'ymaslik uchun og'ish qiymatlari ( d) ikkinchi darajaga ko'tariladi va o'rtacha hisoblanadi. Shunday qilib, variatsion qatorning dispersiyasi variantning o‘rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishlarining o‘rtacha kvadrati bo‘lib, quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:

Bu o'zgaruvchanlikning eng muhim xarakteristikasi bo'lib, ko'plab statistik testlarni hisoblash uchun ishlatiladi.

Dispersiya og'ishlarning kvadrati sifatida ifodalanganligi sababli, uning qiymatini o'rtacha arifmetik bilan solishtirganda ishlatib bo'lmaydi. Ushbu maqsadlar uchun u ishlatiladi standart og'ish, bu "Sigma" belgisi bilan belgilanadi ( σ ). U variatsion qatorning barcha variantlarining o‘rtacha arifmetik qiymatdan o‘rtacha og‘ishini o‘rtachaning o‘zi bilan bir xil birliklarda tavsiflaydi, shuning uchun ular birgalikda ishlatilishi mumkin.

Standart og'ish quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Ushbu formula kuzatuvlar soni uchun qo'llaniladi ( n ) 30 dan katta. Kichikroq raqam bilan n standart og'ishning qiymati matematik moyillik bilan bog'liq xatoga ega bo'ladi ( n - 1). Shu munosabat bilan, standart og'ishni hisoblash formulasida bunday noto'g'rilikni hisobga olgan holda aniqroq natijaga erishish mumkin:

standart og'ish (s ) tasodifiy miqdorning standart og'ishini baholashdir X uning dispersiyasini xolis baholashga asoslangan matematik kutishga nisbatan.

Qadriyatlar uchun n > 30 standart og'ish ( σ ) va standart og'ish ( s ) bir xil bo'ladi ( s=s ). Shuning uchun ko'pgina amaliy qo'llanmalarda bu mezonlar turli xil ma'nolarga ega deb hisoblanadi. Excelda standart chetlanishni hisoblash =STDEV(diapazon) funksiyasi yordamida amalga oshirilishi mumkin. Va standart og'ishni hisoblash uchun siz tegishli formulani yaratishingiz kerak.

O'rtacha kvadrat yoki standart og'ish xususiyatning qiymatlari o'rtacha qiymatdan qanchalik farq qilishi mumkinligini aniqlashga imkon beradi. Aytaylik, yozda bir xil o'rtacha kunlik haroratga ega ikkita shahar bor. Bu shaharlardan biri sohilda, ikkinchisi esa qit'ada joylashgan. Ma'lumki, qirg'oq bo'yida joylashgan shaharlarda kunduzgi harorat farqlari ichki qismida joylashgan shaharlarga qaraganda kamroq. Shuning uchun qirg'oq bo'yidagi shahar yaqinidagi kunduzgi haroratning standart og'ishi ikkinchi shaharnikidan kamroq bo'ladi. Amalda, bu qit'ada joylashgan shaharda har bir kunning o'rtacha havo harorati qirg'oqdagi shaharga qaraganda o'rtacha haroratdan ko'proq farq qilishini anglatadi. Bundan tashqari, standart og'ish haroratning mumkin bo'lgan og'ishlarini o'rtacha darajadan kerakli ehtimollik darajasi bilan baholash imkonini beradi.

Ehtimollar nazariyasiga ko'ra, normal taqsimot qonuniga bo'ysunadigan hodisalarda o'rtacha arifmetik qiymat, standart og'ish va variantlar o'rtasida qat'iy bog'liqlik mavjud ( uch sigma qoidasi). Masalan, o'zgaruvchan atribut qiymatlarining 68,3% M ± 1 oralig'ida σ , 95,5% - M ± 2 doirasida σ va 99,7% - M ± 3 doirasida σ .

Standart og'ishning qiymati o'rganilayotgan qator va o'rganilayotgan guruhning bir xilligi xususiyatini baholashga imkon beradi. Agar standart og'ishning qiymati kichik bo'lsa, bu o'rganilayotgan hodisaning etarlicha yuqori bir xilligini ko'rsatadi. Bu holda o'rtacha arifmetik ushbu variatsion qatorga xos xususiyat sifatida tan olinishi kerak. Biroq, juda kichik sigma kuzatuvlarni sun'iy tanlash haqida o'ylashga majbur qiladi. Juda katta sigma bilan o'rtacha arifmetik o'zgaruvchanlik qatorini kamroq darajada tavsiflaydi, bu o'rganilayotgan belgi yoki hodisaning sezilarli o'zgaruvchanligini yoki tadqiqot guruhining heterojenligini ko'rsatadi. Biroq, standart og'ishning qiymatini taqqoslash faqat bir xil o'lchamdagi belgilar uchun mumkin. Haqiqatan ham, agar biz yangi tug'ilgan chaqaloqlar va kattalardagi vazn xilma-xilligini taqqoslasak, biz har doim kattalarda yuqori sigma qiymatlarini olamiz.

Turli o'lchamdagi xususiyatlarning o'zgaruvchanligini taqqoslash yordamida amalga oshirilishi mumkin o'zgaruvchanlik koeffitsienti. U xilma-xillikni o'rtacha foiz sifatida ifodalaydi, bu turli belgilarni taqqoslash imkonini beradi. Tibbiy adabiyotdagi o'zgarish koeffitsienti "belgisi bilan ko'rsatilgan. BILAN ", va matematikada" v» va formula bo'yicha hisoblanadi:

O'zgaruvchanlik koeffitsientining 10% dan kam bo'lgan qiymatlari kichik tarqalishni ko'rsatadi, 10 dan 20% gacha - o'rtacha, 20% dan ortiq - arifmetik o'rtacha atrofida kuchli tarqalish haqida.

Arifmetik o'rtacha odatda namunaviy ma'lumotlar asosida hisoblanadi. Tasodifiy hodisalar ta'sirida takroriy tadqiqotlar bilan o'rtacha arifmetik o'zgarishi mumkin. Buning sababi, qoida tariqasida, kuzatuvning mumkin bo'lgan birliklarining faqat bir qismi, ya'ni tanlanma populyatsiyasi tekshiriladi. O'rganilayotgan hodisani ifodalovchi barcha mumkin bo'lgan birliklar haqida ma'lumotni butun umumiy populyatsiyani o'rganish orqali olish mumkin, bu har doim ham mumkin emas. Shu bilan birga, eksperimental ma'lumotlarni umumlashtirish uchun umumiy populyatsiyadagi o'rtacha ko'rsatkichning qiymati qiziqish uyg'otadi. Shuning uchun o'rganilayotgan hodisa to'g'risida umumiy xulosani shakllantirish uchun tanlanma populyatsiya asosida olingan natijalar statistik usullar bilan umumiy aholiga o'tkazilishi kerak.

Namuna tadqiqoti va umumiy populyatsiya o'rtasidagi kelishuv darajasini aniqlash uchun namunani kuzatish paytida muqarrar ravishda yuzaga keladigan xato miqdorini taxmin qilish kerak. Bunday xato deyiladi vakillik xatosi” yoki “O‘rtacha arifmetik xatolik”. Bu, aslida, tanlangan statistik kuzatish natijasida olingan o'rtacha ko'rsatkichlar va bir xil ob'ektni doimiy o'rganish natijasida olinadigan o'xshash qiymatlar o'rtasidagi farq, ya'ni. umumiy aholini o'rganishda. Tanlangan o'rtacha tasodifiy o'zgaruvchi bo'lganligi sababli, bunday prognoz tadqiqotchi uchun maqbul darajadagi ehtimollik bilan amalga oshiriladi. Tibbiy tadqiqotlarda u kamida 95% ni tashkil qiladi.

Representatsiya xatosini ro'yxatga olish xatolari yoki diqqat xatolari (noto'g'ri chop etish, noto'g'ri hisoblash, noto'g'ri chop etish va boshqalar) bilan aralashtirib yubormaslik kerak, bu tajribada qo'llaniladigan adekvat metodologiya va vositalar bilan minimallashtirilishi kerak.

Reprezentativlik xatosining kattaligi tanlov hajmiga ham, belgining o'zgaruvchanligiga ham bog'liq. Kuzatishlar soni qanchalik ko'p bo'lsa, tanlanma umumiy populyatsiyaga qanchalik yaqin bo'lsa va xatolik shunchalik kichik bo'ladi. Xususiyat qanchalik o'zgaruvchan bo'lsa, statistik xato shunchalik katta bo'ladi.

Amalda, variatsion qatorlardagi reprezentativlik xatosini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:

Qayerda: m - reprezentativlik xatosi;

σ - standart og'ish;

n namunadagi kuzatishlar soni.

Formuladan ko'rinib turibdiki, o'rtacha xatoning kattaligi standart og'ish bilan to'g'ridan-to'g'ri proportsional, ya'ni o'rganilayotgan belgining o'zgaruvchanligi va kuzatishlar sonining kvadrat ildiziga teskari proportsionaldir.

Nisbiy qiymatlarni hisoblash asosida statistik tahlilni amalga oshirishda variatsion qatorni qurish majburiy emas. Bunday holda, nisbiy ko'rsatkichlar uchun o'rtacha xatoni aniqlash soddalashtirilgan formula yordamida amalga oshirilishi mumkin:

Qayerda: R- foiz, ppm va boshqalar bilan ifodalangan nisbiy ko'rsatkich qiymati;

q- P ning o'zaro ta'siri va indikator hisoblangan asosga qarab (1-P), (100-P), (1000-P) va boshqalar bilan ifodalanadi;

n namunadagi kuzatishlar soni.

Biroq, nisbiy qiymatlar uchun reprezentativlik xatosini hisoblash uchun ko'rsatilgan formula faqat indikatorning qiymati uning bazasidan past bo'lganda qo'llanilishi mumkin. Intensiv ko'rsatkichlarni hisoblashning bir qator holatlarida bu shart bajarilmaydi va ko'rsatkich 100% yoki 1000% o dan ortiq son sifatida ifodalanishi mumkin. Bunday holatda, variatsiya qatori tuziladi va standart og'ish asosida o'rtacha qiymatlar formulasi yordamida reprezentativlik xatosi hisoblanadi.

Umumiy populyatsiyadagi o'rtacha arifmetik qiymatni prognozlash ikkita qiymatni ko'rsatish bilan amalga oshiriladi - minimal va maksimal. Umumiy aholining istalgan o'rtacha qiymati o'zgarishi mumkin bo'lgan mumkin bo'lgan og'ishlarning ushbu ekstremal qiymatlari deyiladi " Ishonch chegaralari».

Ehtimollar nazariyasi postulatlari 99,7% ehtimollik bilan xususiyatning normal taqsimlanishi bilan o'rtacha og'ishlarning ekstremal qiymatlari reprezentativlikning uch karra xatosi qiymatidan oshmasligini isbotladi ( M ± 3 m ); 95,5% da - o'rtacha qiymatning ikki baravar o'rtacha xatosi qiymatidan ko'p emas ( M ±2 m ); 68,3% da - bitta o'rtacha xato qiymatidan ko'p emas ( M ± 1 m ) (9-rasm).

P%

Guruch. 9. Normal taqsimotning ehtimollik zichligi.

E'tibor bering, yuqoridagi gap faqat Gaussning oddiy taqsimot qonuniga bo'ysunadigan xususiyat uchun to'g'ri.

Ko'pgina eksperimental tadqiqotlar, shu jumladan tibbiyot sohasidagi tadqiqotlar natijalari ma'lum bir oraliqda deyarli har qanday qiymatni olishi mumkin bo'lgan o'lchovlar bilan bog'liq, shuning uchun ular, qoida tariqasida, doimiy tasodifiy o'zgaruvchilar modeli bilan tavsiflanadi. Shu munosabat bilan ko'pchilik statistik usullar uzluksiz taqsimotlarni ko'rib chiqadi. Matematik statistikada asosiy rol o'ynaydigan ushbu taqsimotlardan biri normal yoki Gauss taqsimoti.

Bu bir qator sabablarga bog'liq.

1. Avvalo, ko'pgina eksperimental kuzatishlarni normal taqsimlash yordamida muvaffaqiyatli tasvirlash mumkin. Darhol shuni ta'kidlash kerakki, empirik ma'lumotlarning mutlaqo normal bo'lishi mumkin bo'lgan taqsimotlari yo'q, chunki normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi dan gacha bo'lgan oraliqda bo'lib, amalda hech qachon uchramaydi. Biroq, normal taqsimot ko'pincha yaxshi taxminiy hisoblanadi.

Og'irligi, bo'yi va inson tanasining boshqa fiziologik parametrlarini o'lchash amalga oshiriladimi - hamma joyda juda katta miqdordagi tasodifiy omillar (tabiiy sabablar va o'lchov xatolar) natijalarga ta'sir qiladi. Va, qoida tariqasida, ushbu omillarning har birining ta'siri ahamiyatsiz. Tajriba shuni ko'rsatadiki, bunday hollarda natijalar taxminan normal taqsimlanadi.

2. Tasodifiy tanlov bilan bog'liq bo'lgan ko'plab taqsimotlar, ikkinchisining hajmining oshishi bilan normal holatga keladi.

3. Oddiy taqsimot boshqa uzluksiz taqsimotlarning taxminiy tavsifi sifatida juda mos keladi (masalan, assimetrik).

4. Normal taqsimot bir qancha qulay matematik xossalarga ega bo`lib, bu ko`p jihatdan uning statistikada keng qo`llanilishini ta`minladi.

Shu bilan birga, shuni ta'kidlash kerakki, tibbiy ma'lumotlarda oddiy taqsimot modeli bilan tavsiflab bo'lmaydigan ko'plab eksperimental taqsimotlar mavjud. Buning uchun statistika odatda "Parametrik bo'lmagan" deb ataladigan usullarni ishlab chiqdi.

Muayyan tajriba ma'lumotlarini qayta ishlash uchun mos bo'lgan statistik usulni tanlash, olingan ma'lumotlarning normal taqsimot qonuniga tegishli yoki yo'qligiga qarab amalga oshirilishi kerak. Belgining normal taqsimot qonuniga bo'ysunishi uchun gipotezani tekshirish chastota taqsimotining gistogrammasi (grafigi), shuningdek, bir qator statistik mezonlar yordamida amalga oshiriladi. Ular orasida:

Asimmetriya mezoni ( b );

Kurtozni tekshirish mezonlari ( g );

Shapiro-Uilks mezoni ( V ) .

Har bir parametr bo'yicha ma'lumotlarning taqsimlanish xarakterini tahlil qilish (u taqsimotning normalligi uchun test deb ham ataladi) amalga oshiriladi. Parametr taqsimotining normal qonunga muvofiqligini ishonchli tarzda baholash uchun etarlicha katta miqdordagi kuzatuv birliklari (kamida 30 qiymat) talab qilinadi.

Oddiy taqsimot uchun egrilik va kurtoz mezonlari 0 qiymatini oladi. Agar taqsimot o'ngga siljigan bo'lsa b > 0 (musbat assimetriya), bilan b < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона g =0. Da g > 0 bo'lsa, taqsimot egri chizig'i keskinroq bo'ladi g < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.

Shapiro-Wilks testi yordamida normallikni tekshirish uchun zaruriy ahamiyatga egalik darajasida va kuzatish birliklari soniga (erkinlik darajasi) qarab statistik jadvallar yordamida ushbu mezonning qiymatini topish talab qilinadi. Ilova 1. Oddiylik gipotezasi ushbu mezonning kichik qiymatlari uchun, qoida tariqasida, rad etiladi. w <0,8.

guruhlash- bu aholining qaysidir ma'noda bir hil bo'lgan guruhlarga bo'linishi.

Xizmat topshirig'i. Onlayn kalkulyator yordamida siz:

• variatsiya seriyasini yaratish, gistogramma va ko'pburchak qurish;
• o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlarini (o'rtacha, rejim (shu jumladan grafik), mediana, o'zgaruvchanlik diapazoni, kvartillar, desillar, kvartil differensiallanish koeffitsienti, variatsiya koeffitsienti va boshqa ko'rsatkichlar) toping;

Ko'rsatma. Seriyani guruhlash uchun siz hosil bo'lgan variatsiya seriyasining turini (diskret yoki intervalli) tanlashingiz va ma'lumotlar miqdorini (satrlar soni) belgilashingiz kerak. Olingan yechim Word faylida saqlanadi (statistik ma'lumotlarni guruhlash misoliga qarang).

Agar guruhlash allaqachon amalga oshirilgan bo'lsa va diskret variatsion qator yoki intervalli qator, keyin siz onlayn kalkulyatordan foydalanishingiz kerak Variatsiya ko'rsatkichlari. Tarqatish turi haqidagi gipotezani tekshirish tarqatish shaklini o'rganish xizmati yordamida ishlab chiqarilgan.

Statistik guruhlarning turlari

Variatsiya seriyasi. Diskret tasodifiy miqdorni kuzatishda bir xil qiymatga bir necha marta duch kelish mumkin. X i tasodifiy o'zgaruvchining bunday qiymatlari qayd etilgan bo'lib, u n ta kuzatishda paydo bo'lgan n i sonini ko'rsatadi, bu bu qiymatning chastotasi.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchida guruhlash amaliyotda qo'llaniladi.

1. Tipologik guruhlash- bu o'rganilayotgan sifat jihatidan bir xil bo'lmagan aholining sinflarga, ijtimoiy-iqtisodiy tiplarga, birliklarning bir jinsli guruhlariga bo'linishi. Ushbu guruhlashni yaratish uchun Discrete variational series parametridan foydalaning.
2. Strukturaviy guruhlash deyiladi, bunda bir jinsli populyatsiya qandaydir o'zgaruvchan xususiyatga ko'ra tuzilishini tavsiflovchi guruhlarga bo'linadi. Ushbu guruhlashni yaratish uchun Interval seriyasi parametridan foydalaning.
3. O'rganilayotgan hodisalar va ularning xususiyatlari o'rtasidagi bog'liqlikni ochib beruvchi guruhlash deyiladi analitik guruh(qarang: seriyalarning analitik guruhlanishi).

№1 misol. 2-jadvalga ko'ra, Rossiya Federatsiyasining 40 ta tijorat banklari uchun tarqatish seriyasini yarating. Olingan taqsimot qatoriga ko'ra aniqlang: bitta tijorat bankiga to'g'ri keladigan o'rtacha foyda, bitta tijorat bankiga o'rtacha kredit qo'yilmalari, foydaning modal va median qiymati; kvartillar, desillar, oʻzgarish diapazoni, oʻrtacha chiziqli ogʻish, standart ogʻish, oʻzgarish koeffitsienti.

Yechim:
Bobda "Statistik seriyalar turi" Discrete Series-ni tanlang. Excel-dan joylashtirish-ni bosing. Guruhlar soni: Sturgess formulasiga muvofiq

Statistik guruhlarni qurish tamoyillari

O'sish tartibida tartiblangan kuzatishlar qatori variatsion qator deyiladi. guruhlash belgisi aholini alohida guruhlarga ajratish belgisidir. U guruhning asosi deb ataladi. Guruhlashtirish ham miqdoriy, ham sifat xususiyatlariga asoslanishi mumkin.
Guruhlashtirish asosini aniqlagandan so'ng, o'rganilayotgan aholini qaysi guruhlarga bo'lish kerakligi masalasi hal qilinishi kerak.

Statistik ma'lumotlarni qayta ishlash uchun shaxsiy kompyuterlardan foydalanishda ob'ekt birliklarini guruhlash standart protseduralar yordamida amalga oshiriladi.
Bunday protseduralardan biri guruhlarning optimal sonini aniqlash uchun Sturgess formulasidan foydalanishga asoslangan:

k = 1+3,322*lg(N)

Bu erda k - guruhlar soni, N - aholi birliklari soni.

Qisman intervallarning uzunligi h=(x max -x min)/k sifatida hisoblanadi

Keyin n i chastotalar sifatida qabul qilingan bu oraliqlardagi kuzatuvlarning zarbalari sonini hisoblang. Qiymatlari 5 dan kam bo'lgan bir nechta chastotalar (n i< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
Yangi qiymatlar sifatida x i =(c i-1 +c i)/2 oraliqlarining o’rta nuqtalari olinadi.

№3 misol. 5% o'z-o'zidan tasodifiy namuna olish natijasida mahsulotlarning namlik miqdori bo'yicha quyidagi taqsimoti olingan. Hisoblang: 1) namlikning o'rtacha foizi; 2) namlikning o'zgarishini tavsiflovchi ko'rsatkichlar.
Yechim kalkulyator yordamida olingan: 1-misol

Variatsiya seriyasini yarating. Topilgan qatorlar asosida taqsimot ko‘pburchagi, gistogramma va kumulat tuzing. Rejim va medianani aniqlang.
Yechimni yuklab oling

Misol. Tanlangan kuzatish natijalariga ko'ra (A namunasi ilovasi):
a) bir qator variatsiyalar yaratish;
b) nisbiy chastotalar va to'plangan nisbiy chastotalarni hisoblash;
c) ko‘pburchak yasash;
d) empirik taqsimot funksiyasini tuzing;
e) empirik taqsimot funksiyasini chizing;
f) sonli xarakteristikani hisoblash: o'rtacha arifmetik, dispersiya, standart og'ish. Yechim

4-jadvalda (1-ilova) keltirilgan va sizning tanlovingizga mos keladigan ma'lumotlarga asoslanib, quyidagilarni bajaring:

1. Strukturaviy guruhlashdan kelib chiqib, guruhlar soni 6 ga teng deb faraz qilib, teng yopiq intervallardan foydalangan holda oʻzgaruvchan chastota va kümülatif taqsimot qatorini tuzing. Natijalarni jadval va grafik koʻrinishida taqdim eting.
2. Variatsion taqsimot qatorini hisoblash orqali tahlil qiling:
   • xususiyatning o'rtacha arifmetik qiymati;
   • rejim, mediana, 1-kvartil, 1-va 9-desil;
   • standart og'ish;
   • o'zgaruvchanlik koeffitsienti.
3. Xulosa chiqaring.

Majburiy: qatorlarni tartiblash, intervalli taqsimot qatorini qurish, diapazonli va intervalli qatorlar uchun oʻrtacha, oʻrtacha dispersiya, rejim va medianani hisoblash.

Dastlabki ma'lumotlarga asoslanib, diskret variatsion qator tuzing; uni statistik jadval va statistik grafiklar shaklida taqdim eting. 2). Dastlabki ma'lumotlarga asoslanib, teng intervalli intervalli o'zgarishlar qatorini tuzing. Intervallar sonini o'zingiz tanlang va bu tanlovni tushuntiring. Olingan o'zgarishlar qatorini statistik jadval va statistik grafiklar ko'rinishida taqdim eting. Amaldagi jadval va grafiklarning turlarini ko'rsating.

Mijozlari soni juda ko'p bo'lgan pensiya jamg'armasida mijozlarga xizmat ko'rsatishning o'rtacha davomiyligini aniqlash uchun o'z-o'zidan tasodifiy takrorlanmaydigan tanlov sxemasi bo'yicha 100 nafar mijoz o'rtasida so'rov o'tkazildi. So'rov natijalari jadvalda keltirilgan. Toping:
a) pensiya jamg'armasining barcha mijozlari uchun o'rtacha xizmat ko'rsatish muddati 0,9946 ehtimollik bilan tuzilgan chegaralar;
b) xizmat ko'rsatish muddati 6 daqiqadan kam bo'lgan barcha fond mijozlarining ulushi namunadagi bunday mijozlar ulushidan 10% dan ko'p bo'lmagan (mutlaq qiymatda) farq qilish ehtimoli;
c) qayta namuna olish hajmi, bunda 0,9907 ehtimollik bilan, xizmat muddati 6 daqiqadan kam bo'lgan barcha fond mijozlarining ulushi bunday mijozlarning namunadagi ulushidan 10% dan ko'p bo'lmagan farq qiladi (da mutlaq qiymat).
2. 1-topshiriq bo'yicha, Pearsonning X 2 testidan foydalanib, a = 0,05 ahamiyatlilik darajasida X tasodifiy o'zgaruvchisi - mijozlarga xizmat ko'rsatish vaqti - normal qonun bo'yicha taqsimlanganligi haqidagi gipotezani sinab ko'ring. Bitta chizma bo'yicha empirik taqsimotning gistogrammasini va mos keladigan normal egri chizig'ini tuzing.
Yechimni yuklab oling

100 ta elementdan iborat namuna berilgan. Kerakli:

1. Reytingli variatsion qatorni yaratish;
2. Seriyaning maksimal va minimal shartlarini toping;
3. Intervalli qatorni qurish uchun o'zgaruvchanlik diapazoni va optimal intervallar sonini toping. Intervalli qator oraliq uzunligini toping;
4. Intervalli qator tuzing. Namuna elementlarining tuzilgan bo'shliqlarga tushish chastotalarini toping. Har bir intervalning o'rta nuqtalarini toping;
5. Gistogramma va chastotalar poligonini tuzing. Oddiy taqsimot bilan solishtiring (analitik va grafik);
6. Empirik taqsimot funksiyasini chizing;
7. Namuna raqamli xarakteristikalarini hisoblang: namunaviy o'rtacha va markaziy namuna momenti;
8. Standart og'ish, egrilik va kurtozning taxminiy qiymatlarini hisoblang (MS Excel tahlil paketi yordamida). Taxminiy hisoblangan qiymatlarni aniq qiymatlar bilan solishtiring (MS Excel formulalari yordamida hisoblangan);
9. Tanlangan grafik tavsiflarni tegishli nazariy xususiyatlar bilan solishtiring.

Yechimni yuklab oling

Bizda quyidagi namunaviy ma'lumotlar (10% namuna, mexanik) ishlab chiqarish va foyda miqdori, million rubl. Asl ma'lumotlarga ko'ra:
Vazifa 13.1.
13.1.1. Beshta guruhni teng oraliqda tashkil etgan holda, korxonalarni foyda miqdori bo'yicha taqsimlashning statistik qatorini tuzing. Syujetlarni taqsimlash seriyali uchastkalari.
13.1.2. Korxonalarni foyda miqdori bo'yicha taqsimlash seriyasining sonli xarakteristikalarini hisoblang: o'rtacha arifmetik, standart og'ish, dispersiya, variatsiya koeffitsienti V. Xulosa qiling.
Vazifa 13.2.
13.2.1. 0,997 ehtimollik bilan bitta korxonaning umumiy populyatsiyadagi foydasi miqdori tuzilgan chegaralarni aniqlang.
13.2.2. Pirsonning x2-mezonidan foydalanib, a ahamiyatlilik darajasida X tasodifiy o'zgaruvchisi - foyda miqdori normal qonun bo'yicha taqsimlanadi degan gipotezani sinab ko'ring.
13.3-topshiriq.
13.3.1. Tanlangan regressiya tenglamasining koeffitsientlarini aniqlang.
13.3.2. Ishlab chiqarilgan mahsulot tannarxi (X) va korxonaga to'g'ri keladigan foyda miqdori (Y) o'rtasidagi bog'liqlikning mavjudligi va xarakterini aniqlash. Tarqalish va regressiya chizig‘ini chizing.
13.3.3. Chiziqli korrelyatsiya koeffitsientini hisoblang. Student's t-testidan foydalanib, korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyatini tekshiring. Chaddok shkalasi yordamida X va Y omillar o'rtasidagi munosabatlarning yaqinligi haqida xulosa chiqaring.
Ko'rsatmalar. 13.3-topshiriq ushbu xizmat yordamida bajariladi.
Yechimni yuklab oling

Vazifa. Quyidagi ma'lumotlar mijozlarning shartnomalar tuzishga sarflagan vaqtini ko'rsatadi. Taqdim etilgan ma'lumotlarning intervalli o'zgarishlar qatorini, gistogrammasini tuzing, matematik kutilmaning xolis bahosini, dispersiyaning noxolis va xolis bahosini toping.

Misol. 2-jadvalga muvofiq:
1) Rossiya Federatsiyasining 40 ta tijorat banklari uchun tarqatish seriyasini yaratish:
A) foyda miqdori bo'yicha;
B) kredit qo'yilmalari miqdori bo'yicha.
2) Olingan taqsimot qatoriga ko'ra quyidagilarni aniqlang:
A) tijorat bankiga to‘g‘ri keladigan o‘rtacha foyda;
B) tijorat bankiga o'rtacha hisobda kredit qo'yilmalari;
C) foydaning modal va median qiymati; kvartillar, desillar;
D) kredit qo’yilmalarining modal va median qiymati.
3) 1-bandda olingan taqsimot seriyasiga ko'ra, hisoblang:
a) o'zgaruvchanlik diapazoni;
b) o'rtacha chiziqli og'ish;
c) standart og'ish;
d) o'zgaruvchanlik koeffitsienti.
Kerakli hisob-kitoblarni jadval shaklida yozing. Natijalarni tahlil qiling. O'zingiz xulosa chiqaring.
Olingan taqsimot seriyasini chizing. Rejim va medianani grafik tarzda aniqlang.

Yechim:
Teng intervalli guruhlash uchun biz statistik ma'lumotlarni guruhlash xizmatidan foydalanamiz.

1-rasm - Parametrlarni kiritish

Parametrlarning tavsifi
Chiziqlar soni: xom ma'lumotlar miqdori. Agar seriyaning o'lchami kichik bo'lsa, uning raqamini ko'rsating. Agar tanlov etarlicha katta bo'lsa, Exceldan joylashtirish tugmasini bosing.
Guruhlar soni: 0 - guruhlar soni Sturgess formulasi bilan aniqlanadi.
Guruhlarning ma'lum soni ko'rsatilgan bo'lsa, uni belgilang (masalan, 5).
Qator turi: Diskret qator.
Muhimlik darajasi: masalan, 0,954 . Ushbu parametr o'rtacha uchun ishonch oralig'ini aniqlash uchun o'rnatiladi.
Namuna: Masalan, 10% mexanik namuna olish amalga oshiriladi. 10 raqamini belgilang. Bizning ma'lumotlarimiz uchun biz 100 ni belgilaymiz.

Ushbu bobni o'zlashtirish natijasida talaba: bilish

• o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlari va ularning o'zaro bog'liqligi;
• xususiyatlarni taqsimlashning asosiy qonuniyatlari;
• rozilik mezonlarining mohiyati; imkoniyatiga ega bo'lish
• o'zgaruvchanlik stavkalari va moslik darajasini hisoblash;
• taqsimotlarning xususiyatlarini aniqlash;
• statistik taqsimot qatorlarining asosiy sonli xarakteristikalarini baholash;

Shaxsiy

• taqsimot qatorlarini statistik tahlil qilish usullari;
• dispersiyani tahlil qilish asoslari;
• statistik taqsimot qatorlarini taqsimlanishning asosiy qonunlariga muvofiqligini tekshirish usullari.

Variatsiya ko'rsatkichlari

Turli statistik populyatsiyalarning xususiyatlarini statistik o'rganishda aholining alohida statistik birliklari xususiyatining o'zgarishini, shuningdek, birliklarning ushbu xususiyatga ko'ra taqsimlanish xarakterini o'rganish katta qiziqish uyg'otadi. Variant - bu o'rganilayotgan populyatsiya birliklari o'rtasidagi belgining individual qiymatlaridagi farqlar. Variatsiyani o'rganish katta amaliy ahamiyatga ega. O'zgaruvchanlik darajasiga ko'ra, belgining o'zgaruvchanligi chegaralarini, ushbu belgi uchun populyatsiyaning bir xilligini, o'rtachaning tipikligini, o'zgaruvchanlikni belgilovchi omillarning o'zaro bog'liqligini baholash mumkin. Variatsion ko'rsatkichlar statistik populyatsiyalarni tavsiflash va tartibga solish uchun ishlatiladi.

Statistik taqsimot qatorlari shaklida tuzilgan statistik kuzatish materiallarini umumlashtirish va guruhlash natijalari o'rganilayotgan aholi birliklarining guruhlash (o'zgaruvchan) atributiga ko'ra guruhlarga tartibli taqsimlanishini ifodalaydi. Agar guruhlash uchun sifat belgisi asos qilib olinsa, bunday taqsimot qatori deyiladi atributiv(kasb, jins, rang va boshqalar bo'yicha taqsimlash). Agar taqsimot seriyasi miqdoriy asosda qurilgan bo'lsa, unda bunday qator deyiladi o'zgaruvchan(bo'yi, vazni, ish haqi va boshqalar bo'yicha taqsimlash). Variatsion qatorni qurish deganda, atribut qiymatlari bo'yicha aholi birliklarining miqdoriy taqsimotini tartibga solish, ushbu qiymatlar (chastota) bilan populyatsiya birliklari sonini hisoblash, natijalarni jadvalda tartibga solish tushuniladi.

Variantning chastotasi o'rniga uning kuzatuvlarning umumiy hajmiga nisbatidan foydalanish mumkin, bu chastota (nisbiy chastota) deb ataladi.

Variatsion qatorlarning ikki turi mavjud: diskret va intervalli. Diskret qator- bu shunday variatsion qator bo'lib, uning qurilishi uzluksiz o'zgaruvchan belgilarga asoslangan (diskret belgilar). Ikkinchisiga korxonadagi xodimlar soni, ish haqi toifasi, oiladagi bolalar soni va boshqalar kiradi. Diskret variatsion qator ikki ustundan tashkil topgan jadvaldir. Birinchi ustun atributning o'ziga xos qiymatini, ikkinchisi - atributning o'ziga xos qiymatiga ega bo'lgan aholi birliklari sonini ko'rsatadi. Agar belgi doimiy ravishda o'zgarib turadigan bo'lsa (daromad miqdori, xizmat muddati, korxonaning asosiy vositalarining qiymati va boshqalar ma'lum chegaralarda har qanday qiymatlarni olishi mumkin), u holda bu belgi uchun qurilishi mumkin. intervalli o'zgarishlar qatori. Intervalli o'zgarishlar qatorini qurishda jadval ham ikkita ustunga ega. Birinchisi, "dan -gacha" (variantlar) oralig'idagi xususiyatning qiymatini, ikkinchisi - intervalga (chastota) kiritilgan birliklar sonini ko'rsatadi. Chastota (takrorlash chastotasi) - atribut qiymatlarining ma'lum bir variantini takrorlash soni. Intervallar yopiq va ochiq bo'lishi mumkin. Yopiq intervallar har ikki tomonda ham cheklangan, ya'ni. pastki (“dan”) va yuqori (“dan”) chegarasiga ega. Ochiq intervallar har qanday chegaraga ega: yuqori yoki pastki. Agar variantlar o'sish yoki kamayish tartibida joylashtirilgan bo'lsa, u holda qatorlar chaqiriladi tartiblangan.

Variatsion seriyalar uchun ikki xil chastotali javob variantlari mavjud: kümülatif chastota va kümülatif chastota. Kümülatif chastota xususiyat qiymati belgilangan qiymatdan kamroq qiymatlarni olgan qancha kuzatuvni ko'rsatadi. Kümülatif chastota ma'lum bir guruh uchun xarakterli chastotaning qiymatlarini oldingi guruhlarning barcha chastotalari bilan yig'ish orqali aniqlanadi. Yig'ilgan chastota kuzatish birliklarining ulushini tavsiflaydi, bunda xususiyat qiymatlari kun guruhining yuqori chegarasidan oshmaydi. Shunday qilib, to'plangan chastota agregatdagi variantning o'ziga xos og'irligini ko'rsatadi, ular berilgan qiymatdan katta bo'lmagan qiymatga ega. Chastotalar, chastotalar, mutlaq va nisbiy zichliklar, yig'ma chastota va chastotalar variantning kattaligining xarakteristikalari hisoblanadi.

Aholining statistik birliklari belgisidagi oʻzgarishlar, shuningdek, taqsimlanish xarakteri qatorning oʻrtacha darajasi, oʻrtacha chiziqli ogʻish, standart ogʻish, dispersiyani oʻz ichiga olgan variatsion qatorning koʻrsatkichlari va xarakteristikalari yordamida oʻrganiladi. , tebranish koeffitsientlari, o'zgaruvchanlik, assimetriya, kurtoz va boshqalar.

O'rtacha qiymatlar tarqatish markazini tavsiflash uchun ishlatiladi. O'rtacha umumiy statistik xarakteristikada bo'lib, unda o'rganilayotgan populyatsiya a'zolariga xos xususiyatning tipik darajasi miqdoriy ifodalanadi. Biroq, arifmetik o'rtacha taqsimotning boshqa tabiatiga to'g'ri keladigan holatlar bo'lishi mumkin, shuning uchun variatsiya qatorlarining statistik xarakteristikalari sifatida tizimli o'rtacha deb ataladiganlar - rejim, median, shuningdek taqsimotni ajratuvchi kvantlar hisoblanadi. qatorlarni teng qismlarga (kvartillar, desillar, foizlar va boshqalar) ajrating.

Moda - bu taqsimot qatorida uning boshqa qiymatlariga qaraganda tez-tez uchraydigan xususiyatning qiymati. Diskret seriyalar uchun bu eng yuqori chastotali variant. Intervalli variatsion qatorlarda rejimni aniqlash uchun eng avvalo u joylashgan intervalni, modal interval deb ataladigan intervalni aniqlash kerak. Teng intervalli variatsion qatorda modal interval eng yuqori chastota bilan, teng bo'lmagan intervalli ketma-ketlikda - lekin eng yuqori taqsimlanish zichligi bilan aniqlanadi. Keyin, teng intervalli qatorlarda rejimni aniqlash uchun formulani qo'llang

bu erda Mo - modaning qiymati; x Mo - modal intervalning pastki chegarasi; h- modal intervalli kengligi; / Mo - modal interval chastotasi; / Mo j - modadan oldingi intervalning chastotasi; / Mo+1 - postmodal intervalning chastotasi va bu hisoblash formulasida teng bo'lmagan intervallarga ega bo'lgan seriyalar uchun / Mo, / Mo, / Mo chastotalari o'rniga tarqatish zichligi qo'llanilishi kerak. Aql 0 _| , Aql 0> UMO+"

Agar bitta rejim mavjud bo'lsa, unda tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti unimodal deb ataladi; agar bir nechta rejim mavjud bo'lsa, u multimodal (polimodal, multimodal), ikkita rejimda - bimodal deb ataladi. Qoida tariqasida, multimodallik o'rganilayotgan taqsimot normal taqsimot qonuniga rioya qilmasligini ko'rsatadi. Bir hil populyatsiyalar, qoida tariqasida, unimodal taqsimot bilan tavsiflanadi. Multivertex, shuningdek, o'rganilayotgan populyatsiyaning heterojenligini ko'rsatadi. Ikki yoki undan ortiq cho'qqilarning paydo bo'lishi ko'proq bir hil guruhlarni ajratish uchun ma'lumotlarni qayta guruhlashni talab qiladi.

Intervalli o'zgarishlar seriyasida rejimni gistogramma yordamida grafik tarzda aniqlash mumkin. Buning uchun gistogrammaning eng yuqori ustunining yuqori nuqtalaridan ikkita qo'shni ustunning yuqori nuqtalarigacha ikkita kesishuvchi chiziq chiziladi. Keyin, ularning kesishgan nuqtasidan abtsissa o'qiga perpendikulyar tushiriladi. Perpendikulyarga mos keladigan abscissadagi xususiyat qiymati rejimdir. Ko'p hollarda populyatsiyani umumlashtirilgan ko'rsatkich sifatida tavsiflashda o'rtacha arifmetik emas, balki rejimga ustunlik beriladi.

Median - bu xususiyatning markaziy qiymati; unga tartiblangan taqsimot seriyasining markaziy a'zosi egalik qiladi. Diskret qatorlarda mediananing qiymatini topish uchun birinchi navbatda uning seriya raqami aniqlanadi. Buning uchun toq sonli birliklar bilan barcha chastotalar yig'indisiga bitta qo'shiladi, raqam ikkiga bo'linadi. Agar juft son 1 bo'lsa, ketma-ketlikda 2 ta mediana 1 bo'ladi, shuning uchun bu holda median 2 mediana 1 ning o'rtacha qiymatlari sifatida aniqlanadi. Shunday qilib, diskret variatsiya qatoridagi mediana qatorni bir xil sonli variantlarni o'z ichiga olgan ikki qismga ajratadigan qiymatdir.

Intervalli qatorda mediananing tartib raqami aniqlangandan so'ng, to'plangan chastotalar (chastotalar) bo'yicha median interval topiladi, so'ngra medianani hisoblash formulasidan foydalanib, mediananing o'zi qiymati aniqlanadi:

bu erda Me - mediananing qiymati; x Men - median intervalning pastki chegarasi; h- o'rtacha oraliq kengligi; - tarqatish qatorlari chastotalari yig'indisi; /D - o'rtacha oldingi intervalning to'plangan chastotasi; / Me - median intervalning chastotasi.

Medianani yig'ish yordamida grafik tarzda topish mumkin. Buning uchun to‘plangan chastotalar (chastotalar) shkalasida mediananing tartib raqamiga to‘g‘ri keladigan nuqtadan abscissa o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziq u kumulyat bilan kesishguncha o‘tkaziladi. Bundan tashqari, ko'rsatilgan to'g'ri chiziqning kumulyat bilan kesishgan nuqtasidan abscissa o'qiga perpendikulyar tushiriladi. Chizilgan ordinataga (perpendikulyar) mos keladigan x o'qidagi xususiyatning qiymati mediana hisoblanadi.

Median quyidagi xususiyatlar bilan tavsiflanadi.

• 1. Bu uning har ikki tomonida joylashgan atribut qiymatlariga bog'liq emas.
• 2. U minimallik xususiyatiga ega, ya'ni atribut qiymatlarining medianadan mutlaq og'ishlari yig'indisi atribut qiymatlarining boshqa har qanday qiymatdan chetlanishiga nisbatan minimal qiymatdir.
• 3. Ikki taqsimotni ma'lum medianalar bilan birlashtirganda, yangi taqsimotning median qiymatini oldindan taxmin qilish mumkin emas.

Medianning bu xususiyatlari ommaviy xizmat ko'rsatish punktlari - maktablar, poliklinikalar, yoqilg'i quyish shoxobchalari, suv nasoslari va boshqalarni joylashtirishni loyihalashda keng qo'llaniladi. Masalan, shaharning ma'lum bir kvartalida poliklinika qurish rejalashtirilgan bo'lsa, uni chorakning uzunligini emas, balki aholi sonini ikkiga bo'ladigan nuqtaga joylashtirish maqsadga muvofiqdir.

Rejim, median va o'rtacha arifmetik nisbatlarning nisbati belgining agregatda taqsimlanish xususiyatini ko'rsatadi, taqsimotning simmetriyasini baholashga imkon beradi. Agar x Me keyin qatorning o'ng qo'li assimetriyasi mavjud. Oddiy taqsimot bilan X - Men - Mo.

K.Pirson har xil turdagi egri chiziqlarning tekislanishiga asoslanib, o'rtacha assimetrik taqsimotlar uchun o'rtacha arifmetik, mediana va rejim o'rtasidagi quyidagi taqribiy munosabatlar o'rinli ekanligini aniqladi:

bu erda Me - mediananing qiymati; Mo - moda qiymati; x arifm - o'rtacha arifmetik qiymatning qiymati.

Agar o'zgaruvchanlik seriyasining tuzilishini batafsilroq o'rganish zarurati tug'ilsa, xarakterli qiymatlar medianaga o'xshash hisoblanadi. Bunday xususiyat qiymatlari barcha taqsimot birliklarini teng sonlarga ajratadi, ular kvantlar yoki gradientlar deb ataladi. Kvantillar kvartillar, desillar, protsentillar va boshqalarga bo'linadi.

Kvartillar aholini to'rtta teng qismga ajratadi. Birinchi chorak birinchi choraklik intervalni oldindan aniqlagan holda birinchi chorakni hisoblash formulasidan foydalangan holda medianaga o'xshash tarzda hisoblanadi:

bu erda Qi - birinchi kvartilning qiymati; xQ^- birinchi kvartil oralig'ining pastki chegarasi; h- birinchi choraklik intervalning kengligi; /, - intervalli qator chastotalari;

Birinchi kvartil oralig'idan oldingi oraliqda to'plangan chastota; Jq ( - birinchi kvartil intervalining chastotasi.

Birinchi chorak aholi birliklarining 25% uning qiymatidan kamroq, 75% esa ko'proq ekanligini ko'rsatadi. Ikkinchi kvartil medianaga teng, ya'ni. Q2 = men.

O'xshashlik bo'yicha, uchinchi choraklik intervalni oldindan topib, uchinchi chorak hisoblanadi:

uchinchi kvartil oralig'ining pastki chegarasi qaerda; h- uchinchi kvartil intervalining kengligi; /, - intervalli qator chastotalari; /X"- oldingi intervalda to'plangan chastota

G

uchinchi kvartil interval; Jq - uchinchi kvartil intervalining chastotasi.

Uchinchi chorak aholi birliklarining 75% uning qiymatidan kamroq, 25% esa ko'proq ekanligini ko'rsatadi.

Uchinchi va birinchi kvartillar o'rtasidagi farq kvartillararo diapazondir:

bu yerda Aq - kvartillararo intervalning qiymati; 3-savol - uchinchi kvartilning qiymati; Q, - birinchi kvartilning qiymati.

Desillar aholini 10 ta teng qismga ajratadi. O'nlik - aholining o'ndan bir qismiga to'g'ri keladigan taqsimot qatoridagi xususiyatning qiymati. Kvartillarga o'xshatib, birinchi o'nlik aholi birliklarining 10% uning qiymatidan kam va 90% ko'proq ekanligini ko'rsatadi va to'qqizinchi o'nlik aholi birliklarining 90% uning qiymatidan kamroq ekanligini va 10% ni ko'rsatadi. Ko'proq. To'qqizinchi va birinchi o'nliklarning nisbati, ya'ni. o'nlik koeffitsienti, eng badavlat aholining 10% va eng kam badavlat aholining 10% daromad darajasi nisbatini o'lchash uchun daromadlarni farqlashni o'rganishda keng qo'llaniladi. Foizlar reytingdagi aholini 100 ta teng qismga ajratadi. Persentillarni hisoblash, ma'nosi va ishlatilishi o'nliklarga o'xshaydi.

Kvartillar, o'nliklar va boshqa strukturaviy xususiyatlarni kumulyat yordamida medianaga o'xshash tarzda grafik tarzda aniqlash mumkin.

Variatsiya hajmini o'lchash uchun quyidagi ko'rsatkichlar qo'llaniladi: o'zgaruvchanlik diapazoni, o'rtacha chiziqli og'ish, standart og'ish va dispersiya. O'zgaruvchanlik diapazonining kattaligi butunlay seriyaning ekstremal a'zolarining taqsimlanishining tasodifiyligiga bog'liq. Ushbu ko'rsatkich atribut qiymatlaridagi o'zgarishlar amplitudasi nima ekanligini bilish muhim bo'lgan hollarda qiziqish uyg'otadi:

Qayerda R- o'zgaruvchanlik diapazonining qiymati; x max - xususiyatning maksimal qiymati; x tt - xususiyatning minimal qiymati.

Variatsiya diapazonini hisoblashda qator a'zolarining katta ko'pchiligining qiymati hisobga olinmaydi, o'zgaruvchanlik qator a'zosining har bir qiymati bilan bog'lanadi. Bu kamchilikda belgining individual qiymatlarining o'rtacha qiymatidan chetlanishidan olingan o'rtacha ko'rsatkichlar mavjud emas: o'rtacha chiziqli og'ish va standart og'ish. O'rtacha qiymatdan individual og'ishlar va ma'lum bir xususiyatning o'zgarishi o'rtasida bevosita bog'liqlik mavjud. O'zgaruvchanlik qanchalik kuchli bo'lsa, o'rtacha qiymatdan chetlanishlarning mutlaq hajmi shunchalik katta bo'ladi.

O'rtacha chiziqli og'ish - bu individual variantlarning o'rtacha qiymatidan chetlanishlarining mutlaq qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Guruhlanmagan ma'lumotlar uchun o'rtacha chiziqli og'ish

bu erda / pr - o'rtacha chiziqli og'ishning qiymati; x, - - xususiyatning qiymati; X - P - aholi birliklari soni.

Guruhlangan seriyali o'rtacha chiziqli og'ish

bu erda / vz - o'rtacha chiziqli og'ishning qiymati; x, - xususiyatning qiymati; X - o'rganilayotgan populyatsiya uchun belgining o'rtacha qiymati; / - alohida guruhdagi aholi birliklari soni.

Bu holda og'ish belgilari e'tiborga olinmaydi, aks holda barcha og'ishlarning yig'indisi nolga teng bo'ladi. Tahlil qilinayotgan ma'lumotlarning guruhlanishiga qarab o'rtacha chiziqli og'ish turli formulalar yordamida hisoblanadi: guruhlangan va guruhlanmagan ma'lumotlar uchun. O'rtacha chiziqli og'ish, o'zining an'anaviyligi tufayli, boshqa o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlaridan alohida, amalda nisbatan kam qo'llaniladi (xususan, etkazib berishning bir xilligi nuqtai nazaridan shartnoma majburiyatlarining bajarilishini tavsiflash uchun; tashqi savdo aylanmasini tahlil qilishda, xodimlarning tarkibi, ishlab chiqarish ritmi, mahsulot sifati, ishlab chiqarishning texnologik xususiyatlarini hisobga olgan holda va boshqalar).

Standart og'ish o'rganilayotgan belgining individual qiymatlari populyatsiya uchun o'rtacha qiymatdan o'rtacha qanchalik og'ishini tavsiflaydi va o'rganilayotgan belgi birliklarida ifodalanadi. Standart og'ish o'zgaruvchanlikning asosiy ko'rsatkichlaridan biri bo'lib, bir jinsli populyatsiyadagi belgi o'zgaruvchanligi chegaralarini baholashda, normal taqsimot egri chizig'i ordinatalari qiymatlarini aniqlashda keng qo'llaniladi. namunaviy kuzatishni tashkil etish va tanlama xarakteristikalarining to'g'riligini belgilash bilan bog'liq hisob-kitoblar. Guruhlanmagan ma'lumotlar uchun standart og'ish quyidagi algoritm bo'yicha hisoblanadi: o'rtacha qiymatdan har bir og'ish kvadratga olinadi, barcha kvadratlar yig'iladi, shundan so'ng kvadratlar yig'indisi qatordagi hadlar soniga bo'linadi va kvadrat ildizdan olinadi. ko'rsatkich:

bu erda a Iip - standart og'ishning qiymati; Xj- xususiyat qiymati; X- o'rganilayotgan populyatsiya uchun atributning o'rtacha qiymati; P - aholi birliklari soni.

Guruhlangan tahlil qilingan ma'lumotlar uchun ma'lumotlarning standart og'ishi vaznli formuladan foydalanib hisoblanadi

Qayerda - standart og'ishning qiymati; Xj- xususiyat qiymati; X - o'rganilayotgan populyatsiya uchun belgining o'rtacha qiymati; fx- ma'lum bir guruhdagi aholi birliklari soni.

Ikkala holatda ham ildiz ostidagi ifoda dispersiya deb ataladi. Shunday qilib, dispersiya xususiyat qiymatlarining o'rtacha qiymatidan chetlanishlarining o'rtacha kvadrati sifatida hisoblanadi. Og'irlanmagan (oddiy) xususiyat qiymatlari uchun dispersiya quyidagicha aniqlanadi:

Og'irlangan xarakterli qiymatlar uchun

Dispersiyani hisoblashning maxsus soddalashtirilgan usuli ham mavjud: umumiy ma'noda

vaznsiz (oddiy) xususiyat qiymatlari uchun vaznli xarakterli qiymatlar uchun
shartli noldan hisoblash usulidan foydalanish

bu erda a 2 - dispersiyaning qiymati; x, - - xususiyatning qiymati; X - xususiyatning o'rtacha qiymati, h- guruh oralig'i qiymati, t 1 - vazn (A =

Dispersiya statistikada mustaqil ifodaga ega va o'zgaruvchanlikning eng muhim ko'rsatkichlaridan biridir. U o'rganilayotgan belgining o'lchov birliklarining kvadratiga mos keladigan birliklarda o'lchanadi.

Dispersiya quyidagi xususiyatlarga ega.

• 1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng.
• 2. Xususiyatning barcha qiymatlarini bir xil A qiymatiga kamaytirish dispersiya qiymatini o'zgartirmaydi. Bu shuni anglatadiki, og'ishlarning o'rtacha kvadrati atributning berilgan qiymatlaridan emas, balki ularning biron bir doimiy sondan og'ishidan hisoblanishi mumkin.
• 3. Funktsiyaning barcha qiymatlarini kamaytirish k marta ichida dispersiyani kamaytiradi k 2 marta, standart og'ish esa - in k marta, ya'ni. barcha atribut qiymatlarini ba'zi bir doimiy songa bo'lish mumkin (aytaylik, ketma-ketlik oralig'ining qiymati bo'yicha), standart og'ish hisoblanishi va keyin doimiy songa ko'paytirilishi mumkin.
• 4. Har qanday qiymatdan chetlanishlarning o'rtacha kvadratini hisoblasak Va da arifmetik o'rtachadan ma'lum darajada farq qiladi, keyin u har doim o'rtacha arifmetikdan hisoblangan og'ishlarning o'rtacha kvadratidan katta bo'ladi. Bunday holda, og'ishlarning o'rtacha kvadrati aniq belgilangan qiymatga - o'rtacha va shartli ravishda olingan qiymat o'rtasidagi farqning kvadratiga kattaroq bo'ladi.

Muqobil xususiyatning o'zgarishi - aholi birliklarida o'rganilayotgan mulkning mavjudligi yoki yo'qligi. Miqdoriy jihatdan muqobil atributning oʻzgarishi ikki qiymat bilan ifodalanadi: oʻrganilayotgan xususiyatning birlikda mavjudligi bitta (1) bilan, yoʻqligi esa nol (0) bilan belgilanadi. O'rganilayotgan xususiyatga ega bo'lgan birliklar nisbati P bilan, bu xususiyatga ega bo'lmagan birliklar nisbati bilan belgilanadi. G. Shunday qilib, muqobil atributning dispersiyasi ma'lum xususiyatga (P) ega bo'lgan birliklar nisbatining ushbu xususiyatga ega bo'lmagan birliklar nisbatiga ko'paytmasiga tengdir. (G). Aholining eng katta o'zgarishiga aholining umumiy hajmining 50% ni tashkil etuvchi bir qismi xususiyatga ega bo'lgan va aholining boshqa qismi, shuningdek, 50% ga teng bo'lmagan hollarda erishiladi. bu xususiyat, dispersiya 0,25 maksimal qiymatga yetganda, m .e. P = 0,5, G= 1 - P \u003d 1 - 0,5 \u003d 0,5 va o 2 \u003d 0,5 0,5 \u003d 0,25. Ushbu ko'rsatkichning pastki chegarasi nolga teng bo'lib, bu agregatda hech qanday o'zgarish bo'lmagan vaziyatga to'g'ri keladi. Muqobil xususiyatning dispersiyasini amaliy qo'llash namunaviy kuzatishni o'tkazishda ishonch oraliqlarini qurishdir.

Dispersiya va standart og'ish qanchalik kichik bo'lsa, populyatsiya shunchalik bir xil bo'ladi va o'rtacha ko'rsatkich shunchalik tipik bo'ladi. Statistik amaliyotda ko'pincha turli xil xususiyatlarning o'zgarishini taqqoslash kerak bo'ladi. Masalan, ishchilarning yoshi va ularning malakasi, ish staji va ish haqi, tannarx va foyda, xizmat muddati va mehnat unumdorligi va boshqalardagi o'zgarishlarni solishtirish qiziq. Bunday taqqoslash uchun xususiyatlarning mutlaq o'zgaruvchanligi ko'rsatkichlari mos kelmaydi: yillar bilan ifodalangan ish tajribasining o'zgaruvchanligini rublda ko'rsatilgan ish haqining o'zgarishi bilan solishtirish mumkin emas. Bunday taqqoslashlarni amalga oshirish uchun, shuningdek, turli arifmetik vositalarga ega bo'lgan bir nechta populyatsiyalarda bir xil atributning tebranishini taqqoslash uchun variatsiya ko'rsatkichlari - tebranish koeffitsienti, chiziqli o'zgarish koeffitsienti va o'zgarish koeffitsienti qo'llaniladi, ular o'lchovni ko'rsatadi. ekstremal qiymatlarning o'rtacha atrofida tebranishlari.

Tebranish omili:

Qayerda V R - tebranish koeffitsientining qiymati; R- o'zgaruvchanlik diapazonining qiymati; X -

Chiziqli o'zgaruvchanlik koeffitsienti".

Qayerda vj- chiziqli o'zgarish koeffitsientining qiymati; men- o'rtacha chiziqli og'ishning qiymati; X - o'rganilayotgan populyatsiya uchun belgining o'rtacha qiymati.

O'zgaruvchanlik koeffitsienti:

Qayerda Va- o'zgaruvchanlik koeffitsientining qiymati; a - standart og'ishning qiymati; X - o'rganilayotgan populyatsiya uchun belgining o'rtacha qiymati.

Tebranish koeffitsienti - o'zgaruvchanlik diapazonining o'rganilayotgan belgining o'rtacha qiymatiga nisbati, chiziqli o'zgarish koeffitsienti - o'rtacha chiziqli og'ishning o'rganilayotgan belgining o'rtacha qiymatiga nisbati, foizda ifodalanadi. Variatsiya koeffitsienti - standart og'ishning o'rganilayotgan belgining o'rtacha qiymatiga nisbati. Foiz sifatida ifodalangan nisbiy qiymat sifatida o'zgaruvchanlik koeffitsienti turli belgilarning o'zgaruvchanlik darajasini solishtirish uchun ishlatiladi. Variatsiya koeffitsientidan foydalanib, statistik populyatsiyaning bir xilligi baholanadi. Agar o'zgaruvchanlik koeffitsienti 33% dan kam bo'lsa, u holda o'rganilayotgan populyatsiya bir hil bo'lib, o'zgaruvchanlik zaifdir. Agar o'zgaruvchanlik koeffitsienti 33% dan katta bo'lsa, u holda o'rganilayotgan populyatsiya heterojen, o'zgaruvchanlik kuchli va o'rtacha qiymat atipik bo'lib, bu populyatsiyaning umumlashtiruvchi ko'rsatkichi sifatida foydalanish mumkin emas. Bundan tashqari, o'zgaruvchanlik koeffitsientlari turli populyatsiyalarda bir belgining tebranishini solishtirish uchun ishlatiladi. Masalan, ikkita korxonada ishchilarning ish stajining o'zgarishini baholash. Koeffitsientning qiymati qanchalik baland bo'lsa, xususiyatning o'zgarishi shunchalik muhim bo'ladi.

Hisoblangan kvartillarga asoslanib, formuladan foydalanib, choraklik o'zgarishlarning nisbiy ko'rsatkichini hisoblash ham mumkin.

qaerda Q 2 Va

Kvartallar oralig'i formula bo'yicha aniqlanadi

Ekstremal qiymatlardan foydalanish bilan bog'liq kamchiliklardan qochish uchun o'zgarishlar oralig'i o'rniga kvartil og'ish qo'llaniladi:

Teng bo'lmagan intervalli variatsion qatorlar uchun taqsimot zichligi ham hisoblanadi. U mos keladigan chastota yoki chastotaning interval qiymatiga bo'lingan qismi sifatida aniqlanadi. Teng bo'lmagan intervalli qatorlarda mutlaq va nisbiy taqsimot zichliklari qo'llaniladi. Mutlaq taqsimot zichligi intervalning birlik uzunligidagi chastotadir. Nisbiy taqsimot zichligi - intervalning birlik uzunligidagi chastota.

Yuqoridagilarning barchasi taqsimot qonuni normal taqsimot qonuni bilan yaxshi tavsiflangan yoki unga yaqin bo'lgan taqsimot qatorlari uchun to'g'ri keladi.

o'zgaruvchan miqdoriy asosda qurilgan tarqatish seriyalari deb ataladi. Aholining alohida birliklarida miqdoriy xususiyatlarning qiymatlari doimiy emas, bir-biridan ko'proq yoki kamroq farq qiladi.

Variatsiya- atribut qiymatining populyatsiya birliklarida tebranishi, o'zgaruvchanligi. O'rganilayotgan populyatsiyada yuzaga keladigan belgining alohida raqamli qiymatlari deyiladi variantlari qiymatlar. Populyatsiyani to'liq tavsiflash uchun o'rtacha qiymatning etarli emasligi o'rganilayotgan belgining tebranishini (variatsiyasini) o'lchash orqali ushbu o'rtacha ko'rsatkichlarning tipikligini baholash imkonini beradigan ko'rsatkichlar bilan o'rtacha qiymatlarni to'ldirishni talab qiladi.

Variatsiyaning mavjudligi xususiyat darajasining shakllanishiga ko'p sonli omillarning ta'siri bilan bog'liq. Bu omillar teng bo'lmagan kuch bilan va turli yo'nalishlarda harakat qiladi. O'zgaruvchanlik ko'rsatkichlari xususiyatlarning o'zgaruvchanligini tavsiflash uchun ishlatiladi.

O'zgaruvchanlikni statistik o'rganish vazifalari:

• 1) aholining alohida birliklarida belgilarning o'zgarishi tabiati va darajasini o'rganish;
• 2) populyatsiyaning ayrim belgilarining o'zgarishida alohida omillar yoki ularning guruhlari rolini aniqlash.

Statistikada ko'rsatkichlar tizimidan foydalanishga asoslangan o'zgaruvchanlikni o'rganish uchun maxsus usullar qo'llaniladi, Bilan qaysi bilan o'zgaruvchanlik o'lchanadi.

O'zgaruvchanlikni o'rganish juda muhimdir. Variatsiyalarni o'lchash namunaviy kuzatish, korrelyatsiya va dispersiya tahlili va boshqalarni o'tkazishda zarur. Ermolaev O.Yu. Psixologlar uchun matematik statistika: Darslik [Matn] / O.Yu. Ermolayev. - M .: Moskva Psixologik va ijtimoiy institutining Flint nashriyoti, 2012. - 335p.

O'zgaruvchanlik darajasiga ko'ra, aholining bir xilligi, xususiyatlarning individual qiymatlarining barqarorligi va o'rtacha ko'rsatkichning tipikligini baholash mumkin. Ular asosida belgilar orasidagi bog'lanishning yaqinligi ko'rsatkichlari, tanlab kuzatishning to'g'riligini baholash ko'rsatkichlari ishlab chiqiladi.

Fazoda o'zgaruvchanlik va vaqtning o'zgarishi mavjud.

Kosmosdagi o'zgarishlar deganda, alohida hududlarni ifodalovchi populyatsiya birliklarida xususiyat qiymatlarining o'zgarishi tushuniladi. Vaqt o'zgarishi deganda atribut qiymatlarining turli davrlarda o'zgarishi tushuniladi.

Tarqatish qatoridagi o'zgarishlarni o'rganish uchun atribut qiymatlarining barcha variantlari o'sish yoki kamayish tartibida joylashtirilgan. Bu jarayon ketma-ket tartiblash deb ataladi.

O'zgaruvchanlikning eng oddiy belgilari minimal va maksimal- agregatdagi atributning eng kichik va eng katta qiymati. Xususiyat qiymatlarining individual variantlarini takrorlash soni takrorlanish chastotasi (fi) deb ataladi. Chastotalarni chastotalar bilan almashtirish qulay - wi. Chastota - chastotaning nisbiy ko'rsatkichi, u birlikning kasrlarida yoki foizlarda ifodalanishi mumkin va turli xil kuzatuvlar soni bilan o'zgaruvchan qatorlarni solishtirish imkonini beradi. Formula bilan ifodalanadi:

bu erda Xmax, Xmin - agregatdagi atributning maksimal va minimal qiymatlari; n - guruhlar soni.

Belgilarning o'zgaruvchanligini o'lchash uchun turli xil mutlaq va nisbiy ko'rsatkichlar qo'llaniladi. Variatsiyaning mutlaq ko'rsatkichlariga o'zgaruvchanlik diapazoni, o'rtacha chiziqli og'ish, dispersiya, standart og'ish kiradi. Dalgalanishning nisbiy ko'rsatkichlariga tebranish koeffitsienti, nisbiy chiziqli og'ish, o'zgaruvchanlik koeffitsienti kiradi.

Variatsion qatorni topishga misol

Mashq qilish. Ushbu namuna uchun:

• a) Variatsion qatorni toping;
• b) taqsimot funksiyasini tuzing;

No=42. Namuna buyumlar:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Yechim.

• a) darajali variatsion qatorni qurish:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• b) diskret variatsion qatorni qurish.

Sturgess formulasidan foydalanib, variatsion qatordagi guruhlar sonini hisoblaymiz:

7 ga teng guruhlar sonini olaylik.

Guruhlar sonini bilib, biz intervalning qiymatini hisoblaymiz:

Jadvalni qurish qulayligi uchun biz 8 ga teng guruhlar sonini olamiz, interval 1 bo'ladi.

Guruch. 1 Do'kon tomonidan ma'lum vaqt davomida tovarlarni sotish hajmi