Raqamning ildizini darajaga qanday hisoblash mumkin. Muhandislik kalkulyatori. Ildiz belgisi ostida kirish

Amalda ildizni ajratib olish operatsiyasidan muvaffaqiyatli foydalanish uchun siz ushbu operatsiyaning xususiyatlari bilan tanishishingiz kerak.
Barcha xususiyatlar faqat ildiz belgilari ostida joylashgan o'zgaruvchilarning salbiy bo'lmagan qiymatlari uchun tuzilgan va isbotlangan.

Teorema 1. Ildiz n-daraja(n = 2, 3, 4, ...) ikkita manfiy bo'lmagan chipcell mahsulotidan mahsulotga teng n-ning ildizlari bu raqamlarning vakolatlari:

Izoh:

1. Radikal ifoda ikkitadan ortiq manfiy bo'lmagan sonlarning ko'paytmasi bo'lgan holatda 1-teorema o'z kuchida qoladi.

Teorema 2.Agar, va n - natural son 1 dan katta, keyin tenglik

Qisqacha(aniq bo'lmasa ham) amalda qo'llash qulayroq formula: kasrning ildizi ildizlarning ulushiga teng.

1-teorema m ni ko'paytirishga imkon beradi faqat bir xil darajadagi ildizlar , ya'ni. faqat bir xil indeksli ildizlar.

3-teorema Agar ,k natural son, n esa 1 dan katta natural son, keyin tenglik

Boshqacha qilib aytganda, ildiz otish uchun tabiiy daraja, radikal ifodani shu darajaga ko'tarish kifoya.
Bu 1-teoremaning natijasidir. Darhaqiqat, masalan, k = 3 uchun biz quyidagilarni olamiz: Xuddi shu tarzda, k ko'rsatkichining boshqa har qanday natural qiymatida ham fikr yuritish mumkin.

4-teorema Agar ,k, n 1 dan katta natural sonlar, keyin tenglik

Boshqacha qilib aytganda, ildizdan ildiz olish uchun ildizlarning indekslarini ko'paytirish kifoya.
Masalan,

Diqqatli bo'ling! Biz ildizlar ustida to'rtta amalni bajarish mumkinligini bilib oldik: ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va ildiz chiqarish (ildizdan). Ammo ildizlarni qo'shish va ayirish haqida nima deyish mumkin? Bo'lishi mumkin emas.
Misol uchun, uning o'rniga Haqiqatan ham yozish mumkin emas, lekin bu aniq

5-teorema Agar ildiz va radikal ifoda indekslari bir xil natural songa ko'paytirilsa yoki bo'linadi, keyin ildizning qiymati o'zgarmaydi, ya'ni.

Vazifalarni hal qilish misollari

1-misol. Hisoblash

Yechim. Ildizlarning birinchi xossasidan (1-teorema) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

2-misol. Hisoblash
Yechim. Aralash sonni noto'g'ri kasrga aylantiring.
Bizda ildizlarning ikkinchi xususiyatidan foydalanish ( Teorema 2 ), biz olamiz:

3-misol. Hisoblash:

Yechim. Algebradagi har qanday formula, siz yaxshi bilganingizdek, nafaqat "chapdan o'ngga", balki "o'ngdan chapga" ham qo'llaniladi. Demak, ildizlarning birinchi xossasi uning shaklda ifodalanishi va aksincha, ifoda bilan almashtirilishini bildiradi. Xuddi shu narsa ildizlarning ikkinchi xususiyatiga ham tegishli. Buni hisobga olib, hisob-kitoblarni amalga oshiramiz.

Misollar:

\ (\ sqrt (16) = 2 \) beri \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), chunki \ ((- \ frac (1) (5) ) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (125) \)

n-chi ildizni qanday hisoblash mumkin?

\ (n \) - th daraja ildizini hisoblash uchun siz o'zingizga savol berishingiz kerak: \ (n \) - th darajasida qanday raqam ildiz ostida beradi?

masalan... Ildizni hisoblang \ (n \) - th daraja: a) \ (\ sqrt (16) \); b) \ (\ sqrt (-64) \); c) \ (\ sqrt (0,00001) \); d) \ (\ sqrt (8000) \); e) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).

a) \ (4 \) --chi darajadagi qaysi raqam \ (16 \) beradi? Shubhasiz, \ (2 \). Shunday qilib:

b) \ (3 \) --chi darajadagi qaysi son \ (- 64 \) ni beradi?

\ (\ sqrt (-64) = - 4 \)

c) \ (5 \) --chi darajadagi qaysi raqam \ (0,00001 \) beradi?

\ (\ sqrt (0,00001) = 0,1 \)

d) \ (3 \) --chi darajadagi qaysi son \ (8000 \) beradi?

\ (\ sqrt (8000) = 20 \)

e) \ (4 \) --chi darajali \ (\ frac (1) (81) \) qaysi sonni beradi?

\ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) = \ frac (1) (3) \)

Biz eng ko'p ko'rib chiqdik oddiy misollar ildiz bilan \ (n \) - th daraja. Ildiz bilan murakkabroq masalalarni hal qilish uchun \ (n \) - th daraja - ularni bilish juda muhimdir.

Misol. Hisoblash:

\ (\ sqrt 3 \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \) \ (= \)		Ayni paytda ildizlarning hech birini hisoblab bo'lmaydi. Shuning uchun ildizning \ (n \) - th daraja xususiyatlarini qo'llaymiz va ifodani o'zgartiramiz. \ (\ frac (\ sqrt (-64)) (\ sqrt (2)) \)\ (= \) \ (\ sqrt (\ frac (-64) (2)) \) \ (= \) \ (\ sqrt (-32) \) chunki \ (\ frac (\ sqrt [n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) \)\ (= \) \ (\ sqrt [n] (\ frac (a) (b)) \)
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \ sqrt (-32) = \)		Keling, birinchi davrdagi omillarni shunday tartibga keltiramiz Kvadrat ildiz va ildiz \ (n \) - th daraja yonma-yon turdi. Bu xususiyatlarni qo'llashni osonlashtiradi \ (n \) -th ildizlarning ko'pgina xususiyatlari faqat bir xil darajadagi ildizlar bilan ishlaydi. Va biz 5-darajali ildizni hisoblaymiz.
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (9) - (- 5) = \)		\ (\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [n] (b) = \ sqrt [n] (a \ cdot b) \) xususiyatini qo'llang va qavsni kengaytiring
\ (= \ sqrt (81) \ cdot \ sqrt (-27) + 5 = \)		\ (\ sqrt (81) \) va \ (\ sqrt (-27) \) ni hisoblang.
\ (= 9 \ cdot (-3) +5 = -27 + 5 = -22 \)

n-chi ildiz va kvadrat ildiz o'zaro bog'liqmi?

Har qanday holatda, har qanday darajadagi har qanday ildiz noma'lum shaklda yozilgan bo'lsa ham, shunchaki raqamdir.

n-darajali ildizning xususiyati

Ildiz \ (n \) - g'alati \ (n \) bilan th kuch har qanday raqamdan, hatto salbiy ham chiqarilishi mumkin (boshidagi misollarga qarang). Ammo agar \ (n \) juft bo'lsa (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...), unda bunday ildiz chiqariladi. faqat \ ( a ≥ 0 \) bo'lsa (aytmoqchi, kvadrat ildiz bir xil bo'lsa). Buning sababi shundaki, ildizni ajratib olish eksponentsiyaga qarama-qarshidir.

Va teng kuchga ko'tarish hatto salbiy sonni ham ijobiy qiladi. Haqiqatan ham, \ ((- 2) ^ 6 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). Shuning uchun biz ildiz ostidagi manfiy sonning juft kuchini ololmaymiz. Bu shuni anglatadiki, biz bunday ildizni manfiy raqamdan chiqara olmaymiz.

Bunday cheklovlarning g'alati darajasi yo'q - g'alati kuchga ko'tarilgan salbiy raqam salbiy bo'lib qoladi: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot ( -2) \ cdot (-2) = - 32 \). Shuning uchun, g'alati darajaning ildizi ostida siz salbiy raqamni olishingiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, siz uni salbiy raqamdan ham chiqarib olishingiz mumkin.

Muhandislik kalkulyatori onlayn

Biz barcha xohlovchilarga bepul muhandislik kalkulyatorini taqdim etishdan mamnunmiz. Uning yordami bilan har qanday talaba tez va eng muhimi, har xil turdagi matematik hisob-kitoblarni onlayn tarzda amalga oshirishi mumkin.

Kalkulyator saytdan olingan - web 2.0 ilmiy kalkulyator

Ko'zga tashlanmaydigan va tushunarli interfeysga ega oddiy va ishlatish uchun qulay muhandislik kalkulyatori haqiqatan ham Internet foydalanuvchilarining eng keng doirasi uchun foydali bo'ladi. Endi, sizga kalkulyator kerak bo'lganda, bizning veb-saytimizga tashrif buyuring va bepul muhandislik kalkulyatoridan foydalaning.

Muhandislik kalkulyatori oddiy arifmetik amallarni ham, ancha murakkab matematik hisoblarni ham bajarishga qodir.

Web20calc - bu juda ko'p funktsiyalarga ega bo'lgan muhandislik kalkulyatori, masalan, barcha elementar funktsiyalarni qanday hisoblash mumkin. Kalkulyator ham qo'llab-quvvatlaydi trigonometrik funktsiyalar, matritsalar, logarifmlar va hatto grafiklar.

Shubhasiz, Web20calc oddiy echimlarni qidirib, qidiruv tizimlarida so'rovni yozadigan odamlar guruhini qiziqtiradi: matematik onlayn kalkulyator... Bepul veb-ilova ba'zi matematik ifodalarning natijasini bir zumda hisoblashda yordam beradi, masalan, ayirish, qo'shish, bo'lish, ildizni ajratib olish, kuchga oshirish va hokazo.

Ifodada daraja, qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, foiz, doimiy PI amallaridan foydalanish mumkin. Murakkab hisob-kitoblar uchun qavslardan foydalaning.

Muhandislik kalkulyatorining xususiyatlari:

1. asosiy arifmetik amallar;
2. standart shakldagi raqamlar bilan ishlash;
3. trigonometrik ildizlar, funksiyalar, logarifmlar, darajali darajalarni hisoblash;
4. statistik hisoblar: qo'shish, o'rtacha arifmetik yoki standart og'ish;
5. xotira yacheykasi va 2 ta o'zgaruvchining foydalanuvchi tomonidan belgilangan funksiyalarini qo'llash;
6. radian va gradus o'lchovlarida burchaklar bilan ishlash.

Muhandislik kalkulyatori turli xil matematik funktsiyalardan foydalanishga imkon beradi:

Ildizlarni chiqarish (kvadrat ildiz, kubik va n-chi ildiz);
ex (e dan x darajaga), ko'rsatkich;
trigonometrik funksiyalar: sinus - sin, kosinus - cos, tangens - tan;
teskari trigonometrik funksiyalar: arksinus - sin-1, arkkosin - cos-1, arktangent - tan-1;
giperbolik funktsiyalar: sinus - sinh, kosinus - kosh, tangens - tan;
logarifmlar: ikkilik logarifm asosi ikki - log2x, o'nlik logarifm asosi o'n - log, natural logarifm - ln.

Ushbu muhandislik kalkulyatori shuningdek, turli o'lchov tizimlari - kompyuter birliklari, masofa, vazn, vaqt va boshqalar uchun fizik miqdorlarni o'zgartirish imkoniyatiga ega bo'lgan miqdor kalkulyatorini o'z ichiga oladi. Ushbu funksiya yordamida siz bir zumda millarni kilometrga, funtni kilogrammga, soniyalarni soatga va hokazolarga aylantirishingiz mumkin.

Matematik hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun avval tegishli maydonga matematik ifodalar ketma-ketligini kiriting, so'ngra tenglik belgisini bosing va natijani ko'ring. Siz qiymatlarni to'g'ridan-to'g'ri klaviaturadan kiritishingiz mumkin (buning uchun kalkulyator maydoni faol bo'lishi kerak, shuning uchun kursorni kiritish maydoniga qo'yish ortiqcha bo'lmaydi). Boshqa narsalar qatorida, ma'lumotlarni kalkulyatorning o'zida joylashgan tugmalar yordamida kiritish mumkin.

Kirish maydonida grafiklarni qurish uchun, misollar bilan maydonda ko'rsatilgandek funktsiyani yozing yoki maxsus ishlab chiqilgan asboblar panelidan foydalaning (unga o'tish uchun grafik ko'rinishidagi belgi bilan tugmani bosing). Qiymatlarni aylantirish uchun Unit tugmasini bosing, matritsalar bilan ishlash uchun - Matritsa.

Elektron jadval foydalanuvchilari raqamning ildizini chiqarish uchun funksiyadan keng foydalanadilar. Ma'lumotlar bilan ishlash odatda katta raqamlarni qayta ishlashni talab qilganligi sababli, qo'lda hisoblash juda qiyin bo'lishi mumkin. Ushbu maqolada siz Excel-da istalgan darajadagi ildizni olish masalasining batafsil tahlilini topasiz.

Bu juda oson vazifa, chunki dasturda ro'yxatdan olinishi mumkin bo'lgan alohida funktsiya mavjud. Buning uchun siz quyidagilarni bajarishingiz kerak:

1. Sichqonchaning chap tugmasi bilan bir marta bosish orqali funktsiyani ro'yxatdan o'tkazmoqchi bo'lgan katakchani tanlang. Qora kontur paydo bo'ladi, faol satr va ustun to'q sariq rangda ta'kidlanadi va ism manzil katagida paydo bo'ladi.

   

2. Ustun nomlari ustida, manzil katakchasidan keyin, formulalar satri oldidagi "fx" (Funktsiyani qo'shish) tugmasini bosing.

   

3. "Root" funksiyasini topishingiz kerak bo'lgan ochiladigan menyu paydo bo'ladi. Buni "Matematika" toifasida yoki "To'liq alifbo ro'yxati" da sichqoncha bilan menyuni pastga aylantirish orqali amalga oshirish mumkin.

   

4. Sichqonchaning chap tugmasi bilan bir marta bosish orqali "Root" elementini tanlang, so'ngra - "OK" tugmasini bosing.

   

5. Quyidagi menyu paydo bo'ladi - "Funktsiya argumentlari".

   

6. Raqamni kiriting yoki ushbu ifoda yoki formula avval yozilgan katakchani tanlang, buning uchun "Raqam" qatorida sichqonchaning chap tugmasi bilan bir marta bosing, keyin kursorni kerakli katak ustiga olib boring va ustiga bosing. Hujayra nomi avtomatik ravishda satrga to'ldiriladi.

   

7. "OK" tugmasini bosing.

   

8. Va hamma narsa tayyor, funktsiya kvadrat ildizni hisoblab chiqdi, natijani tanlangan hujayraga yozdi.

   

Bundan tashqari, raqam va katak (ushbu katakka to'plangan ma'lumotlar) yoki ikkita katakning yig'indisining kvadrat ildizini ajratib olish mumkin, buning uchun "Raqam" qatoriga qiymatlarni kiriting. Raqamni yozing va katakchaga bir marta bosing, dastur qo'shish belgisini o'zi qo'yadi.

Eslatmada! Ushbu funktsiyani qo'lda ham kiritish mumkin. Formulalar qatoriga quyidagi ifodani kiriting: "= ROOT (x)", bu erda x - siz izlayotgan raqam.

3, 4 va boshqa darajali ildizlarni olish.

Excelda bu ifodani yechish uchun alohida funksiya mavjud emas. n-chi ildizni chiqarish uchun avvalo uni matematik nuqtai nazardan ko'rib chiqish kerak.

n-chi ildiz raqamni qarama-qarshi darajaga ko'tarishga teng (1 / n). Ya'ni, kvadrat ildiz ½ (yoki 0,5) kuchdir.

Masalan:

• 16 ning to'rtinchi ildizi 16 ning ¼ kuchiga;
• kub ildizi 64 = 64 dan 1/3 quvvatga;

Elektron jadval dasturida buni amalga oshirishning ikki yo'li mavjud:

1. Funktsiyadan foydalanish.
2. "^" daraja belgisidan foydalanib, ifodani qo'lda kiriting.

Funktsiya yordamida istalgan darajadagi ildizni ajratib olish

1. Kerakli katakchani tanlang va "Formulalar" yorlig'ida "Funktsiyani qo'shish" tugmasini bosing.

   

2. Roʻyxatni Turkum ostida kengaytiring, Matematik yoki Toʻliq alifbo boʻyicha roʻyxat ostidagi Daraja funksiyasini toping.

   

   

3. "Raqam" qatoriga bir marta bosish orqali raqamni (bizning holimizda bu 64 raqami) yoki katak nomini kiriting.

   

4. "Daraja" qatorida ildizni ko'tarmoqchi bo'lgan darajani yozing (1/3).

   

   Muhim! Bo'linish belgisini ko'rsatish uchun standart bo'linish belgisi ":" emas, balki "/" belgisidan foydalanish kerak.

5. "OK" tugmasini bosing va harakat natijasi dastlab tanlangan katakda paydo bo'ladi.

   

   

Eslatma! Funktsiyalar bilan ishlash bo'yicha fotosurat bilan eng batafsil ko'rsatmalar uchun yuqoridagi maqolaga qarang.

"^" daraja belgisidan foydalanib istalgan daraja ildizini chiqarib oling

Eslatma! Daraja kasr yoki kasr shaklida yozilishi mumkin kasrli raqam... Masalan, ¼ kasrni 0,25 deb yozish mumkin. O'ndan, yuzdan, mingdan va hokazolarni ajratish uchun, matematikada odatiy bo'lganidek, vergul qo'ying..

Ifodalarni yozishga misollar