Funktsiyaning minimal nuqtasi nima? Nazariy material. Biz birgalikda funktsiyaning ekstremallarini qidirishni davom ettiramiz

Funksiyaning ekstremum nuqtasi funksiyani aniqlash sohasidagi nuqta, bunda funksiya qiymati minimal yoki maksimal qiymatni oladi. Funktsiyaning ushbu nuqtalardagi qiymatlari funktsiyaning ekstremal (minimal va maksimal) deb ataladi.

Ta'rif. Nuqta x1 funktsiya domeni f(x) deyiladi funktsiyaning maksimal nuqtasi , agar funktsiyaning ushbu nuqtadagi qiymati unga etarlicha yaqin joylashgan, uning o'ng va chap tomonida joylashgan nuqtalardagi funktsiya qiymatlaridan katta bo'lsa (ya'ni, tengsizlik o'rinli bo'ladi) f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimal.

Ta'rif. Nuqta x2 funktsiya domeni f(x) deyiladi funktsiyaning minimal nuqtasi, agar funktsiyaning ushbu nuqtadagi qiymati unga etarlicha yaqin bo'lgan, uning o'ng va chap tomonida joylashgan nuqtalardagi funktsiya qiymatlaridan kichik bo'lsa (ya'ni, tengsizlik o'rinli bo'ladi) f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Bu holda biz funktsiya nuqtada borligini aytamiz x2 eng kam.

Keling, nuqta aytaylik x1 - funksiyaning maksimal nuqtasi f(x). Keyin gacha bo'lgan oraliqda x1 funktsiyasi ortadi, shuning uchun funktsiyaning hosilasi noldan katta ( f "(x) > 0 ) va undan keyingi oraliqda x1 funktsiya kamayadi, shuning uchun funktsiyaning hosilasi noldan kam ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Keling, fikrni ham taxmin qilaylik x2 - funksiyaning minimal nuqtasi f(x). Keyin gacha bo'lgan oraliqda x2 funktsiya kamayib bormoqda va funktsiyaning hosilasi noldan kichik ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktsiya ortib bormoqda va funktsiyaning hosilasi noldan katta ( f "(x) > 0). Bu holatda ham nuqtada x2 funksiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas.

Ferma teoremasi (funksiya ekstremumining mavjudligining zaruriy belgisi). Agar nuqta x0 - funksiyaning ekstremum nuqtasi f(x) u holda bu nuqtada funktsiyaning hosilasi nolga teng ( f "(x) = 0 ) yoki mavjud emas.

Ta'rif. Funktsiyaning hosilasi nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi tanqidiy nuqtalar .

1-misol. Funktsiyani ko'rib chiqaylik.

Shu nuqtada x= 0 funktsiyaning hosilasi nolga teng, shuning uchun nuqta x= 0 - kritik nuqta. Biroq, funktsiyaning grafigida ko'rinib turganidek, u ta'rifning butun maydoni bo'ylab ortadi, shuning uchun nuqta x= 0 bu funksiyaning ekstremum nuqtasi emas.

Shunday qilib, nuqtadagi funktsiya hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan shartlar ekstremum uchun zarur shartlardir, ammo etarli emas, chunki bu shartlar bajarilgan funktsiyalarning boshqa misollarini keltirish mumkin, ammo funktsiya mos keladigan nuqtada ekstremumga ega emas. Shunung uchun etarli dalillar bo'lishi kerak, ma'lum bir tanqidiy nuqtada ekstremum bor yoki yo'qligini va u qanday ekstremum ekanligini - maksimal yoki minimal ekanligini aniqlashga imkon beradi.

Teorema (funksiya ekstremumining mavjudligining birinchi etarli belgisi). Kritik nuqta x0 f(x) agar bu nuqtadan oʻtganda funksiya hosilasi ishorani oʻzgartirsa va ishora “ortiqcha” dan “minus” ga oʻzgarmasa, u maksimal nuqta, agar “minus” dan “plyus”ga oʻtsa, u holda bu minimal nuqta.

Agar nuqtaga yaqin bo'lsa x0 , uning chap va o'ng tomonida hosila o'z belgisini saqlab qoladi, bu funktsiya nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida faqat kamayadi yoki faqat ortadi degan ma'noni anglatadi. x0 . Bunday holda, nuqtada x0 ekstremal yo'q.

Shunday qilib, funktsiyaning ekstremum nuqtalarini aniqlash uchun siz quyidagilarni bajarishingiz kerak :

1. Funktsiyaning hosilasini toping.
2. Hosilni nolga tenglashtiring va kritik nuqtalarni aniqlang.
3. Aqliy yoki qog'ozda raqamlar chizig'idagi kritik nuqtalarni belgilang va natijada olingan intervallarda funktsiya hosilasining belgilarini aniqlang. Agar lotin belgisi "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgartirilsa, kritik nuqta maksimal nuqta, agar "minus" dan "ortiqcha" bo'lsa, u holda minimal nuqta.
4. Ekstremum nuqtalarda funksiya qiymatini hisoblang.

2-misol. Funksiyaning ekstremal qismini toping .

Yechim. Funktsiyaning hosilasini topamiz:

Kritik nuqtalarni topish uchun hosilani nolga tenglashtiramiz:

.

"X" ning har qanday qiymatlari uchun maxraj nolga teng bo'lmaganligi sababli, raqamni nolga tenglashtiramiz:

Bitta muhim nuqta bor x= 3. Ushbu nuqta bilan chegaralangan oraliqlarda hosila belgisini aniqlaymiz:

minus cheksizlikdan 3 gacha bo'lgan oraliqda - minus belgisi, ya'ni funktsiya kamayadi,

3 dan plyus cheksizgacha bo'lgan oraliqda ortiqcha belgisi mavjud, ya'ni funksiya ortadi.

Ya'ni, davr x= 3 - minimal nuqta.

Funksiyaning minimal nuqtadagi qiymatini topamiz:

Shunday qilib, funksiyaning ekstremum nuqtasi topiladi: (3; 0) va u minimal nuqtadir.

Teorema (funksiya ekstremumining mavjudligining ikkinchi etarli belgisi). Kritik nuqta x0 funksiyaning ekstremum nuqtasidir f(x) agar funktsiyaning bu nuqtadagi ikkinchi hosilasi nolga teng bo'lmasa ( f ""(x) ≠ 0 ) va agar ikkinchi hosila noldan katta bo'lsa ( f ""(x) > 0 ), u holda maksimal nuqta va agar ikkinchi hosila noldan kichik bo'lsa ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Eslatma 1. Agar nuqtada x0 Agar birinchi va ikkinchi hosilalar yo'q bo'lib ketgan bo'lsa, bu holda ikkinchi etarli mezon asosida ekstremum mavjudligini hukm qilish mumkin emas. Bunday holda, siz funktsiyaning ekstremumi uchun birinchi etarli mezondan foydalanishingiz kerak.

Izoh 2. Funktsiya ekstremumining ikkinchi yetarli mezoni birinchi hosila statsionar nuqtada mavjud bo'lmaganda ham qo'llanilmaydi (keyin ikkinchi hosila ham mavjud emas). Bunday holda, siz funktsiya ekstremumining birinchi etarli belgisini ham ishlatishingiz kerak.

Funksiya ekstremalining mahalliy tabiati

Yuqoridagi ta'riflardan kelib chiqadiki, funktsiyaning ekstremumlari mahalliy xususiyatga ega - u yaqin qiymatlarga nisbatan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatidir.

Aytaylik, siz bir yil davomidagi daromadingizni ko'rib chiqyapsiz. Agar may oyida siz 45 000 rubl, aprelda 42 000 rubl va iyun oyida 39 000 rubl ishlab olgan bo'lsangiz, may oyidagi daromad yaqin qiymatlarga nisbatan daromad funktsiyasining maksimal ko'rsatkichidir. Ammo oktyabr oyida siz 71 000 rubl, sentyabrda 75 000 rubl va noyabr oyida 74 000 rubl ishlab oldingiz, shuning uchun oktyabr oyidagi daromadlar yaqin qiymatlarga nisbatan daromadlar funktsiyasining minimalidir. Va aprel-may-iyun oylaridagi qiymatlar orasidagi maksimal sentyabr-oktyabr-noyabr oylarining minimalidan kamroq ekanligini osongina ko'rishingiz mumkin.

Umuman olganda, oraliqda funktsiya bir nechta ekstremalarga ega bo'lishi mumkin va funktsiyaning qandaydir minimali har qanday maksimaldan katta bo'lishi mumkin. Shunday qilib, yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan funktsiya uchun.

Ya'ni, funktsiyaning maksimal va minimal qiymatlari ko'rib chiqilayotgan butun segmentdagi mos ravishda uning eng katta va eng kichik qiymatlari deb o'ylamaslik kerak. Maksimal nuqtada funktsiya barcha nuqtalarda maksimal nuqtaga etarlicha yaqin bo'lgan qiymatlar bilan solishtirganda eng katta qiymatga ega va minimal nuqtada u faqat shu qiymatlarga nisbatan eng kichik qiymatga ega. u barcha nuqtalarda minimal nuqtaga etarlicha yaqin.

Demak, funksiyaning ekstremum nuqtalari haqidagi yuqoridagi tushunchasiga aniqlik kiritib, minimal nuqtalarni mahalliy minimal nuqtalar, maksimal nuqtalarni esa mahalliy maksimal nuqtalar deb atashimiz mumkin.

Biz birgalikda funksiyaning ekstremalini qidiramiz

3-misol.

Yechish: Funksiya butun sonlar qatorida aniqlangan va uzluksizdir. Uning hosilasi butun son qatorida ham mavjud. Shuning uchun, bu holda, tanqidiy nuqtalar faqat ularda, ya'ni. , qayerdan va . Kritik nuqtalar va funktsiyani aniqlashning butun sohasini uchta monotonlik oralig'iga bo'ling: . Keling, ularning har birida bitta nazorat nuqtasini tanlaymiz va bu nuqtada hosilaning belgisini topamiz.

Interval uchun nazorat nuqtasi bo'lishi mumkin: topish. Intervaldagi nuqtani olib, biz olamiz va intervalda bir nuqtani olamiz. Shunday qilib, intervallarda va , va intervalda . Ekstremum uchun birinchi etarli mezonga ko'ra, nuqtada ekstremum yo'q (chunki hosila intervalda o'z belgisini saqlab qoladi) va nuqtada funktsiya minimalga ega (chunki hosila o'tish paytida minusdan plyusga o'zgaradi. bu nuqta orqali). Funktsiyaning mos qiymatlarini topamiz: , a . Intervalda funktsiya kamayadi, chunki bu oraliqda , va intervalda u ortadi, chunki bu oraliqda .

Grafikni qurishni aniqlashtirish uchun uning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Ildizlari va bo'lgan tenglamani olganimizda, ya'ni funktsiya grafigining ikkita nuqtasi (0; 0) va (4; 0) topiladi. Qabul qilingan barcha ma'lumotlardan foydalanib, biz grafik tuzamiz (misolning boshiga qarang).

Hisob-kitoblar paytida o'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin onlayn lotin kalkulyatori .

4-misol. Funksiyaning ekstremal qismini toping va uning grafigini tuzing.

Funktsiyani aniqlash sohasi nuqtadan tashqari butun son chizig'idir, ya'ni. .

O'rganishni qisqartirish uchun siz ushbu funktsiyaning teng bo'lishidan foydalanishingiz mumkin, chunki . Shuning uchun uning grafigi o'qga nisbatan simmetrikdir Oy va tadqiqot faqat interval uchun amalga oshirilishi mumkin.

Hosilini topish va funktsiyaning muhim nuqtalari:

1) ;

2) ,

lekin funktsiya bu nuqtada uzilishga duchor bo'ladi, shuning uchun u ekstremum nuqta bo'la olmaydi.

Shunday qilib, berilgan funksiya ikkita kritik nuqtaga ega: va. Funktsiyaning paritetini hisobga olgan holda, biz ekstremum uchun ikkinchi etarli mezon yordamida faqat nuqtani tekshiramiz. Buning uchun biz ikkinchi hosilani topamiz va uning belgisini aniqlang: biz olamiz. Chunki va , u funktsiyaning minimal nuqtasi, va .

Funksiya grafigi haqida toʻliqroq tasavvurga ega boʻlish uchun uning taʼrif sohasi chegaralaridagi harakatini bilib olaylik:

(bu erda belgi istakni bildiradi x o'ngdan nolga, va x ijobiy bo'lib qoladi; xuddi shunday intilishni anglatadi x chapdan nolga, va x salbiy bo'lib qoladi). Shunday qilib, agar , keyin . Keyingi, biz topamiz

,

bular. agar, keyin.

Funksiya grafigida o‘qlar bilan kesishish nuqtalari yo‘q. Rasm misolning boshida.

Hisob-kitoblar paytida o'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin onlayn lotin kalkulyatori .

Biz birgalikda funktsiyaning ekstremallarini qidirishni davom ettiramiz

8-misol. Funktsiyaning ekstremal qismini toping.

Yechim. Funksiyaning aniqlanish sohasini topamiz. Tengsizlik qanoatlantirilishi kerakligi uchun dan olamiz.

Funktsiyaning birinchi hosilasi topilsin.

Maksimal - erishish mumkin bo'lgan eng yuqori raqam yoki eng yuqori chegara. Minimal, biz hammamiz yaxshi bilganimizdek, maksimalga to'g'ridan-to'g'ri qarama-qarshidir, ya'ni. bu eng kichik raqam va eng kichik chegaradir. Minimal va maksimal so'zlar, shuningdek ularning hosilalari quyidagi iboralar va iboralarda uchraydi:

Muloqotdan maksimal darajada foydalaning.

She'rni o'rganish uchun uni kamida 3-4 marta o'qish kerak.

U qila oladigan maksimal narsa ...

Ularning kamida ikkita umumiy do'sti bor.

U maksimal ball oldi.

Imkoniyatlaringizdan unumli foydalaning!

Bu siz bilishingiz kerak bo'lgan minimaldir.

Yashash haqi.

Minimal atmosfera bosimi.

…… yil davomida minimal/maksimal sovuq havo.

Ushbu ishni bajarish uchun sizga kamida bir necha soat kerak bo'ladi.

Maksimal va minimal kabi tushunchalarni maxsus ilmiy atamalarda ham uchratish mumkin. Masalan, matematikada funksiyaning maksimal va minimumi kabi tushuncha mavjud.

Shunday qilib, matematikada funktsiyaning maksimal qiymati maksimal deyiladi. Bunday holda, funktsiyaning maksimal qiymati uning barcha qo'shni qiymatlaridan kattaroqdir. Funksiyaning maksimali uning qiymati birinchi marta ortib, so‘ngra darhol kamayishni boshlagandagi qiymati bo‘lib, funksiyaning ortishi va kamayishi biridan ikkinchisiga o‘tgan joyida maksimalga ega bo‘ladi. Funktsiyaning minimal qiymati, shunga ko'ra, funktsiyaning eng kichik qiymati.

Funktsiyaning birinchi hosilasi, agar biz o'zgaruvchini oshirganimizda ko'tarilsa, u holda funktsiyani ijobiy deb hisoblash mumkin. Agar lotin ortishi bilan birinchi o'zgaruvchi kamaysa, u holda funktsiyani manfiy deb hisoblash kerak.

Hosila differensial hisoblarda (matematik funktsiyalarni o'rganishga yordam beruvchi hosilalar va differentsiallarni o'rganish) ishlatiladigan asosiy qiymat bo'lib, uni ma'lum bir nuqtada funktsiyaning o'zgarish tezligi deb tushunish mumkin. Tezlik qanchalik katta bo'lsa, funktsiya shunchalik kamroq o'zgaradi, sekinroq bo'ladi (ammo bu faqat funktsiya ijobiy bo'lsa). Shunday qilib, funktsiyaning ma'lum bir nuqtadagi o'zgarish tezligi uning qiyaliklari va qavariqlarini aniqlaydi. O'zgaruvchi - bu o'z qiymatini o'zgartirishi mumkin bo'lgan miqdor. U x yoki vaqt sifatida belgilanadi.

O'zgaruvchini o'z qiymatini o'zgartirishi mumkin bo'lgan tizimning (ham jismoniy, ham mavhum) atributi deb hisoblash mumkin. Global ma'noda o'zgaruvchini vaqt, harorat va umuman butun hayot deb atash mumkin (ular o'zgarishi mumkin). O'zgaruvchi qabul qilishi mumkin bo'lgan ko'plab qiymatlarga ega. Biz bu to'plamni o'zgaruvchan deb taxmin qilishimiz mumkin.

Funktsiyaning o'ziga kelsak, u nol orqali musbat qiymatdan salbiy qiymatga o'tishi kerak. Shunday qilib, funksiyaning maksimali mos keladigan o'zgaruvchining qiymatida uning hosilasi nolga teng bo'ladi. Funktsiyaning ushbu xususiyati funktsiya maksimal darajaga etgan x ning qiymatlarini aniqlashga imkon beradi. Ammo, agar biz o'zgaruvchini ko'paytirsak va shu bilan birga, funktsiya avval ortib, keyin kamaysa, u holda funktsiya manfiy qiymatdan musbat qiymatga o'tganda (noldan o'tganda) maksimalga erishmaydi, lekin, aksincha, minimal qiymat. Garchi, mantiqan, bu maksimal qiymat sifatida aniq qabul qilinishi mumkin (u funktsiyaning yuqori nuqtasida joylashgan).

Funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari ekstremum nuqtalar deb ham ataladi.

Shunday qilib, oddiy hayotda ham, matematikada ham maksimal va minimal ikkita o'ta qarama-qarshilik bo'lib, ular eng katta va eng kichik narsani anglatadi.

Funktsiya qiymatlari va maksimal va minimal nuqtalar

Eng katta funktsiya qiymati

Eng kichik funktsiya qiymati

Cho'qintirgan ota aytganidek: "Hech narsa shaxsiy emas." Faqat hosilalar!

Statistika bo'yicha 12-topshiriq juda qiyin deb hisoblanadi va buning barchasi bolalar ushbu maqolani o'qimagani uchun (hazil). Aksariyat hollarda ehtiyotsizlik aybdor.

12 vazifa ikki xil:

1. Maksimal/minimal nuqtani toping ("x" qiymatlarini topishni so'rang).
2. Funktsiyaning eng katta/eng kichik qiymatini toping (“y” qiymatlarini topishni so'rang).

Bunday hollarda qanday harakat qilish kerak?

Maksimal/minimal nuqtani toping

1. Uni nolga tenglashtiring.
2. Topilgan yoki topilgan "x" minimal yoki maksimal ball bo'ladi.
3. Interval usuli yordamida belgilarni aniqlang va topshiriqda qaysi nuqta kerakligini tanlang.

Yagona davlat imtihonining vazifalari:

Funktsiyaning maksimal nuqtasini toping

• Biz hosilani olamiz:

To'g'ri, birinchi navbatda funktsiya oshadi, keyin kamayadi - bu maksimal nuqta!
Javob: −15

Funksiyaning minimal nuqtasini toping

• Keling, o'zgartiramiz va hosilani olamiz:

• Ajoyib! Avval funktsiya kamayadi, keyin esa ortadi - bu minimal nuqta!

Javob: −2

Funktsiyaning eng katta/eng kichik qiymatini toping

1. Taklif etilgan funksiyaning hosilasini oling.
   
2. Uni nolga tenglashtiring.
   
3. Topilgan "x" minimal yoki maksimal nuqta bo'ladi.
   
4. Interval usuli yordamida belgilarni aniqlang va topshiriqda qaysi nuqta kerakligini tanlang.
5. Bunday vazifalarda har doim bo'shliq ko'rsatiladi: 3-bosqichda topilgan X lar ushbu bo'shliqqa kiritilishi kerak.
6. Olingan maksimal yoki minimal nuqtani dastlabki tenglamaga almashtiring va biz funktsiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini olamiz.

Yagona davlat imtihonining vazifalari:

[−4 oraliqda funksiyaning eng katta qiymatini toping; −1]

Javob: −6

Segmentdagi funksiyaning eng katta qiymatini toping

• Funktsiyaning maksimal qiymati "11" maksimal nuqtada (ushbu segmentda) "0" dir.

Javob: 11

Xulosa:

1. 70% xatolar yigitlar nimaga javob berishlarini eslamaydilar funktsiyaning eng katta/eng kichik qiymati “y” deb yozilishi kerak., va yana maksimal/minimal nuqta “x”ni yozing.
2. Funktsiya qiymatlarini topishda hosilaning yechimi yo'qmi? Muammo yo'q, bo'shliqning o'ta nuqtalarini almashtiring!
3. Javob har doim raqam yoki kasr shaklida yozilishi mumkin. Yo'qmi? Keyin misolni qayta ko'rib chiqing.
4. Ko'pgina topshiriqlarda biz bitta ball olamiz va maksimal yoki minimalni tekshirishdagi dangasaligimiz oqlanadi. Bizda bitta nuqta bor - siz ishonch bilan javob yozishingiz mumkin.
5. Va bu erda Funktsiya qiymatini qidirishda buni qilmaslik kerak! Bu to'g'ri nuqta ekanligini tekshiring, aks holda bo'shliqning ekstremal qiymatlari kattaroq yoki kichikroq bo'lishi mumkin.

Ekstremani topish uchun oddiy algoritm.

• Funktsiyaning hosilasini topish
• Biz bu hosilani nolga tenglashtiramiz
• Olingan ifodaning o'zgaruvchisi qiymatlarini topamiz (hosil nolga aylantiriladigan o'zgaruvchining qiymatlari)
• Ushbu qiymatlardan foydalanib, biz koordinata chizig'ini intervallarga ajratamiz (chiziqda chizilishi kerak bo'lgan tanaffus nuqtalari haqida unutmang), bularning barchasi ekstremum uchun "shubhali" nuqtalar deb ataladi.
• Ushbu intervallarning qaysi biri musbat, qaysi biri manfiy bo'lishini hisoblaymiz. Buning uchun qiymatni intervaldan hosilaga almashtirish kerak.

Ekstremum uchun shubhali nuqtalarni topish kerak. Buning uchun biz koordinata chizig'idagi intervallarni ko'rib chiqamiz. Agar biror nuqtadan o'tayotganda hosilaning belgisi ortiqcha dan minusga o'zgarsa, bu nuqta bo'ladi. maksimal, va agar minusdan ortiqcha bo'lsa, u holda eng kam.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun siz segmentning uchlari va ekstremum nuqtalaridagi funktsiyaning qiymatini hisoblashingiz kerak. Keyin eng katta va eng kichik qiymatni tanlang.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik
Biz hosilani topamiz va uni nolga tenglaymiz:

O'zgaruvchilarning olingan qiymatlarini koordinata chizig'ida chizamiz va har bir intervalda hosila belgisini hisoblaymiz. Xo'sh, masalan, birinchisini olaylik-2 , keyin hosila teng bo'ladi-0,24 , ikkinchisiga biz olamiz0 , keyin hosila bo'ladi2 , va uchinchisi uchun biz olamiz2 , keyin hosila bo'ladi-0,24. Biz tegishli belgilarni qo'yamiz.

Ko'ramizki, -1 nuqtadan o'tganda hosila minusdan plyusga ishorani o'zgartiradi, ya'ni bu minimal nuqta bo'ladi va 1 dan o'tganda plyusdan minusga mos ravishda bu maksimal nuqta bo'ladi.

Funktsiya va uning xususiyatlarini o'rganish zamonaviy matematikaning asosiy boblaridan birini egallaydi. Har qanday funktsiyaning asosiy komponenti nafaqat uning xossalarini, balki ushbu funktsiya hosilasi parametrlarini ham tasvirlaydigan grafiklardir. Keling, ushbu qiyin mavzuni tushunaylik. Xo'sh, funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalarini topishning eng yaxshi usuli qanday?

Funktsiya: ta'rif

Qaysidir ma'noda boshqa miqdorning qiymatlariga bog'liq bo'lgan har qanday o'zgaruvchini funktsiya deb atash mumkin. Masalan, f(x 2) funktsiyasi kvadratik bo'lib, butun x to'plamining qiymatlarini aniqlaydi. Aytaylik, x = 9, u holda bizning funktsiyamizning qiymati 9 2 = 81 ga teng bo'ladi.

Funktsiyalar juda ko'p turli xil bo'ladi: mantiqiy, vektor, logarifmik, trigonometrik, raqamli va boshqalar. Ularni Lakroix, Lagranj, Leybnits, Bernulli kabi buyuk aql egalari o'rgandilar. Ularning asarlari funktsiyalarni o'rganishning zamonaviy usullarida asosiy tayanch bo'lib xizmat qiladi. Minimal nuqtalarni topishdan oldin, funktsiya va uning hosilasining ma'nosini tushunish juda muhimdir.

Hosil va uning roli

Barcha funktsiyalar o'z o'zgaruvchilariga bog'liq, ya'ni ular istalgan vaqtda o'z qiymatini o'zgartirishi mumkin. Grafikda bu ordinat o'qi bo'ylab tushadigan yoki ko'tariladigan egri chiziq sifatida tasvirlanadi (bu vertikal grafik bo'ylab "y" raqamlarining butun to'plami). Demak, funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalarini aniqlash aynan shu "tebranishlar" bilan bog'liq. Keling, bu munosabatlar nima ekanligini tushuntiramiz.

Har qanday funktsiyaning hosilasi uning asosiy xarakteristikalarini o'rganish va funktsiya qanchalik tez o'zgarishini (ya'ni, "x" o'zgaruvchisiga qarab uning qiymatini o'zgartirishini) hisoblash uchun grafiklanadi. Funksiya oshgan paytda uning hosilasi grafigi ham ortadi, lekin istalgan soniyada funktsiya pasayishni boshlashi mumkin, keyin esa hosilaning grafigi kamayadi. Tuzama minus belgisidan ortiqcha ishoraga o'tadigan nuqtalar minimal nuqtalar deb ataladi. Minimal ballarni qanday topishni bilish uchun siz yaxshiroq tushunishingiz kerak

lotinni qanday hisoblash mumkin?

Ta'rif va funktsiyalar bir nechta tushunchalarni nazarda tutadi. Umuman olganda, hosila ta'rifining o'zi quyidagicha ifodalanishi mumkin: bu funktsiyaning o'zgarish tezligini ko'rsatadigan miqdor.

Uni aniqlashning matematik usuli ko'plab talabalar uchun murakkab ko'rinadi, lekin aslida hamma narsa ancha sodda. Har qanday funktsiyaning hosilasini topish uchun standart rejaga amal qilish kifoya. Quyida biz funktsiyaning minimal nuqtasini differentsiallash qoidalarini qo'llamasdan va hosilalar jadvalini yodlamasdan qanday topish mumkinligini tasvirlaymiz.

1. Grafik yordamida funktsiyaning hosilasini hisoblashingiz mumkin. Buni amalga oshirish uchun siz funktsiyaning o'zini tasvirlashingiz kerak, so'ngra uning ustida bir nuqtani olishingiz kerak (rasmdagi A nuqtasi abscissa o'qiga vertikal ravishda chiziq torting (nuqta x 0) va A nuqtaga teginish chiziladi). funksiya grafigi. X o'qi va tangens ma'lum bir burchakni hosil qiladi. Funksiya qanchalik tez ortishi qiymatini hisoblash uchun bu burchakning tangensini hisoblash kerak a.
2. Ma’lum bo‘lishicha, x o‘qining tangensi bilan yo‘nalishi orasidagi burchak tangensi funksiyaning A nuqtaga ega bo‘lgan kichik maydondagi hosilasi hisoblanadi. Bu usul hosilani aniqlashning geometrik usuli hisoblanadi.

Funktsiyani o'rganish usullari

Maktab matematika dasturida funksiyaning minimal nuqtasini ikki usulda topish mumkin. Biz allaqachon grafik yordamida birinchi usulni muhokama qildik, lekin lotinning raqamli qiymatini qanday aniqlash mumkin? Buni amalga oshirish uchun lotinning xususiyatlarini tavsiflovchi va "x" kabi o'zgaruvchilarni raqamlarga aylantirishga yordam beradigan bir nechta formulalarni o'rganishingiz kerak bo'ladi. Quyidagi usul universaldir, shuning uchun uni deyarli barcha turdagi funktsiyalarga (ham geometrik, ham logarifmik) qo'llash mumkin.

1. Funksiyani hosila funksiyaga tenglashtirish, so‘ngra differensiallash qoidalari yordamida ifodani soddalashtirish kerak.
2. Ba'zi hollarda, "x" o'zgaruvchisi bo'luvchida bo'lgan funktsiya berilganda, undan "0" nuqtasini hisobga olmaganda, qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini aniqlash kerak (oddiy sababga ko'ra matematikada hech qachon nolga bo'linadi).
3. Shundan so'ng, siz funktsiyaning asl shaklini butun ifodani nolga tenglashtirib, oddiy tenglamaga aylantirishingiz kerak. Masalan, funktsiya quyidagicha ko'rinishda bo'lsa: f(x) = 2x 3 +38x, u holda differentsiallanish qoidalariga ko'ra uning hosilasi f"(x) = 3x 2 +1 ga teng bo'ladi. Keyin bu ifodani o'zgartiramiz. quyidagi ko'rinishdagi tenglama: 3x 2 +1 = 0 .
4. Tenglamani yechish va "x" nuqtalarini topgandan so'ng, siz ularni x o'qi bo'yicha chizishingiz va belgilangan nuqtalar orasidagi ushbu bo'limlardagi hosila ijobiy yoki salbiy ekanligini aniqlashingiz kerak. Belgilangandan so'ng, funktsiya qaysi nuqtada kamayishni boshlashi, ya'ni belgini minusdan teskarisiga o'zgartirishi aniq bo'ladi. Aynan shu tarzda siz minimal va maksimal nuqtalarni topishingiz mumkin.

Farqlash qoidalari

Funktsiyani va uning hosilasini o'rganishda eng asosiy komponent bu differentsiallash qoidalarini bilishdir. Faqat ularning yordami bilan siz og'ir ifodalarni va katta murakkab funktsiyalarni o'zgartirishingiz mumkin. Keling, ular bilan tanishamiz, ularning ko'pi bor, lekin ularning barchasi kuch va logarifmik funktsiyalarning tabiiy xususiyatlari tufayli juda oddiy.

1. Har qanday doimiyning hosilasi nolga teng (f(x) = 0). Ya'ni f(x) = x 5 + x - 160 hosilasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Ikki hadning yig'indisining hosilasi: (f+w)" = f"w + fw".
3. Logarifmik funktsiyaning hosilasi: (log a d)" = d/ln a*d. Bu formula logarifmlarning barcha turlariga tegishli.
4. Quvvatning hosilasi: (x n)"= n*x n-1. Masalan, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Sinusoidal funktsiyaning hosilasi: (sin a)" = cos a. Agar a burchakning sinasi 0,5 bo'lsa, uning hosilasi √3/2 bo'ladi.

Ekstremal nuqtalar

Biz allaqachon minimal nuqtalarni qanday topishni muhokama qildik, lekin funktsiyaning maksimal nuqtalari tushunchasi ham mavjud. Agar minimal funktsiya minus belgisidan plyusga o'tadigan nuqtalarni bildirsa, u holda maksimal nuqtalar x o'qidagi nuqtalar bo'lib, bunda funktsiya hosilasi ortiqcha dan teskari - minusga o'zgaradi.

Siz uni yuqorida tavsiflangan usul yordamida topishingiz mumkin, ammo ular funktsiya pasayishni boshlagan joylarni ko'rsatishini hisobga olishingiz kerak, ya'ni lotin noldan kichik bo'ladi.

Matematikada ikkala tushunchani umumlashtirish, ularni "ekstrema nuqtalari" iborasi bilan almashtirish odatiy holdir. Agar topshiriq sizdan ushbu nuqtalarni aniqlashni so'rasa, bu siz berilgan funktsiyaning hosilasini hisoblashingiz va minimal va maksimal nuqtalarni topishingiz kerakligini anglatadi.