Leksiya

Kompleks sonning trigonometrik shakli

Reja

1.Kompleks sonlarning geometrik tasviri.

2.Kompleks sonlarning trigonometrik belgilanishi.

3. Trigonometrik shaklda kompleks sonlar ustida amallar.

Kompleks sonlarning geometrik tasviri.

a) Kompleks sonlar quyidagi qoidaga muvofiq tekislik nuqtalari bilan ifodalanadi: a + bi = M ( a ; b ) (1-rasm).

1-rasm

b) Kompleks sonni nuqtadan boshlanadigan vektor sifatida ifodalash mumkinHAQIDA va berilgan nuqtada tugaydi (2-rasm).

2-rasm

7-misol. Kompleks sonlarni ifodalovchi nuqtalar:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (3-rasm).

3-rasm

Kompleks sonlarning trigonometrik belgilanishi.

Kompleks raqamz = a + bi radius - vektor yordamida o'rnatilishi mumkin koordinatalari bilan( a ; b ) (4-rasm).

4-rasm

Ta'rif . Vektor uzunligi kompleks sonni ifodalaydiz , bu sonning moduli deb ataladi va belgilanadi yokir .

Har qanday murakkab son uchunz uning modulir = | z | formula bilan yagona aniqlanadi .

Ta'rif . Haqiqiy o'qning musbat yo'nalishi va vektor orasidagi burchakning qiymati kompleks sonni ifodalovchi bu kompleks sonning argumenti deyiladi va belgilanadiA rg z yokiφ .

Murakkab son argumentiz = 0 aniqlangan. Murakkab son argumentiz≠ 0 ko'p qiymatli miqdor bo'lib, muddatgacha aniqlanadi2k (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2k , Qayerdaarg z - intervalga kiritilgan argumentning asosiy qiymati(-π; π] , ya'ni-π < arg z ≤ π (ba'zan argumentning asosiy qiymati sifatida intervalga tegishli qiymat olinadi .

Bu formula uchunr =1 Ko'pincha De Moivre formulasi deb ataladi:

(cos ph + i sin ph) n = cos (nph) + i sin (nph), n  N .

11-misol Hisoblang(1 + i ) 100 .

Kompleks sonni yozamiz1 + i trigonometrik shaklda.

a = 1, b = 1 .

cos ph = , sin ph = , φ = .

(1+i) 100 = [ (chunki + gunoh qilaman )] 100 = ( ) 100 (chunki 100+ gunoh qilaman 100) = = 2 50 (cos 25p + i sin 25p) = 2 50 (cos p + i sin p) = - 2 50 .

4) Kompleks sonning kvadrat ildizini chiqarish.

Kompleks sonning kvadrat ildizini chiqarishdaa + bi bizda ikkita holat bor:

Agarb > haqida , Bu ;

3.1. Polar koordinatalar

Ko'pincha samolyotda ishlatiladi qutbli koordinatalar tizimi . Agar O nuqta berilgan bo'lsa, aniqlanadi qutb, va qutbdan chiqadigan nur (biz uchun bu o'q Ox) - qutb o'qi. M nuqtasining pozitsiyasi ikkita raqam bilan belgilanadi: radius (yoki radius vektori) va qutb o'qi va vektor o'rtasidagi burchak ph . ph burchagi deyiladi qutb burchagi; radianlarda o'lchanadi va qutb o'qidan soat miliga teskari hisoblangan.

Nuqtaning qutb koordinatalari sistemasidagi o‘rni tartiblangan juft sonlar (r; ph) bilan beriladi. Qutbda r = 0 va ph aniqlanmagan. Boshqa barcha nuqtalar uchun r > 0 va ph 2p ning karraligacha aniqlanadi. Bunda (r; ph) va (r 1 ; ph 1) juftlik raqamlariga bir xil nuqta tayinlanadi, agar .

To'rtburchak koordinatalar tizimi uchun xOy Nuqtaning dekart koordinatalari uning qutb koordinatalari bilan quyidagicha oson ifodalanadi:

3.2. Kompleks sonning geometrik talqini

Tekislikda Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini ko'rib chiqaylik xOy.

Har qanday kompleks son z=(a, b) tekislikning koordinatalari ( ga ega) nuqtasi bilan belgilanadi. x, y), Qayerda koordinata x = a, ya'ni. kompleks sonning haqiqiy qismi, y = bi koordinatasi esa xayoliy qismdir.

Nuqtalari kompleks sonlar bo'lgan tekislik kompleks tekislikdir.

Rasmda kompleks son z = (a, b) mos keladigan nuqta M(x, y).

Mashq qilish.Koordinata tekisligida kompleks sonlarni chizing:

3.3. Kompleks sonning trigonometrik shakli

Tekislikdagi kompleks son nuqtaning koordinatalariga ega M(x; y). Bunda:

Kompleks sonni yozish - kompleks sonning trigonometrik shakli.

r raqami chaqiriladi modul murakkab son z va belgilanadi. Modul manfiy bo'lmagan haqiqiy sondir. Uchun .

Modul nolga teng, agar va faqat z = 0, ya'ni. a=b=0.

ph raqami chaqiriladi argument z va belgilandi. z argumenti qutb koordinata tizimidagi qutb burchagi kabi noaniq tarzda aniqlanadi, ya'ni 2p ning karraligacha.

Keyin biz qabul qilamiz: , bu erda ph argumentning eng kichik qiymati. Bu aniq

.

Mavzuni chuqurroq o'rganish bilan yordamchi argument ph* kiritiladi, shunday qilib

1-misol. Kompleks sonning trigonometrik shaklini toping.

Yechim. 1) modulni ko'rib chiqamiz: ;

2) ph ni qidirmoqda: ;

3) trigonometrik shakl:

2-misol Kompleks sonning algebraik shaklini toping .

Bu erda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini almashtirish va ifodani o'zgartirish kifoya:

3-misol Kompleks sonning moduli va argumentini toping;

1) ;

2) ; ph - 4 chorakda:

3.4. Trigonometrik shaklda kompleks sonlar bilan amallar

· Qo‘shish va ayirish murakkab sonlar bilan algebraik shaklda bajarish qulayroq:

· Ko'paytirish– oddiy trigonometrik o'zgarishlar yordamida buni ko'rsatish mumkin ko'paytirishda raqamlarning modullari ko'paytiriladi va argumentlar qo'shiladi: ;

2.3. Kompleks sonlarning trigonometrik shakli

Kompleks tekislikda vektor son bilan berilgan bo'lsin.

Musbat yarim o'q Ox va vektor orasidagi burchakni ph bilan belgilang (agar ph burchak soat miliga teskari hisoblansa musbat, aks holda manfiy hisoblanadi).

Vektor uzunligini r bilan belgilang. Keyin. Biz ham belgilaymiz

Nolga teng bo'lmagan z kompleks sonini quyidagicha yozish

z kompleks sonining trigonometrik shakli deyiladi. r soni z kompleks sonining moduli, ph soni esa bu kompleks sonning argumenti deyiladi va Arg z bilan belgilanadi.

Kompleks sonni yozishning trigonometrik shakli - (Eyler formulasi) - kompleks sonni yozishning eksponensial shakli:

z kompleks soni cheksiz ko'p argumentlarga ega: agar ph0 z sonining har qanday argumenti bo'lsa, qolgan barcha raqamlarni formula bo'yicha topish mumkin.

Kompleks son uchun argument va trigonometrik shakl aniqlanmagan.

Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan kompleks sonning argumenti tenglamalar tizimining har qanday yechimidir:

(3)

Tengsizliklarni qanoatlantiruvchi kompleks z argumentining ph qiymati asosiy qiymat deb ataladi va arg z bilan belgilanadi.

Argumentlar Arg z va arg z tenglik bilan bog'langan

, (4)

Formula (5) (3) sistemaning natijasidir, shuning uchun kompleks sonning barcha argumentlari tenglikni (5) qanoatlantiradi, lekin (5) tenglamaning barcha ph yechimlari z sonining argumentlari emas.

Nolga teng bo'lmagan kompleks son argumentining asosiy qiymati quyidagi formulalar bilan topiladi:

Trigonometrik shaklda kompleks sonlarni ko'paytirish va bo'lish formulalari quyidagicha:

. (7)

Kompleks sonni tabiiy darajaga ko'tarishda de Moivre formulasi qo'llaniladi:

Murakkab sondan ildiz chiqarishda quyidagi formuladan foydalaniladi:

, (9)

bu yerda k=0, 1, 2, …, n-1.

Masala 54. Hisoblang , bu yerda .

Bu ifodaning yechimini kompleks sonni yozishning ko'rsatkichli ko'rinishida ifodalaymiz: .

Agar, keyin.

Keyin, . Shuning uchun, keyin Va , Qayerda.

Javob: , da .

Masala 55. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda yozing:

A) ; b) ; V); G) ; e) ; e) ; va).

Kompleks sonning trigonometrik ko'rinishi bo'lganligi sababli, u holda:

a) Kompleks sonda: .

,

Shunung uchun

b) , qayerda ,

G) , qayerda ,

e) .

va) , A , Bu.

Shunung uchun

Javob: ; 4; ; ; ; ; .

Masala 56. Kompleks sonning trigonometrik shaklini toping

.

Keling, .

Keyin, , .

Chunki va , , keyin, va

Shuning uchun, shuning uchun

Javob: , Qayerda.

Masala 57. Kompleks sonning trigonometrik shaklidan foydalanib, quyidagi amallarni bajaring: .

Raqamlarni tasavvur qiling va trigonometrik shaklda.

1) , qayerda Keyin

Asosiy argumentning qiymatini topish:

Qiymatlarni va ifodaga almashtiring, biz olamiz

2) keyin qayerda

Keyin

3) ko'rsatkichni toping

k=0, 1, 2 deb faraz qilsak, kerakli ildizning uch xil qiymatini olamiz:

Agar , keyin

agar , keyin

agar , keyin .

Javob: :

:

: .

Masala 58. , , , har xil kompleks sonlar va bolsin . Buni isbotlang

a) raqam haqiqiy ijobiy raqam;

b) tenglik yuzaga keladi:

a) Ushbu kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalaymiz:

Chunki .

Keling, shunday da'vo qilaylik. Keyin

.

Oxirgi ifoda musbat sondir, chunki sinus belgilari ostidagi intervaldan raqamlar mavjud.

chunki raqam haqiqiy va ijobiy. Haqiqatan ham, agar a va b murakkab sonlar bo'lsa va haqiqiy va noldan katta bo'lsa, u holda .

Bundan tashqari,

demak, kerakli tenglik isbotlangan.

Masala 59. Sonni algebraik shaklda yozing .

Biz sonni trigonometrik shaklda ifodalaymiz va keyin uning algebraik shaklini topamiz. Bizda ... bor . Uchun biz tizimni olamiz:

Bundan tenglik kelib chiqadi: .

De Moivre formulasini qo'llash:

olamiz

Berilgan sonning trigonometrik shakli topiladi.

Endi bu raqamni algebraik shaklda yozamiz:

.

Javob: .

Masala 60. , , yig‘indisini toping.

Jamni hisobga oling

De Moivre formulasini qo'llash orqali biz topamiz

Bu yig‘indi maxrajli geometrik progressiyaning n ta hadining yig‘indisidir va birinchi a'zo .

Bunday progressiyaning shartlari yig'indisi uchun formulani qo'llash, biz bor

Oxirgi ifodada xayoliy qismni ajratib, topamiz

Haqiqiy qismni ajratib, quyidagi formulani ham olamiz: , , .

Masala 61. Yig‘indini toping:

A) ; b) .

Nyutonning kuchga ko'tarilish formulasiga ko'ra, biz bor

De Moivre formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni topamiz:

Olingan ifodalarning haqiqiy va xayoliy qismlarini tenglashtirib, bizda:

Va .

Ushbu formulalarni ixcham shaklda quyidagicha yozish mumkin:

,

, bu yerda a sonining butun qismi.

Muammo 62. Buning uchun hammasini toping.

Chunki , keyin formulani qo'llash

, Ildizlarni olish uchun biz olamiz ,

Demak, , ,

, .

Raqamlarga mos keladigan nuqtalar markazi (0;0) nuqtada joylashgan 2 radiusli doira ichiga chizilgan kvadratning uchlarida joylashgan (30-rasm).

Javob: , ,

, .

Masala 63. Tenglamani yeching , .

Shart bo'yicha; shuning uchun bu tenglamaning ildizi yo'q va shuning uchun u tenglamaga ekvivalentdir.

z soni bu tenglamaning ildizi bo'lishi uchun son 1 sonining n- ildizi bo'lishi kerak.

Demak, biz dastlabki tenglamaning tengliklardan aniqlangan ildizlari bor degan xulosaga kelamiz

,

Shunday qilib,

,

ya'ni ,

Javob: .

Masala 64. Kompleks sonlar to‘plamidagi tenglamani yeching.

Raqam bu tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun, bu tenglama uchun tenglamaga ekvivalentdir.

Ya'ni, tenglama.

Ushbu tenglamaning barcha ildizlari formuladan olinadi (62-masalaga qarang):

; ; ; ; .

Masala 65. Kompleks tekislikda tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plamini chizing: . (45- muammoni hal qilishning ikkinchi usuli)

Mayli .

Modullari bir xil bo'lgan murakkab sonlar, boshning markazida joylashgan aylanada yotgan tekislikning nuqtalariga to'g'ri keladi, shuning uchun tengsizlik boshi va radiuslari umumiy markazga ega aylanalar bilan chegaralangan ochiq halqaning barcha nuqtalarini qanoatlantiring va (31-rasm). Kompleks tekislikning qaysidir nuqtasi w0 soniga mos kelsin. Raqam , moduli w0 modulidan kichik marta modulga ega, bu argument w0 argumentidan kattaroqdir. Geometrik nuqtai nazardan, w1 ga mos keladigan nuqtani boshlang'ich va koeffitsientda markazlashtirilgan gomoteti yordamida, shuningdek, kelib chiqishiga nisbatan soat miliga teskari aylanish yordamida olish mumkin. Ushbu ikkita o'zgartirishni halqa nuqtalariga qo'llash natijasida (31-rasm), ikkinchisi bir xil markaz va radiuslari 1 va 2 bo'lgan doiralar bilan chegaralangan halqaga aylanadi (32-rasm).

transformatsiya vektorda parallel tarjima yordamida amalga oshiriladi. Bir nuqtada markazlashtirilgan halqani ko'rsatilgan vektorga o'tkazib, biz bir nuqtada markazlashtirilgan bir xil o'lchamdagi halqani olamiz (22-rasm).

Samolyotning geometrik o'zgarishlari g'oyasidan foydalanadigan taklif qilingan usul, ehtimol, tavsifda unchalik qulay emas, lekin u juda oqlangan va samarali.

Muammo 66. Agar toping .

Keling, keyin va. Asl tenglik shaklni oladi . Ikki kompleks sonning tenglik shartidan , , qaerdan , ni olamiz. Shunday qilib, .

z sonini trigonometrik shaklda yozamiz:

, Qayerda ,. De Moivr formulasiga ko'ra, biz topamiz.

Javob: - 64.

Masala 67. Kompleks son uchun , va kabi barcha kompleks sonlarni toping .

Raqamni trigonometrik shaklda ifodalaymiz:

. Demak, . Biz olgan son uchun ikkalasiga teng bo'lishi mumkin.

Birinchi holda , ikkinchisida

.

Javob: , .

Masala 68. Shunday sonlar yig‘indisini toping. Ushbu raqamlardan birini belgilang.

E'tibor bering, muammoni shakllantirishning o'zidayoq tenglamaning ildizlari yig'indisini ildizlarning o'zini hisoblamasdan topish mumkinligini tushunish mumkin. Haqiqatan ham, tenglamaning ildizlari yig'indisi ning koeffitsienti, qarama-qarshi belgi bilan qabul qilingan (umumlashtirilgan Vyeta teoremasi), ya'ni.

Talabalar, maktab hujjatlari, ushbu kontseptsiyani o'zlashtirish darajasi to'g'risida xulosa chiqaradilar. Matematik tafakkurning xususiyatlarini va kompleks son tushunchasini shakllantirish jarayonini o'rganishni umumlashtiring. Usullarning tavsifi. Diagnostika: I bosqich. Suhbat 10-sinfda algebra va geometriya fanlaridan dars beradigan matematika o‘qituvchisi bilan o‘tkazildi. Suhbat biroz vaqt o'tgandan keyin bo'lib o'tdi ...

Rezonans "(!)), bu o'z xulq-atvorini baholashni ham o'z ichiga oladi. 4. Vaziyatni tushunishni tanqidiy baholash (shubhalar). 5. Nihoyat, huquqiy psixologiya tavsiyalaridan foydalanish (psixologik jihatlarni hisobga olish). advokat tomonidan amalga oshiriladigan kasbiy harakatlar - professional psixologik tayyorgarlik).Endi yuridik faktlarning psixologik tahlilini ko'rib chiqamiz. ...

Trigonometrik almashtirish matematikasi va ishlab chiqilgan o'qitish metodikasi samaradorligini tekshirish. Ish bosqichlari: 1. Matematika fanini chuqur o`rganadigan sinflarda o`quvchilar bilan “Algebraik masalalarni yechishda trigonometrik almashtirishni qo`llash” mavzusi bo`yicha fakultativ kursni ishlab chiqish. 2. Ishlab chiqilgan fakultativ kursni o'tkazish. 3. Diagnostik nazoratni o‘tkazish...

Kognitiv vazifalar faqat mavjud o'quv vositalarini to'ldirish uchun mo'ljallangan va o'quv jarayonining barcha an'anaviy vositalari va elementlari bilan mos ravishda uyg'unlikda bo'lishi kerak. Gumanitar fanlarni o‘qitishdagi ta’lim muammolarining aniq, matematik masalalardan farqi faqat tarixiy masalalarda formulalar, qat’iy algoritmlar va boshqalarning yo‘qligidadir, bu esa ularni yechish jarayonini murakkablashtiradi. ...

Tekislikdagi nuqtaning o'rnini aniqlash uchun siz qutb koordinatalaridan foydalanishingiz mumkin [g, (p), Qayerda G- nuqtaning boshlang'ich nuqtasidan masofasi va (R- radius qiladigan burchak - eksa musbat yo'nalishi bilan bu nuqtaning vektori Oh. Burchak o'zgarishining ijobiy yo'nalishi (R soat miliga teskari yo'nalish hisobga olinadi. Dekart va qutb koordinatalari o'rtasidagi munosabatdan foydalanish: x \u003d r cos cf, y \u003d r sin (p,

kompleks sonning trigonometrik shaklini olamiz

z - r(sin (p + i gunoh

Qayerda G

Xi + y2, (p - murakkab sonning argumenti, dan topilgan

l X . y y

formulalar chunki (p --, sin^9  = - yoki shu sababli tg(p --, (p-arctg

E'tibor bering, qiymatlarni tanlashda Chorshanba oxirgi tenglamadan belgilarni hisobga olish kerak x va y.

47-misol. Kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing 2 \u003d -1 + l / Z /.

Yechim. Kompleks sonning moduli va argumentini toping:

= yj 1 + 3 = 2 . Burchak Chorshanba munosabatlardan toping chunki (p = -, gunoh (p = - . Keyin

olamiz cos (p = -, suup

u/z g~

• - -. Shubhasiz, z = -1 + V3-/ nuqtasi
• 2 Kimga 3

ikkinchi chorakda: (R= 120°

O'rnini bosish

2 k.. cos-h; gunoh

formulaga (1) 27G L topildi

Izoh. Murakkab sonning argumenti yagona aniqlangan emas, balki ko'paytmali atamagacha 2p. Keyin orqali cn^r tayinlash

argument qiymati ichiga kiritilgan (p 0 %2 Keyin

A) ^ r = + 2kk.

Mashhur Eyler formulasidan foydalanish e, kompleks sonning eksponensial shaklini olamiz.

Bizda ... bor r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Kompleks sonlar ustida amallar

• 1. Ikki kompleks sonlar yig‘indisi r, = X] + y x/ va r 2 - x 2 + y 2 / formula r bo'yicha aniqlanadi! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. Kompleks sonlarni ayirish amali qo‘shishga teskari amal sifatida aniqlanadi. Kompleks raqam g \u003d g x - g 2, Agar g 2 + g \u003d g x,

kompleks sonlar ayirmasi 2, va g 2 . Keyin r = (x, - x 2) + (y, - da 2) /.

• 3. Ikki kompleks sonning ko‘paytmasi g x= x, +y, -z va 2 2 = x 2+ U2‘ g formula bilan aniqlanadi
• *1*2 =(* +U"0 (X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + Da1 Da2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

Ayniqsa, y-y\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Kompleks sonlar uchun ko'paytirish formulalarini eksponensial va trigonometrik shakllarda olishingiz mumkin. Bizda ... bor:

• 1^ 2 - r x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + cp 2) + isin
• 4. Kompleks sonlarni bo‘lish teskari amal sifatida aniqlanadi

ko'paytirish, ya'ni. raqam G-- r ning bo'linish qismi deyiladi! g 2 da,

Agar r x -1 2 ? 2 . Keyin

X + Tí _ (*і + ÍU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + II2 (2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOí ((P - cf 1) + I- (R-,)] >2 >2
• 5. Kompleks sonni musbat butun son darajasiga ko'tarish, agar son ko'rsatkichli yoki trigonometrik shakllarda yozilsa, eng yaxshisidir.

Haqiqatan ham, agar u holda z = ge 1

=(ge,) = r p e t = G"(co8 psr + it gcr).

Formula g" =r n (cosn(p+is n(p)) De Moivr formulasi deb ataladi.

6. Ildizni ajratib olish P- Kompleks sonning th darajasi darajaga ko'tarishning teskari amali sifatida aniqlanadi p, p- 1,2,3,... ya'ni. kompleks son = y[g ildiz deb ataladi P- kompleks sonning th darajasi

d agar G = g x. Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki g - g ", A g x= l/g. (p-psr x, A sr^-sr/n, bu raqam = r/*+ uchun yozilgan Moivre formulasidan kelib chiqadi ippp(p).

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, kompleks sonning argumenti yagona aniqlanmagan, lekin 2 ga karrali bo'lgan atamagacha. va. Shunung uchun = (p + 2pc, va r sonining argumenti, ga qarab Kimga, bildirmoq (p to va boo

formula bo'yicha hisoblash (p to= - + . borligi aniq P com-

pleks raqamlari, P th kuchi 2 soniga teng. Bu raqamlar bittaga ega

va bir xil modul, teng y[r, va bu sonlarning argumentlari bilan olinadi Kimga = 0, 1, P - 1. Shunday qilib, trigonometrik shaklda i-darajali ildiz quyidagi formula bilan hisoblanadi:

(p + 2kp . . qarang + 2kp

, Kimga = 0, 1, 77-1,

.(r+2ktg

va eksponensial shaklda - formula bo'yicha l[r - y[ge n

48-misol. Kompleks sonlar ustida algebraik shaklda amallarni bajaring:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - / l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6/2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

49-misol. r \u003d Uz - / sonini beshinchi darajaga ko'taring.

Yechim. Biz r sonini yozishning trigonometrik shaklini olamiz.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5II7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (s-o "(s-o

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'z+/
• 9 + 1 s_±.
• 5 2 1 "

Bu yerdan O--, A r = 2

Moivre biz olamiz: i-2

/ ^ _ 7r, . ?G

• -BIZ-- IBIP -

• --b/-

\u003d - (l / Vt + g) \u003d -2.

50-misol Barcha qiymatlarni toping

Yechim, r = 2, a Chorshanba tenglamadan toping coy(p = -, zt--.

Bu nuqta 1 - / d / z to'rtinchi chorakda, ya'ni. f =--. Keyin

• 1 - 2
• ( ( UG L

Ildiz qiymatlari ifodadan topiladi

V1 - / l / s = l / 2

• --+ 2A:/g ---b 2 kk
• 3 . . 3

S08--1- va 81P-

Da Kimga - 0 bizda 2 0 = l / 2

Displeyda raqamni ko'rsatish orqali siz 2 raqamining ildizining qiymatlarini topishingiz mumkin

-* TO/ 3 + 2 sinf

Da Kimga= 1 bizda yana bitta ildiz qiymati bor:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3 . . h

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --N-

bilan? - 7G + / 5Sh - I "

l/3__t_

tana shakli. Chunki r= 2, a Chorshanba= , keyin r = 2e 3 , va y[g = y/2e 2