ما هي كثافة التوزيع للمتغير العشوائي. المتغير العشوائي المستمر، دالة التوزيع وكثافة الاحتمال. قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد

المستمر ق. الخامس. يمكن تحديدها باستخدام دالة تسمى كثافة التوزيع أو كثافة الاحتمال، أو دالة التوزيع التفاضلي.

كثافة التوزيعاحتمالات s المستمر. الخامس. X تسمى الدالة f(x) - المشتق الأول لوظيفة التوزيع F(x):

ويترتب على هذا التعريف أن دالة التوزيع هي مشتق عكسي لكثافة التوزيع.

لوصف التوزيع الاحتمالي للمنفصلة s. الخامس. توزيع الكثافة غير قابل للتطبيق.

المعنى الاحتمالي لكثافة التوزيع.

وهكذا فإن الحد الأقصى لنسبة الاحتمالية هو أن s المستمر. الخامس. سيأخذ قيمة تنتمي إلى الفاصل الزمني (x، x +∆x)، إلى طول هذا الفاصل (من أجل ∆x → 0) يساوي قيمة كثافة التوزيع عند النقطة x.

وتصف دالة الكثافة كل قيمة لمتغير عشوائي مستمر على حدة، وليس النطاق بأكمله كما هو الحال بالنسبة لدالة التوزيع.

احتمال ضرب s المستمر. الخامس. في فترة زمنية معينة.

وفقا لصيغة نيوتن-لايبنتز:

ف (أ< X  b}= F(b) – F(a),

هكذا

إيجاد دالة التوزيع من دالة كثافة معروفة.

بافتراض أنه في الصيغة السابقة a = -∞، b = x، واستبدال متغير التكامل x بـ t، يصبح لدينا:

F(x) = P(X  x)=P(-∞< X  х},

لذلك

خصائص كثافة التوزيع

الخاصية 1. كثافة التوزيع هي دالة غير سلبية: f(x)0 (نظرًا لأن دالة التوزيع المتكاملة هي دالة غير متناقصة، وكثافة التوزيع هي مشتقتها الأولى).

الخاصية 2:

دليل. تكامل غير لائق
يعبر عن احتمال وقوع حدث أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة تنتمي إلى الفاصل الزمني (-∞، ∞). من الواضح أن مثل هذا الحدث مؤكد، وبالتالي فإن احتماله يساوي واحدًا.

هندسياً، هذا يعني أن كامل مساحة شبه المنحرف المنحني الذي يحده المحور 0x ومنحنى التوزيع يساوي واحداً.

في على وجه الخصوص، إذا كانت جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي تنتمي إلى المجال (أ،ب)، إذن
.

الرسم البياني لكثافة التوزيع المحتمل (مثال)

f 1 (x) – كثافة التوزيع لحجم الفوز في المباراة الأولى

f 2 (x) – كثافة التوزيع لحجم الفوز في المباراة الثانية

أي لعبة هي الأفضل؟

الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية. .

هذه الخصائص تجعل من الممكن حل العديد من المشاكل دون معرفة قانون توزيع المتغيرات العشوائية.

خصائص موضع المتغير العشوائي على المحور العددي.

القيمة المتوقعةهذا هو المتوسط ​​​​المرجح لقيم المتغير العشوائي X، الذي يدخل فيه الإحداثي لكل نقطة x i بـ "وزن" يساوي الاحتمال المقابل.

يُطلق على التوقع الرياضي أحيانًا اسم متوسط ​​قيمة r.v.

التسمية: م × أو م [X].

للمتغير العشوائي المنفصل

م [س] =

للمتغير العشوائي المستمر

موضة- هذه هي القيمة الأكثر احتمالا للمتغير العشوائي (القيمة التي يصل فيها الاحتمال p i أو كثافة التوزيع f(x) إلى الحد الأقصى).

التسمية: 

هناك توزيعات أحادية الواسطة (لها وضع واحد)، وتوزيعات متعددة الوسائط (لها عدة أوضاع) وتوزيعات أحادية الواسطة (ليس لها وضع)

com.unimodal

الوسيط- هذه هي قيمة المتغير العشوائي x m الذي تتحقق له المساواة التالية:

ف(س< х m }= P{X >س م)

يقسم الوسيط المنطقة المحصورة بـ f(x) إلى النصف

إذا كانت كثافة التوزيع لمتغير عشوائي متماثلة وأحادية الواسطة، فإن M[X] و وx m تتطابق

M[X]، ، x m – الكميات غير العشوائية

يمكن تحديد متغير عشوائي مستمر ليس فقط باستخدام دالة التوزيع. دعونا نقدم مفهوم الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر.

خذ بعين الاعتبار احتمال سقوط متغير عشوائي مستمر على الفترة [ X, X + Δ X]. احتمال مثل هذا الحدث

ص(X ≤ X ≤ X + Δ X) = F(X+ Δ X) – F(X),

أولئك. يساوي زيادة دالة التوزيع F(X) في هذه المنطقة. ثم الاحتمال لكل وحدة طول، أي. متوسط ​​الكثافة الاحتمالية في المنطقة من Xقبل X+ Δ X، متساوي

الانتقال إلى الحد Δ X→ 0، نحصل على كثافة الاحتمال عند هذه النقطة X:

يمثل مشتق دالة التوزيع F(X). تذكر ذلك بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر F(X) هي دالة قابلة للتفاضل.

تعريف. كثافة الاحتمال (كثافة التوزيع ) F(س) المتغير العشوائي المستمر X هو مشتق دالة التوزيع الخاصة به

F(س) = F′( س).

(4.8)

حول متغير عشوائي Xيقولون أن لديها توزيع مع الكثافة F(س) على قسم معين من المحور السيني.

كثافة الاحتمال F(س)، وكذلك وظيفة التوزيع F(س) هو أحد أشكال قانون التوزيع. ولكن على عكس دالة التوزيع، فهي موجودة فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة.

تسمى أحيانًا كثافة الاحتمال وظيفة تفاضليةأو قانون التوزيع التفاضلي. تسمى مؤامرة كثافة الاحتمال منحنى التوزيع.

مثال 4.4.بناءً على البيانات الواردة في المثال 4.3، أوجد الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي X.

حل. سنوجد الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي كمشتق لدالة التوزيع الخاصة به F(س) = F"(س).

◄

دعونا نلاحظ خصائص الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر.

1. كثافة الاحتمال هي وظيفة غير سلبية، أي.

هندسيا، احتمال الوقوع في الفاصل الزمني [ α , β ,] تساوي مساحة الشكل المحدود من الأعلى بمنحنى التوزيع وعلى أساس القطعة [ α , β ،] (الشكل 4.4).

أرز. 4.4 الشكل. 4.5

3. يمكن التعبير عن دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر من حيث الكثافة الاحتمالية وفقًا للصيغة:

خصائص هندسية 1 و 4 تعني كثافة الاحتمال أن الرسم البياني الخاص به - منحنى التوزيع - لا يقع أسفل محور الإحداثي السيني، والمساحة الإجمالية للشكل الذي يحده منحنى التوزيع ومحور الإحداثي السيني تساوي واحدًا.

مثال 4.5.وظيفة F(س) ترد في النموذج:

البحث عن: أ) القيمة أ; ب) التعبير عن وظيفة التوزيع F(X); ج) احتمال المتغير العشوائي Xسوف تأخذ قيمة على الفاصل الزمني.

حل. أ) من أجل F(س) كانت الكثافة الاحتمالية لبعض المتغيرات العشوائية X، يجب أن تكون غير سالبة، وبالتالي يجب أن تكون القيمة غير سالبة أ. نظرا للملكية 4 نجد:

، أين أ = .

ب) نجد دالة التوزيع باستخدام الخاصية 3 :

لو س≥ 0 إذن F(س) = 0، وبالتالي، F(س) = 0.

إذا 0< س≥ 2 إذن F(س) = X/2 وبالتالي

لو X> 2 إذن F(س) = 0 وبالتالي

ج) احتمال المتغير العشوائي Xسوف تأخذ قيمة على القطعة، ونجدها باستخدام الخاصية 2 .

القيمة المتوقعة

تشتتيتم تحديد المتغير العشوائي المستمر X، الذي تنتمي قيمه المحتملة إلى محور الثور بأكمله، بالمساواة:

الغرض من الخدمة. تم تصميم الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لحل المشكلات التي توجد فيها كثافة التوزيع f(x) أو دالة التوزيع F(x) (انظر المثال). عادة في مثل هذه المهام تحتاج إلى العثور عليها التوقع الرياضي، الانحراف المعياري، وظائف الرسم f(x) وF(x).

تعليمات. حدد نوع البيانات المصدر: كثافة التوزيع f(x) أو دالة التوزيع F(x).

يتم إعطاء كثافة التوزيع f(x):

يتم إعطاء دالة التوزيع F(x):

يتم تحديد المتغير العشوائي المستمر بواسطة كثافة الاحتمال
(قانون توزيع رايلي – يستخدم في الهندسة الراديوية). أوجد M(x) , D(x) .

يسمى المتغير العشوائي X مستمر ، إذا كانت دالة التوزيع الخاصة بها F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
تُستخدم دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر لحساب احتمال وقوع متغير عشوائي في فترة زمنية معينة:
ف(α< X < β)=F(β) - F(α)
علاوة على ذلك، بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، لا يهم ما إذا كانت حدوده متضمنة في هذه الفترة أم لا:
ف(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
كثافة التوزيع يسمى المتغير العشوائي المستمر دالة
f(x)=F’(x) , مشتق من دالة التوزيع.

خصائص كثافة التوزيع

1. كثافة توزيع المتغير العشوائي غير سالبة (f(x) ≥ 0) لجميع قيم x.
2. حالة التطبيع:

المعنى الهندسي لحالة التطبيع: المساحة الواقعة تحت منحنى كثافة التوزيع تساوي الوحدة.
3. يمكن حساب احتمال وقوع المتغير العشوائي X في الفترة من α إلى β باستخدام الصيغة

هندسياً، فإن احتمال سقوط المتغير العشوائي المستمر X في الفاصل الزمني (α، β) يساوي مساحة شبه المنحرف المنحني تحت منحنى كثافة التوزيع بناءً على هذا الفاصل.
4. يتم التعبير عن دالة التوزيع من حيث الكثافة على النحو التالي:

قيمة كثافة التوزيع عند النقطة x لا تساوي احتمال قبول هذه القيمة، بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر يمكننا فقط التحدث عن احتمال الوقوع في فترة معينة. يترك )