ما هو تعريف المنصف. منصف المثلث - ما هو؟ بعض خواص المنصف

داخل زاوية، على مسافة متساوية من جانبي الزاوية.

قاعدة ذاكري

المنصف هو فأر يدور حول الزوايا وينصفها.

يجعل من السهل تذكر الصياغة. غالبا ما يستخدم من قبل الأطفال.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

المرادفات:

• مسرد مصطلحات التخطيط
• دائرة مكتوبة

انظر ما هو "منصف" في القواميس الأخرى:

منصف- ي، ث. بيسيريس ف. الرياضيات. خط مستقيم يمر برأس الزاوية ويقسمها إلى نصفين. BAS 2. ارسم منصفًا. Vasyukova 1999. المنصف هو فأر يدور حول الزوايا ويقسم الزاوية إلى نصفين. 1994. بيليانين. ليكس. بروك... ... القاموس التاريخي للغالية في اللغة الروسية

منصف- الرياضيات، خط، قاموس مستقيم للمرادفات الروسية. الاسم المنصف عدد المرادفات: السطر الثالث (182) ... قاموس المرادفات

منصف- (من اللاتينية مكرر مرتين وسيكو قطعت) الزاوية هي خط شبه مستقيم (شعاع)، يخرج من رأس الزاوية ويقسمها إلى نصفين... القاموس الموسوعي الكبير

منصف- [آيس]، منصفات، أنثى. (من خط العرض. bissectrix القاطع عبر) (حصيرة). 1. يوجد في الزاوية خط مستقيم يقسم الزاوية إلى نصفين. 2. في المثلث يكون الخط المستقيم المرسوم من زاوية ما إلى الضلع المقابل ويقسم هذا الضلع إلى أجزاء مستقيماً... ... قاموس أوشاكوف التوضيحي

منصف- BISEXECTRISE، ق، أنثى. وفي الرياضيات: الشعاع (المكون من ثلاثة أرقام) يخرج من رأس الزاوية ويقسمها إلى نصفين. قاموس أوزيغوف التوضيحي. إس.آي. أوزيجوف ، إن يو. شفيدوفا. 1949 1992… قاموس أوزيجوف التوضيحي

منصف- بيسكستر، ق، ف. مدرس الرياضيات في المدرسة. من المدرسة... قاموس الوسيطة الروسية

منصف- - [أ.س. غولدبرغ. قاموس الطاقة الإنجليزي الروسي. 2006] موضوعات الطاقة بشكل عام EN يعني الخط ... دليل المترجم الفني

منصف- شعاع يخرج من أعلى الزاوية ويقسمها إلى نصفين؛ أي نقطة B. تكون بعيدة بشكل متساوٍ عن جانبي الزاوية. تتقاطع زوايا المثلث الثلاث ب في نقطة واحدة عند مركز الدائرة المرسومة في المثلث... موسوعة البوليتكنيك الكبيرة

منصف- (بالفرنسية bissectrice lat. bis sectrix (bissectricis) قطع إلى قسمين) جيوم. شعاع يمر برأس زاوية ويقسمها إلى نصفين. قاموس جديد للكلمات الأجنبية. بواسطة EdwART، 2009. منصف [ise]، منصفات، ث. [من اللاتينية. منقسمة –…… قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية

منصف- س؛ و. [فرنسي bissecrice من اللات. مكرر مرتين وتشريح آمن] حصيرة. شعاع يخرج من أعلى الزاوية فيقسمها إلى نصفين. * * * منصف (من اللاتينية مكرر مرتين وسيكو أقطع) للزاوية، نصف خط (شعاع) يخرج من رأس الزاوية ويقسمها... القاموس الموسوعي

كتب

• المنصف هو مثل هذا الجرذ...، ناتاليا تسيترونوفا. الكتاب الأول للمؤلف عبارة عن قصص ومقالات عن التسعينيات المبهرة... مكتوبة بسهولة، بروح الدعابة، بدون مشاهد دموية أو جنسية...

منصف المثلث هو القطعة التي تقسم زاوية المثلث إلى زاويتين متساويتين. على سبيل المثال، إذا كانت زاوية المثلث تساوي 120 0، فعند رسم منصف، سنبني زاويتين قياس كل منهما 60 0.

وبما أن هناك ثلاث زوايا في المثلث، فيمكن رسم ثلاث منصفات. لديهم جميعا نقطة قطع واحدة. هذه النقطة هي مركز الدائرة المحصورة في المثلث. وبطريقة أخرى، تسمى نقطة التقاطع هذه مركز المثلث.

عندما يتقاطع منصفان لزاوية داخلية وخارجية، نحصل على زاوية قياسها 90 0. الزاوية الخارجية في المثلث هي الزاوية المجاورة للزاوية الداخلية للمثلث.

أرز. 1. مثلث يحتوي على 3 منصفات

يقسم المنصف الجانب المقابل إلى قسمين متصلين بالجوانب:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

تكون النقاط المنصفه على مسافة متساوية من جانبي الزاوية، مما يعني أنها على نفس المسافة من جانبي الزاوية. أي أننا إذا أسقطنا من أي نقطة من نقاط المنصف عموديين على كل جانب من أضلاع زاوية المثلث فإن هذه المتعامدين ستكون متساوية..

إذا قمت برسم وسيط ومنصف وارتفاع من قمة واحدة، فسيكون الوسيط هو الجزء الأطول، وسيكون الارتفاع هو الأقصر.

بعض خواص المنصف

في أنواع معينة من المثلثات، يكون للمنصف خصائص خاصة. وهذا ينطبق في المقام الأول على مثلث متساوي الساقين. هذا الشكل له وجهان متطابقان، والثالث يسمى القاعدة.

إذا قمت برسم منصف من قمة زاوية مثلث متساوي الساقين إلى القاعدة، فسيكون له خصائص الارتفاع والوسيط. وبناء على ذلك، فإن طول المنصف يتزامن مع طول الوسيط والارتفاع.

تعريفات:

• ارتفاع- العمود المرسوم من رأس المثلث إلى الضلع المقابل له.
• الوسيط– القطعة التي تصل بين رأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل .

أرز. 2. منصف في مثلث متساوي الساقين

وينطبق هذا أيضًا على المثلث متساوي الأضلاع، أي المثلث الذي تكون أضلاعه الثلاثة متساوية.

مهمة المثال

في المثلث ABC: BR هو المنصف، حيث AB = 6 سم، BC = 4 سم، وRC = 2 سم، اطرح طول الضلع الثالث.

أرز. 3. منصف في المثلث

حل:

يقسم المنصف جانب المثلث بنسبة معينة. دعونا نستخدم هذه النسبة ونعبر عن AR. ثم سنوجد طول الضلع الثالث كمجموع القطع التي قسم إليها هذا الضلع بواسطة المنصف.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 سم$

ثم المقطع بأكمله AC = RC+ AR

التيار المتردد = 3+2=5 سم.

في المثلث المتساوي الساقين، المنصف المرسوم على القاعدة يقسم المثلث إلى مثلثين متساويين قائمي الزاوية.

ماذا تعلمنا؟

وبعد دراسة موضوع المنصف عرفنا أنه يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين. وإذا قمت برسمه في شكل مثلث متساوي الساقين أو متساوي الأضلاع إلى القاعدة، فسيكون له خصائص كل من المتوسطات والارتفاعات في نفس الوقت.

اختبار حول الموضوع

تصنيف المادة

متوسط ​​تقييم: 4.2. إجمالي التقييمات المستلمة: 157.

ما هو منصف زاوية المثلث؟ "على هذا السؤال، الفأر المعروف الذي يدور حول الزوايا ويقسم الزاوية إلى نصفين يخرج من أفواه بعض الناس." إذا كان الجواب "روح الدعابة"، فربما يكون صحيحا. ولكن من الناحية العلمية فالجواب على هذا السؤال ينبغي أن يكون: مثل هذا: البدء من أعلى الزاوية وتقسيم الأخيرة إلى قسمين متساويين. في الهندسة، يُنظر إلى هذا الشكل أيضًا على أنه قطعة من المنصف حتى يتقاطع مع الجانب المقابل للمثلث. هذه ليست فكرة خاطئة. ماذا يُعرف أيضًا عن منصف الزاوية غير تعريفه؟

مثل أي موضع هندسي للنقاط، له خصائصه الخاصة. أولها ليس حتى علامة، بل نظرية، والتي يمكن التعبير عنها باختصار على النحو التالي: "إذا كان الجانب المقابل له مقسمًا إلى جزأين بواسطة منصف، فإن نسبتهما سوف تتوافق مع نسبة جوانب مثلث كبير."

الخاصية الثانية: أن نقطة تقاطع منصفات جميع الزوايا تسمى المركز.

العلامة الثالثة: تقاطع منصفات الزاوية الداخلية والزاويتين الخارجيتين للمثلث في مركز إحدى الدوائر الثلاث المنقوشة.

الخاصية الرابعة لمنصفات زوايا المثلث هي أنه إذا كان كل منهما متساويا، فإن الأخير يكون متساوي الساقين.

تتعلق العلامة الخامسة أيضًا بمثلث متساوي الساقين وهي المبدأ التوجيهي الرئيسي للتعرف عليه في الرسم بواسطة المنصفات، وهي: في مثلث متساوي الساقين يعمل في نفس الوقت بمثابة الوسيط والارتفاع.

يمكن إنشاء منصف الزاوية باستخدام البوصلة والمسطرة:

القاعدة السادسة تنص على أنه من المستحيل بناء مثلث باستخدام الأخير فقط بالمنصفات الموجودة، كما أنه من المستحيل بناء بهذه الطريقة مضاعفة المكعب وتربيع الدائرة وتثليث الزاوية. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذه كلها خصائص منصف زاوية المثلث.

إذا قرأت الفقرة السابقة بعناية، فربما كنت مهتما بعبارة واحدة. "ما هو تثليث الزاوية؟" - ربما سوف تسأل. يشبه المثلث إلى حد ما المنصف، ولكن إذا قمت برسم الأخير، فسيتم تقسيم الزاوية إلى جزأين متساويين، وعند إنشاء تثليث، سيتم تقسيمها إلى ثلاثة. وبطبيعة الحال، من الأسهل تذكر منصف الزاوية، لأن التثليث لا يتم تدريسه في المدرسة. ولكن من أجل الاكتمال، سأخبرك بذلك أيضًا.

المثلث، كما قلت سابقًا، لا يمكن إنشاؤه باستخدام بوصلة ومسطرة فقط، ولكن يمكن إنشاؤه باستخدام قواعد فوجيتا وبعض المنحنيات: حلزونات باسكال، والمربعات، ومحاريات نيكوميديس، والمقاطع المخروطية،

يتم حل المشكلات المتعلقة بتثليث الزاوية بكل بساطة باستخدام nevsis.

في الهندسة هناك نظرية حول مثلثات الزوايا. وتسمى نظرية مورلي. وتذكر أن نقاط تقاطع مثلثات كل زاوية تقع في المنتصف ستكون القمم

المثلث الأسود الصغير داخل المثلث الكبير سيكون دائمًا متساوي الأضلاع. اكتشف هذه النظرية العالم البريطاني فرانك مورلي عام 1904.

إليك مقدار ما يمكنك تعلمه حول تقسيم الزاوية: يتطلب المثلث والمنصف للزاوية دائمًا شرحًا تفصيليًا. ولكن هنا أعطيت تعريفات كثيرة لم أفصح عنها بعد: حلزون باسكال، ومحار نيكوميدس، وما إلى ذلك. كن مطمئنا، هناك الكثير للكتابة عنهم.

اليوم سيكون الدرس سهلا جدا . سننظر في كائن واحد فقط - منصف الزاوية - ونثبت أهم خاصية له، والتي ستكون مفيدة جدًا لنا في المستقبل.

فقط لا تسترخي: في بعض الأحيان لا يتمكن الطلاب الذين يرغبون في الحصول على درجة عالية في نفس اختبار الدولة الموحدة أو اختبار الدولة الموحدة من صياغة تعريف المنصف بدقة في الدرس الأول.

وبدلاً من القيام بمهام مثيرة للاهتمام حقًا، فإننا نضيع الوقت في مثل هذه الأشياء البسيطة. لذا اقرأها وشاهدها واعتمدها. :)

في البداية، هناك سؤال غريب بعض الشيء: ما هي الزاوية؟ هذا صحيح: الزاوية هي ببساطة شعاعان منبعثان من نفس النقطة. على سبيل المثال:

أمثلة على الزوايا: الحادة، المنفرجة، القائمة

كما ترون من الصورة، يمكن أن تكون الزوايا حادة، منفرجة، مستقيمة - لا يهم الآن. في كثير من الأحيان، من أجل الراحة، يتم وضع علامة على نقطة إضافية على كل شعاع ويقولون أن أمامنا الزاوية $AOB$ (مكتوبة كـ $\angle AOB$).

يبدو أن Captain Obviousness يلمح إلى أنه بالإضافة إلى الأشعة $OA$ و$OB$، من الممكن دائمًا رسم مجموعة من الأشعة من النقطة $O$. ولكن من بينهم سيكون هناك واحد خاص - يسمى المنصف.

تعريف. منصف الزاوية هو الشعاع الذي يخرج من رأس تلك الزاوية وينصفها.

بالنسبة للزوايا المذكورة أعلاه، ستبدو المنصفات كما يلي:

أمثلة على منصفات الزوايا الحادة والمنفرجة والقائممة

نظرًا لأنه في الرسومات الحقيقية ليس من الواضح دائمًا أن شعاعًا معينًا (في حالتنا هو شعاع $OM$) يقسم الزاوية الأصلية إلى زاويتين متساويتين، فمن المعتاد في الهندسة تحديد زوايا متساوية بنفس عدد الأقواس ( في رسمنا هذا هو قوس واحد للزاوية الحادة، واثنان للزاوية المنفرجة، وثلاثة للزاوية المستقيمة).

حسنًا، لقد قمنا بفرز التعريف. أنت الآن بحاجة إلى فهم الخصائص التي يمتلكها المنصف.

الخاصية الرئيسية لمنصف الزاوية

في الواقع، المنصف لديه الكثير من الخصائص. وسننظر إليهم بالتأكيد في الدرس التالي. ولكن هناك خدعة واحدة عليك أن تفهمها الآن:

نظرية. منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب زاوية معينة.

إذا ترجمت من الرياضيات إلى اللغة الروسية، فهذا يعني حقيقتين في وقت واحد:

1. أي نقطة تقع على منصف زاوية معينة تكون على مسافة واحدة من ضلعي هذه الزاوية.
2. والعكس صحيح: إذا كانت النقطة تقع على نفس المسافة من جوانب زاوية معينة، فمن المؤكد أنها تقع على منصف هذه الزاوية.

قبل إثبات هذه العبارات، دعونا نوضح نقطة واحدة: ما الذي يسمى بالضبط المسافة من نقطة إلى جانب الزاوية؟ هنا سيساعدنا التحديد القديم الجيد للمسافة من نقطة إلى خط:

تعريف. المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي المرسوم من نقطة معينة على هذا الخط.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك السطر $l$ والنقطة $A$ التي لا تقع على هذا الخط. دعونا نرسم عموديًا على $AH$، حيث $H\in l$. إذن سيكون طول هذا العمود هو المسافة من النقطة $A$ إلى الخط المستقيم $l$.

تمثيل رسومي للمسافة من نقطة إلى خط

وبما أن الزاوية هي مجرد شعاعين، وكل شعاع هو قطعة من خط مستقيم، فمن السهل تحديد المسافة من نقطة إلى جانبي الزاوية. هذان مجرد عمودين متعامدين:

تحديد المسافة من النقطة إلى جانبي الزاوية

هذا كل شئ! الآن نحن نعرف ما هي المسافة وما هو المنصف. لذلك، يمكننا إثبات الخاصية الرئيسية.

وكما وعدناكم سنقسم الإثبات إلى قسمين:

1. المسافات من النقطة على المنصف إلى جوانب الزاوية هي نفسها

النظر في زاوية تعسفية مع قمة الرأس $O$ والمنصف $OM$:

دعونا نثبت أن هذه النقطة $M$ بالذات تقع على نفس المسافة من جانبي الزاوية.

دليل. دعونا نرسم خطوطًا متعامدة من النقطة $M$ إلى أضلاع الزاوية. دعنا نسميهم $M((H)_(1))$ و $M((H)_(2))$:

ارسم خطوطًا متعامدة على جوانب الزاوية

لقد حصلنا على مثلثين قائمين: $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$. لديهم وتر مشترك $OM$ وزوايا متساوية:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ حسب الشرط (نظرًا لأن $OM$ هو منصف)؛
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ عن طريق البناء؛
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$، منذ مجموع الزوايا الحادة في المثلث القائم تكون دائمًا 90 درجة.

وبالتالي فإن المثلثين متساويان في أضلاعهما وزاويتين متجاورتين (انظر علامات تساوي المثلثات). ولذلك، على وجه الخصوص، $M((H)_(2))=M((H)_(1))$، أي. المسافات من النقطة $O$ إلى جانبي الزاوية متساوية بالفعل. سؤال وجواب :)

2. إذا كانت المسافات متساوية فإن النقطة تقع على المنصف

الآن انعكس الوضع. دع الزاوية $O$ تعطى ونقطة $M$ متساوية البعد من جانبي هذه الزاوية:

دعونا نثبت أن الشعاع $OM$ منصف، أي. $\زاوية MO((H)_(1))=\زاوية MO((H)_(2))$.

دليل. أولاً، لنرسم هذا الشعاع $OM$، وإلا فلن يكون هناك ما يمكن إثباته:

أجريت شعاع $OM$ داخل الزاوية

مرة أخرى نحصل على مثلثين قائمين: $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$. ومن الواضح أنهما متساويان للأسباب التالية:

1. الوتر $OM$ - عام؛
2. الأرجل $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ حسب الشرط (بعد كل شيء، النقطة $M$ متساوية البعد من جانبي الزاوية)؛
3. الأرجل المتبقية متساوية أيضًا، لأن بواسطة نظرية فيثاغورس $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

لذلك، المثلثان $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$ من ثلاثة جوانب. على وجه الخصوص، زواياها متساوية: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. وهذا يعني فقط أن $OM$ منصف.

لإتمام الإثبات، نحدد الزوايا المتساوية الناتجة بأقواس حمراء:

يقسم المنصف الزاوية $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ إلى زاويتين متساويتين

كما ترون، لا شيء معقد. لقد أثبتنا أن منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب هذه الزاوية. :)

الآن بعد أن قررنا بشكل أو بآخر المصطلحات، فقد حان الوقت للانتقال إلى المستوى التالي. في الدرس التالي، سنلقي نظرة على خصائص أكثر تعقيدًا للمنصف ونتعلم كيفية تطبيقها لحل المسائل الحقيقية.

تُترجم كلمة "منصف" من الفرنسية على أنها "قطع إلى قسمين". منصف الزاوية هو زاوية "متساوية"، أي. تنصيف زاوية.

زاوية منصف - الشعاع المرسوم من رأس الزاوية التي بين ضلعيها ويقسم الزاوية إلى نصفين.

يمكن إنشاء منصف الزاوية باستخدام قياس درجة الزاوية باستخدام المنقلة. للقيام بذلك، يتم تقسيم قياس درجة زاوية معينة إلى النصف ويتم وضع قياس درجة نصف الزاوية على جانب واحد من الرأس. الجانب الثاني من هذه الزاوية سيكون منصف الزاوية المعطاة.

إذا كانت زاوية معينة قياسها 60 درجة، فإن الزاويتين المبنيتين باستخدام المنصف هما 30 درجة لكل منهما، حيث أن 60 درجة: 2 = 30 درجة.

الزاوية المستقيمة يقسمها المنصف إلى زاويتين قائمتين (180°:2=90°)، وأي زاوية منفرجة يقسمها المنصف إلى زاويتين حادتين.

إنشاء منصف زاوية باستخدام البوصلة والمسطرة

لإنشاء منصف زاوية بدون منقلة، باستخدام بوصلة ومسطرة فقط، عليك تنفيذ الخطوات التالية (انظر الشكل أعلاه).

• من رأس الزاوية، لأي نصف قطر، من الضروري رسم قوس دائرة بحيث يتقاطع مع جوانب الزاوية
• من كل نقطة (هناك نقطتان) من تقاطع القوس وجانب الزاوية، ارسم مرة أخرى روح الدائرة (بنصف قطر مختلف)
• من خلال أي من نقاط تقاطع أقواس الدوائر المبنية بشكل إضافي، ارسم شعاعًا من قمة الزاوية، والذي سيكون منصف هذه الزاوية

منصف زاوية المثلث

منصف زاوية المثلثهو قطعة من منصف الزاوية تمتد من رأس الزاوية إلى تقاطعها مع الضلع المقابل لها.

المثلث له ثلاثة منصفات، مأخوذة من كل من رؤوسها.

يتمتع منصف زاوية المثلث بالكثير من الخصائص الخاصة، والتي سيتم وصفها في مقالة منفصلة "