20. الصيغ المكافئة للمنطق المسند

21. الصيغ المكافئة للمنطق المسند

22. الصيغ المكافئة للمنطق المسند

23. قوانين العمليات المنطقية (صيغ صالحة بشكل عام للمنطق المسند)

24. ممارسة الرياضة

25. ممارسة الرياضة

26.

27.

المنطق والحجج: كتاب مدرسي. دليل للجامعات. روزافين جورجي إيفانوفيتش

4.2. محددو الكمية

4.2. محددو الكمية

هناك فرق كبير بين المنطق المسند والمنطق الافتراضي هو أيضًا أن الأول يقدم خاصية كمية للبيانات أو، كما يقولون في المنطق، يحددها كميًا. بالفعل في المنطق التقليدي، تم تصنيف الأحكام ليس فقط من حيث الجودة، ولكن أيضًا من حيث الكمية، أي. تختلف الأحكام العامة عن الأحكام الخاصة والفردية. لكن لم تكن هناك نظرية حول العلاقة بينهما. يأخذ المنطق الحديث في الاعتبار الخصائص الكمية للبيانات في نظرية خاصة للقياس الكمي، والتي تعد جزءًا لا يتجزأ من حساب التفاضل والتكامل المسند.

بالنسبة للقياس الكمي (الخصائص الكمية) للبيانات، تقدم هذه النظرية محددين كميين رئيسيين: المحدد الكمي العام، والذي سنشير إليه بالرمز (x)، والمحدد الكمي الوجودي، الذي نرمز إليه بالرمز (Ex). يتم وضعها مباشرة قبل البيانات أو الصيغ التي تشير إليها. في الحالة التي يكون فيها لمحددات الكمية نطاق أوسع، يتم وضع الأقواس قبل الصيغة المقابلة.

يُظهر المُحدِّد الكمي العام أن المسند المُشار إليه برمز معين ينتمي إلى جميع الكائنات الموجودة في فئة معينة أو عالم معين من التفكير.

وهكذا يمكن ترجمة مقولة: "كل الأجسام المادية لها كتلة" إلى لغة رمزية على النحو التالي:

حيث x - يدل على الجسم المادي:

م - الكتلة؛

(x) هو مُحدد كمي عام.

وبالمثل، يمكن التعبير عن بيان حول وجود ظواهر خارج الحواس من خلال محدد كمي للوجود:

حيث تشير x إلى الظواهر:

هـ - خاصية الإدراك خارج الحواس المتأصلة في مثل هذه الظواهر؛

(على سبيل المثال) هو مُحدد كمي وجودي.

باستخدام محدد الكمية العام، يمكنك التعبير عن القوانين التجريبية والنظرية والتعميمات حول العلاقة بين الظواهر والفرضيات العالمية والبيانات العامة الأخرى. على سبيل المثال، يمكن تمثيل قانون التمدد الحراري للأجسام رمزيًا بالصيغة التالية:

(x) (T(x) ؟ P(x))،

حيث (x) هو المحدد الكمي العام؛

T(x) - درجة حرارة الجسم؛

P(x) هو امتداده؛

علامة ضمنا.

يشير المحدد الكمي الوجودي فقط إلى جزء معين من الأشياء من عالم معين من التفكير. لذلك، على سبيل المثال، يتم استخدامه لكتابة قوانين إحصائية بشكل رمزي تنص على أن الخاصية أو العلاقة تنطبق فقط على توصيف جزء معين من الكائنات قيد الدراسة.

إن إدخال أدوات القياس الكمي يجعل من الممكن، أولاً وقبل كل شيء، تحويل المسندات إلى عبارات محددة. المسندات نفسها ليست صحيحة ولا كاذبة. وتصبح كذلك إذا تم استبدال البيانات الملموسة بالمتغيرات، أو إذا كانت مرتبطة بمحددات كمية، يتم تحديدها كميا. وعلى هذا الأساس يتم تقسيم المتغيرات إلى مقيدة وحرة.

تسمى المتغيرات التي تقع تحت تأثير علامات محددات العمومية أو الوجود مقيدة. على سبيل المثال، الصيغ (x) A (x) و (x) (P (x) ؟ Q (x)) تحتوي على المتغير x. في الصيغة الأولى، يقف المحدد الكمي العام مباشرة قبل المسند A(x)، في الثانية، يمتد المحدد الكمي عمله إلى المتغيرات المضمنة في المصطلحات السابقة واللاحقة للتضمين. وبالمثل، يمكن للمحدد الكمي الوجودي أن يشير إلى كل من المسند المنفصل والجمع بينهما، والذي تم تشكيله باستخدام العمليات المنطقية للنفي، والاقتران، والانفصال، وما إلى ذلك.

المتغير الحر لا يخضع لعلامات القياس، لذلك فهو يميز دالة مسندة أو افتراضية، وليس عبارة.

باستخدام مجموعة من محددات الكمية، يمكن للمرء التعبير عن جمل لغة طبيعية معقدة للغاية بلغة المنطق الرمزية. في هذه الحالة، يتم تقديم البيانات التي نتحدث فيها عن وجود كائنات تستوفي شرطًا معينًا باستخدام محدد كمية الوجود. على سبيل المثال، يتم كتابة بيان حول وجود العناصر المشعة باستخدام الصيغة:

حيث يشير R إلى خاصية النشاط الإشعاعي.

يمكن التعبير عن العبارة التي تشير إلى وجود خطر إصابة المدخن بالسرطان على النحو التالي: (مثال) (K(x) ؟ P(x))، حيث تشير K إلى خاصية "أن تكون مدخنًا"، و P - " الإصابة بالسرطان". مع بعض التحفظات، يمكن التعبير عن نفس الشيء” عن طريق محدد كمي عام: (x) (K(x) ? P(x)). لكن القول بأن أي شخص يدخن يمكن أن يصاب بالسرطان سيكون غير صحيح، ولذلك فمن الأفضل كتابته باستخدام محدد كمي للوجود بدلاً من محدد كمي عام.

يتم استخدام المحدد الكمي العام للبيانات التي تنص على أن المسند المعين A يتم استيفاءه بواسطة أي كائن في نطاق قيمه. في العلوم، كما ذكرنا سابقًا، يتم استخدام المحدد الكمي العام للتعبير عن عبارات ذات طبيعة عالمية، والتي يتم تمثيلها لفظيًا باستخدام عبارات مثل "للجميع"، "لكل"، "أي"، "أي"، إلخ. من خلال إلغاء المُحدِّد الكمي للعمومية، يمكن للمرء التعبير عن عبارات سلبية بشكل عام، والتي يتم تقديمها في اللغة الطبيعية بالكلمات "لا شيء"، "ليس واحدًا"، "لا أحد"، وما إلى ذلك.

بالطبع، عند ترجمة عبارات اللغة الطبيعية إلى لغة رمزية، يتم مواجهة بعض الصعوبات، ولكن يتم تحقيق الدقة اللازمة والتعبير الواضح عن الفكر. ومع ذلك، لا يمكن للمرء أن يعتقد أن اللغة الرسمية أكثر ثراءً من اللغة الطبيعية، التي لا يتم فيها التعبير عن المعنى فحسب، بل يتم أيضًا التعبير عن ظلاله المختلفة. لذلك لا يسعنا إلا أن نتحدث عن تمثيل أكثر دقة لتعابير اللغة الطبيعية كوسيلة عالمية للتعبير عن الأفكار وتبادلها في عملية الاتصال.

في أغلب الأحيان، تظهر محددات الكمية العامة والوجود معًا. على سبيل المثال، للتعبير رمزياً عن العبارة: "لكل عدد حقيقي x، هناك رقم y بحيث يكون x أقل من y"، نشير إلى المسند "أن يكون أقل" بالرمز<, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

من تعريف المحددات الكمية للعمومية والوجود، يترتب على الفور أن هناك علاقة معينة بينهما، والتي يتم التعبير عنها عادة باستخدام القوانين التالية.

1. قوانين التقليب للكميات:

(خ) (ص) أ ~ (ص) (خ) أ؛

(على سبيل المثال) (عين) ا ~ (عين) (على سبيل المثال) أ؛

(على سبيل المثال) (ص) ا ~ (ص) (على سبيل المثال) ا؛

2. قوانين نفي المحددات الكمية:

¬ (x) أ ~ (مثال) ¬ أ؛

¬ (مثال) أ ~ (خ) ¬ أ؛

3. قوانين التعبير المتبادل للمحددات الكمية:

(خ) أ ~ ¬ (مثال) ¬ أ؛

(مثال) أ ~ ¬ (خ) ¬ أ.

هنا، تشير A إلى أي صيغة للغة الكائن (الموضوع). معنى نفي المحددات الكمية واضح: إذا لم يكن صحيحًا أنه بالنسبة لأي x A يحمل، فهناك x لا يحمل A لها. ويترتب على ذلك أيضًا أنه إذا كان أي x يحتوي على A، فلا يوجد x ليس لديه A، وهو ما يتم تمثيله رمزيًا في القانون الأول لقابلية التعبير.

الطبيعة الوظيفية للمسند تستلزم إدخال مفهوم آخر - محدد الكمية. (الكم - من اللاتينية "كم") يمكن اعتبار عمليات القياس بمثابة تعميم لعمليات الاقتران والانفصال في حالة المناطق المحدودة واللانهائية.

محدد كمي عام (الكل، الجميع، الجميع، أي (الكل – “الجميع”)). يبدو التعبير اللفظي المقابل كما يلي:

"لكل x P(x) صحيح." يمكن ربط حدوث متغير في الصيغة إذا كان المتغير موجودًا مباشرة بعد علامة المُحدِّد الكمي، أو في نطاق المُحدِّد الكمي الذي يظهر بعده المتغير. جميع الأحداث الأخرى مجانية، ويسمى الانتقال من P(x) إلى x(Px) أو (Px) بربط المتغير x أو ربط محدد كمي بالمتغير x (أو بالمسند P) أو تقدير كمية المتغير x. يسمى المتغير الذي تم إرفاق المحدد الكمي به متعلق ب، يتم استدعاء متغير التكميم غير ذي الصلة حر.

على سبيل المثال، المتغير x في المسند P(x) يسمى حر (x هو أي من M)، في العبارة P(x) المتغير x يسمى متغير منضم.

التكافؤ صحيح: P(x 1)P(x 2)…P(x n)،

P(x) - المسند المحدد في المجموعة M=(x 1,x 2 ...x 4)

مقياس الوجود(موجود – “موجود”). التعبير اللفظي المقابل هو: "هناك x بحيث تكون P(x) صحيحة." العبارة xP(x) لم تعد تعتمد على x، المتغير x متصل بواسطة مُحدِّد الكمية.

المعادلة عادلة:

xP(x) = P(x 1)P(x 2)…P(x n)، حيث

P(x) هو مسند محدد في المجموعة M=(x 1 ,x 2 …x n ).

يُطلق على المُحدِّد الكمي العام والمُحدِّد الكمي الوجودي اسم مزدوج، وفي بعض الأحيان يتم استخدام تدوين المُحدِّد الكمي! - "يوجد، علاوة على ذلك، واحد فقط."

من الواضح أن العبارة xP(x) تكون صحيحة فقط في الحالة الفريدة عندما تكون P(x) مسندًا صحيحًا بشكل مماثل، وتكون العبارة خاطئة فقط عندما تكون P(x) مسندًا خاطئًا بشكل مماثل.

تنطبق عمليات محدد الكمية أيضًا على المسندات متعددة المواضع. تطبيق عملية تحديد الكمية على المسند P(x,y) فيما يتعلق بالمتغير x يضع في المراسلات مع المسند ذو المكانين P(x,y) المسند ذو المكان الواحد xP(x,y) أو xP( x,y) اعتمادًا على y ومستقلًا عن x.

بالنسبة إلى المسند المكون من مكانين، يمكنك تطبيق عمليات محدد الكمية على كلا المتغيرين. ثم نحصل على ثمانية أقوال:

1. ف(س,ص); 2. ف(س، ص)؛

3. ف(س، ص)؛ 4. ف(س، ص)؛

5. ف(س,ص); 6. ف(س,ص);

7. ف(س، ص)؛ 8. ف(س، ص)

مثال 3.فكر في الخيارات الممكنة لربط محددات الكمية بالمسند ف (س، ص) – “سمقسمة على ذ"، محددة على مجموعة الأعداد الطبيعية (بدون صفر) ن. إعطاء الصياغات اللفظية للعبارات المستلمة وتحديد حقيقتها.

تؤدي عملية ربط محددات الكمية إلى الصيغ التالية:

العبارات "لأي عددين طبيعيين، أحدهما قابل للقسمة على الآخر" (أو 1) جميع الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة على أي عدد طبيعي؛ 2) أي عدد طبيعي هو مقسوم على أي عدد طبيعي) خطأ؛

العبارات "هناك عددان طبيعيان بحيث يكون الأول قابلاً للقسمة على الثاني" (1. "هناك عدد طبيعي x يقبل القسمة على عدد ما y"؛ 2. "هناك عدد طبيعي y مقسوم على بعض أرقام الأعداد الطبيعية x") صحيحة؛

إن عبارة "هناك عدد طبيعي يقبل القسمة على أي عدد طبيعي" غير صحيحة؛

إن عبارة "لكل عدد طبيعي هناك عدد طبيعي يقبل القسمة على الأول" (أو لكل عدد طبيعي هناك مقسوم) صحيحة؛

العبارة "لكل عدد طبيعي x هناك عدد طبيعي y يقبل القسمة" (أو "لكل عدد طبيعي هناك قاسم") صحيحة؛

إن عبارة "هناك عدد طبيعي هو قاسم لكل عدد طبيعي" صحيحة (وهذا المقسوم عليه هو واحد).

وفي الحالة العامة، فإن تغيير ترتيب المحددات الكمية يغير معنى العبارة ومعناها المنطقي، أي. على سبيل المثال، تختلف العبارات P(x,y) وP(x,y).

دع المسند P(x,y) يعني أن x هي أم y، ثم P(x,y) يعني أن كل شخص لديه أم - بيان صحيح. P(x,y) تعني أن هناك أمًا لجميع الناس. تعتمد صحة هذه العبارة على مجموعة القيم التي يمكن أن تتخذها y: إذا كانت مجموعة الأشقاء فهي صحيحة، وإلا فهي خاطئة. وبالتالي، فإن إعادة ترتيب محددات العالمية والوجود يمكن أن تغير معنى التعبير ذاته ومعناه.

أ) استبدال علامة البداية (أو) بالعلامة المقابلة لها

ب) ضع إشارة قبل بقية المسند

في المنطق المسند، يتم اعتبار عمليتين لتحويل المسند ذو المكان الواحد إلى بيان، ولهذا الغرض، يتم استخدام كلمات خاصة توضع أمام المسندات. في المنطق يطلق عليهم محددات الكمية.

هناك نوعان من محددات الكمية:

1. محدد الكمي العام.

2. وجود الكمي.

1. محدد كمي عام.

يجب أن يكون هناك مسند P(x) محدد في المجموعة M

يسمى الرمز محدد الكمي العالمي(مجتمع). هذا هو الحرف الأول المقلوب من الكلمة الإنجليزية All - everything. يقرأون "الكل"، "الجميع"، "أي"، "الجميع". المتغير x في فاعليتم استدعاء P(x). حر (يمكن إعطاؤه معاني مختلفة عن M) إلى إفادةيسمونه x متعلق بمحدد الكمي العالمي.

المثال رقم 1: P(x) – "العدد الأولي x فردي"

دعونا نضيف محددًا كميًا عامًا - "كل رقم أولي x فردي" - عبارة خاطئة.

التعبير عبارة صحيحة عندما تكون P(x) صحيحة لكل عنصر x من المجموعة M وخطأ فيما عدا ذلك. لم يعد هذا البيان يعتمد على x.

2. وجود الكمي.

دع P(x) - فاعلمحددة على المجموعة M. نعني بالتعبير إفادة، وهو صحيح إذا كان هناك عنصر يكون P(x) صحيحًا له، وخاطئًا بخلاف ذلك. لم يعد هذا البيان يعتمد على x. التعبير اللفظي المقابل هو: "هناك x بحيث تكون P(x) صحيحة." يسمى الرمز مقياس الوجود .في العبارة، يرتبط المتغير x بهذا المحدد الكمي (يرتبط به محدد كمي).

(اقرأ: "يوجد x في M بحيث يكون P في x صحيحًا")

التعبير هو عبارة صحيحة إذا كان هناك عنصر x€M (واحد على الأقل) يكون P(x) صحيحًا له، وخاطئًا بخلاف ذلك.

المثال رقم 2: P(x) "الرقم x هو مضاعف للرقم 5"

أي عدد طبيعي هو من مضاعفات العدد 5"

كل عدد طبيعي هو من مضاعفات 5" بيانات كاذبة

جميع الأعداد الطبيعية هي مضاعفات العدد 5."

هناك عدد طبيعي يقبل القسمة على 5

أوجد عدداً طبيعياً يقبل القسمة على 5 عبارات صحيحة

يوجد عدد طبيعي واحد على الأقل يقبل القسمة على 5

تنطبق عمليات محدد الكمية أيضًا على المسندات متعددة المواضع. لنفترض، على سبيل المثال، أن يتم إعطاء مسند ذو مكانين P(x,y) على المجموعة M. إن تطبيق عملية تحديد الكمية على المسند P(x,y) فيما يتعلق بالمتغير x يضع في المراسلات مع المسند ذو المكانتين P(x,y) مسندًا من مكان واحد (أو مسندًا من مكان واحد) اعتمادًا على المتغير y ولا يعتمد على المتغير x . يمكنك تطبيق عمليات القياس عليها على المتغير y، مما سيؤدي إلى عبارات من الأنواع التالية:

لبناء النفي مع محددات الكمية تحتاج إلى:

1) استبدال مُحدِّد كمية العموم بمُحدِّد كمية الوجود، واستبدال مُحدِّد كمية الوجود بمُحدِّد كمية العمومية؛

2) استبدال المسند بنفيه.

وبالتالي، فإن الصيغ التالية صالحة:

يجب كتابة نفي الجملة كـ ، ونفي الجملة كـ . ومن الواضح أن الجملة لها نفس المعنى، وبالتالي نفس القيمة الحقيقية، مثل الجملة، والجملة لها نفس المعنى. وبعبارة أخرى، فإنه يعادل ; مقابل

المثال رقم 3. أنشئ نفيًا للعبارة "بعض الأعداد المكونة من رقمين تقبل القسمة على 12."

الحل: لنستبدل محدد كمية الوجود (ويعبر عنه بكلمة "بعض") بمحدد كمية العموم "كل" ونبني نفي الجملة بعد كلمة "بعض"، ونضع الجسيم "ليس" في المقدمة من الفعل. نحصل على العبارة "جميع الأعداد المكونة من رقمين لا تقبل القسمة على 12".

المثال رقم 4. قم بصياغة نفي العبارة "في كل فصل، فشل طالب واحد على الأقل في الاختبار".

الحل: تحتوي هذه العبارة على محدد كمي عام يتم التعبير عنه بكلمة "كل" ومحدد كمي للوجود يتم التعبير عنه بالكلمات "واحد على الأقل". وفقًا لقاعدة بناء نفي العبارات بمحددات كمية، من الضروري استبدال محدد كمية العموم بمحدد كمية الوجود، ومحدد كمية الوجود بمحدد كمية العمومية، وإزالة حرف "لا" من الفعل. نحصل على: "يوجد فصل دراسي اجتاز فيه جميع الطلاب الاختبار".

دعونا نلقي نظرة على بعض الجمل مع متغير:

- « - عدد طبيعي بسيط"؛ نطاق القيم المسموح بها لهذا المسند هو مجموعة الأعداد الطبيعية؛

- « - عدد زوجي"؛ نطاق القيم المسموح بها لهذا المسند هو مجموعة الأعداد الصحيحة.

- «
- متساوي الاضلاع"؛

- «
»

- "طالب تلقى التقييم »

- « يقبل القسمة على 3"

تعريف. إذا تحولت جملة تحتوي على متغيرات، مع أي استبدال للمتغيرات بقيم مقبولة، إلى عبارة، فإن هذه الجملة تسمى المسند.

,
,
,
- المسندات من متغير واحد (المسندات ذات المكان الواحد). المسندات من متغيرين:
,
- المسندات ذات المكانتين. المقترحات هي مسندات خالية من المكان.

محدد كمي عام.

تعريف. رمز ويسمى الكمي العام.

قراءة : لأي شخص ، لكل للجميع .

يترك
- المسند الأحادي.

قراءة : لأي شخص
- حقيقي.

مثال.

- "جميع الأعداد الطبيعية أولية" - عبارة خاطئة.

- "جميع الأعداد الصحيحة متساوية" - عبارة خاطئة.

- "حصل جميع الطلاب على تقييم " هو مسند ذو مكان واحد. لقد وضعنا محددًا كميًا على مسند من مكانين وحصلنا على مسند من مكان واحد. على نفس المنوال
-n-ary المسند، إذن

- (ن-1)-المسند المحلي.

- (ن-2)-مكان المسند.

في اللغة الروسية، تم حذف المحدد الكمي العام.

مقياس الوجود.

تعريف.رمز يسمى مقياس الوجود

قراءة: موجود ، هنالك ، سيكون هنالك .

تعبير
، أين
- المسند في مكان واحد، اقرأ: موجود ، لأي منهم
حقيقي.

مثال.

- "هناك أعداد طبيعية أولية." (و)

- "حتى أن هناك أعدادًا صحيحة." (و).

- "هناك طالب حصل على درجة " هو مسند ذو مكان واحد.

إذا أضفنا محددًا كميًا واحدًا إلى المسند n-ary، نحصل على المسند (n-1)-ary؛ إذا أضفنا محددات الكمية n، نحصل على المسند ذو المكانة الصفرية، أي. إفادة.

إذا قمنا بتعيين محددات كمية من نفس النوع، فإن الترتيب الذي يتم به تعيين محددات الكمية لا يهم. وإذا تم تعيين محددات كمية مختلفة لمسند، فلا يمكن تغيير الترتيب الذي يتم به تعيين محددات الكمية.

بناء نفي البيانات التي تحتوي على محددات الكمية. قوانين دي مورغان.

قانون دي مورغان.

عند إنشاء نفي عبارة تحتوي على محدد كمي عام، يتم استبدال هذا المحدد العام بمحدد كمي للوجود، ويتم استبدال المسند بنفيه.

قانون دي مورغان.

عند بناء نفي العبارات التي تحتوي على محدد كمي وجودي، من الضروري استبدال المحدد الكمي الوجودي بمحدد كمي عام، والمسند
- إنكاره. يتم إنشاء نفي العبارات التي تحتوي على عدة محددات كمية بطريقة مماثلة: يتم استبدال المحدد الكمي العام بمحدد كمي للوجود، ويتم استبدال محدد الكم للوجود بمحدد كمي عام، ويتم استبدال المسند بنفيه.

ص.2. عناصر نظريات المجموعات (نظرية المجموعات البديهية). المجموعات العددية مجموعة الأعداد الحقيقية.

وصف المجموعة: تشير مجموعة الكلمات إلى مجموعة من الكائنات التي تعتبر كلًا واحدًا. بدلاً من كلمة "مجموعة" يقولون أحيانًا "مجموعة" و"فئة".

تعريف. يسمى الكائن الموجود في المجموعة بعنصرها.

سِجِلّ
يعني أن هو عنصر من عناصر المجموعة . سِجِلّ
يعني أن ليس عنصرا من المجموعة . يمكنك أن تقول عن أي كائن ما إذا كان عنصرًا في مجموعة أم لا. لنكتب هذه العبارة باستخدام الرموز المنطقية:

لا يوجد كائن ينتمي في نفس الوقت إلى مجموعة ولا ينتمي إليها، أي،

لا يمكن أن تحتوي المجموعة على عناصر متطابقة، على سبيل المثال. إذا كان من مجموعة تحتوي على عنصر ، قم بإزالة العنصر ، ثم نحصل على مجموعة لا تحتوي على العنصر .

تعريف.مجموعتين و يقال أنها متساوية إذا كانت تحتوي على نفس العناصر.