كيفية إيجاد جذور المعادلة التي تنتمي إلى المقطع. إيجاد جذور المعادلة التي تنتمي إلى المقطع. طرق حل المعادلات المثلثية

27. حدد الجذور في مقطع معين

28. 10. حل المعادلة 2sin2x = 4cos x –sinx + 1 أوجد جذورها في الفترة [/ 2؛ 3 / 2]

29. حدد الجذور باستخدام الدائرة

مهمة 1

المنطق بسيط: سنفعل كما فعلنا من قبل ، على الرغم من حقيقة أن الدوال المثلثية لديها الآن حجة أكثر تعقيدًا!

إذا أردنا حل معادلة بالصيغة:

ثم نكتب الإجابة التالية:

أو (بسبب)

لكننا الآن نلعب التعبير التالي:

ثم يمكنك أن تكتب:

هدفنا معك أن نجعله يقف على اليسار ببساطة ، دون أي "شوائب"!

دعونا نتخلص منهم!

أولاً ، قم بإزالة المقام في: للقيام بذلك ، اضرب مساواتنا في:

الآن نتخلص منه بقسمة كلا الجزأين عليه:

الآن دعنا نتخلص من الثمانية:

يمكن كتابة التعبير الناتج على شكل سلسلتين من الحلول (بالقياس مع المعادلة التربيعية ، حيث نضيف أو نطرح المميز)

علينا إيجاد أكبر جذر سلبي! من الواضح أنه من الضروري الفرز.

لنلقِ نظرة على السلسلة الأولى أولاً:

من الواضح أننا إذا أخذناها ، فسوف نحصل على أرقام موجبة نتيجة لذلك ، لكننا لسنا مهتمين بها.

لذلك يجب أن تؤخذ سلبية. اسمحوا ان.

متى سيكون الجذر بالفعل:

وعلينا إيجاد أكبر سلبي !! لذا فإن السير في الاتجاه السلبي هنا لم يعد منطقيًا. وسيكون أكبر جذر سلبي لهذه السلسلة متساويًا.

الآن فكر في السلسلة الثانية:

ومرة أخرى نستبدل:

غير مهتم!

ثم ليس من المنطقي زيادتها بعد الآن! دعونا نخفض! دعنا إذن:

تناسبها!

اسمحوا ان. ثم

ثم - أكبر جذر سلبي!

إجابة:

المهمة رقم 2

مرة أخرى ، نحل ، بغض النظر عن سعة جيب التمام المركبة:

الآن نعبر مرة أخرى على اليسار:

اضرب كلا الطرفين في

قسّم كلا الجانبين

كل ما تبقى هو تحريكه إلى اليمين ، وتغيير علامته من سالب إلى موجب.

نحصل مرة أخرى على سلسلتين من الجذور ، أحدهما به والآخر به.

علينا إيجاد أكبر جذر سالب. تأمل السلسلة الأولى:

من الواضح أننا سنحصل على أول جذر سلبي عند ، سيكون متساويًا وسيكون أكبر جذر سلبي في السلسلة 1.

للسلسلة الثانية

سيتم أيضًا الحصول على أول جذر سلبي عند وسيساوي. منذ ذلك الحين ، هو أكبر جذر سلبي للمعادلة.

إجابة: .

المهمة رقم 3

نحن نقرر ، بغض النظر عن سعة المماس المركبة.

يبدو أن هذا ليس شيئًا معقدًا ، أليس كذلك؟

كما في السابق ، نعبر عن الجانب الأيسر:

حسنًا ، هذا رائع ، توجد بشكل عام سلسلة واحدة فقط من الجذور! مرة أخرى ، أوجد أكبر قيمة سلبية.

من الواضح أنه إذا وضعناها. وهذا الجذر يساوي.

إجابة:

حاول الآن حل المشكلات التالية بنفسك.

واجب منزلي أو 3 مهام لحل مستقل.

1. معادلة Re-shi-te.
   
2. معادلة Re-shi-te.
   في from-ve-te on-pi-shi-te أصغر جذر in-lo-zhi-tel-ny.
3. معادلة Re-shi-te.
   في from-ve-te on-pi-shi-te أصغر جذر in-lo-zhi-tel-ny.

مستعد؟ نحن نفحص. لن أصف بالتفصيل خوارزمية الحل بالكامل ، يبدو لي أنه قد تم بالفعل إيلاء الاهتمام الكافي لها أعلاه.

حسنًا ، هل كل شيء على ما يرام؟ أوه ، تلك الجيوب الأنفية السيئة ، هناك دائمًا بعض المشاكل معهم!

حسنًا ، يمكنك الآن حل أبسط المعادلات المثلثية!

تحقق من الحلول والإجابات:

مهمة 1

يعبر

يتم الحصول على أصغر جذر موجب إذا وضعنا ، منذ ذلك الحين

إجابة:

المهمة رقم 2

سيتم الحصول على أصغر جذر موجب في.

سيكون متساويا.

إجابة: .

المهمة رقم 3

عندما نحصل وعندما يكون لدينا.

إجابة: .

ستساعدك هذه المعرفة في حل العديد من المشكلات التي ستواجهها في الامتحان.

إذا كنت تتقدم للحصول على تصنيف "5" ، فأنت تحتاج فقط إلى متابعة قراءة المقال الخاص به مستوى متوسط،والتي ستخصص لحل المعادلات المثلثية الأكثر تعقيدًا (المهمة C1).

مستوى متوسط

في هذه المقالة سوف أصف حل المعادلات المثلثية من النوع الأكثر تعقيدًاوكيفية اختيار جذورهم. سأركز هنا على المواضيع التالية:

1. المعادلات المثلثية لمستوى الدخول (انظر أعلاه).

المعادلات المثلثية الأكثر تعقيدًا هي أساس مشاكل التعقيد المتزايد. يتطلب كلاهما حل المعادلة نفسها بشكل عام وإيجاد جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى فترة زمنية معينة.

يتم تقليل حل المعادلات المثلثية إلى مهمتين فرعيتين:

1. حل المعادلة
2. اختيار الجذر

وتجدر الإشارة إلى أن الثانية ليست مطلوبة دائمًا ، ولكن لا يزال مطلوبًا في معظم الأمثلة القيام بالاختيار. وإذا لم يكن ذلك مطلوبًا ، فيمكنك التعاطف - وهذا يعني أن المعادلة معقدة للغاية في حد ذاتها.

تُظهر تجربتي في تحليل مهام C1 أنه يتم تقسيمها عادةً إلى الفئات التالية.

أربع فئات من المهام ذات التعقيد المتزايد (C1 سابقًا)

1. المعادلات التي تقلل إلى عوامل.
2. المعادلات التي تختزل إلى النموذج.
3. حل المعادلات عن طريق تغيير المتغير.
4. تتطلب المعادلات اختيارًا إضافيًا للجذور بسبب اللاعقلانية أو المقام.

لوضعها ببساطة: إذا حصلت على أحد الأنواع الثلاثة الأولى من المعادلاتثم اعتبر نفسك محظوظا. بالنسبة لهم ، كقاعدة عامة ، من الضروري أيضًا تحديد الجذور التي تنتمي إلى فترة زمنية معينة.

إذا صادفت معادلة من النوع 4 ، فأنت أقل حظًا: فأنت بحاجة إلى العبث بها لفترة أطول وبعناية أكبر ، ولكن في كثير من الأحيان لا يتطلب الأمر اختيارًا إضافيًا للجذور. ومع ذلك ، سأقوم بتحليل هذا النوع من المعادلات في المقالة التالية ، وسأخصص هذه المعادلة لحل معادلات الأنواع الثلاثة الأولى.

اختزال المعادلات إلى عوامل

أهم شيء يجب أن تتذكره لحل معادلات من هذا النوع هو

كما تظهر الممارسة ، كقاعدة عامة ، هذه المعرفة كافية. لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة:

مثال 1. معادلة تختزل إلى عوامل باستخدام صيغ الاختزال وجيب الزاوية المزدوجة

• معادلة Re-shi-te
• أوجد كل جذور هذه المعادلة

هنا ، كما وعدت ، تعمل صيغ الصب:

ثم ستبدو معادلتي كما يلي:

ثم ستأخذ معادلي الشكل التالي:

قد يقول طالب قصير النظر: والآن سأختصر كلا الجزأين ، أحصل على أبسط معادلة واستمتع بالحياة! وسيكون مخطئا بشكل مرير!

اذا مالعمل؟ نعم ، كل شيء بسيط ، انقل كل شيء في اتجاه واحد وأخرج العامل المشترك:

حسنًا ، لقد حللناها ، مرحى! الآن قررنا:

المعادلة الأولى لها جذور:

والثانية:

هذا يكمل الجزء الأول من المشكلة. الآن نحن بحاجة إلى تحديد الجذور:

الفجوة كالتالي:

أو يمكن كتابتها على النحو التالي:

حسنًا ، لنأخذ الجذور:

أولاً ، دعنا نعمل مع السلسلة الأولى (وهذا أسهل ، على أقل تقدير!)

بما أن الفترة الخاصة بنا سالبة تمامًا ، فلا داعي لأخذ آحاد غير سالبة ، فستظل تعطي جذورًا غير سالبة.

لنأخذها ، إذًا - كثيرًا جدًا ، لا تتناسب معها.

دعونا ، إذن - مرة أخرى لم تصل.

محاولة أخرى - ثم - هناك ، اضرب! تم العثور على أول جذر!

ألتقط مرة أخرى: إذن - اضرب مرة أخرى!

حسنًا ، مرة أخرى: - هذه رحلة بالفعل.

إذن ، من السلسلة الأولى ، جذران ينتميان إلى الفترة الزمنية:.

نحن نعمل مع السلسلة الثانية (نحن نبني لقوة حسب القاعدة):

القذف!

مفقود مرة أخرى!

النقص مرة أخرى!

فهمتها!

رحلة جوية!

وبالتالي ، فإن الجذور التالية تنتمي إلى امتدادي:

سنستخدم هذه الخوارزمية لحل جميع الأمثلة الأخرى. دعونا نتدرب على مثال آخر معًا.

مثال 2. معادلة تختزل إلى عوامل باستخدام معادلات الاختزال

• حل المعادلة

حل:

مرة أخرى صيغ الزهر سيئة السمعة:

مرة أخرى ، لا تحاول أن تقطع!

المعادلة الأولى لها جذور:

والثانية:

الآن مرة أخرى البحث عن الجذور.

سأبدأ بالمسلسل الثاني ، فأنا أعرف بالفعل كل شيء عنها من المثال السابق! انظر وتأكد من أن الجذور التي تنتمي إلى الفجوة هي كما يلي:

الآن السلسلة الأولى وهي أبسط:

إذا - مناسب

إذا - جيد أيضًا

إذا - رحلة بالفعل.

ثم تكون الجذور:

عمل مستقل. 3 معادلات.

حسنًا ، هل تفهم التقنية؟ لم يعد حل المعادلات المثلثية يبدو صعبًا للغاية؟ ثم حل المشكلات التالية بنفسك بسرعة ، وبعد ذلك سنقوم أنا وأنت بحل أمثلة أخرى:

1. حل المعادلة
   أوجد كل جذور هذه المعادلة المرتبطة بالفجوة.
2. معادلة Re-shi-te
   حدد جذور المعادلة المرتبطة بالقص
3. معادلة Re-shi-te
   ابحث عن كل جذور هذه المعادلة ، في-over-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

المعادلة 1

ومرة أخرى صيغة الصب:

السلسلة الأولى من الجذور:

السلسلة الثانية من الجذور:

نبدأ في الاختيار للفترة

إجابة: ، .

المعادلة 2 التحقق من العمل المستقل.

تجميع صعب جدًا في عوامل (سأستخدم صيغة جيب الزاوية المزدوجة):

ثم أو

هذا حل عام. الآن علينا أن نأخذ الجذور. المشكلة هي أننا لا نستطيع تحديد القيمة الدقيقة للزاوية التي يساوي جيب تمامها ربعًا. لذلك ، لا يمكنني التخلص من قوس الجبين - يا له من إزعاج!

ما يمكنني فعله هو اكتشاف ذلك منذ ذلك الحين.

لنصنع جدولاً: الفاصل الزمني:

حسنًا ، من خلال عمليات البحث المؤلمة ، توصلنا إلى نتيجة مخيبة للآمال مفادها أن معادلتنا لها جذر واحد في الفترة الزمنية المشار إليها: \ displaystyle arccos \ frac (1) (4) -5 \ pi

المعادلة 3. التحقق من العمل المستقل.

معادلة مخيفة. ومع ذلك ، يتم حلها ببساطة عن طريق تطبيق صيغة جيب الزاوية المزدوجة:

دعنا نقطعها بمقدار 2:

نقوم بتجميع المصطلح الأول مع الثاني والثالث مع الرابع ونأخذ العوامل المشتركة:

من الواضح أن المعادلة الأولى ليس لها جذور ، والآن فكر في الثانية:

بشكل عام ، كنت سأفكر في حل مثل هذه المعادلات بعد ذلك بقليل ، ولكن منذ ظهورها ، لم يكن هناك ما أفعله ، كان علينا أن نقرر ...

معادلات النموذج:

يتم حل هذه المعادلة بقسمة كلا الجانبين على:

وبالتالي ، فإن معادلتنا لها سلسلة واحدة من الجذور:

تحتاج إلى العثور على تلك التي تنتمي إلى الفاصل الزمني:.

دعونا نبني الجدول مرة أخرى ، كما فعلت من قبل:

إجابة: .

المعادلات التي تختزل إلى الشكل:

حسنًا ، حان الوقت الآن للانتقال إلى الجزء الثاني من المعادلات ، خاصة وأنني أوضحت بالفعل ما يتكون منه حل النوع الجديد من المعادلات المثلثية. ولكن لن يكون من غير الضروري تكرار تلك المعادلة الخاصة بالصيغة

يتم حلها بقسمة كلا الجزأين على جيب التمام:

1. معادلة Re-shi-te
   حدد جذور المعادلة المرتبطة بالقطع.
2. معادلة Re-shi-te
   حدد جذور المعادلة ، at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

مثال 1

الأول بسيط للغاية. انتقل إلى اليمين وقم بتطبيق صيغة جيب التمام المزدوج الزاوية:

آها! اكتب المعادلة:. أقسم كلا الجزأين إلى

نقوم بإزالة الجذور:

فجوة:

إجابة:

مثال 2

كل شيء أيضًا تافه تمامًا: فلنفتح الأقواس على اليمين:

الهوية المثلثية الأساسية:

جيب الزاوية المزدوجة:

أخيرًا نحصل على:

غربلة الجذور: فجوة.

إجابة: .

حسنًا ، كيف تحب هذه التقنية ، أليست معقدة للغاية؟ لا اتمنى. يمكننا إجراء حجز على الفور: في شكله النقي ، تعد المعادلات التي تختزل فورًا إلى معادلة للماس نادرة جدًا. عادةً ما يكون هذا الانتقال (القسمة على جيب التمام) جزءًا فقط من مشكلة أكبر. إليك مثال يمكنك التدرب عليه:

• معادلة Re-shi-te
• ابحث عن كل جذور هذه المعادلة ، في-فوق-لو-تشا-شي من القطع.

دعونا تحقق:

يتم حل المعادلة على الفور ، يكفي تقسيم كلا الجزأين على:

غربلة الجذر:

إجابة: .

بطريقة أو بأخرى ، لم نواجه بعد معادلات من النوع الذي ناقشناه للتو. ومع ذلك ، لا يزال من السابق لأوانه أن نختتم: هناك "طبقة" أخرى من المعادلات التي لم نحللها. لذا:

حل المعادلات المثلثية بتغيير المتغير

كل شيء هنا شفاف: ننظر عن كثب إلى المعادلة ، ونبسطها قدر الإمكان ، ونقوم باستبدالها ، ونحلها ، ونقوم باستبدال معكوس! بالكلمات ، كل شيء سهل للغاية. دعونا نراه في العمل:

مثال.

• حل المعادلة: .
• ابحث عن كل جذور هذه المعادلة ، في-فوق-لو-تشا-شي من القطع.

حسنًا ، هنا البديل نفسه يقترح نفسه في أيدينا!

ثم تصبح معادلتنا كما يلي:

المعادلة الأولى لها جذور:

والثاني مثل هذا:

لنجد الآن الجذور التي تنتمي إلى الفترة

إجابة: .

دعنا نلقي نظرة على مثال أكثر تعقيدًا بعض الشيء معًا:

• معادلة Re-shi-te
• حدد جذور المعادلة المعطاة ، at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

هنا لا يكون البديل مرئيًا على الفور ، علاوة على ذلك ، فهو ليس واضحًا جدًا. لنفكر أولاً: ماذا يمكننا أن نفعل؟

يمكننا ، على سبيل المثال ، أن نتخيل

وفي نفس الوقت

ثم تصبح معادلتي:

والآن الاهتمام والتركيز:

دعنا نقسم طرفي المعادلة إلى:

فجأة ، حصلنا أنت وأنا على معادلة تربيعية لـ! لنقم بالتعويض ، ثم نحصل على:

المعادلة لها الجذور التالية:

سلسلة ثانية غير سارة من الجذور ، لكن لا يوجد شيء يمكن القيام به! نقوم باختيار الجذور في الفترة.

نحتاج أيضًا إلى مراعاة ذلك

منذ ذلك الحين

إجابة:

للدمج ، قبل أن تحل المشاكل بنفسك ، إليك تمرين آخر لك:

• معادلة Re-shi-te
• ابحث عن كل جذور هذه المعادلة ، في-over-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

هنا تحتاج إلى إبقاء عينيك مفتوحتين: لدينا قواسم يمكن أن تكون صفرًا! لذلك ، يجب أن تكون منتبهاً بشكل خاص للجذور!

بادئ ذي بدء ، أحتاج إلى تحويل المعادلة حتى أتمكن من إجراء تعويض مناسب. لا يمكنني التفكير في أي شيء أفضل الآن من إعادة كتابة الظل بدلالة الجيب وجيب التمام:

سأنتقل الآن من جيب التمام إلى الجيب وفقًا للهوية المثلثية الأساسية:

وأخيرًا ، سأضع كل شيء في قاسم مشترك:

الآن يمكنني الانتقال إلى المعادلة:

ولكن في (أي في).

الآن كل شيء جاهز للاستبدال:

ثم اما

ومع ذلك ، لاحظ أنه إذا ، في نفس الوقت!

من يعاني من هذا؟ تكمن المشكلة في الظل ، ولا يتم تعريفه عندما يكون جيب التمام صفراً (تحدث القسمة على الصفر).

لذا فإن جذور المعادلة هي:

الآن نقوم بفحص الجذور في الفترة الزمنية:

وبالتالي ، فإن معادلتنا لها جذر واحد في الفترة ، وهي متساوية.

كما ترى: ظهور المقام (بالإضافة إلى الظل يؤدي إلى بعض الصعوبات مع الجذور! عليك أن تكون أكثر حذراً هنا!).

حسنًا ، لقد انتهينا تقريبًا من تحليل المعادلات المثلثية ، ولم يتبق سوى القليل جدًا - لحل مشكلتين بمفردنا. ها هم.

1. حل المعادلة
   ابحث عن كل جذور هذه المعادلة ، في-فوق-لو-تشا-شي من القطع.
2. معادلة Re-shi-te
   حدد جذور هذه المعادلة المرتبطة بالقص.

مقرر؟ ليس من الصعب جدا؟ دعونا تحقق:

1. نعمل وفق معادلات التخفيض:

   نستبدل في المعادلة:

   دعنا نعيد كتابة كل شيء بدلالة جيب التمام ، بحيث يكون الاستبدال أكثر ملاءمة:

   الآن من السهل إجراء الاستبدال:

   من الواضح أن هذا جذر غريب ، لأن المعادلة ليس لها حلول. ثم:

   نبحث عن الجذور التي نحتاجها في الفترة

   إجابة: .

2. 
   هنا يكون البديل مرئيًا على الفور:

   ثم اما

   	- تناسبها!	- تناسبها!
   	- تناسبها!	- تناسبها!
   	- الكثير من!	- كثيرا أيضا!

   إجابة:

حسنًا ، الآن كل شيء! لكن حل المعادلات المثلثية لا ينتهي عند هذا الحد ، فقد تركنا وراءنا أصعب الحالات: عندما يكون هناك اللاعقلانية أو أنواع مختلفة من "القواسم المعقدة" في المعادلات. كيفية حل مثل هذه المهام ، سننظر في مقال لمستوى متقدم.

مستوى متقدم

بالإضافة إلى المعادلات المثلثية التي تم تناولها في المادتين السابقتين ، فإننا نعتبر فئة أخرى من المعادلات التي تتطلب تحليلًا أكثر دقة. تحتوي هذه الأمثلة المثلثية إما على اللاعقلانية أو القاسم ، مما يجعل تحليلها أكثر صعوبة.. ومع ذلك ، قد تصادف هذه المعادلات في الجزء ج من ورقة الامتحان. ومع ذلك ، هناك جانب مضيء: بالنسبة لمثل هذه المعادلات ، كقاعدة عامة ، لم يعد السؤال عن أي من جذورها ينتمي إلى فترة زمنية معينة مطروحًا. دعونا لا نتغلب على الأدغال ، ولكن فقط الأمثلة المثلثية.

مثال 1

حل المعادلة وإيجاد الجذور التي تنتمي إلى المقطع.

حل:

لدينا مقام لا ينبغي أن يساوي الصفر! ثم حل هذه المعادلة هو نفسه حل النظام

لنحل كل من المعادلات:

والآن الثاني:

الآن دعونا نلقي نظرة على السلسلة:

من الواضح أن الخيار لا يناسبنا ، لأنه في هذه الحالة يتم تعيين المقام على صفر (انظر صيغة جذور المعادلة الثانية)

إذا - إذن كل شيء في محله ، والمقام لا يساوي الصفر! ثم جذور المعادلة هي:،.

الآن نختار الجذور التي تنتمي إلى الفترة.

ثم الجذور هي:

كما ترى ، حتى ظهور تداخل صغير في شكل مقام أثر بشكل كبير على حل المعادلة: لقد تجاهلنا سلسلة من الجذور التي تبطل المقام. يمكن أن تصبح الأمور أكثر تعقيدًا إذا صادفت أمثلة مثلثية بها اللاعقلانية.

مثال 2

حل المعادلة:

حل:

حسنًا ، على الأقل لست بحاجة إلى تحديد الجذور ، وهذا جيد! لنحل المعادلة أولاً ، بغض النظر عن اللاعقلانية:

وماذا هذا كل شيء؟ لا ، للأسف ، سيكون ذلك سهلاً للغاية! يجب أن نتذكر أن الأرقام غير السالبة فقط هي التي يمكن أن تقف تحت الجذر. ثم:

حل هذا التفاوت:

يبقى الآن معرفة ما إذا كان جزء من جذور المعادلة الأولى لم يقع عن غير قصد في مكان لا يصمد فيه عدم المساواة.

للقيام بذلك ، يمكنك استخدام الجدول مرة أخرى:

وهكذا ، "سقط" أحد الجذور بالنسبة لي! اتضح إذا وضعت. ثم يمكن كتابة الجواب على النحو التالي:

إجابة:

كما ترى ، يتطلب الجذر مزيدًا من الاهتمام! دعنا نعقد: لنحصل الآن على دالة مثلثية تحت الجذر.

مثال 3

كما في السابق: أولاً سنحل كل منها على حدة ، ثم سنفكر فيما فعلناه.

الآن المعادلة الثانية:

الآن أصعب شيء هو معرفة ما إذا كان يتم الحصول على القيم السالبة تحت الجذر الحسابي إذا استبدلنا الجذور من المعادلة الأولى هناك:

يجب أن يُفهم الرقم على أنه راديان. بما أن الراديان يقارب الدرجات ، فإن الراديان يقارب الدرجات. هذا ركن الربع الثاني. ما هي علامة جيب التمام للربع الثاني؟ ناقص. ماذا عن الجيب؟ زائد. فماذا عن التعبير:

إنها أقل من صفر!

لذلك - ليس جذر المعادلة.

أنتقل الآن.

لنقارن هذا الرقم بصفر.

ظل التمام هو دالة تتناقص في ربع واحد (كلما كانت الوسيطة أصغر ، زاد ظل التمام). راديان تقريبًا درجات. في نفس الوقت

منذ ذلك الحين ، وبالتالي
,

إجابة: .

هل يمكن أن يكون الأمر أكثر صعوبة؟ لو سمحت! سيكون الأمر أكثر صعوبة إذا كان الجذر لا يزال دالة مثلثية ، والجزء الثاني من المعادلة هو مرة أخرى دالة مثلثية.

كلما كانت الأمثلة المثلثية أفضل ، انظر إلى أبعد من ذلك:

مثال 4

الجذر غير مناسب بسبب جيب التمام المحدود

الآن الثاني:

في الوقت نفسه ، حسب تعريف الجذر:

يجب أن نتذكر دائرة الوحدة: أي الأرباع التي يكون فيها الجيب أقل من صفر. ما هي هذه الأحياء؟ الثالث والرابع. ثم سنهتم بحلول المعادلة الأولى الموجودة في الربع الثالث أو الرابع.

تعطي السلسلة الأولى جذورًا تقع عند تقاطع الربعين الثالث والرابع. تتعارض السلسلة الثانية تمامًا معها وتؤدي إلى ظهور جذور ملقاة على حدود الربعين الأول والثاني. لذلك ، هذه السلسلة لا تناسبنا.

إجابة: ،

ومره اخرى الأمثلة المثلثية مع "اللاعقلانية الصعبة". ليس فقط لدينا دالة مثلثية تحت الجذر فقط ، ولكنها الآن أيضًا في المقام!

مثال 5

حسنًا ، لا يوجد شيء يجب القيام به - نحن نتصرف كما في السابق.

الآن نعمل مع المقام:

لا أريد حل مشكلة عدم المساواة المثلثية ، وبالتالي سأفعل ذلك معقدًا: سآخذ سلسلة الجذور الخاصة بي واستبدلها في عدم المساواة:

إذا كان زوجيًا ، فلدينا:

منذ ذلك الحين ، تكمن كل زوايا المنظر في الربع الرابع. ومرة أخرى السؤال المقدس: ما هي علامة الجيب في الربع الرابع؟ سلبي. ثم عدم المساواة

إذا كان الأمر غريبًا ، فحينئذٍ:

ما هو ربع الزاوية؟ هذا ركن الربع الثاني. ثم كل الزوايا مرة أخرى هي زوايا الربع الثاني. الجيب موجب. فقط ما تحتاجه! إذن السلسلة هي:

تناسبها!

نتعامل مع السلسلة الثانية من الجذور بنفس الطريقة:

عوض في عدم المساواة لدينا:

إذا كان حتى ، إذن

زوايا الربع الأول. الجيب موجب هناك ، لذا فإن السلسلة مناسبة. الآن إذا كان الأمر فرديًا ، فحينئذٍ:

يناسب أيضا!

حسنًا ، الآن نكتب الإجابة!

إجابة:

حسنًا ، ربما كانت هذه هي الحالة الأكثر تعقيدًا. الآن أقدم لك مهام لحل مستقل.

تمرين

1. حل واعثر على جميع جذور المعادلة التي تنتمي إلى المقطع.

حلول:

1. 
   المعادلة الأولى:
   أو
   ODZ الجذر:

   المعادلة الثانية:

   اختيار الجذور التي تنتمي إلى الفترة

   إجابة:

أو
أو
لكن

يعتبر: . إذا كان حتى ، إذن
- لا يتناسب!
إذا - غريب ،: - يناسب!
إذن فإن معادلتنا لها سلسلة الجذور التالية:
أو
اختيار الجذور على الفاصل الزمني:

	- غير مناسب	- تناسبها
	- تناسبها	- الكثير من
	- تناسبها	الكثير من

إجابة: ، .

أو
منذ ذلك الحين ، عندما لا يتم تعريف الظل. تجاهل هذه السلسلة من الجذور على الفور!

جزء ثان:

في الوقت نفسه ، يتطلب ODZ ذلك

نتحقق من الجذور الموجودة في المعادلة الأولى:

إذا وقع:

زوايا الربع الأول ، حيث يكون الظل موجبًا. غير مناسب!
إذا وقع:

ركن الربع الرابع. هناك الظل سلبي. تناسبها. اكتب الجواب:

إجابة: ، .

لقد قمنا بتقسيم الأمثلة المثلثية المعقدة معًا في هذه المقالة ، ولكن يجب أن تكون قادرًا على حل المعادلات بنفسك.

ملخص وصيغة أساسية

المعادلة المثلثية هي معادلة يكون فيها المجهول تحت علامة الدالة المثلثية.

هناك طريقتان لحل المعادلات المثلثية:

الطريقة الأولى هي استخدام الصيغ.

الطريقة الثانية هي من خلال الدائرة المثلثية.

يسمح لك بقياس الزوايا وإيجاد الجيب وجيب التمام وغير ذلك.

أ)حل المعادلة 2 (\ sin x- \ cos x) = tgx-1.

ب) \ يسار [\ فارك (3 \ بي) 2 ؛ \ ، 3 \ بي \ يمين].

حل

أ)عند فتح الأقواس ونقل كل الحدود إلى الجانب الأيسر ، نحصل على المعادلة 1 + 2 \ sin x-2 \ cos x-tg x = 0. بالنظر إلى أن \ cos x \ neq 0 ، يمكن استبدال المصطلح 2 \ sin x بـ 2 tg x \ cos x ، نحصل على المعادلة 1 + 2 tan x \ cos x-2 \ cos x-tg x = 0 ،والتي ، بالتجميع ، يمكن اختزالها إلى الشكل (1-tg x) (1-2 \ cos x) = 0.

1) 1-tgx = 0 ، تانكس = 1 ، x = \ frac \ pi 4+ \ pi n، n \ in \ mathbb Z؛

2) 1-2 \ كوس س = 0 ، \ cosx = \ frac12 ، x = \ pm \ frac \ pi 3 + 2 \ pi n، n \ in \ mathbb Z.

ب)بمساعدة دائرة عددية ، نختار الجذور التي تنتمي إلى الفترة \ يسار [\ فارك (3 \ بي) 2 ؛ \ ، 3 \ بي \ يمين].

x_1 = \ frac \ pi 4 + 2 \ pi = \ frac (9 \ pi) 4،

س_2 = \ فارك \ بي 3 + 2 \ بي = \ فارك (7 \ بي) 3 ،

x_3 = - \ frac \ pi 3 + 2 \ pi = \ frac (5 \ pi) 3.

إجابة

أ) \ frac \ pi 4+ \ pi n ، \ م \ فارك \ بي 3 + 2 \ بي ن ، n \ في \ mathbb Z ؛

ب) \ فارك (5 \ بي) 3 ، \ فارك (7 \ بي) 3 ، \ فارك (9 \ بي) 4.

حالة

أ)حل المعادلة (2 \ sin ^ 24x-3 \ cos 4x) \ cdot \ sqrt (tgx) = 0.

ب)حدد جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى الفترة \ يسار (0 ؛ \ ، \ فارك (3 \ بي) 2 \ يمين] ؛

حل

أ) ODZ: \ start (الحالات) tgx \ geqslant 0 \\ x \ neq \ frac \ pi 2+ \ pi k، k \ in \ mathbb Z. \ end (cases)

المعادلة الأصلية في ODZ تعادل مجموعة المعادلات

\ يسار [\! \! \ start (array) (l) 2 \ sin ^ 2 4x-3 \ cos 4x = 0، \\ tg x = 0. نهاية (مجموعة) حق.

لنحل المعادلة الأولى. للقيام بذلك ، سوف نستبدل \ cos 4x = t ، ر \ في [-1 ؛ 1].ثم \ sin ^ 24x = 1-t ^ 2. نحن نحصل:

2 (1-t ^ 2) -3t = 0 ،

2 طن ^ 2 + 3 ت -2 = 0 ،

t_1 = \ frac12 ، t_2 = -2، t_2 \ notin [-1 ؛ 1].

\ cos4x = \ frac12 ،

4x = \ pm \ frac \ pi 3 + 2 \ pi n ،

x = \ pm \ frac \ pi (12) + \ frac (\ pi n) 2، n \ in \ mathbb Z.

لنحل المعادلة الثانية.

tg x = 0، \، x = \ pi k، k \ in \ mathbb Z.

باستخدام دائرة الوحدة ، نجد الحلول التي تحقق ODZ.

تشير العلامة "+" إلى الربعين الأول والثالث ، حيث tg x> 0.

نحصل على: x = \ pi k، k \ in \ mathbb Z؛ x = \ frac \ pi (12) + \ pi n، n \ in \ mathbb Z ؛ x = \ frac (5 \ pi) (12) + \ pi m، m \ in \ mathbb Z.

ب)لنجد الجذور التي تنتمي إلى الفترة \ يسار (0 ؛ \ ، \ فارك (3 \ بي) 2 \ يمين].

س = \ فارك \ بي (12) ، س = \ فارك (5 \ بي) (12) ؛ س = \ بي ؛ س = \ فارك (13 \ بي) (12) ؛ س = \ فارك (17 \ بي) (12).

إجابة

أ) \ pi k، k \ in \ mathbb Z؛ \ frac \ pi (12) + \ pi n، n \ in \ mathbb Z؛ \ frac (5 \ pi) (12) + \ pi m، m \ in \ mathbb Z.

ب) \باي؛ \ فارك \ بي (12) ، \ فارك (5 \ بي) (12) ؛ \ فارك (13 \ بي) (12) ؛ \ فارك (17 \ بي) (12).

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

حالة

أ)حل المعادلة: \ cos ^ 2x + \ cos ^ 2 \ frac \ pi 6 = \ cos ^ 22x + \ sin ^ 2 \ frac \ pi 3 ؛

ب)حدد كل الجذور التي تنتمي إلى الفترة \ يسار (\ فارك (7 \ بي) 2 ؛ \ ، \ فارك (9 \ بي) 2 \ يمين].

حل

أ)لأن \ sin \ frac \ pi 3 = \ cos \ frac \ pi 6،الذي - التي \ sin ^ 2 \ frac \ pi 3 = \ cos ^ 2 \ frac \ pi 6،ومن ثم ، فإن المعادلة المعطاة تعادل المعادلة \ cos ^ 2x = \ cos ^ 22x ، والتي بدورها تكافئ المعادلة \ cos ^ 2x- \ cos ^ 2 2x = 0.

لكن \ cos ^ 2x- \ cos ^ 22x = (\ cos x- \ cos 2x) \ cdot (\ cos x + \ cos 2x)و

\ cos 2x = 2 \ cos ^ 2 x-1 ، فتصبح المعادلة

(\ cos x- (2 \ cos ^ 2 x-1)) \، \ cdot(\ cos x + (2 \ cos ^ 2 x-1)) = 0 ،

(2 \ cos ^ 2 x- \ cos x-1) \، \ cdot (2 \ cos ^ 2 x + \ cos x-1) = 0.

ثم إما 2 \ cos ^ 2 x- \ cos x-1 = 0 أو 2 \ cos ^ 2 x + \ cos x-1 = 0.

حل المعادلة الأولى كمعادلة تربيعية لـ \ cos x ، نحصل على:

(\ cos x) _ (1،2) = \ frac (1 \ pm \ sqrt 9) 4 = \ frac (1 \ pm3) 4.لذلك ، إما \ cos x = 1 أو \ cosx = - \ frac12.إذا كان \ cos x = 1 ، إذن x = 2k \ pi ، k \ in \ mathbb Z. إذا \ cosx = - \ frac12 ،الذي - التي x = \ pm \ frac (2 \ pi) 3 + 2s \ pi، s \ in \ mathbb Z.

وبالمثل ، في حل المعادلة الثانية ، نحصل على \ cos x = -1 ، أو \ cosx = \ frac12.إذا كان \ cos x = -1 ، ثم الجذور س = \ بي + 2 م \ بي ، م \ في \ mathbb Z.لو \ cosx = \ frac12 ،الذي - التي x = \ pm \ frac \ pi 3 + 2n \ pi، n \ in \ mathbb Z.

دعونا نجمع الحلول التي تم الحصول عليها:

س = م \ بي ، م \ في \ mathbb Z ؛ x = \ pm \ frac \ pi 3 + s \ pi، s \ in \ mathbb Z.

ب)نختار الجذور التي تقع ضمن الفترة المحددة باستخدام دائرة الأرقام.

نحن نحصل: س_1 = \ فارك (11 \ بي) 3 ، س_2 = 4 \ بي ، x_3 = \ فارك (13 \ بي) 3.

إجابة

أ) م \ بي ، م \ في \ mathbb Z ؛ \ pm \ frac \ pi 3 + s \ pi، s \ in \ mathbb Z؛

ب) \ فارك (11 \ بي) 3 ، 4 \ بي ، \ فارك (13 \ بي) 3.

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

حالة

أ)حل المعادلة 10 \ cos ^ 2 \ frac x2 = \ frac (11 + 5ctg \ left (\ dfrac (3 \ pi) 2-x \ right)) (1 + tgx).

ب)حدد جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى الفترة \ يسار (-2 \ بي ؛ - \ فارك (3 \ بي) 2 \ يمين).

حل

أ) 1 - وفقا لمعادلة التخفيض ، ctg \ left (\ frac (3 \ pi) 2-x \ right) = tgx.سيكون مجال المعادلة عبارة عن قيم x مثل \ cos x \ neq 0 و tg x \ neq -1. نقوم بتحويل المعادلة باستخدام صيغة جيب التمام المزدوج الزاوية 2 \ cos ^ 2 \ frac x2 = 1 + \ cos x.نحصل على المعادلة: 5 (1+ \ cos x) = \ frac (11 + 5tgx) (1 + tgx).

لاحظ أن \ frac (11 + 5tgx) (1 + tgx) = \ frac (5 (1 + tgx) +6) (1 + tgx) = 5+ \ frac (6) (1 + tgx) ،لذلك تصبح المعادلة: 5 + 5 \ cos x = 5 + \ frac (6) (1 + tgx).من هنا cosx = frac (dfrac65) (1 + tgx) ، \ cosx + \ sinx = \ frac65.

2. قم بتحويل \ sin x + \ cos x باستخدام صيغة الاختزال وصيغة مجموع جيب التمام: \ الخطيئة س = \ كوس \ يسار (\ فارك \ بي 2-س \ يمين) ، \ cos x + \ sin x = \ cos x + \ cos \ يسار (\ frac \ pi 2-x \ right) = 2 \ كوس \ فارك \ بي 4 \ كوس \ يسار (س- \ فارك \ بي 4 \ يمين) = \ sqrt 2 \ cos \ left (x- \ frac \ pi 4 \ right) = \ frac65.

من هنا cos \ يسار (x- \ frac \ pi 4 \ right) = \ frac (3 \ sqrt 2) 5.وسائل، س- \ فارك \ بي 4 = قوس \ كوس \ فارك (3 \ مربع 2) 5 + 2 \ بي ك ، ك \ إن \ mathbb Z ،

أو س- \ فارك \ بي 4 = -arc \ cos \ frac (3 \ sqrt 2) 5 + 2 \ pi t، t \ in \ mathbb Z.

لهذا x = \ frac \ pi 4 + arc \ cos \ frac (3 \ sqrt 2) 5 + 2 \ pi k، k \ in \ mathbb Z،

أو x = \ frac \ pi 4-arc \ cos \ frac (3 \ sqrt 2) 5 + 2 \ pi t، t \ in \ mathbb Z.

تنتمي قيم x التي تم العثور عليها إلى مجال التعريف.

ب)دعونا نكتشف أولاً أين تقع جذور المعادلة عند k = 0 و t = 0. ستكون هذه الأرقام على التوالي أ = \ فارك \ بي 4 + أركوس \ فارك (3 \ مربع 2) 5و ب = \ فارك \ بي 4-أركوس \ فارك (3 \ مربع 2) 5.

1. دعونا نثبت وجود تفاوت ثانوي:

\ فارك (\ sqrt 2) (2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

حقًا، \ فارك (\ sqrt 2) (2) = \ فارك (5 \ sqrt 2) (10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

لاحظ أيضًا أن \ يسار (\ فارك (3 \ مربع 2) 5 \ يمين) ^ 2 = \ فارك (18) (25)<1^2=1, وسائل \ فارك (3 \ مربع 2) 5<1.

2. من عدم المساواة (1) بممتلكات arccosine نحصل على:

arccos 1

0

من هنا \ فارك \ بي 4 + 0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

على نفس المنوال، - \ فارك \ بي 4

0 = \ frac \ pi 4- \ frac \ pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \ فارك \ بي 4<\frac\pi 2,

0

مع k = -1 و t = -1 نحصل على جذور المعادلة a-2 \ pi و b-2 \ pi.

\ بيج (a-2 \ pi = - \ frac74 \ pi + arccos \ frac (3 \ sqrt 2) 5، \، b-2 \ pi = - \ frac74 \ pi -arccos \ frac (3 \ sqrt 2) 5 \ Bigg).حيث -2 \ بي

2 \ بي إذن هذه الجذور تنتمي إلى الفترة المحددة \ يسار (-2 \ بي ، - \ فارك (3 \ بي) 2 \ يمين).

بالنسبة للقيم الأخرى لـ k و t ، لا تنتمي جذور المعادلة إلى الفترة الزمنية المحددة.

في الواقع ، إذا كان k \ geqslant 1 و t \ geqslant 1 ، فإن الجذور أكبر من 2 \ pi. إذا كان k \ leqslant -2 و t \ leqslant -2 ، فإن الجذور تكون أقل - \ فارك (7 \ بي) 2.

إجابة

أ) \ frac \ pi4 \ pm arccos \ frac (3 \ sqrt2) 5 + 2 \ pi k، k \ in \ mathbb Z؛

ب) - \ frac (7 \ pi) 4 \ pm arccos \ frac (3 \ sqrt2) 5.

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

حالة

أ)حل المعادلة \ sin \ left (\ frac \ pi 2 + x \ right) = \ sin (-2x).

ب)أوجد كل جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى الفترة ؛

حل

أ)دعنا نحول المعادلة:

\ cosx = - \ الخطيئة 2x ،

\ cos x + 2 \ sin x \ cos x = 0،

\ cos x (1 + 2 \ sin x) = 0 ،

\ cosx = 0 ،

x = \ frac \ pi 2+ \ pi n، n \ in \ mathbb Z؛

1 + 2 \ sinx = 0 ،

\ sinx = - \ frac12 ،

x = (- 1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac \ pi 6+ \ pi k، k \ in \ mathbb Z.

ب)نجد الجذور التي تنتمي إلى القطعة باستخدام دائرة الوحدة.

الفاصل الزمني المحدد يحتوي على رقم واحد \ فارك \ بي 2.

إجابة

أ) \ frac \ pi 2+ \ pi n، n \ in \ mathbb Z؛ (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac \ pi 6+ \ pi k، k \ in \ mathbb Z ؛

ب) \ فارك \ بي 2.

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

حالة

وسائل، \ الخطيئة س \ neq 1.

اقسم طرفي المعادلة على العامل (\ sinx-1) ،يختلف عن الصفر. نحصل على المعادلة \ frac 1 (1+ \ cos 2x) = \ frac 1 (1+ \ cos (\ pi + x)) ،أو المعادلة 1+ \ cos 2x = 1 + \ cos (\ pi + x).بتطبيق معادلة التخفيض على الجانب الأيسر ، ومعادلة التخفيض على الجانب الأيمن ، نحصل على المعادلة 2 \ cos ^ 2 x = 1- \ cos x.هذه هي المعادلة باستخدام التعويض \ cosx = t ،أين -1 \ ليكسلانت تي \ ليكسلانت 1تقليل إلى مربع: 2t ^ 2 + t-1 = 0 ،من جذوره t_1 = -1و t_2 = \ frac12.بالعودة إلى المتغير x ، نحصل على \ cos x = \ frac12أو \ cosx = -1 ،أين س = \ فارك \ بي 3 + 2 \ بي م ، م \ في \ mathbb Z ، س = - \ فارك \ بي 3 + 2 \ بي ن ، n \ في \ mathbb Z ، س = \ بي +2 \ بي ك ، ك \ في \ mathbb Z.

ب)حل المتباينات

1) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant \ frac (\ pi) 3 + 2 \ pi m \ leqslant - \ frac \ pi 2،

2) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant - \ frac \ pi 3 + 2 \ pi n \ leqslant - \ frac \ pi (2،)

3) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant \ pi + 2 \ pi k \ leqslant - \ frac \ pi 2، م ن، ك \ في \ mathbb Z.

1) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant \ frac (\ pi) 3 + 2 \ pi m \ leqslant - \ frac \ pi 2، - \ frac32 \ leqslant \ frac13 + 2m \ leqslant - \ frac12 - \ frac (11) 6 \ leqslant 2 م \ ليكسلانت - \ frac56 ، - \ frac (11) (12) \ leqslant m \ leqslant - \ frac5 (12).

\ يسار [- \ frac (11) (12) ؛ - \ frac5 (12) \ يمين].

2) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant - \ frac (\ pi) 3 + 2 \ pi n \ leqslant - \ frac (\ pi) (2)، - \ frac32 \ leqslant - \ frac13 + 2n \ leqslant - \ frac12 ، - \ frac76 \ leqslant 2n \ leqslant - \ frac1 (6) ، - \ frac7 (12) \ leqslant n \ leqslant - \ frac1 (12).

لا توجد أعداد صحيحة تنتمي إلى الفترة الزمنية \ يسار [- \ frac7 (12) ؛ - \ frac1 (12) \ يمين].

3) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant \ pi +2 \ pi k \ leqslant - \ frac (\ pi) 2، - \ frac32 \ leqslant 1 + 2k \ leqslant - \ frac12 ، - \ frac52 \ leqslant 2k \ leqslant - \ frac32 ، - \ frac54 \ leqslant k \ leqslant - \ frac34.

تتحقق هذه المتباينة من خلال k = -1 ، ثم x = - \ pi.

إجابة

أ) \ فارك \ بي 3 + 2 \ بي م ؛ - \ فارك \ بي 3 + 2 \ بي ن ؛ \ بي +2 \ بي ك ، م ن، ك \ في \ mathbb Z ؛

ب) -\باي .

في هذه المقالة سأحاول شرح طريقتين تأخذ الجذور في المعادلة المثلثية: استخدام المتباينات واستخدام الدائرة المثلثية. دعنا ننتقل إلى مثال واضح وسنكتشفه كما نمضي.

أ) حل المعادلة sqrt (2) cos ^ 2x = sin (Pi / 2 + x)
ب) أوجد جميع جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى الفترة [-7Pi / 2 ؛ -2Pi]

دعونا نحل أ.

نستخدم صيغة الاختزال لجيب الجيب (Pi / 2 + x) = cos (x)

الجذر التربيعي (2) cos ^ 2x = cosx

الجذر التربيعي (2) cos ^ 2x - cosx = 0

كوسكس (الجذر التربيعي (2) cosx - 1) = 0

X1 = Pi / 2 + Pin ، n ∈ Z

الجذر التربيعي (2) cos - 1 = 0

كوكس = 1 / الجذر التربيعي (2)

كوكس = الجذر التربيعي (2) / 2

X2 = arccos (sqrt (2) / 2) + 2Pin ، n ∈ Z
x3 = -arccos (sqrt (2) / 2) + 2Pin ، n ∈ Z

X2 = Pi / 4 + 2Pin ، n ∈ Z
x3 = -Pi / 4 + 2Pin ، n ∈ Z

لنحل النقطة ب.

1) اختيار الجذور باستخدام المتباينات

هنا يتم كل شيء ببساطة ، نعوض بالجذور التي تم الحصول عليها في الفترة المعطاة لنا [-7Pi / 2 ؛ -2Pi] ، ابحث عن القيم الصحيحة لـ n.

7Pi / 2 أقل من أو يساوي Pi / 2 + Pin أقل من أو يساوي -2Pi

قسّم كل شيء على الفور على Pi

7/2 أقل من أو يساوي 1/2 + n أقل من أو يساوي -2

7/2 - 1/2 أقل من أو يساوي n أقل من أو يساوي -2 - 1/2

4 أصغر من أو يساوي n أقل من أو يساوي -5/2

الأعداد الصحيحة n في هذه الفجوة هي -4 و -3. لذا فإن الجذور التي تنتمي إلى هذه الفترة ستكون Pi / 2 + Pi (-4) = -7Pi / 2 ، Pi / 2 + Pi (-3) = -5Pi / 2

وبالمثل ، فإننا نصنع متراجعتين أخريين

7Pi / 2 أقل من أو يساوي Pi / 4 + 2Pin أقل من أو يساوي -2Pi
-15/8 أصغر من أو يساوي n أقل من أو يساوي -9/8

لا توجد أعداد صحيحة ن في هذه الفترة

7Pi / 2 أقل من أو يساوي -Pi / 4 + 2Pin أقل من أو يساوي -2Pi
-13/8 أصغر من أو يساوي n أقل من أو يساوي -7/8

عدد صحيح واحد في هذه الفجوة هو -1. لذا فإن الجذر المحدد في هذا الفاصل الزمني هو -Pi / 4 + 2Pi * (- 1) = -9Pi / 4.

إذن الإجابة في الفقرة ب: -7Pi / 2 ، -5Pi / 2 ، -9Pi / 4

2) اختيار الجذور باستخدام الدائرة المثلثية

لاستخدام هذه الطريقة ، تحتاج إلى فهم كيفية عمل هذه الدائرة. سأحاول أن أشرح بعبارات بسيطة كيف أفهمها. أعتقد أنه في المدارس في دروس الجبر تم شرح هذا الموضوع عدة مرات من خلال الكلمات الذكية للمعلم ، في الكتب المدرسية هناك صيغ معقدة. أنا شخصياً أفهم هذا على أنه دائرة يمكن التجول فيها بعدد لا حصر له من المرات ، ويفسر ذلك حقيقة أن وظائف الجيب وجيب التمام دورية.

دعنا نذهب في عكس اتجاه عقارب الساعة

تجول مرتين في عكس اتجاه عقارب الساعة

تدور مرة واحدة في اتجاه عقارب الساعة (ستكون القيم سالبة)

دعنا نعود إلى سؤالنا ، نحتاج إلى تحديد الجذور في الفترة [-7Pi / 2 ؛ -2Pi]

للوصول إلى الأرقام -7Pi / 2 و -2Pi ، عليك الالتفاف حول الدائرة عكس اتجاه عقارب الساعة مرتين. لإيجاد جذور المعادلة في هذه الفترة ، من الضروري التقدير والتعويض.

ضع في اعتبارك x = Pi / 2 + Pin. ما هي القيمة التقريبية لـ n لكي تكون x في مكان ما في هذا النطاق؟ نحن نستبدل ، دعنا نقول -2 ، نحصل على Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2 ، من الواضح أن هذا غير مدرج في نطاقنا ، لذلك نأخذ أقل من -3 ، Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2 ، هذا مناسب ، دعنا نجرب -4 ، Pi / 2 - 4Pi = -7Pi / 2 ، مناسب أيضًا.

الجدال بالمثل لـ Pi / 4 + 2Pin و -Pi / 4 + 2Pin ، نجد جذرًا آخر -9Pi / 4.

مقارنة بين طريقتين.

الطريقة الأولى (باستخدام عدم المساواة) أكثر موثوقية وأسهل بكثير في الفهم ، ولكن إذا كنت تفهم بجدية الدائرة المثلثية وطريقة الاختيار الثانية ، فسيكون اختيار الجذر أسرع بكثير ، يمكنك توفير حوالي 15 دقيقة في الامتحان.