Равно напрегнато състояние на якост на материалите. напрегнато и деформирано състояние. Усукване на правоъгълна греда

Основи на теорията на еластичността

Лекция 4

Плосък проблем на теорията на еластичността

слайд 2

В теорията на еластичността има голям клас проблеми, които са важни от гледна точка на практическото приложение и в същото време позволяват значително опростяване на математическата страна на решението. Опростяването се състои във факта, че в тези задачи една от координатните оси на тялото, например оста z, може да бъде отхвърлена и всички явления могат да се считат за възникващи в една и съща координатна равнина x0y на натовареното тяло. В този случай напреженията, деформациите и преместванията ще бъдат функции на две координати - x и y.

Извиква се проблем, разглеждан в две координати равнинен проблем на теорията на еластичността.

под термина " равнинен проблем на теорията на еластичността» комбинира два физически различни проблема, което води до много сходни математически връзки:

1) проблемът за плоско деформирано състояние (плоска деформация);

2) проблемът за плоското напрегнато състояние.

Тези проблеми най-често се характеризират със значителна разлика между едно геометрично измерение и другите два измерения на разглежданите тела: голяма дължина в първия случай и малка дебелина във втория случай.

Равнинска деформация

Деформацията се нарича плоска, ако преместванията на всички точки на тялото могат да се случват само в две посоки в една равнина и не зависят от координатата, нормална на тази равнина, т.е.

u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4.1)

Равнинската деформация възниква в дълги призматични или цилиндрични тела с ос, успоредна на оста z, по която върху страничната повърхност действа товар, перпендикулярен на тази ос и не променящ се по големина по нея.

Пример за плоска деформация е състоянието на напрежение-деформация, което възниква в дълъг прав язовир и дълга арка на подземен тунел (фиг. 4.1).

Фигура - 4.1. Настъпва плоска деформация в тялото на язовира и свода на подземния тунел

слайд 3

Замествайки компонентите на вектора на изместване (4.1) във формулите на Коши (2.14), (2.15), получаваме:

(4.2)

Отсъствието на линейни деформации по посока на оста z води до появата на нормални напрежения σ z . От формулата на закона на Хук (3.2) за деформацията ε z следва, че

откъдето се получава изразът за напрежението σ z:

(4.3)

Замествайки това съотношение в първите две формули на закона на Хук, намираме:

(4.4)

слайд 4

От анализа на формули (4.2) − (4.4) и (3.2) следва също, че

По този начин основните уравнения на триизмерната теория на еластичността в случай на плоска деформация са значително опростени.

От трите диференциални уравнения на Навие (2.2) остават само две уравнения:

(4.5)

а третото се превръща в идентичност.

Тъй като косинусът на посоката е навсякъде по страничната повърхност n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, остават само две уравнения от трите условия на повърхността (2.4):

(4.6)

където l, m са косинусите на посоката на външната норма vкъм контурната повърхност;

X, Y, X v, Й vса компонентите на силите на тялото и интензивността на външните повърхностни натоварвания съответно по осите x и y.

слайд 5

Шестте уравнения на Коши (2.14), (2.15) се свеждат до три:

(4.7)

От шестте уравнения за непрекъснатост на деформацията на Saint-Venant (2.17), (2.18) остава едно уравнение:

(4.8)

а останалите се превръщат в самоличности.

От шестте формули на закона на Хук (3.2), като се вземат предвид (4.2), (4.4), остават три формули:

В тези отношения за традиционния в теорията на еластичността тип запис се въвеждат нови еластични константи:

слайд 6

Плоско напрегнато състояние

Плоско напрегнато състояние възниква, когато дължината на едно и също призматично тяло е малка в сравнение с другите две измерения. В този случай се нарича дебелина. Напреженията в тялото действат само в две посоки в координатната равнина xOy и не зависят от координатата z. Пример за такова тяло е тънка плоча с дебелина h, натоварена по страничната повърхност (ребро) със сили, успоредни на равнината на плочата и равномерно разпределени по нейната дебелина (фиг. 4.2).

Фигура 4.2 - Тънка плоча и натоварвания, приложени към нея

В този случай са възможни и опростявания, подобни на тези в проблема с плоското деформиране. Компонентите на тензора на напрежението σ z , τ xz , τ yz в двете равнини на плочата са равни на нула. Тъй като плочата е тънка, можем да приемем, че те са равни на нула и вътре в плочата. Тогава напрегнатото състояние ще се определя само от компонентите σ x , σ y , τ xy, които не зависят от координатата z, т.е. не се променят по дебелината на плочата, а са функции само на x и y.

По този начин в тънка плоча възниква следното напрегнато състояние:

Слайд 7

По отношение на напреженията, плоското напрегнато състояние се различава от плоското деформиране по условието

В допълнение, от формулата на закона на Хук (3.2), като се вземе предвид (4.10), за линейната деформация ε z получаваме, че тя не е равна на нула:

Следователно, основите на плочата ще бъдат извити, тъй като ще има измествания по оста z.

При тези предположения основните уравнения на плоска деформация: диференциално равновесни уравнения (4.5), повърхностни условия (4.6), уравнения на Коши (4.7) и уравнения за непрекъснатост на деформация (4.8) запазват същата форма в проблема с плоското напрежение.

Формулите на закона на Хук ще имат следната форма:

Формулите (4.11) се различават от формулите (4.9) на закона на Хук за равнинна деформация само по стойностите на еластичните константи: E и E 1 , vИ v 1 .

Слайд 8

В обратна форма законът на Хук може да бъде записан по следния начин:

(4.12)

По този начин, при решаването на тези два проблема (плоска деформация и плоско напрегнато състояние), може да се използват същите уравнения и да се комбинират проблемите в една плоска задача на теорията на еластичността.

Има осем неизвестни в плоския проблем на теорията на еластичността:

са две компоненти на вектора на изместване u и v;

– три компонента на тензора на напрежението σ x , σ y , τ xy ;

са три компонента на тензора на деформация ε x , ε y , γ xy .

За решаване на проблема се използват осем уравнения:

– две диференциални уравнения на равновесие (4.5);

– три уравнения на Коши (4.7);

са три формули на закона на Хук (4.9) или (4.11).

В допълнение, получените деформации трябва да се подчиняват на уравнението за непрекъснатост на деформация (4.8) и на условията на равновесие (4.6) между вътрешните напрежения и интензитетите на външното повърхностно натоварване X v, Й v.

Напрегнато и деформирано състояние

Има три вида стресово състояние:

1) линейно напрегнато състояние - напрежение (компресия) в една посока;

2) плоско напрегнато състояние - напрежение (компресия) в две посоки;

3) обемно напрегнато състояние - напрежение (компресия) в три взаимно перпендикулярни посоки.

Помислете за безкрайно малък паралелепипед (куб). На повърхността му може да има нормални s и тангенциални напрежения t. При промяна на позицията на "куба" напреженията се променят. Можете да намерите позиция, в която няма напрежения на срязване, вижте фиг.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image002_227.gif" align="left" width="337" height="217 src="> Нека изрежем елементарен паралелепипед (фиг. а) с наклонено сечение.само една равнина.Разглеждаме елементарна триъгълна призма (фиг.b).Положението на наклонената област се определя от ъгъла a.Ако въртенето от оста x е обратно на часовниковата стрелка (виж фиг.b), тогава a>0.

Нормалните напрежения имат индекс, съответстващ на оста на тяхната посока. напрежения на срязване, обикновено, имат два индекса: първият съответства на посоката на нормалата към обекта, вторият на посоката на самия стрес (за съжаление има други обозначения и различен избор на координатни оси, което води до промяна на знаците в някои формули).

Нормалното напрежение е положително, ако е опън, напрежението на срязване е положително, ако има тенденция да завърти разглежданата част от елемента по посока на часовниковата стрелка около вътрешната точка. pp (за напрежението на срязване в някои учебници и университети се приема обратното).

Напрежения върху наклонена платформа:

Законът за сдвояване на напреженията на срязване: ако тангенциално напрежение действа върху обекта, тогава тангенциално напрежение, равно по големина и противоположно по знак, ще действа върху мястото, перпендикулярно на него. (txz=-tzx)

В теорията на стресовото състояние има две основни задачи.

Директен проблем . Въз основа на известните главни напрежения: s1= smax, s2= smin, е необходимо да се определят нормални и срязващи напрежения за обект, наклонен под даден ъгъл (a) спрямо основните места:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image007_125.gif" width="219" height="33">

или .

За перпендикулярна платформа:

.

Откъдето може да се види, че sa + sb = s1 + s2 е сумата от нормалните напрежения върху две взаимно перпендикулярни области на инварианта (независима) по отношение на наклона на тези области.

Както в линейното напрегнато състояние, максималните напрежения на срязване възникват при a=±45o, т.е.gif" align="left" width="240" height="227">.gif" width="154" height= "55 src=">.gif" align="left" width="253" height="176 src=">Ако едно от основните напрежения се окаже отрицателно, тогава те трябва да бъдат обозначени s1, s3, ако и двете са отрицателни , след това s2, s3.

Обемно напрежение

Напрежения във всяко място с известни главни напрежения s1, s2, s3:

където a1, a2, a3 са ъглите между нормалата към разглежданата площ и посоките на главните напрежения.

Максимално напрежение на срязване: .

Той действа върху платформа, успоредна на основното напрежение s2 и наклонена под ъгъл от 45o спрямо основните напрежения s1 и s3.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image023_60.gif" width="171" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/374/images/image025_53.gif" width="115" height="48 src="> (понякога наричани главни напрежения на срязване).

Плоско напрегнато състояние е частен случай на триизмерно и може да бъде представено и с три окръжности на Мор, докато едно от основните напрежения трябва да е равно на 0. За напрежения на срязване, както и в състояние на плоско напрежение, закон за сдвояване: компонентите на напреженията на срязване по взаимно перпендикулярни области, перпендикулярни на пресечната линия на тези области, са равни по големина и противоположни по посока.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image027_53.gif" width="166" height="51 src=">;

Октаедричното нормално напрежение е равно на средното от трите главни напрежения.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image029_49.gif" width="199" height="50">, Октаедричното напрежение на срязване е пропорционално на геометричната сума от главните напрежения на срязване. Интензивност на стреса:

DIV_ADBLOCK135">

https://pandia.ru/text/78/374/images/image032_47.gif" width="177" height="49">

Промяната в обема не зависи от съотношението между главните напрежения, а зависи от сбора на главните напрежения. Тоест елементарен куб ще получи същата промяна в обема, ако същите средни напрежения се прилагат към неговите лица: , тогава , където K= - обемен модул. Когато се деформира тяло, чийто материал има коефициент на Поасон m = 0,5 (например гума), обемът на тялото не се променя.

Потенциална енергия на напрежение

При просто напрежение (компресия) потенциалната енергия е U=https://pandia.ru/text/78/374/images/image038_46.gif" width="95" height="47 src=">.gif" width ="234 "височина="50 src="> или

Общата енергия на деформация, натрупана за единица обем, може да се разглежда като състояща се от две части: 1) енергията uo, натрупана поради промяна в обема (т.е. една и съща промяна във всички размери на куба без промяна на кубичната форма) и 2) енергията uf, свързана с промяната на формата на куба (т.е. енергията, изразходвана за превръщането на куба в паралелепипед). u = uo + uf.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image043_42.gif" width="389" height="50 src=">

https://pandia.ru/text/78/374/images/image045_41.gif" width="160" height="84 src=">. Когато завъртите координатната система, тензорните коефициенти се променят, самият тензор остава постоянен.

Три инварианта на напрегнато състояние:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image047_39.gif" width="249" height="48">

ea - относителна деформация, ga - ъгъл на срязване.

Същата аналогия важи и за насипното състояние. Следователно имаме инвариантите на деформираното състояние:

J1 = ex + ey + ez;

J2= exey +eyez + ezex - https://pandia.ru/text/78/374/images/image051_31.gif height="140 src="> - тензор на деформация.

ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx са компонентите на деформираното състояние.

За оси, съвпадащи с посоките на главните деформации e1, e2, e3, тензорът на деформации приема формата: .

Теории за силата

В общия случай опасното напрегнато състояние на конструктивен елемент зависи от съотношението между трите главни напрежения (s1,s2,s3). Тоест, строго погледнато, за всяко съотношение е необходимо експериментално да се определи величината на ограничаващото напрежение, което е нереалистично. Поради това бяха приети такива методи за изчисляване на якостта, които биха позволили да се оцени степента на опасност от всяко напрегнато състояние от напрежението на опън-натиск. Те се наричат ​​​​теории за силата (теории за пределни напрегнати състояния).

1-ва теория за силата(теорията на най-големите нормални напрежения): причината за появата на граничното напрегнато състояние са най-големите нормални напрежения. smax= s1£ [s]. Основен недостатък: две други основни напрежения не се вземат предвид. Това се потвърждава от опит само при разтягане на много крехки материали (стъкло, гипс). В момента практически не се използва.

2-ра теория за силата(теорията на най-големите относителни деформации): причината за появата на гранично напрегнато състояние е най-голямото удължение. emax= e1£ [e]..gif" width="63 height=47" height="47">, условие за якост: sequiIII= s1 - s3£ [s]. Основният недостатък е, че не отчита влиянието на s2.

В плоско напрегнато състояние: sequivIII= £[s]. За sy=0 получаваме Широко използван за пластмасови материали.

4-та теория за силата(теория на енергията): причината за появата на гранично напрегнато състояние е стойността на специфичната потенциална енергия на промяната на формата. uf£..gif" width="367" height="55 src=">..gif" width="166" height="57">. Използва се при изчисленията на крехки материали, при които допустимите напрежения на опън и натиск не са еднакви (чугун).

За пластмасови материали = теорията на Мор се превръща в 3-та теория.

Кръгът на Мор (кръг на стреса). Координатите на точките на окръжността съответстват на нормалното и срязващо напрежение в различни места. Отлагаме лъча от оста s от центъра C под ъгъл 2a (a> 0, след това страница обратно на часовниковата стрелка), намираме точка D,

чиито координати са: sa, ta. Можете да решавате графично както преки, така и обратни задачи.

Чиста смяна

https://pandia.ru/text/78/374/images/image063_27.gif" width="48 height=47" height="47">, където Q е силата, действаща по лицето, F е площта на лицето . , върху които действат само напреженията на срязване, се наричат ​​области на чисто срязване. Напреженията на срязване върху тях са най-големи. Чистото срязване може да се представи като едновременно натиск и опън, протичащи в две взаимно перпендикулярни посоки. Тоест това е частен случай на плоско напрегнато състояние, при което главни напрежения: s1= - s3 = t, s2= 0. Основните области образуват ъгъл от 45° с чистите области на срязване.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image065_26.gif" width="16" height="48 src="> - относително изместванеили ъгъл на срязване.

Законът на Хук при срязване : g = t/G или t = G×g.

G- модул на срязванеили модул на еластичност от втори вид [MPa] - материална константа, която характеризира способността да се противопоставя на деформации на срязване. (E - модул на еластичност, m - коефициент на Поасон).

Потенциална енергия при срязване: .

Специфична потенциална енергия на деформация на срязване: https://pandia.ru/text/78/374/images/image069_26.gif" width="63" height="53">.

Цялата потенциална енергия при чисто срязване се изразходва само за промяна на формата, промяната в обема по време на деформация на срязване е нула.

Кръгът на Мор в чиста смяна.

Усукване

https://pandia.ru/text/78/374/images/image072_23.gif" align="left" width="175" height="125 src=">Този вид деформация, при която само един въртящ момент - Mk Удобно е да се определи знакът на въртящия момент Mk по посока на външния момент. Ако, погледнат отстрани на секцията, външният момент е насочен обратно на часовниковата стрелка, тогава Mk> 0 (има и обратно правило). По време на усукване, една секция се върти спрямо друга на ъгъл на завъртане- j. При усукване на кръгъл прът (вал) възниква състояние на чисто срязващо напрежение (няма нормални напрежения), възникват само тангенциални напрежения. Приема се, че равнинните секции преди усукване остават плоски, а след усукване - закон за равнинните сечения. Напреженията на срязване в точките на сечението се променят пропорционално на разстоянието на точките от оста. ..gif" width="103" height="57 src="> - относителен ъгъл на завъртане..gif" width="127 height=57" height="57">, [t] =, за пластмасов материал, tlim се приема за граница на провлачане на срязване tm, за крехък материал, tv е пределната якост , [n] е условието за коефициент на коравина на усукване: qmax£[q] – допустим ъгъл на усукване.

Усукване на правоъгълна греда

https://pandia.ru/text/78/374/images/image081_17.gif" width="46" height="46">Диаграми на напрежението на срязване на правоъгълно сечение.

; , Jk и Wk - условно се нарича момент на инерция и момент на съпротивление по време на усукване. Wk=ahb2,

Jk= bhb3, Максималните напрежения на срязване tmax ще бъдат в средата на дългата страна, напреженията в средата на късата страна: t= g×tmax, коефициентите: a, b, g са дадени в справочниците в зависимост от съотношението h /b (например, когато h/b= 2, a=0,246, b=0,229, g=0,795.

извивам

https://pandia.ru/text/78/374/images/image085_18.gif" width="270" height="45">.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image087_16.gif" width="71" height="53">, r - радиус на кривина на неутралния слой, y - разстояние от някое влакно до неутрален слой. Законът на Хук в огъването: , откъдето (формула Навие): , Jx - инерционният момент на сечението спрямо главната централна ос, перпендикулярна на равнината на огъващия момент, EJx - коравина на огъване, https://pandia.ru/text/78/374 /images/image091_15.gif" width="126" height="54">, Jx/ymax=Wx-модул на сечение при огъване, .

https://pandia.ru/text/78/374/images/image094_14.gif" width="103 height=54" height="54">, където Sx(y) е статичният момент спрямо неутралната ос на тази част от площта, която се намира под или над слоя, разположен на разстояние "y" от неутралната ос; Jx - инерционен момент Обща суманапречно сечение спрямо неутралната ос, b(y) е ширината на сечението в слоя, върху който се определят напреженията на срязване.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image096_14.gif" width="89" height="49 src=">, F=b×h, за кръгло сечение:, F=p×R2 , за секция с всякаква форма,

k- коефициент в зависимост от формата на сечението (правоъгълник: k= 1,5; кръг - k= 1,33).

https://pandia.ru/text/78/374/images/image100_12.gif" align="left" width="244" height="85 src=">Действието на изхвърлената част се заменя от вътрешни силови фактори M и Q, които се определят от уравненията на равновесието. В някои университети се залага моментът M>0, т.е. диаграмата на моментите се изгражда върху опънати влакна. Когато Q= 0, имаме екстремум на диаграмата на моменти. Диференциални зависимости между M,ВИq: https://pandia.ru/text/78/374/images/image102_10.gif" width="187" height="54">.

Изчисляване на якостта на огъване : две якостни условия, свързани с различни точки на гредата: а) чрез нормални напрежения , (точките най-отдалечени от C); б) чрез напрежения на срязване https://pandia.ru/text/78/374/images/image105_10.gif "width="96" height="51">, които се проверяват съгласно b). Възможно е да има точки в сеченията на гредите, където се намират както нормални, така и големи тангенциални напрежения. За тези точки се намират еквивалентни напрежения, които не трябва да надвишават допустимите. Условията на якост се проверяват според различни теории за якост

аз-аз: ; II-I: (с коефициент на Поасон m=0,3); - рядко се използва.

III-I: , IV-I: ,

Теория на Мор: , (използва се за чугун, при който допустимото напрежение на опън ¹ - натиск).

Определяне на премествания в греди при огъване

https://pandia.ru/text/78/374/images/image113_9.gif" width="104" height="52 src=">, където r(x) е радиусът на кривината на огъната ос на греда в сечение x, M (x) - огъващ момент в същото сечение, EJ - твърдост на гредата Известно е от висшата математика: - тангенс на ъгъла между оста x и допирателната към извитата ос. Тази стойност е много малка (отклоненията на лъча са малки) Þ квадратът му се пренебрегва и ъгълът на завъртане на секцията се приравнява на допирателната. приблизително диференциално уравнение за извита ос на лъча: . Ако оста y сочи нагоре, тогава знакът (+). В някои университети оста y пада надолу Þ(-). Интегриране на diff..gif" width="226" height="50 src="> - получаваме ниво на отклонение. Интеграционните константи C и D се намират от граничните условия, които зависят от методите за фиксиране на гредата.

a" от началото, той се умножава по коефициента (x - a) 0, който е равен на 1. Всяко разпределено натоварване се удължава до края на гредата и се прилага товар в обратна посока, за да го компенсира .

EJ= M(x) = RA×x – https://pandia.ru/text/78/374/images/image122_8.gif" width="79 height=49" height="49"> - P(x - a – b); интегрираме:

EJ = EJq0 + RA× – – M(x – a) + – P;

EJy =EJy0 + EJq0x + RA× – – M + https://pandia.ru/text/78/374/images/image132_8.gif" width="93" height="51 src=">.

Началните параметри са това, което имаме в началото, т.е. за фигурата: M0=0, Q0=RA, отклонение y0=0, ъгъл на въртене q0¹0. q0 намираме от заместването във второто уравнение условията за фиксиране на дясната опора: x=a+b+c; y(x)=0.

Диференциални зависимости при огъване :

; ; https://pandia.ru/text/78/374/images/image136_6.gif" width="56" height="48 src=">.

Определяне на преместванията по метода на фиктивното натоварване. Съвпадение на уравненията:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image138_5.gif" align="left" width="203" height="120 src="> и имаме аналогия, Þ определението за отклонения може се свежда до дефиницията на моменти от някакъв фиктивен (условен) товар във фиктивна греда: Моментът от фиктивен товар Mf след разделяне на EJ е равен на отклонението "y" в дадена греда от даден товар Като се има предвид, че и , получаваме, че ъгълът на въртене в даден лъч е числено равен на фиктивната напречна сила във фиктивната греда.. В този случай трябва да има пълна аналогия в граничните условия на два лъча. Всеки даден лъч съответства на своя собствен фиктивен лъч.

Фиксирането на фиктивни греди се избира от условието, че в краищата на гредата и върху опорите има пълно съответствие между "y" и "q" в дадена греда и Mf и Qf във фиктивна греда. Ако диаграмите на моментите както в реалните, така и във фиктивните греди са изградени от страната на разтегнато влакно (т.е. положителният момент е положен), тогава линиите на отклонение в дадения лъч съвпадат с диаграмата на моментите в фиктивният лъч.

Статично неопределени греди.

Системите се наричат ​​статично неопределени, ако реакциите, в които не могат да бъдат определени от уравненията на равновесието на твърдо тяло. В такива системи има повече връзки, отколкото е необходимо за равновесие. Степента на статична неопределеност на лъча(без междинни панти - непрекъснати греди) е равно на излишния (допълнителен) брой външни връзки (повече от три).

https://pandia.ru/text/78/374/images/image120_7.gif" width="21" height="25 src=">.gif" width="20" height="25 src=">. gif" width="39" height="51 src="> + C;

EJy = RВ×https://pandia.ru/text/78/374/images/image129_6.gif" width="40" height="49 src="> + С×х + D..gif" width=" 39" височина="49 src=">+ MA=0; са RA и MA.

допълнително "фиксиране" се нарича основна система. За „допълнителното“ неизвестно можете да вземете всяка от реакциите. След като приложим дадените натоварвания към основната система, добавяме условие, което осигурява съвпадението на дадена греда и основната - уравнението за съвместимост на изместването. За фиг.: yB=0, т.е. отклонение в точка B = 0. Решението на това уравнение е възможно по различни начини.

Начин за сравняване на премествания . Отклонението на точка B (фиг.) се определя в основната система под действието на даден товар (q): yВq = "допълнителен" неизвестен RB, а отклонението от действието на RB се установява: . Заместете в уравнението за съвместимост на изместването: yB= yВq += 0, т.е. += 0, откъдето RB=https://pandia.ru/text/78/374/images/image153_4.gif" align="left" width =" 371" височина = "300 src="> Теорема за три момента . Използва се при изчислението непрекъснати греди- греди на много опори, едната от които е фиксирана, останалите са подвижни. За да се премине от статично неопределена греда към статично детерминирана основна система, пантите се вмъкват над допълнителните опори. Допълнителни неизвестни: моменти Mn, приложени към краищата на участъци върху допълнителни опори.

Изграждат се графики на моменти за всеки участък на гредата от даден товар, като всеки участък се разглежда като обикновена греда върху две опори. За всяка междинна поддръжка се компилира "n". уравнение на три момента:

wn, wn+1 – площи на графиката, an – разстояние от центъра на тежестта на лявата диаграма до лявата опора, bn+1 – разстояние от центъра на тежестта на дясната диаграма до дясната опора. Броят на моментните уравнения е равен на броя на междинните опори. Съвместното им решение прави възможно намирането на неизвестни моменти за подкрепа. Като се знаят опорните моменти, отделните участъци се разглеждат и се намират неизвестни опорни реакции от статичните уравнения. Ако има само две обхвати, тогава левият и десният моменти са известни, тъй като те или са дадени моменти, или са равни на нула. В резултат получаваме едно уравнение с едно неизвестно М1.

Общи методи за определяне на премествания

m" , което се причинява от действието на силата на обобщеното "n". Общо преместване, причинено от няколко фактора на сила: DР = DРP + DРQ + DРM. Премествания, причинени от една сила или единичен момент: d - специфично изместване. Ако една сила P=1 е причинила изместване dP, тогава общото изместване, причинено от силата P, ще бъде: DP=P×dP. Ако факторите на сила, действащи върху системата, са обозначени X1, X2, X3 и т.н., тогава движението в посока на всеки от тях:

където Х1d11=+D11; X2d12=+D12; Хidmi=+Dmi. Размер на специфични премествания: , J - джаули, размерът на работа е 1J = 1Nm.

Работата на външните сили, действащи върху еластична система: .

https://pandia.ru/text/78/374/images/image160_3.gif" width="307" height="57">,

k - коефициент, отчитащ неравномерното разпределение на напреженията на срязване върху площта на напречното сечение, зависи от формата на сечението.

Въз основа на закона за запазване на енергията: потенциална енергия U=A.

д 11 - движение в посока. сила P1 от действието на сила P1;

D12 - движение в посока. сила P1 от действието на сила P2;

D21 - движение в посока. сила P2 от действието на сила P1;

D22 - движение в посока. сила P2 от действието на сила P2.

А12=Р1×D12 е работата на силата Р1 на първото състояние върху движението в неговата посока, предизвикана от силата Р2 на второто състояние. По същия начин: A21=P2×D21 е работата на силата P2 от второто състояние върху движението в неговата посока, причинено от силата P1 на първото състояние. A12=A21. Същият резултат се получава за произволен брой сили и моменти. Теорема за реципрочност на работата: Р1×D12=Р2×D21.

Работата на силите на първото състояние върху преместванията в техните посоки, причинени от силите на второто състояние, е равна на работата на силите на второто състояние върху преместванията в техните посоки, причинени от силите на първото състояние .

Теорема относно реципрочността на преместванията (теоремата на Максуел)Ако P1=1 и P2=1, тогава P1d12=P2d21, т.е. d12=d21, като цяло dmn=dnm.

За две единични състояния на еластична система движението в посока на първата единична сила, причинена от втората единична сила, е равно на движението в посоката на втората единична сила, причинена от първата сила.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image163_4.gif" width="104" height="27 src="> от действието на единична сила; 4) намерените изрази се заменят в Интеграл на Мор и интегриран според даденото Ако полученото Dmn>0, то изместването съвпада с избраната посока на единичната сила, ако<0, то противоположно.

За плосък дизайн:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image165_3.gif" width="155" height="58">.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image167_4.gif" width="81 height=43" height="43"> за случая, когато диаграмата от даден товар има произволна форма, и от единично натоварване - праволинейно се определя удобно от графо-аналитичния метод, предложен от Верещагин. , където W е площта на диаграмата Мр от външен товар, yc е ордината на диаграмата от единично натоварване под центъра на тежестта на диаграмата Мр. Резултатът от умножението на диаграмите е равен на произведението на площта на една от диаграмите по ординатата на другата диаграма, взета под центъра на тежестта на площта на първата диаграма. Ординатата трябва да бъде взета от права линия. Ако и двете диаграми са праволинейни, тогава ординатата може да бъде взета от всяка една.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image170_3.gif" width="119" height="50 src=">. Тази формула се изчислява по секции, всяка от които трябва да има права линия диаграма без фрактури. Сложната диаграма Mp е разделена на прости геометрични фигури, за които е по-лесно да се определят координатите на центровете на тежестта. При умножаване на две диаграми, които изглеждат като трапец, е удобно да се използва формулата: . Същата формула е подходяща и за триъгълни диаграми, ако заместим съответната ордината = 0.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image173_3.gif" width="71" height="48"> (за фиг., т.е. , xC=L/2).

сляпо "вграждане с равномерно разпределен товар, имаме вдлъбната квадратна парабола, за която =3L/4. Може да се получи и ако диаграмата е представена от разликата между площта на триъгълник и площта на изпъкнала квадратна парабола: . "Липсващата" област се счита за отрицателна.

Теорема на Кастиляно. – преместването на точката на приложение на обобщената сила по посока на нейното действие е равно на частната производна на потенциалната енергия спрямо тази сила. Пренебрегвайки влиянието на аксиалните и напречните сили върху движението, имаме потенциалната енергия: , където .

Статично неопределени системи- системи, факторите на силата в елементите на които не могат да се определят само от уравненията на равновесието на твърдо тяло. В такива системи броят на връзките е по-голям от необходимия за равновесие. Степен на статична неопределеност: S = 3n - m, n - броят на затворените контури в конструкцията, m - броят на единичните панти (панта, свързваща две пръти, се брои като една, свързваща три пръта - като две и т.н.). силов методфакторите на силата се приемат като неизвестни. Последователността на изчисление: 1) задайте степента на статичност. неопределимост; 2) чрез премахване на ненужните връзки оригиналната система се заменя със статично определена - основната система (може да има няколко такива системи, но при премахване на ненужни връзки не трябва да се нарушава геометричната неизменност на структурата); 3) основната система е натоварена с дадени сили и ненужни неизвестни; 4) неизвестни сили трябва да бъдат избрани така, че деформациите на оригиналната и основната системи да не се различават. Тоест, реакциите на отхвърлените връзки трябва да имат такива стойности, при които преместванията в техните посоки = 0. Каноничните уравнения на метода на силите:

Тези уравнения са допълнителни ур-напрежения, които ви позволяват да отворите статично. неопределимост. Броят на ur-s = броят на изхвърлените връзки, т.е. степента на неопределеност на системата.

dik е движението в посока i, причинено от единична сила, действаща в посока k. dii - основни, dik - странични движения. Съгласно теоремата за реципрочността: dik=dki. Наклон - движение в посока на i-тото съединение, причинено от действието на даден товар (товарни елементи). Преместванията, включени в каноничните уравнения, се определят удобно по метода на Мор.

За да направите това, към основната система се прилагат единични натоварвания X1=1, X2=1, Xn=1, външно натоварване и се начертават кривите на огъващите моменти. Интегралът на Мор се използва за намиране на: ; ; ….; ;

; ; ….; ;

; ; ….; .

Линията над M показва, че тези вътрешни сили са причинени от действието на единична сила.

За системи, състоящи се от праволинейни елементи, е удобно да се умножават диаграми по метода на Верещагин. ; и др. WP е площта на Mp диаграмата от външен товар, yСр е ординатата на диаграмата от единичен товар под центъра на тежестта на диаграмата Мр, W1 е площта на диаграмата M1 от единично натоварване. Резултатът от умножението на диаграмите е равен на произведението на площта на една от диаграмите по ординатата на другата диаграма, взета под центъра на тежестта на площта на първата диаграма.

Изчисляване на плоски извити пръти (пръчки)

Извитите греди включват куки, верижни връзки, арки и др. Ограничения: напречното сечение има ос на симетрия, оста на гредата е плоска крива, натоварването действа в една и съща равнина. Има пръти с малка кривина: h / R<1/5, большой кривизны: h/R³1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью: https://pandia.ru/text/78/374/images/image198_3.gif" width="115" height="55">,

rН е радиусът на неутралния слой, e=R – rН, R е радиусът на слоя, в който са разположени центровете на тежестта на сечението. Неутралната ос на извитата греда не минава през центъра на тежестта на секция C. Тя винаги е разположена по-близо до центъра на кривината, отколкото центъра на тежестта на секцията. , r=rН – y. Познавайки радиуса на неутралния слой, можете да определите разстоянието "e" от неутралния слой до центъра на тежестта. За правоъгълно сечение с височина h, с външен радиус R2 и вътрешен R1: ; за различните раздели формулите са дадени в справочната литература. За h/R<1/2 независимо от формы сечения можно определять "е" по приближенной формуле: , где Jx – момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.

Нормалните напрежения в сечението се разпределят по хиперболичния закон (по-малко във външния ръб на сечението, повече във вътрешния ръб). Под действието на нормална сила N: (тук rН е радиусът на неутралния слой, който би бил под действието само на момента M, т.е. при N=0, но в действителност, при наличието на надлъжна сила, този слой вече не е неутрален). Условие на сила: , като се вземат предвид крайните точки, в които общите напрежения от огъване и опън-натиск ще бъдат най-големи, т.е. y= – h2 или y= h1. Преместванията се определят удобно по метода на Мор.

Стабилност на компресирани пръти. Надлъжно огъване

Разрушаването на пръта може да се случи не само защото силата ще бъде счупена, но и защото пръчката не запазва желаната форма. Например, огъване при надлъжна компресия на тънка линийка. Загубата на стабилност на праволинейна форма на равновесие на централно компресиран прът се нарича изкривяване. Еластичен баланс стабилно, ако деформираното тяло, с някакво малко отклонение от равновесното състояние, има тенденция да се върне в първоначалното си състояние и се връща в него, когато външното влияние бъде премахнато. Натоварването, чийто излишък причинява загуба на стабилност, се нарича критично натоварване Rcr (критична сила). Допустимо натоварване [P]=Pkr/nу, nу – нормативен коефициент на устойчивост..gif" width="111" height="51 src=">.gif" width="115 height=54" height="54"> - формулата дава стойността на критичната сила за прът с шарнирни краища. С различни закрепвания: , m е коефициентът за намаляване на дължината.

С шарнирно закрепване на двата края на пръта m=1; за прът със затворени краища m=0,5; за прът с един затворен и друг свободен край m=2; за прът с единия край фиксиран, а другият край шарнирно, m=0,7.

Критично напрежение на натиск.: , – гъвкавост на пръта, е най-малкият главен радиус на инерция на площта на напречното сечение на пръта. Тези формули са валидни само когато напреженията skr £ spts са границата на пропорционалност, т.е. в границите на приложимостта на закона на Хук. Формулата на Ойлер е приложима, когато пръчката е гъвкава: , например, за стомана St3 (C235) lkr "100. За случая л Формулата на Ясински: scr= a - b×l, коефициенти "a" и "b" в справочната литература (St3: a=310MPa; b=1,14MPa).

Достатъчно къси пръти, за които l , Fgross - обща площ на напречното сечение,

(Fnet = Fgross-Fweak – площта на отслабената секция, като се вземе предвид площта на дупките в секцията Fweak, например от нитове). \u003d scr / nу, nу - стандартен коефициент. граница на стабилност. Допустимото напрежение се изразява чрез основното допустимо напрежение [s], използвано при изчисленията на якост: =j×[s], j - допустим фактор за намаляване на стресаза компресирани пръти (коефициент на изкривяване). Стойностите на j са дадени в табл. в учебниците и зависят от материала на пръта и неговата гъвкавост (например за стомана St3 при l=120 j=0,45).

При проектното изчисляване на необходимата площ на напречното сечение на първата стъпка се взема j1 = 0,5–0,6; намирам: . Освен това, знаейки Fgross, изберете секцията, определете Jmin, imin и l, задайте според таблицата. действителното j1I, ако се различава значително от j1, изчислението се повтаря със средното j2= (j1+j1I)/2. В резултат на втория опит се намира j2I в сравнение с предишната стойност и така нататък, докато се постигне достатъчно близко съвпадение. Обикновено отнема 2-3 опита..

Връзка между моменти на инерция при завъртане на осите:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image249_2.gif" width="17" height="47 src=">(Jx - Jy)sin2a + Jxycos2a ;

Ъгъл a>0, ако преходът от старата координатна система към новата става обратно на часовниковата стрелка. п. Jy1 + Jx1= Jy + Jx

Наричат ​​се екстремни (максимални и минимални) стойности на инерционните моменти основни инерционни моменти. Осите, по отношение на които аксиалните моменти на инерция имат екстремни стойности, се наричат главни оси на инерция. Главните оси на инерция са взаимно перпендикулярни. Центробежните моменти на инерция около главните оси = 0, т.е. главните оси на инерция са осите, спрямо които центробежният момент на инерция = 0. Ако една от осите съвпада или и двете съвпадат с оста на симетрия, тогава те са главни. Ъгъл, определящ позицията на главните оси: , ако a0>0 Þ осите се завъртат обратно на часовниковата стрелка. п. Оста на максимума винаги прави по-малък ъгъл с този на осите, спрямо които инерционният момент има по-голяма стойност. Наричат ​​се главни оси, минаващи през центъра на тежестта главни централни оси на инерция. Моменти на инерция около тези оси:

Jmax + Jmin = Jx + Jy. Центробежният момент на инерция около главните централни инерционни оси е 0. Ако основните моменти на инерция са известни, тогава формулите за преход към завъртени оси са:

Jx1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jy1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jx1y1=(Jmax - Jmin)sin2a;

Крайната цел на изчисляването на геометричните характеристики на сечението е да се определят основните централни инерционни моменти и положението на главните централни оси на инерция. Радиус на инерция- https://pandia.ru/text/78/374/images/image254_3.gif" width="85" height="32 src=">. За секции с повече от две оси на симетрия (например: кръг, квадрат, пръстен и др.) аксиалните моменти на инерция спрямо всички централни оси са равни помежду си, Jxy=0, елипсата на инерцията се превръща в инерционен кръг.

с- нормално напрежение[Pa], 1Pa (паскал) = 1 N/m2,

106Pa = 1 MPa (мегапаскал) = 1 N/mm2

N - надлъжна (нормална) сила [N] (нютон); F - площ на напречното сечение [m2]

e - относителна деформация [безразмерна стойност];

DL - надлъжна деформация [m] (абсолютно удължение), L - дължина на пръта [m].

Закон на Хук - s = E×e

E - модул на опън (модул на еластичност от 1-ви вид или модул на Юнг) [MPa]. За стомана E = 2×105MPa = 2×106 kg/cm2 (в „старата“ система от единици).

(колкото повече E, толкова по-малко разтеглив е материалът)

; - Законът на Хук

EF - твърдост на пръта при опън (компресия).

При разтягане на пръта той "изтънява", ширината му - a намалява чрез напречна деформация - Da.

Относителна напречна деформация.

Основни механични характеристики на материалите

sp - граница на пропорционалност, st - точка на добив, sВ- граница на силатаили временно съпротивление, sk е напрежението в момента на разкъсване.

Крехките материали, като чугун, се чупят при ниски удължения и нямат плато на добив, издържайки по-добре на компресия, отколкото на разтягане.

Допустимо напрежение https://pandia.ru/text/78/374/images/image276_3.gif" align="left" width="173" height="264"> напрежения по наклона:

Директна задача…………………………………………………………………………..3

Обратна задача…………………………………………………………………3

Обемно напрежение……………………………4

Напрежения по протежение на октаедричното място……………………………..5

Деформации при обемно напрегнато състояние.

Обобщен закон на Хук……………………………………………………6

Потенциална енергия на деформация…………………………7

Теории за силата………………………………………………………………………………9

Силната теория на Мор ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………

Кръг на Мор ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Нетно изместване………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Законът на Хук при срязване………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………

Усукване…………………………………………………………………..13

Усукване на правоъгълен прът……………………………….14

Огъване……………………………………………………………………………15

Формулата на Журавски……………………………………………………………………16

Изчисление за якост на огъване………………………………………………………………………………18

Определяне на преместванията в греди при огъване……………19

Диференциални зависимости при огъване……………….20

Уравнение за съвместимост на изместване………………………………..22

Начин за сравняване на преместванията………………………………………..22

Теорема за трите момента……………………………………………………..22

Общи методи за определяне на премествания………………….24

Теорема за реципрочност на работата (теоремата на Бетли)……………….25

Теоремата за взаимността на преместванията (теоремата на Максуел).. 26

Изчисляване на интеграла на Мор по метода на Верещагин……….27

Теорема на Кастилиано……………………………………………………..28

Статично неопределени системи…………………………………..29

Изчисляване на плоски извити пръти (пръти)…………………31

Стабилност на компресирани пръти. Надлъжно огъване………33

Геометрични характеристики на плоските сечения…………36

Моменти на инерция на сечението……………………………………………..37

Центробежен момент на инерция на сечението …………………..37

Моменти на инерция на секции с проста форма………………..38

Моменти на инерция около успоредни оси……..39

Връзката между моментите на инерция при завъртане

оси………………………………………………………………………40

Моменти на съпротива……………………………………………….42

Опън и компресия………………………………………………………43

Основни механични характеристики на материалите…….45

Двуосниили апартаментнаречено такова напрегнато състояние на тялото, при което във всичките му точки едно от основните напрежения е равно на нула. Може да се покаже *, че в призматично или цилиндрично тяло (фиг. 17.1) с хлабави и ненатоварени краища възниква плоско напрегнато състояние, ако към страничната повърхност на тялото се приложи система от външни сили, нормални на оста Ози се променя в зависимост от zспоред квадратичния закон той е симетричен спрямо средното сечение. Оказва се, че във всички напречни сечения на тялото

и напрежение а х, а у, хпроменят се в зависимост от zсъщо така, според квадратичния закон, той е симетричен по отношение на средното сечение. Въвеждането на тези допускания дава възможност да се получи решение на задачата, което удовлетворява условията (17.13) и всички уравнения на теорията на еластичността.

Интерес представлява частният случай, когато напреженията не зависят от променливата z'-

Такова напрегнато състояние е възможно само под действието на равномерно разпределен по дължина товар. От формулите на закона на Хук (16.3) следва, че деформациите e x, e y, e z , y също не зависят от z,и деформации y и y zxкато се вземе предвид (17.13) са равни на нула. В този случай четвъртото и петото от уравненията за непрекъснатост на деформацията (16.4), (16.5) са удовлетворени идентично, а второто, третото и шестото уравнения приемат формата

Интегриране на тези уравнения и отчитане на третата формула на закона на Хук (16.3) с аз = 0, получаваме

См.: Тимошенко С. П., Гудиър Дж.Теория на еластичността. Москва: Наука, 1975.

По този начин, състояние на плоско напрежение в призматично или цилиндрично тяло със свободни краища, натоварени с постоянно повърхностно натоварване по дължината на тялото, е възможно само в частния случай, когато сумата от напреженията a x + a yварира в зависимост от променливите x и влинеен или постоянен.

Ако разстоянието между крайните равнини на тялото (фиг. 7.1) е малко в сравнение с размерите на секциите, тогава имаме случая на тънка плоча (фиг. 17.5), натоварена по външния контур със сили, симетрично разпределени спрямо средната равнина на плочата според квадратичен закон. Тъй като дебелината на плочата зе малък, то с лека грешка може да се приеме, че за всяко симетрично по отношение на средната равнина натоварване на напрежената плоча a x, a v, txv са равномерно разпределени по дебелината му.

В този случай напреженията трябва да се разбират като техните средни стойности по дебелината, например

Трябва също да се отбележи, че когато се въведе допускането (17.14), условието (17.13) за нулеви напрежения

Разглежданият случай на напрегнато състояние на тънка плоча с допускания (17.13) и (17.14) често се нарича обобщено плоско напрегнато състояние.

Нека разгледаме основните уравнения на теорията на еластичността за този случай.

Като се вземе предвид (17.13), формулите на закона на Хук (16.3) могат да бъдат записани във вида

Съответните обратни отношения имат формата

Формулите (17.17) и (17.18) се различават от формулите (17.7) и (17.9) на закона на Хук за равнинна деформация само по това, че в последния, вместо по модула на еластичност Еи коефициентът на Поасон v включва намалените количества E (и vr

Равновесните уравнения, отношенията на Коши, уравнението за непрекъснатост на деформацията и статичните гранични условия не се различават от съответните уравнения (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) за плоска деформация.

Равнинската деформация и обобщеното плоско напрегнато състояние се описват по същество от едни и същи уравнения. Единствената разлика е в стойностите на константите на еластичност във формулите на закона на Хук. Следователно и двете задачи са комбинирани с общо име: равнинен проблем на теорията на еластичността.

Пълната система от уравнения на равнинната задача се състои от две уравнения на равновесие (17.10), три геометрични отношения на Коши (17.3) и три формули на закона на Хук (17.7) или (17.17). Те съдържат осем неизвестни функции: три напрежения a x, a y, x xy,три щама e x, e y, y xyи два хода ИИ И.

Ако при решаване на задачата не се изисква определяне на преместванията, тогава броят на неизвестните се намалява до шест. За определянето им има шест уравнения: две уравнения на равновесие, три формули на закона на Хук и уравнението на непрекъснатостта на деформациите (17.11).

Основната разлика между двата разглеждани типа проблем на равнината е следната. За равнинна деформация ? z = 0,oz * 0 и стойността c zможе да се намери по формула (17.6), след като са определени напреженията o x io. За обобщено плоско напрегнато състояние a z = 0, ? z Ф 0 и изкривяване ? zможе да се изрази чрез напрежения o x и OUпо формулата (17.16). движещ се wможе да се намери чрез интегриране на уравнението на Коши

ДЕФОРМИРАНИ СЪСТОЯНИЯ ("ПЛОСКИ ПРОБЛЕМ")

Плоско напрежение и плоско деформирани състояния се характеризират със следните характеристики.

1. Всички компоненти на напрежението не зависят от една от общите за всички компоненти координати и остават постоянни, когато се променят.

2. В равнини, нормални на оста на тази координата:

а) компонентите на напрежението на срязване са равни на нула;

б) нормалното напрежение е или равно на нула (плоско напрегнато състояние), или равно на половината от сумата от две други нормални напрежения (плоско деформирано състояние).

Нека вземем за оста, която беше спомената по-рано, оста y. От казаното по-горе става ясно, че тази ос ще бъде главна, т.е. тя може да бъде обозначена и с индекс 2. Освен това, , и не зависят от y; в същото време, и , И следователно, и и са равни на нула.

За плоско напрегнато състояние = 0. За плоско деформирано състояние (тази характеристика на плоско деформирано състояние ще бъде доказана по-долу).

Винаги трябва да се има предвид значителната разлика между равнинното напрежение и равнинното деформирано състояние.

При първата, в посока на третата ос, няма нормално напрежение, но има деформация, във втората има нормално напрежение, но няма деформация.

Плоско напрегнато състояние може да бъде например в плоча, подложена на действието на силите, приложени към нейния контур, успореден на равнината на плочата и разпределени равномерно по нейната дебелина (фиг. 3.16). Промяната в дебелината на плочата в този случай няма значение, а дебелината й може да се приеме за единица. С достатъчна точност състоянието на напрежението на фланеца може да се счита за плоско, когато се изтегля цилиндрична заготовка от листов материал.

Плоско деформирано състояние може да се приеме за участъци от цилиндрично или призматично тяло с голяма дължина, отдалечени от краищата му, ако тялото е натоварено със сили, които не се променят по дължината му и са насочени перпендикулярно на генераторите. В плоско деформирано състояние, например, прът може да се счита за подложен на разрушаване по посока на неговата дебелина, когато деформацията по дължината може да се пренебрегне.

Всички уравнения на напрегнатото състояние за равнинен проблем са значително опростени и броят на променливите е намален.

Уравненията за проблема с равнината могат лесно да бъдат получени от тези, получени по-рано за състоянието на обемно напрежение, като се има предвид, че \u003d 0 и приемане на \u003d 0, тъй като наклонените зони трябва да се разглеждат само успоредни на оста y, т.е. нормални на области, които са свободни от напрежения в състояние на плоско напрежение или без деформации в плоско деформирано състояние (фиг. 3.17 ).

В разглеждания случай

Означавайки ъгъла (виж фиг. 3.17) между нормалата към наклонената област и оста (или оста, ако състоянието на напрежение е дадено в главните оси 1 и 2) през , получаваме , откъдето .

Като се има предвид горното, чрез директни замествания в съответните изрази (3.10) и (3.11) за обемното напрегнато състояние получаваме нормалното и срязващо напрежение в наклонената област (виж фиг. 3.17).

Фиг.3.15. Състояние на плоскост на напрежение (a), напрежение върху наклонена платформа (b)

нормално напрежение

напрежение на срязване

. (3.41)

От израза (3.41) е лесно да се види, че той има максимум при sin 2 = 1, т.е. при \u003d 45 °:

. (3.42)

Големината на главните напрежения може да бъде изразена чрез компоненти в произволни оси, като се използва уравнение (3.13), от което получаваме

. (3.43)

В този случай за плоско напрегнато състояние = 0; за плоско опънато състояние

Познавайки напреженото състояние в главните оси, е лесно да преминете към произволни координатни оси (фиг. 3.18). Нека новата координатна ос x прави ъгъл с оста, след което, считайки я за нормален към наклонената област, имаме за последната според уравнение (3.40)

но за оста, напрежението е напрежението, следователно

този израз може да се преобразува по следния начин:

(3.44)

Новата ос ще бъде наклонена към ос 1 под ъгъл (+90°); следователно, замествайки в предишното уравнение с ( + 90°), получаваме

Определяме напрежението от израз (3.41):

. (3.46)

Обозначаване на средното напрежение през, т.е. вземане

, (3.47)

и като се вземе предвид уравнение (3.42), получаваме така наречените формули на трансформация, които изразяват компонентите на напрежението като функция на ъгъла:

(3.48)

При конструирането на диаграмата на Мор вземаме предвид, че тъй като разглеждаме области, успоредни на оста y (т.е. ос 2), косинусът на посоката винаги е нула, т.е. ъгъл = 90 °. Следователно всички съответни стойности и ще бъдат разположени в окръжността, определена от уравнение (3.36 b), когато се замени = 0 в него, а именно:

, (3.49)

или като се вземат предвид изрази (3.47) и (3.42)

. (3.49а)

Този кръг е показан на фиг. 3.19 и е диаграма на Мор. Координатите на някаква точка P, разположена върху окръжността, определят съответните стойности и Нека свържем точката P с точката Лесно е да се види, че отсечките 0 2 P = ;

Рр= , Ор= , и, следователно, sin = .

Сравнявайки получените изрази с уравнения (3.48), можем да установим, че

P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.

По този начин, знаейки позицията на наклонената област, определена от ъгъла, можете да намерите стойностите на напреженията и действащи в тази област.

Фиг.3.17. Диаграма на Мор

,

тогава сегментът OP изразява общото напрежение S.

Ако елемент от напрегнато тяло, в чиято наклонена повърхност се разглеждат напреженията, е нарисуван така, че основното напрежение да е насочено успоредно на оста, тогава нормата N, изтеглена към тази наклонена повърхност, и следователно посоката на напрежението, ще бъде успоредна на отсечката СР.

Продължавайки линията P0 2 до пресечната точка с окръжността, в точка P "получаваме втората двойка стойности​​​и за друга наклонена област, в която " = + 90 °, т.е. за областта, перпендикулярна на първата , с посоката на нормалата ". Посоките на нормалите N и N" могат да се приемат съответно като посоки на новите оси: и , а напреженията и " - съответно за координатните напрежения и. Така е възможно да се определят напреженото състояние в произволни оси, без да се използват формули (3.44) - (3.46) са равни помежду си според закона за сдвояването.

Не е трудно да се реши обратната задача: за дадени напрежения в две взаимно перпендикулярни области , и , t "(където t" = t) намират основните напрежения.

Начертаваме координатни оси n и (фиг. 3.19). Начертаваме точки P и P "с координати, съответстващи на дадените напрежения , и ,. Пресечната точка на отсечката PP" с оста ще определи центъра на окръжността на Мор 0 2 с диаметър PP "= 2 31. Освен това, ако изграждаме осите N, N" (или, нещо същото, , ) и завъртаме фигурата така, че посоките на тези оси да са успоредни на посоките на напреженията и в разглежданата точка на даденото тяло, след това посоките на осите и диаграмата ще бъде успоредна на посоката на главните оси 1 и 2.

Получаваме диференциалното равновесно уравнение за плоска задача от уравнения (3.38), като се има предвид, че всички производни по отношение на y са равни на нула, а също така са равни на нула и :

(3.50)

При решаване на някои проблеми, свързани с равнината, понякога е удобно да се използват полярни координати вместо правоъгълни, като се определя позицията на точка чрез радиус вектора и полярния ъгъл, тоест ъгъла, който радиус векторът прави спрямо оста.

Условията на равновесие в полярните координати могат лесно да бъдат получени от същите условия в цилиндрични координати чрез уравнение

И като се има предвид, че производните са равни

(3.51)

Специален случай на равнинен проблем е този, при който напреженията не зависят и от координатата (разпределението на напреженията е симетрично по отношение на оста). В този случай производните по отношение и напрежения и ще изчезнат, а условията на равновесие се определят от едно диференциално уравнение

. (3.52)

Ясно е, че и тук стресовете са основни.

Такова напрегнато състояние може да се приеме за фланеца на кръгла заготовка по време на изтегляне без натискане на цилиндричната чаша.

Вид стресово състояние

Напрегнатото състояние във всяка точка на деформируемото тяло се характеризира с три основни нормални напрежения и посоки на главните оси.

Има три основни типа напрегнато състояние: обемно (триаксиално), при което и трите главни напрежения не са равни на нула, плоско (двуосово), при което едно от главните напрежения е нула, и линейно (едноосово), при което само едно основно напрежение е различно от нула.

Ако всички нормални напрежения имат еднакъв знак, тогава напрегнатото състояние се нарича с едно и също име, а ако напреженията с различни знаци са с противоположен знак.

По този начин има девет типа напрегнато състояние: четири обемни, три плоски и две линейни (фиг. 3.18).

Напрегнатото състояние се нарича хомогенно, когато във всяка точка на деформируемото тяло посоките на главните оси и големината на основните нормални напрежения остават непроменени.

Видът на напрегнатото състояние влияе върху способността на метала да се деформира пластично, без да се срутва, и количеството външна сила, която трябва да бъде приложена, за да се постигне деформация с дадена стойност.

Така, например, деформацията при условия на същото обемно напрегнато състояние изисква повече усилия, отколкото при противоположно напрегнато състояние, при равни други условия.

тестови въпроси

1. Какво е напрежение? Какво характеризира напрегнатото състояние на точка, на тялото като цяло?

2. Какво изразяват индексите в обозначението на компонентите на тензора на напрежението?

3. Дайте знаковото правило за компонентите на тензора на напрежението.

4. Запишете формулите на Коши за напреженията върху наклонени платформи. Каква е основата за тяхното заключение?

5. Какво е тензор на напрежението? Кои са компонентите на тензора на напрежението?

6. Как се наричат ​​собствените вектори и собствените стойности на тензора на напрежението?

7. Какви са основните напрежения? Колко?

8. Дайте правилото за приписване на индекси на основните нормални напрежения.

9. Дайте физическа интерпретация на основните нормални напрежения и главните оси на тензора на напрежението.

10. Покажете диаграмите на основните нормални напрежения за основните процеси на ОМД - валцуване, изтегляне, пресоване.

11. Какво представляват инвариантите на тензора на напрежението? Колко?

12. Какво е механичното значение на първия инвариант на тензора на напрежението?

13. Какво се нарича интензитет на напреженията на срязване?

14..Какви са основните напрежения на срязване? Намерете техните платформи

15.. Колко области на основните напрежения на срязване могат да бъдат посочени в дадена точка на деформируемото тяло?

16. Какво е максималното напрежение на срязване, нормалното напрежение на мястото, върху което действа?

17. Какво е осесиметрично напрегнато състояние? Дай примери.

18. Покажете диаграмите на основните нормални напрежения за основните OMD процеси - валцуване, изтегляне, пресоване.

19. Какво е общото между плоско напрегнато и плоско деформирано състояние и каква е разликата между тях? За кое от тези състояния се отнася простото изместване?

20. Дайте познатите ви формули на теорията на напреженията в главната координатна система

21. Какво е елипсоид на напрежението? Запишете нейното уравнение и посочете реда на изграждане. Каква е формата на елипсоида на напрежението за хидростатично налягане, равни и линейни напрегнати състояния?

22. Запишете уравнение за намиране на главните нормални напрежения и три системи от уравнения за намиране на главните оси Т а.

23..Какво е сферичен тензор и девиатор на напрежението? Какви количества се използват за изчисляване на втория и третия инвариант на девиатора на напрежението?

24. Покажете, че основните координатни системи на тензора на напрежението и девиатора на напрежението съвпадат.

25. Защо се вземат предвид интензивността на напрежението и интензивността на напрежението на срязване? Обяснете физическото им значение и дайте геометрични интерпретации.

26. Какво представлява диаграмата на Мор? Какви са радиусите на главните окръжности?

27. Как ще се промени диаграмата на Мор при промяна на средното напрежение?

28. Какво представляват октаедричните напрежения?

29. Колко характерни зони могат да се начертаят през точка от тяло в напрегнато състояние?

30. Равновесни условия за обемното напрегнато състояние в правоъгълни координати, в цилиндрични и сферични координати.

31. Равновесни уравнения за плоска задача.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Илюшин А. А. Пластичност. Ч. И. М.-Л., ГТИ, 1948. 346 с. (33)

2. И. М. Павлов, „За физическата природа на тензорните представи в теорията на пластичността”, Известия вузов. Черна металургия”, 1965, бр.6, с. 100–104.

3. В. В. Соколовски, Теория на пластичността. М., Висше училище, 1969. 608 с. (91)

4. М. В. Сторожев и Е. А. Попов, Теория на обработката на метали под налягане. М., "Инженерство", 1971. 323 с. (99)

5. С. П. Тимошенко, Теория на еластичността. Гостехиздат, 1934. 451 с. (104)

6. Шофман Л. А. Основи на изчисляване на процеса на щамповане и пресоване. Машгиз, 1961. (68)

Нека разгледаме случая на плоско напрегнато състояние, което е важно за приложенията и се реализира например в равнината Oyz.Тензорът на напрежението в този случай има формата

Геометричната илюстрация е показана на фиг.1. В същото време сайтовете x= const са главни със съответните нулеви главни напрежения. Инвариантите на тензора на напрежението са , а характеристичното уравнение приема формата

Корените на това уравнение са

Номерацията на корените е направена за случая

Фиг. 1.Първоначално плоскост на напрежението.

Фиг.2.Позиция на главните напрежения

Произволно място се характеризира с ъгъл на фиг. 1, докато векторът Пима компоненти: , , n x \u003d 0. Нормалните и срязващи напрежения върху наклонена площадка се изразяват чрез ъгъла, както следва:

Най-малкият положителен корен на уравнение (4) ще бъде обозначен с . Тъй като tg( х) е периодична функция с период , тогава имаме две взаимно ортогонални посоки, които съставляват ъглите и с ос OUТези посоки съответстват на взаимно перпендикулярни основни области (фиг. 2).

Ако диференцираме отношение (2) по отношение и приравним производната на нула, тогава стигаме до уравнение (4), което доказва, че главните напрежения са екстремални.

За да намерим ориентацията на областите с екстремни напрежения на срязване, ние приравняваме на нула производната на израза

откъдето получаваме

Сравнявайки отношения (4) и (5), установяваме, че

Това равенство е възможно, ако ъглите и се различават от ъгъла . Следователно посоките на областите с екстремни напрежения на срязване се различават с ъгъл от посоките на основните зони (фиг. 3).

Фиг.3.Екстремно напрежение на срязване

Стойностите на екстремните напрежения на срязване се получават след заместване (5) във връзка (3) с помощта на формулите

.

След някои трансформации получаваме

Сравнявайки този израз с получените по-рано стойности на главните напрежения (2.21), изразяваме екстремните напрежения на срязване чрез главните напрежения

Подобно заместване в (2) води до израз за нормални напрежения върху области с

Получените съотношения ни позволяват да извършим насочен якостен анализ на конструкциите в случай на плоско напрегнато състояние.

ТЕНЗОР НА ЩЯМА

Нека първо разгледаме случая на плоска деформация (фиг. 4). Нека плоския елемент MNPQсе движи в равнината и се деформира (променя формата и размера). Координатите на точките на елемента преди и след деформация са отбелязани на фигурата.

Фиг.4.Плоска деформация.

По дефиниция, относително линейно напрежение в точка Мв посока на оста охе равно на

От фиг. 4 следва

Предвид това MN=dx,получаваме

При малки деформации, когато , , можем да пренебрегнем квадратичните членове. Като се вземе предвид приблизителното съотношение

справедливо при х<<1, окончательно для малой деформации получим

Ъгловата деформация се дефинира като сбор от ъгли и (4). В случай на малки деформации

За ъгловата деформация, която имаме

Извършвайки подобни изчисления в общия случай на триизмерна деформация, имаме девет отношения

Този тензор напълно определя деформираното състояние на твърдото тяло. Той има същите свойства като тензора на напрежението. Свойството на симетрия следва директно от определението за ъглови деформации. Главните стойности и главните посоки, както и екстремните стойности на ъгловите деформации и съответните им посоки, се намират по същите методи като за тензора на напрежението.

Инвариантите на тензора на деформациите се дефинират с аналогични формули, а първият инвариант на малкия тензор на деформация има ясно физическо значение. Преди деформация обемът му е равен на dV 0 =dxdydz.Ако пренебрегнем деформациите на срязване, които променят формата, а не обема, тогава след деформацията ребрата ще имат размери

(фиг. 4), а обемът му ще бъде равен на

Относителна промяна на обема

в рамките на малки деформации ще бъдат

което съвпада с определението на първия инвариант. Очевидно промяната в обема е физическа величина, която не зависи от избора на координатна система.

Точно като тензора на напрежението, тензорът на деформация може да бъде разложен на сферичен тензор и девиатор. В този случай първият инвариант на девиатора е равен на нула, т.е. девиаторът характеризира деформацията на тялото, без да променя неговия обем.