Решаване на набор от неравенства онлайн. Неравенства. Видове неравенства. Събиране и използване на лична информация

Метод на разстоянието - прост начин за решаване на дробни рационални неравенства. Това е името на неравенствата, съдържащи рационални (или дробно-рационални) изрази, които зависят от променлива.

1. Помислете например за неравенството

Методът на интервала ви позволява да го разрешите за няколко минути.

От лявата страна на това неравенство има дробна рационална функция. Рационално, защото не съдържа корени, синуси, логаритми - само рационални изрази. Вдясно е нула.

Интервалният метод се основава на следното свойство на дробна рационална функция.

Дробна рационална функция може да променя знака само в онези точки, в които е равна на нула или не съществува.

Нека си припомним как квадратният трином се разлага на фактори, тоест израз на формата.

Къде и са корените квадратно уравнение.

Начертайте оста и поставете точките, в които числителят и знаменателят изчезват.

Нулите на знаменателя и са пунктирани точки, тъй като в тези точки функцията от лявата страна на неравенството е недефинирана (не можете да разделите на нула). Нулите на числата и - се попълват, тъй като неравенството не е строго. За и, нашето неравенство е удовлетворено, тъй като и двете му страни са равни на нула.

Тези точки разделят оста на интервали.

Нека дефинираме знака на дробната рационална функция отляво на нашето неравенство на всеки от тези интервали. Помним, че дробна рационална функция може да промени знака само в онези точки, в които е равна на нула или не съществува. Това означава, че на всеки от интервалите между точките, където числителят или знаменателят изчезват, знакът на израза от лявата страна на неравенството ще бъде постоянен - \u200b\u200bили „плюс“, или „минус“.

И следователно, за да определим знака на функцията на всеки такъв интервал, вземаме всяка точка, принадлежаща на този интервал. Тази, която е удобна за нас.
... Вземете например и проверете знака на израза от лявата страна на неравенството. Всяка от „скобите“ е отрицателна. Лявата страна има знак.

Следващ период: Нека проверим знака за. Получаваме, че лявата страна е променила знака на.

Да вземем. Следователно когато изразът е положителен, той е положителен през целия интервал от до.

Защото лявата страна на неравенството е отрицателна.

И накрая, class \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: x\u003e 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Открихме през какви интервали изразът е положителен. Остава да запишете отговора:

Отговор:.

Моля, обърнете внимание, че символите в интервалите се редуват. Това се случи, защото при преминаване през всяка точка, точно един от линейните фактори променя знака, а останалите го запазват непроменен.

Можем да видим, че методът на интервали е много прост. Разрешавам дробно рационално неравенство по метода на интервалите го привеждаме във формата:

Или class \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: \\ genfrac () () () (0) (\\ displaystyle P \\ left (x \\ right)) (\\ displaystyle Q \\ left (x \\ right))\u003e 0"> !}, или или.

(отляво - дробна рационална функция, отдясно - нула).

След това - маркираме на числовата линия точките, в които числителят или знаменателят изчезват.
Тези точки разделят цялата права на числата на интервали, на всеки от които дробната рационална функция запазва своя знак.
Остава само да се открие неговият знак на всеки интервал.
Правим това, като проверяваме знака на израза във всяка точка, принадлежаща на дадения интервал. След това записваме отговора. Това е всичко.

Но възниква въпросът: знаците винаги ли се редуват? Не винаги! Човек трябва да внимава да не поставя табели механично и необмислено.

2. Нека разгледаме още едно неравенство.

Class \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: \\ genfrac () () () (0) (\\ displaystyle \\ left (x-2 \\ right) ^ 2) (\\ displaystyle \\ left (x-1 \\ right) \\ ляво (x-3 \\ дясно))\u003e 0"> !}

Поставете точките отново върху оста. Точките и се избиват, защото те са нулите на знаменателя. Въпросът също е пробит, тъй като неравенството е строго.

Когато числителят е положителен, и двата фактора в знаменателя са отрицателни. Това може лесно да се провери, като се вземе произволно число от даден интервал, например ,. Лявата страна има знак:

Когато числителят е положителен; първият фактор в знаменателя е положителен, вторият фактор е отрицателен. Лявата страна има знак:

Ситуацията е същата! Числителят е положителен, първият фактор в знаменателя е положителен, вторият е отрицателен. Лявата страна има знак:

И накрая, с class \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: x\u003e 3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Отговор:.

Защо се наруши редуването на знаци? Защото при преминаване през точката факторът „отговаря“ за нея не смени знака... Следователно, цялата лява страна на нашето неравенство също не е променила своя знак.

Изход: ако линейният коефициент е в четна степен (например в квадрат), тогава при преминаване през точката знакът на израза от лявата страна не се променя... В случай на нечетна степен знакът, разбира се, се променя.

3. Нека разгледаме по-сложен случай. Той се различава от предишния по това, че неравенството не е строго:

Лявата страна е същата като в предишната задача. Картината на знаците ще бъде същата:

Може би отговорът ще бъде същият? Не! Добавя се решение Това е така, защото и за лявата, и за дясната страна на неравенството са равни на нула - следователно тази точка е решение.

Отговор:.

В задачата за изпита по математика често се среща тази ситуация. Тук кандидатите попадат в капана и губят точки. Бъди внимателен!

4. Ами ако числителят или знаменателят не могат да бъдат линеаризирани? Помислете за това неравенство:

Не можете да разлагате на квадрат триноми: дискриминантът е отрицателен, няма корени. Но това е добре! Това означава, че знакът на израза е еднакъв за всички и по-конкретно е положителен. Можете да прочетете повече за това в статията за свойствата на квадратна функция.

И сега можем да разделим двете страни на нашето неравенство на стойност, която е положителна за всички. Стигаме до еквивалентното неравенство:

Което лесно се решава чрез метода на интервалите.

Моля, обърнете внимание - разделихме двете страни на неравенството на сумата, която със сигурност знаехме, че е положителна. Разбира се, в общия случай не трябва да умножавате или делите неравенството по променлива, чийто знак е неизвестен.

5 ... Помислете за друго неравенство, на пръв поглед съвсем просто:

Просто искам да го умножа по. Но ние вече сме умни и няма да правим това. В крайна сметка тя може да бъде както положителна, така и отрицателна. И знаем, че ако двете страни на неравенството се умножат по отрицателна стойност, знакът за неравенство се променя.

Ще го направим по различен начин - ще съберем всичко в една част и ще го доведем до общ знаменател. Нула ще остане от дясната страна:

Class \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: \\ genfrac () () () (0) (\\ displaystyle x-2) (\\ displaystyle x)\u003e 0"> !}

И след това - кандидатствайте интервален метод.

Внимание!
Има и допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които "не са много ..."
И за тези, които "много ...")

Какво "квадратно неравенство"? Няма въпрос!) Ако вземете всякакви квадратно уравнение и заменете знака в него "=" (равно) на всяка икона за неравенство ( > ≥ < ≤ ≠ ), получаваме квадратно неравенство. Например:

1. x 2 -8x + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Е, разбирате идеята ...)

Не напразно тук обвързах уравнения и неравенства. Въпросът е, че първата стъпка в решаването всякакви квадратно неравенство - реши уравнението, от което се прави това неравенство. Поради тази причина невъзможността за решаване на квадратни уравнения автоматично води до пълен провал в неравенствата. Ясен ли е намекът?) Ако не, вижте как да решите всички квадратни уравнения. Там всичко е подробно. И в този урок ще се справим конкретно с неравенствата.

Готовото за решение неравенство има вида: вляво - квадратно триномие брадва 2 + bx + c, вдясно - нула. Знакът за неравенство може да бъде абсолютно всеки. Първите два примера тук вече готов за решение. Третият пример все още трябва да бъде подготвен.

Ако този сайт ви харесва ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете нивото си. Тестване за незабавно валидиране. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Извикват се линейни неравенства лявата и дясната част на които са линейни функции по отношение на неизвестна величина. Те включват например неравенства:

2x-1-x + 3; 7x0;

5 \u003e 4 - 6x 9- х< x + 5 .

1) Строги неравенства: ax + b\u003e 0 или брадва + b<0

2) Неограничени неравенства: брадва + b≤0 или брадва + b≫ 0

Нека анализираме такава задача... Едната от страните на успоредника е 7см. Колко дълго трябва да бъде другата страна, така че периметърът на успоредника да е повече от 44 cm?

Нека желаната страна да бъде х cm. В този случай паралелограмният периметър ще бъде представен с (14 + 2x) cm. Неравенството 14 + 2x\u003e 44 е математически модел на задачата за периметъра на паралелограма. Ако в това неравенство заменим променливата х например на числото 16, тогава получаваме правилното числово неравенство 14 + 32\u003e 44. В този случай те казват, че числото 16 е решение на неравенството 14 + 2x\u003e 44.

Решаване на неравенството се отнася до стойността на променлива, която я превръща в истинско числово неравенство.

Следователно, всяко от числата 15.1; 20; 73 са решението на неравенството 14 + 2x\u003e 44, а числото 10, например, не е неговото решение.

Решаване на неравенството означава да се установят всички негови решения или да се докаже, че няма решения.

Формулировката на решението на неравенството е подобна на формулировката на корена на уравнението. И все пак не е обичайно да се обозначава „коренът на неравенството“.

Свойствата на числените равенства ни помогнаха да решим уравнения. По същия начин свойствата на числените неравенства ще помогнат за решаването на неравенствата.

Решавайки уравнението, го променяме на друго, повече просто уравнениено еквивалентна на дадената. Отговорът и неравенствата се намират по подобен начин. Когато променяте уравнение в уравнение, еквивалентно на него, използвайте теоремата за прехвърлянето на термини от едната страна на уравнението в противоположната и за умножението на двете страни на уравнението със същото ненулево число. При решаването на неравенство има значителна разлика между него и уравнението, което се състои в това, че всяко решение на уравнението може да бъде проверено просто чрез заместването му в първоначалното уравнение. В неравенствата този метод отсъства, тъй като не е възможно да се замени безкраен брой решения в първоначалното неравенство. Следователно, има важна концепция, тези стрелки<=> е знак за еквивалентни или еквивалентни трансформации. Трансформацията се нарича еквивалентен, или еквивалентенако не променят набора от решения.

Подобни правила за решаване на неравенства.

Ако преместим който и да е член от една част на неравенството в друга, замествайки неговия знак с противоположния, тогава получаваме неравенство, еквивалентно на това.

Ако и двете страни на неравенството се умножат (разделят) по едно и също положително число, тогава получаваме неравенство, еквивалентно на това.

Ако и двете страни на неравенството се умножат (разделят) по едно и също отрицателно число, замествайки знака на неравенството с противоположния, тогава получаваме неравенство, еквивалентно на даденото.

Използвайки тези регламенти изчисляваме следните неравенства.

1) Нека разгледаме неравенството 2x - 5\u003e 9.

то линейно неравенство, намерете решението му и обсъдете основните понятия.

2x - 5\u003e 9<=> 2x\u003e 14 (5 беше преместено наляво с противоположния знак), след това разделихме всичко на 2 и имаме x\u003e 7... Ще начертаем много решения по оста х

Получихме положително насочен лъч. Маркираме набора от решения или под формата на неравенството x\u003e 7, или под формата на интервал х (7; ∞). И какво е конкретно решение на това неравенство? Например, x \u003d 10 е специално решение за това неравенство, x \u003d 12също е специално решение за това неравенство.

Има много конкретни решения, но нашата задача е да намерим всички решения. И обикновено има безброй решения.

Нека анализираме пример 2:

2) Решаване на неравенството 4а - 11\u003e а + 13.

Нека го решим: и преместете се на една страна, 11 се преместим от другата страна, получаваме 3а< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 неравенството има формата а<8 .

4а - 11\u003e а + 13<=> 3а< 24 <=> а< 8 .

Ще покажем и комплекта а< 8 , но вече по оста и.

Отговорът е написан под формата на неравенството a< 8, либо и(-∞;8), 8 не се включва.

В статията ще разгледаме решение на неравенства... Ще ви разкажем на разположение за как да се изгради решение на неравенствата, с ясни примери!

Преди да разгледаме решението на неравенствата с примери, нека разберем основните понятия.

Обща информация за неравенствата

Неравенство се нарича израз, при който функциите са свързани чрез релационни знаци\u003e ,. Неравенствата са както числови, така и буквални.
Неравенствата с два знака на връзката се наричат \u200b\u200bдвойни, с три - тройни и т.н. Например:
a (x)\u003e b (x),
a (x) a (x) b (x),
a (x) b (x).
a (x) Неравенства, съдържащи\u003e или не са строги.
Решаване на неравенството е всяка стойност на промяната, при която това неравенство е вярно.
"Решаване на неравенството"означава, че е необходимо да се намерят много от всичките му решения. Има различни методи за решаване на неравенства... За решения на неравенството използвайте числовата линия, която е безкрайна. Например, решаване на неравенството x\u003e 3 е интервал от 3 до + и числото 3 не е включено в този интервал, поради което точка на права линия се обозначава с празен кръг, тъй като неравенството е строго.
+
Отговорът ще бъде: x (3; +).
Стойността x \u003d 3 не е включена в набора от решения, така че скобите са кръгли. Знакът за безкрайност винаги е заобиколен от скоби. Знакът означава "принадлежност".
Нека да видим как да разрешим неравенствата, като използваме друг подписан пример:
x 2
-+
Стойността x \u003d 2 е включена в набора от решения; следователно скобата е квадратна и точка на линията е обозначена със запълнен кръг.
Отговорът ще бъде: x.

Трети пример. | 1 - x | \u003e 2 | x - 1 |.

Решение. Първата стъпка е да се определят точките, в които функциите отиват на нула. За лявото това число ще бъде 2, за дясното - 1. Те \u200b\u200bтрябва да бъдат маркирани на лъча и да се определят интервалите на постоянство.

На първия интервал, от минус безкрайност до 1, функцията от лявата страна на неравенството приема положителни стойности, а от дясната - отрицателни. Под дъгата трябва да напишете до два знака "+" и "-".

Следващият интервал е от 1 до 2. На него и двете функции приемат положителни стойности. Това означава, че под дъгата има два плюса.

Третият интервал от 2 до безкрайност ще даде следния резултат: лявата функция е отрицателна, дясната положителна.

Като вземете предвид получените знаци, трябва да изчислите стойностите на неравенството за всички интервали.

На първия получаваме следното неравенство: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). Минусът пред двете във второто неравенство се дължи на факта, че тази функция е отрицателна.

След трансформацията неравенството изглежда така: x\u003e 0. То веднага дава стойностите на променливата. Тоест от този интервал в отговор ще отиде само интервалът от 0 до 1.

На втория: 2 - x\u003e 2 (x - 1). Трансформациите ще дадат следното неравенство: -3x + 4 е по-голямо от нула. Нулата му ще бъде x \u003d 4/3. Вземайки предвид знака на неравенството, се оказва, че x трябва да е по-малко от това число. Това означава, че този интервал е намален до интервал от 1 до 4/3.

Последното дава следното обозначение на неравенството: - (2 - x)\u003e 2 (x - 1). Неговата трансформация води до следното: -x\u003e 0. Тоест уравнението е вярно, когато x е по-малко от нула. Това означава, че неравенството не дава решения на необходимия интервал.

На първите два интервала границата се оказа числото 1. Трябва да се провери отделно. Тоест замести в първоначалното неравенство. Оказва се: | 2 - 1 | \u003e 2 | 1 - 1 |. Преброяването дава, че 1 е по-голямо от 0. Това е вярно твърдение, така че 1 е включено в отговора.

Отговор: x лежи в интервала (0; 4/3).