Решаване на дробно-рационално неравенство
USE 2018. Математика. ниво на профил. Решение на уравнения и неравенства. Садовничий Ю.В.
М.: 2018. - 96 с.
Тази книга е посветена на задачи, подобни на задача 15 от Единния държавен изпит по математика (решаване на уравнения и неравенства). Разглеждат се различни методи за решаване на такива проблеми, включително оригинални. Книгата ще бъде полезна за гимназисти, учители по математика, преподаватели.
формат: pdf
размер: 860 Kb
Гледайте, изтеглете:drive.google
СЪДЪРЖАНИЕ
ВЪВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ИНТЕРВАЛЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕРАВЕНСТВА 6
Задачи за независимо решение 10
ГЛАВА 2. ОТКАЗ ОТ ОТГОВОРНОСТ ЗА МОДУЛИ В УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 13
Задачи за самостоятелно решаване 23
ГЛАВА 3. ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 25
Задачи за самостоятелно решаване 33
ГЛАВА 4. ЕКСПОНЕНЦИАЛНИ И ЛОГАРИЧНИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 35
4.1. Основни формули и решение на най-простите уравнения и неравенства 35
4.2. Преобразуване на сбора и разликата на логаритмите 36
Задачи за самостоятелно решаване 41
4.3. Метод на заместване на променливи 42
Задачи за самостоятелно решаване 47
4.4. Разделяне на неравенства 49
Задачи за самостоятелно решаване 55
4.5. Преход към нова база 56
Задачи за самостоятелно решаване 60
ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ОТ СМЕСЕН ТИП 61
Задачи за самостоятелно решаване 68
ГЛАВА 6
Задачи за самостоятелно решаване 75
ГЛАВА 7. СИСТЕМИ АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 76
Задачи за самостоятелно решаване 84
ОТГОВОРИ НА ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ 88
Тази книга е посветена на задачи, подобни на задача 15 профилен изпитпо математика (уравнения и неравенства). Книгата е разделена на глави по теми, материалът във всяка глава е представен "от просто към сложно".
Не е тайна, че задачите 16-19 (планиметрия, текстова задача, задача с параметри, задача с цели числа) са трудни за огромното мнозинство от завършилите гимназия. Същото може да се каже и за задача 14 (стереометрия). Следователно решената задача 15 (заедно със задача 13) е възможност да повишите резултата си от USE до добро ниво.
Първите три глави са подготвителни, в тях се разглеждат решаването на неравенства по интервалния метод, уравнения и неравенства, съдържащи модула, ирационални уравнения и неравенства.
Четвъртата глава е основната в тази книга, тъй като задачите в нея са най-близки до истинската задача от 15-ия профилиран изпит по математика. Тази глава е разделена на няколко раздела, всеки от които изследва някакъв метод за решаване на такъв проблем.
В този видео урок подробно анализирах доста сериозната задача 15 от Единния държавен изпит по математика, която съдържа както логаритмичната, така и дробно рационално неравенство. Особено внимание е отделено на теоремата на Безу (за намиране на корените на полином), както и на метода за деление на полиноми с ъгъл (за факторизиране).
В този урок ще анализираме система от две неравенства от USE по математика:
⎧⎩⎨⎪⎪ дневник7-2 пъти(x+6) ≤0x− x−3х+6−х2 +27x+90х2 +8x+12≤−1 \left\( \begin(align)& ((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le 0 \\& x-\frac(x-3)(x+6 )-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le -1 \\\end(align) \right.
Решаване на системата от неравенства
Както можете да видите, системата се състои от логаритмично неравенство, както и от класическо дробно рационално неравенство, но в процеса на решаване ще открием, че това неравенство не е толкова просто, колкото може да изглежда на пръв поглед. Да започнем с логаритмичния. За да направите това, напишете го отделно:
дневник7-2 пъти(x+6) ≤ 0
((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le \text( )0
Като всяка логаритмично неравенство, тази конструкция се свежда до канонична форма, т.е. отляво оставяме всичко непроменено, но отдясно пишем следното:
дневник7-2 пъти(x+6) ≤ дневник7-2 пъти 1
((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le ((\log )_(7-2x))1
Как да използваме метода на рационализация
Сега използваме метода на рационализация. Нека ви напомня, че ако имаме неравенство на формата
дневникк (х) f(x) ⋃ дневникк (х) g(x),
((\log )_(k\left(x \right)))f\left(x \right)\bigcup ((\log )_(k\left(x \right)))g\left(x \ точно),
тогава можем да преминем към нещо подобно:
(е (x) −g(x) )(к (x) -1)⋃0
\left(f\left(x \right)-g\left(x \right) \right)\left(k\left(x \right)-1 \right)\bigcup 0
Разбира се, това неравенство не взема предвид домейна на логаритъма:
f (x) >0
f\left(x\right)>0
ж (x) >0
g\left(x\right)>0
1≠к (x) >0
1\ne k\наляво(x\надясно)>0
И така, в ролята f (х) f\left(x \right) е линейна функция х+6 x+6, и в ролята ж (х) g\left(x \right) е просто 1. Следователно, ние пренаписваме неравенството на нашата логаритмична система, както следва:
(x+6−1) (7−2x−1)
\left(x+6-1 \right)\left(7-2x-1 \right)
Последният 1 е този x−1 x-1, което е във втората скоба. Всички те са по-малки или равни на 0. Знакът за неравенство се запазва при извършване на тази трансформация. Ето подобните във всяка скоба:
(x+5) (6−2x) ≤0
\left(x+5 \right)\left(6-2x \right)\le 0
Приложение на интервалния метод
Очевидно имаме най-простото неравенство, което лесно се решава чрез интервалния метод. Задайте всяка скоба на 0:
(+5) =0→= −5
\наляво(+5 \надясно)=0\до =-5
6−2=0→2=6
х=3
Маркираме всички тези точки (има две такива точки) на координатната линия. Имайте предвид, че те са засенчени:
Обърнете внимание на знаците. За да направите това, вземете произволно число, по-голямо от 3. Първият ще бъде "минус". Тогава знаците се редуват навсякъде, защото няма корени с четна кратност. Интересуваме се от знака по-малко или равно, тоест знака минус. Боядисваме върху необходимите зони. Позволете ми да ви напомня, че когато решаваме неравенства с помощта на интервалния метод, заместваме 1 милиард в последния израз, който получихме, преди да преминем към уравненията.
Така че намерихме набори. Но, както разбирате, това все още не е решение на неравенството. Сега от нас се изисква да намерим домейна на логаритъма. За да направим това, ние пишем следните функции:
Грешно влагане на структури на уравнение
\left[ \begin(align)& x+6>0 \\& 7-2x>0 \\& 7-2x\ne 1 \\\end(align) \right.=>\left[ \begin(align )& x>-6 \\& 7>2x \\& 6\ne 2x \\\end(align) \right.=>\left[ \begin(align)& \\& x<\text{ }3,5 \\& x\ne \text{ }3 \\\end{align} \right.
И така, получихме три едновременни изисквания, т.е. всички тези неравенства трябва да бъдат изпълнени едновременно. Нека начертаем линия, успоредна на нашия кандидат за отговор:
Получихме окончателния отговор за първия елемент от системата:
(−6;−5] ⋃(3;3,5)
\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3,5 \right). В този момент много ученици имат въпрос. Вижте, 3 е издълбано от едната страна, но от другата , тази същата точка е попълнена. И така, как да го маркирате като резултат? За да се справите правилно и веднъж завинаги с този проблем, запомнете едно просто правило.
Какво означава пресичане на множества? Това е набор, който едновременно влиза както в първия, така и във втория. С други думи, попълвайки картинката по-долу, ние търсим точки, които принадлежат както на първия, така и на втория ред едновременно. Следователно, ако някоя точка не принадлежи на поне една от тези линии, тогава без значение как изглежда на втората линия, тя не ни подхожда. И по-конкретно с 3 се случва точно тази история: от една страна, точка 3 ни подхожда в кандидатите за отговор, защото е боядисана, но от друга страна, 3 е пробита поради домейна на логаритъм и следователно в крайния комплект тази точка трябва да бъде изчертана. Всичко, отговорът на първото логаритмично неравенство на системата е напълно оправдан. За по-сигурно ще го дублирам отново:
(−6;−5] ⋃(3;3,5)
\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3,5 \right)
Решаване на дробно-рационално неравенство
x− x−3х+6−х2 +27x+90х2 +8x+12≤−1 x-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le - 1
Сега преместете -1 наляво:
x+1− x−3х+6−х2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 x+1-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right)\left(x+2) \десен))\le 0
х+1 1 −x−3х+6−х2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 \frac(x+1)(1)-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right )\left(x+2 \right))\le 0
Привеждаме цялата структура към общ знаменател:
(x+1) (x+6) (x+2) −(x−3) (x+2) − (х2 +27x+90)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)\left(x+2 \right)-\left(x-3 \right)\left(x+2 \right)- \left(((x)^(2))+27x+90 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0
Нека разширим скобите:
(x+2) ( (x+1) (x+6) −(x−3) )−х2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+2 \right)\left(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)-\left(x-3 \right) \right)-((x )^(2))-27x-90)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0
х3 +6х2 +9x+2 х2 +12x+18− х2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+6((x)^(2))+9x+2((x)^(2))+12x+18-((x)^(2)) -27x-90)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0
х3 +7х2 −6x−72(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0
Какво може да се каже за полученото неравенство? Първо, той е дробно рационален и знаменателят вече е разложен на множители. Следователно най-добрият вариант би бил това неравенство да се реши по интервалния метод. Въпреки това, за да се реши чрез интервалния метод, е необходимо също да се факторизира числителят. Това е основната трудност, тъй като числителят е полином от трета степен. Кой помни формулата за корени от трета степен? Лично аз не помня. Но това няма да ни трябва.
Всичко, от което се нуждаем, е теоремата на Безу, по-точно не самата теорема, а едно от най-важните й следствия, което гласи следното: ако полином с цели коефициенти има корен х1 ((x)_(1)) и е цяло число, тогава свободният коефициент (в нашия случай 72) задължително ще се дели на х1 ((x)_(1)). С други думи, ако искаме да намерим корените на това кубично уравнение, тогава всичко, което трябва да направим, е просто да „разровим“ факторите, на които е разложено числото 72.
Нека разложим числото 72 на прости множители:
72=8⋅9=2⋅2⋅2⋅3⋅3
72=8\cdot 9=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3
И така, трябва да преминем през всички комбинации от двойки и тройки, за да получим поне един корен от нашия кубичен израз. На пръв поглед може да изглежда, че това е комбинативна задача, но всъщност всичко не е толкова страшно. Да започнем с минималния брой:
х=2
Нека проверим дали 2 е отговорът. За да направите това, помнете какво е корен. Това е число, което, когато се замести в полином, го превръща в 0. Нека заместим:
(2) =8+28−12−72<0
\left(2\right)=8+28-12-72<0
Разбираме това x−2 x-2 не е подходящ. Продължавай. Да вземем 4:
(4) =64+112−24−72>0
\left(4\right)=64+112-24-72>0
х=4 x=4 също не е коренът на нашата конструкция.
Продължавай. Какво следва х x ще анализираме? За да отговорим на този въпрос, нека отбележим един интересен факт: кога x−2 x-2 нашият полином беше отрицателен и за х=4 x=4 вече се оказа положителен. Това означава, че някъде между точки 2 и 4 нашият полином пресича оста хх. С други думи, някъде на този сегмент нашето се превръща в 0. Това означава, че тази точка ще бъде желаното число. Нека помислим какво цяло число се намира между 4 и 2. Очевидно е, че само 3 и 3 присъства в разширението, така че то наистина може да бъде коренът на нашия израз. Обмислете тази опция:
х=3
(3) =27+63−18−72=90−90=0
\left(3\right)=27+63-18-72=90-90=0
Страхотно, нашата хипотеза се потвърди. Наистина ли, х=3 x=3 е коренът на нашата конструкция. Но как това ни помага да разложим даден полином? Много просто. От същата теорема на Безу следва, че ако х1 ((x)_(1)) е корен на полинома стр (х) p\left(x \right), което означава, че можем да напишем следното:
х1 :p(x)=Q(x) (x− х1 )
((x)_(1)):p\left(x \right)=Q\left(x \right)\left(x-((x)_(1)) \right)
С други думи, знаейки х1 ((x)_(1)) можем да твърдим, че при факторизацията на нашия израз задължително ще има фактор х1 ((x)_(1)). В нашия случай можем да запишем, че нашият полином непременно има фактор в своето разширение (x−3)\left(x-3 \right), защото 3 е неговият корен.
х3 +7х2 −6x−72x−3=х2 +10x+24\frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(x-3)=((x)^(2))+10x+24
С други думи, можем да пренапишем нашето неравенство от системата, както следва:
(x+3) (х2 +10x+24)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))+10x+24 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) ))\le 0
Обърнете внимание, че във втората скоба на числителя има квадратен тричлен, който също е много просто факторизиран, получаваме:
(x+3) (x+6) (x+4)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(x+6 \right)\left(x+4 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) )\le 0
Това е всичко, остава само да напишем корените:
х=3
≠−6(2k)
\ne -6\наляво(2k\надясно)
=−4
≠−2
Нека отбележим всички тези точки, които могат да бъдат решение на системата, върху координатната права хх:
За да определим знаците, вземаме всяко число, по-голямо от 3, заместваме във всяка от тези скоби и получаваме пет положителни числа, тоест вдясно от 3 е знакът плюс. Тогава знаците се променят навсякъде, но в -6 нищо не се променя, защото -6 е коренът на втората кратност. Интересуваме се от тези области, където знакът на функцията е отрицателен, така че засенчваме „минусите“.
Общо можем да запишем решението на нашето първоначално неравенство - то ще бъде както следва:
(−∞;−6) ⋃(−6;−4] ⋃(−2;3]
\left(-\infty ;-6 \right)\bigcup \left(-6;-4 \right]\bigcup \left(-2;3 \right]
Последни стъпки
Решихме второто неравенство на нашата система и сега остава да решим самата система, т.е. да пресечем получените множества. За да направя това, предлагам да изградим друга линия, успоредна на нашите две стари линии, отговорни за логаритмичното неравенство от системата:
Можем да напишем крайния отговор на втория елемент от системата от неравенства: (−6;−5] \left(-6;-5 \right]. Сега можем да се върнем към нашата система и да запишем окончателния набор:
x∈ (−6; −5]
x\in \left(-6;\text( )-5 \right]
Ключови точки
В тази задача има няколко ключови точки наведнъж:
- Трябва да можете да решавате логаритмични неравенства, като използвате прехода към каноничната форма.
- Трябва да можете да работите с дробни рационални неравенства. Това обикновено е материал за 8-9 клас, така че ако работите с логаритми, тогава ще разберете дробните рационални неравенства.
- Теорема на Безу. Най-важното следствие от тази теорема е фактът, че корените на полином с цели коефициенти са делители на неговия свободен член.
Иначе това е проста, макар и доста обемна задача за решаване на система от уравнения. Някои трудности при решаването на системата могат да възникнат и при пресичането на всички множества, особено тези, свързани с точка 3. Тук всичко е много просто: просто не забравяйте, че пресичането означава изискването всички неравенства да бъдат изпълнени едновременно, т.е. желаната точка трябва да бъде запълнена и по трите оси. Ако поне по едната ос не е попълнена или изчертана, тогава такава точка не може да бъде част от отговора.
