Задачи за училищния етап на Всеруската олимпиада за ученици по математика. Математически олимпиади и олимпиадни задачи Николай купи обикновена тетрадка с обем 96 листа

Задача 16:

Възможно ли е да обменяте 25 рубли с десет банкноти в купюри от 1, 3 и 5 рубли? решение:

Отговор: Не

Петя купи обикновена тетрадка с обем 96 листа и номерира всичките й страници в ред с числа от 1 до 192. Вася извади 25 листа от тази тетрадка и събра всичките 50 числа, които са записани върху тях. Можеше ли да направи 1990 г.? решение:

На всеки лист сумата от номерата на страниците е нечетна, а сумата от 25-те нечетни числа е нечетна.

Произведението на 22 цели числа е равно на 1. Докажете, че тяхната сума не е равна на нула. решение:

Сред тези числа - четен брой"минус единици", а за да е равна на сумата, трябва да има точно 11 от тях.

Възможно ли е да се направи магически квадрат от първите 36 прости числа? решение:

Сред тези числа едно (2) е четно, а останалите са нечетни. Следователно в реда, където има двойка, сборът от числата е нечетен, а в останалите е четен.

Подред се записват числа от 1 до 10. Възможно ли е между тях да се поставят знаците „+” и „-”, така че стойността на получения израз да е равна на нула?

Забележка: имайте предвид, че отрицателните числа също могат да бъдат четни и нечетни. решение:

Всъщност сборът от числа от 1 до 10 е 55 и като сменяме знаците в него, променяме целия израз на четно число.

Скакалецът скача по права линия и първият път е скочил 1 см в някаква посока, вторият път е скочил 2 см и т.н. Докажете, че след скокове от 1985 г. той не може да бъде откъдето е започнал. решение:

Забележка: Сборът 1 + 2 + … + 1985 е нечетен.

На дъската са изписани числата 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешено е да се изтрият произволни две числа от дъската и вместо това да се запише модулът на тяхната разлика. В крайна сметка само едно число ще остане на дъската. Може ли да е нула? решение:

Проверете дали посочените операции не променят четността на сбора от всички числа, записани на дъската.

Възможно ли е да се покрие шахматна дъска с домино 1 × 2 по такъв начин, че само клетки a1 и h8 да останат свободни? решение:

Всяко домино покрива едно черно и едно бяло квадратче и когато квадратите a1 и h8 се изхвърлят, има 2 черни квадрата по-малко от белите.

Към 17-цифреното число е добавено числото, изписано със същите цифри, но в обратен ред. Докажете, че поне една цифра от получената сума е четна. решение:

Анализирайте два случая: сборът от първата и последната цифра на числото е по-малък от 10, а сборът от първата и последната цифра на числото е не по-малък от 10. Ако приемем, че всички цифри на сбора са нечетни , тогава в първия случай не трябва да има нито едно пренасяне в цифрите (което очевидно води до противоречие), а във втория случай наличието на пренос при движение отдясно наляво или отляво надясно се редува с липса на пренос и в резултат получаваме, че цифрата на сумата в деветата цифра е задължително четна.

В народния отряд има 100 души, като всяка вечер трима ходят на дежурство. Може ли след известно време да се окаже, че всеки е дежурил с всеки точно веднъж? решение:

Тъй като на всяко задължение, в което участва този човек, той е на дежурство с други двама, тогава всички останали могат да бъдат разделени по двойки. 99 обаче е нечетно число.

На правата линия са отбелязани 45 точки, които лежат извън отсечката AB. Докажете, че сумата от разстоянията от тези точки до точка A не е равна на сумата от разстоянията от тези точки до точка B. решение:

За всяка точка X, лежаща извън AB, имаме AX - BX = ± AB. Ако приемем, че сумите от разстоянията са равни, тогава получаваме, че изразът ± AB ± AB ± … ± AB, в който участват 45 члена, е равен на нула. Но това е невъзможно.

Има 9 числа, подредени в кръг - 4 единици и 5 нули. Всяка секунда над числата се извършва следната операция: между съседни числа се поставя нула, ако са различни, и единица, ако са равни; след това старите номера се изтриват. Могат ли всички числа да станат еднакви след известно време? решение:

Ясно е, че не може да се получи комбинация от девет единици преди девет нули. Ако имаше девет нули, тогава при предишния ход нули и единици трябваше да се редуват, което е невъзможно, тъй като има само нечетен брой.

25 момчета и 25 момичета седят на кръгла маса. Докажете, че един от хората, седнали на масата, има и двете съседски момчета. решение:

Нека проведем нашето доказателство чрез противоречие. Номерираме всички седнали на масата по ред, започвайки от някое място. Ако е включен k-то мястомомче седи, ясно е, че (k - 2)-то и (k + 2)-то място са заети от момичета. Но тъй като има равен брой момчета и момичета, тогава за всяко момиче, което седи на n-то място, е вярно, че (n - 2)-то и (n + 2)-то място са заети от момчета. Ако сега разгледаме само онези 25 души, които седят на „четни“ места, тогава получаваме, че сред тях момчета и момичета се редуват, ако заобикалят масата в някаква посока. Но 25 е нечетно число.

Охлювът пълзи по равнината с постоянна скорост, като се завърта под прав ъгъл на всеки 15 минути. Докажете, че може да се върне в началната точка само след цял брой часове. решение:

Ясно е, че броят а на участъците, в които охлювът е пълзел нагоре или надолу, е равен на броя на участъците, в които е пълзял надясно или наляво. Остава само да се отбележи, че a е четно.

Три скакалци играят скакал по права линия. Всеки път един от тях прескача другия (но не над двама наведнъж!). Могат ли да се върнат на първоначалните си позиции след скока през 1991 г.? решение:

Означете скакалците A, B и C. Нека наречем подредбата на скакалците ABC, BCA и CAB (отляво надясно) правилни, а ACB, BAC и CBA – неправилни. Лесно е да се види, че с всеки скок типът на подредбата се променя.

Има 101 монети, от които 50 са фалшиви, които се различават по тегло с 1 грам от истинските. Петя взе една монета и за една теглеща на кантара със стрелка, показваща разликата в грамажите на чашите, иска да определи дали е фалшива. Може ли да го направи? решение:

Трябва да оставите тази монета настрана и след това да разделите останалите 100 монети на две купчини от по 50 монети и да сравните теглото на тези купчини. Ако се различават с четен брой грамове, тогава монетата, която ни интересува, е реална. Ако разликата между теглата е нечетна, тогава монетата е фалшива.

Възможно ли е да се изпишат числата от 1 до 9 еднократно, така че да има нечетен брой цифри между една и две, две и три, ..., осем и девет? решение:

В противен случай всички числа в реда ще бъдат на места с еднакъв паритет.

Тази работа Петя купи общ тефтер с обем 96 листа и номерира всичките му страници в ред с числа от 1 до 192. Вася извади (Контрол) по темата (AHD и финансов анализ), беше по поръчка на нашата фирма специалисти и премина успешната му защита. Работа - Петя купи общ тефтер с обем 96 листа и номерира всичките му страници в ред с числа от 1 до 192. Вася извади по темата AHD и финансовият анализ отразява неговата тема и логическия компонент на разкриването му, разкрива се същността на разглеждания въпрос, изтъкват се основните положения и водещи идеи по тази тема.
Работа - Петя си купи общ тефтер с обем 96 листа и номерира всичките му страници в ред с числа от 1 до 192. Вася го извади, съдържа: таблици, рисунки, най-новите литературни източници, годината на подаване и защита на работата - 2017 г. В работата Петя закупи общ тефтер, обем от 96 листа и номерира всичките му страници по номера от 1 до 192. Вася извади (AHD и финансов анализ) се разкрива уместността на темата на изследването, се отразява степента на развитие на проблема, въз основа на задълбочена оценка и анализ на научни и методическа литература, в работата по темата AHD и финансов анализ, обектът на анализа и неговите проблеми се разглеждат изчерпателно, както от теоретична, така и от практическа страна, формулирана е целта и конкретните задачи на разглежданата тема, има логика на представяне на материала и неговата последователност.

раздели: математика

Уважаеми участники на олимпиадата!

Училищната олимпиада по математика се провежда в един кръг.
Има 5 задачи с различни нива на трудност.
Няма специални изисквания към дизайна на произведението. Формата на представяне на решението на проблемите, както и методите за решаване, могат да бъдат всякакви. Ако имате някакви индивидуални мисли относно конкретна задача, но не можете да доведете решението до края, не се колебайте да изкажете всичките си мисли. Дори частично решените задачи ще бъдат оценени със съответния брой точки.
Започнете да решавате задачи, които ви се струват по-лесни, а след това преминете към останалите. По този начин спестявате време.

Желаем Ви успех!

Училищен етап на Всеруската олимпиада за ученици по математика

5 клас

Упражнение 1. В израза 1*2*3*4*5 заменете "*" със знаци за действие и поставете скобите по този начин. За да получите израз, чиято стойност е 100.

Задача 2. Изисква се дешифриране на записа на аритметичното равенство, в който числата се заменят с букви, а различните числа се заменят с различни букви, едни и същи са еднакви.

ПЕТ - ТРИ \u003d ДВЕИзвестно е, че вместо букв НОтрябва да поставите числото 2.

Задача 3. Как да разделим 80 кг пирони на две части - 15 кг и 65 кг с помощта на кантар без тежести?

Задача 4. Нарежете фигурата, показана на фигурата, на две равни части, така че всяка част да има една звезда. Можете да режете само по линиите на мрежата.

Задача 5. Една чаша и чинийка заедно струват 25 рубли, докато 4 чаши и 3 чинии струват 88 рубли. Намерете цената на чашата и цената на чинийката.

6-ти клас.

Упражнение 1. Сравнете дроби, без да ги довеждате до общ знаменател.

Задача 2. Изисква се дешифриране на записа на аритметичното равенство, в който числата се заменят с букви, а различните числа се заменят с различни букви, едни и същи са еднакви. Приема се, че първоначалното равенство е вярно и е записано според обичайните правила на аритметиката.

РАБОТА
+ ВОЛЯ
КЪСМЕТ

Задача 3. AT летен лагертрима приятели дойдоха да почиват: Миша, Володя и Петя. Известно е, че всеки от тях има едно от следните фамилни имена: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша не е Герасимов. Бащата на Володя е инженер. Володя е в 6 клас. Герасимов е в 5 клас. Бащата на Иванов е учител. Каква е фамилията на всеки от тримата приятели?

Задача 4. Разделете фигурата по линиите на мрежата на четири еднакви части, така че всяка част да има една точка.

Задача 5. Скачащото водно конче спеше половината време от всеки ден от червеното лято, танцува една трета от времето на всеки ден и пее в шестата част. През останалото време тя реши да посвети на подготовката за зимата. По колко часа на ден се подготвяше водното конче за зимата?

7-ми клас.

Упражнение 1. Решете ребуса, ако знаете, че най-голямата цифра в числото СИЛНО е 5:

РЕШИ
АКО
СИЛНА

Задача 2. Решете уравнението│7 - x│ = 9.3

Задача 3. След седем измивания дължината, ширината и дебелината на сапуна бяха намалени наполовина. Колко от същите измивания ще издържат оставащия сапун?

Задача 4 . Разделете правоъгълника от 4 × 9 клетки по страните на клетките на две равни части, така че да можете да направите квадрат от тях.

Задача 5. Дървен куб беше боядисан с бяла боя от всички страни и след това нарязан на 64 еднакви кубчета. Колко кубчета се оказаха оцветени от три страни? От две страни?
Една страна? Колко кубчета не са оцветени?

8 клас.

Упражнение 1. Какви две цифри завършват числото 13!

Задача 2. Намалете фракцията:

Задача 3. Училищният драматичен кръжок, подготвяйки постановката на откъс от приказката на А.С. Пушкин за цар Салтан, реши да разпредели ролите между участниците.
- Ще бъда Черномор - каза Юра.
- Не, аз ще бъда Черномор - каза Коля.
- Добре, - отстъпи му Юра, - мога да играя Гвидон.
- Е, мога да стана Салтан, - Коля също показа съответствие.
- Съгласен съм да бъда само Guidon! Миша каза.
Желанията на момчетата бяха удовлетворени. Как бяха разпределени ролите?

Задача 4. Медианата AD е начертана в равнобедрен триъгълник ABC с основа AB = 8m. Периметърът на триъгълник ACD е по-голям от периметъра на триъгълник ABD с 2 m. Намерете AS.

Задача 5. Николай купи обща тетрадка от 96 листа и номерира страниците от 1 до 192. Неговият племенник Артур извади 35 листа от тази тетрадка и събра всичките 70 числа, които бяха записани върху тях. Може ли да получи 2010г.

9 клас

Упражнение 1. Намерете последната цифра от 1989 1989 .

Задача 2. Сборът от корените на някои квадратно уравнениее 1, а сборът от техните квадрати е 2. Каква е сумата на техните кубчета?

Задача 3. Използвайки три медиани m a , m b и m c ∆ ABC, намерете дължината на страната AC = b.

Задача 4. Намалете фракцията .

Задача 5. По колко начина можете да изберете гласна и съгласна в думата "камзол"?

10 клас.

Упражнение 1. В момента има монети от 1, 2, 5, 10 рубли. Посочете всички суми, които могат да бъдат платени както с четен, така и с нечетен брой монети.

Задача 2. Докажете, че 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 се дели на 6.

Задача 3. В четириъгълник ABCDдиагоналите се пресичат в точка М. Известно е, че AM = 1,
VM = 2, CM = 4. При какви стойности DMчетириъгълник ABCDтрапец ли е?

Задача 4. Решаване на система от уравнения

Задача 5. Тридесет ученици - десетокласници и единадесетокласници - се ръкуваха. В същото време се оказа, че всеки десетокласник се ръкува с осем единадесетокласници, а всеки единадесетокласник се ръкува със седем десетокласници. Колко десетокласници и колко единадесетокласници?