ভেক্টরগুলির মডিউলগুলির ডট পণ্যটি কীভাবে গণনা করা যায়। ভেক্টরগুলির বিন্দু পণ্য। ভেক্টরের দৈর্ঘ্য। স্থানাঙ্কিতে ডট পণ্য product

বক্তৃতা: ভেক্টর সমন্বয়; ভেক্টরগুলির বিন্দু পণ্য; ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ

ভেক্টর স্থানাঙ্ক

সুতরাং, যেমন পূর্বে উল্লিখিত হয়েছে, ভেক্টরগুলি একটি দিকনির্দেশক বিভাগ, যার নিজস্ব শুরু এবং শেষ রয়েছে। যদি শুরু এবং শেষটি কিছু পয়েন্ট দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তবে তাদের কোনও সমতল বা মহাকাশে তাদের নিজস্ব সমন্বয় রয়েছে।

যদি প্রতিটি পয়েন্টের নিজস্ব সমন্বয় থাকে তবে আমরা পুরো ভেক্টরের সমন্বয়গুলি পেতে পারি।

মনে করুন আমাদের কাছে কিছু ভেক্টর রয়েছে, যার ভেক্টরটির শুরু এবং শেষের নিম্নরূপ উপাধি এবং সমন্বয় রয়েছে: এ (এ x; এআই) এবং বি (বি এক্স; বাই)

এই ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি পাওয়ার জন্য, ভেক্টরের শেষের স্থানাঙ্কগুলি থেকে শুরুতে সম্পর্কিত সমন্বয়গুলি বিয়োগ করা প্রয়োজন:

মহাকাশে কোনও ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করতে, নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করুন:

ভেক্টরগুলির বিন্দু পণ্য

ডট পণ্য সংজ্ঞায়িত করার দুটি উপায় রয়েছে:

• জ্যামিতিক উপায়। তাঁর মতে, বিন্দু পণ্য এই মডিউলগুলির মানগুলির মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন দ্বারা উত্পাদিত সমান।

• বীজগণিত অর্থ। বীজগণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে, দুটি ভেক্টরের বিন্দু পণ্য একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ যা সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলির পণ্যগুলির যোগফলের ফলাফল হিসাবে প্রাপ্ত হয়।

যদি خلاে ভেক্টর দেওয়া হয় তবে আপনার অনুরূপ সূত্র ব্যবহার করা উচিত:

বৈশিষ্ট্য:

• আপনি যদি দুটি অভিন্ন ভেক্টরকে মেশিন করে গুণান, তবে তাদের বিন্দুর পণ্যটি নেতিবাচক হবে না:

• যদি দুটি অভিন্ন ভেক্টরের স্কেলার পণ্যটি শূন্যের সমান হয়, তবে এই ভেক্টরগুলিকে শূন্য বলে মনে করা হয়:

• যদি কোনও ভেক্টর নিজে থেকে গুণিত হয় তবে স্কেলারের পণ্যটি তার মডুলাসের বর্গক্ষেত্রের সমান হবে:

• স্কেলার প্রোডাক্টটির একটি যোগাযোগের সম্পত্তি রয়েছে, অর্থাৎ স্কেলার পণ্যটি ভেক্টরদের অনুমতি থেকে পরিবর্তন হবে না:

• ননজারো ভেক্টরগুলির স্কেলার পণ্য কেবলমাত্র ভেক্টর একে অপরের সাথে লম্ব থাকলে:

• ভেক্টরগুলির স্কেলার পণ্যগুলির জন্য, স্থানচ্যুত আইনটি ভেক্টরগুলির মধ্যে একটির দ্বারা গুণিত করার ক্ষেত্রে বৈধ:

• ডট পণ্য সহ, আপনি গুণনের বিতরণ সম্পত্তিটিও ব্যবহার করতে পারেন:

ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ

প্লেন সমস্যার ক্ষেত্রে, ভ্যাক্টরগুলির স্কেলার পণ্য a \u003d (একটি x; a y) এবং বি \u003d (বি এক্স; বি y) এর নীচের সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:

a b \u003d a x b x + a y b y

স্থানিক সমস্যার জন্য ভেক্টর ডট পণ্য সূত্র

স্থানিক সমস্যার ক্ষেত্রে, ভেক্টরগুলির স্কেলার পণ্য a \u003d (একটি x; a y; a z) এবং বি \u003d (বি এক্স; বি ওয়াই; বি জেড) এর নীচের সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:

a b \u003d a x b x + a y b y + a z b z

এন-মাত্রিক ভেক্টরগুলির ডট পণ্য সূত্র product

এন-ডাইমেনশনাল স্পেসের ক্ষেত্রে, ভেক্টরগুলির স্কেলার প্রোডাক্ট a \u003d (a 1; a 2; ...; n) এবং বি \u003d (বি 1; বি 2; ...; বি এন) নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:

a b \u003d a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

ভেক্টরগুলির বিন্দু পণ্যের বৈশিষ্ট্য

1. নিজেই কোনও ভেক্টরের স্কেলার পণ্য সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান:

২. নিজেই কোনও ভেক্টরের স্কেলারের পণ্যটি শূন্যের সমান হয় এবং কেবল যদি ভেক্টর শূন্য ভেক্টরের সমান হয়:

a a \u003d 0<=> a \u003d 0

৩. নিজেই কোনও ভেক্টরের স্কেলারের পণ্যটি তার মডুলাসের বর্গক্ষেত্রের সমান:

৪. স্কেলার গুণের অপারেশন যোগাযোগের বিষয়:

৫. যদি দুটি ননজারো ভেক্টরের স্কেলার পণ্যটি শূন্যের সমান হয়, তবে এই ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b \u003d 0<=> a ┴ খ

(. ()a) বি \u003d α (এ বি)

Sc. স্কেলার গুণনের অপারেশন বিতরণযোগ্য:

(a + b) c \u003d a c + b c

ভেক্টরগুলির ডট পণ্য গণনা করার জন্য সমস্যার উদাহরণ

বিমান সমস্যার জন্য ভেক্টরগুলির বিন্দু পণ্য গণনা করার উদাহরণ

A \u003d (1; 2) এবং খ \u003d (4; 8) ভেক্টরগুলির বিন্দু পণ্যটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত: a বি \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20।

ভেক্টরগুলির স্কেলার পণ্যটি a এবং b এর দৈর্ঘ্য | a | সন্ধান করুন \u003d 3, | খ | \u003d 6, এবং ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ 60˚ ˚

সিদ্ধান্ত: a b \u003d | a | · | বি | কোস α \u003d 3 6 কোস 60˚ \u003d 9।

ভেক্টরগুলির স্কেলার পণ্যটি সন্ধান করুন p \u003d a + 3b এবং q \u003d 5a - 3 বি তাদের দৈর্ঘ্য যদি | ক | \u003d 3, | খ | \u003d 2, এবং ভেক্টর a এবং b এর মধ্যে কোণ 60˚ ˚

সিদ্ধান্ত:

পি কিউ \u003d (এ + 3 বি) (5 এ - 3 বি) \u003d 5 এ এ - 3 এ বি + 15 বি এ - 9 বি বি \u003d

5 | ক | 2 + 12 ক খ - 9 | খ | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 কোস 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45।

স্থানিক সমস্যার জন্য ভেক্টরগুলির ডট পণ্য গণনার উদাহরণ

A \u003d (1; 2; -5) এবং খ \u003d (4; 8; 1) ভেক্টরের বিন্দু পণ্যটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত: ক খ \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15।

এন-মাত্রিক ভেক্টরগুলির জন্য ডট পণ্য গণনা করার একটি উদাহরণ of

A \u003d (1; 2; -5; 2) এবং খ \u003d (4; 8; 1; -2) এর ভেক্টরগুলির বিন্দুর পণ্য সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত: ক খ \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16 - 5 -4 \u003d 11।

13. ভেক্টর এবং ভেক্টরের ভেক্টর পণ্য বলা হয় তৃতীয় ভেক্টর নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত:

2) লম্ব, লম্ব। (1 "")

3) ভেক্টরগুলি পুরো স্থানের ভিত্তি (ধনাত্মক বা নেতিবাচক) হিসাবে একইভাবে ওরিয়েন্টেড হয়।

পদবী:।

ভেক্টর পণ্যটির শারীরিক অর্থ

- O বিন্দুর তুলনায় বলের মুহূর্ত; - ব্যাসার্ধটি তখন বল প্রয়োগের বিন্দুর ভেক্টর

তদ্ব্যতীত, যদি বিন্দু ওয়ে স্থানান্তরিত হয়, তবে ট্রিপলেটটি অবশ্যই বেস ভেক্টর হিসাবে ভিত্তিক করা উচিত।

সংজ্ঞা ১

ভেক্টরগুলির স্কেলার পণ্যটি এই ভেক্টরগুলির ডিনের পণ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন সমান একটি সংখ্যা।

ভেক্টর a ve এবং b of এর পণ্যগুলির জন্য স্বরলিপিটিতে একটি →, b form রূপ রয়েছে → সূত্রে রূপান্তর করা যাক:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ ^ a → এবং b ve ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বোঝায়, a →, b the given প্রদত্ত ভেক্টরগুলির মধ্যবর্তী কোণকে বোঝায়। যদি কমপক্ষে একটি ভেক্টর শূন্য হয়, যা এর মান 0 হয় তবে ফলাফলটি শূন্য, a →, b → \u003d 0 হবে

যখন ভেক্টরকে নিজেই গুণ করে, আমরা এর দৈর্ঘ্যের বর্গ:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

সংজ্ঞা 2

নিজেই কোনও ভেক্টরের স্কেলার গুণকে স্কেলার স্কোয়ার বলে।

সূত্র দ্বারা গণনা:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ ^

A →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a The স্বরলিপিটি দেখায় যে npb → a a একটি of এর সংখ্যাসূচক প্রক্ষেপণ b →, npa → a respectively হ'ল যথাক্রমে b a এর প্রজেকশন।

আসুন দুটি ভেক্টরের জন্য একটি পণ্যের সংজ্ঞা তৈরি করি:

A → by b two দুটি ভেক্টরের স্কেলার প্রোডাক্টকে যথাক্রমে a b বা প্রজেকশন দ্বারা a - দৈর্ঘ্যের B- দৈর্ঘ্যের গুণক দ্বারা a - প্রজেকশন B দ্বারা ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের পণ্য বলা হয়।

স্থানাঙ্কিতে ডট পণ্য product

কোনও নির্দিষ্ট বিমানে বা মহাকাশে ভেক্টরদের স্থানাঙ্কের মাধ্যমে ডট পণ্যটি গণনা করা যায়।

একটি ত্রি-মাত্রিক স্থানে বিমানের দুটি ভেক্টরের স্কেলার পণ্যটিকে প্রদত্ত ভেক্টরগুলিকে একটি → এবং বি the এর স্থানাঙ্কের যোগ বলে →

কার্টেসিয়ান সিস্টেমে প্রদত্ত ভেক্টর a → \u003d (একটি x, a y), b → \u003d (b x, b y) এর স্কেলার পণ্য গণনার সময়, ব্যবহার করুন:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

ত্রি-মাত্রিক জায়গার জন্য, নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি প্রযোজ্য:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z।

আসলে, এটি ডট পণ্যটির তৃতীয় সংজ্ঞা।

আসুন এটি প্রমাণ করুন।

প্রুফ ঘ

প্রমাণের জন্য, a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax Bx + ay দ্বারা ভেক্টরগুলির জন্য a → \u003d (কুড়াল, আই), বি → \u003d (বিএক্স, বাই) ব্যবহার করুন কার্টেসিয়ান সিস্টেম।

ভেক্টরদের পিছিয়ে দেওয়া উচিত

ও এ → \u003d এ → \u003d এক্স, এ, ও ও বি → \u003d বি → \u003d বি এক্স, বি ওয়।

তারপরে ভেক্টর A B of এর দৈর্ঘ্য A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y) এর সমান হবে।

O A বি একটি ত্রিভুজটি বিবেচনা করুন

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) সত্যই কোসাইন উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে।

শর্ত দ্বারা, এটি দেখা যায় যে হে এ \u003d a →, ও বি \u003d বি →, এ বি \u003d বি → - ক →, ∠ এ ও বি \u003d আ →, বি → ^, সুতরাং ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ অনুসন্ধানের সূত্রটি আলাদাভাবে লেখা হয়েছে

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^)।

তারপরে এটি প্রথম সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে খ → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), সুতরাং (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b) → 2 - বি → - এ → 2)।

ভেক্টরগুলির দৈর্ঘ্য গণনা করার সূত্র প্রয়োগ করে আমরা পাই:
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - কুড়াল) 2 + (দ্বারা - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (বাই - ay) 2) \u003d \u003d কুড়াল bx + ay দ্বারা

আসুন সমতাগুলি প্রমাণ করি:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x বি x + a y বি y + a z বি z

- যথাক্রমে ত্রি-মাত্রিক স্থানের ভেক্টরগুলির জন্য।

স্থানাঙ্ক সহ ভেক্টরগুলির স্কেলার পণ্যটি বলে যে কোনও ভেক্টরের স্কেলার বর্গক্ষেত্র যথাক্রমে স্থান এবং একটি সমতলে তার স্থানাঙ্কগুলির বর্গক্ষেত্রের সমান। a → \u003d (একটি x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) এবং (a →, a →) \u003d একটি x 2 + a y 2।

ডট পণ্য এবং তার বৈশিষ্ট্য

এখানে ডট পণ্যের বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা একটি →, বি → এবং সি for এর জন্য প্রযোজ্য:

1. চলমান (a →, b →) \u003d (বি →, এ →);
2. বিতরণযোগ্যতা (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , সি →);
3. সম্মিলিত সম্পত্তি (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), λ যে কোনও সংখ্যা;
4. স্কেলার বর্গক্ষেত্র সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় (a →, a →) ≥ 0, যেখানে (a →, a →) \u003d 0 ক্ষেত্রে যখন → শূন্য হয়।

উদাহরণ 1

সমতলে ডট পণ্যের সংজ্ঞা এবং আসল সংখ্যার সংযোজন এবং গুণনের গুণাবলীর কারণে বৈশিষ্ট্যগুলি স্পষ্ট করে।

চলমান সম্পত্তি প্রমাণ করুন (a →, b →) \u003d (b →, a →) সংজ্ঞা থেকে, আমাদের কাছে এটি (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y এবং (b →, a →) \u003d b x a x + b y y y।

পরিবহনের বৈশিষ্ট্য অনুসারে, সমতাগুলি x x x x x x x x x x এবং x y x x সত্য, সুতরাং x x x + a y b y \u003d b x x x + b y a y।

এটি অনুসরণ করে যে (a →, b →) \u003d (b →, a →)। Q.E.D.

বিতরণ যে কোনও সংখ্যার জন্য বৈধ:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, খ →) \u003d (ক (1) →, বি →) + (ক (2) →, বি →) +। ... ... + (ক (এন) →, বি →)

এবং (এ →, বি (১) → + বি (২) → + .. + বি (এন) →) \u003d (এ →, বি (১) →) + (এ →, বি (২) →) + ... ... ... + (ক →, বি → (এন)),

সুতরাং আমরা আছে

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, খ (1) → + বি (2) → + ... + বি (এম) →) \u003d (ক ( 1) →, খ (1) →) + (ক (1) →, খ (2)।) + ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, খ (1) →) + (ক (2) →, বি (2)।) + ... ... + (ক (২) →, বি (এম) →) + ... ... + + (ক (এন) →, বি (১) →) + (ক (এন) →, বি (২)।) + ... ... + (ক (এন) →, বি (এম) →)

উদাহরণ এবং সমাধান সহ ডট পণ্য

এই জাতীয় পরিকল্পনার যে কোনও সমস্যা ডট পণ্য সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্য এবং সূত্রগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y বা (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2।

আসুন কিছু সমাধান উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ 2

দৈর্ঘ্য a 3 3, দৈর্ঘ্য বি 7. হয় the কোণটি 60 ডিগ্রি হলে ডট পণ্যটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত

শর্ত অনুসারে, আমাদের কাছে সমস্ত ডেটা রয়েছে, তাই আমরা সূত্র ধরে গণনা করি:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 কোস 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

উত্তর: (a →, b →) \u003d 21 2।

উদাহরণ 3

প্রদত্ত ভেক্টরকে একটি → \u003d (1, - 1, 2 - 3), বি → \u003d (0, 2, 2 + 3)। ডট পণ্য কি।

সিদ্ধান্ত

এই উদাহরণে, স্থানাঙ্ক দ্বারা গণনা করার সূত্রটি বিবেচনা করা হয়, যেহেতু তারা সমস্যার বিবৃতিতে নির্দিষ্ট করা হয়েছে:

(a →, b →) \u003d কুড়াল বিএক্স + এআই + এজে বিজে \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

উত্তর: (a →, b →) \u003d - 9

উদাহরণ 4

ডট পণ্য A B → এবং A C product সন্ধান করুন → সমন্বিত সমতলে পয়েন্ট এ (1, - 3), বি (5, 4), সি (1, 1) দেওয়া হয়।

সিদ্ধান্ত

শুরুতে, ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি গণনা করা হয়, যেহেতু পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি শর্ত দ্বারা দেওয়া হয়:

এ বি → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) এ সি → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে সূত্রে প্রতিস্থাপন করা, আমরা পাই:

(এ বি →, এ সি →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28।

উত্তর: (A B →, A C →) \u003d 28।

উদাহরণ 5

প্রদত্ত ভেক্টরকে একটি → \u003d 7 মি → + 3 এন → এবং বি → \u003d 5 এম m + 8 এন →, তাদের পণ্যটি সন্ধান করুন। m 3 3 এর সমান এবং n 2 2 ইউনিটের সমান, তারা লম্ব হয়।

সিদ্ধান্ত

(a →, b →) \u003d (7 মি → + 3 এন →, 5 মি → + 8 এন →)। বিতরণযোগ্য সম্পত্তি প্রয়োগ করে আমরা পাই:

(7 মি → + 3 এন →, 5 মি → + 8 এন →) \u003d \u003d (7 মি →, 5 মি →) + (7 এম →, 8 এন →) + (3 n →, 5 মি →) + (3 এন →, 8 এন →)

আমরা পণ্যটির সাইন ইন করার জন্য সহগটি বের করি এবং পাই:

(7 মি →, 5 মি →) + (7 মি →, 8 এন →) + (3 এন →, 5 মি →) + (3 এন →, 8 এন →) \u003d \u003d 7 5 (এম →, এম →) + 7 8 (এম →, এন →) + 3 5 (এন →, এম →) + 3 8 (এন →, এন →) \u003d \u003d 35 (এম →, এম →) + 56 (এম →, এন →) + 15 (এন →, এম →) + 24 (এন →, এন →)

পরিবহনের সম্পত্তি দ্বারা, আমরা রূপান্তর করি:

35 (এম →, এম →) + 56 (এম →, এন →) + 15 (এন →, এম →) + 24 (এন →, এন →) \u003d 35 (এম →, এম →) + 56 (এম →, এন →) + 15 (এম →, এন →) + 24 (এন →, এন →) \u003d 35 (এম →, এম →) + 71 (এম →, এন →) ) + 24 (n →, n →)

ফলস্বরূপ, আমরা পাই:

(a →, b →) \u003d 35 (এম →, মি →) + 71 (এম →, এন →) + 24 (এন →, এন →)।

এখন আসুন শর্ত দ্বারা নির্দিষ্ট কোণ দ্বারা বিন্দু পণ্য জন্য সূত্র প্রয়োগ:

(a →, b →) \u003d 35 (এম →, মি →) + 71 (এম →, এন →) + 24 (এন →, এন →) \u003d \u003d 35 মি → 2 + 71 মি → n → কোস (এম →, এন → ^) + 24 এন → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 কোস π 2 + 24 2 2 \u003d 411।

উত্তর: (a →, b →) \u003d 411

যদি একটি সংখ্যার প্রজেকশন হয়।

উদাহরণ 6

একটি → এবং b d বিন্দুর পণ্যটি সন্ধান করুন → ভেক্টর এ → এর স্থানাঙ্কগুলি সহ একটি → \u003d (9, 3, - 3), প্রজেকশন বি → থাকে (- 3, - 1, 1)।

সিদ্ধান্ত

অনুমান দ্বারা, ভেক্টর a → এবং প্রক্ষেপণ বি jection বিপরীতভাবে পরিচালিত হয়, কারণ a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, সুতরাং প্রজেকশন বি the দৈর্ঘ্যের সাথে মিল করে n p a → b → →, এবং চিহ্নটির সাথে "-"

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

সূত্রের পরিবর্তে, আমরা প্রকাশটি পেয়েছি:

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33।

উত্তর: (a →, b →) \u003d - 33।

একটি পরিচিত ডট পণ্য নিয়ে সমস্যা, যেখানে কোনও ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা সংখ্যাসূচক অভিক্ষেপ খুঁজে পাওয়া প্রয়োজন।

উদাহরণ 7

প্রদত্ত স্কেলার পণ্য a → \u003d (1, 0, λ + 1) এবং খ → \u003d (λ, 1, λ) এর মান কী হবে-এর সমান হবে।

সিদ্ধান্ত

সূত্রটি দেখায় যে স্থানাঙ্কগুলির পণ্যগুলির যোগফলটি সন্ধান করা প্রয়োজন:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ।

আমাদের দেওয়া (a →, b →) \u003d - 1।

Find সন্ধান করতে আমরা সমীকরণটি গণনা করি:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, সুতরাং λ \u003d - 1।

উত্তর: λ \u003d - 1।

ডট পণ্যটির শারীরিক অর্থ

মেকানিক্স বিন্দু পণ্যের প্রয়োগ বিবেচনা করে।

একটি অবিচ্ছিন্ন শক্তি F with এর সাথে এ কাজ করার সময় শরীরটি বিন্দু M থেকে N এ সরে যায়, আপনি তাদের মধ্যে মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন সহ ভেক্টর F → এবং M N \u200b\u200bthe এর দৈর্ঘ্যের পণ্যটি খুঁজে পেতে পারেন, যার অর্থ কাজটি বাহিনী এবং স্থানচ্যূতকরণের ভেক্টরগুলির সমান:

এ \u003d (এফ →, এম এন →)

উদাহরণ 8

5 এনটনের সমান একটি শক্তির প্রভাবের অধীনে 3 মিটার দ্বারা পদার্থের বিন্দুটির গতি অক্ষের সাথে 45 ডিগ্রি কোণে পরিচালিত হয়। এ।

সিদ্ধান্ত

যেহেতু কাজটি ফোর্স ভেক্টর এবং স্থানচ্যুতকরণের পণ্য, সুতরাং এর অর্থ F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 condition শর্তের ভিত্তিতে আমরা A \u003d (F →, S →) \u003d F পাই → এস → কোস (এফ →, এস → ^) \u003d 5 3 কোস (45 °) \u003d 15 2 2।

উত্তর: এ \u003d 15 2 2।

উদাহরণ 9

এফ। \u003d (3, 1, 2) বাহিনীর অধীনে এম (2, - 1, - 3) থেকে এন (5, 3 λ - 2, 4) এ সরানো পদার্থটি 13 জে সমান কাজ সম্পাদন করেছে। চলাচলের দৈর্ঘ্য গণনা করে।

সিদ্ধান্ত

ভেক্টর এম এন এর প্রদত্ত স্থানাঙ্কের জন্য আমাদের কাছে এম এন N \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7) রয়েছে।

ভেক্টর F → \u003d (3, 1, 2) এবং এমএন → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) এর সাথে কাজ সন্ধানের সূত্র অনুসারে আমরা A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ) পাই - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3 λ।

অনুমান দ্বারা, এটি দেওয়া হয় যে A \u003d 13 J, যার অর্থ 22 + 3 λ \u003d 13। সুতরাং λ \u003d - 3, সুতরাং এম এন → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7)

স্থানচ্যুতি এম এন → এর দৈর্ঘ্য সন্ধান করতে সূত্রটি প্রয়োগ করুন এবং মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন:

এম এন → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158।

উত্তর: 158।

আপনি যদি পাঠ্যে কোনও ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি নির্বাচন করুন এবং Ctrl + এন্টার টিপুন

ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ

প্রদত্ত দুটি ভেক্টর বিবেচনা করুন \\ \\ ওভারটাইটারো (ক) $ এবং \\ \\ ওভারটাইটারো (খ) $ আসুন আমরা একটি নির্বিচারে নির্বাচিত বিন্দু $ O $ থেকে right \\ ওভাররাইটারো (ক) \u003d \\ ওভাররাইটারো (ওএ) \u003d \\ ওভারটাইটারো (ওবি) aside ভেক্টরকে আলাদা করে রাখি, তারপরে কোণ $ এওবি $কে ভেক্টর $ \\ ওভারট্রোর মধ্যে কোণ বলা হয় ক) $ এবং $ \\ ওভারটাইটারো (খ) $ (ডুমুর। 1)।

ছবি ঘ।

এখানে নোট করুন যে যদি ভেক্টরগুলি right \\ ওভারটাইটারো (ক) $ এবং $ \\ ওভারটাইটারো (বি) c কোডেরেশনাল হয় বা এর মধ্যে একটি শূন্য ভেক্টর হয় তবে ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি $ 0 ^ 0 is হয় $

পদবী: $ \\ প্রশস্ততা (\\ ওভারটাইটারো (ক), \\ ওভারটাইটারো (খ)) $

ভেক্টরগুলির বিন্দু পণ্য

গাণিতিকভাবে, এই সংজ্ঞাটি নীচে লেখা যেতে পারে:

ডট পণ্য দুটি ক্ষেত্রে শূন্য হতে পারে:

যদি কোনও ভেক্টর শূন্য ভেক্টর হয় (তার পর থেকে এর দৈর্ঘ্য শূন্য)।

যদি ভেক্টরগুলি পারস্পরিকভাবে লম্ব হয় (যেমন $ কোস (90) ^ 0 \u003d 0 $)।

এও লক্ষ্য করুন যে এই ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি তীব্র হলে (যেহেতু $ (কোস \\ বাম) (\\ প্রশস্তহাট (\\ ওভারটেট্রো (ক), \\ ওভারস্ট্র্যারো (বি)) \\ ডান))) 0 $) এবং ডট পণ্যটি শূন্যের চেয়ে বেশি হয় এবং শূন্যের চেয়ে কম যদি এই ভেক্টরগুলির মধ্যবর্তী কোণটি অবৈধ হয় (যেহেতু $ (কোস \\ বাম (\\ প্রশস্তহাট (\\ ওভারটাইটারো (ক), \\ ওভারস্ট্রেরো (খ)) \\ ডান)))

স্কেলার বর্গক্ষেত্রের ধারণাটি স্কেলার পণ্য ধারণার সাথে সম্পর্কিত।

সংজ্ঞা 2

ভেক্টরের স্কেলার স্কোয়ার \\ right ওভারটাইটারো (ক) itself নিজেই এই ভেক্টরের স্কেলারের পণ্য।

আমরা পেয়েছি যে স্কেলার স্কোয়ারটি

\\ [\\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ওভাররাইট্যারো (ক) \u003d \\ বাম | \\ ওভারটাইট্রো (ক) \\ ডান | \\ বাম | \\ ওভারটাইট্রো (ক) \\ ডান | (ক্যাস 0 ^ 0 \\) \u003d \\ বাম | \\ ওভারটাইট্রো (ক) ) \\ ডান | \\ বাম | \\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ডান | \u003d (\\ বাম | \\ ওভারস্ট্রেরো (ক) \\ ডান |) ^ 2 \\]

ভেক্টরের স্থানাঙ্ক থেকে ডট পণ্য গণনা করা হচ্ছে

সংজ্ঞাটি অনুসরণ করে ডট পণ্যের মান সন্ধানের মানক উপায় ছাড়াও, আরও একটি উপায় রয়েছে।

আসুন এটি বিবেচনা করা যাক।

ভেক্টরগুলিকে যথাক্রমে right \\ ওভারটাইটারো (ক) $ এবং $ \\ ওভারটাইটারো (বি) coord স্থানাঙ্ক Let \\ বাম (a_1, b_1 \\ ডান) $ এবং $ \\ বাম (a_2, b_2 \\ ডান) $

উপপাদ্য ঘ

ভেক্টরগুলির স্কেলার পণ্য \\ \\ ওভারটাইটারো (ক) $ এবং $ \\ ওভারটাইটারো (খ) correspond সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির পণ্যগুলির যোগফলের সমান।

গাণিতিকভাবে, এটি নিম্নলিখিত হিসাবে লেখা যেতে পারে

\\ [\\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ওভারটাইটারো (খ) \u003d a_1a_2 + বি_1 বি \\]

প্রমান.

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।

এই উপপাদ্যের বিভিন্ন পরিণতি রয়েছে:

প্রত্যয় 1: ভেক্টরগুলি right right ওভারটাইটারো (ক) $ এবং $ \\ ওভারটাইটারো (খ) per লম্ব হয় যদি এবং কেবল যদি $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $

করোলারি 2: ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটির কোসাইন হ'ল $ কোস \\ আলফা \u003d \\ ফ্র্যাক (a_1a_2 + বি_1b_2) (\\ স্কয়ার্ট (একটি ^ 2_1 + বি ^ 2_1) \\ সিডট \\ স্ক্র্যাট (একটি ^ 2_2 + বি ^ 2_2)) $

ভেক্টরগুলির বিন্দু পণ্যের বৈশিষ্ট্য

যে কোনও তিনটি ভেক্টর এবং একটি আসল সংখ্যার জন্য $ কে $ এটি সত্য:

$ (\\ ওভারটাইটারো (ক)) ^ 2 \\ গে 0 $ $

এই সম্পত্তিটি স্কেলার স্কোয়ারের সংজ্ঞা (সংজ্ঞা 2) থেকে অনুসরণ করে।

ভ্রমণ আইন: right \\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ওভারটাইটারো (খ) \u003d \\ ওভারটাইটারো (খ) \\ ওভারটাইটারো (ক)।

এই সম্পত্তিটি বিন্দু পণ্যের সংজ্ঞা (সংজ্ঞা 1) থেকে অনুসরণ করে।

বিতরণ আইন:

\\ \\ বাম (\\ ওভারটাইটারো (ক) + \\ ওভারটেট্রো (খ) \\ ডান) \\ ওভাররাইট্রো (সি) \u003d \\ ওভারটাইট্রো (ক) \\ ওভারটেট্রো (সি) + \\ ওভারটাইটারো (খ) \\ ওভারটাইটারো (সি) $ $ শেষ (গণনা করা)

উপপাদ্য 1 দ্বারা, আমাদের আছে:

\\ [\\ বাম (\\ ওভারটাইটারো (ক) + \\ ওভারটাইটারো (খ) \\ ডান) \\ ওভারটাইট্রো (সি) \u003d \\ বাম (a_1 + a_2 \\ ডান) a_3 + \\ বাম (বি_1 + বি_2 \\ ডান) বি_3 \u003d a_1a_3 + এ_2 এ_3 b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ওভারটাইটারো (সি) + \\ ওভারটাইটারো (খ) \\ ওভারটাইটারো (সি) \\]

সংমিশ্রণ আইন: $ \\ বাম (কে \\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ডান) \\ ওভারটেট্রো (খ) \u003d কে (\\ ওভারস্ট্রেরো (ক) \\ ওভারস্ট্রেরো (খ)) $ শেষ (গণনা করা)

উপপাদ্য 1 দ্বারা, আমাদের আছে:

\\ [\\ বাম (কে \\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ডান) \\ ওভারটেট্রো (খ) \u003d কা_এ_২ + কেবি_1 বি \u003d \u003d কে \\ বাম (a_1a_2 + বি_1 বি_2 \\ ডান) \u003d কে (\\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ওভারটাইটারো (খ)) \\]

ভেক্টরগুলির ডট পণ্য গণনা করার জন্য একটি সমস্যার উদাহরণ

উদাহরণ 1

Ct \\ ওভারটাইটারো (ক) $ এবং $ \\ ওভারটাইটারো (বি) $ যদি $ \\ বাম | \\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ডান | \u003d 3 $ এবং $ \\ বাম | \\ ওভারটাইটারো (খ) \\ ডান | \u003d 2 $, এবং তাদের মধ্যে কোণটি হ'ল $ ((30) ^ 0, \\ 45) ^ 0, \\ (90) ^ 0, \\ (135) ^ 0 $ $

সিদ্ধান্ত।

সংজ্ঞা 1 ব্যবহার করে, আমরা পাই

$ (30) এর জন্য ^ 0: $

\\ [\\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ওভারটাইটারো (খ) \u003d ((কোস \\ বাম ((30) ^ 0 \\ ডান)) \\) \u003d 6 \\ সিডট \\ ফ্র্যাক (\\ স্কয়ার্ট (3)) (2) \u003d 3 q স্কয়ার্ট ( 3) \\]

$ (45) ^ 0: For এর জন্য $

\\ [\\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ওভারটাইটারো (খ) \u003d ((কোস \\ বাম ((45) ^ 0 \\ ডান)) \\) \u003d 6 \\ সিডট \\ ফ্র্যাক (\\ বর্গ (2)) (2) \u003d 3 \\ বর্গ ( 2) \\]

$ (90) এর জন্য ^ 0: $

\\ [\\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ওভারটাইটারো (খ) \u003d ((কোস \\ বাম ((90) ^ 0 \\ ডান)) \\) \u003d 6 \\ সিডট 0 \u003d 0 \\]

$ (135) এর জন্য ^ 0: $ $

\\ [\\ ওভারটাইটারো (ক) \\ ওভারটাইটারো (খ) \u003d ((কোস \\ বাম ((১৩৫) ^ ০ \\ ডান)) \\) \u003d \\ সিডট \\ বাম (- \\ ফ্রেক (q স্ক্র্যাট (২)) (২) \\ অনুরূপ নিবন্ধ