গাউসিয়ান ম্যাট্রিক্স। ডমিগুলির জন্য গাউসীয় পদ্ধতি: সমাধানের উদাহরণ। গাউস বিধি ব্যবহারের জন্য সমস্যা

রৈখিক বীজগণিত সমীকরণগুলির একটি সিস্টেম দেওয়া যাক, যা অবশ্যই সমাধান করা উচিত (অজানা এরকম মানগুলি খুঁজে পেতে xi যা সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে সমতায় পরিণত করে)।

আমরা জানি যে লিনিয়ার বীজগণিত সমীকরণগুলির একটি সিস্টেম এটি করতে পারে:

1) কোন সমাধান আছে (হতে বেমানান).
2) অসীম অনেক সমাধান আছে।
3) একটি অনন্য সমাধান আছে।

যেমনটি আমরা মনে করি, ক্রিমারের নিয়ম এবং ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিটি ক্ষেত্রে প্রয়োগযোগ্য নয় যেখানে সিস্টেমে সীমাহীনভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে বা বেমানান। গৌস পদ্ধতি – রৈখিক সমীকরণের যে কোনও সিস্টেমের সমাধান সন্ধান করার জন্য সবচেয়ে শক্তিশালী এবং বহুমুখী সরঞ্জাম, কোনটি প্রতিটি ক্ষেত্রেআমাদের উত্তরে নেতৃত্ব দেবে! পদ্ধতির অ্যালগরিদম নিজেই তিনটি ক্ষেত্রে একই কাজ করে। যদি ক্র্যামার এবং ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিগুলিতে নির্ধারকগুলির জ্ঞান প্রয়োজন হয় তবে গাউস পদ্ধতি প্রয়োগ করতে কেবল গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির জ্ঞান প্রয়োজনীয় যা এটি প্রাথমিক বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্যও অ্যাক্সেসযোগ্য করে তোলে।

বর্ধিত ম্যাট্রিক্স রূপান্তর ( এটি সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স - কেবল অজানা সহগের সমন্বিত একটি ম্যাট্রিক্স, এবং বিনামূল্যে শর্তাদি একটি কলাম)গাউস পদ্ধতিতে লিনিয়ার বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমগুলি:

1) থেকে স্ট্রিং ম্যাট্রিক্স করতে পারা পুনরায় সাজানোঐ স্থানে.

2) যদি ম্যাট্রিক্সে (বা হয়) আনুপাতিক (বিশেষ ক্ষেত্রে - একই) সারি থাকে তবে এটি অনুসরণ করে মুছে ফেলা ম্যাট্রিক্স থেকে এই সমস্ত সারি বাদে।

3) রূপান্তরকালে ম্যাট্রিক্সে যদি একটি শূন্য সারি উপস্থিত হয়, তবে এটিও অনুসরণ করে মুছে ফেলা.

4) ম্যাট্রিক্সের সারিটি হতে পারে গুন (ভাগ)শূন্য ব্যতীত অন্য যে কোনও সংখ্যায়।

5) ম্যাট্রিক্সের সারি হতে পারে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণিত অন্য স্ট্রিং যোগ করুনননজারো

গাউস পদ্ধতিতে, প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সমীকরণের পদ্ধতির সমাধান পরিবর্তন করে না।

গাউস পদ্ধতি দুটি স্তর নিয়ে গঠিত:

1. "ডাইরেক্ট মুভ" - প্রাথমিক রূপান্তরগুলির সহায়তায় লিনিয়ার বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সকে একটি "ত্রিভুজাকার" ধাপে ধাপে কমিয়ে দিন: মূল তির্যকের নীচে অবস্থিত বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি শূন্যের সমান ("শীর্ষ-ডাউন" পদক্ষেপ)। উদাহরণস্বরূপ, এই ফর্মটি:

এটি করার জন্য, নিম্নলিখিত ধাপগুলি অনুসরণ করুন:

1) ধরুন আমরা লিনিয়ার বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেমের প্রথম সমীকরণ বিবেচনা করি এবং x 1 এর সহগ কে এর সমান, দ্বিতীয়, তৃতীয় ইত্যাদি etc. সমীকরণগুলি নিম্নরূপে রূপান্তরিত হয়: প্রতিটি সমীকরণ (অজানাগুলির জন্য সহগমগুলি, বিনামূল্যে শর্তাদি সহ) প্রতিটি সমীকরণে দাঁড়িয়ে অজানা x 1 এর জন্য সহগ দ্বারা বিভাজিত হয় এবং কে দ্বারা গুণিত হয় that এর পরে, আমরা দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথম বিয়োগ করি (অজানা এবং মুক্ত পদগুলির সহগ)। আমরা দ্বিতীয় সমীকরণে x 1 এর জন্য সহগ্য 0 পাই। তৃতীয় রূপান্তরিত সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণটি বিয়োগ করুন সমস্ত সমীকরণ বাদে, প্রথম ব্যতীত, অজানা x 1 এর 0 এর সহগ আছে।

2) পরবর্তী সমীকরণ যান। এটি দ্বিতীয় সমীকরণ হতে দিন এবং x 2 এ গুণফল এম এর সমান হয় সমস্ত "নিম্ন" সমীকরণের সাথে, আমরা উপরে বর্ণিত হিসাবে এগিয়ে চলি। সুতরাং, সমস্ত সমীকরণের "অজানা" অজানা x 2 হবে শূন্য।

3) পরবর্তী সমীকরণে যান এবং এভাবে শেষ অবধি অজানা এবং রূপান্তরিত মুক্ত শব্দটি না পাওয়া পর্যন্ত।

1. গৌস পদ্ধতির "বিপরীত" - রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের ব্যবস্থার ("নীচে-আপ" পদক্ষেপ) এর সমাধান প্রাপ্তি। শেষ "নিম্ন" সমীকরণ থেকে আমরা একটি প্রথম সমাধান পাই - অজানা এক্স এন। এটি করার জন্য, আমরা প্রাথমিক সমীকরণ এ * x এন \u003d বি সমাধান করি উপরের উদাহরণে, x 3 \u003d 4. প্রাপ্ত প্রাপ্ত মানটিকে "উপরের" পরবর্তী সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন এবং পরবর্তী অজানা সম্পর্কিত এটি সমাধান করুন। উদাহরণস্বরূপ, x 2 - 4 \u003d 1, অর্থাত্ x 2 \u003d 5. এবং যতক্ষণ না আমরা সমস্ত অজানা খুঁজে পাই।

উদাহরণ।

আসুন গৌস পদ্ধতি দ্বারা রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন, যেমন কিছু লেখক পরামর্শ দেন:

আসুন আমরা সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সটি লিখি এবং প্রাথমিক ট্রান্সফর্মেশনগুলি ব্যবহার করে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসি:

আমরা উপরের বাম দিকে "পদক্ষেপ" তাকান। আমাদের সেখানে একটি ইউনিট থাকা উচিত। সমস্যাটি হ'ল প্রথম কলামে মোটেও কোনও নেই, সুতরাং সারিগুলি পুনরায় সাজানো কোনও সমস্যার সমাধান করবে না। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ইউনিটটিকে প্রাথমিক ট্রান্সফর্মেশন ব্যবহার করে সংগঠিত করা দরকার। এটি সাধারণত বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে। চল এটা করি:
1 পদক্ষেপ ... প্রথম লাইনে -1 দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় লাইন যুক্ত করুন। এটি হ'ল আমরা মানসিকভাবে দ্বিতীয় লাইনটি –1 দ্বারা গুণিত করেছি এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় লাইন যুক্ত করেছি, যখন দ্বিতীয় লাইনটি পরিবর্তন হয়নি।

এখন উপরের বামে "মাইনাস ওয়ান" রয়েছে যা আমাদের পক্ষে ভাল is যে কেউ +1 পেতে চায় একটি অতিরিক্ত ক্রিয়া সম্পাদন করতে পারে: প্রথম লাইনটি –1 দিয়ে গুন করুন (এর চিহ্নটি পরিবর্তন করুন)।

ধাপ ২ ... 5 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যুক্ত হয়েছিল 3 প্রথম গুণটি 3 দ্বারা গুণিত তৃতীয় লাইনে যুক্ত হয়েছিল।

ধাপ 3 ... প্রথম লাইনটি -1 দ্বারা গুণিত হয়েছিল, নীতিগতভাবে, এটি সৌন্দর্যের জন্য। তৃতীয় লাইনের চিহ্নটিও পরিবর্তন করা হয়েছিল এবং এটি দ্বিতীয় স্থানে স্থানান্তরিত হয়েছিল, সুতরাং, দ্বিতীয় "পদক্ষেপে, আমাদের প্রয়োজনীয় ইউনিট রয়েছে।

পদক্ষেপ 4 ... তৃতীয় লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যুক্ত হয়েছিল 2 দ্বারা গুণিত হয়েছিল।

পদক্ষেপ 5 ... তৃতীয় লাইনটি 3 দ্বারা বিভক্ত হয়েছিল।

একটি চিহ্ন যা গণনার ক্ষেত্রে ত্রুটি নির্দেশ করে (কম প্রায়ই - একটি টাইপো) এটি "খারাপ" নীচের লাইন। এটি হ'ল, যদি নীচে আমরা (0 0 11 | 23) এর মতো কিছু পেয়েছি এবং তদনুসারে, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, তবে উচ্চমাত্রার সম্ভাবনার সাথে যুক্তিযুক্ত হতে পারে যে একটি ত্রুটি চলাকালীন হয়েছিল প্রাথমিক রূপান্তর

আমরা উদাহরণগুলির নকশায় বিপরীত পদক্ষেপ গ্রহণ করি, সিস্টেম নিজেই প্রায়শই নতুন করে লেখা হয় না এবং সমীকরণগুলি "প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স থেকে সরাসরি নেওয়া হয়।" বিপরীত পদক্ষেপ, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দেব, নীচ থেকে উপরে কাজ করে। এই উদাহরণে, আমরা একটি উপহার পেয়েছি:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, তাই x 1 + 3 - 1 \u003d 1, এক্স 1 \u003d –1

উত্তর: x 1 \u003d –1, এক্স 2 \u003d 3, এক্স 3 \u003d 1।

প্রস্তাবিত অ্যালগরিদম অনুযায়ী একই সিস্টেমটি সমাধান করা যাক। আমরা পেতে

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

দ্বিতীয় সমীকরণটি 5 দ্বারা এবং তৃতীয়টি 3 দ্বারা ভাগ করুন আমরা পাই:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণন করা, আমরা পাই:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণ বিয়োগ করা, আমাদের আছে:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

তৃতীয় সমীকরণ 0.64 দ্বারা ভাগ করুন:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

তৃতীয় সমীকরণকে ০.৪ দিয়ে গুণ করুন

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

"পদক্ষেপের" বর্ধিত ম্যাট্রিক্স পেতে তৃতীয় সমীকরণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করি:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

সুতরাং, গণনার সময় ত্রুটি জমা হওয়ার পরে, আমরা এক্স 3 \u003d 0.96 বা প্রায় 1 পেয়েছি।

x 2 \u003d 3 এবং x 1 \u003d –1।

এইভাবে সমাধান করা, আপনি কখনই গণনাগুলিতে বিভ্রান্ত হবেন না এবং গণনার ত্রুটি সত্ত্বেও, আপনি ফলাফল পাবেন।

লিনিয়ার বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করার এই পদ্ধতিটি সহজেই প্রোগ্রামযোগ্য এবং অজানাদের জন্য সহগের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলিকে বিবেচনা করে না, কারণ অনুশীলনে (অর্থনৈতিক এবং প্রযুক্তিগত গণনায়) কাউকে অ-পূর্ণসংখ্য সহগের সাথে মোকাবিলা করতে হয়।

তোমার সাফল্য কামনা করছি! ক্লাসে দেখা হবে! গৃহশিক্ষক

ব্লগ। সাইট, সামগ্রীর সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উত্সের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

রৈখিক বীজগণিত সমীকরণগুলির একটি সিস্টেম দেওয়া যাক, যা অবশ্যই সমাধান করা উচিত (অজানা এরকম মানগুলি খুঁজে পেতে xi যা সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে সমতায় পরিণত করে)।

আমরা জানি যে লিনিয়ার বীজগণিত সমীকরণগুলির একটি সিস্টেম এটি করতে পারে:

1) কোন সমাধান আছে (হতে বেমানান).
2) অসীম অনেক সমাধান আছে।
3) একটি অনন্য সমাধান আছে।

যেমনটি আমরা মনে করি, ক্রিমারের নিয়ম এবং ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিটি ক্ষেত্রে প্রয়োগযোগ্য নয় যেখানে সিস্টেমে সীমাহীনভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে বা বেমানান। গৌস পদ্ধতি – রৈখিক সমীকরণের যে কোনও সিস্টেমের সমাধান সন্ধান করার জন্য সবচেয়ে শক্তিশালী এবং বহুমুখী সরঞ্জাম, কোনটি প্রতিটি ক্ষেত্রেআমাদের উত্তরে নেতৃত্ব দেবে! পদ্ধতির অ্যালগরিদম নিজেই তিনটি ক্ষেত্রে একই কাজ করে। যদি ক্র্যামার এবং ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিগুলিতে নির্ধারকগুলির জ্ঞান প্রয়োজন হয় তবে গাউস পদ্ধতি প্রয়োগ করতে কেবল গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির জ্ঞান প্রয়োজনীয় যা এটি প্রাথমিক বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্যও অ্যাক্সেসযোগ্য করে তোলে।

বর্ধিত ম্যাট্রিক্স রূপান্তর ( এটি সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স - কেবল অজানা সহগের সমন্বিত একটি ম্যাট্রিক্স, এবং বিনামূল্যে শর্তাদি একটি কলাম)গাউস পদ্ধতিতে লিনিয়ার বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমগুলি:

1) থেকে স্ট্রিং ম্যাট্রিক্স করতে পারা পুনরায় সাজানোঐ স্থানে.

2) যদি ম্যাট্রিক্সে (বা হয়) আনুপাতিক (বিশেষ ক্ষেত্রে - একই) সারি থাকে তবে এটি অনুসরণ করে মুছে ফেলা ম্যাট্রিক্স থেকে এই সমস্ত সারি বাদে।

3) রূপান্তরকালে ম্যাট্রিক্সে যদি একটি শূন্য সারি উপস্থিত হয়, তবে এটিও অনুসরণ করে মুছে ফেলা.

4) ম্যাট্রিক্সের সারিটি হতে পারে গুন (ভাগ)শূন্য ব্যতীত অন্য যে কোনও সংখ্যায়।

5) ম্যাট্রিক্সের সারি হতে পারে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণিত অন্য স্ট্রিং যোগ করুনননজারো

গাউস পদ্ধতিতে, প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সমীকরণের পদ্ধতির সমাধান পরিবর্তন করে না।

গাউস পদ্ধতি দুটি স্তর নিয়ে গঠিত:

1. "ডাইরেক্ট মুভ" - প্রাথমিক রূপান্তরগুলির সহায়তায় লিনিয়ার বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সকে একটি "ত্রিভুজাকার" ধাপে ধাপে কমিয়ে দিন: মূল তির্যকের নীচে অবস্থিত বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি শূন্যের সমান ("শীর্ষ-ডাউন" পদক্ষেপ)। উদাহরণস্বরূপ, এই ফর্মটি:

এটি করার জন্য, নিম্নলিখিত ধাপগুলি অনুসরণ করুন:

1) ধরুন আমরা লিনিয়ার বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেমের প্রথম সমীকরণ বিবেচনা করি এবং x 1 এর সহগ কে এর সমান, দ্বিতীয়, তৃতীয় ইত্যাদি etc. সমীকরণগুলি নিম্নরূপে রূপান্তরিত হয়: প্রতিটি সমীকরণ (অজানাগুলির জন্য সহগমগুলি, বিনামূল্যে শর্তাদি সহ) প্রতিটি সমীকরণে দাঁড়িয়ে অজানা x 1 এর জন্য সহগ দ্বারা বিভাজিত হয় এবং কে দ্বারা গুণিত হয় that এর পরে, আমরা দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথম বিয়োগ করি (অজানা এবং মুক্ত পদগুলির সহগ)। আমরা দ্বিতীয় সমীকরণে x 1 এর জন্য সহগ্য 0 পাই। তৃতীয় রূপান্তরিত সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণটি বিয়োগ করুন সমস্ত সমীকরণ বাদে, প্রথম ব্যতীত, অজানা x 1 এর 0 এর সহগ আছে।

2) পরবর্তী সমীকরণ যান। এটি দ্বিতীয় সমীকরণ হতে দিন এবং x 2 এ গুণফল এম এর সমান হয় সমস্ত "নিম্ন" সমীকরণের সাথে, আমরা উপরে বর্ণিত হিসাবে এগিয়ে চলি। সুতরাং, সমস্ত সমীকরণের "অজানা" অজানা x 2 হবে শূন্য।

3) পরবর্তী সমীকরণে যান এবং এভাবে শেষ অবধি অজানা এবং রূপান্তরিত মুক্ত শব্দটি না পাওয়া পর্যন্ত।

1. গৌস পদ্ধতির "বিপরীত" - রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের ব্যবস্থার ("নীচে-আপ" পদক্ষেপ) এর সমাধান প্রাপ্তি। শেষ "নিম্ন" সমীকরণ থেকে আমরা একটি প্রথম সমাধান পাই - অজানা এক্স এন। এটি করার জন্য, আমরা প্রাথমিক সমীকরণ এ * x এন \u003d বি সমাধান করি উপরের উদাহরণে, x 3 \u003d 4. প্রাপ্ত প্রাপ্ত মানটিকে "উপরের" পরবর্তী সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন এবং পরবর্তী অজানা সম্পর্কিত এটি সমাধান করুন। উদাহরণস্বরূপ, x 2 - 4 \u003d 1, অর্থাত্ x 2 \u003d 5. এবং যতক্ষণ না আমরা সমস্ত অজানা খুঁজে পাই।

উদাহরণ।

আসুন গৌস পদ্ধতি দ্বারা রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন, যেমন কিছু লেখক পরামর্শ দেন:

আসুন আমরা সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সটি লিখি এবং প্রাথমিক ট্রান্সফর্মেশনগুলি ব্যবহার করে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসি:

আমরা উপরের বাম দিকে "পদক্ষেপ" তাকান। আমাদের সেখানে একটি ইউনিট থাকা উচিত। সমস্যাটি হ'ল প্রথম কলামে মোটেও কোনও নেই, সুতরাং সারিগুলি পুনরায় সাজানো কোনও সমস্যার সমাধান করবে না। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ইউনিটটিকে প্রাথমিক ট্রান্সফর্মেশন ব্যবহার করে সংগঠিত করা দরকার। এটি সাধারণত বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে। চল এটা করি:
1 পদক্ষেপ ... প্রথম লাইনে -1 দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় লাইন যুক্ত করুন। এটি হ'ল আমরা মানসিকভাবে দ্বিতীয় লাইনটি –1 দ্বারা গুণিত করেছি এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় লাইন যুক্ত করেছি, যখন দ্বিতীয় লাইনটি পরিবর্তন হয়নি।

এখন উপরের বামে "মাইনাস ওয়ান" রয়েছে যা আমাদের পক্ষে ভাল is যে কেউ +1 পেতে চায় একটি অতিরিক্ত ক্রিয়া সম্পাদন করতে পারে: প্রথম লাইনটি –1 দিয়ে গুন করুন (এর চিহ্নটি পরিবর্তন করুন)।

ধাপ ২ ... 5 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যুক্ত হয়েছিল 3 প্রথম গুণটি 3 দ্বারা গুণিত তৃতীয় লাইনে যুক্ত হয়েছিল।

ধাপ 3 ... প্রথম লাইনটি -1 দ্বারা গুণিত হয়েছিল, নীতিগতভাবে, এটি সৌন্দর্যের জন্য। তৃতীয় লাইনের চিহ্নটিও পরিবর্তন করা হয়েছিল এবং এটি দ্বিতীয় স্থানে স্থানান্তরিত হয়েছিল, সুতরাং, দ্বিতীয় "পদক্ষেপে, আমাদের প্রয়োজনীয় ইউনিট রয়েছে।

পদক্ষেপ 4 ... তৃতীয় লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যুক্ত হয়েছিল 2 দ্বারা গুণিত হয়েছিল।

পদক্ষেপ 5 ... তৃতীয় লাইনটি 3 দ্বারা বিভক্ত হয়েছিল।

একটি চিহ্ন যা গণনার ক্ষেত্রে ত্রুটি নির্দেশ করে (কম প্রায়ই - একটি টাইপো) এটি "খারাপ" নীচের লাইন। এটি হ'ল, যদি নীচে আমরা (0 0 11 | 23) এর মতো কিছু পেয়েছি এবং তদনুসারে, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, তবে উচ্চমাত্রার সম্ভাবনার সাথে যুক্তিযুক্ত হতে পারে যে একটি ত্রুটি চলাকালীন হয়েছিল প্রাথমিক রূপান্তর

আমরা উদাহরণগুলির নকশায় বিপরীত পদক্ষেপ গ্রহণ করি, সিস্টেম নিজেই প্রায়শই নতুন করে লেখা হয় না এবং সমীকরণগুলি "প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স থেকে সরাসরি নেওয়া হয়।" বিপরীত পদক্ষেপ, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দেব, নীচ থেকে উপরে কাজ করে। এই উদাহরণে, আমরা একটি উপহার পেয়েছি:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, তাই x 1 + 3 - 1 \u003d 1, এক্স 1 \u003d –1

উত্তর: x 1 \u003d –1, এক্স 2 \u003d 3, এক্স 3 \u003d 1।

প্রস্তাবিত অ্যালগরিদম অনুযায়ী একই সিস্টেমটি সমাধান করা যাক। আমরা পেতে

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

দ্বিতীয় সমীকরণটি 5 দ্বারা এবং তৃতীয়টি 3 দ্বারা ভাগ করুন আমরা পাই:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণন করা, আমরা পাই:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণ বিয়োগ করা, আমাদের আছে:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

তৃতীয় সমীকরণ 0.64 দ্বারা ভাগ করুন:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

তৃতীয় সমীকরণকে ০.৪ দিয়ে গুণ করুন

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

"পদক্ষেপের" বর্ধিত ম্যাট্রিক্স পেতে তৃতীয় সমীকরণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করি:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

সুতরাং, গণনার সময় ত্রুটি জমা হওয়ার পরে, আমরা এক্স 3 \u003d 0.96 বা প্রায় 1 পেয়েছি।

x 2 \u003d 3 এবং x 1 \u003d –1।

এইভাবে সমাধান করা, আপনি কখনই গণনাগুলিতে বিভ্রান্ত হবেন না এবং গণনার ত্রুটি সত্ত্বেও, আপনি ফলাফল পাবেন।

লিনিয়ার বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করার এই পদ্ধতিটি সহজেই প্রোগ্রামযোগ্য এবং অজানাদের জন্য সহগের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলিকে বিবেচনা করে না, কারণ অনুশীলনে (অর্থনৈতিক এবং প্রযুক্তিগত গণনায়) কাউকে অ-পূর্ণসংখ্য সহগের সাথে মোকাবিলা করতে হয়।

তোমার সাফল্য কামনা করছি! ক্লাসে দেখা হবে! টিউটর দিমিত্রি আইস্ট্রখানভ।

সাইট, সামগ্রীর সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উত্সের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

গৌস পদ্ধতি দ্বারা রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির সমাধান।আসুন আমাদের থেকে সিস্টেমটির একটি সমাধান অনুসন্ধান করা দরকার এন লিনিয়ার সমীকরণ এন অজানা পরিবর্তনশীল
যার প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হ'ল ননজারো।

গাউস পদ্ধতির সারমর্ম অজানা ভেরিয়েবলের ক্রমাগত নির্মূলকরণ নিয়ে গঠিত: প্রথম, x 1 সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ থেকে, দ্বিতীয়টি দিয়ে শুরু করে, আরও বাদ দিন এক্স 2তৃতীয়টি দিয়ে শুরু হওয়া সমস্ত সমীকরণের এবং অন্যদিকে, কেবলমাত্র অজানা ভেরিয়েবল শেষ সমীকরণে অবশেষ না থাকে x এন... অজানা ভেরিয়েবলের ক্রমাগত নির্মূলের জন্য সিস্টেমের সমীকরণগুলিকে পরিবর্তনের এমন প্রক্রিয়া বলা হয় গাউস পদ্ধতির সরাসরি কোর্স দ্বারা... শেষ সমীকরণ থেকে গাউস পদ্ধতির ফরোয়ার্ড রান শেষ করার পরে আমরা সন্ধান করি x এন, পেনাল্টিমেট সমীকরণ থেকে এই মানটি ব্যবহার করে গণনা করা হয় x n-1, এবং এমন কি, প্রথম সমীকরণটি আমরা খুঁজে পাই x 1... সিস্টেমের শেষ সমীকরণ থেকে প্রথমের দিকে যাওয়ার সময় অজানা ভেরিয়েবল গণনার প্রক্রিয়া বলা হয় পিছিয়ে গাউসিয়ান পদ্ধতি.

আসুন অজানা ভেরিয়েবলগুলি মুছে ফেলার জন্য অ্যালগরিদমকে সংক্ষেপে বর্ণনা করি।

আমরা ধরে নেব, যেহেতু আমরা সবসময় সিস্টেমের সমীকরণগুলিকে পুনর্বিন্যাস করে এটি অর্জন করতে পারি। অজানা পরিবর্তনশীল বর্জন করুন x 1 দ্বিতীয়টি দিয়ে শুরু করে সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ থেকে। এটি করার জন্য, সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণে আমরা প্রথমটি একটি দ্বারা গুণিত করে তৃতীয় সমীকরণের সাথে প্রথম সংখ্যাকে যোগ করি এবং আরও নবমসমীকরণে আমরা প্রথম দ্বারা গুণিত প্রথম যুক্ত করি। এই জাতীয় রূপান্তরের পরে সমীকরণের পদ্ধতিটি রূপ নেয়

যেখানে একটি.

আমরা যদি প্রকাশ করি তবে আমরা একই ফলাফলটিতে পৌঁছে যাব x 1 সিস্টেমের প্রথম সমীকরণে অন্যান্য অজানা ভেরিয়েবলগুলির মাধ্যমে এবং ফলস্বরূপ প্রকাশটি সমস্ত অন্যান্য সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয়েছিল। সুতরাং পরিবর্তনশীল x 1 সমস্ত সমীকরণ থেকে বাদ, দ্বিতীয় দিয়ে শুরু।

এর জন্য, সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণে আমরা দ্বিতীয় দ্বারা গুণিত দ্বিতীয়টি যোগ করি, চতুর্থ সমীকরণের সাথে আমরা দ্বিতীয়টি দ্বারা আরও বহুগুণ যোগ করি এবং আরও নবমসমীকরণে আমরা দ্বিতীয় যোগ করি, দ্বারা গুণিত করি। এই জাতীয় রূপান্তরের পরে সমীকরণের পদ্ধতিটি রূপ নেয়

যেখানে একটি. সুতরাং পরিবর্তনশীল এক্স 2 তৃতীয়টি দিয়ে শুরু করে সমস্ত সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া।

সুতরাং আমরা সিস্টেমটি রূপ না নেওয়া পর্যন্ত গৌস পদ্ধতির প্রত্যক্ষ পাঠ্যক্রম অব্যাহত রাখি

এই দিক থেকে, আমরা গাউস পদ্ধতির বিপরীত কোর্সটি শুরু করি: গণনা করুন x এন প্রাপ্ত মানটি ব্যবহার করে সর্বশেষ সমীকরণ থেকে x এন অনুসন্ধান x n-1 পেনাল্টিমেট সমীকরণ এবং অন্যান্য থেকে, আমরা সন্ধান করি x 1 প্রথম সমীকরণ থেকে

উদাহরণ।

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে লিনিয়ার সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন। ...

উত্তর:

x 1 \u003d 4, এক্স 2 \u003d 0, এক্স 3 \u003d -1.

আরএইচবি সংরক্ষণের মিলিটারি ইউনিভার্সিটির কোস্ট্রোম ব্রাঞ্চ

"কমান্ড অটোমেশন এবং সৈন্যদের নিয়ন্ত্রণ" বিভাগ

কেবল শিক্ষকদের জন্য

"আমি অনুমোদন করেছি"

বিভাগীয় প্রধান 9 নং

কর্নেল এ বি ইয়াকোভেলভ

"____" ______________ 2004

সহযোগী অধ্যাপক এ.আই. স্মারনোভা

"বিষয়গুলি। গাসের পদ্ধতি"

লেকচার নং 2/3

নয় নম্বর বিভাগের সভায় আলোচনা হয়েছে

"____" ___________ 2003

মিনিট নং ___________

কোস্ট্রোমা, 2003

গঘোর

ভূমিকা

1. ম্যাট্রিকগুলিতে ক্রিয়া।

২. গাউস পদ্ধতিতে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির সমাধান।

উপসংহার

সাহিত্য

1. ভি.ই. স্নাইডার এট আল।, উচ্চতর গণিতের শর্ট কোর্স, প্রথম খণ্ড, চ। 2, §6, 7।

2.V.S. শচিপাছেভ, উচ্চতর গণিত, সিএইচ। 10, § 1, 7।

ভূমিকা

বক্তৃতাটিতে ম্যাট্রিক্সের ধারণা, ম্যাট্রিক্সের ক্রিয়া এবং লিনিয়ার সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য গাউস পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, তথাকথিত বর্গ ম্যাট্রিকেস, নির্ধারকগুলি গণনা করতে পারে, পূর্ববর্তী বক্তৃতায় যার ধারণাটি নিয়ে আলোচনা হয়েছিল। লিনিয়ার সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য পূর্বে বিবেচিত ক্র্যামারের পদ্ধতির চেয়ে গাউসের পদ্ধতিটি আরও সাধারণ। বক্তৃতায় আলোচিত প্রশ্নগুলি গণিতের বিভিন্ন শাখায় এবং প্রয়োগিত প্রশ্নগুলিতে ব্যবহৃত হয়।

1 ম অধ্যয়নের প্রশ্ন উপাদানগুলিতে ক্রিয়া

সংজ্ঞা 1। আয়তক্ষেত্রাকার টেবিল থেকেমি, এন সংখ্যার সমন্বিতমি - লাইন এবংএন - কলাম, প্রকার:

বলা হয় আকার ম্যাট্রিক্স মি ´ এন

যে সংখ্যাগুলি ম্যাট্রিক্স তৈরি করে তাদের ডাকা হয় ম্যাট্রিক্স উপাদান।

আইটেমের অবস্থান এবং i j ম্যাট্রিক্সে একটি ডাবল সূচক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

প্রথম i - লাইন সংখ্যা;

দ্বিতীয় j - যে মোড়টিতে উপাদানটি দাঁড়িয়েছে তার কলামের সংখ্যা।

সংক্ষিপ্ত আকারে, ম্যাট্রিকগুলি মূলধনীতে বর্ণিত হয়: এ, বি, সি ...

সংক্ষেপে, আপনি এই যেমন লিখতে পারেন:

সংজ্ঞা 2।কলামের সংখ্যার সমান সারির সংখ্যা সহ একটি ম্যাট্রিক্স, যথামি = এন বলা হয় বর্গক্ষেত্র

বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি (কলাম) এর সংখ্যাকে ম্যাট্রিক্সের ক্রম বলা হয় called

উদাহরণ।

রেকর্ড ১. আমরা ম্যাট্রিকগুলিতে বিবেচনা করব যার প্রবেশিকা সংখ্যা। গণিত এবং এর অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে এমন ম্যাট্রিক রয়েছে যাগুলির উপাদানগুলি অন্যান্য অবজেক্টস, উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন, ভেক্টর।

স্মারক ২. ম্যাট্রিক্স একটি বিশেষ গাণিতিক ধারণা। ম্যাট্রিকের সাহায্যে বিভিন্ন রূপান্তর, লিনিয়ার সিস্টেম ইত্যাদি লিখতে সুবিধাজনক, সুতরাং ম্যাট্রিকগুলি প্রায়শই গাণিতিক এবং প্রযুক্তিগত সাহিত্যে পাওয়া যায়।

সংজ্ঞা 3।সাইজ ম্যাট্রিক্সঘ এনএক লাইন বলা হয় ম্যাট্রিক্স - স্ট্রিং

টি-সাইজের ম্যাট্রিক্সঘ একটি কলাম সমন্বিত বলা হয় ম্যাট্রিক্স - কলাম।

সংজ্ঞা 4। জিরো ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্স বলা হয়, যার সমস্ত উপাদান শূন্যের সমান।

অর্ডার একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন এন:

পাশ তির্যক

প্রধান তির্যক

টেবিলের উপরের বাম উপাদান থেকে নীচের ডানদিকে যেতে বর্গ ম্যাট্রিক্সের তির্যক বলা হয় ম্যাট্রিক্সের মূল তির্যক (প্রধান তির্যকটিতে ফর্মের উপাদান রয়েছে এবং i i).

উপরের ডান উপাদান থেকে নীচে বাম দিকে যাওয়া তির্যকটি বলা হয় ম্যাট্রিক্সের পাশের তির্যক.

আসুন কয়েকটি বিশেষ ধরণের স্কোয়ার ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করি।

1) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয় তির্যকমূল তির্যকটিতে না থাকলে সমস্ত উপাদান শূন্যের সমান হয়।

2) একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স যেখানে মূল তিরুজের সমস্ত উপাদান একের সমান হয় তাকে বলা হয় একক... এটি নির্দেশিত:

3) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয় ত্রিভুজাকার, মূল তির্যকের একপাশের সমস্ত উপাদান যদি শূন্য হয়:

উপরের নিচের

ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য, ধারণাটি চালু করা হয়েছে: একটি ম্যাট্রিক্স নির্ধারক... এটি ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির সমন্বয়ে নির্ধারক। এটি নির্দেশিত:

এটি স্পষ্ট যে পরিচয় ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক 1: 1 এর সমান ই। \u003d 1

কমেন্ট একটি স্কোয়ারবিহীন ম্যাট্রিক্সের কোনও নির্ধারক নেই।

যদি চতুর্ভুজ ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকটি ননজারো হয় তবে ম্যাট্রিক্স বলা হয় অবক্ষয়হীন, নির্ধারকটি শূন্য হলে ম্যাট্রিক্স বলা হয় is অবক্ষয়

সংজ্ঞা 5। এর থেকে সারিগুলি একই সংখ্যার সাথে কলামগুলির সাথে প্রতিস্থাপন করে এ থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স বলা হয় প্রদত্ত একটিতে স্থানান্তরিত

ম্যাট্রিক্স স্থানান্তরিত এবং, বোঝান এ টি.

উদাহরণ।

3 3 2

সংজ্ঞাএকই আকারের দুটি ম্যাট্রিকেস বলা হয় সমান, যদি তাদের সম্পর্কিত সমস্ত উপাদান সমান হয় .

আসুন ম্যাট্রিকগুলিতে অপারেশন বিবেচনা করি।

ম্যাট্রিক্স যুক্ত করুন।

সংযোজন অপারেশনটি কেবল একই আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য প্রবর্তিত হয়।

সংজ্ঞা 7। দুটি ম্যাট্রিকের যোগফল A \u003d (a) i j ) এবং বি \u003d ( খ i j ) একই আকারের বলা হয় ম্যাট্রিক্স С \u003d (সহ) i j) একই আকারের, যার উপাদানগুলি ম্যাট্রিক্স পদগুলির সাথে সম্পর্কিত উপাদানগুলির যোগফলগুলির সমান, অর্থাৎ। থেকে i j \u003d a i j + b i j

ম্যাট্রিকের যোগফলকে বোঝানো হয় এ + বি

উদাহরণ।

বিষয়বস্তুগুলির সত্যিকারের বহুগুণ

সংজ্ঞা 8।একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণিত করতেকে, আপনাকে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানকে এই সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে:

যদি একটি এ \u003d(এবং i j )তারপর কে · ক= (কে · ক i j )

উদাহরণ।

সংখ্যা অনুসারে ম্যাট্রিক্স অ্যাডিশন এবং একাধিকের বৈশিষ্ট্য PRO

1. স্থানচ্যুতি সম্পত্তি: এ + বি \u003d বি + এ

2. সংযুক্তি সম্পত্তি: (এ + বি) + সি \u003d এ + (বি + সি)

৩. বিতরণ সম্পত্তি: কে · (ক + খ) = কে ক + কে খকোথায় কে – সংখ্যা

ম্যাট্রিক্স মাল্টিপলিকেশন

জরায়ু এবংম্যাট্রিক্স সহ একটি গ্লোবুল বলা হবে ভিতরেযদি ম্যাট্রিক্স কলামগুলির সংখ্যা এবং ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান ভিতরে, অর্থাত্ ম্যাচ ম্যাট্রিক্সের জন্য ম্যাট্রিক্স এবং একটি আকার আছে মি ´ এন , ম্যাট্রিক্স ভিতরে একটি আকার আছে এন ´ কে . স্কোয়ার ম্যাট্রিকগুলি একই ক্রমে থাকলে সামঞ্জস্য হয়।

সংজ্ঞা 9।আকারের ম্যাট্রিক্স এ এর \u200b\u200bপণ্যমি ´ এন প্রতি ম্যাট্রিক্স বি আকারএন ´ কে আকারের ম্যাট্রিক্স সি বলেমি ´ কেযার উপাদান a i j অবস্থিতi -এইচ লাইন এবংj - তম কলাম, উপাদানগুলির সমষ্টিগুলির সমানi - সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলিতে ম্যাট্রিক্স এ-এর সারিj - ম্যাট্রিক্স বি এর কলাম, অর্থাৎ

গ i j = ক i 1 খ 1 j + ক i 2 খ 2 j +……+ ক i এন খ এন j

আমরা বোঝাচ্ছি: সি \u003d এ· ভিতরে.

তারপর

গঠন ভিতরে´ এবং কোন মানে নেই, কারণ ম্যাট্রিক্স

একমত না

দ্রষ্টব্য 1. যদি এবং´ ভিতরে তারপর বোঝা যায় ভিতরে´ এবং বোধগম্য না হতে পারে।

স্মারক ২. এটি যদি বোধগম্য হয় এবং´ ভিতরে এবং ভিতরে´ এবং, তারপর, সাধারণভাবে বলতে

এবং´ ভিতরে ¹ ভিতরে´ এবং, অর্থাত্ ম্যাট্রিক্সের গুণটির কোনও স্থানান্তর আইন নেই।

দ্রষ্টব্য 3. যদি এবংএকটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং ইএকই আদেশের পরিচয় ম্যাট্রিক্স, তারপর এবং´ ই= ই´ এ \u003d এ.

এটি এ থেকে অনুসরণ করে যে পরিচয়ের ম্যাট্রিক্স গুণনের সময় unityক্যের ভূমিকা পালন করে।

উদাহরণ... যদি সম্ভব হয় তবে এবং´ ভিতরে এবং ভিতরে´ এবং.

সিদ্ধান্ত: একই দ্বিতীয় ক্রমের স্কোয়ার ম্যাট্রিকগুলি একই ক্রমে মেলে, তাই এবং´ ভিতরে এবং ভিতরে´ এবং উপস্থিত।