সমীকরণ এবং এর শিকড়: সংজ্ঞা, উদাহরণ। কোন সমীকরণের মূল নেই? সমীকরণের উদাহরণ যখন কোনও সমীকরণের অসীম অনেকগুলি শিকড় থাকে

সাম্যগুলির একটি সাধারণ ধারণা পেয়েছেন এবং তাদের এক ধরণের - সংখ্যাগত সাম্যগুলির সাথে পরিচিত হওয়ার পরে, সমীকরণের সম্পর্কে - একটি বাস্তব ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে সাম্যের আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ রূপ সম্পর্কে কথা বলা শুরু করতে পারেন। এই নিবন্ধে আমরা বিশ্লেষণ করব সমীকরণ কি, এবং যাকে সমীকরণের মূল বলা হয়। এখানে আমরা সম্পর্কিত সংজ্ঞা দিই, পাশাপাশি সমীকরণ এবং তাদের শিকড়গুলির বিভিন্ন উদাহরণ দেব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন।

সমীকরণ কী?

সমীকরণগুলির একটি কেন্দ্রীভূত ভূমিকা সাধারণত দ্বিতীয় শ্রেণির গণিতে শুরু হয়। এই সময়ে নিম্নলিখিত দেওয়া হয় সমীকরণ সংজ্ঞা:

সংজ্ঞা।

সমীকরণটি একটি অজানা সংখ্যাযুক্ত সমতা হ'ল।

সমীকরণে অজানা সংখ্যা সাধারণত ছোট লাতিন অক্ষর ব্যবহার করে বোঝানো হয়, উদাহরণস্বরূপ, পি, টি, ইউ ইত্যাদি but তবে সর্বাধিক ব্যবহৃত অক্ষরগুলি হ'ল x, y এবং z।

সুতরাং, সমীকরণটি স্বরলিপি ফর্মের ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অন্য কথায়, সাম্যতা একটি সমীকরণ হয় যখন এটি নির্দিষ্ট নোটেশন বিধি মেনে চলে - এতে একটি বর্ণ রয়েছে যার মূল্য আপনি সন্ধান করতে চান।

খুব প্রথম এবং সরল সমীকরণের কয়েকটি উদাহরণ এখানে। X \u003d 8, y \u003d 3 ইত্যাদি ফর্মের সমীকরণগুলি দিয়ে শুরু করা যাক Let's সংখ্যাগুলি এবং বর্ণগুলির সাথে সমীকরণগুলি, অঙ্কগুলি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির লক্ষণগুলি উদাহরণস্বরূপ, x + 2 \u003d 3, z - 2 \u003d 5, 3 · t \u003d 9, 8: x \u003d 2, কিছুটা আরও জটিল দেখায়।

পরিচিতির পরে বিভিন্ন সমীকরণ বৃদ্ধি পায় - বন্ধনীগুলির সাথে সমীকরণগুলি উপস্থিত হতে শুরু করে, উদাহরণস্বরূপ, 2 (x - 1) \u003d 18 এবং x + 3 (x + 2 (x - 2)) \u003d 3। সমীকরণের একটি অজানা অক্ষর বেশ কয়েকবার উপস্থিত হতে পারে উদাহরণস্বরূপ, x + 3 + 3 x - 2 - x \u003d 9, অক্ষর সমীকরণের বাম দিকে, তার ডানদিকে বা সমীকরণের উভয় দিকে থাকতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, x (3 + 1) −4 \u003d 8, 7−3 \u003d z + 1, বা 3x - 4 \u003d 2 (x + 12)।

অধিকন্তু, প্রাকৃতিক সংখ্যার অধ্যয়ন করার পরে, কেউ পূর্ণসংখ্যার সাথে যুক্তিযুক্ত, আসল সংখ্যাগুলির সাথে পরিচিত হয়, নতুন গাণিতিক বিষয়গুলি অধ্যয়ন করা হয়: ডিগ্রি, শিকড়, লগারিদম ইত্যাদি, এবং আরও নতুন নতুন সমীকরণ প্রদর্শিত হয় যা এই বিষয়গুলি ধারণ করে। তাদের উদাহরণ নিবন্ধে পাওয়া যাবে প্রধান সমীকরণস্কুলে পড়াশোনা।

সপ্তম শ্রেণিতে, অক্ষরগুলির সাথে, যার দ্বারা তারা কয়েকটি নির্দিষ্ট সংখ্যা বোঝায়, তারা এমন অক্ষরগুলি বিবেচনা করতে শুরু করে যা বিভিন্ন অর্থ গ্রহণ করতে পারে, তাদের বলা হয় পরিবর্তনশীল (নিবন্ধটি দেখুন)। এই ক্ষেত্রে, "ভেরিয়েবল" শব্দটি সমীকরণের সংজ্ঞায়িত হয় এবং এটি এর মতো হয়ে যায়:

সংজ্ঞা।

সমীকরণ এমন একটি সমতা যা একটি ভেরিয়েবল সমন্বিত যার মান আপনি সন্ধান করতে চান।

উদাহরণস্বরূপ, x + 3 \u003d 6 x + 7 সমীকরণটি ভেরিয়েবল এক্স সহ একটি সমীকরণ এবং 3 · z - 1 + z \u003d 0 পরিবর্তনশীল z সহ একটি সমীকরণ।

একই 7th ম শ্রেণিতে বীজগণিত পাঠে, একটি নয়, তাদের রেকর্ডে দুটি ভিন্ন অজানা ভেরিয়েবল সমীকরণ সমেত একটি সভা আছে। এগুলিকে দুটি ভেরিয়েবলে সমীকরণ বলা হয়। ভবিষ্যতে, সমীকরণগুলিতে তিন বা ততোধিক ভেরিয়েবলের উপস্থিতি অনুমোদিত।

সংজ্ঞা।

এক, দুই, তিন ইত্যাদির সমীকরণ পরিবর্তনশীল - এগুলি যথাক্রমে এক, দুই, তিন, ... অজানা ভেরিয়েবল সমন্বিত সমীকরণ।

উদাহরণস্বরূপ, 2.২ x + 0.5 \u003d 1 সমীকরণটি একটি ভেরিয়েবল এক্স সহ একটি সমীকরণ, যখন x - y \u003d 3 রূপটির একটি সমীকরণ দুটি ভেরিয়েবল x এবং y এর সমীকরণ। এবং আরও একটি উদাহরণ: x 2 + (y - 1) 2 + (z + 0.5) 2 \u003d 27। এটি পরিষ্কার যে এই জাতীয় সমীকরণটি তিনটি অজানা ভেরিয়েবল x, y এবং z সহ সমীকরণ।

সমীকরণের মূল কী?

সমীকরণের সংজ্ঞাটি এই সমীকরণের মূল সংজ্ঞাটির সাথে সরাসরি সম্পর্কিত। আসুন কিছু যুক্তি করি যা সমীকরণের মূলটি কী তা আমাদের বুঝতে সহায়তা করবে।

ধরা যাক আমাদের একটি অক্ষরের (পরিবর্তনশীল) সমীকরণ রয়েছে। যদি এই সমীকরণের রেকর্ডে অন্তর্ভুক্ত বর্ণের পরিবর্তে কোনও সংখ্যাকে প্রতিস্থাপিত করা হয় তবে সমীকরণটি একটি সাংখ্যিক সমতায় পরিণত হবে। তদুপরি, ফলস্বরূপ সাম্যতা সত্য এবং মিথ্যা উভয়ই হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি a + 1 \u003d 5 সমীকরণের ক্ষেত্রে অক্ষরের পরিবর্তে 2 নম্বরটি প্রতিস্থাপন করেন তবে আপনি একটি ভুল সংখ্যার সমতা 2 + 1 \u003d 5 পাবেন। যদি আমরা এই সমীকরণের পরিবর্তে 4 নম্বরটি স্থিতিশীল করি তবে আমরা সঠিক সমতা 4 + 1 \u003d 5 পাই।

বাস্তবে, অপ্রতিরোধ্য বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, পরিবর্তনশীলগুলির এই জাতীয় মানগুলি আগ্রহী, সমীকরণের প্রতিস্থাপনটি সঠিক সাম্যতা দেয়, এই মানগুলিকে এই সমীকরণের মূল বা সমাধান বলা হয়।

সংজ্ঞা।

সমীকরণের মূল - এটি কোনও অক্ষরের (পরিবর্তনশীল) মান, প্রতিস্থাপিত হলে সমীকরণটি একটি সত্যিক সংখ্যার সমতায় পরিণত হয়।

নোট করুন যে একটি ভেরিয়েবলের একটি সমীকরণের মূলকে সমীকরণের সমাধানও বলা হয়। অন্য কথায়, সমীকরণের সমাধান এবং সমীকরণের মূল একই জিনিস।

আসুন একটি উদাহরণ দিয়ে এই সংজ্ঞাটি ব্যাখ্যা করি। এটি করতে, আমরা উপরের সমীকরণ a + 1 \u003d 5 এ ফিরে আসি। সমীকরণের মূলের সংজ্ঞাযুক্ত সংজ্ঞা অনুসারে, 4 সংখ্যাটি এই সমীকরণের মূল, যেহেতু এই বর্ণের পরিবর্তে এই সংখ্যাটি প্রতিস্থাপন করার সময় আমরা সঠিক সমতা 4 + 1 \u003d 5 পাই, এবং সংখ্যা 2 এর মূল নয়, কারণ এটি 2 + 1 \u003d ফর্মের একটি ভুল সমতার সাথে মিল রয়েছে since পাঁচ

এই মুহুর্তে, বেশ কয়েকটি প্রাকৃতিক প্রশ্ন উত্থাপিত হয়: "কোনও সমীকরণের মূল রয়েছে এবং প্রদত্ত সমীকরণের কতগুলি মূল রয়েছে?" আমরা তাদের জবাব দেব।

শিকড় ছাড়া শিকড় এবং সমীকরণ উভয় সমীকরণ আছে। উদাহরণস্বরূপ, x + 1 \u003d 5 সমীকরণটির মূল 4 টি, এবং 0 x \u003d 5 সমীকরণটির কোনও শিকড় নেই, যেহেতু আমরা এই সমীকরণটিতে ভেরিয়েবল এক্সের পরিবর্তে কোন সংখ্যার পরিবর্তিত করি না কেন, আমরা ভুল সমতা 0 \u003d 5 পাই।

সমীকরণের মূলের সংখ্যা হিসাবে, উভয়ই সমীকরণগুলির নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ সংখ্যার (এক, দুই, তিন, ইত্যাদি) এবং সমীকরণগুলির সীমাহীন বহু শিকড় রয়েছে both উদাহরণস্বরূপ, x - 2 \u003d 4 সমীকরণটির একটি অনন্য মূল 6 রয়েছে, x 2 \u003d 9 সমীকরণের শিকড় দুটি সংখ্যা −3 এবং 3, সমীকরণ x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 এর তিনটি শিকড় 0, 1 এবং 2, এবং x \u003d x সমীকরণের সমাধানটি যে কোনও সংখ্যা, অর্থাত্ এর শিকড়গুলির অসীম সেট রয়েছে।

সমীকরণের শিকড়গুলির গ্রহণযোগ্য লেখা সম্পর্কে কয়েকটি কথা বলা উচিত। যদি সমীকরণটির কোনও শিকড় না থাকে, তবে তারা সাধারণত লিখেন "সমীকরণের কোনও শিকড় নেই", বা খালি সেট চিহ্নটি ব্যবহার করুন ∅ যদি সমীকরণটির শিকড় থাকে তবে সেগুলি কমা দ্বারা পৃথকভাবে লিখিত হয় বা হিসাবে লেখা হয় সেট উপাদান কোঁকড়া ধনুর্বন্ধনী মধ্যে। উদাহরণস্বরূপ, যদি সমীকরণের মূলগুলি −1, 2, এবং 4 সংখ্যা হয় তবে তারা −1, 2, 4 বা (−1, 2, 4) লিখবে। সমীকরণের মূলটি সহজতম সাম্যের আকারে লেখার অনুমতিও রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি অক্ষর x সমীকরণে প্রবেশ করে এবং এই সমীকরণের শিকড়গুলি 3 এবং 5 সংখ্যা হয় তবে আপনি x \u003d 3, x \u003d 5 লিখতে পারেন, এছাড়াও পরিবর্তনশীল প্রায়শই x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5 সাবস্ক্রিপ্টের সাথে যোগ করা হয়, যেন সংখ্যাটি নির্দেশ করে সমীকরণের মূল। সমীকরণের মূলগুলির অসীম সেট সাধারণত ফর্মটিতে লেখা হয়, যদি সম্ভব হয় তবে প্রাকৃতিক সংখ্যা N এর সেটগুলির স্বরলিপি ব্যবহার করুন, পূর্ণসংখ্যার জেড, আসল সংখ্যা আর R উদাহরণস্বরূপ, চলক x সহ কোনও সমীকরণের মূলটি যদি কোনও পূর্ণসংখ্যার হয় তবে লিখুন এবং যদি ভেরিয়েবল y সহ কোনও সমীকরণের শিকড় 1 থেকে 9 অবধি অন্তর্ভুক্ত থাকে তবে কোনও লিখুন।

দুটি, তিন এবং আরও ভেরিয়েবলগুলির সমীকরণের জন্য, একটি নিয়ম হিসাবে, "সমীকরণ মূল" শব্দটি ব্যবহৃত হয় না, এই ক্ষেত্রে তারা "সমীকরণ সমাধান" বলে। বিভিন্ন ভেরিয়েবলের সমাধান সমীকরণকে কী বলা হয়? আসুন একটি উপযুক্ত সংজ্ঞা দিন।

সংজ্ঞা।

দুই, তিনটি ইত্যাদির সাথে একটি সমীকরণ সমাধান করা পরিবর্তনশীল একটি দম্পতি, তিন, ইত্যাদি কল করুন। ভেরিয়েবলের মান, যা এই সমীকরণটিকে একটি সত্য সংখ্যার সমতায় পরিণত করে।

আসুন আমরা উদাহরণস্বরূপ কয়েকটি উদাহরণ দেখাই। X + y \u003d 7 দুটি ভেরিয়েবলের একটি সমীকরণ বিবেচনা করুন। এটিতে x নম্বর 1 এর পরিবর্তে, এবং y সংখ্যা 2 এর পরিবর্তে এবং আমাদের সমতা 1 + 2 \u003d 7 রয়েছে। স্পষ্টতই, এটি ভুল, সুতরাং, x \u003d 1, y \u003d 2 মানগুলির একটি জোড়া লিখিত সমীকরণের সমাধান নয়। যদি আমরা x \u003d 4, y \u003d 3 এর মান নিয়ে যাই তবে সমীকরণের প্রতিস্থাপনের পরে আমরা সঠিক সমতা 4 + 3 \u003d 7 এ পৌঁছে যাব, অতএব, ভেরিয়েবলের এই মানগুলির সংজ্ঞাটি সংশ্লেষ x + y \u003d 7 এর সমাধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়।

একাধিক ভেরিয়েবলের সমীকরণ যেমন একটি ভেরিয়েবলের সমীকরণগুলির শিকড় নাও থাকতে পারে, সীমাবদ্ধ সংখ্যার শিকড় থাকতে পারে বা অসীম বহু শিকড় থাকতে পারে।

জুড়ি, ত্রিশ, চার, ইত্যাদি পরিবর্তনশীল মানগুলি প্রায়শই সংক্ষিপ্তভাবে লেখা হয়, তাদের মানগুলি বন্ধুত্বগুলিতে কমা দ্বারা পৃথক করা তালিকাবদ্ধ করে। এই ক্ষেত্রে, বন্ধনীতে লিখিত সংখ্যা বর্ণানুক্রমিক ক্রমে ভেরিয়েবলের সাথে মিলে যায়। পূর্বের সমীকরণ x + y \u003d 7 এ ফিরে এসে এই পয়েন্টটি পরিষ্কার করুন। এই সমীকরণ x \u003d 4, y \u003d 3 এর সমাধানটি সংক্ষেপে (4, 3) হিসাবে লেখা যেতে পারে।

গণিত, বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের সূচনার স্কুল কোর্সে সর্বাধিক মনোযোগ একটি পরিবর্তনশীল সহ সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করার জন্য দেওয়া হয়। আমরা নিবন্ধে এই প্রক্রিয়াটির নিয়মগুলি দুর্দান্ত বিশদে বিশ্লেষণ করব। সমীকরণ সমাধান.

রেফারেন্স এর তালিকা.

• গণিত... 2 ক্লি। পাঠ্যপুস্তক সাধারণ শিক্ষার জন্য। সংস্থার সাথে সংস্থাগুলি ইলেক্ট্রন। বাহক দুপুর ২ টায় পার্ট 1 / [এম। আই মোরো, এমএ বান্টোভা, জিভি বেল্টিউকোভা এবং অন্যান্য] - তৃতীয় সংস্করণ। - এম।: প্রোভেসেনি, 2012 .-- 96 পি: অসুস্থ। - (রাশিয়ার স্কুল) - আইএসবিএন 978-5-09-028297-0।
• বীজগণিত: অধ্যয়ন. 7 সিএল জন্য। সাধারণ শিক্ষা. প্রতিষ্ঠান / [ইউ। এন। ম্যাকারিচেভ, এন। জি। মিন্ড্যুক, কে। আই নেশকভ, এস। বি। সুভেরোভা]; ed। এস এ। টেলিয়াভস্কি। - 17 তম সংস্করণ। - এম .: শিক্ষা, ২০০৮ .-- ২৪০ পৃষ্ঠা। : অসুস্থ - আইএসবিএন 978-5-09-019315-3।
• বীজগণিত: গ্রেড 9: পাঠ্যপুস্তক। সাধারণ শিক্ষার জন্য। প্রতিষ্ঠান / [ইউ। এন। ম্যাকারিচেভ, এন। জি। মিন্ড্যুক, কে। আই নেশকভ, এস। বি। সুভেরোভা]; ed। এস এ। টেলিয়াভস্কি। - 16 তম সংস্করণ। - এম .: শিক্ষা, 2009 .-- 271 পি। : অসুস্থ - আইএসবিএন 978-5-09-021134-5।

আমরা সমতাগুলির ধারণাটি, যেমন তাদের এক ধরণের - সংখ্যাগত সমতাগুলির বিষয়ে অধ্যয়ন করার পরে, আমরা অন্য গুরুত্বপূর্ণ ধরণের - সমীকরণগুলিতে যেতে পারি। এই উপাদানের কাঠামোর মধ্যে, আমরা একটি সমীকরণ কী এবং এর মূল কী তা ব্যাখ্যা করব, প্রাথমিক সংজ্ঞাগুলি তৈরি করব এবং সমীকরণের বিভিন্ন উদাহরণ দেবো এবং এর শিকড়গুলি সন্ধান করব।

সমীকরণ ধারণা

সাধারণত, একটি বীজগণিত কোর্সের একেবারে শুরুতে একটি সমীকরণের ধারণাটি অধ্যয়ন করা হয়। তারপর এটি নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

সংজ্ঞা ১

সমীকরণ একটি অজানা সংখ্যার সাথে সমতা খুঁজে পাওয়া যাবে।

ছোট লাতিন অক্ষরের সাথে অজানা বোঝানোর প্রচলন রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, টি, আর, এম ইত্যাদি, তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে x, y, z ব্যবহার করা হয়। অন্য কথায়, সমীকরণটি তার লেখার ফর্মটি নির্ধারণ করে, অর্থাত্ সাম্যতা তখনই একটি সমীকরণ হবে যখন এটি একটি নির্দিষ্ট আকারে হ্রাস পাবে - এতে অবশ্যই একটি অক্ষর থাকতে হবে, যে মানটি পাওয়া উচিত।

সহজ সমীকরণের কয়েকটি উদাহরণ এখানে are এগুলি x \u003d 5, y \u003d 6, ইত্যাদি ফর্মের সমতা হতে পারে, পাশাপাশি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি অন্তর্ভুক্ত করে উদাহরণস্বরূপ, x + 7 \u003d 38, z - 4 \u003d 2, 8 টি \u003d 4, 6: x \u003d 3।

বন্ধনী ধারণা অধ্যয়ন করার পরে, বন্ধনী সহ সমীকরণের ধারণা উপস্থিত হয়। এর মধ্যে 7 (x - 1) \u003d 19, x + 6 (x + 6 (x - 8)) \u003d 3, ইত্যাদি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যা পাওয়া যাবে তা চিঠিটি একবার নয়, তবে বেশ কয়েকবার, যেমন, উদাহরণস্বরূপ, x + 2 + 4 x - 2 - x \u003d 10 সমীকরণে। এছাড়াও, অজানাগুলি কেবল বাম দিকে নয়, একই সাথে ডানদিকে বা উভয় অংশেও একই স্থানে অবস্থিত হতে পারে উদাহরণস্বরূপ, x (8 + 1) - 7 \u003d 8, 3 - 3 \u003d z + 3 বা 8 x - 9 \u003d 2 (x + 17)।

তদ্ব্যতীত, শিক্ষার্থীরা পূর্ণসংখ্যার ধারণা, বাস্তব, যুক্তিযুক্ত, প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির পাশাপাশি লগারিদম, শিকড় এবং শক্তিগুলির সাথে পরিচিত হওয়ার পরে, নতুন সমীকরণগুলি উপস্থিত হয় যা এই সমস্ত বিষয়গুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে। এই জাতীয় অভিব্যক্তিগুলির উদাহরণগুলিতে আমরা একটি পৃথক নিবন্ধ উত্সর্গ করেছি।

সপ্তম শ্রেণির প্রোগ্রামে ভেরিয়েবলের ধারণাটি প্রথমবারের মতো উপস্থিত হয়। এগুলি হ'ল চিঠিগুলি যা বিভিন্ন অর্থ গ্রহণ করতে পারে (আরও তথ্যের জন্য, সংখ্যাসূচক, আক্ষরিক এবং পরিবর্তনশীল ভাবের উপর নিবন্ধটি দেখুন)। এই ধারণার ভিত্তিতে আমরা সমীকরণটিকে নতুন করে সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

সংজ্ঞা 2

সমীকরণটি এমন একটি সমতা যা ভেরিয়েবলকে অন্তর্ভুক্ত করে যার মান আপনি মূল্যায়ন করতে চান।

যেমন, উদাহরণস্বরূপ, এক্স + 3 \u003d 6 x + 7 এক্সপ্রেশনটি একটি ভেরিয়েবল এক্স সহ একটি সমীকরণ এবং 3 y - 1 + y \u003d 0 একটি ভেরিয়েবল y সহ সমীকরণ।

একটি সমীকরণে একটি পরিবর্তনশীল নাও হতে পারে, তবে দুটি বা আরও বেশি হতে পারে। এগুলিকে যথাক্রমে দুটি, তিনটি ভেরিয়েবল ইত্যাদির সমীকরণ বলা হয়। আসুন আমরা সংজ্ঞাটি লিখি:

সংজ্ঞা 3

দুটি (তিন, চার বা ততোধিক) ভেরিয়েবলগুলির সাথে সমীকরণগুলি এমন সমীকরণ যা সম্পর্কিত অজানা সম্পর্কিত সংখ্যাকে অন্তর্ভুক্ত করে।

উদাহরণস্বরূপ, 3, 7 x + 0, 6 \u003d 1 ফর্মের সমতা হ'ল একটি ভেরিয়েবল এক্স সহ একটি সমীকরণ এবং x - z \u003d 5 দুটি ভেরিয়েবল x এবং z সহ সমীকরণ। তিনটি ভেরিয়েবলের সমীকরণের উদাহরণ x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 \u003d 26 হবে।

সমীকরণের মূল

আমরা যখন কোনও সমীকরণের কথা বলি, ততক্ষণে এর মূলের ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজনীয় হয়ে পড়ে। এর অর্থ কী তা বোঝানোর চেষ্টা করি।

উদাহরণ 1

আমাদের কিছু ধরণের সমীকরণ দেওয়া হয় যার মধ্যে একটি ভেরিয়েবল অন্তর্ভুক্ত থাকে। আমরা যদি অজানা অক্ষরের জন্য একটি সংখ্যা প্রতিস্থাপন করি, তবে সমীকরণটি একটি সংখ্যাসূচক সমতা হয়ে যায় - সত্য বা মিথ্যা। সুতরাং, সমীকরণে যদি a + 1 \u003d 5 আমরা বর্ণটি 2 নম্বর দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, তবে সাম্যটি ভুল হয়ে যাবে, এবং যদি 4 হয় তবে সঠিক সমতা 4 + 1 \u003d 5 হবে।

আমরা ঠিক সেই মানগুলিতে আরও আগ্রহী যার সাথে ভেরিয়েবলটি সঠিক সাম্যতায় পরিবর্তিত হবে। এগুলিকে শিকড় বা সমাধান বলা হয়। সংজ্ঞাটি লিখি।

সংজ্ঞা 4

সমীকরণের মূল এমন একটি ভেরিয়েবলের মান বলা হয় যা প্রদত্ত সমীকরণকে সত্য সাম্যতায় রূপান্তর করে।

মূলটিকে সমাধান বা একে বিপরীতেও বলা যেতে পারে - এই দুটি ধারণাই একই জিনিসকে বোঝায়।

উদাহরণ 2

এই সংজ্ঞাটি স্পষ্ট করার জন্য একটি উদাহরণ নেওয়া যাক। উপরে আমরা সমীকরণটি একটি + 1 \u003d 5 দিয়েছি। সংজ্ঞা অনুসারে, এই ক্ষেত্রে মূলটি 4 হবে, কারণ যখন কোনও চিঠির পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করা হয়, এটি সঠিক সংখ্যাসূচক সাম্য দেয় এবং দুটি সমাধান হবে না, কারণ এটি ভুল সমতা 2 + 1 \u003d 5 এর সাথে মিলে যায়।

একটি সমীকরণের কতগুলি শিকড় থাকতে পারে? কোন সমীকরণের মূল আছে? আসুন এই প্রশ্নের উত্তর দিন।

একক মূল না থাকা সমীকরণগুলিও বিদ্যমান। একটি উদাহরণ 0 x \u003d 5 হবে। আমরা এতে অসীম অনেকগুলি পৃথক সংখ্যার পরিবর্তিত করতে পারি, তবে তাদের মধ্যে কেউ এটিকে সত্যিকারের সমতায় পরিণত করবে না, যেহেতু 0 দ্বারা গুণন সর্বদা 0 দেয় gives

এছাড়াও সমীকরণগুলির একাধিক শিকড় রয়েছে। এগুলির একটি সীমাবদ্ধ এবং অসীম সংখ্যক শিকড় উভয়ই থাকতে পারে।

উদাহরণ 3

সুতরাং, x - 2 \u003d 4 সমীকরণে কেবল একটি মূল রয়েছে - ছয়, x 2 \u003d 9 এ দুটি মূল রয়েছে - তিনটি এবং বিয়োগ 3, x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 এ তিনটি মূল রয়েছে - শূন্য, এক এবং দুই, x \u003d x সমীকরণে অসীম অনেকগুলি শিকড় রয়েছে।

এখন আসুন কীভাবে সমীকরণের মূলগুলি সঠিকভাবে লিখতে হয় তা ব্যাখ্যা করি explain যদি সেগুলি না থাকে, তবে আমরা এটির মতো লিখি: "সমীকরণের কোনও শিকড় নেই" " এই ক্ষেত্রে, কেউ খালি সেট the এর চিহ্নটিও নির্দেশ করতে পারে ∅ যদি শিকড়গুলি থাকে তবে আমরা এগুলি কমা দ্বারা পৃথক করে লিখি বা সেগুলি কোঁকড়া ধনুর্বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ করে সেটগুলির উপাদান হিসাবে চিহ্নিত করি। সুতরাং, যদি কোনও সমীকরণের তিনটি মূল থাকে - 2, 1 এবং 5, তবে আমরা লিখি - 2, 1, 5 বা (- 2, 1, 5)।

এটি সহজতম সাম্যের আকারে শিকড় লিখতে অনুমোদিত। সুতরাং, সমীকরণের মধ্যে অজানা যদি y অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং শিকড়গুলি 2 এবং 7 হয় তবে আমরা y \u003d 2 এবং y \u003d 7 লিখি। কখনও কখনও সাবস্ক্রিপ্টগুলি বর্ণগুলিতে যুক্ত করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5। এইভাবে, আমরা শিকড়গুলির সংখ্যা নির্দেশ করি। যদি সমীকরণটির সীমাহীন অনেকগুলি সমাধান থাকে তবে আমরা উত্তরকে সংখ্যার বিরতি হিসাবে লিখি বা সাধারণভাবে স্বীকৃত স্বরলিপি ব্যবহার করি: প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটটি N, পূর্ণসংখ্যা - জেড, রিয়েল - আর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের লিখতে হয় যে সমীকরণের সমাধানটি কোনও পূর্ণসংখ্যার হয় তবে আমরা সেই x ∈ Z লিখি, এবং যদি এক থেকে নয় পর্যন্ত বাস্তব হয় তবে y ∈ 1, 9।

যখন কোনও সমীকরণের দুটি, তিন বা ততোধিক শিকড় থাকে, তারপরে, একটি নিয়ম হিসাবে, কেউ শিকড় সম্পর্কে নয়, সমীকরণের সমাধানের কথা বলে। আসুন বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলগুলিতে একটি সমীকরণের সমাধানের সংজ্ঞাটি তৈরি করি।

সংজ্ঞা 5

দুটি, তিন বা ততোধিক ভেরিয়েবলগুলির সাথে সমীকরণের সমাধানটি হল দুটি, তিন বা ততোধিক ভেরিয়েবলের মান যা এই সমীকরণটিকে সত্য সংখ্যার সমতায় পরিণত করে।

আসুন উদাহরণ সহ সংজ্ঞাটি ব্যাখ্যা করি।

উদাহরণ 4

ধরা যাক আমাদের এক্স + y \u003d 7 এক্সপ্রেশন আছে যা দুটি ভেরিয়েবলের সমীকরণ। প্রথমটির পরিবর্তে একটি এবং দ্বিতীয়টির পরিবর্তে দু'জনকে স্থান দিন। আমরা একটি ভুল সমতা পাব যার অর্থ এই জোড়াটি এই সমীকরণের সমাধান হবে না। যদি আমরা 3 এবং 4 এর জুড়ি নিই, তবে সাম্যটি সত্য হয়ে যায়, যার অর্থ আমরা একটি সমাধান খুঁজে পেয়েছি।

এই জাতীয় সমীকরণগুলিরও শিকড় নাও থাকতে পারে বা তাদের অসীম সংখ্যাও থাকতে পারে। আমাদের যদি দুটি, তিন, চার বা ততোধিক মান লিখতে হয় তবে আমরা সেগুলি বন্ধনীগুলিতে কমা দ্বারা পৃথক করে লিখি। এটি, উপরের উদাহরণে উত্তরটি দেখতে (3, 4) এর মতো দেখাবে।

অনুশীলনে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে একটিতে একটি ভেরিয়েবলযুক্ত সমীকরণের সাথে ডিল করতে হয়। আমরা সমীকরণগুলি সমাধানে নিবেদিত নিবন্ধে তাদের বিশদভাবে সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম বিবেচনা করব।

আপনি যদি পাঠ্যে কোনও ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি নির্বাচন করুন এবং Ctrl + এন্টার টিপুন

গণিতে সমীকরণের সমাধানের একটি বিশেষ জায়গা রয়েছে। এই প্রক্রিয়াটি বহু ঘন্টা থিয়োরি স্টাডির পূর্বে হয়, এই সময়টিতে শিক্ষার্থীরা সমীকরণগুলি সমাধান করার উপায়গুলি জানতে পারে, তাদের ধরণ নির্ধারণ করে এবং স্বয়ংক্রিয়তা সম্পূর্ণ করার দক্ষতা নিয়ে আসে। তবে, শিকড়গুলির সন্ধান সর্বদা অর্থপূর্ণ হয় না, যেহেতু এগুলি কেবল অস্তিত্বহীন। শিকড় সন্ধানের জন্য বিশেষ কৌশল রয়েছে। এই নিবন্ধে, আমরা মূল ফাংশনগুলি, তাদের সংজ্ঞাগুলির ক্ষেত্রগুলি এবং সেইসাথে তাদের শিকড়গুলি অনুপস্থিত রয়েছে এমন ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ করব।

কোন সমীকরণের মূল নেই?

কোনও আসল আর্গুমেন্ট না থাকলে কোনও সমীকরণের শিকড় থাকে না x যার জন্য সমীকরণটি একইভাবে সত্য। একজন সাধারণ লোকের জন্য, এই সূত্রটি, বেশিরভাগ গাণিতিক উপপাদ্য এবং সূত্রগুলির মতো, খুব অস্পষ্ট এবং বিমূর্ত দেখায় তবে এটি তত্ত্বের ক্ষেত্রে। অনুশীলনে, সবকিছু অত্যন্ত সহজ হয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ: 0 * x \u003d -53 সমীকরণটির কোনও সমাধান নেই, যেহেতু এই জাতীয় সংখ্যা নেই, শূন্যের সাথে এর পণ্যটি শূন্য ব্যতীত অন্য কিছু দেয়।

আমরা এখন সর্বাধিক প্রাথমিক ধরণের সমীকরণগুলি দেখব।

1. লিনিয়ার সমীকরণ

সমীকরণকে লিনিয়ার বলা হয় যদি এর ডান এবং বাম দিকগুলি লিনিয়ার ফাংশন হিসাবে উপস্থাপিত হয়: ax + b \u003d cx + d বা সাধারণ আকারে কেএক্স + বি \u003d 0. যেখানে অ, বি, সি, ডি পরিচিত নম্বর, এবং এক্স একটি অজানা মান ... কোন সমীকরণের মূল নেই? লিনিয়ার সমীকরণের উদাহরণগুলি নীচের চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে।

মূলত, রৈখিক সমীকরণগুলি কেবল সংখ্যার অংশটিকে এক অংশে এবং অন্য অংশে এক্স সহ সামগ্রী স্থানান্তর করে সমাধান করা হয়। Mx \u003d n ফর্মের একটি সমীকরণ পাওয়া যায়, যেখানে m এবং n সংখ্যা এবং x একটি অজানা। এক্স সন্ধান করার জন্য, উভয় অংশকে মি দ্বারা ভাগ করা যথেষ্ট। তারপরে এক্স \u003d এন / এম মূলত, রৈখিক সমীকরণের কেবল একটিই মূল থাকে তবে এমন অনেকগুলি ক্ষেত্রে রয়েছে যখন হয় অসীম অনেকগুলি শিকড় হয় না বা শিকড় একেবারেই হয় না। মি \u003d 0 এবং এন \u003d 0 এর জন্য, সমীকরণটি 0 * x \u003d 0 রূপ নেয় such এই জাতীয় সমীকরণের সমাধানটি সম্পূর্ণ কোনও সংখ্যা হবে be

তবে কোন সমীকরণের শেকড় নেই?

মি \u003d 0 এবং এন \u003d 0 এর জন্য, সংখ্যার আসল সংখ্যাগুলির গোষ্ঠীতে কোনও শিকড় নেই। 0 * x \u003d -1; 0 * x \u003d 200 - এই সমীকরণগুলির কোনও শিকড় নেই।

2. চতুর্ভুজ সমীকরণ

একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ হ'ল a \u003d 0. এর জন্য ফর্ম ax 2 + bx + c \u003d 0 এর সমীকরণ The সর্বাধিক সাধারণ সমাধানটি বৈষম্যমূলক through চতুর্ভুজ সমীকরণের বৈষম্যমূলক সন্ধানের সূত্র: D \u003d b 2 - 4 * a * c। এর পরে, দুটি মূল শূন্য রয়েছে x 1,2 \u003d (-b √ )D) / 2 * a।

ডি\u003e ০ এর জন্য সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে, ডি \u003d 0 এর জন্য এটির একটি মূল রয়েছে। তবে কোন চতুর্ভুজ সমীকরণের মূল নেই? চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড়গুলির সংখ্যা পর্যালোচনা করার সবচেয়ে সহজ উপায় ফাংশন গ্রাফ থেকে যা একটি প্যারাবোলা। একটি\u003e 0 এর জন্য, শাখাগুলি উপরের দিকে পরিচালিত হয়, এ জন্য< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

আপনি বৈষম্যমূলক গণনা না করেও দর্শনীয়ভাবে শিকড়গুলির সংখ্যা নির্ধারণ করতে পারেন। এটি করার জন্য, আপনাকে প্যারোবোলার শীর্ষস্থানটি খুঁজে বের করতে হবে এবং শাখাগুলি কোন দিকে পরিচালিত হবে তা নির্ধারণ করতে হবে। সূত্রটি ব্যবহার করে আপনি ভার্টেক্সের x স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করতে পারেন: x 0 \u003d -b / 2a। এই ক্ষেত্রে, মূল সমীকরণের সাথে কেবল x 0 প্রতিস্থাপন করেই শীর্ষবিন্দুর y- স্থানাঙ্ক পাওয়া যায়।

চতুর্ভুজ সমীকরণ x 2 - 8x + 72 \u003d 0 এর কোনও শিকড় নেই, কারণ এটির নেতিবাচক বৈষম্য ডি \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 72 \u003d -224 রয়েছে। এর অর্থ এই যে প্যারাবোলাটি অ্যাবসিসা অক্ষটি স্পর্শ করে না এবং ফাংশনটি কখনই 0 মান নেয় না, সুতরাং সমীকরণটির কোনও আসল শিকড় নেই।

3. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ

ট্রাইগনোমেট্রিক ফাংশনগুলি ত্রিকোণমিত্রিক বৃত্তে বিবেচনা করা হয় তবে এগুলি কার্তেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় প্রতিনিধিত্ব করা যায়। এই নিবন্ধে, আমরা দুটি বেসিক ত্রিকোনোমেট্রিক ফাংশন এবং তাদের সমীকরণগুলি দেখব: সিনক্স এবং কক্সেক্স। যেহেতু এই ফাংশনগুলি 1, | সিনক্স | এর ব্যাসার্ধের সাথে ত্রিকোণমিত্রিক বৃত্ত তৈরি করে এবং | কক্সেক্স | 1 এর চেয়ে বড় হতে পারে না? সুতরাং কোন সমীকরণ সিনেক্সের কোন শিকড় নেই? নীচের ছবিতে দেখানো সিনক্স ফাংশনের গ্রাফটি বিবেচনা করুন।

আমরা দেখতে পাই যে ফাংশনটি প্রতিসম হয় এবং এটির পুনরাবৃত্তি পিরিয়ড 2 পিআই হয়। এর ভিত্তিতে, আমরা বলতে পারি যে এই ফাংশনের সর্বাধিক মান 1 এবং সর্বনিম্ন -1 হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কক্সেক্স \u003d 5 এক্সপ্রেশনটির শিকড় থাকবে না, যেহেতু মডিউলাস একের চেয়ে বেশি।

এটি ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণের সহজতম উদাহরণ। প্রকৃতপক্ষে, এগুলি সমাধান করা অনেকগুলি পৃষ্ঠা নিতে পারে, যার শেষে আপনি বুঝতে পারেন যে আপনি ভুল সূত্রটি ব্যবহার করেছেন এবং আপনাকে আবার শুরু করতে হবে। কখনও কখনও, এমনকি শিকড়গুলির সঠিক সন্ধানের পরেও, আপনি এলডিভিতে থাকা প্রতিবন্ধকতাগুলি বিবেচনা করতে ভুলে যেতে পারেন, যার কারণে উত্তরে একটি অতিরিক্ত রুট বা অন্তর উপস্থিত হয় এবং পুরো উত্তরটি একটি ত্রুটিতে পরিণত হয়। অতএব, কঠোরভাবে সমস্ত বিধিনিষেধ অনুসরণ করুন, কারণ সমস্ত শিকড় কার্যের ক্ষেত্রের সাথে খাপ খায় না।

4. সমীকরণের সিস্টেম

সমীকরণের একটি সিস্টেমটি কোঁকড়ানো বা বর্গাকার বন্ধনীর দ্বারা একীভূত সমীকরণগুলির সংগ্রহ। কোঁকড়া বন্ধনী সমস্ত সমীকরণের যৌথ সম্পাদন বোঝায়। এটি হ'ল, যদি কমপক্ষে একটি সমীকরণের শিকড় না থাকে বা অন্যটির বিপরীত হয় তবে পুরো সিস্টেমটির কোনও সমাধান নেই। স্কোয়ার বন্ধনী "বা" শব্দের প্রতিনিধিত্ব করে। এর অর্থ হ'ল যদি সিস্টেমের কমপক্ষে একটি সমীকরণের সমাধান থাকে তবে পুরো সিস্টেমটির একটি সমাধান থাকে।

সিস্টেম গ এর উত্তর হ'ল পৃথক সমীকরণের সমস্ত শিকড়ের সেট। এবং কোঁকড়া ধনুর্বন্ধনী সিস্টেমের কেবল সাধারণ শিকড় থাকে। সমীকরণের সিস্টেমগুলি একেবারে বিবিধ ফাংশন অন্তর্ভুক্ত করতে পারে, সুতরাং এই জাতীয় জটিলতা আপনাকে তাত্ক্ষণিকভাবে বলতে দেয় না যে কোন সমীকরণের কোনও শিকড় নেই।

সমস্যার বই এবং পাঠ্যপুস্তকগুলিতে বিভিন্ন ধরণের সমীকরণ রয়েছে: যার শিকড় রয়েছে এবং যা নেই। প্রথমত, আপনি যদি শিকড়গুলি খুঁজে না পান তবে ধরে নিবেন না যে তারা আদৌ নেই। সম্ভবত আপনি কোথাও কোনও ভুল করেছেন, তবে আপনার সিদ্ধান্তটি সাবধানতার সাথে দুবার পরীক্ষা করা যথেষ্ট।

আমরা সর্বাধিক প্রাথমিক সমীকরণ এবং তাদের প্রকারগুলি বিবেচনা করেছি। এখন আপনি বলতে পারবেন কোন সমীকরণের কোনও শিকড় নেই। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এটি মোটেই কঠিন নয়। সমীকরণগুলি সমাধানে সাফল্যের জন্য কেবল মনোযোগ এবং একাগ্রতা প্রয়োজন। আরও অনুশীলন করুন, এটি আপনাকে উপাদানটিকে আরও ভাল এবং দ্রুত নেভিগেট করতে সহায়তা করবে।

সুতরাং, সমীকরণের কোনও শিকড় নেই যদি:

• লিনিয়ার সমীকরণে এমএক্স \u003d এন, মান এম \u003d 0 এবং এন \u003d 0;
• চতুর্ভুজ সমীকরণে, বৈষম্যমূলক শূন্যের চেয়ে কম হলে;
• ফর্মের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে cosx \u003d m / sinx \u003d n, if | m | \u003e 0, | এন | \u003e 0;
• কোঁকড়ানো বন্ধনী সহ সমীকরণের সিস্টেমে কমপক্ষে একটি সমীকরণের শিকড় না থাকলে এবং সমস্ত সমীকরণের শিকড় না থাকলে বর্গাকার বন্ধনী সহ।