220400 বীজগণিত এবং জ্যামিতি টলস্টিকভ এ.ভি.

বক্তৃতা 16। বিলিনিয়ার এবং চতুর্ভুজ ফর্ম।

পরিকল্পনা

1. বিলাইনার ফর্ম এবং তার বৈশিষ্ট্য।

2. চতুষ্কোণ ফর্ম। চতুর্ভুজ ম্যাট্রিক্স। সমন্বয় রূপান্তর।

৩. চতুর্ভুজ রূপটি ক্যানোনিকাল ফর্মের হ্রাস। লাগরেঞ্জের পদ্ধতি।

৪. চতুর্ভুজ রূপগুলির জড়তার আইন।

৫. ইগেনভ্যালু পদ্ধতিতে চতুষ্কোণ রূপটি ক্যানোনিকাল ফর্মের হ্রাস।

Sil. সিলভার্স্টের একটি চতুর্ভুজ রূপের ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতার মানদণ্ড।

1. বিশ্লেষণী জ্যামিতি এবং লিনিয়ার বীজগণিত কোর্স। মস্কো: নওকা, 1984।

2. বুগরোভ ইয়া এস, নিকলস্কি এসএম। লিনিয়ার বীজগণিত এবং বিশ্লেষণী জ্যামিতির উপাদান 1997।

৩.ভয়েভোডিন ভি.ভি. লিনিয়ার বীজগণিত .. এম .: নওকা 1980।

৪. প্রযুক্তিগত কলেজগুলির জন্য কার্যাদি সংগ্রহ। লিনিয়ার বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের ভিত্তি। এড। এফিমোভা এ.ভি., ডেমিডোভিচ বি.পি .. মস্কো: নওকা, 1981।

5. বুতুজভ ভি.এফ., ক্রুতিতসকায়া এন.সি.এইচ, শিশকিন এ.এ. প্রশ্ন এবং সমস্যায় লিনিয়ার বীজগণিত। মস্কো: ফিজম্লিটল্ট, 2001।

, , , ,

1. বিলাইনার ফর্ম এবং এর বৈশিষ্ট্য। হতে দিন ভি - এনক্ষেত্রের উপর-মাত্রিক ভেক্টর স্থান or পি।

সংজ্ঞা ১।বিলাইনার ফর্মসংজ্ঞায়িত ভি, যেমন ম্যাপিং বলা হয় ছ: ভি 2 ® পি, যা প্রতিটি অর্ডার করা জোড় ( এক্স , y ) ভেক্টর এক্স , y পুট থেকে ভি মাঠ থেকে নম্বরটি মেলে পিচিহ্নিত ছ(এক্স , y ) এবং প্রতিটি ভেরিয়েবলের লিনিয়ার এক্স , y , অর্থাত্ অধিকারী সম্পত্তি:

1) ("এক্স , y , z Î ভি) ছ(এক্স + y , z ) = ছ(এক্স , z ) + ছ(y , z );

2) ("এক্স , y Î ভি) ("ক Î পি) ছ(ক) এক্স , y ) \u003d ক ছ(এক্স , y );

3) ("এক্স , y , z Î ভি) ছ(এক্স , y + z ) = ছ(এক্স , y ) + ছ(এক্স , z );

4) ("এক্স , y Î ভি) ("ক Î পি) ছ(এক্স , ক y ) \u003d ক ছ(এক্স , y ).

উদাহরণ 1... কোনও ভেক্টর স্পেসে সংজ্ঞায়িত কোনও বিন্দুর পণ্য ভি একটি বিলিিনার ফর্ম।

2 ... ফাংশন এইচ(এক্স , y ) = 2এক্স 1 y 1 - এক্স 2 y 2 + এক্স 2 y 1, যেখানে এক্স = (এক্স 1 , এক্স 2), y = (y 1 , y 2) Î আর 2, বিলাইনার ফর্ম চালু আছে আর 2 .

সংজ্ঞা 2।হতে দিন v = (v 1 , v 2 ,…, v এন ভি।বিলিনিয়ার ম্যাট্রিক্সছ(এক্স , y ) ভিত্তিতেv ম্যাট্রিক্স বলা হয় খ=(খ ij) এন ´ এনযার উপাদানগুলি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয় খ ij = ছ(v i, v j):

উদাহরণ 3... বিলিনিয়ার ম্যাট্রিক্স এইচ(এক্স , y ) (উদাহরণ 2 দেখুন) ভিত্তিতে সম্মান সহ e 1 = (1,0), e 2 \u003d (0,1) সমান।

উপপাদ্য ঘ. হতে দিনএক্স, ওয়াই- সমন্বিত কলামগুলি যথাক্রমে ভেক্টর এক্স , y ভিত্তিতেv, B - বিলিনার ফর্মের ম্যাট্রিক্সছ(এক্স , y ) ভিত্তিতেv. তারপরে বিলাইনার ফর্ম হিসাবে লিখতে পারেন

ছ(এক্স , y )=এক্স টি বাই. (1)

প্রমান. বিলাইনার ফর্মের বৈশিষ্ট্য দ্বারা, আমরা পাই

উদাহরণ 3... বিলাইনার ফর্ম এইচ(এক্স , y ) (উদাহরণ 2 দেখুন) হিসাবে লেখা যেতে পারে এইচ(এক্স , y )=.

উপপাদ্য 2. হতে দিন v = (v 1 , v 2 ,…, v এন), u = (u 1 , u 2 ,…, u এন) - ভেক্টর স্পেস দুটি বেস ভি, টি- ভিত্তি থেকে রূপান্তরের টি ম্যাট্রিক্সv ভিত্তিতেu হতে দিন খ= (খ ij) এন ´ এন এবং থেকে=(আইজি সহ) এন ´ এন - বিলিনিয়ার ম্যাট্রিক্সছ(এক্স , y ) ঘাঁটি যথাক্রমেv এবংu তারপরে

থেকে= টি টি বিটি।(2)

প্রমান. ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স এবং বিলিনিয়ার ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা দ্বারা আমরা পাই:



সংজ্ঞা 2।বিলাইনার ফর্ম ছ(এক্স , y ) বলা হয় প্রতিসম, যদি একটি ছ(এক্স , y ) = ছ(y , এক্স ) কোন জন্য এক্স , y Î ভি।

উপপাদ্য ঘ. বিলাইনার ফর্মছ(এক্স , y )- সম্মিলিত যদি এবং কেবলমাত্র যদি বিলিনিয়ার ফর্মের ম্যাট্রিক্স কোনও ভিত্তিতে সম্মতিযুক্ত হয় m

প্রমান.হতে দিন v = (v 1 , v 2 ,…, v এন) ভেক্টর স্পেসের ভিত্তি ভি, বি= (খ ij) এন ´ এন - বিলিনিয়ার ফর্মের ম্যাট্রিক্স ছ(এক্স , y ) ভিত্তিতে সম্মান সঙ্গে v।বিলাইনার ফর্ম যাক ছ(এক্স , y ) - প্রতিসম। তারপরে, সংজ্ঞা 2 দ্বারা, যে কোনও জন্য i, j = 1, 2,…, এন আমাদের আছে খ ij = ছ(v i, v j) = ছ(v j, v i) = খ জি... তারপরে ম্যাট্রিক্স খ - প্রতিসম।

বিপরীতে, ম্যাট্রিক্স যাক খ - প্রতিসম। তারপরে বি টি= খ এবং কোনও ভেক্টর জন্য এক্স = এক্স 1 v 1 + …+ x এন v এন = ভিএক্স, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ y এন v এন = vY Î ভি সূত্র (1) অনুসারে, আমরা (আমরা বিবেচনা করি যে নম্বরটি 1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স, এবং স্থানান্তরিত হওয়ার পরে পরিবর্তন হয় না)

ছ(এক্স , y ) = ছ(এক্স , y ) টি = (এক্স টি বাই) টি = Y t B t X = ছ(y , এক্স ).

2. চতুষ্কোণ ফর্ম। চতুর্ভুজ ম্যাট্রিক্স। সমন্বয় রূপান্তর।

সংজ্ঞা ১।চতুষ্পদ রূপ সংজ্ঞায়িত ভি, ম্যাপিং বলা হয় চ: ভি পিযা কোনও ভেক্টরদের জন্য এক্স এর ভি সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় চ(এক্স ) = ছ(এক্স , এক্স ), কোথায় ছ(এক্স , y ) এটি সংশ্লেষিত দ্বিখণ্ডিত ফর্ম যা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ভি .

সম্পত্তি ঘ।প্রদত্ত চতুর্ভুজ আকারে চ(এক্স ) বিলিিনার ফর্মুলার মাধ্যমে অনন্যভাবে পাওয়া যাবে

ছ(এক্স , y ) = 1/2(চ(এক্স + y ) - চ(এক্স )- চ(y )). (1)

প্রমান.যে কোনও ভেক্টরের জন্য এক্স , y Î ভি আমরা বিলাইনার ফর্মের বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে পাই

চ(এক্স + y ) = ছ(এক্স + y , এক্স + y ) = ছ(এক্স , এক্স + y ) + ছ(y , এক্স + y ) = ছ(এক্স , এক্স ) + ছ(এক্স , y ) + ছ(y , এক্স ) + ছ(y , y ) = চ(এক্স ) + 2ছ(এক্স , y ) + চ(y ).

সুতরাং সূত্র (1) অনুসরণ করে। এরই মধ্যে এ সম্পর্কে জানার দরকার নেই। ”

সংজ্ঞা 2।চতুর্ভুজ রূপের ম্যাট্রিক্সচ(এক্স ) ভিত্তিতেv = (v 1 , v 2 ,…, v এন) এটি সম্পর্কিত প্রতিসম বিলিনিয়ার ফর্মের ম্যাট্রিক্স ছ(এক্স , y ) ভিত্তিতে সম্মান সঙ্গে v.

উপপাদ্য ঘ. হতে দিনএক্স= (এক্স 1 , এক্স 2 ,…, x এন) টি- ভেক্টর সমন্বয় কলাম এক্স ভিত্তিতেv, B - চতুর্ভুজ রূপের ম্যাট্রিক্সচ(এক্স ) ভিত্তিতেv. তারপরে চতুষ্কোণ রূপচ(এক্স )

ভূমিকা

চতুষ্কোণ রূপ ফর্ম সমীকরণ

প্রাথমিকভাবে, চতুর্ভুজ রূপগুলির তত্ত্বটি দুটি বা তিনটি ভেরিয়েবলগুলি সহ দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত বক্ররেখা এবং পৃষ্ঠসমূহ অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত হত। পরে, এই তত্ত্বটি অন্যান্য অ্যাপ্লিকেশনগুলি খুঁজে পেয়েছিল। বিশেষত, অর্থনৈতিক প্রক্রিয়াগুলির গাণিতিক মডেলিংয়ে, উদ্দেশ্যগত কার্যগুলিতে চতুর্ভুজ পদ থাকতে পারে। চতুর্ভুজ আকারের অসংখ্য প্রয়োগগুলির জন্য একটি সাধারণ তত্ত্বের নির্মাণের প্রয়োজন হয় যখন ভেরিয়েবলগুলির সংখ্যা যে কোনওর সাথে সমান হয় এবং চতুষ্কোণ ফর্মের সহগগুলি সর্বদা আসল সংখ্যা হয় না।

চতুষ্কোণ রূপগুলির তত্ত্বটি প্রথম ফরাসী গণিতবিদ ল্যাঞ্জ্রেঞ্জ দ্বারা বিকাশিত হয়েছিল, যার কাছে এই তত্ত্বের অনেক ধারণাই বিশেষত, তিনি একটি হ্রাসিত রূপের গুরুত্বপূর্ণ ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন, যার সাহায্যে তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে প্রদত্ত বৈষম্যমূলক বাইনারি চতুর্ভুজ শ্রেণির শ্রেণীর সংখ্যা সীমাবদ্ধ। তারপরে গৌস এই তত্ত্বটি উল্লেখযোগ্যভাবে প্রসারিত করেছিলেন, যিনি বহু নতুন ধারণার প্রচলন করেছিলেন, যার ভিত্তিতে তিনি সংখ্যার তত্ত্বের ক্ষেত্রে কঠিন এবং গভীর তাত্ত্বিকতার প্রমাণ পেতে সক্ষম হয়েছিলেন যা এই ক্ষেত্রে তাঁর পূর্বসূরীদেরকে বাদ দিয়েছিল।

কাজের লক্ষ্য হ'ল প্রকার চতুষ্কোণ ফর্মগুলির প্রকারগুলি এবং চতুষ্কোণিক রূপগুলি ক্যানোনিকাল ফর্মে হ্রাস করার উপায়গুলি অধ্যয়ন করা।

এই কাজে, নিম্নলিখিত কাজগুলি উদয় করা হয়েছে: প্রয়োজনীয় সাহিত্য নির্বাচন করুন, সংজ্ঞা এবং প্রধান উপপাদ্যগুলি বিবেচনা করুন, এই বিষয়টিতে বেশ কয়েকটি সমস্যা সমাধান করুন।

চতুর্ভুজ ফর্মটি ক্যানোনিকাল ফর্মে হ্রাস করা

চতুর্ভুজ রূপগুলির তত্ত্বের উত্স বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে থাকে, যথা দ্বিতীয় ক্রমের তর্ক (এবং উপরিভাগ) তত্ত্বে theory এটি জানা যায় যে বিমানের দ্বিতীয় ক্রমের কেন্দ্রীয় বক্রের সমীকরণ, এই বক্ররেখার কেন্দ্রে আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কের উত্স স্থানান্তরিত করার পরে, রূপটি রয়েছে

নতুন স্থানাঙ্কগুলিতে আমাদের বক্রের সমীকরণটির "ক্যানোনিকাল" ফর্ম থাকবে

এই সমীকরণে, অজানা পণ্যগুলির সহগটি অতএব শূন্য। স্থানাঙ্কের রূপান্তর (2) স্পষ্টতই অজানাগুলির একটি রৈখিক রূপান্তর হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, তদুপরি, এটি অ-হ্রাসযুক্ত, কারণ এর সহগের নির্ধারক একটির সমান। এই রূপান্তরটি সমীকরণের বাম দিকে প্রয়োগ করা হয়েছে (1), এবং তাই আমরা বলতে পারি যে সমীকরণের বাম দিকটি (1) একটি অবিশ্রান্ত রৈখিক রূপান্তরকরণ (2) দ্বারা সমীকরণের বাম দিকে পরিণত হয় (3)

দুটি প্রয়োগের পরিবর্তে দু'জনের পরিবর্তে অজানা সংখ্যা যে কোনওটির সমান হলে অসংখ্য অ্যাপ্লিকেশনগুলির ক্ষেত্রে অনুরূপ তত্ত্বের নির্মাণের প্রয়োজন হয় এবং সহগগুলি হয় বাস্তব বা কোনও জটিল সংখ্যা।

সমীকরণের বাম দিকে অভিব্যক্তিটিকে সাধারণকরণ (1) করে আমরা নিম্নলিখিত ধারণায় আসি।

অজানাগুলির চতুর্ভুজ রূপটি একটি যোগফল, যার প্রতিটি শব্দ হয় এই অজানাগুলির একটির বর্গক্ষেত্র, বা দুটি পৃথক অজানাটির গুণফল। চতুষ্কোণ ফর্মটিকে প্রকৃত বা জটিল বলা হয়, তার সহগগুলি বাস্তব হয় বা কোনও জটিল সংখ্যা হতে পারে তার উপর নির্ভর করে।

এই ধরণের পদটি ইতিমধ্যে চতুষ্কোণ আকারে হ্রাস পেয়েছে বলে ধরে নিলাম, আমরা এই ফর্মের সহগের জন্য নিম্নলিখিত স্বরলিপিটি প্রবর্তন করি: এখানে সহগটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এবং পণ্যটির সহগ - - দ্বারা ((1) এর সাথে তুলনা করুন)।

যেহেতু, এই পণ্যটির সহগগুলিও এর মাধ্যমে চিহ্নিত করা যেতে পারে, অর্থাৎ। আমাদের দ্বারা প্রবর্তিত স্বরলিপিটি সমতাটিকে অনুমান করে

শব্দটি এখন হিসাবে লেখা যেতে পারে

এবং সম্পূর্ণ চতুষ্কোণ ফর্ম - সমস্ত সম্ভাব্য পদগুলির যোগফলের আকারে, যেখানে এবং স্বতন্ত্রভাবে একে অপরের সাথে 1 থেকে শুরু করে মানগুলি:

বিশেষত, যখন আমরা শব্দটি পাই

সহগ থেকে এটি রচনা করা সম্ভব, স্পষ্টতই, অর্ডার একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স; এটিকে চতুষ্কোণ রূপের ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং এর র\u200c্যাঙ্কটি এই চতুর্ভুজ ফর্মের র\u200c্যাঙ্ক।

যদি, বিশেষত, অর্থাত্ ম্যাট্রিক্স অ-অধঃপতিত হয়, তবে চতুর্ভুজ রূপকে নন-ডিজেনারেটও বলা হয়। সাম্যতার (4) বিবেচনায়, ম্যাট্রিক্স এ প্রতিসাম্যের উপাদানগুলি মূল ত্রিভুজের সাথে সম্মান করে একে অপরের সমান, অর্থাৎ। ম্যাট্রিক্স এ সমান্তরাল। বিপরীতভাবে, আদেশের যে কোনও প্রতিসাম্য ম্যাট্রিক্স এ এর \u200b\u200bজন্য, কেউ অজানাতে একটি সু-সংজ্ঞায়িত চতুর্ভুজ ফর্ম (5) নির্দেশ করতে পারে, যার সহগের দ্বারা ম্যাট্রিক্স এ এর \u200b\u200bউপাদান রয়েছে।

চতুর্ভুজ আকার (5) আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের গুণন ব্যবহার করে একটি ভিন্ন আকারে লেখা যেতে পারে। আসুন প্রথমে নীচের স্বীকৃতিটির সাথে একমত হয়ে উঠুন: যদি একটি বর্গক্ষেত্র বা সাধারণত আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স এ দেওয়া হয় তবে তার মাধ্যমে ম্যাট্রিক্স এ থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সকে স্থানান্তর দ্বারা বোঝানো হবে। যদি ম্যাট্রিকগুলি এ এবং বি এর পণ্যগুলির সংজ্ঞায়িত হয় তবে সমতা স্থান নেয়:

সেগুলো. পণ্যটি স্থানান্তরের মাধ্যমে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স বিপরীত ক্রমে গৃহীত কারণগুলি স্থানান্তর করে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের পণ্যের সমান।

প্রকৃতপক্ষে, যদি পণ্য AB সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে এটি নির্ধারণ করা হবে যে এটি চেক করা কত সহজ, এবং পণ্য: ম্যাট্রিক্স কলামগুলির সংখ্যা ম্যাট্রিক্স সারিগুলির সংখ্যার সমান। এর তম সারিতে এবং এম কলামে ম্যাট্রিক্স উপাদানটি ম্যাট্রিক্স এবি-র ith সারিতে এবং m কলামে অবস্থিত। অতএব, এটি ম্যাট্রিক্স এ এর \u200b\u200bith সারি এবং ম্যাট্রিক্স বি এর তম কলামের সাথে সম্পর্কিত উপাদানগুলির সমষ্টিগুলির সমান i ম্যাট্রিক্সের তম কলাম এবং ম্যাট্রিক্সের তম সারির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সমষ্টিগুলির সমান। এটি সমতা প্রমাণ করে (6)।

দ্রষ্টব্য যে ম্যাট্রিক্স এ সমান্তরাল হবে যদি এবং কেবল যদি এটি এর ট্রান্সপোজের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ। যদি একটি

আসুন এখন অজানা দ্বারা গঠিত একটি কলাম দ্বারা চিহ্নিত করুন।

একটি ম্যাট্রিক্স যা সারি এবং একটি কলাম আছে। এই ম্যাট্রিক্স স্থানান্তরিত করে আমরা ম্যাট্রিক্স পাই

একটি লাইন রচনা।

ম্যাট্রিক্স সহ চতুর্ভুজ ফর্ম (5) এখন নিম্নলিখিত পণ্য হিসাবে লেখা যেতে পারে:

প্রকৃতপক্ষে, পণ্যটি এক-কলামের ম্যাট্রিক্স হবে:

ম্যাট্রিক্সের বামে এই ম্যাট্রিক্সকে গুণিত করে আমরা একটি "ম্যাট্রিক্স" পাই যার মধ্যে একটি সারি এবং একটি কলাম থাকে, যথা সমতার ডান দিক (5)।

চতুর্ভুজ ফর্মের কী হবে যদি এর মধ্যে অন্তর্ভুক্ত থাকা অজানাগুলি রৈখিক রূপান্তরিত হয়

সুতরাং, দ্বারা (6)

(9) এবং (10) ফর্মটির রেকর্ডে (7) প্রতিস্থাপন, আমরা প্রাপ্ত:

ম্যাট্রিক্স m সমান্তরাল হবে, যেহেতু সাম্যতার (() দৃষ্টিতে, যা বৈধ, স্পষ্টতই, যে কোনও কারণের জন্য, এবং ম্যাট্রিক্সের প্রতিসাম্যের সমতুল্য সমতা:

সুতরাং, নিম্নলিখিত উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে:

অজানাগুলির একটি চতুর্ভুজ রূপ যা ম্যাট্রিক্স রয়েছে ম্যাট্রিক্স দিয়ে অজানাগুলির একটি রৈখিক রূপান্তর সম্পাদন করার পরে নতুন অজানাগুলির চতুর্ভুজ রূপে পরিণত হয় এবং পণ্যটি এই ফর্মের ম্যাট্রিক্স হিসাবে কাজ করে।

মনে করুন এখন আমরা একটি অবনমিত লিনিয়ার রূপান্তর সম্পাদন করছি, যথা , এবং সেইজন্য নন-ডিজেনারেট ম্যাট্রিক্সও। নন-ডিজেনারেট ম্যাট্রিক্স দ্বারা ম্যাট্রিক্সকে গুণিত করে পণ্যটি এক্ষেত্রে প্রাপ্ত হয় এবং তাই, এই পণ্যটির পদমর্যু ম্যাট্রিক্সের র\u200c্যাঙ্কের সমান। সুতরাং, একটি অ-লিনিয়র লিনিয়ার রূপান্তর সম্পাদন করার সময় চতুর্ভুজ ফর্মের র\u200c্যাঙ্ক পরিবর্তন হয় না।

আসুন এখন বিবেচনা করা যাক, এই বিভাগের শুরুতে সূচিত দ্বিতীয়-আদেশের কেন্দ্রীয় বক্ররেখার সমীকরণকে কমানোর আকারের জ্যামিতিক সমস্যার সাথে বিবেচনা করে, অজানাগুলির স্কোয়ারের যোগফলের আকারে কিছু নূন্যরৈখিক রৈখিক রূপান্তর দ্বারা একটি স্বেচ্ছাসৈনিক চৌম্বক ফর্মকে হ্রাস করার প্রশ্নটি, অর্থাৎ। এ জাতীয় আকারে যখন বিভিন্ন অজানা পণ্যগুলির সমস্ত সহগগুলি শূন্যের সমান হয়; এই বিশেষ ধরণের চতুষ্কোণ রূপকে ক্যানোনিকাল বলা হয়। প্রথমে, ধরে নিন যে অজানাগুলিতে চতুষ্কোণ ফর্মটি ইতিমধ্যে স্ব-স্বীকৃত লিনিয়ার রূপান্তর দ্বারা ক্যানোনিকাল ফর্মটিতে হ্রাস পেয়েছে

নতুন অজানা যেখানে। অনুপাতের কিছু হতে পারে। অবশ্যই, শূন্য হতে। আসুন প্রমাণ করুন যে (11) এ ননজারো সহগের সংখ্যা অবশ্যই ফর্মের র\u200c্যাঙ্কের সমান।

প্রকৃতপক্ষে, যেহেতু আমরা অ-অধঃপতিত রূপান্তর ব্যবহার করে (১১) এ পৌঁছেছি, তাই সাম্যের ডানদিকে চৌম্বকীয় রূপটি (১১) অবশ্যই পদমর্যাদার হতে হবে।

তবে এই চতুর্ভুজ রূপের ম্যাট্রিক্সের একটি তির্যক রূপ রয়েছে

এবং এই ম্যাট্রিক্সের একটি র\u200c্যাঙ্ক থাকা প্রয়োজনীয়তা এর মূল ত্রিভুজটিতে ঠিক ননজারো উপাদান রয়েছে এমন অনুমানের সমতুল্য।

আমরা চতুর্ভুজ ফর্মের উপর নিম্নলিখিত মূল উপপাদ্য প্রমাণের দিকে এগিয়ে যান।

যে কোনও চতুর্ভুজীয় ফর্মটি কিছু অ-জেনারেট লিনিয়ার রূপান্তরকে ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস করা যায়। যদি সত্যিকারের চতুষ্কোণ রূপটি বিবেচনা করা হয়, তবে নির্দেশিত লিনিয়ার রূপান্তরের সমস্ত সহগকে বাস্তব হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

এই উপপাদ্যটি এক অজানাতে চতুর্ভুজ রূপগুলির ক্ষেত্রে সত্য, যেহেতু এ জাতীয় কোনও রূপের একটি রূপ রয়েছে যা প্রচলিত। অতএব আমরা অজানা সংখ্যায় অন্তর্ভুক্ত হয়ে প্রমাণটি সম্পাদন করতে পারি, যথা। কম অজানা সহ ফর্মগুলির জন্য এটি ইতিমধ্যে প্রমাণিত বিবেচনা করে এন অজানাতে চতুর্ভুজ রূপগুলির উপপাদ্য প্রমাণ করুন।

চতুর্ভুজ ফর্মটি খালি

অজানা থেকে। আমরা একটি অ-জেনারেট লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশন সন্ধান করার চেষ্টা করব যা স্কোয়ার থেকে অজানাগুলির মধ্যে একটি বেছে নেবে, অর্থাৎ। এই বর্গাকার যোগফলের ফর্ম এবং বাকী অজানাগুলির কিছু চতুর্ভুজ রূপ নিয়ে যাবে। এই লক্ষ্যটি সহজেই অর্জিত হয় যদি, ম্যাট্রিক্সের সহগের মধ্যে, মূল ত্রিভুজটির ফর্মগুলি ননজারো হয়, অর্থাৎ। যদি (12) ননজারো সহগ সহ কমপক্ষে একটি অজানা এর বর্গক্ষেত্র থাকে

উদাহরণস্বরূপ, যাক। তারপরে, এটি যাচাই করা সহজ, এক্সপ্রেশনটি, যা একটি চতুর্ভুজ রূপ, আমাদের ফর্মের মতো অজানা সাথে একই পদগুলি ধারণ করে এবং তাই পার্থক্য

চতুষ্কোণ রূপ যা কেবল অজানা থাকে তবে তা নয়। এখান থেকে

আমরা স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দিলে

আমরা পেতে

এখন কোথায় থাকবে অজানাগুলির চতুর্ভুজ রূপ। এক্সপ্রেশন (১৪) হ'ল ফর্মের জন্য কাঙ্ক্ষিত অভিব্যক্তি, যেহেতু এটি একটি (ডিজিটাল রৈখিক রৈখিক রূপান্তরকরণ (12) থেকে লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশন (13) এর রূপান্তর বিপরীত দ্বারা প্রাপ্ত, যা এর নির্ধারক এবং তাই অধঃপতিত হয় না।

যদি সাম্যতা থাকে, তবে আপনাকে প্রথমে একটি সহায়ক লিনিয়ার রূপান্তর সম্পাদন করতে হবে, যা আমাদের ফর্মের অজানাগুলির স্কোয়ারের উপস্থিতির দিকে পরিচালিত করে। যেহেতু এই ফর্মটির রেকর্ড (12) এর সহগের মধ্যে ননজারো হওয়া উচিত, অন্যথায় প্রমাণ করার মতো কিছুই থাকবে না, তবে উদাহরণস্বরূপ, যাক, একটি সদস্য এবং সদস্যদের যোগফল, যার প্রত্যেকটিতে কমপক্ষে একটি অজানা অন্তর্ভুক্ত থাকে।

আসুন এখন একটি রৈখিক রূপান্তর সম্পাদন করি

এটি অজস্র হবে, যেহেতু এটির নির্ধারক রয়েছে

এই রূপান্তরের ফলস্বরূপ, আমাদের ফর্মের সদস্য ফর্ম গ্রহণ করবেন

সেগুলো. ফর্মটিতে ননজারো সহগ সহ, একবারে দুটি অজানা এর স্কোয়ার উপস্থিত হবে এবং তারা অন্য যে কোনও শর্তের সাথে বাতিল করতে পারে না, কারণ এই শেষের প্রত্যেকটিতে অন্তত একটি অজানা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে; এখন আমরা ইতিমধ্যে উপরে বিবেচিত মামলার শর্তে আছি, সেগুলো. অন্য একটি অজস্র রৈখিক রূপান্তর দ্বারা, আমরা ফর্মটি ফর্মটিতে হ্রাস করতে পারি (14)।

প্রমাণটি সম্পূর্ণ করার জন্য, এটি লক্ষ করা যায় যে চতুষ্পদীয় ফর্মটি অজানা সংখ্যার চেয়ে কমের উপর নির্ভর করে এবং তাই অনুমিত হাইপোথিসিস দ্বারা অজানাগুলির কিছু অজানা রূপান্তর দ্বারা ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস পেয়েছে। এই রূপান্তরটি (অ-অধঃপতিত, এটি সহজে দেখা যায়) হিসাবে বিবেচিত সমস্ত অজানা রূপান্তর, যাতে এটি অপরিবর্তিত থাকে, সুতরাং, (14) আধ্যাত্মিক আকারে চলে আসে। সুতরাং, দুই বা তিনটি অ-অবনমিত রৈখিক রূপান্তর দ্বারা চতুষ্কোণ রূপটি, যা একটি অ-অধঃপতিত রূপান্তর দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে - তাদের পণ্যটি কিছু সংখ্যক সহ অজানা এর স্কোয়ারের যোগফলের আকারে হ্রাস পায়। এই বর্গক্ষেত্রের সংখ্যা ফর্মের মর্যাদায় সমান। তদ্ব্যতীত, চতুর্ভুজ ফর্মটি যদি আসল হয়, তবে ফর্মের আঞ্চলিক রূপে এবং এই ফর্মের দিকে রৈখিক রুপান্তরকরণের সহগ উভয়ই আসল হবে; আসলে, বিপরীতমুখী রৈখিক রূপান্তরকরণ (13) এবং লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশন (15) উভয়েরই সত্যিকার সহগ রয়েছে e

মূল উপপাদ্যের প্রমাণ সম্পূর্ণ। এই প্রমাণটিতে ব্যবহৃত পদ্ধতিটি নির্দিষ্ট উদাহরণগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে আসলে চতুর্ভুজ ফর্মটি ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস করতে। উপরের পদ্ধতিটি ব্যবহার করে অজানাগুলির স্কোয়ারগুলি ক্রমানুসারে পৃথক করার জন্য প্রুডে আমরা প্রয়োগের পরিবর্তে কেবল প্রয়োজনীয়।

উদাহরণ 1. চতুর্ভুজ রূপটি ক্যানোনিকাল ফর্মকে হ্রাস করুন

যেহেতু এই ফর্মটিতে অজানাগুলির কোনও স্কোয়ার নেই, তাই আমরা প্রথমে অ-জেনারেট লিনিয়ার রূপান্তর করি

ম্যাট্রিক্স সহ

যার পরে আমরা পাই:

এখন এর সহগগুলি ননজারো, এবং তাই আমাদের ফর্মটি থেকে আমরা একটি অজানা শ্রেণীর বর্গ নির্বাচন করতে পারি। ধরে নিচ্ছি

সেগুলো. লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশন সম্পাদন করা হচ্ছে যার জন্য বিপরীতে ম্যাট্রিক্স থাকবে

আমরা মনে আনব

এখনও অবধি, কেবল অজানা বর্গক্ষেত্রটি দাঁড়িয়ে আছে, যেহেতু ফর্মটিতে এখনও অন্য দু'জন অজানা এর পণ্য রয়েছে। সহগের অসমতা শূন্য থেকে ব্যবহার করে আমরা আবার উপরের পদ্ধতিটি প্রয়োগ করি। রৈখিক রূপান্তর করা

যার জন্য বিপরীতে একটি ম্যাট্রিক্স রয়েছে

আমরা অবশেষে ফর্মটি ক্যানোনিকাল ফর্মে আনব

একটি রৈখিক রূপান্তর যা (১ directly) সরাসরি ফর্মে নিয়ে আসে (17) এর ম্যাট্রিক্স হিসাবে পণ্যটি থাকবে

প্রত্যক্ষ প্রতিস্থাপনার মাধ্যমে এটিও যাচাই করা সম্ভব যে অজস্র (যেহেতু নির্ধারক সমান) লিনিয়ার রূপান্তর

(17) এ পরিণত হয় (17)।

ক্যানোনিকাল আকারে চতুষ্কোণ রূপকে হ্রাস করার তত্ত্বটি দ্বিতীয় ক্রমের কেন্দ্রীয় বক্রের জ্যামিতিক তত্ত্বের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা নির্মিত হয়, তবে এই উত্তর তত্ত্বটির সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যায় না। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের তত্ত্বে, এটি কোনও অ-জেনারেট লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশনগুলি ব্যবহার করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে, যখন ক্যানোনিকাল আকারে দ্বিতীয়-ক্রমের বক্ররেখা হ্রাস খুব বিশেষ ফর্মের রৈখিক রূপান্তরগুলি ব্যবহার করে অর্জিত হয়,

বিমানের আবর্তন যা। এই জ্যামিতিক তত্ত্বটি অবশ্য বাস্তব সহগের সাথে অজানাতে চতুর্ভুজ রূপগুলির ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। এই সাধারণীকরণের উপস্থাপনা, যাকে প্রধান অক্ষগুলিতে চতুষ্কোণ ফর্মের হ্রাস বলা হয়, নীচে দেওয়া হবে।

চতুর্ভুজ ফর্ম ক্যানোনিকাল ফর্ম হ্রাস।

প্রমিত এবং স্বাভাবিক চতুষ্কোণ ফর্ম।

ভেরিয়েবলের লিনিয়ার রূপান্তরকরণ।

চতুর্ভুজ রূপের ধারণা।

চতুষ্কোণ ফর্ম।

সংজ্ঞা: এই ভেরিয়েবলগুলির সাথে সম্মানের সাথে দ্বিতীয় ডিগ্রির একজাতীয় বহুভুজকে ভেরিয়েবলগুলিতে চতুষ্কোণ রূপ বলে।

ভেরিয়েবলগুলি পাটিগণিত স্পেস এ এন এর একটি পয়েন্টের অ্যাফাইন স্থানাঙ্ক হিসাবে বা এন-ডাইমেনশনাল স্পেস ভি এন এর ভেক্টরের স্থানাঙ্ক হিসাবে দেখা যেতে পারে। আমরা হিসাবে ভেরিয়েবলগুলিতে একটি চতুর্ভুজ রূপকে নির্দেশ করব।

উদাহরণ 1:

যদি অনুরূপ পদগুলি ইতিমধ্যে চতুষ্কোণ আকারে হ্রাস করা হয়ে থাকে, তবে এর সহগগুলি চিহ্নিত করা হয়, এবং () - এ। সুতরাং, এটি বিশ্বাস করা হয় যে। চতুর্ভুজ ফর্মটি নীচে লেখা যেতে পারে:

উদাহরণ 2:

সিস্টেম ম্যাট্রিক্স (1):

- বলা হয় চতুর্ভুজ রূপের ম্যাট্রিক্স।

উদাহরণ: উদাহরণ 1 এর চতুর্ভুজ রূপগুলির ম্যাট্রিকগুলি হ'ল:

উদাহরণ 2 এর চতুর্ভুজ ম্যাট্রিক্স:

পরিবর্তনশীল রৈখিক রূপান্তর ভেরিয়েবলের সিস্টেম থেকে ভেরিয়েবলের সিস্টেমে এ জাতীয় রূপান্তর বলা হয়, যেখানে ফর্মগুলি ব্যবহার করে পুরানো ভেরিয়েবলগুলি নতুনগুলির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়:

যেখানে সহগগুলি একটি অবনতিযুক্ত ম্যাট্রিক্স গঠন করে।

যদি ভেরিয়েবলগুলি কোনও ভিত্তিতে সম্মান সঙ্গে ইউক্লিডিয়ান স্থানের কোনও ভেক্টরের স্থানাঙ্ক হিসাবে বিবেচিত হয়, তবে লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশন (2) এই স্থানটিতে একটি নতুন ভিত্তিতে রূপান্তর হিসাবে বিবেচিত হতে পারে, যার সাথে একই ভেক্টরের স্থানাঙ্ক রয়েছে respect

এরপরে, আমরা কেবল আসল সহগের সাথে চতুর্ভুজ রূপগুলি বিবেচনা করব। আমরা ধরে নেব যে ভেরিয়েবলগুলি কেবল আসল মান নেয়। চতুর্ভুজ আকারে (1) ভেরিয়েবলগুলি যদি রৈখিক রূপান্তর (2) এর অধীন হয়, তবে আমরা নতুন ভেরিয়েবলগুলিতে একটি চতুর্ভুজ রূপ লাভ করি। এরপরে কীভাবে আমরা রূপান্তর (2) এর উপযুক্ত পছন্দের সাথে দেখাবো, চতুর্ভুজ রূপটি (1) কেবলমাত্র নতুন ভেরিয়েবলগুলির স্কোয়ার সমন্বিত একটি ফর্মে হ্রাস করা যেতে পারে, অর্থাৎ। ... এই ধরণের চতুষ্কোণ রূপ বলা হয় ক্যানোনিকাল... এই ক্ষেত্রে, একটি চতুর্ভুজ ম্যাট্রিক্স হ'ল তির্যক:।

সমস্ত সহগগুলি যদি মানগুলির মধ্যে কেবল একটি নিতে পারে: -1,0,1 সংশ্লিষ্ট ফর্মটি বলা হয় সাধারণ.

উদাহরণ: নতুন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থানান্তরিত করে দ্বিতীয়-ক্রমের কেন্দ্রীয় বক্ররেখার সমীকরণ

ফর্মটিতে হ্রাস করা যেতে পারে:, এবং এই ক্ষেত্রে চতুর্ভুজ ফর্মটি ফর্মটি গ্রহণ করবে:

লেমা 1: চতুর্ভুজ রূপ যদি(1) ভেরিয়েবলের স্কোয়ার ধারণ করে না, তারপরে লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশন ব্যবহার করে এটি কমপক্ষে একটি ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রযুক্ত ফর্মে হ্রাস করা যেতে পারে।

প্রমান: শর্ত অনুসারে, চতুর্ভুজ ফর্মটিতে ভেরিয়েবলের পণ্যগুলির সাথে কেবল পদ থাকে। আই এবং জে, যথা, যে কোনও পৃথক মানের জন্য এটি ননজারো হতে দিন - এই পদগুলির মধ্যে একটি চতুর্ভুজ আকারে অন্তর্ভুক্ত। আপনি যদি রৈখিক রূপান্তর সম্পাদন করেন এবং অন্য সমস্ত পরিবর্তন না করেন, যেমন। (এই রূপান্তরটির নির্ধারক ননজারো), তারপরেও ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্র সহ দুটি পদ চতুষ্কোণ আকারে উপস্থিত হবে: যেহেতু এই জাতীয় পদগুলি হ্রাস হয় তখন এই পদগুলি অদৃশ্য হয়ে যায় না বাকী প্রতিটি পদে অন্তত একটি পরিবর্তনশীল অন্তর্ভুক্ত হয় বা হয় না থেকে।

উদাহরণ:

লেমা 2: বর্গাকার আকার (1) ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, চলক সহ কমপক্ষে আরও একটি পদ term , তারপরে একটি রৈখিক রূপান্তর ব্যবহার করে, চ ভেরিয়েবল থেকে ফর্ম রূপান্তর করা যেতে পারে , ফর্ম থাকা: (2), কোথায় ছ - চতুর্ভুজ ফর্ম কোন ভেরিয়েবল সমন্বিত .

প্রমান: আসুন চতুষ্কোণ আকারে (1) যুক্ত পদগুলির যোগফল: (3) এখানে g 1 দ্বারা সমস্ত পদগুলির সমষ্টি না করে।

আমরা বোঝাচ্ছি

(4), যেখানে থাকে না এমন সমস্ত পদগুলির যোগফলকে বোঝায়।

আমরা উভয় পক্ষকে (4) বিভক্ত করি এবং ফলস্বরূপ সমতাটি (3) থেকে বিয়োগ করি, আমাদের অনুরূপগুলি হ্রাস করার পরে:

ডান পাশের এক্সপ্রেশনটিতে একটি ভেরিয়েবল থাকে না এবং এটি ভেরিয়েবলগুলিতে একটি চতুর্ভুজ রূপ form আসুন g এর মাধ্যমে এই অভিব্যক্তিটি বোঝান এবং এর সহগের মাধ্যমে এবং তারপরে f সমান হবে:। যদি আমরা একটি রৈখিক রূপান্তর সম্পাদন করি: যার নির্ধারকটি ননজারো, তবে জি ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে একটি চতুর্ভুজ রূপ হবে এবং চতুর্ভুজ রূপটি ফ আকারে হ্রাস পাবে (2)। লেমা প্রমাণিত হয়।

উপপাদ্য: যে কোনও চতুষ্কোণ ফর্মটি ভেরিয়েবল ট্রান্সফর্মেশন ব্যবহার করে ক্যানোনিকাল ফর্মে রূপান্তরিত করা যায়।

প্রমান: আমরা ভেরিয়েবলের সংখ্যার উপর আনয়ন ব্যবহার করি। এর চতুর্ভুজ রূপটি :, যা ইতিমধ্যে প্রামাণিক। ধরা যাক যে উপপাদ্যটি এন -1 ভেরিয়েবলগুলিতে চতুষ্কোণ ফর্মের জন্য সত্য এবং প্রমানিত যে এটি এন ভেরিয়েবলগুলিতে চতুষ্কোণ রূপের জন্য সত্য।

যদি f এ ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্র না থাকে তবে লেমা 1 এর মাধ্যমে এটি কমপক্ষে একটি ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রযুক্ত ফর্মে হ্রাস করা যেতে পারে; লেমমা 2 দ্বারা, ফলস্বরূপ চতুর্ভুজ রূপটি (2) আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে। কারণ চতুষ্কোণ ফর্মটি এন -1 ভেরিয়েবলের উপর নির্ভরশীল, তবে প্রবর্তক অনুমান অনুসারে এই ভেরিয়েবলগুলির একটি রৈখিক রূপান্তরকে পরিবর্তনশীল ব্যবহার করে ক্যানোনিকাল ফর্মে হ্রাস করা যায়, যদি আমরা এই রূপান্তরটির সূত্রগুলিতে একটি সূত্র যুক্ত করি, তবে আমরা লিনিয়ার রূপান্তরের সূত্রটি পাই, যা ক্যানোনিকাল দিকে পরিচালিত করে সমতাতে অন্তর্ভুক্ত চতুর্ভুজ ফর্মের ফর্ম (2)। ভেরিয়েবলগুলির সমস্ত বিবেচিত রূপান্তরগুলির সংমিশ্রণটি হ'ল পছন্দসই রৈখিক রূপান্তর, যা চতুর্ভুজীয় ফর্মের (1) ক্যানোনিকাল ফর্মের দিকে পরিচালিত করে।

চতুষ্কোণ ফর্মটিতে (1) কিছু ভেরিয়েবলের একটি বর্গ থাকে, তবে লেমা 1 প্রয়োগ করার প্রয়োজন হবে না। উপরের পদ্ধতিটি বলা হয় লাগরেঞ্জ পদ্ধতি.

ক্যানোনিকাল ফর্ম থেকে, কোথায়, আপনি স্বাভাবিক ফর্মে যেতে পারেন, যেখানে, যদি, এবং, যদি, রূপান্তরটি ব্যবহার করে:

উদাহরণ: চৌম্বকীয় ফর্মটি ল্যাঞ্জরেজ পদ্ধতি দ্বারা ক্যানোনিকাল ফর্মটিতে আনুন:

কারণ চতুর্ভুজ আকারে ইতিমধ্যে কিছু ভেরিয়েবলের স্কোয়ার রয়েছে, তবে লেমা 1 প্রয়োগ করার প্রয়োজন নেই।

সমন্বিত সদস্য নির্বাচন করুন:

৩. একটি লিনিয়ার রূপান্তর প্রাপ্ত করতে যা ফর্মটিকে সরাসরি ফর্ম (4) এ হ্রাস করে, আমরা প্রথমে রূপান্তরগুলি (2) এবং (3) এর বিপরীতটি পাই।

এখন, এই রূপান্তরগুলি ব্যবহার করে আসুন তাদের রচনাটি তৈরি করুন:

যদি আমরা প্রাপ্ত মানগুলি (5) (1) এ প্রতিস্থাপন করি, আমরা তত্ক্ষণাত ফর্ম (4) আকারে চতুর্ভুজ রূপের উপস্থাপনা পাই obtain

রূপান্তর দ্বারা ক্যানোনিকাল ফর্ম (4) থেকে

আপনি সাধারণ দৃশ্যে যেতে পারেন:

চতুর্ভুজ ফর্ম (1) কে একটি সাধারণ আকারে নিয়ে আসে এমন একটি লিনিয়ার রূপান্তর সূত্রগুলি দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

গ্রন্থপঞ্জি:

1. ভোভোডিন ভি.ভি. রৈখিক বীজগণিত. সেন্ট পিটার্সবার্গ: ল্যান, 2008, 416 পি।

2. বেকলেমিশেভ ডিভি কোর্স বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি এবং লিনিয়ার বীজগণিতের কোর্স। মস্কো: ফিজমালিট, 2006, 304 পি।

3. কোস্ট্রিকিন এআই। বীজগণিত পরিচয়। দ্বিতীয় খণ্ড। বীজগণিতের মৌলিক: বিশ্ববিদ্যালয়গুলির জন্য পাঠ্যপুস্তক, -এম। : দৈহিক এবং গাণিতিক সাহিত্য, 2000, 368 পি।

লেকচার নম্বর 26 (দ্বিতীয় সেমিস্টার)

বিষয়: জড়তার আইন। ইতিবাচক নির্দিষ্ট ফর্ম।

সংজ্ঞা 10.4।ক্যানোনিকাল ভিউ চতুর্ভুজ ফর্ম (10.1) নিম্নলিখিত ফর্ম বলা হয়:। (10.4)

আসুন দেখান যে ইগেনভেেক্টরগুলির ভিত্তিতে চতুর্ভুজ রূপ (10.1) ক্যানোনিকাল ফর্ম গ্রহণ করে takes হতে দিন

- ইগেনভ্যালুগুলির সাথে সম্পর্কিত সাধারণকরণকৃত ইগেনভেেক্টর λ 1, λ 2, λ 3 অরথনরমাল ভিত্তিতে ম্যাট্রিক (10.3)। তারপরে পুরান ভিত্তি থেকে নতুনটিতে রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স হবে ম্যাট্রিক্স

... নতুন ভিত্তিতে, ম্যাট্রিক্স এবং তির্যক রূপ নেয় (9.7) (ইগেনভেেক্টরগুলির সম্পত্তি অনুসারে)। সুতরাং, সূত্রগুলি ব্যবহার করে স্থানাঙ্কগুলিকে রূপান্তর করা:

,

আমরা নতুন ভিত্তিতে ইগেনভ্যালুগুলির সমান গুণফল সহ চতুষ্কোণ ফর্মের ক্যানোনিকাল ফর্মটি পাই λ 1, λ 2, λ 3:

মন্তব্য 1. জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, স্থানাঙ্কগুলির বিবেচিত রূপান্তরটি স্থানাঙ্ক পদ্ধতির একটি আবর্তন যা নতুনগুলির সাথে পুরানো স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি প্রান্তিক করে তোলে।

মন্তব্য ২. যদি ম্যাট্রিক্সের কোনও ইগেনালুয়েস (১০.৩) একত্রিত হয় তবে সংশ্লিষ্ট অরথনরমাল ইগেনভেেক্টরগুলির সাথে যে কোনও একটিতে একটি ইউনিট ভেক্টর অরথোগোনাল যুক্ত করতে পারে, এবং এইভাবে একটি ভিত্তি তৈরি করতে পারে যেখানে চতুর্ভুজ রূপটি ক্যানোনিকাল রূপ গ্রহণ করে।

আসুন আমরা চতুষ্কোণ রূপটি ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস করি

এক্স² + 5 y² + z² + 2 xy + 6এক্সজেড + 2yz.

এর ম্যাট্রিক্সটির ফর্ম রয়েছে 9 লেকচার 9 এ বিবেচিত উদাহরণে, এই ম্যাট্রিক্সের ইগেনভ্যালু এবং অর্থনরমালাইজড ইগেনভেেক্টর পাওয়া গেছে:

আসুন এই ভেক্টরগুলির ভিত্তিতে রূপান্তর ম্যাট্রিক্স রচনা করুন:

(ভেক্টরের ক্রম পরিবর্তন করা হয়েছে যাতে তারা সঠিক ট্রিপল গঠন করে)। আমরা সূত্রগুলি ব্যবহার করে স্থানাঙ্কগুলি রূপান্তর করি:

.

সুতরাং, চতুষ্কোণ রূপটি চতুষ্কোণক ফর্মের ম্যাট্রিক্সের ইগেনভ্যালুগুলির সমান সহগফল সহ ক্যানোনিকাল ফর্মে হ্রাস পেয়েছে।

বক্তৃতা 11।

দ্বিতীয় ক্রমের বক্ররেখা। উপবৃত্তাকার, হাইপারবোলা এবং প্যারাবোলা, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং ক্যানোনিকাল সমীকরণ। ক্যানোনিকাল আকারে দ্বিতীয় ক্রমের সমীকরণ হ্রাস।

সংজ্ঞা 11.1।দ্বিতীয় ক্রম এর বক্ররেখা একটি সমতলে বিমানগুলি সহ একটি বৃত্তাকার শঙ্কুটির ছেদগুলির রেখাগুলি থাকে যা এর শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায় না।

যদি এই জাতীয় বিমানটি শঙ্কুর একটি গহ্বরের সমস্ত জেনারেট্রিকগুলিকে ছেদ করে, তবে বিভাগে এটি সক্রিয় হয় উপবৃত্ত, উভয় গহ্বরগুলির জেনারেট্রিকগুলির ছেদে - অধিবৃত্ত, এবং যদি সেকান্ট প্লেনটি কিছু জেনারেট্রিক্সের সমান্তরাল হয়, তবে শঙ্কুর বিভাগটি পরাবৃত্ত.

মন্তব্য। দ্বিতীয় ক্রমের সমস্ত বক্ররেখা দুটি ভেরিয়েবলগুলিতে দ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়।

উপবৃত্ত।

সংজ্ঞা 11.2।উপবৃত্ত বিমানের পয়েন্টগুলির সেটকে বলা হয় যার জন্য দূরত্বের যোগফল দুটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট হয় এফ 1 এবং এফ কৌশল, একটি ধ্রুবক মান আছে।

মন্তব্য। যখন পয়েন্ট একসাথে হয় এফ 1 এবং এফ 2 উপবৃত্তটি একটি বৃত্তে পরিণত হয়।

কার্টেসিয়ান সিস্টেমটি বেছে নিয়ে আমরা উপবৃত্তির সমীকরণ অর্জন করি

y এম (x, y) স্থানাঙ্ক যাতে অক্ষ উহুএকটি সরল রেখার সাথে একত্রিত এফ 1 এফ 2, শুরু করুন

r 1 r 2 স্থানাংক - বিভাগটির মাঝখানে এফ 1 এফ ঘ। এর দৈর্ঘ্য দিন

বিভাগটি 2 সমান থেকেতারপরে নির্বাচিত সমন্বয় ব্যবস্থাতে

এফ 1 ও এফ 2 এক্স এফ 1 (-গ, 0), এফ 2 (গ, 0)। কথা বলা যাক এম (এক্স, ওয়াই)) উপবৃত্তের উপরে অবস্থিত, এবং

এটি থেকে দূরত্বের যোগফল এফ 1 এবং এফ 2 সমান 2 এবং.

তারপরে r 1 + r 2 = 2ককিন্তু,

সুতরাং, স্বরলিপি প্রবর্তন খ² = ক²- গ² এবং সাধারণ বীজগণিত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করে আমরা পাই ক্যানোনিকাল উপবৃত্ত সমীকরণ: (11.1)

সংজ্ঞা 11.3।উদ্দীপনা উপবৃত্তকে মান বলা হয় e \u003d s / a (11.2)

সংজ্ঞা 11.4।প্রধান শিক্ষক ডি iফোকাসের সাথে সম্পর্কিত উপবৃত্ত চ i চ i অক্ষ সম্পর্কে ওউঅক্ষের উপর লম্ব উহুদূরত্বে ক / ই উত্স থেকে।

মন্তব্য। স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ভিন্ন পছন্দের সাথে, উপবৃত্তটি ক্যানোনিকাল সমীকরণ (11.1) দ্বারা নয়, তবে একটি ভিন্ন ফর্মের দ্বিতীয়-ডিগ্রি সমীকরণ দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে।

উপবৃত্ত বৈশিষ্ট্য:

১) উপবৃত্তের প্রতিসাম্যের দুটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষ (উপবৃত্তের মূল অক্ষ) এবং প্রতিসমের একটি কেন্দ্র (উপবৃত্তের কেন্দ্র) রয়েছে। যদি একটি উপবৃত্ত একটি আধ্যাত্মিক সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়, তবে এর প্রধান অক্ষগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষ, এবং এর কেন্দ্রটি উত্স। যেহেতু মূল অক্ষের সাহায্যে উপবৃত্তের ছেদ দ্বারা গঠিত অংশগুলির দৈর্ঘ্য 2 হয় এবংএবং 2 খ (2ক>2খ), তারপরে ফোকি দিয়ে যাওয়ার প্রধান অক্ষকে উপবৃত্তের প্রধান অক্ষ বলা হয় এবং দ্বিতীয় প্রধান অক্ষকে মাইনর অক্ষ বলে।

2) পুরো উপবৃত্তটি আয়তক্ষেত্রের মধ্যে রয়েছে

3) উপবৃত্তের কৌতূহল e< 1.

সত্যিই,

৪) উপবৃত্তের ডাইরেক্ট্রিকটি উপবৃত্তের বাইরে অবস্থিত (যেহেতু উপবৃত্তের কেন্দ্র থেকে ডাইরেক্ট্রিকের দূরত্ব হ'ল) ক / ই, এবং e<1, следовательно, a / e\u003e ক, এবং পুরো উপবৃত্তটি একটি আয়তক্ষেত্রের মধ্যে রয়েছে)

5) দূরত্বের অনুপাত r i উপবৃত্তাকার বিন্দু থেকে ফোকাস চ i দূরত্ব d i এই বিন্দু থেকে ফোকাসের সাথে সম্পর্কিত ডাইরেক্ট্রিক্সে বর্ণবৃত্তের অভিনবতার সমান।

প্রমান.

বিন্দু থেকে দূরত্ব এম (x, y) উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুগুলি নিম্নরূপভাবে উপস্থাপন করার আগে:

ডাইরেক্ট্রিক্স সমীকরণ রচনা করি:

(ডি 1), (ডি 2)। তারপরে এখান থেকে r i / d i \u003d eপ্রমাণ করার প্রয়োজন হিসাবে।

অধিবৃত্ত.

সংজ্ঞা 11.5।হাইপারবোল বিমানের পয়েন্টগুলির সেট যা দু'দিকের স্থির দূরত্বের মধ্যকার পার্থক্যের মডুলাস এফ 1 এবং এফ বলা হয় এই বিমানের 2 কৌশল, একটি ধ্রুবক মান আছে।

আসুন একই স্বরলিপি ব্যবহার করে উপবৃত্তির সমীকরণের অনুকরণের সাথে উপমা দিয়ে ক্যানোনিকাল হাইপারবোলা সমীকরণটি অর্জন করি।

|r 1 - আর 2 | \u003d2ক, কোথা থেকে যদি আমরা চিহ্নিত করি খ² = গ² - কএবং, এখান থেকে আপনি পেতে পারেন

- ক্যানোনিকাল হাইপারবোলা সমীকরণ. (11.3)

সংজ্ঞা 11.6।উদ্দীপনা হাইপারবোলকে মান বলা হয় e \u003d s / a।

সংজ্ঞা 11.7।প্রধান শিক্ষক ডি i হাইপারবোলে ফোকাস চ i, একটি অর্ধ-সমতলে অবস্থিত একটি সরলরেখা বলা হয় চ iঅক্ষ সম্পর্কে ওউঅক্ষের উপর লম্ব উহু দূরত্বে ক / ই উত্স থেকে।

হাইপারবোলা বৈশিষ্ট্য:

1) হাইপারবোলার প্রতিসাম্যের দুটি অক্ষ (হাইপারবোলার মূল অক্ষ) এবং প্রতিসাম্যের কেন্দ্র (হাইপারবোলার কেন্দ্র) রয়েছে। তদুপরি, এই অক্ষগুলির মধ্যে একটি হাইপারবোলাকে দুটি পয়েন্টে ছেদ করে, যাকে হাইপারবোলার শীর্ষকে বলা হয়। একে হাইপারবোলা (অক্ষ) এর আসল অক্ষ বলা হয় উহুসমন্বিত সিস্টেমের নীতিগত পছন্দ জন্য)। হাইপারবোলার সাথে অন্য অক্ষগুলির কোনও মিল নেই এবং এটিকে তার কাল্পনিক অক্ষ বলা হয় (অক্ষিক স্থানাঙ্কে, অক্ষে ওউ)। এর দু'পাশে হাইপারবোলার ডান এবং বাম শাখা রয়েছে। হাইপারবোলার ফোকিটি এর আসল অক্ষের উপরে অবস্থিত।

2) হাইপারবোলার শাখাগুলিতে সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত দুটি অ্যাসিপটোটস থাকে

৩) হাইপারবোলা (১১.৩) এর পাশাপাশি, একটি তথাকথিত কনজুগেট হাইপারবোলা বিবেচনা করতে পারে, যা নীতিগত সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়

যার জন্য একই অ্যাসিপোটোটস বজায় রাখার সময় আসল এবং কাল্পনিক অক্ষগুলি একত্রে পরিবর্তিত হয়।

4) হাইপারবোলার উদ্দীপনা e> 1.

5) দূরত্বের অনুপাত r iহাইপারবোলা থেকে ফোকাস চ i দূরত্ব d i এই বিন্দু থেকে ফোকাসের সাথে সম্পর্কিত ডাইরেক্ট্রিক্সে হাইপারবোলার কেন্দ্রের সমান।

উপবৃত্তের মতো প্রমাণও বহন করা যায়।

পরাবৃত্ত.

সংজ্ঞা 11.8।পরাবৃত্ত বিমানের পয়েন্টগুলির সেট বলা হয় যার জন্য কিছু নির্দিষ্ট বিন্দুর দূরত্ব এফএই সমতলটি কিছু নির্দিষ্ট সরল রেখার দূরত্বের সমান। পয়েন্ট এফ বলা হয় ফোকাস প্যারাবোলা এবং সরল রেখাটি এটি প্রধান শিক্ষক.

প্যারাবোলা সমীকরণ পেতে, আমরা কার্টেসিয়ান বেছে নিই

সমন্বয় ব্যবস্থা যাতে এর উত্স মাঝখানে হয়

ডি এম (এক্স, ওয়াই) লম্ব এফডিসরাসরি মনোযোগ বাইরে

আর সাই, এবং স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি সমান্তরাল এবং অবস্থিত ছিল

ডাইরেক্ট্রিক্সের লম্ব। বিভাগটির দৈর্ঘ্য দিন এফডি

ডি ও এফ এক্স সমান আর... তারপর সমতা থেকে r \u003d d যে অনুসরণ

যতটুকু

বীজগণিত রূপান্তর দ্বারা, এই সমীকরণটি ফর্মটিতে হ্রাস করা যেতে পারে: y। \u003d 2 px, (11.4)

বলা হয় ক্যানোনিকাল প্যারাবোলা সমীকরণ... পরিমাণ আরবলা হয় প্যারামিটারপ্যারাবোলা

প্যারাবোলা বৈশিষ্ট্য:

1) প্যারাবোলার প্রতিসাম্যগুলির একটি অক্ষ রয়েছে (প্যারোবোলার অক্ষ)। অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুটিকে প্যারোবোলার শীর্ষকে বলা হয়। যদি একটি প্যারোবোলাকে একটি প্রমিত সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়, তবে এর অক্ষটি অক্ষ হয় উহু,এবং ভার্টেক্সটি মূল।

2) পুরো প্যারাবোলাটি বিমানের ডান অর্ধ-সমতলে অবস্থিত ওহ।

মন্তব্য। ডাইরেক্ট্রিক্স উপবৃত্ত এবং হাইপারবোলার বৈশিষ্ট্য এবং একটি প্যারোবোলার সংজ্ঞা ব্যবহার করে আমরা নিম্নলিখিত বিবৃতিটি প্রমাণ করতে পারি:

সমতলে পয়েন্টের সেট, যার জন্য অনুপাত eকিছু সরল রেখার দূরত্বের নির্দিষ্ট স্থিতির দূরত্ব একটি ধ্রুবক মান, এটি একটি উপবৃত্ত হয় (জন্য) e<1), гиперболу (при e\u003e 1) বা একটি প্যারাবোলা (জন্য) e=1).

অনুরূপ তথ্য।