স্থানাঙ্ক আকারে একটি বিমানের সাধারণ সমীকরণ। বিমান সমীকরণ: সাধারণ, তিনটি পয়েন্ট, স্বাভাবিক। বিমানের সমীকরণগুলিতে সমস্যাটি নিজেই সমাধান করুন এবং তারপরে সমাধানটি দেখুন
1. বিমানের সাধারণ সমীকরণ
সংজ্ঞা। একটি সমতল একটি পৃষ্ঠ, যা সমস্ত বিন্দু সাধারণ সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে: Ax + বাই + Cz + D \u003d 0, যেখানে A, B, C ভেক্টরের স্থানাঙ্ক
এন \u003d এআই + বিজে + সিকে বিমানের স্বাভাবিক ভেক্টর। নিম্নলিখিত বিশেষ ক্ষেত্রে সম্ভব:
এ \u003d 0 - বিমানটি অক্স অক্ষের সমান্তরাল
বি \u003d 0 - প্লেনটি অয়ে অক্ষের সমান্তরাল সি \u003d 0 - বিমানটি অজ অক্ষের সমান্তরাল
ডি \u003d 0 - বিমানটি উত্সের মধ্য দিয়ে যায়
এ \u003d বি \u003d ০ - বিমানটি এক্সও প্লেনের সমান্তরাল এ \u003d সি \u003d ০ - প্লেনটি এক্সওজ বিমানের সমান্তরাল বি \u003d সি \u003d ০ - বিমানটি ইওজ বিমানের সমান্তরাল এ \u003d ডি \u003d ০ - বিমান অক্স অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়
বি \u003d ডি \u003d 0 - বিমানটি অ অক্ষের মধ্য দিয়ে যায় সি \u003d ডি \u003d 0 - বিমানটি অজ অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়
এ \u003d বি \u003d ডি \u003d ০ - প্লেনটি এক্সও প্লেনের সাথে মিলে যায় এ \u003d সি \u003d ডি \u003d ০ - প্লেনটি এক্সওজ বিমানের সাথে মিলে যায় বি \u003d সি \u003d ডি \u003d ০ - বিমানটি ইওজ বিমানের সাথে মিলে যায়
2. মহাকাশে একটি পৃষ্ঠের সমীকরণ
সংজ্ঞা। যে কোনও সমীকরণ যা কোনও পৃষ্ঠের যে কোনও বিন্দুর x, y, z স্থানাঙ্ককে সংযুক্ত করে তা সেই পৃষ্ঠার সমীকরণ।
৩. তিনটি পয়েন্ট পেরিয়ে বিমানের সমীকরণ
মহাকাশের যে কোনও তিনটি পয়েন্টের মাধ্যমে একটি একক বিমানের আঁকতে যাওয়ার জন্য, এই পয়েন্টগুলি একটি সরলরেখায় না থাকা প্রয়োজন।
সাধারণ কার্তেসিয়ান সিস্টেমে points1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3) পয়েন্টগুলি বিবেচনা করুন
স্থানাঙ্ক। |
||||||
একটি সালিশি বিন্দু (x, y, z) এর জন্য |
একই বিন্দু বিন্দু সহ শুই |
|||||
এম 1, এম 2, এম 3, ভেক্টরগুলি এম 1 এম 2, এম 1 এম 3, এম 1 এম কোপলনার হওয়া প্রয়োজন, অর্থাত্ |
||||||
এম 1 এম \u003d (এক্স - এক্স 1; y - y1; জেড - জেড 1) |
||||||
(এম 1 এম 2, এম 1 এম 3, এম 1 এম) \u003d 0. এইভাবে, এম 1 এম 2 |
\u003d (x 2 - x 1; y 2) |
- y 1; জেড 2 - জেড 1) |
||||
এম 1 এম 3 |
\u003d (x 3 - x 1; y 3 - y 1; জেড 3 - জেড 1) |
|||||
এক্স - এক্স 1 |
y - y1 |
z - z1 |
||||
তিনটি পয়েন্ট দিয়ে বিমানের সমীকরণ: |
এক্স 2 - এক্স 1 |
y 2 - y 1 |
z 2 - z 1 |
|||
এক্স 3 - এক্স 1 |
y 3 - y 1 |
z 3 - z 1 |
||||
৪. বিমানের দুটি পয়েন্ট এবং ভেক্টর কলিনায়ারের সমীকরণ
М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2) এবং ভেক্টর a \u003d (একটি 1, একটি 2, একটি 3) দেওয়া উচিত।
আসুন প্রদত্ত পয়েন্টগুলি এম 1 এবং এম 2 এবং একটি স্বেচ্ছাসেবীগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়ার সমতলের সমীকরণটি রচনা করি
ভেক্টরের সমান্তরাল বিন্দু M (x, y, z) a। |
||||||||||
ভেক্টর এম 1 এম \u003d (এক্স - এক্স 1; ওয়াই - ওয়াই 1; জেড - জেড 1) |
এবং ভেক্টর a \u003d (ক, ক) |
অবশ্যই |
||||||||
এম 1 এম 2 \u003d (এক্স 2 - এক্স 1; y 2 \u200b\u200b- y 1; জেড 2 - জেড 1) |
||||||||||
এক্স - এক্স 1 |
y - y1 |
z - z1 |
||||||||
কোপলনার, অর্থাৎ (এম 1 এম, এম 1 এম 2, এ) \u003d 0 বিমান সমীকরণ: |
এক্স 2 - এক্স 1 |
y 2 - y 1 |
z 2 - z 1 |
|||||||
৫. একটি বিন্দু দিয়ে বিমানের সমীকরণ এবং দু'টি ভেক্টর সমতলকে কলিনারি করে
সেখানে দুটি ভেক্টর a \u003d (একটি 1, একটি 2, একটি 3) এবং বি \u003d (খ 1, বি 2, বি 3), সমতলে কলিনারি দেওয়া হোক। তারপরে বিমানের অন্তর্গত একটি নির্বিচার পয়েন্ট M (x, y, z) এর জন্য ভেক্টর এ, বি, এমএম 1 অবশ্যই কোপল্যানার হতে হবে।
A. একটি বিন্দু এবং একটি সাধারণ ভেক্টর দ্বারা বিমানের সমীকরণ
উপপাদ্য। যদি স্থানটিতে একটি বিন্দু M 0 (x 0, y 0, z 0) দেওয়া হয়, তবে সাধারণ ভেক্টর N (A, B, C) এর লম্ব M লম্বের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সমতলের সমীকরণটি রূপ ধারণ করে: এ (x - x 0) + বি (y - y 0) + সি (জেড - জেড 0) \u003d 0।
7. বিভাগগুলিতে সমতল সমীকরণ
যদি সাধারণ সমীকরণে Ax + বাই + Cz + D \u003d 0 হয় তবে উভয় পক্ষকে (-D) দিয়ে ভাগ করুন
এক্স - |
y - |
z - 1 \u003d 0, প্রতিস্থাপন - |
সি, আমরা সমতল সমীকরণ প্রাপ্ত |
|||||||||||||||||||
বিভাগগুলিতে: |
এক . A, b, c নম্বরগুলি যথাক্রমে বিমানের ছেদ পয়েন্ট |
|||||||||||||||||||||
অক্ষ, x, y, z সহ
8. ভেক্টর আকারে সমতল সমীকরণ
r n \u003d p, যেখানে r \u003d xi + yj + zk হ'ল বর্তমান বিন্দু M (x, y, z) এর ব্যাসার্ধ ভেক্টর,
n \u003d i cosα + j cos β + k cosγ একটি একক ভেক্টর যা একটি দিক লম্ব লম্বা,
উত্স থেকে প্লেনে নামিয়েছে। ve, β এবং হল এই ভেক্টর দ্বারা x, y, z অক্ষের সাহায্যে গঠিত কোণ। p এই লম্বের দৈর্ঘ্য। স্থানাঙ্কগুলিতে এই সমীকরণটির রূপ রয়েছে:
x cosα + y cos β + z cos z - p \u003d 0
9. বিন্দু থেকে প্লেনে দূরত্ব
একটি নির্বিচার বিন্দু থেকে M 0 (x 0, y 0, z 0) বিমানের Ax + বাই + Cz + D \u003d 0 এর দূরত্ব সমান:
d \u003d Ax0 + বাই 0 + সিজেড + ডি
এ 2 + বি 2 + সি 2
উদাহরণ। X + y + 2z - 3 \u003d 0 সমতলের উল্লম্ব A (2, -1.4) এবং B (3,2, -1) পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়ার সমতলের সমীকরণটি সন্ধান করুন।
সমতলটির কাঙ্ক্ষিত সমীকরণটি হ'ল: এক্স + বাই + সিজেড + ডি \u003d ০, এই সমতলটির স্বাভাবিক ভেক্টরটি এন ১ (এ, বি, সি)। ভেক্টর এবি (1,3, -5) বিমানের অন্তর্গত। আমাদের দেওয়া বিমান,
সন্ধানীগুলির জন্য লম্ব লম্বায় একটি সাধারণ ভেক্টর এন 2 (1,1,2) রয়েছে। কারণ পয়েন্ট এ এবং বি উভয় প্লেনের অন্তর্গত, এবং প্লেনগুলি পরস্পর লম্ব হয় then
n \u003d AB × n |
− 5 |
- জে |
− 5 |
11 আই - 7 জ - 2 কে। |
|||||||||||||||||
− 5 |
|||||||||||||||||||||
সুতরাং, সাধারণ ভেক্টর এন 1 (11, -7, -2)। কারণ বিন্দু এ পছন্দসই বিমানের অন্তর্গত, তার স্থানাঙ্কগুলি অবশ্যই এই বিমানের সমীকরণটি সন্তুষ্ট করবে, অর্থাত্\u200d
11.2 + 7.1 - 2.4 + ডি \u003d 0; ডি \u003d - 21. সুতরাং, আমরা সমতলটির সমীকরণ পাব: 11x - 7 y - 2z - 21 \u003d 0
10. মহাকাশে একটি লাইনের সমীকরণ
সমতল এবং মহাকাশ উভয়ই, যে কোনও লাইনকে পয়েন্টের একটি সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যার স্থানটিতে নির্বাচিত নির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণটি পূরণ করে:
F (x, y, z) \u003d 0 এই সমীকরণকে মহাকাশে রেখার সমীকরণ বলা হয়।
এছাড়াও, মহাকাশে একটি লাইন আলাদাভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়। এটি দুটি পৃষ্ঠের ছেদ রেখা হিসাবে দেখা যেতে পারে, যার প্রতিটিই কিছু সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত।
F (x, y, z) \u003d 0 এবং Ф (x, y, z) \u003d 0 এ L রেখাটি ছেদ করার উপরিভাগের সমীকরণ হতে দিন Let
এফ (এক্স, ওয়াই, জেড) \u003d 0
তারপরে এক জোড়া সমীকরণ Ф (x, y, z) \u003d 0 কে মহাকাশের রেখার সমীকরণ বলা হবে।
১১. একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর বরাবর মহাকাশে একটি সরলরেখার সমীকরণ r 0 \u003d M 0 M
কারণ ভেক্টর М 0 М এবং এস কোলাইনারি, তারপরে М 0 М \u003d \u200b\u200bসেন্ট টি সত্য, যেখানে টি কিছু পরামিতি। মোট, আপনি লিখতে পারেন: r \u003d r 0 + সেন্ট
কারণ এই সমীকরণটি সরলরেখার যে কোনও বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট হয়, তারপরে ফলাফল সমীকরণটি সরলরেখার একটি প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণ।
x \u003d x0 + মি
এই ভেক্টর সমীকরণটি স্থানাঙ্ক আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে: y \u003d y 0 + nt
z \u003d z0 + pt
এই সিস্টেমটির রূপান্তরকরণ এবং প্যারামিটার টির মান সমান করে, আমরা ক্যানোনিকালটি পাই
মহাকাশে একটি সরল রেখার সমীকরণ: |
x - x0 |
y - y0 |
z - z0 |
|||
সংজ্ঞা। একটি সরলরেখার দিকের কোসাইনগুলি ভেক্টর এস এর দিক নির্দেশক কোসাইন যা সূত্রগুলি দ্বারা গণনা করা যেতে পারে:
cosα \u003d |
; কোস β \u003d |
; cosγ \u003d |
||||||
এন 2 + পি 2 |
মি 2 + এন 2 + পি 2 |
|||||||
এখান থেকে আমরা পাই: এম: এন: পি \u003d কোসα: কোস β: কোসγ γ
এম, এন, পি সংখ্যাগুলিকে রেখার opালু বলে। কারণ এস একটি ননজারো ভেক্টর, তারপরে মি, এন এবং পি একই সাথে শূন্য হতে পারে না, তবে এই সংখ্যার একটি বা দুটি শূন্য হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, সরলরেখার সমীকরণে, সংশ্লিষ্ট অঙ্কগুলি শূন্যের সমান হওয়া উচিত।
12. দুটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে মহাকাশে সরলরেখার সমীকরণ
যদি স্থানটিতে একটি সরলরেখায় থাকে তবে আমরা দুটি নির্বিচার পয়েন্ট M 1 (x 1, y 1, z 1) এবং
এম 2 (x 2, y 2, z 2), তারপরে এই পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি অবশ্যই উপরে প্রাপ্ত সরল রেখার সমীকরণটি পূরণ করতে হবে:
এক্স 2 - এক্স 1 |
y 2 - y 1 |
z 2 - z 1 |
|||
এটি বিভিন্ন উপায়ে সেট করা যেতে পারে (একটি পয়েন্ট এবং একটি ভেক্টর, দুটি পয়েন্ট এবং একটি ভেক্টর, তিনটি পয়েন্ট ইত্যাদি)। এই বিষয়টি মাথায় রেখেই বিমানের সমীকরণের বিভিন্ন রূপ থাকতে পারে। এছাড়াও, যদি কিছু শর্ত পূরণ হয় তবে বিমানগুলি সমান্তরাল, লম্ব, লম্বালম্বি, ছেদ করা ইত্যাদি হতে পারে আমরা এই নিবন্ধে এটি সম্পর্কে কথা বলতে হবে। আমরা শিখব কীভাবে বিমানের সাধারণ সমীকরণটি আঁকতে হবে এবং আরও অনেক কিছু।
সমীকরণের সাধারণ রূপ
ধরা যাক একটি স্পেস আর 3 রয়েছে যা আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম XYZ রয়েছে। আসুন একটি ভেক্টর def সংজ্ঞায়িত করুন, যা প্রাথমিক বিন্দু ও থেকে প্রকাশিত হবে the
আমরা একটি নির্বিচারে বিন্দু Q \u003d (x, y, z) এ বোঝাচ্ছি। আসুন পি অক্ষর দিয়ে বিন্দু Q এর ব্যাসার্ধ ভেক্টরটি স্বাক্ষর করি। এই ক্ষেত্রে, ভেক্টরের দৈর্ঘ্য p \u003d IαI এবং Ʋ \u003d (কোস্ট, কোসো, কোস্ট) এর সমান।
এটি একটি ইউনিট ভেক্টর, যা ভেক্টর like এর মতো পাশ থেকেও নির্দেশিত α α, β এবং হ'ল কোণ যা ভেক্টরের মধ্যে গঠিত হয় Ʋ এবং যথাক্রমে স্থান অক্ষের x, y, z এর ধনাত্মক দিক। ভেক্টর any এর উপর যে কোনও বিন্দু QϵП এর অভিক্ষেপ একটি ধ্রুবক মান, যা p: (p, Ʋ) \u003d p (p≥0) এর সমান।
উপরের সমীকরণটি যখন পি \u003d 0 হয় তখন অর্থ হয়। একমাত্র জিনিসটি হ'ল এই ক্ষেত্রে বিমানটি পয়েন্ট O (α \u003d 0) কে ছেদ করবে, যা উত্স, এবং ইউনিট ভেক্টর O বিন্দু থেকে জারি করা হয়েছে P এর দিকে লম্ব হবে, এর নির্দেশ থাকা সত্ত্বেও, ভেক্টর the সাইন ইন সঠিক সঙ্গে নির্ধারিত হয়। পূর্ববর্তী সমীকরণটি আমাদের প্লেন পি এর সমীকরণ, ভেক্টর আকারে প্রকাশ করা expressed তবে স্থানাঙ্কগুলিতে এটি দেখতে এরকম হবে:
P এখানে 0 এর চেয়ে বড় বা সমান We আমরা সাধারণ আকারে মহাকাশে প্লেনটির সমীকরণ খুঁজে পেয়েছি।
সাধারণ সমীকরণ
যদি আমরা স্থানাঙ্কে সমীকরণটি শূন্য নয় এমন কোনও সংখ্যার দ্বারা গুণ করি তবে আমরা একটি সমীকরণ পাই যা প্রদত্তটির সমান, যা একই সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে। এটি দেখতে এটির মতো হবে:
এখানে A, B, C হল এমন এক নম্বর যা একই সাথে ননজারো। এই সমীকরণটিকে সাধারণ বিমান সমীকরণ হিসাবে উল্লেখ করা হয়।
প্লেন সমীকরণ। বিশেষ ক্ষেত্রে
অতিরিক্ত সমাপ্তির উপস্থিতিতে সাধারণ সমীকরণটি পরিবর্তন করা যেতে পারে। আসুন তাদের কয়েকটি বিবেচনা করা যাক।
মনে করুন যে গুণফল A সমান 0 টির অর্থ এই প্লেনটি প্রদত্ত অক্ষ অক্সের সমান্তরাল। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের ফর্মটি পরিবর্তিত হবে: ভু + সিজেড + ডি \u003d 0।
একইভাবে, নীচের অবস্থার অধীনে সমীকরণের ফর্মটি পরিবর্তিত হবে:
- প্রথমত, যদি বি \u003d 0 হয়, তবে সমীকরণটি অক্ষ + সিজেড + ডি \u003d 0 এ পরিবর্তিত হবে, এটি ইঙ্গিত করবে যে এটি অ অক্ষের সাথে সমান্তরাল।
- দ্বিতীয়ত, যদি সি \u003d 0 হয় তবে সমীকরণটি অক্ষ + ভি + ডি \u003d 0 তে রূপান্তরিত হবে যা প্রদত্ত অক্ষ ওজে সমান্তরালতার কথা বলবে।
- তৃতীয়ত, ডি \u003d 0 হলে সমীকরণটি Ax + Vy + Cz \u003d 0 এর মতো দেখাবে, যার অর্থ বিমানটি ও (আদি) কে ছেদ করে।
- চতুর্থত, যদি A \u003d B \u003d 0 হয়, তবে সমীকরণটি Cz + D \u003d 0 এ পরিবর্তিত হবে, যা অক্সির সমান্তরাল প্রমাণ করবে।
- পঞ্চম, যদি বি \u003d সি \u003d 0 হয় তবে সমীকরণটি অক্ষ + ডি \u003d ০ হয়ে যায় যার অর্থ ওয়েজের বিমান সমান্তরাল।
- ষষ্ঠত, যদি A \u003d C \u003d 0 হয় তবে সমীকরণটি Vy + D \u003d 0 রূপটি গ্রহণ করবে, এটি অক্সের সাথে সমান্তরালতার প্রতিবেদন করবে।
বিভাগগুলিতে সমীকরণ দর্শন
ক্ষেত্রে যখন A, B, C, D সংখ্যাগুলি শূন্যের থেকে পৃথক হয়, সমীকরণের রূপ (0) নিম্নলিখিত হিসাবে হতে পারে:
x / a + y / b + z / c \u003d 1,
যার মধ্যে a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C
আমরা শেষের দিকে পৌঁছে গেলাম এটি লক্ষণীয় যে এই বিমানটি একটি স্থানে স্থানাঙ্ক (a, 0,0), ওয়ে - (0, খ, 0), এবং ওজ - (0,0, সি) দিয়ে অক্স অক্ষকে ছেদ করবে ।
এক্স / এ + ওয়াই / বি + জেড / সি \u003d ১ সমীকরণটি বিবেচনা করে, প্রদত্ত সমন্বয় ব্যবস্থার তুলনায় প্লেনের অবস্থানটি দৃশ্যত উপস্থাপন করা সহজ।
সাধারণ ভেক্টর স্থানাঙ্ক
প্লেন পি-তে স্বাভাবিক ভেক্টর এন-এর সমন্বয়গুলি রয়েছে যা এই সমতলটির সাধারণ সমীকরণের সহগ বা হ'ল এন (এ, বি, সি)।
সাধারণ এন এর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করার জন্য প্রদত্ত বিমানের সাধারণ সমীকরণ জানতে যথেষ্ট।
বিভাগগুলিতে সমীকরণটি ব্যবহার করার সময়, যা সাধারণ সমীকরণের মতো x / a + y / b + z / c \u003d 1 রূপ ধারণ করে, আপনি প্রদত্ত বিমানের যে কোনও সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্ক লিখতে পারেন: (1 / a + 1 / খ + 1 / থেকে)।
এটি লক্ষ করা উচিত যে সাধারণ ভেক্টর বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে সহায়তা করে। সর্বাধিক সাধারণ সমস্যাগুলির মধ্যে রয়েছে বিমানের লম্ব বা সামঞ্জস্যতা প্রমাণ করার সমস্যা, বিমান এবং সোজা লাইনের মধ্যবর্তী কোণগুলি বা কোণগুলির মধ্যে কোণ আবিষ্কার করার সমস্যা।
বিন্দু এবং সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্ক অনুযায়ী বিমান সমীকরণের দৃশ্য
প্রদত্ত বিমানে একটি ননজারো ভেক্টর এন লম্বকে নির্দিষ্ট বিমানের জন্য স্বাভাবিক (সাধারণ) বলা হয়।
মনে করুন স্থানাঙ্ক স্থানে (আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা) অক্সিজ দেওয়া হয়েছে:
- স্থানাঙ্ক সহ বিন্দু ₒ (xₒ, yₒ, zₒ);
- শূন্য ভেক্টর এন \u003d এ * আই + বি * জে + সি * কে।
বিমানের জন্য একটি সমীকরণ অঙ্কন করা প্রয়োজন যা স্বাভাবিক এন এর লম্ব বিন্দুতে চলে যাবে।
স্পেসে যেকোন যথেচ্ছ বিন্দু চয়ন করুন এবং এম (x y, z) দ্বারা চিহ্নিত করুন by যে কোনও বিন্দুর এম (x, y, z) এর ব্যাসার্ধ ভেক্টরকে r \u003d x * i + y * j + z * k, এবং Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর হতে হবে - rₒ \u003d x Let * i + yₒ * j + zₒ * k। পয়েন্ট এম একটি প্রদত্ত বিমানের অন্তর্ভুক্ত হবে যদি ভেক্টর ve ভেক্টর এন এর লম্ব থাকে। আসুন বিন্দু পণ্য ব্যবহার করে orthogonality শর্ত লিখুন:
[МₒМ, n] \u003d 0।
МₒМ \u003d r-rₒ যেহেতু, বিমানের ভেক্টর সমীকরণটি দেখতে এটির মতো হবে:
এই সমীকরণের অন্য রূপ থাকতে পারে। এর জন্য ডট পণ্যের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করা হয় এবং সমীকরণের বাম দিকটি রূপান্তরিত হয়। \u003d -। যদি আমরা এটিকে সি হিসাবে চিহ্নিত করি, তবে আমরা নীচের সমীকরণটি পাই: - সি \u003d 0 বা \u003d সি, যা বিমানের অন্তর্গত প্রদত্ত পয়েন্টগুলির ব্যাসার্ধের ভেক্টরগুলির স্বাভাবিক ভেক্টরের উপর অনুমানগুলির স্থায়িত্ব প্রকাশ করে।
এখন আপনি আমাদের সমতল এর ভেক্টর সমীকরণ লেখার স্থানাঙ্ক ফর্মটি পেতে পারেন \u003d 0. যেহেতু আর-আরₒ \u003d (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k, এবং n \u003d এ * আই + বি * জে + সি * কে, আমাদের রয়েছে:
দেখা যাচ্ছে যে আমাদের একটি বিমানের সমীকরণ রয়েছে যেটি একটি সাধারণ বিন্দুতে লম্ব পয়েন্ট দিয়ে যায়:
এ * (x- xₒ) + বি * (y- yₒ) সি * (z-zₒ) \u003d 0।
বিমানের দুটি পয়েন্টের স্থানাঙ্ক এবং বিমানের একটি ভেক্টর কলিনারি অনুযায়ী বিমান সমীকরণের ফর্ম The
এম '(x', y ', z') এবং এম ″ (x ″, y ″, z ″), পাশাপাশি একটি ভেক্টর এ (a ′, a ″, a) হিসাবে দুটি নির্বিচার পয়েন্টগুলি সংজ্ঞায়িত করা যাক।
এখন আমরা একটি প্রদত্ত বিমানের একটি সমীকরণ আঁকতে সক্ষম হব যা বিদ্যমান পয়েন্টগুলি এম ′ এবং এম ″ এবং সেই সাথে কোনও প্রদত্ত ভেক্টরের সমান্তরাল (x, y, z) সহ কোনও বিন্দু এম দিয়ে যাবে।
তদুপরি, ভেক্টরগুলি M′M \u003d (x-x ′; y-y ′; zz ′) এবং M ″ M \u003d (x ″ -x ′; y ″ -y ′; z ″ -z ′) ভেক্টর a \u003d এর সাথে অবশ্যই কপ্লানার হতে হবে (a ′, a ″, a ‴), যার অর্থ এটি (M′M, M ″ M, a) \u003d 0।
সুতরাং, মহাশূন্যে আমাদের বিমানের সমীকরণটি এরকম দেখতে পাবেন:
তিনটি পয়েন্ট ছেদ করে সমতলের সমীকরণের দৃশ্য
ধরা যাক আমাদের তিনটি পয়েন্ট রয়েছে: (x ′, y ′, z ′), (x ″, y ″, z ″), (x ‴, y ‴, z ‴), যা একই সরল রেখার সাথে সম্পর্কিত নয়। প্রদত্ত তিনটি পয়েন্ট দিয়ে বিমানের সমীকরণটি লিখতে হবে। জ্যামিতির তত্ত্বটি দৃser়ভাবে দাবি করে যে এই ধরণের প্লেনটি সত্যই বিদ্যমান, কেবল এটিই একমাত্র এবং অনিবার্য। যেহেতু এই সমতলটি বিন্দুটিকে ছেদ করে (x ′, y ′, z ′), তার সমীকরণের রূপটি নীচে থাকবে:
এখানে A, B, C একই সাথে ননজারো। এছাড়াও, প্রদত্ত বিমানটি আরও দুটি পয়েন্ট ছেদ করে: (x ″, y ″, z ″) এবং (x ‴, y ‴, z ‴)। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত শর্তাবলী পূরণ করতে হবে:
এখন আমরা অজানা u, v, w এর সাথে একটি একজাত সিস্টেম রচনা করতে পারি:
আমাদের মাঝে কেস এক্স, ওয়াই বা z একটি স্বেচ্ছাসেবী বিন্দু যা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে (1)। অ্যাকাউন্ট সমীকরণ (1) এবং সমীকরণের পদ্ধতি (2) এবং (3) গ্রহণ করে, উপরের চিত্রটিতে নির্দেশিত সমীকরণের সিস্টেমটি ভেক্টর এন (এ, বি, সি) দ্বারা সন্তুষ্ট, যা অনানুক্রমিক। এই কারণেই এই সিস্টেমের নির্ধারক শূন্যের সমান।
সমীকরণ (1), যা আমরা পেয়েছি, এটিই বিমানের সমীকরণ। এটি ঠিক 3 পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায় এবং এটি পরীক্ষা করা সহজ। এটি করার জন্য, আমাদের প্রথম লাইনে থাকা উপাদানগুলির দ্বারা আমাদের নির্ধারককে প্রসারিত করতে হবে। নির্ধারকের বিদ্যমান বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে এটি অনুসরণ করে যে আমাদের প্লেনটি একই সাথে তিনটি সূচিত নির্দিষ্ট বিন্দু (x ′, y ′, z ′), (x ″, y ″, z ″), (x ‴, y ‴, z ‴) ছেদ করে । এটি হল, আমরা আমাদের সামনে টাস্ক সেটটি সমাধান করেছি।
প্লেনগুলির মধ্যে ডিহাইড্রাল কোণ
ডিহাইড্রাল কোণটি একটি স্থানিক জ্যামিতিক আকারএকটি সরলরেখা থেকে উত্পন্ন দুটি অর্ধ-প্লেন দ্বারা গঠিত। অন্য কথায়, এটি স্থানটির একটি অংশ যা এই অর্ধ-বিমানগুলি দ্বারা সীমাবদ্ধ।
ধরা যাক আমাদের নীচের সমীকরণগুলির সাথে দুটি প্লেন রয়েছে:
আমরা জানি যে ভেক্টরগুলি N \u003d (A, B, C) এবং N¹ \u003d (A¹, B¹, C¹) প্রদত্ত প্লেন অনুসারে লম্ব। এই ক্ষেত্রে, ভেক্টর এন এবং এন এর মধ্যে কোণ φ কোণ (ডিহিড্রাল) এর সমান, যা এই বিমানগুলির মধ্যে রয়েছে। স্কালে পণ্য দেখতে:
NN¹ \u003d | N || N¹ | cos φ,
অবিকল কারণ
cosφ \u003d NN¹ / | N || N¹ | \u003d (AA¹ + BB¹ + CC¹) / ((√ (A² + B² + C²)) * (√ (A¹) ² + (B¹) ² + (C¹)।))।
এটা বিবেচনা করা যথেষ্ট যে 0≤φ≤π ≤φ≤π
আসলে, দুটি প্লেন যেগুলি ছেদ করে দুটি কোণ (ডিহিড্রাল) গঠন করে: φ 1 এবং। 2। তাদের যোগফল π (φ 1 + φ 2 \u003d π) এর সমান। তাদের মহাসাগরীয়দের জন্য, তাদের নিখুঁত মানগুলি সমান, তবে তারা লক্ষণগুলিতে পৃথক, যা কোস φ 1 \u003d -cos φ 2। যদি সমীকরণে (0) আমরা যথাক্রমে A, B এবং C -A, -B এবং -C সংখ্যার সাথে প্রতিস্থাপন করি, তবে আমরা যে সমীকরণটি পেয়েছি তা একই সমতলটি নির্ধারণ করবে, সমীকরণের একমাত্র কোণ cos \u003d NN 1 / | এন || এন 1 | | replaced-φ দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হবে φ
লম্ব সমতল সমীকরণ
লম্ব বিমানগুলি এমন বিমান হয় যার মধ্যে কোণটি 90 ডিগ্রি হয়। উপরে বর্ণিত উপাদান ব্যবহার করে, আমরা অন্যের জন্য লম্বাকৃতির বিমানের সমীকরণটি খুঁজে পেতে পারি। ধরুন আমাদের দুটি প্লেন রয়েছে: অক্ষ + বাই + সিজেড + ডি \u003d 0 এবং আক্স + বয়ে + কেজ + ডি \u003d 0। আমরা দৃsert়ভাবে বলতে পারি যে তারা কোষφ \u003d 0 হলে লম্ব হবে। এর অর্থ হল NN¹ \u003d AA¹ + BB¹ + CC¹ \u003d 0।
সমান্তরাল সমতল সমীকরণ
সমান্তরাল দুটি প্লেন যা সাধারণ পয়েন্ট ধারণ করে না।
শর্তটি (তাদের সমীকরণগুলি পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের মতো একই) ভেক্টর এন এবং এন, যেগুলি তাদের লম্ব হয়, তারা লম্বা হয়। এর অর্থ নিম্নলিখিত অনুপাতের শর্ত পূরণ করা হয়:
এ / এ¹ \u003d বি / বি \u003d সি / সি¹
যদি আনুপাতিকতার শর্তগুলি প্রসারিত হয় - A / A¹ \u003d B / B¹ \u003d C / C¹ \u003d DD¹,
এটি ইঙ্গিত দেয় যে এই বিমানগুলি একত্রিত হয়। এর অর্থ এটি Ax + বাই + Cz + D \u003d 0 এবং Ax + B¹y + C¹z + D¹ \u003d 0 সমীকরণগুলি একটি প্লেনকে বর্ণনা করে।
বিন্দু থেকে বিমানের দূরত্ব
ধরা যাক আমাদের একটি প্লেন P আছে, যা সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে (0)। স্থানাঙ্ক (xₒ, yₒ, zₒ) \u003d Qₒ এর সাথে বিন্দু থেকে এর দূরত্বটি খুঁজে পাওয়া দরকার ₒ এটি করার জন্য, আপনাকে বিমানের পি এর সমীকরণটি একটি সাধারণ আকারে আনতে হবে:
(পি, ভি) \u003d পি (p≥0)।
এই ক্ষেত্রে, on (x, y, z) হল আমাদের বিন্দু Q এর ব্যাসার্ধ ভেক্টর, পিতে অবস্থিত, p লম্ব দৈর্ঘ্যের P, যা শূন্য বিন্দু থেকে প্রকাশ হয়েছিল, v ইউনিট ভেক্টর, যা দিক অবস্থিত a।
পি এর অন্তর্গত কিছু বিন্দু Q \u003d (x, y, z) এর ব্যাসার্ধ ভেক্টরের পার্থক্য ρ-ρº পাশাপাশি প্রদত্ত বিন্দু Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) এর ব্যাসার্ধ ভেক্টর যেমন একটি ভেক্টর , পরম মান যার ভিতে প্রজেকশনটি দূরত্ব ডি এর সমান, যা অবশ্যই Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) থেকে П পর্যন্ত সন্ধান করতে হবে:
ডি \u003d | (ρ-ρ 0, v) |, কিন্তু
(ρ-ρ 0, ভি) \u003d (ρ, ভি) - (ρ 0, ভি) \u003d পি- (ρ 0, ভি)
সুতরাং এটি দেখা যাচ্ছে
d \u003d | (ρ 0, v) -পি |
সুতরাং, আমরা ফলাফলের এক্সপ্রেশনটির পরম মানটি আবিষ্কার করব, এটি হ'ল কাঙ্ক্ষিত ডি।
পরামিতি ভাষা ব্যবহার করে, আমরা সুস্পষ্টভাবে পেয়েছি:
d \u003d | অক্ষ + বাইₒ + সিজে C | / √ (এ√ + বি + সি²)।
যদি একটি চিহ্নিত করা Q 0 টি বিমানের অপর পাশে রয়েছে, পাশাপাশি স্থানাঙ্কের উত্সও রয়েছে, তারপরে ভেক্টর ρ-ρ 0 এবং v এর মধ্যে তাই:
d \u003d - (ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ 0, v) -p\u003e 0।
সেক্ষেত্রে যখন উত্সের সাথে Q 0 বিন্দু এক সাথে পি এর একই দিকে অবস্থিত থাকে, তখন তৈরি কোণটি তীব্র হয়, যা:
d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d পি - (ρ 0, v)\u003e 0।
ফলস্বরূপ, এটি দেখা যাচ্ছে যে প্রথম ক্ষেত্রে (ρ 0, v)\u003e পি, দ্বিতীয়টিতে (ρ 0, v)<р.
স্পর্শকাতর বিমান এবং এর সমীকরণ
স্পর্শকাতর Mº এর বিন্দুতে পৃষ্ঠের স্পর্শক সমতল হ'ল সমতল যা পৃষ্ঠের এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে আঁকা বাঁকগুলিতে সমস্ত সম্ভাব্য স্পর্শকাতন্ত্র যুক্ত।
পৃষ্ঠ (F, x, y, z) \u003d 0 এর সমীকরণের এই রূপের সাথে, স্পর্শক পয়েন্টের M tan (xº, yº, zº) এর স্পর্শক সমতলটির সমীকরণটি এর মতো দেখাবে:
F x (xº, yº, zº) (x-xº) + F x (xº, yº, zº) (y-yº) + F x (xº, yº, zº) (z-zº) \u003d 0।
যদি আমরা পৃষ্ঠটিকে সুস্পষ্ট আকারে z \u003d f (x, y) আকারে সেট করি, তবে স্পর্শক সমতলটি সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত হবে:
z-zº \u003d f (xº, yº) (x- xº) + f (xº, yº) (y-yº)
দুটি প্লেনের ছেদ
সমন্বিত সিস্টেমে (আয়তক্ষেত্রাকার) অক্সিজ অবস্থিত, দুটি প্লেন P ′ এবং P given দেওয়া হয়, যা ছেদ করে এবং মিলিত হয় না। যেহেতু একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার যে কোনও প্লেন সাধারণ সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত হয়, তাই আমরা ধরে নেব যে P ′ এবং P A সমীকরণ দ্বারা এক্স + বায় + কোজ + ডি ′ \u003d 0 এবং এ ″ x + বি ″ y + C ″ z + D ″ \u003d 0। এই ক্ষেত্রে, আমাদের পি ′ বিমানের স্বাভাবিক এন ′ (এ ′, বি ′, সি ′) এবং পি ″ বিমানের স্বাভাবিক এন ″ (এ ″, বি ″, সি।) রয়েছে। যেহেতু আমাদের বিমানগুলি সমান্তরাল নয় এবং মিলছে না তাই এই ভেক্টরগুলি কোলাইনারি নয়। গণিতের ভাষা ব্যবহার করে আমরা নিম্নরূপে এই শর্তটি লিখতে পারি: n ′ ≠ n ″ ↔ (এ ′, বি ′, সি ′) ≠ (λ * এ ″, λ * বি ″, λ * সি ″), λϵR। পি ′ এবং পি the এর ছেদে অবস্থিত সরল রেখাটি অক্ষর দ্বারা একটি হিসাবে চিহ্নিত করা হবে, এই ক্ষেত্রে a \u003d P ′ ∩ P ″ ″
a হ'ল একটি সরলরেখা যা (সাধারণ) প্লেনগুলি P points এবং P all এর সমস্ত পয়েন্টের সমষ্টি নিয়ে গঠিত ″ এর অর্থ হ'ল সরলরেখার সাথে সম্পর্কিত যে কোনও পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি একই সাথে A'x + B'y + C'z + D '\u003d 0 এবং A ″ x + B ″ y + C ″ z + D the সমীকরণগুলি পূরণ করতে হবে \u003d 0 এর অর্থ হল যে পয়েন্টটির স্থানাঙ্কগুলি নিম্নলিখিত সমীকরণগুলির একটি বিশেষ সমাধান হবে:
ফলস্বরূপ, দেখা যাচ্ছে যে সমীকরণের এই পদ্ধতির (সাধারণ) সমাধানটি সরলরেখার প্রতিটি পয়েন্টের স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করে, যা P ′ এবং P of এর ছেদ বিন্দু হিসাবে কাজ করবে এবং সরলটি নির্ধারণ করবে মহাশূন্যে অক্সিজ সমন্বিত সিস্টেমে আয়তক্ষেত্রাকার লাইন করুন।
মহাকাশে বিমানের কিউ বিবেচনা করুন।এর বিমানের লম্বাকৃতির একটি ভেক্টর এবং বিমানের মধ্যে থাকা কিছু নির্দিষ্ট বিন্দু Q দ্বারা নির্দিষ্ট করে নির্দিষ্ট করে এর অবস্থানটি পুরোপুরি নির্ধারিত হয়। বিমানের Q এর ভেক্টর N লম্বকে এই বিমানের সাধারণ ভেক্টর বলা হয়। যদি আমরা সাধারণ ভেক্টর এন এর অনুমানগুলি A, B এবং C দ্বারা চিহ্নিত করি, তবে
আসুন বিমানের কিউটির সমীকরণটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যাচ্ছি এবং প্রদত্ত একটি সাধারণ ভেক্টর রাখি। এটি করার জন্য, কিউ বিমানের একটি বিন্দু বিন্দুর সাথে একটি বিন্দু সংযোগকারী কোনও ভেক্টর বিবেচনা করুন (চিত্র 81)।
বিমানের Q বিন্দুতে অবস্থিত যে কোনও অবস্থানের জন্য, এমএক্সএম ভেক্টরটি সমুদ্রের Q এর সাধারণ ভেক্টর N এর জন্য লম্ব হয় Therefore সুতরাং, স্কেলারের পণ্যটি অনুমানের মাধ্যমে স্কেলার পণ্যটি লিখি। যেহেতু, এবং তখন ভেক্টর
এবং সেইজন্য
আমরা দেখিয়েছি যে কিউ প্লেনের যে কোনও পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি এককে সন্তুষ্ট করে (4)। এটি সহজেই দেখতে পারা যায় যে সমতল Q- তে পড়ে না এমন পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি এই সমীকরণটি সন্তুষ্ট করে না (পরবর্তী ক্ষেত্রে)। সুতরাং, আমরা বিমানের কাঙ্ক্ষিত সমীকরণটি অর্জন করেছি Q. সমীকরণ (4) কে এই বিন্দুটি দিয়ে যাওয়ার সমতলের সমীকরণ বলা হয়। এটি বর্তমান স্থানাঙ্কের তুলনায় প্রথম ডিগ্রি
সুতরাং, আমরা দেখিয়েছি যে কোনও বিমান বর্তমান স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত প্রথম ডিগ্রির একটি সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত।
উদাহরণ 1. ভেক্টরের লম্ব লম্বা হয়ে বিমানের সমীকরণটি লেখো।
সিদ্ধান্ত। এখানে . সূত্রের উপর ভিত্তি করে (4), আমরা পাই
বা, সরলকরণের পরে,
গুণাগুণ A, B এবং C সমীকরণের বিভিন্ন মান প্রদান করে (4), আমরা কোনও বিন্দু দিয়ে যে কোনও বিমানের সমীকরণ পেতে পারি। কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার বিমানের সেটকে বিমানের বান্ডিল বলে। সমীকরণ (4), যেখানে গুণাগুণ এ, বি এবং সি যে কোনও মান নিতে পারে, তাকে বিমানের বান্ডিলের সমীকরণ বলা হয়।
উদাহরণ ২. তিনটি পয়েন্ট দিয়ে যাওয়ার বিমানের সমীকরণ তৈরি করুন (চিত্র ৮২)
সিদ্ধান্ত। আসুন বিন্দুটি দিয়ে যাচ্ছেন প্লেনগুলির বান্ডিলের সমীকরণটি লিখি
আমরা যদি O এর উত্স থেকে এর দূরত্ব নির্ধারণ করি তবে মহাকাশে বিমানটির অবস্থান সম্পূর্ণ নির্ধারণ করা হবে, অর্থাৎ, লম্ব OT এর দৈর্ঘ্যটি O বিন্দু থেকে বিমানটিতে নেমে গেছে, এবং ইউনিট ভেক্টর n °, সমতলের উল্লম্ব এবং লম্ব এবং উত্স হে থেকে বিমানটিতে পরিচালিত (চিত্র 110)।
যখন একটি পয়েন্ট এম একটি বিমানের সাথে সরানো হয়, তারপরে তার ব্যাসার্ধের ভেক্টরটি পরিবর্তিত হয় যাতে এটি সর্বদা কিছু শর্ত দ্বারা আবদ্ধ থাকে। আসুন দেখুন এই অবস্থাটি কী। স্পষ্টতই, বিমানের যে কোনও পয়েন্টের জন্য, আমাদের রয়েছে:
এই অবস্থাটি কেবল বিমানের পয়েন্টগুলির জন্য; এটি লঙ্ঘন করা হয় যদি পয়েন্ট এম বিমানের বাইরে থাকে। সুতরাং, সমতা (1) বিমানের সমস্ত পয়েন্ট এবং কেবল তাদের জন্য সাধারণ সম্পত্তি প্রকাশ করে। § 7 সিএইচ অনুসারে 11 আমাদের আছে:
এবং, সুতরাং, সমীকরণ (1) এ হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে:
সমীকরণ (ডি) একটি প্রদত্ত সমতলে অবস্থিত যে বিন্দুটির অধীনে শর্তটি প্রকাশ করে, এবং তাকে এই বিমানের সাধারণ সমীকরণ বলা হয়। বিমানের একটি নির্বিচার পয়েন্ট এম এর ব্যাসার্ধ ভেক্টরকে বর্তমান ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলা হয়।
বিমানের সমীকরণ (1) ভেক্টর আকারে লেখা হয়। স্থানাঙ্কগুলিতে প্রবেশ করা এবং ভেক্টরগুলির উত্সে স্থানাঙ্কের উত্স স্থাপন - বিন্দু হে, আমরা লক্ষ করি যে স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর ইউনিট ভেক্টরের অনুমানগুলি এই ভেক্টরটির সাহায্যে অক্ষ দ্বারা গঠিত কোণগুলির মহাসাগর এবং এম পয়েন্টের ব্যাসার্ধের ভেক্টরের অনুমান
বিন্দুটির স্থানাঙ্কগুলি পরিবেশন করে, যা আমাদের রয়েছে:
সমীকরণ (ডি) স্থানাঙ্কে পরিণত হয়:
সমতল সমীকরণ (2) এ বিমানের ভেক্টর সমীকরণ (Γ) অনুবাদ করার সময়, আমরা সূত্র (15), § 9, সিএইচ ব্যবহার করি। 11, ভেক্টর অনুমানের ক্ষেত্রে ডট পণ্য প্রকাশ করা। সমীকরণ (2) একটি শর্ত প্রকাশ করে যার অধীনে বিন্দু M (x, y, z) প্রদত্ত বিমানের উপরে থাকে এবং স্থানাঙ্ক আকারে এই সমতলটির স্বাভাবিক সমীকরণ বলা হয়। ফলস্বরূপ সমীকরণ (2) প্রথম ডিগ্রির সাথে সম্মানজনকভাবে, যে কোনও স্থানে বর্তমান স্থানাঙ্কগুলির সাথে সম্মতি রেখে প্রথম ডিগ্রির একটি সমীকরণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে।
নোট করুন যে উত্পন্ন সমীকরণ (1 ") এবং (2) বৈধ থাকবে এমনকি যখন, প্রদত্ত বিমানটি উত্সটির মধ্য দিয়ে যায় this এক্ষেত্রে দুটি ইউনিটের ভেক্টরগুলির যেকোনটি সমতলে উল্লম্ব এবং অন্য দিক থেকে পৃথক পৃথক হয়ে থাকে ।
মন্তব্য। বিমানের (2) সাধারণ সমীকরণটি ভেক্টর পদ্ধতিটি ব্যবহার না করেই নেওয়া যায়।
একটি স্বেচ্ছাসেবী প্লেন নিন এবং এটির সূক্ষ্ম স্থানাঙ্কের উত্সের মধ্য দিয়ে সরলরেখা আঁকুন straight এই সরলরেখায় উত্\u200dসর্গ থেকে বিমানের দিকে ইতিবাচক দিক নির্ধারণ করুন (নির্বাচিত বিমানটি যদি উত্সের মধ্য দিয়ে গেছে তবে সরলরেখার যে কোনও দিকই পারে গ্রহণ করা).
মহাকাশে এই সমতলটির অবস্থান সম্পূর্ণ স্থানাঙ্কের উত্স থেকে তার দূরত্ব দ্বারা নির্ধারিত হয়, অর্থাত্, বিমানের সাথে ছেদ বিন্দু থেকে এল-অক্ষ বিভাগের দৈর্ঘ্য দ্বারা (চিত্র 111 - বিভাগে) ) এবং অক্ষ এবং স্থানাঙ্ক অক্ষের মধ্যে কোণগুলি। যখন কোনও বিন্দু স্থানাঙ্ক সহ একটি বিমানের সাথে সরানো হয় তখন এর স্থানাঙ্কগুলি পরিবর্তিত হয় যাতে সেগুলি সর্বদা কিছু শর্ত দ্বারা সংযুক্ত থাকে। আসুন দেখে নেওয়া যাক এই অবস্থাটি কী।
আসুন ডুমুর তৈরি করি। 111 বিমানের একটি স্বেচ্ছাসেবক পয়েন্ট এম এর পললাইন OPSM সমন্বয় করুন। এই ভাঙা লাইনের প্রজেকশনটি এল-অক্ষের উপরে নিয়ে যান। ভাঙা রেখার প্রক্ষেপণটি এর সমাপ্তি বিভাগের প্রক্ষেপণের সমান (অনুচ্ছেদ I, § 3), আমাদের থাকবে।
বিমানের সাধারণ সমীকরণ।
ভিউ প্লেনের সাধারণ সমীকরণ বলা হয় সাধারণ বিমান সমীকরণযদি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য হয় 
একের সমান, অর্থাৎ 
, এবং.
এটি প্রায়শই দেখা যায় যে বিমানের স্বাভাবিক সমীকরণটি ফর্মটিতে লেখা হয়। এখানে ইউনিট দৈর্ঘ্যের প্রদত্ত বিমানের সাধারণ ভেক্টরের দিকের কোসাইন রয়েছে পি - উত্স থেকে সমতলের দূরত্বের সমান একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা।
একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে বিমানের সাধারণ সমীকরণ অক্সিজ উত্স থেকে দূরত্বে একটি বিমান নির্ধারণ করে পি এই বিমানের স্বাভাবিক ভেক্টরের ইতিবাচক দিকটিতে 
... যদি একটি পি \u003d 0তারপরে, বিমানটি উত্সের মধ্য দিয়ে যায়।
আসুন একটি সাধারণ বিমান সমীকরণের একটি উদাহরণ দিন।
বিমানটি একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থাতে দেওয়া হোক অক্সিজ প্লেন ভিউয়ের সাধারণ সমীকরণ 
... বিমানের এই সাধারণ সমীকরণটি হ'ল বিমানের সাধারণ সমীকরণ। প্রকৃতপক্ষে, এই বিমানের স্বাভাবিক ভেক্টর 
যেহেতু এর দৈর্ঘ্য এক সমান 
.
সাধারণ দৃশ্যে প্লেন সমীকরণ আপনাকে একটি বিন্দু থেকে একটি বিমানের দূরত্ব খুঁজে পেতে দেয়।
পয়েন্ট থেকে প্লেনের দূরত্ব।
একটি বিন্দু থেকে একটি প্লেনের দূরত্বটি বিমানের বিন্দু এবং বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্বগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোট। এটা জানা যায় দূরত্ব বিন্দু থেকে সমতলে এই বিন্দু থেকে সমতলে ফেলে দেওয়া লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান।
যদি এবং উত্স বিপরীত ক্ষেত্রে বিমানের বিপরীত দিকে থাকে। পয়েন্ট থেকে প্লেনের দূরত্ব
বিমানের পারস্পরিক ব্যবস্থা। সমান্তরালতা এবং বিমানের দৈর্ঘ্যের জন্য শর্তাদি।
সমান্তরাল বিমানের মধ্যে দূরত্ব
সম্পর্কিত ধারণা
বিমানগুলি সমান্তরাল হয় , যদি একটি
বা 
(ভেক্টর পণ্য)
বিমানগুলি লম্ব হয়, যদি একটি
বা 
... (স্কালে পণ্য)
সোজা জায়গায়। বিভিন্ন ধরণের স্ট্রেইট লাইনের সমীকরণ।
মহাকাশে একটি সরল রেখার সমীকরণ - প্রাথমিক তথ্য।
একটি বিমানে একটি সরল রেখার সমীকরণ অক্সি দুটি ভেরিয়েবলের মধ্যে রৈখিক সমীকরণ এক্স এবং yযা লাইনটির কোনও বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট এবং অন্য কোনও পয়েন্টের সমন্বয়কারীদের দ্বারা সন্তুষ্ট নয়। ত্রি-মাত্রিক স্থানে একটি সরলরেখার সাথে পরিস্থিতি কিছুটা আলাদা - তিনটি ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে কোনও রৈখিক সমীকরণ নেই এক্স, y এবং zযা কেবল একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় প্রদত্ত সরলরেখার পয়েন্টের স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট হবে অক্সিজ... প্রকৃতপক্ষে, ফর্ম একটি সমীকরণ, যেখানে এক্স, y এবং z - পরিবর্তনশীল, এবং ক, খ, গ এবং ডি - কিছু আসল সংখ্যা এবং এবং, ভিতরে এবং থেকে একই সাথে শূন্যের সমান নয়, হয় বিমানের সাধারণ সমীকরণ... তারপরে প্রশ্ন ওঠে: “একটি আয়তক্ষেত্র সমন্বয় সিস্টেমে কীভাবে একটি সরল রেখা বর্ণনা করা যায় অক্সিজ»?
এর উত্তর নিবন্ধের নিম্নলিখিত অনুচ্ছেদে রয়েছে।
মহাকাশে একটি সরলরেখার সমীকরণ দুটি ছেদযুক্ত বিমানের সমীকরণ।
আসুন আমরা একটি অ্যাকিয়োম স্মরণ করি: মহাকাশে দুটি প্লেনের যদি একটি সাধারণ বিন্দু থাকে, তবে তাদের একটি সাধারণ রেখা থাকে যার উপর ভিত্তি করে এই বিমানগুলির সমস্ত সাধারণ পয়েন্ট রয়েছে। সুতরাং, এই সরলরেখার সাথে ছেদ করা দুটি প্লেন নির্দিষ্ট করে স্পেসে একটি সরল রেখা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে।
আসুন আমরা শেষ বিবৃতিটি বীজগণিতের ভাষায় অনুবাদ করি।
একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা ত্রি-মাত্রিক স্থানে স্থির করা যাক অক্সিজ এবং এটি সরলরেখা যে জানা ক দুটি প্লেনের ছেদরেখার রেখা এবং যা যথাক্রমে দর্শনটির বিমানের সাধারণ সমীকরণের সাথে সামঞ্জস্য হয়। সোজা থেকে ক প্লেনগুলির সমস্ত সাধারণ পয়েন্টগুলির সেট এবং তারপরে সরলরেখার যে কোনও বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি একই সাথে সমীকরণ এবং সমীকরণকে সন্তুষ্ট করবে, অন্য কোনও পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি একই সাথে বিমানের উভয় সমীকরণকে পূরণ করবে না। সুতরাং, সরলরেখার যে কোনও বিন্দুর স্থানাঙ্ক ক একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় সিস্টেমে অক্সিজ চিত্রিত করা রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের বিশেষ সমাধান সদয় 
, এবং সমীকরণ সিস্টেমের সাধারণ সমাধান 
সরলরেখার প্রতিটি বিন্দুর স্থানাঙ্ককে সংজ্ঞায়িত করে ক, যা একটি সরলরেখা সংজ্ঞায়িত করে ক.
সুতরাং, একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে স্পেসে একটি সরল রেখা অক্সিজ দুটি ছেদকারী প্লেনের সমীকরণের একটি সিস্টেম দ্বারা দেওয়া যেতে পারে 
.
দুটি সমীকরণের সিস্টেম ব্যবহার করে মহাকাশে একটি সরল রেখা সংজ্ঞায়নের উদাহরণ এখানে - 
.
দুটি ছেদকারী প্লেনের সমীকরণ দ্বারা একটি সরল রেখা বর্ণনা করা দুর্দান্ত is একটি সরল রেখা এবং একটি বিমানের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করাএবং এছাড়াও মহাকাশে দুটি সরল রেখার ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করা.
আমরা আপনাকে এই নিবন্ধটি উল্লেখ করে এই বিষয়টি অধ্যয়নরত রাখার পরামর্শ দিচ্ছি মহাকাশে একটি সরলরেখার সমীকরণ - দুটি ছেদকারী প্লেনের সমীকরণ... এটি আরও বিশদ তথ্য সরবরাহ করে, আদর্শ উদাহরণ এবং সমস্যার সমাধানের বিশদ বিশদ বিশ্লেষণ করে এবং ভিন্ন ধরণের স্পেসে একটি সরলরেখার সমীকরণে যাওয়ার উপায়ও দেখায়।
এটি বিভিন্ন আছে যে লক্ষ করা উচিত মহাকাশে একটি সরল রেখা নির্ধারণ করার উপায় ways, এবং অনুশীলনে, একটি সরল রেখা প্রায়শই দুটি ছেদকারী প্লেন দ্বারা নয়, একটি সরলরেখার একটি দিক ভেক্টর এবং এই সরলরেখায় অবস্থিত একটি বিন্দুর দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়। এই ক্ষেত্রে, মহাকাশে একটি সরল রেখার ক্যানোনিকাল এবং প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণগুলি অর্জন করা আরও সহজ। আমরা তাদের পরবর্তী অনুচ্ছেদে আলোচনা করব।
মহাকাশে একটি সরল রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণ।
মহাকাশে একটি সরল রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণ ফর্ম আছে 
,
কোথায় এক্স 1 ,y 1 এবং z 1 - একটি সরল রেখার কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক, ক এক্স , ক y এবং ক z (ক এক্স , ক y এবং ক z একযোগে শূন্য নয়) - সম্পর্কিত সরলরেখার দিকনির্দেশক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক, এবং - এমন কোনও প্যারামিটার যা কোনও বৈধ মান নিতে পারে।
প্যারামিটারের কোনও মানের জন্য, স্পেসে একটি সরল রেখার প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণগুলি ব্যবহার করে, আমরা তিনটি সংখ্যার গণনা করতে পারি,
এটি একটি সরল রেখার কিছু বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্য করবে (সুতরাং একটি সরলরেখার এই ধরণের সমীকরণের নাম)। উদাহরণস্বরূপ, জন্য
মহাকাশে একটি সরল রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি থেকে আমরা স্থানাঙ্কগুলি পাই এক্স 1
, y 1
এবং z 1
: 
.
উদাহরণ হিসাবে, একটি সরল রেখা বিবেচনা করুন যা ফর্মের প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত 
... এই লাইনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং এই রেখার দিকনির্দেশক ভেক্টরের সমন্বয় থাকে।
আমরা আপনাকে পরামর্শ দিচ্ছি যে আপনি নিবন্ধের উপাদানগুলি উল্লেখ করে বিষয়টি অধ্যয়ন অবিরত করুন মহাকাশে একটি সরল রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণ... এটি মহাকাশে একটি সরলরেখার প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণগুলির বিকাশ দেখায়, স্থানের একটি সরলরেখার প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণের বিশেষ কেসগুলিকে বিচ্ছিন্ন করে দেয়, গ্রাফিক চিত্র দেয়, সাধারণ সমস্যার বিশদ সমাধান দেয় এবং একটি সরলরেখার প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণের সংযোগকে নির্দেশ করে একটি সরলরেখার অন্যান্য ধরণের সমীকরণের সাথে।
মহাকাশে একটি সরল রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ।
সরলরেখার প্রতিটি প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণ সমাধান করা 
প্যারামিটারের তুলনায় এটি যেতে সহজ মহাকাশে একটি সরল রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ সদয় 
.
মহাকাশে একটি সরল রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ একটি বিন্দু দিয়ে প্রবাহিত একটি সরল রেখা সংজ্ঞা দেয় 
, এবং সরলরেখার দিকনির্দেশক ভেক্টর হ'ল ভেক্টর 
... উদাহরণস্বরূপ, ক্যানোনিকাল আকারে একটি সরল রেখার সমীকরণ 
স্থানাঙ্কের সাথে স্থানের একটি বিন্দু দিয়ে যাবার একটি সরলরেখার সাথে সমান, এই সরল রেখার দিকের ভেক্টরের স্থানাঙ্ক থাকে has
এটি লক্ষ করা উচিত যে সরলরেখার নীতিগত সমীকরণের এক বা দুটি সংখ্যার শূন্য হতে পারে (তিনটি সংখ্যা একই সাথে শূন্য হতে পারে না, যেহেতু সরলরেখার প্রত্যক্ষ ভেক্টর শূন্য হতে পারে না)। তারপরে ফর্মের একটি এন্ট্রি 
আনুষ্ঠানিক হিসাবে বিবেচনা করা হয় (যেহেতু এক বা দুটি ভগ্নাংশের বিভাজনগুলিতে শূন্য থাকবে) এবং এটি হিসাবে বোঝা উচিত 
কোথায়.
যদি রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণের একটি সংখ্যা শূন্যের সমান হয়, তবে রেখাটি স্থানাঙ্কী বিমানগুলির মধ্যে একটিতে বা এর সমান্তরালে সমতলতে অবস্থিত। যদি দুটি সংখ্যার শূন্য হয়, তবে সরল রেখা হয় হয় একটি স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে মিলে যায় বা এর সমান্তরাল হয়। উদাহরণস্বরূপ, ফর্মের একটি স্পেসে একটি সরল রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত একটি সরল রেখা 
প্লেনে পড়ে আছে z \u003d -2যা সমন্বিত বিমানের সমান্তরাল ralle অক্সিএবং স্থানাঙ্ক অক্ষ ওয় ক্যানোনিকাল সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।
এই ক্ষেত্রেগুলির গ্রাফিক চিত্রগুলির জন্য, মহাকাশে একটি সরলরেখার নৈমিত্তিক সমীকরণের বিকাশ, সাধারণ উদাহরণ এবং সমস্যার বিশদ সমাধান, পাশাপাশি একটি সরলরেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ থেকে স্থানের একটি সরলরেখার অন্যান্য সমীকরণে স্থানান্তর দেখুন, দেখুন প্রবন্ধ মহাকাশে একটি সরল রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ.
লাইনের সাধারণ সমীকরণ। সাধারণ থেকে ক্যানোনিকাল সমীকরণে স্থানান্তর।
| " |
