কিভাবে সেগমেন্টের অন্তর্গত সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করতে হয়। সেগমেন্টের অন্তর্গত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করা। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

27. একটি নির্দিষ্ট অংশে শিকড় নির্বাচন করুন

28. 10. সমীকরণটি সমাধান করুন 2sin2x =4cos x –sinx+1 ব্যবধানে এর মূল খুঁজুন [/2; 3/2]

29. একটি বৃত্ত ব্যবহার করে শিকড় নির্বাচন করুন

কার্যক্রম 1

যুক্তিটি সহজ: ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির এখন আরও জটিল যুক্তি থাকা সত্ত্বেও আমরা আগের মতোই করব!

যদি আমরা ফর্মের একটি সমীকরণ সমাধান করতে চাই:

তারপর আমরা নিম্নলিখিত উত্তর লিখব:

অথবা (কারণ)

কিন্তু এখন আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি খেলছি:

তারপর আপনি লিখতে পারেন:

আপনার সাথে আমাদের লক্ষ্য হল এটি তৈরি করা যাতে আপনি কোনও "অমেধ্য" ছাড়াই বাম দিকে দাঁড়াতে পারেন!

আসুন তাদের পরিত্রাণ পেতে!

প্রথমে, এখানে হর সরিয়ে দিন: এটি করতে, আমাদের সমতাকে এর দ্বারা গুণ করুন:

এখন আমরা এটি দ্বারা উভয় অংশকে ভাগ করে পরিত্রাণ পাই:

এখন আটটি থেকে মুক্তি দেওয়া যাক:

ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিটি সমাধানের 2 সিরিজ হিসাবে লেখা যেতে পারে (একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, যেখানে আমরা বৈষম্যকে যোগ বা বিয়োগ করি)

আমাদের সবচেয়ে বড় নেতিবাচক মূল খুঁজে বের করতে হবে! এটা পরিষ্কার যে এটা বাছাই করা প্রয়োজন.

আসুন প্রথমে প্রথম সিরিজটি দেখি:

এটা স্পষ্ট যে আমরা যদি নিই, তাহলে ফলস্বরূপ আমরা ইতিবাচক সংখ্যা পাব, কিন্তু আমরা সেগুলিতে আগ্রহী নই।

তাই এটা নেতিবাচক নিতে হবে। হতে দিন.

যখন মূল ইতিমধ্যে হবে:

এবং আমাদের সবচেয়ে বড় নেতিবাচক খুঁজে বের করতে হবে!! তাই এখানে নেতিবাচক দিকে যাওয়া আর কোন মানে হয় না। এবং এই সিরিজের জন্য সবচেয়ে বড় নেতিবাচক মূল সমান হবে।

এখন দ্বিতীয় সিরিজ বিবেচনা করুন:

এবং আবার আমরা প্রতিস্থাপন করি: , তারপর:

আগ্রহী নই!

তাহলে এটা আর বাড়ানোর কোনো মানে হয় না! কমানো যাক! তাহলে যাক:

ফিট!

হতে দিন. তারপর

তারপর - সবচেয়ে বড় নেতিবাচক মূল!

উত্তর:

টাস্ক #2

আবার, জটিল কোসাইন যুক্তি নির্বিশেষে আমরা সমাধান করি:

এখন আমরা আবার বাম দিকে প্রকাশ করি:

উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন

দুই দিকে ভাগ করুন

যা বাকি আছে তা হল ডানদিকে সরানো, এর চিহ্নকে বিয়োগ থেকে প্লাসে পরিবর্তন করা।

আমরা আবার শিকড়ের 2টি সিরিজ পাই, একটি সহ এবং অন্যটি সহ।

আমাদের সবচেয়ে বড় নেতিবাচক মূল খুঁজে বের করতে হবে। প্রথম সিরিজ বিবেচনা করুন:

এটা স্পষ্ট যে আমরা প্রথম ঋণাত্মক মূল এ পাব, এটি সমান হবে এবং সিরিজ 1-এ সবচেয়ে বড় ঋণাত্মক মূল হবে।

দ্বিতীয় সিরিজের জন্য

প্রথম ঋণাত্মক মূলটিও প্রাপ্ত হবে এবং এর সমান হবে। যেহেতু, তখন সমীকরণের বৃহত্তম ঋণাত্মক মূল।

উত্তর: .

টাস্ক #3

স্পর্শকটির জটিল যুক্তি যাই হোক না কেন আমরা সিদ্ধান্ত নিই।

এটা জটিল কিছু বলে মনে হচ্ছে, তাই না?

আগের মতো, আমরা বাম দিকে প্রকাশ করি:

ওয়েল, এটা মহান, সাধারণত শিকড় শুধুমাত্র একটি সিরিজ আছে! আবার, বৃহত্তম নেতিবাচক খুঁজুন.

এটা পরিষ্কার যে এটা সক্রিয় আউট যদি আমরা করা. এবং এই মূল সমান।

উত্তর:

এবার নিচের সমস্যাগুলো নিজে থেকে সমাধান করার চেষ্টা করুন।

হোমওয়ার্ক বা স্বাধীন সমাধানের জন্য 3টি কাজ।

1. রি-শি-তে সমীকরণ।
   
2. রি-শি-তে সমীকরণ।
   ফ্রম-ভে-তে অন-পি-শি-তে সবচেয়ে ছোট ইন-লো-ঝি-টেল-নি মূল।
3. রি-শি-তে সমীকরণ।
   ফ্রম-ভে-তে অন-পি-শি-তে সবচেয়ে ছোট ইন-লো-ঝি-টেল-নি মূল।

প্রস্তুত? আমরা চেক করি। আমি সম্পূর্ণ সমাধান অ্যালগরিদম বিশদভাবে বর্ণনা করব না, এটা আমার কাছে মনে হচ্ছে যে উপরে ইতিমধ্যেই যথেষ্ট মনোযোগ দেওয়া হয়েছে।

আচ্ছা, সব ঠিক আছে তো? ওহ, সেই দুষ্ট সাইনাস, তাদের সাথে সবসময় কিছু সমস্যা থাকে!

আচ্ছা, এখন আপনি সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারেন!

সমাধান এবং উত্তর দেখুন:

কার্যক্রম 1

প্রকাশ করা

ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূল পাওয়া যায় যদি আমরা, তারপর থেকে, রাখি

উত্তর:

টাস্ক #2

ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূলটি প্রাপ্ত হবে।

সে সমান হবে।

উত্তর: .

টাস্ক #3

যখন আমরা পাই, যখন আমাদের আছে।

উত্তর: .

এই জ্ঞান আপনাকে পরীক্ষায় যে সমস্যার সম্মুখীন হবে তার অনেকগুলি সমাধান করতে সাহায্য করবে।

আপনি যদি "5" রেটিং এর জন্য আবেদন করেন, তাহলে আপনাকে শুধু নিবন্ধটি পড়ার জন্য এগিয়ে যেতে হবে মধ্যম স্তর,যা আরো জটিল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ (টাস্ক C1) সমাধানের জন্য নিবেদিত হবে।

গড় স্তর

এই নিবন্ধে আমি বর্ণনা করব আরও জটিল ধরনের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধানএবং কিভাবে তাদের শিকড় নির্বাচন করতে হয়। এখানে আমি নিম্নলিখিত বিষয়গুলিতে ফোকাস করব:

1. এন্ট্রি লেভেলের জন্য ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ (উপরে দেখুন)।

আরও জটিল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি বর্ধিত জটিলতার সমস্যার ভিত্তি। তাদের জন্য সাধারণ আকারে সমীকরণটি নিজেই সমাধান করা এবং কিছু নির্দিষ্ট ব্যবধানের অন্তর্গত এই সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করা উভয়ই প্রয়োজন।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান দুটি সাবটাস্কে হ্রাস করা হয়েছে:

1. সমীকরণ সমাধান
2. রুট নির্বাচন

এটি লক্ষ করা উচিত যে দ্বিতীয়টি সর্বদা প্রয়োজন হয় না, তবে এখনও বেশিরভাগ উদাহরণে এটি একটি নির্বাচন করা প্রয়োজন। এবং যদি এটির প্রয়োজন না হয় তবে আপনি বরং সহানুভূতি জানাতে পারেন - এর অর্থ হ'ল সমীকরণটি নিজেই বেশ জটিল।

C1 কার্যগুলির বিশ্লেষণের সাথে আমার অভিজ্ঞতা দেখায় যে সেগুলি সাধারণত নিম্নলিখিত বিভাগে বিভক্ত।

বর্ধিত জটিলতার কাজের চারটি বিভাগ (পূর্বে C1)

1. সমীকরণ যা ফ্যাক্টরাইজেশনে হ্রাস পায়।
2. যে সমীকরণগুলি ফর্মকে কমিয়ে দেয়।
3. চলকের পরিবর্তনের মাধ্যমে সমাধান করা সমীকরণ।
4. অযৌক্তিকতা বা হর এর কারণে মূলের অতিরিক্ত নির্বাচনের প্রয়োজন সমীকরণ।

সহজভাবে বলতে গেলে: যদি আপনি পান প্রথম তিন ধরনের সমীকরণের একটিতারপর নিজেকে ভাগ্যবান মনে করুন। তাদের জন্য, একটি নিয়ম হিসাবে, একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানের অন্তর্গত শিকড়গুলি নির্বাচন করা অতিরিক্ত প্রয়োজন।

আপনি যদি টাইপ 4 এর সমীকরণটি দেখতে পান তবে আপনি কম ভাগ্যবান: আপনাকে এটির সাথে আরও দীর্ঘ এবং আরও যত্ন সহকারে টিঙ্কার করতে হবে, তবে প্রায়শই এর জন্য শিকড়ের অতিরিক্ত নির্বাচনের প্রয়োজন হয় না। তবুও, আমি পরের প্রবন্ধে এই ধরনের সমীকরণ বিশ্লেষণ করব, এবং প্রথম তিন ধরনের সমীকরণ সমাধানের জন্য এটিকে উৎসর্গ করব।

ফ্যাক্টরিং থেকে কমানো সমীকরণ

এই ধরণের সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য আপনাকে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিসটি মনে রাখতে হবে

অনুশীলন দেখায়, একটি নিয়ম হিসাবে, এই জ্ঞান যথেষ্ট। আসুন কিছু উদাহরণ দেখি:

উদাহরণ 1. একটি সমীকরণ যা হ্রাসের সূত্র এবং দ্বিকোণের সাইন ব্যবহার করে ফ্যাক্টরাইজেশনে হ্রাস পায়

• রি-শি-তে সমীকরণ
• এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড় খুঁজে বের করুন

এখানে, যেমন আমি প্রতিশ্রুতি দিয়েছিলাম, কাস্টিং সূত্রগুলি কাজ করে:

তারপর আমার সমীকরণ এই মত দেখাবে:

তারপর আমার সমীকরণ নিম্নলিখিত ফর্ম নিতে হবে:

একজন অদূরদর্শী ছাত্র বলতে পারে: এবং এখন আমি উভয় অংশ কমিয়ে দেব, সহজতম সমীকরণ পাব এবং জীবন উপভোগ করব! এবং তিনি তিক্তভাবে ভুল হবে!

তো এখন কি করা? হ্যাঁ, সবকিছুই সহজ, সবকিছুকে এক দিকে স্থানান্তর করুন এবং সাধারণ ফ্যাক্টর বের করুন:

ওয়েল, আমরা এটা বের করেছি, হুররে! এখন আমরা সিদ্ধান্ত নিই:

প্রথম সমীকরণের মূল রয়েছে:

এবং দ্বিতীয়:

এটি সমস্যার প্রথম অংশটি সম্পূর্ণ করে। এখন আমাদের শিকড় নির্বাচন করতে হবে:

ফাঁক এই মত:

অথবা এটি এভাবেও লেখা যেতে পারে:

আচ্ছা, আসুন শিকড় নেওয়া যাক:

প্রথমে, আসুন প্রথম সিরিজের সাথে কাজ করি (এবং এটি আরও সহজ, অন্তত বলতে গেলে!)

যেহেতু আমাদের ব্যবধান সম্পূর্ণরূপে নেতিবাচক, অ-নেতিবাচকগুলি নেওয়ার দরকার নেই, তারা এখনও অ-নেতিবাচক শিকড় দেবে।

চলুন, তাহলে - একটু বেশি, এটা মানায় না।

যাক, তারপর- আবার মারলো না।

আরও একটি চেষ্টা - তারপর - সেখানে, আঘাত! প্রথম মূল পাওয়া গেছে!

আমি আবার গুলি: তারপর - আবার আঘাত!

ঠিক আছে, আরও একবার: - এটি ইতিমধ্যে একটি ফ্লাইট।

সুতরাং প্রথম সিরিজ থেকে, 2টি মূল ব্যবধানের অন্তর্গত: .

আমরা দ্বিতীয় সিরিজ নিয়ে কাজ করছি (আমরা নির্মাণ করছি নিয়ম অনুযায়ী ক্ষমতার কাছে):

আন্ডারশুট !

আবার নিখোঁজ!

আবারও ঘাটতি!

বুঝেছি!

ফ্লাইট !

এইভাবে, নিম্নলিখিত শিকড়গুলি আমার স্প্যানের অন্তর্গত:

আমরা অন্যান্য সমস্ত উদাহরণ সমাধান করতে এই অ্যালগরিদম ব্যবহার করব। আসুন একসাথে আরও একটি উদাহরণ অনুশীলন করি।

উদাহরণ 2. একটি সমীকরণ যা হ্রাস সূত্র ব্যবহার করে ফ্যাক্টরাইজেশনে হ্রাস করে

• সমীকরণটি সমাধান করুন

সমাধান:

আবার কুখ্যাত কাস্ট সূত্র:

আবার, কাটার চেষ্টা করবেন না!

প্রথম সমীকরণের মূল রয়েছে:

এবং দ্বিতীয়:

এখন আবার শেকড়ের সন্ধান।

আমি দ্বিতীয় সিরিজ দিয়ে শুরু করব, আমি ইতিমধ্যে আগের উদাহরণ থেকে এটি সম্পর্কে সবকিছু জানি! দেখুন এবং নিশ্চিত করুন যে ফাঁকের শিকড়গুলি নিম্নরূপ:

এখন প্রথম সিরিজ এবং এটি সহজ:

যদি - উপযুক্ত

যদি - এছাড়াও ভাল

যদি - ইতিমধ্যে ফ্লাইট।

তারপর শিকড় হবে:

স্বাধীন কাজ. 3টি সমীকরণ।

আচ্ছা, আপনি কি কৌশল বুঝতে পারেন? ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান এখন আর এত কঠিন মনে হয় না? তারপরে দ্রুত নিম্নলিখিত সমস্যাগুলি নিজেই সমাধান করুন এবং তারপরে আপনি এবং আমি অন্যান্য উদাহরণগুলি সমাধান করব:

1. সমীকরণটি সমাধান করুন
   এই সমীকরণের সমস্ত শিকড়গুলি সন্ধান করুন যা ফাঁকের সাথে সংযুক্ত।
2. রি-শি-তে সমীকরণ
   সমীকরণের শিকড়গুলি নির্দেশ করুন, যা কাটার সাথে সংযুক্ত
3. রি-শি-তে সমীকরণ
   এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড়গুলি খুঁজুন, এট-উপরে-লে-ঝা-শচি প্রো-ইন্টার-ঝুত-কু।

সমীকরণ 1

এবং আবার ঢালাই সূত্র:

শিকড়ের প্রথম সিরিজ:

শিকড়ের দ্বিতীয় সিরিজ:

আমরা ব্যবধানের জন্য নির্বাচন শুরু করি

উত্তর: , .

সমীকরণ 2 স্বাধীন কাজ পরীক্ষা করা হচ্ছে।

ফ্যাক্টরগুলির মধ্যে বেশ জটিল গ্রুপিং (আমি একটি ডবল কোণের সাইনের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করব):

তারপর বা

এটি একটি সাধারণ সমাধান। এখন আমাদের শিকড় নিতে হবে। সমস্যা হল আমরা একটি কোণের সঠিক মান বলতে পারি না যার কোসাইন এক চতুর্থাংশের সমান। অতএব, আমি শুধু আরকোসাইন থেকে পরিত্রাণ পেতে পারি না - যেমন একটি উপদ্রব!

আমি কি করতে পারি তা হল, তারপর থেকে।

একটি টেবিল তৈরি করা যাক: interval:

ঠিক আছে, বেদনাদায়ক অনুসন্ধানের মাধ্যমে, আমরা হতাশাজনক উপসংহারে এসেছি যে আমাদের সমীকরণটি নির্দেশিত ব্যবধানে একটি মূল রয়েছে: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

সমীকরণ 3. স্বাধীন কাজের যাচাইকরণ।

একটি ভীতিকর সমীকরণ। যাইহোক, এটি একটি দ্বৈত কোণের সাইনের সূত্র প্রয়োগ করে বেশ সহজভাবে সমাধান করা হয়:

আসুন এটিকে 2 দ্বারা কাটা যাক:

আমরা প্রথম পদটিকে দ্বিতীয়টি এবং তৃতীয়টি চতুর্থটির সাথে গোষ্ঠীবদ্ধ করি এবং সাধারণ কারণগুলি বের করি:

এটা স্পষ্ট যে প্রথম সমীকরণের কোন শিকড় নেই, এবং এখন দ্বিতীয়টি বিবেচনা করুন:

সাধারণভাবে, আমি একটু পরে এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার বিষয়ে চিন্তা করতে যাচ্ছিলাম, কিন্তু যেহেতু এটি পরিণত হয়েছে, কিছুই করার ছিল না, আমাদের সিদ্ধান্ত নিতে হয়েছিল ...

ফর্মের সমীকরণ:

এই সমীকরণটি উভয় পক্ষকে দ্বারা ভাগ করে সমাধান করা হয়:

সুতরাং, আমাদের সমীকরণের শিকড়গুলির একটি একক সিরিজ রয়েছে:

আপনাকে তাদের খুঁজে বের করতে হবে যারা ব্যবধানের অন্তর্গত: .

আসুন আবার টেবিলটি তৈরি করি, যেমন আমি আগে করেছি:

উত্তর: .

যে সমীকরণগুলি ফর্মে হ্রাস পায়:

ঠিক আছে, এখন সমীকরণের দ্বিতীয় অংশে যাওয়ার সময় এসেছে, বিশেষ করে যেহেতু আমি ইতিমধ্যেই পরিষ্কার করে দিয়েছি যে নতুন ধরনের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান কী নিয়ে গঠিত। কিন্তু ফর্মের সমীকরণের পুনরাবৃত্তি করা অতিরিক্ত হবে না

কোসাইন দ্বারা উভয় অংশকে ভাগ করে এটি সমাধান করা হয়:

1. রি-শি-তে সমীকরণ
   কাট-অফের সাথে সংযুক্ত সমীকরণের শিকড়গুলি নির্দেশ করুন।
2. রি-শি-তে সমীকরণ
   সমীকরণের মূল নির্দেশ করুন, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku।

উদাহরণ 1

প্রথমটি বেশ সহজ। ডানদিকে যান এবং ডবল অ্যাঙ্গেল কোসাইন সূত্র প্রয়োগ করুন:

আহা! টাইপ সমীকরণ: . আমি উভয় অংশ বিভক্ত

আমরা রুট নির্মূল করি:

ফাঁক:

উত্তর:

উদাহরণ 2

সবকিছুই বেশ তুচ্ছ: আসুন ডানদিকে বন্ধনী খুলি:

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়:

দ্বৈত কোণের সাইন:

অবশেষে আমরা পাই:

শিকড়ের স্ক্রীনিং: ফাঁক।

উত্তর: .

আচ্ছা, আপনি কীভাবে কৌশলটি পছন্দ করেন, এটি কি খুব জটিল নয়? আমি আশা করি না. আমরা অবিলম্বে একটি সংরক্ষণ করতে পারি: এর বিশুদ্ধ আকারে, যে সমীকরণগুলি অবিলম্বে স্পর্শকের জন্য একটি সমীকরণে হ্রাস পায় তা বেশ বিরল। সাধারণত, এই রূপান্তর (কোসাইন দ্বারা বিভাজন) একটি বৃহত্তর সমস্যার অংশ মাত্র। অনুশীলন করার জন্য এখানে একটি উদাহরণ রয়েছে:

• রি-শি-তে সমীকরণ
• এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড়গুলি খুঁজে বের করুন, উপরে-লে-ঝা-স্কি থেকে কাটা।

আসুন পরীক্ষা করা যাক:

সমীকরণটি অবিলম্বে সমাধান করা হয়েছে, উভয় অংশকে এই দ্বারা ভাগ করা যথেষ্ট:

রুট সিফটিং:

উত্তর: .

একভাবে বা অন্যভাবে, আমরা যে ধরণের সমীকরণের মুখোমুখি হয়েছি তা আমরা এইমাত্র আলোচনা করেছি। যাইহোক, এটি গুটিয়ে নেওয়া আমাদের পক্ষে এখনও খুব তাড়াতাড়ি: সমীকরণের আরও একটি "স্তর" রয়েছে যা আমরা বিশ্লেষণ করিনি। তাই:

চলকের পরিবর্তনের মাধ্যমে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান

এখানে সবকিছু স্বচ্ছ: আমরা সমীকরণটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখি, আমরা এটিকে যতটা সম্ভব সহজ করি, আমরা একটি প্রতিস্থাপন করি, আমরা সমাধান করি, আমরা একটি বিপরীত প্রতিস্থাপন করি! কথায় বলে, সবকিছু খুব সহজ। আসুন এটি কর্মে দেখি:

উদাহরণ।

• সমীকরণটি সমাধান করুন:।
• এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড়গুলি খুঁজে বের করুন, উপরে-লে-ঝা-স্কি থেকে কাটা।

ওয়েল, এখানে প্রতিস্থাপন নিজেই আমাদের হাতে নিজেকে প্রস্তাব!

তাহলে আমাদের সমীকরণটি হয়ে যায়:

প্রথম সমীকরণের মূল রয়েছে:

এবং দ্বিতীয়টি এইরকম:

এখন ইন্টারভ্যালের অন্তর্গত শিকড়গুলি খুঁজে বের করা যাক

উত্তর: .

আসুন একসাথে একটু জটিল উদাহরণ দেখি:

• রি-শি-তে সমীকরণ
• প্রদত্ত সমীকরণের মূল নির্দেশ করুন, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku।

এখানে প্রতিস্থাপন অবিলম্বে দৃশ্যমান নয়, তদ্ব্যতীত, এটি খুব স্পষ্ট নয়। আসুন প্রথমে চিন্তা করি: আমরা কি করতে পারি?

উদাহরণস্বরূপ, আমরা কল্পনা করতে পারি

এবং একই সময়ে

তারপর আমার সমীকরণ হয়ে যায়:

এবং এখন মনোযোগ, ফোকাস:

সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করা যাক:

হঠাৎ, আপনি এবং আমি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পেয়েছিলাম! আসুন একটি প্রতিস্থাপন করি, তারপর আমরা পাই:

সমীকরণের নিম্নলিখিত শিকড় রয়েছে:

শিকড়ের একটি অপ্রীতিকর দ্বিতীয় সিরিজ, কিন্তু কিছু করার নেই! আমরা ব্যবধানে শিকড়গুলির একটি নির্বাচন করি।

সেটাও আমাদের বিবেচনায় নিতে হবে

তারপর থেকে

উত্তর:

একত্রীকরণ করতে, আপনি নিজেই সমস্যাগুলি সমাধান করার আগে, এখানে আপনার জন্য আরেকটি অনুশীলন রয়েছে:

• রি-শি-তে সমীকরণ
• এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড়গুলি খুঁজুন, এট-উপরে-লে-ঝা-শচি প্রো-ইন্টার-ঝুত-কু।

এখানে আপনাকে আপনার চোখ খোলা রাখতে হবে: আমাদের কাছে হর রয়েছে যা শূন্য হতে পারে! অতএব, আপনাকে শিকড়ের প্রতি বিশেষভাবে মনোযোগী হতে হবে!

প্রথমত, আমাকে সমীকরণটি পরিবর্তন করতে হবে যাতে আমি একটি উপযুক্ত প্রতিস্থাপন করতে পারি। সাইন এবং কোসাইনের পরিপ্রেক্ষিতে স্পর্শকটি পুনরায় লেখার চেয়ে আমি এখনই ভাল কিছু ভাবতে পারি না:

এখন আমি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় অনুসারে কোসাইন থেকে সাইনে যাব:

এবং পরিশেষে, আমি একটি সাধারণ হরকে সবকিছু নিয়ে আসব:

এখন আমি সমীকরণে যেতে পারি:

কিন্তু এ (অর্থাৎ এ)।

এখন সবকিছু প্রতিস্থাপনের জন্য প্রস্তুত:

তারপর হয়

যাইহোক, মনে রাখবেন যে, তারপর একই সময়ে!

কে এই ভোগে? সমস্যাটি স্পর্শক নিয়ে, এটি সংজ্ঞায়িত করা হয় না যখন কোসাইন শূন্য হয় (শূন্য দ্বারা বিভাজন ঘটে)।

সুতরাং সমীকরণের মূলগুলি হল:

এখন আমরা ব্যবধানে শিকড়গুলি স্ক্রীন করি:

সুতরাং, আমাদের সমীকরণের ব্যবধানে একটি একক মূল রয়েছে এবং এটি সমান।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন: হরটির চেহারা (পাশাপাশি স্পর্শক, শিকড়ের সাথে কিছু অসুবিধার দিকে নিয়ে যায়! আপনাকে এখানে আরও সতর্ক হতে হবে!)।

ঠিক আছে, আপনি এবং আমি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের বিশ্লেষণ প্রায় শেষ করে ফেলেছি, খুব কম বাকি আছে - দুটি সমস্যা নিজেরাই সমাধান করতে। এখানে তারা.

1. সমীকরণটি সমাধান করুন
   এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড়গুলি খুঁজে বের করুন, উপরে-লে-ঝা-স্কি থেকে কাটা।
2. রি-শি-তে সমীকরণ
   এই সমীকরণের শিকড়গুলি নির্দেশ করুন, যা কাটার সাথে সংযুক্ত।

সিদ্ধান্ত নিয়েছে? খুব কঠিন না? আসুন পরীক্ষা করা যাক:

1. আমরা হ্রাস সূত্র অনুযায়ী কাজ করি:

   আমরা সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

   আসুন কোসাইনগুলির পরিপ্রেক্ষিতে সবকিছু পুনরায় লিখি, যাতে প্রতিস্থাপন করা আরও সুবিধাজনক হয়:

   এখন প্রতিস্থাপন করা সহজ:

   এটা স্পষ্ট যে এটি একটি বহিরাগত মূল, যেহেতু সমীকরণটির কোন সমাধান নেই। তারপর:

   আমরা ব্যবধানে আমাদের প্রয়োজন শিকড় খুঁজছি

   উত্তর: .

2. 
   এখানে প্রতিস্থাপন অবিলম্বে দৃশ্যমান:

   তারপর হয়

   	- মানানসই!	- মানানসই!
   	- মানানসই!	- মানানসই!
   	- অনেক!	- এছাড়াও অনেক!

   উত্তর:

আচ্ছা, এখন সবকিছু! কিন্তু ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান সেখানেই শেষ হয় না, আমরা সবচেয়ে কঠিন কেসগুলোকে পেছনে ফেলে এসেছি: যখন সমীকরণে অযৌক্তিকতা বা বিভিন্ন ধরনের "জটিল হর" থাকে। এই ধরনের কাজগুলি কীভাবে সমাধান করা যায়, আমরা একটি উন্নত স্তরের জন্য একটি নিবন্ধে বিবেচনা করব।

উন্নত স্তর

পূর্ববর্তী দুটি নিবন্ধে বিবেচনা করা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি ছাড়াও, আমরা আরও একটি শ্রেণী সমীকরণ বিবেচনা করি যার জন্য আরও যত্নশীল বিশ্লেষণের প্রয়োজন। এই ত্রিকোণমিতিক উদাহরণগুলিতে একটি অযৌক্তিকতা বা একটি হর রয়েছে, যা তাদের বিশ্লেষণকে আরও কঠিন করে তোলে।. যাইহোক, আপনি পরীক্ষার প্রশ্নপত্রের অংশ সি তে এই সমীকরণগুলির মুখোমুখি হতে পারেন। যাইহোক, একটি রূপালী আস্তরণ রয়েছে: এই জাতীয় সমীকরণগুলির জন্য, একটি নিয়ম হিসাবে, এর কোন শিকড়গুলি একটি প্রদত্ত ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত তা নিয়ে প্রশ্ন আর উত্থাপিত হয় না। আসুন ঝোপের চারপাশে বীট না, কিন্তু শুধু ত্রিকোণমিতিক উদাহরণ.

উদাহরণ 1

সমীকরণটি সমাধান করুন এবং সেগমেন্টের অন্তর্গত সেই মূলগুলি খুঁজুন।

সমাধান:

আমাদের একটি হর আছে যা শূন্যের সমান হওয়া উচিত নয়! তারপর এই সমীকরণটি সমাধান করা সিস্টেমটি সমাধান করার মতোই

আসুন প্রতিটি সমীকরণ সমাধান করি:

এবং এখন দ্বিতীয়:

এবার সিরিজটি দেখে নেওয়া যাক:

এটা স্পষ্ট যে বিকল্পটি আমাদের জন্য উপযুক্ত নয়, যেহেতু এই ক্ষেত্রে হরটি শূন্যে সেট করা হয়েছে (দ্বিতীয় সমীকরণের শিকড়ের সূত্রটি দেখুন)

যদি - তাহলে সবকিছু ঠিক আছে, এবং হর শূন্যের সমান নয়! তারপর সমীকরণের মূলগুলি হল: , .

এখন আমরা ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত শিকড় নির্বাচন করি।

তারপর শিকড় হল:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এমনকি হর আকারে একটি ছোট হস্তক্ষেপের উপস্থিতিও সমীকরণের সমাধানকে উল্লেখযোগ্যভাবে প্রভাবিত করেছে: আমরা শিকড়ের একটি সিরিজ বাতিল করে দিয়েছি যা হরকে বাতিল করে দেয়। আপনি যদি অযৌক্তিক ত্রিকোণমিতিক উদাহরণগুলি দেখতে পান তবে জিনিসগুলি আরও জটিল হতে পারে।

উদাহরণ 2

সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:

ঠিক আছে, অন্তত আপনাকে শিকড় নির্বাচন করতে হবে না, এবং এটি ভাল! অযৌক্তিকতা নির্বিশেষে প্রথমে সমীকরণটি সমাধান করা যাক:

এবং কি, যে সব? না, হায়, এটা খুব সহজ হবে! এটা মনে রাখতে হবে যে শুধুমাত্র অ-ঋণাত্মক সংখ্যাই মূলের নীচে দাঁড়াতে পারে। তারপর:

এই অসমতার সমাধান:

এখন এটি খুঁজে বের করা বাকি আছে যে প্রথম সমীকরণের শিকড়ের একটি অংশ অসাবধানতাবশত এমন জায়গায় পড়েনি যেখানে অসমতা ধরে না।

এটি করার জন্য, আপনি আবার টেবিলটি ব্যবহার করতে পারেন:

এইভাবে, একটি শিকড় আমার জন্য "পড়ে গেছে"! লাগালেই দেখা যাচ্ছে। তারপর উত্তরটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

উত্তর:

আপনি দেখুন, মূলের আরও ঘনিষ্ঠ মনোযোগ প্রয়োজন! চলুন জটিল করা যাক: এখন আমার রুটের নিচে একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন আছে।

উদাহরণ 3

আগের মতো: প্রথমে আমরা প্রতিটি আলাদাভাবে সমাধান করব এবং তারপরে আমরা কী করেছি তা নিয়ে ভাবব।

এখন দ্বিতীয় সমীকরণ:

এখন সবচেয়ে কঠিন বিষয় হল যদি আমরা সেখানে প্রথম সমীকরণ থেকে মূলগুলি প্রতিস্থাপন করি তাহলে পাটিগণিত মূলের অধীনে নেতিবাচক মানগুলি পাওয়া যায় কিনা তা খুঁজে বের করা:

সংখ্যাটি অবশ্যই রেডিয়ান হিসাবে বোঝা উচিত। যেহেতু একটি রেডিয়ান প্রায় ডিগ্রী, রেডিয়ান প্রায় ডিগ্রী। এটি দ্বিতীয় কোয়ার্টারের কোণ। দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকের কোসাইনের চিহ্ন কী? মাইনাস। সাইন সম্পর্কে কি? প্লাস। তাই অভিব্যক্তি সম্পর্কে কি:

এটা শূন্যেরও কম!

তাই - সমীকরণের মূল নয়।

এবার পালা।

আসুন এই সংখ্যাটিকে শূন্যের সাথে তুলনা করি।

Cotangent হল একটি ফাংশন যা 1 কোয়ার্টারে কমছে (তর্ক যত ছোট হবে, কোট্যাঞ্জেন্ট তত বেশি)। রেডিয়ান প্রায় ডিগ্রী। একই সময়

থেকে, তারপর, এবং তাই
,

উত্তর: .

এটা আরও কঠিন হতে পারে? অনুগ্রহ! এটি আরও কঠিন হবে যদি মূলটি এখনও একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হয় এবং সমীকরণের দ্বিতীয় অংশটি আবার একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হয়।

আরও ত্রিকোণমিতিক উদাহরণ তত ভাল, আরও দেখুন:

উদাহরণ 4

সীমিত কোসাইনের কারণে মূলটি উপযুক্ত নয়

এখন দ্বিতীয়টি:

একই সময়ে, মূলের সংজ্ঞা দ্বারা:

আমাদের অবশ্যই একক বৃত্তটি মনে রাখতে হবে: যথা, সাইনটি শূন্যের চেয়ে কম। এই কোয়ার্টার কি? তৃতীয় এবং চতুর্থ। তারপরে আমরা তৃতীয় বা চতুর্থ চতুর্ভুজে থাকা প্রথম সমীকরণের সেই সমাধানগুলিতে আগ্রহী হব।

প্রথম সিরিজ তৃতীয় এবং চতুর্থ ত্রৈমাসিকের সংযোগস্থলে শেকড় দেয়। দ্বিতীয় সিরিজটি এটির বিরোধী এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় চতুর্থাংশের সীমানায় থাকা শিকড়ের জন্ম দেয়। অতএব, এই সিরিজটি আমাদের জন্য উপযুক্ত নয়।

উত্তর: ,

এবং আবার "কঠিন অযৌক্তিকতা" সহ ত্রিকোণমিতিক উদাহরণ. আমাদের আবার মূলের নীচে একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন নেই, তবে এখন এটি হরেও রয়েছে!

উদাহরণ 5

ঠিক আছে, কিছু করার নেই - আমরা আগের মতো কাজ করি।

এখন আমরা হর নিয়ে কাজ করি:

আমি ত্রিকোণমিতিক অসমতার সমাধান করতে চাই না, এবং সেইজন্য আমি এটি কঠিন করব: আমি আমার সিরিজের শিকড়গুলিকে অসমতার মধ্যে নেব এবং প্রতিস্থাপন করব:

যদি সমান হয়, তাহলে আমাদের আছে:

যেহেতু, তাহলে দৃশ্যের সমস্ত কোণ চতুর্থ ত্রৈমাসিকে অবস্থিত। এবং আবার পবিত্র প্রশ্ন: চতুর্থ চতুর্থাংশে সাইনের চিহ্ন কী? নেতিবাচক. তারপর বৈষম্য

যদি বিজোড় হয়, তাহলে:

কোণটি কোন চতুর্থাংশে? এটি দ্বিতীয় কোয়ার্টারের কোণ। তারপর সব কোণ আবার দ্বিতীয় চতুর্থাংশের কোণ। সাইনটি ইতিবাচক। শুধু আপনার কি প্রয়োজন! তাই সিরিজটি হল:

ফিট!

আমরা একইভাবে শিকড়ের দ্বিতীয় সিরিজের সাথে মোকাবিলা করি:

আমাদের অসমতার প্রতিস্থাপন করুন:

যদি সমান হয়, তাহলে

প্রথম ত্রৈমাসিকের কোণগুলি। সাইন সেখানে ইতিবাচক, তাই সিরিজটি উপযুক্ত। এখন যদি বিজোড় হয়, তাহলে:

খুব ফিট!

আচ্ছা, এখন আমরা উত্তর লিখি!

উত্তর:

ঠিক আছে, এটি সম্ভবত সবচেয়ে শ্রমসাধ্য কেস ছিল। এখন আমি আপনাকে স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজগুলি অফার করি।

প্রশিক্ষণ

1. সেগমেন্টের অন্তর্গত সমীকরণের সমস্ত মূল সমাধান করুন এবং খুঁজুন।

সমাধান:

1. 
   প্রথম সমীকরণ:
   বা
   রুট ODZ:

   দ্বিতীয় সমীকরণ:

   ব্যবধানের অন্তর্গত শিকড় নির্বাচন

   উত্তর:

বা
বা
কিন্তু

বিবেচনা: . যদি সমান হয়, তাহলে
- ঠিক মেলে না!
যদি - বিজোড়, : - ফিট!
সুতরাং আমাদের সমীকরণের শিকড়গুলির নিম্নলিখিত সিরিজ রয়েছে:
বা
ব্যবধানে শিকড় নির্বাচন:

	- উপযুক্ত নয়	- মানানসই
	- মানানসই	- অনেক
	- মানানসই	অনেক

উত্তর: , .

বা
যেহেতু, তারপর যখন স্পর্শক সংজ্ঞায়িত করা হয় না। অবিলম্বে শিকড় এই সিরিজ বাতিল!

দ্বিতীয় অংশ:

একই সময়ে, ODZ এর প্রয়োজন

আমরা প্রথম সমীকরণে পাওয়া শিকড়গুলি পরীক্ষা করি:

যদি চিহ্ন:

প্রথম ত্রৈমাসিকের কোণ, যেখানে স্পর্শক ধনাত্মক। উপযুক্ত নয়!
যদি চিহ্ন:

চতুর্থ কোয়ার্টার কর্নার। সেখানে স্পর্শক নেতিবাচক। মানানসই। উত্তরটি লিখুন:

উত্তর: , .

আমরা এই নিবন্ধে জটিল ত্রিকোণমিতিক উদাহরণগুলিকে একসাথে ভেঙে দিয়েছি, কিন্তু আপনি নিজেই সমীকরণগুলি সমাধান করতে সক্ষম হবেন।

সারাংশ এবং মৌলিক সূত্র

একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যেখানে অজানা কঠোরভাবে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের চিহ্নের অধীনে থাকে।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার দুটি উপায় রয়েছে:

প্রথম উপায় সূত্র ব্যবহার করা হয়.

দ্বিতীয় উপায় হল একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের মাধ্যমে।

আপনাকে কোণ পরিমাপ করতে, তাদের সাইন, কোসাইন এবং আরও অনেক কিছু খুঁজে বের করতে দেয়।

ক) 2(\sin x-\cos x)=tgx-1 সমীকরণটি সমাধান কর।

খ) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right]।

সমাধান

ক)বন্ধনী খুললে এবং সমস্ত পদ বাম দিকে সরানো হলে, আমরা 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0 সমীকরণ পাই। বিবেচনা করে যে \cos x \neq 0, শব্দটি 2 \sin x 2 tg x \cos x দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, আমরা সমীকরণটি পাই 1+2 tan x \cos x-2 \cos x-tg x=0,যা, গ্রুপিং দ্বারা, আকারে হ্রাস করা যেতে পারে (1-tg x)(1-2 \cos x)=0।

1) 1-tgx=0, tanx=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cosx=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

খ)একটি সংখ্যাসূচক বৃত্তের সাহায্যে, আমরা ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত শিকড়গুলি নির্বাচন করি \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right]।

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi)4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi)3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

উত্তর

ক) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

খ) \frac(5\pi)3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

অবস্থা

ক)সমীকরণটি সমাধান করুন (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0।

খ)এই সমীকরণের মূলগুলি নির্দেশ করুন যা ব্যবধানের অন্তর্গত \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

সমাধান

ক) ODZ: \begin(কেস) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \শেষ(কেস)

ODZ-এর মূল সমীকরণটি সমীকরণের সেটের সমতুল্য

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0। \end(অ্যারে)\ ডান।

প্রথম সমীকরণটি সমাধান করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা প্রতিস্থাপন করব \cos 4x=t, t \in [-1; 1]।তারপর \sin^24x=1-t^2। আমরা পেতে:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1]।

\cos4x=\frac12,

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

দ্বিতীয় সমীকরণটি সমাধান করা যাক।

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

ইউনিট সার্কেল ব্যবহার করে, আমরা এমন সমাধান খুঁজে পাই যা ODZ কে সন্তুষ্ট করে।

"+" চিহ্নটি 1ম এবং 3য় ত্রৈমাসিককে চিহ্নিত করে, যেখানে tg x>0।

আমরা পাই: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

খ)এর অন্তর্বর্তী শিকড় খুঁজে বের করা যাক \left(0;\,\frac(3\pi )2\right]।

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12)।

উত্তর

ক) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

খ) \pi; \frac\pi(12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12)।

সূত্র: "গণিত। পরীক্ষার প্রস্তুতি-2017। প্রোফাইল স্তর। এড. এফ.এফ. লিসেনকো, এস. ইউ. কুলাবুখোভা।

অবস্থা

ক)সমীকরণটি সমাধান করুন: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

খ)ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত সমস্ত শিকড় নির্দিষ্ট করুন \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right]।

সমাধান

ক)কারণ \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,যে \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণটি \cos^2x=\cos ^22x সমীকরণের সমতুল্য, যেটি ফলস্বরূপ, \cos^2x-\cos ^2 2x=0 সমীকরণের সমতুল্য।

কিন্তু \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)এবং

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, তাহলে সমীকরণটি হয়ে যায়

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0।

তারপর হয় 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0 অথবা 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0।

\cos x এর দ্বিঘাত সমীকরণ হিসাবে প্রথম সমীকরণটি সমাধান করলে আমরা পাই:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.অতএব, হয় \cos x=1 বা \cosx=-\frac12।যদি \cos x=1, তাহলে x=2k\pi , k \in \mathbb Z. যদি \cosx=-\frac12,যে x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

একইভাবে, দ্বিতীয় সমীকরণটি সমাধান করলে আমরা হয় \cos x=-1, বা পাব \cosx=\frac12।যদি \cos x=-1, তাহলে মূল x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.যদি \cosx=\frac12,যে x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

আসুন প্রাপ্ত সমাধানগুলি একত্রিত করি:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z।

খ)আমরা একটি সংখ্যা বৃত্ত ব্যবহার করে প্রদত্ত ব্যবধানের মধ্যে পড়ে এমন শিকড়গুলি নির্বাচন করি।

আমরা পেতে: x_1 =\frac(11\pi)3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

উত্তর

ক) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

খ) \frac(11\pi )3, 4\pi, \frac(13\pi )3.

সূত্র: "গণিত। পরীক্ষার প্রস্তুতি-2017। প্রোফাইল স্তর। এড. এফ.এফ. লিসেনকো, এস. ইউ. কুলাবুখোভা।

অবস্থা

ক)সমীকরণটি সমাধান করুন 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx)।

খ)এই সমীকরণের মূলগুলি নির্দেশ করুন যা ব্যবধানের অন্তর্গত \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\ডান)।

সমাধান

ক) 1. হ্রাস সূত্র অনুযায়ী, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx.সমীকরণের ডোমেইন হবে x মান যেমন \cos x \neq 0 এবং tg x \neq -1। আমরা ডবল অ্যাঙ্গেল কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণটি রূপান্তরিত করি 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x।আমরা সমীকরণ পাই: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx)।

লক্ষ্য করুন \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx),তাই সমীকরণ হয়ে যায়: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx)।এখান থেকে \cosx=\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cosx+\sinx=\frac65।

2. হ্রাস সূত্র এবং কোসাইনগুলির যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে \sin x+\cos x রূপান্তর করুন: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65।

এখান থেকে \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5।মানে, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

বা x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

এই জন্য x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

বা x =\frac\pi 4-আর্ক\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

x এর পাওয়া মানগুলি সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত।

খ)প্রথমে k=0 এবং t=0 সমীকরণের মূল কোথায় পড়ে তা খুঁজে বের করা যাক। এগুলো হবে যথাক্রমে সংখ্যা a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5এবং b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5।

1. আসুন একটি সহায়ক অসমতা প্রমাণ করি:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

সত্যিই, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

এটাও খেয়াল করুন \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, মানে \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. অসমতা থেকে (1) আর্কোসিনের সম্পত্তি দ্বারা আমরা পাই:

arccos 1

0

এখান থেকে \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

একইভাবে, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

k=-1 এবং t=-1 দিয়ে আমরা a-2\pi এবং b-2\pi সমীকরণের মূল পাই।

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg)।যার মধ্যে -2\pi

2\pi সুতরাং এই শিকড়গুলি প্রদত্ত ব্যবধানের অন্তর্গত \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\ডান)।

k এবং t এর অন্যান্য মানের জন্য, সমীকরণের মূলগুলি প্রদত্ত ব্যবধানের অন্তর্গত নয়।

প্রকৃতপক্ষে, যদি k\geqslant 1 এবং t\geqslant 1 হয়, তাহলে মূলগুলি 2\pi-এর চেয়ে বড়। যদি k\leqslant -2 এবং t\leqslant -2, তাহলে শিকড় কম -\frac(7\pi )2.

উত্তর

ক) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

খ) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5।

সূত্র: "গণিত। পরীক্ষার প্রস্তুতি-2017। প্রোফাইল স্তর। এড. এফ.এফ. লিসেনকো, এস. ইউ. কুলাবুখোভা।

অবস্থা

ক)সমীকরণটি সমাধান করুন \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x)।

খ)এই সমীকরণের সমস্ত শিকড় খুঁজুন যা ব্যবধানের অন্তর্গত;

সমাধান

ক)আসুন সমীকরণটি রূপান্তরিত করি:

\cosx=-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2\sin x)=0,

\cosx=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

1+2\sinx=0,

\sinx=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

খ)আমরা ইউনিট বৃত্ত ব্যবহার করে সেগমেন্টের অন্তর্গত শিকড় খুঁজে পাই।

নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি একক সংখ্যা থাকে \frac\pi 2.

উত্তর

ক) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

খ) \frac\pi 2.

সূত্র: "গণিত। পরীক্ষার প্রস্তুতি-2017। প্রোফাইল স্তর। এড. এফ.এফ. লিসেনকো, এস. ইউ. কুলাবুখোভা।

অবস্থা

মানে, \sin x \neq 1.

গুণনীয়ক দ্বারা সমীকরণের উভয় পক্ষকে ভাগ করুন (\sinx-1),শূন্য থেকে ভিন্ন। আমরা সমীকরণ পেতে \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),বা সমীকরণ 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x)বাম দিকে হ্রাস সূত্র এবং ডান দিকে হ্রাস সূত্র প্রয়োগ করে আমরা সমীকরণটি পাই 2 \cos ^2 x=1-\cos x।এটি প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে সমীকরণ \cosx=t,কোথায় -1 \leqslant t \leqslant 1বর্গক্ষেত্রে হ্রাস করুন: 2t^2+t-1=0,যার শিকড় t_1=-1এবং t_2=\frac12। x ভেরিয়েবলে ফিরে আমরা পাই \cos x = \frac12বা \cosx=-1,কোথায় x=\frac \pi 3+2\pi m, m \ in \ mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

খ)বৈষম্য সমাধান করুন

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , মি, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2 মি \ লেকস্লান্ট -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12)।

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12)।

ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত কোন পূর্ণসংখ্যা নেই \left[-\frac7(12); -\frac1(12)\right]।

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34।

এই অসমতা k=-1 দ্বারা সন্তুষ্ট হয়, তারপর x=-\pi।

উত্তর

ক) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, মি, n, k \in \mathbb Z;

খ) -\pi।

এই নিবন্ধে আমি 2 উপায় ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে শিকড় গ্রহণ: অসমতা ব্যবহার করে এবং একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করে। আসুন একটি স্পষ্ট উদাহরণে এগিয়ে যাই এবং আমরা যেতে যেতে এটি বের করব।

ক) sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x) সমীকরণটি সমাধান করুন
খ) এই সমীকরণের সমস্ত শিকড় খুঁজুন যা ব্যবধান [-7Pi/2; -2Pi]

এর সমাধান করা যাক a.

আমরা সাইন sin(Pi/2+x) = cos(x) এর জন্য হ্রাস সূত্র ব্যবহার করি

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + পিন, n ∈ Z

Sqrt(2)cos - 1 = 0

cox = 1/sqrt(2)

কক্স = sqrt(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

বিন্দুর সমাধান করি।

1) অসমতা ব্যবহার করে শিকড় নির্বাচন

এখানে সবকিছু সহজভাবে করা হয়, আমরা প্রাপ্ত শিকড়গুলিকে আমাদের দেওয়া ব্যবধানে প্রতিস্থাপন করি [-7Pi/2; -2Pi], n এর জন্য পূর্ণসংখ্যার মান খুঁজুন।

7Pi/2 Pi/2 এর থেকে কম বা সমান + পিন -2Pi এর থেকে কম বা সমান

অবিলম্বে Pi দ্বারা সবকিছু ভাগ

7/2 কম বা সমান 1/2 + n -2 এর থেকে কম বা সমান

7/2 - 1/2 কম বা সমান n এর থেকে কম বা -2 - 1/2 এর সমান

4 কম বা সমান n এর থেকে কম বা সমান -5/2

এই ফাঁকে n পূর্ণসংখ্যা হল -4 এবং -3। সুতরাং এই ব্যবধানের মূলগুলি হবে Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

একইভাবে, আমরা আরও দুটি অসমতা তৈরি করি

7Pi/2 হল Pi/4 এর থেকে কম বা সমান + 2Pin -2Pi এর থেকে কম বা সমান
-15/8 কম বা সমান n এর থেকে কম বা -9/8 এর সমান

এই ব্যবধানে কোন পূর্ণসংখ্যা n নেই

7Pi/2 কম বা সমান -Pi/4 + 2Pin -2Pi এর থেকে কম বা সমান
-13/8 কম বা সমান n এর থেকে কম বা -7/8 এর সমান

এই ফাঁকে একটি পূর্ণসংখ্যা n হল -1। সুতরাং এই ব্যবধানে নির্বাচিত রুট হল -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4।

সুতরাং খ অনুচ্ছেদে উত্তর: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4

2) একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করে শিকড় নির্বাচন

এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করার জন্য, আপনাকে এই বৃত্তটি কীভাবে কাজ করে তা বুঝতে হবে। আমি কীভাবে এটি বুঝতে পারি তা সহজ ভাষায় ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব। আমি মনে করি বীজগণিত পাঠের স্কুলগুলিতে এই বিষয়টি শিক্ষকের চতুর শব্দ দ্বারা বহুবার ব্যাখ্যা করা হয়েছিল, পাঠ্যপুস্তকগুলিতে জটিল ফর্মুলেশন রয়েছে। ব্যক্তিগতভাবে, আমি এটিকে একটি বৃত্ত হিসাবে বুঝি যা অসীম সংখ্যক বার ঘুরে বেড়ানো যায়, এটি সাইন এবং কোসাইন ফাংশনগুলি পর্যায়ক্রমিক হওয়ার দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়।

ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে আসুন

ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 2 বার ঘুরুন

ঘড়ির কাঁটার দিকে 1 বার যান (মান নেতিবাচক হবে)

আমাদের প্রশ্নে ফিরে আসা যাক, আমাদের ব্যবধানে শিকড় নির্বাচন করতে হবে [-7Pi/2; -2Pi]

-7Pi / 2 এবং -2Pi সংখ্যাগুলি পেতে, আপনাকে দুবার ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বৃত্তের চারপাশে যেতে হবে। এই ব্যবধানে সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করার জন্য, অনুমান এবং প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন।

x = Pi/2 + পিন বিবেচনা করুন। সেই পরিসরের কোথাও x হওয়ার জন্য n-এর আনুমানিক মান কত? আমরা প্রতিস্থাপন করি, ধরা যাক -2, আমরা পাই / 2 - 2Pi = -3Pi / 2 পাই, স্পষ্টতই এটি আমাদের পরিসরে অন্তর্ভুক্ত নয়, তাই আমরা -3 এর চেয়ে কম নিই, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2, এটি উপযুক্ত, আসুন আরেকটি চেষ্টা করি -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, এছাড়াও উপযুক্ত।

Pi/4 + 2Pin এবং -Pi/4 + 2Pin-এর জন্য একইভাবে তর্ক করে, আমরা আরেকটি মূল -9Pi/4 খুঁজে পাই।

দুটি পদ্ধতির তুলনা।

প্রথম পদ্ধতি (বৈষম্য ব্যবহার করে) অনেক বেশি নির্ভরযোগ্য এবং বোঝার জন্য অনেক সহজ, কিন্তু আপনি যদি সত্যিই ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত এবং দ্বিতীয় নির্বাচন পদ্ধতিটি গুরুত্ব সহকারে বুঝতে পারেন, তাহলে রুট নির্বাচন অনেক দ্রুত হবে, আপনি পরীক্ষায় প্রায় 15 মিনিট বাঁচাতে পারবেন।