ფუნქციის უწყვეტობის კონცეფცია. ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში და ინტერვალზე. მაგალითებით რას ნიშნავს ფუნქციის უწყვეტობა?

ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში

დაე, ფუნქცია f(x) განისაზღვროს x0 წერტილის O(x0) (თავად x0 წერტილის ჩათვლით) რომელიმე უბანში.

ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტს x0 წერტილში, თუ არსებობს limx → x0 f(x) ამ წერტილში f(x) ფუნქციის მნიშვნელობის ტოლი: lim

f(x) = f(x0), (1)

იმათ. "O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) Yu f(x) O O(f(x0)) .

კომენტარი. ტოლობა (1) შეიძლება დაიწეროს როგორც: lim

იმათ. უწყვეტი ფუნქციის ნიშნით შეიძლება ლიმიტამდე გადასვლა.

დავუშვათ Δx = x − x0 არგუმენტის ნამატი, Δy = f(x) − f(x0) ფუნქციის შესაბამისი ზრდა.

აუცილებელი და საკმარისი პირობა წერტილში ფუნქციის უწყვეტობისთვის

ფუნქცია y = f(x) უწყვეტია x0-ზე თუ და მხოლოდ მაშინ

კომენტარი. პირობა (2) შეიძლება განიმარტოს, როგორც ფუნქციის უწყვეტობის მეორე განმარტება წერტილში. ორივე განმარტება ექვივალენტურია.

დაე, ფუნქცია f(x) განისაზღვროს ნახევარინტერვალში.

ფუნქცია f(x) ითვლება უწყვეტად x0-ზე, თუ არსებობს ცალმხრივი ლიმიტი

ორი უწყვეტი ფუნქციის ჯამის, ნამრავლის და კოეფიციენტის უწყვეტობა

თეორემა 1. თუ f(x) და g(x) ფუნქციები უწყვეტია x0 წერტილში, მაშინ f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) უწყვეტია აქ. წერტილი

რთული ფუნქციის უწყვეტობა

თეორემა 2. თუ ფუნქცია u(x) უწყვეტია x0 წერტილში, ხოლო f(u) ფუნქცია უწყვეტია შესაბამის წერტილში u0 = f(x0), მაშინ რთული ფუნქცია f(u(x)) უწყვეტია. x0 წერტილში.

ყველა ელემენტარული ფუნქცია უწყვეტია მათი განსაზღვრის სფეროს ყველა წერტილში.

უწყვეტი ფუნქციების ლოკალური თვისებები

თეორემა 3 (უწყვეტი ფუნქციის საზღვარი). თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია x0-ზე, მაშინ არის O(x0) უბანი, რომელშიც f(x) არის შემოსაზღვრული.

მტკიცებულება გამომდინარეობს განცხადებაში ფუნქციის შეზღუდვის შესახებ, რომელსაც აქვს ლიმიტი.

თეორემა 4 (უწყვეტი ფუნქციის ნიშნის სტაბილურობა). თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია x0 წერტილში და f(x0) ≠ 0, მაშინ არის x0 წერტილის სამეზობლო, რომელშიც f(x) ≠ 0 და f(x) ნიშანი ამ სამეზობლოში. ემთხვევა f(x0) ნიშანს.

შესვენების წერტილების კლასიფიკაცია

პირობა (1) f(x) ფუნქციის უწყვეტობისთვის x0 წერტილში არის პირობის ექვივალენტური f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)

სადაც f(x 0 − 0) = lim

f(x) და f(x0 + 0) = lim

f(x) - f(x) ფუნქციის ცალმხრივი ზღვრები x0 წერტილში.

თუ (3) პირობა დარღვეულია, x0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის უწყვეტობის წერტილი. (3) პირობის დარღვევის სახეობიდან გამომდინარე, შესვენების წერტილებს განსხვავებული ხასიათი აქვთ და კლასიფიცირდება შემდეგნაირად:

1. თუ x0 წერტილში არის ცალმხრივი ზღვრები f(x0 − 0), f (x0 + 0) და

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), მაშინ x0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის მოხსნადი შეწყვეტის წერტილი (ნახ. 1).

კომენტარი. x0 წერტილში ფუნქცია შეიძლება არ იყოს განსაზღვრული.

2. თუ x0 წერტილში არის ცალმხრივი ზღვრები f(x0 − 0), f (x0 + 0) და

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), მაშინ x0 წერტილს ეწოდება უწყვეტობის წერტილი f(x) ფუნქციის სასრული ნახტომით (ნახ. 2).

კომენტარი. შეწყვეტის წერტილში სასრული ნახტომით, ფუნქციის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი, ან შეიძლება არ იყოს განსაზღვრული.

მოხსნადი წყვეტისა და სასრული ნახტომის წერტილებს 1-ლი სახის შეწყვეტის წერტილებს უწოდებენ. მათი გამორჩეული თვისებაა სასრული ცალმხრივი ზღვრების არსებობა f(x0 − 0) და

3. თუ x0 წერტილში ცალმხრივი ზღვრებიდან ერთი მაინც f(x0 − 0), f (x0 + 0) უსასრულობის ტოლია ან არ არსებობს, მაშინ
x0 ეწოდება მე-2 ტიპის შეწყვეტის წერტილს (ნახ. 3).

თუ ცალმხრივი ზღვრებიდან ერთი მაინც f(x0 − 0), f (x0 + 0) უსასრულობის ტოლია, მაშინ სწორ ხაზს x = x 0 ეწოდება y = f ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტა. (x).

განმარტება. ფუნქცია f(x), რომელიც განსაზღვრულია x0 წერტილის სამეზობლოში, ეწოდება უწყვეტს x0 წერტილში, თუ ფუნქციის ზღვარი და მისი მნიშვნელობა ამ წერტილში ტოლია, ე.ი.

ერთი და იგივე ფაქტი შეიძლება სხვანაირად დაიწეროს:

განმარტება. თუ ფუნქცია f(x) განისაზღვრა x0 წერტილის რომელიმე სამეზობლოში, მაგრამ არ არის უწყვეტი თვით x0 წერტილში, მაშინ მას უწოდებენ წყვეტილ ფუნქციას, ხოლო x0 წერტილს - წყვეტის წერტილს.

განმარტება. ფუნქცია f(x) ითვლება უწყვეტად x0 წერტილში, თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის e>0 არის რიცხვი D>0 ისეთი, რომ ნებისმიერი x-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას

უთანასწორობა მართალია.

განმარტება. ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტს x = x0 წერტილში, თუ ფუნქციის ზრდა x0 წერტილში არის უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობა.

f(x) = f(x0) + a(x)

სადაც a(x) არის უსასრულოდ მცირე x®x0-ზე.

უწყვეტი ფუნქციების თვისებები.

1) x0 წერტილში უწყვეტი ფუნქციების ჯამი, სხვაობა და ნამრავლი არის x0 წერტილში უწყვეტი ფუნქცია.

2) ორი უწყვეტი ფუნქციის კოეფიციენტი არის უწყვეტი ფუნქცია იმ პირობით, რომ g(x) არ იყოს ნულის ტოლი x0 წერტილში.

3) უწყვეტი ფუნქციების სუპერპოზიცია არის უწყვეტი ფუნქცია.

ეს ქონება შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

თუ u = f(x), v = g(x) არის უწყვეტი ფუნქციები x = x0 წერტილში, მაშინ ფუნქცია v = g(f(x)) ასევე უწყვეტი ფუნქციაა ამ წერტილში.

ზემოაღნიშნული თვისებების მართებულობა მარტივად შეიძლება დადასტურდეს ლიმიტის თეორემების გამოყენებით

ფუნქციების თვისებები უწყვეტი ინტერვალზე.

თვისება 1: (ვაიერშტრასის პირველი თეორემა (ვაიერშტრას კარლ (1815-1897) - გერმანელი მათემატიკოსი)). ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალზე, შემოიფარგლება ამ ინტერვალზე, ე.ი. პირობა –M £ f(x) £ M დაკმაყოფილებულია სეგმენტზე.

ამ თვისების დადასტურება ემყარება იმ ფაქტს, რომ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია x0 წერტილში, შემოიფარგლება მის გარკვეულ მიმდებარედ, და თუ სეგმენტი დაყოფილია უსასრულო რაოდენობის სეგმენტებად, რომლებიც „შეკუმშულია“ x0 წერტილამდე. , მაშინ იქმნება x0 წერტილის გარკვეული მეზობლობა.

თვისება 2: ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალზე, იღებს თავის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს.

იმათ. არსებობს მნიშვნელობები x1 და x2 ისეთი, რომ f(x1) = m, f(x2) = M და

მოდით აღვნიშნოთ ეს უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, რომელსაც ფუნქციამ შეიძლება რამდენჯერმე მიიღოს სეგმენტი (მაგალითად, f(x) = sinx).

განსხვავებას ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს შორის ინტერვალზე ეწოდება ფუნქციის რხევა ინტერვალზე.

თვისება 3: (მეორე ბოლზანო-კოშის თეორემა). ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალზე, იღებს ყველა მნიშვნელობას ამ ინტერვალზე ორ თვითნებურ მნიშვნელობას შორის.

თვისება 4: თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია x = x0 წერტილში, მაშინ არის x0 წერტილის რაღაც სამეზობლო, რომელშიც ფუნქცია ინარჩუნებს თავის ნიშანს.

თვისება 5: (ბოლცანოს პირველი თეორემა (1781-1848) – კოში). თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია სეგმენტზე და აქვს საპირისპირო ნიშნების მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში, მაშინ ამ სეგმენტის შიგნით არის წერტილი, სადაც f(x) = 0.

იმათ. თუ ნიშანი(f(a)) ¹ ნიშანი(f(b)), მაშინ $ x0: f(x0) = 0.

განმარტება. ფუნქცია f(x) ითვლება ერთნაირად უწყვეტი ინტერვალზე, თუ რომელიმე e>0-სთვის არსებობს D>0 ისეთი, რომ ნებისმიერი წერტილისთვის x1Î და x2Î ისეთი, რომ

ïx2 – x1ï< D

უტოლობა ïf(x2) – f(x1)ï მართალია< e

განსხვავება ერთგვაროვან უწყვეტობასა და „ჩვეულებრივ“ უწყვეტობას შორის არის ის, რომ ნებისმიერი e-სთვის არის საკუთარი D, x-ისგან დამოუკიდებელი, ხოლო „ჩვეულებრივი“ უწყვეტობით D დამოკიდებულია e-ზე და x-ზე.

თვისება 6: კანტორის თეორემა (გეორგ კანტორი (1845-1918) - გერმანელი მათემატიკოსი). სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქცია მასზე ერთნაირად უწყვეტია.

(ეს თვისება მართალია მხოლოდ სეგმენტებისთვის და არა ინტერვალებისთვის და ნახევრად ინტერვალებისთვის.)

უწყვეტობის განმარტება

ფუნქცია f (x) ეწოდება უწყვეტს a წერტილში, თუ: f () pp

1) ფუნქცია f(x) განისაზღვრება a წერტილში,

2) აქვს სასრული ზღვარი, როგორც x→ a 2) აქვს სასრული ზღვარი, როგორც x→ a,

3) ეს ზღვარი უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას ამ ეტაპზე:

უწყვეტობა ინტერვალში

ფუნქცია f (x) ითვლება უწყვეტად X ინტერვალზე, თუ f () pp ru

ის უწყვეტია ამ ინტერვალის ყველა წერტილში.

განცხადება. ყველა ელემენტარული ფუნქცია უწყვეტია

მათი განმარტების სფეროები.

შემოსაზღვრული ფუნქცია

ამბობენ, რომ ფუნქცია შეზღუდულია თუ ინტერვალზე

არის რიცხვი M ისეთი, რომ ყველა x ∈

უთანასწორობა:| f(x)| ≤ მ.

ვაიერშტრასის ორი თეორემა

ვაიერშტრასის პირველი თეორემა. თუ ფუნქცია f (x r r r r f f (

უწყვეტია სეგმენტზე, შემდეგ ის შემოიფარგლება ამ სეგმენტზე

ვაიერშტრასის მეორე თეორემა.თუ ფუნქცია f(x

არის უწყვეტი სეგმენტზე, შემდეგ ის აღწევს ამ სეგმენტს

m-ის უმცირესი მნიშვნელობა და M-ის უდიდესი მნიშვნელობა.

ბოლცანო-კოშის თეორემა

თუ ფუნქცია f (x) უწყვეტია მნიშვნელობის სეგმენტზე f f () pp p

ამ სეგმენტის ბოლოებზე f(a) და f(b) აქვთ საპირისპირო ნიშნები,

სეგმენტის შიგნით არის წერტილი c∈ (a,b) ისეთი, რომ f (c) = 0. ur p () f ()

უწყვეტობის განმარტება ჰაინეს მიხედვით

რეალური ცვლადის ფუნქცია $f\left(x \right)$ არის ნათქვამი უწყვეტი წერტილში $a \in \mathbb(R)$ ($\mathbb(R)-$ნამდვილი რიცხვების ნაკრები), თუ რომელიმე მიმდევრობისთვის $\left\( ((x_n)) \მარჯვნივ\ )\ ), ისეთი, რომ \[\lim\limits_(n \ to \infty ) (x_n) = a,\] მიმართება \[\lim\limits_(n \infty ) f\left(((x_n) ) \right) = f\left(a \right).\] პრაქტიკაში მოსახერხებელია შემდეგი \(3$ პირობების გამოყენება ფუნქციის უწყვეტობისთვის $f\left(x \right)$ $x = a$ წერტილში (რომელიც ერთდროულად უნდა შესრულდეს):

ფუნქცია $f\left(x \right)$ განსაზღვრულია წერტილში $x = a$;
ლიმიტი $\lim\limits_(x \to a) f\left(x \მარჯვნივ)$ არსებობს;
თანასწორობა $\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)$ მოქმედებს.

კოშის უწყვეტობის განმარტება (ნოტაცია $\varepsilon - \delta$)

განვიხილოთ ფუნქცია $f\left(x \right)$, რომელიც ასახავს რეალური რიცხვების სიმრავლეს $\mathbb(R)$ რეალური რიცხვების სხვა ქვეჯგუფს $B$. ფუნქცია $f\left(x \right)$ არის ნათქვამი უწყვეტი წერტილში $a \in \mathbb(R)$, თუ რომელიმე რიცხვისთვის $\varepsilon > 0$ არის რიცხვი $\delta > 0$ ისეთი, რომ ყველა $x \in \" mathbb (R)$, აკმაყოფილებდა მიმართებას \[\left| (x - ა) \მარჯვნივ| უწყვეტობის განსაზღვრა არგუმენტისა და ფუნქციის მატების თვალსაზრისით

უწყვეტობის განმარტება ასევე შეიძლება ჩამოყალიბდეს არგუმენტისა და ფუნქციის მატების გამოყენებით. ფუნქცია უწყვეტია წერტილში $x = a$, თუ ტოლია \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \მარცხენა[ ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] სადაც $\Delta x = x - a$.

ფუნქციის უწყვეტობის ზემოაღნიშნული განმარტებები ექვივალენტურია რეალური რიცხვების სიმრავლეზე.

ფუნქცია არის უწყვეტი მოცემულ ინტერვალზე თუ ის უწყვეტია ამ ინტერვალის ყველა წერტილში.

უწყვეტობის თეორემები

თეორემა 1.
დაე, ფუნქცია $f\left(x \right)$ იყოს უწყვეტი $x = a$ წერტილში და $C$ იყოს მუდმივი. შემდეგ ფუნქცია $Cf\left(x \right)$ ასევე უწყვეტია \(x = a\-ისთვის).

თეორემა 2.
მოცემულია ორი ფუნქცია $(f\left(x \right))$ და $(g\left(x \right))$, უწყვეტი $x = a$ წერტილში. მაშინ ამ ფუნქციების ჯამი $(f\left(x \right)) + (g\left(x \right))$ ასევე უწყვეტია $x = a$ წერტილში.

თეორემა 3.
დავუშვათ, რომ ორი ფუნქცია $(f\left(x \right))$ და $(g\left(x \right))$ უწყვეტია წერტილში $x = a$. მაშინ ამ ფუნქციების ნამრავლი $(f\left(x \right)) (g\left(x \right))$ ასევე უწყვეტია $x = a$ წერტილში.

თეორემა 4.
მოცემულია ორი ფუნქცია $(f\left(x \right))$ და $(g\left(x \right))$, უწყვეტი $x = a$. მაშინ ამ ფუნქციების თანაფარდობა $\large\frac((f\left(x \right)))((g\left(x \right)))\normalsize$ ასევე უწყვეტია $x = a\-ისთვის ) ექვემდებარება , რომ \((g\left(a \მარჯვნივ)) \ne 0$.

თეორემა 5.
დავუშვათ, რომ ფუნქცია $(f\left(x \right))$ დიფერენცირებადია $x = a$ წერტილში. მაშინ ფუნქცია $(f\left(x \მარჯვნივ))$ არის უწყვეტი ამ წერტილში (ანუ, დიფერენცირებადობა გულისხმობს ფუნქციის უწყვეტობას წერტილში; საპირისპირო არ არის ჭეშმარიტი).

თეორემა 6 (ზღვრული ღირებულების თეორემა).
თუ ფუნქცია $(f\left(x \right))$ უწყვეტია დახურულ და შემოსაზღვრულ ინტერვალზე $\left[ (a,b) \right]$, მაშინ ის შემოიფარგლება ზემოთ და ქვემოთ ამ ინტერვალი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არის რიცხვები $m$ და $M$ ისეთი, რომ \ ყველასთვის $x$ ინტერვალში $\left[ (a,b) \right]$ (სურათი 1) .


ნახ.1		ნახ.2

თეორემა 7 (შუალედური ღირებულების თეორემა).
ფუნქცია $(f\left(x \right))$ იყოს უწყვეტი დახურულ და შემოსაზღვრულ ინტერვალზე $\left[ (a,b) \right]$. მაშინ, თუ $c$ არის რაღაც რიცხვი, რომელიც აღემატება $(f\left(a \right))$ და ნაკლები $(f\left(b \right))$, მაშინ არსებობს რიცხვი. $( x_0)$, ისეთი, რომ \ ეს თეორემა ილუსტრირებულია ნახაზ 2-ში.

ელემენტარული ფუნქციების უწყვეტობა

ყველა ელემენტარული ფუნქციები უწყვეტი არიან თავიანთი განმარტების დომენის ნებისმიერ წერტილში.

ფუნქციას ეძახიან ელემენტარული , თუ იგი აგებულია სასრული რაოდენობის კომპოზიციებისა და კომბინაციებისგან
($4$ მოქმედებების გამოყენებით - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა) . Რამოდენიმე ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები მოიცავს:

განმარტება.მოდით ფუნქცია y = f(x) განისაზღვროს x0 წერტილში და მის ზოგიერთ სამეზობლოში. ფუნქცია y = f(x) ეწოდება უწყვეტი x0 წერტილში, თუ:

1. არსებობს
2. ეს ზღვარი უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას x0 წერტილში:

ლიმიტის განსაზღვრისას ხაზგასმით აღინიშნა, რომ f(x) არ შეიძლება განისაზღვროს x0 წერტილში და თუ ის განსაზღვრულია ამ ეტაპზე, მაშინ f(x0) მნიშვნელობა არანაირად არ მონაწილეობს ლიმიტის განსაზღვრაში. უწყვეტობის განსაზღვრისას ფუნდამენტურია, რომ f(x0) არსებობს და ეს მნიშვნელობა ტოლი უნდა იყოს lim f(x).

განმარტება.მოდით ფუნქცია y = f(x) განისაზღვროს x0 წერტილში და მის ზოგიერთ სამეზობლოში. f(x) ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი x0 წერტილში, თუ ყველა ε>0-სთვის არის დადებითი რიცხვი δ ისეთი, რომ ყველა x-სთვის x0 წერტილის δ-მეზობლად (ე.ი. |x-x0|
აქ მხედველობაში მიიღება, რომ ლიმიტის მნიშვნელობა უნდა იყოს f(x0) ტოლი, ამიტომ ლიმიტის განსაზღვრასთან შედარებით, 0-ის δ-მეზობლობის პუნქციის პირობა ამოღებულია.
მოდით მივცეთ კიდევ ერთი (წინა ექვივალენტური) განმარტება ნამატების თვალსაზრისით. ავღნიშნოთ Δх = x - x0; ამ მნიშვნელობას დავარქმევთ არგუმენტის ზრდას. ვინაიდან x->x0, მაშინ Δx->0, ანუ Δx - ბ.მ. (უსასრულოდ მცირე) რაოდენობა. ავღნიშნოთ Δу = f(x)-f(x0), ამ მნიშვნელობას დავარქმევთ ფუნქციის ნამატს, ვინაიდან |Δу| უნდა იყოს (საკმარისად მცირე |Δх|-ისთვის) თვითნებურ რიცხვზე ε>0-ზე ნაკლები, მაშინ Δу- ასევე b.m. ღირებულება, შესაბამისად

განმარტება.მოდით ფუნქცია y = f(x) განისაზღვროს x0 წერტილში და მის ზოგიერთ სამეზობლოში. ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტი x0 წერტილში, თუ არგუმენტში უსასრულოდ მცირე ზრდა შეესაბამება ფუნქციის უსასრულოდ მცირე ზრდას.

განმარტება.ფუნქცია f(x), რომელიც არ არის უწყვეტი x0 წერტილში, უწყვეტი ეწოდებაამ ეტაპზე.

განმარტება.ფუნქციას f(x) ეწოდება უწყვეტი X სიმრავლეზე, თუ ის უწყვეტია ამ სიმრავლის ყველა წერტილში.

თეორემა ჯამის, ნამრავლის, კოეფიციენტის უწყვეტობის შესახებ

თეორემა ზღვარზე გადასვლის შესახებ უწყვეტი ფუნქციის ნიშნით

თეორემა უწყვეტი ფუნქციების სუპერპოზიციის უწყვეტობის შესახებ

დაე, ფუნქცია f(x) იყოს განსაზღვრული ინტერვალზე და იყოს მონოტონური ამ ინტერვალზე. მაშინ f(x) შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილები ამ სეგმენტზე.

შუალედური ღირებულების თეორემა.თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია სეგმენტზე და ორ წერტილში a და b (a არის b-ზე ნაკლები) იღებს არათანაბარ მნიშვნელობებს A = f(a) ≠ B = f(b), მაშინ ნებისმიერი რიცხვისთვის C. A-სა და B-ს შორის არის წერტილი c ∈, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა უდრის C: f(c) = C.

თეორემა ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქციის შეზღუდვის შესახებ.თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია ინტერვალზე, მაშინ ის შემოსაზღვრულია ამ ინტერვალზე.

თეორემა მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობების მიღწევის შესახებ.თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია ინტერვალზე, მაშინ ის აღწევს თავის ქვედა და ზედა ზღვრებს ამ ინტერვალზე.

თეორემა შებრუნებული ფუნქციის უწყვეტობის შესახებ.ფუნქცია y=f(x) იყოს უწყვეტი და მკაცრად მზარდი (კლებადი) [a,b] ინტერვალზე. შემდეგ სეგმენტზე არის შებრუნებული ფუნქცია x = g(y), ასევე მონოტონურად მზარდი (მცირდება) და უწყვეტი.

მოცემულია ერთი ცვლადის უწყვეტი ფუნქციის ძირითადი თეორემებისა და თვისებების განმარტებები და ფორმულირებები. განიხილება უწყვეტი ფუნქციის თვისებები წერტილზე, სეგმენტზე, რთული ფუნქციის ზღვარი და უწყვეტობა და წყვეტის წერტილების კლასიფიკაცია. მოცემულია შებრუნებულ ფუნქციასთან დაკავშირებული განმარტებები და თეორემები. გამოკვეთილია ელემენტარული ფუნქციების თვისებები.

შინაარსი

ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ უწყვეტობის კონცეფცია ნამატების თვალსაზრისით. ამისთვის შემოგვაქვს ახალი ცვლადი, რომელსაც ეწოდება x ცვლადის ზრდა წერტილში. მაშინ ფუნქცია უწყვეტია იმ წერტილში, თუ
.
მოდით შემოგთავაზოთ ახალი ფუნქცია:
.
ისინი მას ეძახიან ფუნქციის ზრდაწერტილში. მაშინ ფუნქცია უწყვეტია იმ წერტილში, თუ
.

უწყვეტობის განმარტება მარჯვნივ (მარცხნივ)
ფუნქცია f (x)დაურეკა უწყვეტი მარჯვნივ (მარცხნივ) x წერტილში 0 , თუ იგი განსაზღვრულია ამ წერტილის რომელიმე მარჯვენა (მარცხენა) მეზობელზე და თუ მარჯვენა (მარცხნივ) ზღვარი x წერტილში 0 x-ზე ფუნქციის მნიშვნელობის ტოლია 0 :
.

თეორემა უწყვეტი ფუნქციის შეზღუდულობის შესახებ
მოდით ფუნქცია f (x)უწყვეტია x წერტილში 0 . შემდეგ არის უბანი U (x0), რომელზეც ფუნქცია შეზღუდულია.

თეორემა უწყვეტი ფუნქციის ნიშნის შენარჩუნების შესახებ
ფუნქცია იყოს უწყვეტი წერტილში. და მიეცით მას დადებითი (უარყოფითი) მნიშვნელობა ამ ეტაპზე:
.
შემდეგ არის წერტილის სამეზობლო, სადაც ფუნქციას აქვს დადებითი (უარყოფითი) მნიშვნელობა:
ზე.

უწყვეტი ფუნქციების არითმეტიკული თვისებები
მოდით ფუნქციები და იყოს უწყვეტი წერტილში.
შემდეგ ფუნქციები და უწყვეტია წერტილში.
თუ , მაშინ ფუნქცია უწყვეტია წერტილში .

მარცხნივ-მარჯვნივ უწყვეტობის საკუთრება
ფუნქცია უწყვეტია წერტილში, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის უწყვეტია მარჯვნივ და მარცხნივ.

თვისებების მტკიცებულება მოცემულია გვერდზე „ფუნქციების უწყვეტი თვისებები წერტილში“.

რთული ფუნქციის უწყვეტობა

უწყვეტობის თეორემა რთული ფუნქციისთვის
ფუნქცია იყოს უწყვეტი წერტილში. და მოდით ფუნქცია იყოს უწყვეტი წერტილში.
მაშინ კომპლექსური ფუნქცია უწყვეტია წერტილში.

რთული ფუნქციის ლიმიტი

თეორემა ფუნქციის უწყვეტი ფუნქციის ზღვარზე
მოდით იყოს ფუნქციის ზღვარი ზე და ის უდრის:
.
აქ არის წერტილი t 0 შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულოდ შორეული: .
და მოდით ფუნქცია იყოს უწყვეტი წერტილში.
მაშინ არის რთული ფუნქციის ზღვარი და ის უდრის:
.

თეორემა რთული ფუნქციის ზღვარზე
მიეცით ფუნქციას ჰქონდეს ლიმიტი და დააფიქსიროს წერტილის პუნქციური სამეზობლო წერტილის პუნქციურ მიმდებარედ. დაე, ფუნქცია განისაზღვროს ამ უბანზე და ჰქონდეს მასზე ლიმიტი.
აქ არის ბოლო ან უსასრულოდ შორეული წერტილები: . უბნები და მათი შესაბამისი საზღვრები შეიძლება იყოს ორმხრივი ან ცალმხრივი.
მაშინ არის რთული ფუნქციის ზღვარი და ის უდრის:
.

შესვენების წერტილები

შესვენების წერტილის განსაზღვრა
დაე, ფუნქცია განისაზღვროს წერტილის რომელიმე პუნქციურ მიმდებარე ტერიტორიაზე. წერტილი ე.წ ფუნქციის შეწყვეტის წერტილითუ ორი პირობიდან ერთ-ერთი დაკმაყოფილებულია:
1) არ არის განსაზღვრული ;
2) განსაზღვრულია ზე, მაგრამ არ არის ამ ეტაპზე.

1-ლი სახის შეწყვეტის წერტილის განსაზღვრა
წერტილი ე.წ პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილითუ არის წყვეტის წერტილი და არის სასრული ცალმხრივი საზღვრები მარცხნივ და მარჯვნივ:
.

ფუნქციის ნახტომის განმარტება
Jump Δ ფუნქციაწერტილში არის განსხვავება მარჯვენა და მარცხნივ საზღვრებს შორის
.

შესვენების წერტილის განსაზღვრა
წერტილი ე.წ მოსახსნელი შესვენების წერტილი, თუ არსებობს ლიმიტი
,
მაგრამ ფუნქცია წერტილში ან არ არის განსაზღვრული ან არ არის ზღვრული მნიშვნელობის ტოლი: .

ამრიგად, მოსახსნელი შეწყვეტის წერტილი არის 1-ლი სახის შეწყვეტის წერტილი, სადაც ფუნქციის ნახტომი ნულის ტოლია.

მე-2 სახის შეწყვეტის წერტილის განსაზღვრა
წერტილი ე.წ მეორე სახის შეწყვეტის წერტილი, თუ ეს არ არის 1-ლი სახის შეწყვეტის წერტილი. ანუ, თუ არ არის ერთი ცალმხრივი ზღვარი მაინც, ან ერთი ცალმხრივი ზღვარი მაინც უდრის უსასრულობას.

ფუნქციების თვისებები უწყვეტი ინტერვალზე

უწყვეტი ფუნქციის განსაზღვრა ინტერვალზე
ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი ინტერვალზე (at), თუ ის უწყვეტია ღია ინტერვალის ყველა წერტილში (at) და a და b წერტილებში, შესაბამისად.

ვაიერშტრასის პირველი თეორემა ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქციის შეზღუდვის შესახებ
თუ ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე, მაშინ ის შემოიფარგლება ამ ინტერვალზე.

მაქსიმუმის (მინიმუმის) მიღწევის განსაზღვრა
ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს (მინიმუმს) კომპლექტში, თუ არსებობს არგუმენტი, რომლისთვისაც
ყველასთვის .

ზედა (ქვედა) სახის ხელმისაწვდომობის განსაზღვრა
ფუნქცია აღწევს მის ზედა (ქვედა) ზღვარს კომპლექტში, თუ არგუმენტი არსებობს
.

ვაიერშტრასის მეორე თეორემა უწყვეტი ფუნქციის მაქსიმუმსა და მინიმუმზე
სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქცია აღწევს მის ზედა და ქვედა საზღვრებს მასზე ან, რაც იგივეა, აღწევს მაქსიმუმს და მინიმუმს სეგმენტზე.

ბოლცანო-კოშის შუალედური მნიშვნელობის თეორემა
დაე, ფუნქცია იყოს უწყვეტი სეგმენტზე. და მოდით C იყოს თვითნებური რიცხვი, რომელიც მდებარეობს სეგმენტის ბოლოებში ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის: და. შემდეგ არის წერტილი, რისთვისაც
.

დასკვნა 1
დაე, ფუნქცია იყოს უწყვეტი სეგმენტზე. და მოდით, სეგმენტის ბოლოებში ფუნქციის მნიშვნელობებს განსხვავებული ნიშნები ჰქონდეს: ან . შემდეგ არის წერტილი, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა ნულის ტოლია:
.

დასკვნა 2
დაე, ფუნქცია იყოს უწყვეტი სეგმენტზე. Გაუშვი . შემდეგ ფუნქცია ინტერვალში იღებს ყველა მნიშვნელობას და მხოლოდ ამ მნიშვნელობებს:
ზე.

ინვერსიული ფუნქციები

ინვერსიული ფუნქციის განმარტება
დაე, ფუნქციას ჰქონდეს X განმარტების დომენი და Y მნიშვნელობების ნაკრები. და მიეცით მას ქონება:
ყველასთვის .
შემდეგ Y სიმრავლიდან ნებისმიერი ელემენტისთვის შეიძლება X სიმრავლის მხოლოდ ერთი ელემენტის ასოცირება, რომლისთვისაც . ეს მიმოწერა განსაზღვრავს ფუნქციას, რომელსაც ე.წ შებრუნებული ფუნქცია. შებრუნებული ფუნქცია აღინიშნება შემდეგნაირად:
.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ
;
ყველასთვის ;
ყველასთვის .

ლემა პირდაპირი და შებრუნებული ფუნქციების ურთიერთ ერთფეროვნებაზე
თუ ფუნქცია მკაცრად იზრდება (მცირდება), მაშინ არის შებრუნებული ფუნქცია, რომელიც ასევე მკაცრად იზრდება (კლებადია).

პირდაპირი და შებრუნებული ფუნქციების გრაფიკების სიმეტრიის თვისება
პირდაპირი და შებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ.

თეორემა ინტერვალზე შებრუნებული ფუნქციის არსებობისა და უწყვეტობის შესახებ
დაე, ფუნქცია იყოს უწყვეტი და მკაცრად მზარდი (კლებადი) სეგმენტზე. მაშინ ინვერსიული ფუნქცია განისაზღვრება და უწყვეტია სეგმენტზე, რომელიც მკაცრად იზრდება (მცირდება).

მზარდი ფუნქციისთვის. შემცირებისთვის - .

თეორემა ინტერვალზე შებრუნებული ფუნქციის არსებობისა და უწყვეტობის შესახებ
დაე, ფუნქცია იყოს უწყვეტი და მკაცრად მზარდი (კლებადი) ღია სასრულ ან უსასრულო ინტერვალზე. შემდეგ ინვერსიული ფუნქცია განისაზღვრება და უწყვეტია ინტერვალზე, რომელიც მკაცრად იზრდება (მცირდება).

მზარდი ფუნქციისთვის.
შესამცირებლად: .

ანალოგიურად შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ თეორემა შებრუნებული ფუნქციის არსებობისა და უწყვეტობის შესახებ ნახევარინტერვალზე.

ელემენტარული ფუნქციების თვისებები და უწყვეტობა

ელემენტარული ფუნქციები და მათი ინვერსიები უწყვეტია მათი განმარტების სფეროში. ქვემოთ წარმოგიდგენთ შესაბამისი თეორემების ფორმულირებებს და ვაძლევთ ბმულებს მათ მტკიცებულებებთან.

ექსპონენციალური ფუნქცია

ექსპონენციალური ფუნქცია f (x) = ცული, ბაზით ა > 0 არის მიმდევრობის ზღვარი
,
სად არის რაციონალური რიცხვების თვითნებური თანმიმდევრობა x-ისკენ მიდრეკილი:
.

თეორემა. ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები
ექსპონენციალურ ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:
(P.0)განსაზღვრული, ყველასთვის;
(P.1)≠-ისთვის 1 აქვს მრავალი მნიშვნელობა;
(P.2)მკაცრად იზრდება at, მკაცრად მცირდება at, არის მუდმივი at;
(P.3) ;
(P.3*) ;
(P.4) ;
(P.5) ;
(P.6) ;
(P.7) ;
(P.8)უწყვეტი ყველასთვის;
(P.9)ზე ;
ზე.

ლოგარითმი

ლოგარითმული ფუნქცია, ან ლოგარითმი, y = ჟურნალი ცული, ბაზით აარის a ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული.

თეორემა. ლოგარითმის თვისებები
ლოგარითმული ფუნქცია ფუძით a, y = შესვლა x, აქვს შემდეგი თვისებები:
(L.1)განსაზღვრული და უწყვეტი, და , არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის;
(L.2)აქვს მრავალი მნიშვნელობა;
(L.3)მკაცრად იზრდება როგორც, მკაცრად მცირდება როგორც;
(L.4)ზე ;
ზე ;
(L.5) ;
(L.6)ზე ;
(L.7)ზე ;
(L.8)ზე ;
(L.9)ზე.

ექსპონენტური და ბუნებრივი ლოგარითმი

ექსპონენციალური ფუნქციისა და ლოგარითმის განმარტებებში ჩნდება მუდმივი, რომელსაც ეწოდება სიმძლავრის საფუძველი ან ლოგარითმის ფუძე. მათემატიკური ანალიზისას, უმეტეს შემთხვევაში, უფრო მარტივი გამოთვლები მიიღება, თუ რიცხვი e გამოიყენება საფუძვლად:
.
E ფუძის მქონე ექსპონენციალურ ფუნქციას ეწოდება ექსპონენტი: , ხოლო ლოგარითმს e ფუძით ბუნებრივი ლოგარითმი: .

გვერდებზე წარმოდგენილია მაჩვენებლის თვისებები და ბუნებრივი ლოგარითმი
"ექსპონენტი, e x-ის ხარისხზე",
"ბუნებრივი ლოგარითმი, ln x ფუნქცია"

დენის ფუნქცია

დენის ფუნქცია მაჩვენებლით pარის ფუნქცია f (x) = x გვ, რომლის მნიშვნელობა x წერტილში უდრის x ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის მნიშვნელობას p წერტილში.
გარდა ამისა, ვ (0) = 0 p = 0 p >-სთვის 0 .

აქ განვიხილავთ ძალაუფლების ფუნქციის y = x p თვისებებს არგუმენტის არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. რაციონალებისთვის, კენტი m-ისთვის, დენის ფუნქცია ასევე განისაზღვრება უარყოფითი x-ისთვის. ამ შემთხვევაში მისი თვისებების მიღება შესაძლებელია ლუწი ან კენტის გამოყენებით.
ეს შემთხვევები დეტალურად განიხილება და ილუსტრირებულია გვერდზე „ძაბვის ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკები“.

თეორემა. სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები (x ≥ 0)
სიმძლავრის ფუნქციას, y = x p, მაჩვენებლით p აქვს შემდეგი თვისებები:
(C.1)განსაზღვრული და უწყვეტი ნაკრებზე
ზე,
ზე ".

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

თეორემა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების უწყვეტობის შესახებ
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები: სინუსი ( ცოდვა x), კოსინუსი ( cos x), ტანგენტი ( tg x) და კოტანგენსი ( ctg x

თეორემა შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების უწყვეტობის შესახებ
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები: რკალი ( arcsin x), რკალის კოსინუსი ( arccos x), არქტანგენტი ( არქტანი x) და რკალის ტანგენსი ( arcctg x), უწყვეტია მათი განმარტების სფეროებში.

ცნობები:
ო.ი. ბესოვი. ლექციები მათემატიკური ანალიზის შესახებ. ნაწილი 1. მოსკოვი, 2004 წ.
ლ.დ. კუდრიავცევი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 2003 წ.
ᲡᲛ. ნიკოლსკი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 1983 წ.

Იხილეთ ასევე:

ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში.

ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია რაღაც წერტილის მიმდებარე ტერიტორიაზე, ეწოდება უწყვეტი წერტილში, თუ ფუნქციის ზღვარი და მისი მნიშვნელობა ამ ეტაპზე ტოლია, ე.ი.

ერთი და იგივე ფაქტი შეიძლება სხვანაირად დაიწეროს:

თუ ფუნქცია განსაზღვრულია წერტილის რომელიმე სამეზობლოში, მაგრამ არ არის უწყვეტი თავად წერტილში, მაშინ მას უწოდებენ ასაფეთქებელიფუნქცია, და წერტილი არის შესვენების წერტილი.

უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი:

0 x 0 -D x 0 x 0 +D x

უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი:

ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი იმ წერტილში, თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის არის ისეთი რიცხვი, რომ ნებისმიერი პირობის დასაკმაყოფილებლად: უტოლობა მართალია.

ფუნქციას ეძახიან უწყვეტიიმ წერტილში, თუ ფუნქციის ზრდა წერტილში არის უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობა.

სად არის უსასრულოდ მცირე ზე.

უწყვეტი ფუნქციების თვისებები.

1) წერტილში უწყვეტი ფუნქციების ჯამი, სხვაობა და ნამრავლი არის უწყვეტი ფუნქცია წერტილში;

2) ორი უწყვეტი ფუნქციის კოეფიციენტი არის უწყვეტი ფუნქცია იმ პირობით, რომ ის არ იყოს ნულის ტოლი წერტილში;

3) უწყვეტი ფუნქციების სუპერპოზიცია – არსებობს უწყვეტი ფუნქცია.

ეს ქონება შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

თუ წერტილში უწყვეტი ფუნქციებია, მაშინ ფუნქცია ასევე უწყვეტი ფუნქციაა ამ წერტილში.

ზემოაღნიშნული თვისებების მართებულობა მარტივად შეიძლება დადასტურდეს,

ლიმიტის თეორემების გამოყენებით.

ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის უწყვეტობა.

1. ფუნქცია , არის უწყვეტი ფუნქცია განსაზღვრების მთელ დომენზე.

2. რაციონალური ფუნქცია უწყვეტია ყველა მნიშვნელობისთვის, გარდა იმ მნიშვნელებისა, რომლებშიც მნიშვნელი ხდება ნული. ამრიგად, ამ ტიპის ფუნქცია უწყვეტია განსაზღვრების მთელ დომენში.

3. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და უწყვეტია მათი განსაზღვრის სფეროში.

დავამტკიცოთ თვისება 3 ფუნქციისთვის.

მოდით ჩამოვწეროთ ფუნქციის ზრდა, ანუ ტრანსფორმაციის შემდეგ:

მართლაც, არსებობს ლიმიტი ორი ფუნქციისა და . ამ შემთხვევაში, კოსინუსის ფუნქცია არის შემოსაზღვრული ფუნქცია და მას შემდეგ სინუსური ფუნქციის ზღვარი, მაშინ ის უსასრულოდ მცირეა.

ამრიგად, არსებობს შეზღუდული ფუნქციის ნამრავლი და უსასრულო მცირე, შესაბამისად, ეს ნამრავლი, ე.ი. ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა. ზემოთ განხილული განმარტებების შესაბამისად, ფუნქცია არის უწყვეტი ფუნქცია ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის განსაზღვრების დომენიდან, რადგან მისი ზრდა ამ ეტაპზე არის უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობა.

შესვენების წერტილები და მათი კლასიფიკაცია.

განვიხილოთ რამდენიმე ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია წერტილის სამეზობლოში, ამ წერტილის შესაძლო გამონაკლისის გარდა. ფუნქციის წყვეტის წერტილის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ არსებობს წყვეტის წერტილი, თუ ფუნქცია არ არის განსაზღვრული ამ ეტაპზე ან არ არის უწყვეტი მასში.

ასევე უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქციის უწყვეტობა შეიძლება იყოს ცალმხრივი. მოდით ავხსნათ ეს შემდეგნაირად.

თუ ცალმხრივი ლიმიტია (იხ. ზემოთ), მაშინ ფუნქცია არის სწორი უწყვეტი.

წერტილი ე.წ შესვენების წერტილიფუნქცია, თუ არ არის განსაზღვრული წერტილში ან არ არის უწყვეტი ამ წერტილში.

წერტილი ე.წ პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილი, თუ ამ მომენტში ფუნქციას აქვს სასრული, მაგრამ არათანაბარი მარცხენა და მარჯვენა საზღვრები:

ამ განსაზღვრების პირობების დასაკმაყოფილებლად არ არის აუცილებელი ფუნქციის განსაზღვრა წერტილში, საკმარისია ის განისაზღვროს მისგან მარცხნივ და მარჯვნივ.

განმარტებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ 1-ლი ტიპის უწყვეტობის წერტილში ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ სასრული ნახტომი. ზოგიერთ განსაკუთრებულ შემთხვევებში, 1-ლი ტიპის შეწყვეტის წერტილსაც ზოგჯერ უწოდებენ მოსახსნელიგადამწყვეტი წერტილი, მაგრამ ამაზე დაწვრილებით ქვემოთ ვისაუბრებთ.

წერტილი ე.წ მე-2 ტიპის შეწყვეტის წერტილი, თუ ამ მომენტში ფუნქციას არ აქვს მინიმუმ ერთი ცალმხრივი ლიმიტი, ან თუნდაც ერთი მათგანი უსასრულოა.

მაგალითი 1 . დირიხლეს ფუნქცია (Dirichlet Peter Gustav (1805-1859) - გერმანელი მათემატიკოსი, პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიის წევრ-კორესპონდენტი 1837 წ.

არ არის უწყვეტი ნებისმიერ წერტილში x 0.

მაგალითი 2 . ფუნქციას აქვს მე-2 ტიპის უწყვეტობის წერტილი წერტილში, რადგან .

მაგალითი 3 .

ფუნქცია არ არის განსაზღვრული წერტილში, მაგრამ მას აქვს სასრული ზღვარი, ე.ი. ფუნქციას აქვს 1-ლი ტიპის შეწყვეტის წერტილი. ეს არის მოსახსნელი რღვევის წერტილი, რადგან თუ განსაზღვრავთ ფუნქციას:

ამ ფუნქციის გრაფიკი:

მაგალითი 4 .

ეს ფუნქცია ასევე მითითებულია ნიშნით. ფუნქცია არ არის განსაზღვრული წერტილში. იმიტომ რომ ფუნქციის მარცხენა და მარჯვენა საზღვრები განსხვავებულია, მაშინ შეწყვეტის წერტილი არის 1-ლი ტიპის. თუ ფუნქციას გავაფართოვებთ წერტილში ჩასვით, მაშინ ფუნქცია იქნება უწყვეტი მარჯვნივ, თუ დავსვამთ, მაშინ ფუნქცია იქნება უწყვეტი მარცხნივ, თუ 1-ის ან –1-ის გარდა რომელიმე რიცხვის ტოლი დავსვამთ, მაშინ ფუნქცია იქნება უწყვეტი არც მარცხნივ და არც მარჯვნივ, მაგრამ ყველა შემთხვევაში მას მაინც ექნება 1-ლი სახის შეწყვეტა წერტილში. ამ მაგალითში, პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილი არ არის მოსახსნელი.

ამგვარად, იმისათვის, რომ პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილი იყოს მოსახსნელი, აუცილებელია, რომ ცალმხრივი საზღვრები მარჯვნივ და მარცხნივ იყოს სასრული და თანაბარი, ხოლო ფუნქცია ამ ეტაპზე განუსაზღვრელი.

2.2. ფუნქციის უწყვეტობა ინტერვალზე და სეგმენტზე.

ფუნქციას ეძახიან უწყვეტი ინტერვალზე (სეგმენტი), თუ იგი უწყვეტია ინტერვალის (სეგმენტის) ნებისმიერ წერტილში.

ამ შემთხვევაში, ფუნქციის უწყვეტობა სეგმენტის ან ინტერვალის ბოლოებში არ არის საჭირო, საჭიროა მხოლოდ ცალმხრივი უწყვეტობა სეგმენტის ან ინტერვალის ბოლოებში.

ფუნქციების თვისებები უწყვეტი ინტერვალზე.

საკუთრება 1. (ვაიერშტრასის პირველი თეორემა (Carl Weierstrass (1815-1897) - გერმანელი მათემატიკოსი)). ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალზე, შემოიფარგლება ამ ინტერვალზე, ე.ი. სეგმენტზე დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა:

ამ თვისების მტკიცებულება ემყარება იმ ფაქტს, რომ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია წერტილში, შემოიფარგლება მის რომელიმე მახლობლად, და თუ თქვენ დაყოფთ სეგმენტს უსასრულო რაოდენობის სეგმენტებად, რომლებიც „შეკუმშულია“ წერტილამდე, მაშინ იქმნება წერტილის გარკვეული სამეზობლო.

საკუთრება 2. ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია სეგმენტზე, იღებს მასზე უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს.

იმათ. არსებობს ასეთი მნიშვნელობები და ეს, , და:

აღვნიშნოთ. რომ ეს უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები ფუნქციამ შეიძლება რამდენჯერმე მიიღოს სეგმენტი (მაგალითად – ).

სეგმენტზე ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობას შორის განსხვავება ეწოდება ყოყმანიფუნქციონირებს სეგმენტზე.

საკუთრება 3. (მეორე ბოლზანო-კოშის თეორემა). ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალზე, იღებს ყველა მნიშვნელობას ამ ინტერვალზე ორ თვითნებურ მნიშვნელობას შორის.

საკუთრება 4. თუ ფუნქცია უწყვეტია წერტილში, მაშინ არის წერტილის გარკვეული სამეზობლო, სადაც ფუნქცია ინარჩუნებს თავის ნიშანს.

საკუთრება 5. (ბოლცანოს პირველი თეორემა (1781-1848) - კოში). თუ ფუნქცია უწყვეტია სეგმენტზე და აქვს საპირისპირო ნიშნების მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში, მაშინ ამ სეგმენტის შიგნით არის წერტილი, სადაც . და ნულთან ახლოს.

ერთ წერტილში ფუნქცია უწყვეტია 1-ლი სახის უწყვეტობის წერტილში