კოორდინატთა სისტემების ტრანსფორმაცია სიბრტყეზე. დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ტრანსფორმაცია სიბრტყეზე. ი.პრივალოვი "ანალიტიკური გეომეტრია"

მოდით, სიბრტყეზე იყოს მოცემული ორი თვითნებური დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა. პირველი განისაზღვრება O-ს დასაწყისით და საბაზისო ვექტორებით მე ჯ , მეორე – ცენტრი შესახებ'და საბაზისო ვექტორები მე ’ ჯ ’ .

დავსახოთ მიზანი, გამოვხატოთ M წერტილის x y კოორდინატები პირველ კოორდინატულ სისტემასთან მიმართებაში x’ და წ’ - იგივე წერტილის კოორდინატები მეორე სისტემის მიმართ.

შეამჩნია, რომ

ავღნიშნოთ O’ წერტილის კოორდინატები პირველ სისტემასთან მიმართებაში a და b-ით:

გავაფართოვოთ ვექტორები მე ’ და ჯ ’ საფუძველზე მე ჯ :

(*)

გარდა ამისა, ჩვენ გვაქვს:
. აქ შემოვიღოთ ვექტორების გაფართოება საფუძვლის მიმართ მე ’ ჯ ’ :

აქედან

შეგვიძლია დავასკვნათ: როგორიც არ უნდა იყოს ორი თვითნებური დეკარტესული სისტემა სიბრტყეზე, სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები პირველ სისტემასთან შედარებით არის იმავე წერტილის კოორდინატების წრფივი ფუნქციები მეორე სისტემის მიმართ.

მოდით, ჯერ განტოლებები (*) გავამრავლოთ სკალარულად მე , შემდეგ ჯ :

შესახებ აღინიშნება  კუთხით ვექტორებს შორის მე და მე ’ . საკოორდინაციო სისტემა მე ჯ შეიძლება გაერთიანდეს სისტემასთან მე ’ ჯ ’ პარალელური გადაყვანით და შემდგომი ბრუნვით  კუთხით. მაგრამ აქ ასევე შესაძლებელია რკალის ვარიანტი: კუთხე ფუძის ვექტორებს შორის მე მე ’ ასევე  და კუთხე ფუძე ვექტორებს შორის ჯ ’ ჯ ’ ტოლია  - . ეს სისტემები არ შეიძლება გაერთიანდეს პარალელურად თარგმნასა და ბრუნვასთან. ასევე აუცილებელია ღერძის მიმართულების შეცვლა ზეპირიქით.

ფორმულიდან (**) პირველ შემთხვევაში ვიღებთ:

მეორე შემთხვევაში

კონვერტაციის ფორმულებია:

მეორე შემთხვევას არ განვიხილავთ. მოდით შევთანხმდეთ, რომ ორივე სისტემა სწორია.

იმათ. დასკვნა: როგორიც არ უნდა იყოს ორი სწორი კოორდინატთა სისტემა, პირველი მათგანი შეიძლება გაერთიანდეს მეორესთან პარალელური გადაყვანით და შემდგომი ბრუნვით საწყისის გარშემო გარკვეული კუთხით .

პარალელური გადაცემის ფორმულები:

ღერძების ბრუნვის ფორმულები:

ინვერსიული კონვერტაციები:

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების ტრანსფორმაცია სივრცეში.

სივრცეში, მსგავსი გზით მსჯელობით, შეგვიძლია დავწეროთ:

(***)

და კოორდინატებისთვის მიიღეთ:

(****)

ასე რომ, როგორიც არ უნდა იყოს ორი თვითნებური კოორდინატთა სისტემა სივრცეში, x y z კოორდინატები რომელიმე წერტილის პირველ სისტემასთან შედარებით არის კოორდინატების წრფივი ფუნქციები. x’ წ’ ზ’ იგივე წერტილი მეორე კოორდინატულ სისტემასთან მიმართებაში.

თითოეული ტოლობის (***) გამრავლება მასშტაბურად მე ’ ჯ ’ კ ’ ჩვენ ვიღებთ:

IN მოდით დავაზუსტოთ ტრანსფორმაციის ფორმულების გეომეტრიული მნიშვნელობა (****). ამისათვის დავუშვათ, რომ ორივე სისტემას აქვს საერთო დასაწყისი: ა = ბ = გ = 0 .

განვიხილოთ სამი კუთხე, რომელიც სრულად ახასიათებს მეორე სისტემის ღერძების მდებარეობას პირველთან შედარებით.

პირველ კუთხეს ქმნის x ღერძი და u ღერძი, რომელიც არის xOy და x'Oy სიბრტყეების კვეთა. კუთხის მიმართულება არის უმოკლეს შემობრუნება x-დან y ღერძამდე. კუთხე ავღნიშნოთ -ით. მეორე კუთხე  არის კუთხე, რომელიც არ აღემატება -ს ოზისა და ოზის ღერძებს შორის. დაბოლოს, მესამე კუთხე  არის კუთხე u-ღერძსა და Ox'-ს შორის, რომელიც იზომება u-ღერძიდან Ox-დან Oy-მდე უმოკლეს შემობრუნების მიმართულებით. ამ კუთხეებს ეილერის კუთხეებს უწოდებენ.

პირველი სისტემის მეორედ გადაქცევა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი ბრუნის თანმიმდევრობით: კუთხით  ოზის ღერძთან მიმართებაში; Ox-ის ღერძის მიმართ  კუთხით; და კუთხით  ოზის ღერძის მიმართ.

რიცხვები  ij შეიძლება გამოისახოს ეილერის კუთხეებით. ჩვენ არ დავწერთ ამ ფორმულებს, რადგან ისინი რთულია.

ტრანსფორმაცია თავისთავად არის პარალელური ტრანსლაციისა და სამი თანმიმდევრული ბრუნვის სუპერპოზიცია ეილერის კუთხეებში.

ყველა ეს არგუმენტი შეიძლება განხორციელდეს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ორივე სისტემა მემარცხენეა, ან განსხვავებული ორიენტაცია აქვს.

თუ ჩვენ გვაქვს ორი თვითნებური სისტემა, მაშინ, ზოგადად რომ ვთქვათ, შეგვიძლია გავაერთიანოთ ისინი პარალელური გადათარგმნით და ერთი ბრუნვით სივრცეში გარკვეული ღერძის გარშემო. ჩვენ არ ვეძებთ მას.

1) სიბრტყეზე ერთი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემიდან გადასვლა სხვა დეკარტის მართკუთხა სისტემაზე იგივე ორიენტაციისა და ერთიდაიგივე საწყისის.

დავუშვათ, რომ სიბრტყეზე შემოყვანილია ორი კარტეზიული მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა xOyდა საერთო წარმომავლობით შესახებ, იგივე ორიენტაციის მქონე (სურ. 145). ავღნიშნოთ ღერძების ერთეული ვექტორები ოჰდა OUშესაბამისად, მეშვეობით და , და ღერძების ერთეული ვექტორები და მეშვეობით და . და ბოლოს, მოდით იყოს კუთხე ღერძიდან ოჰღერძამდე. დაე Xდა ზე– თვითნებური წერტილის კოორდინატები მსისტემაში xOy, და და არის იგივე წერტილის კოორდინატები მსისტემაში.

ვინაიდან კუთხე ღერძიდან ოჰვექტორს უდრის , მაშინ ვექტორის კოორდინატები

კუთხე ღერძიდან ოჰვექტორს უდრის; ამიტომ ვექტორის კოორდინატები ტოლია.

ფორმულები (3) § 97 ფორმას იღებს

გარდამავალი მატრიცა ერთი დეკარტიდან xOyმართკუთხა კოორდინატთა სისტემას იგივე ორიენტაციის მქონე სხვა მართკუთხა სისტემას აქვს ფორმა

მატრიცას ორთოგონალური ეწოდება, თუ თითოეულ სვეტში მდებარე ელემენტების კვადრატების ჯამი 1-ის ტოლია, ხოლო სხვადასხვა სვეტის შესაბამისი ელემენტების ნამრავლების ჯამი ნულის ტოლია, ე.ი. თუ

ამრიგად, გადასვლის მატრიცა (2) ერთი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემიდან მეორე მართკუთხა სისტემაზე იგივე ორიენტაციის მქონე ორთოგონალურია. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი არის +1:

პირიქით, თუ მოცემულია ორთოგონალური მატრიცა (3) +1-ის ტოლი განმსაზღვრელით და სიბრტყეზე შეყვანილია დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა. xOy, მაშინ მიმართებით (4) ვექტორები არის ერთეულიც და ურთიერთ პერპენდიკულური, შესაბამისად ვექტორის კოორდინატები სისტემაში xOyტოლია და , სად არის კუთხე ვექტორიდან ვექტორამდე და რადგან ვექტორი ერთეულია და ვექტორიდან ვიღებთ როტაციით , მაშინ ან , ან .

მეორე შესაძლებლობა გამორიცხულია, რადგან თუ გვქონდა, მაშინ გვეძლევა ეს.

ეს ნიშნავს და მატრიცა აროგორც ჩანს

იმათ. არის გადასვლის მატრიცა ერთი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემიდან xOyსხვა მართკუთხა სისტემას, რომელსაც აქვს იგივე ორიენტაცია და კუთხე .

2. ერთი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემიდან სიბრტყეზე გადასვლა მეორე დეკარტის მართკუთხა სისტემაზე საპირისპირო ორიენტაციისა და იგივე საწყისის.

სიბრტყეზე შემოვიდეს ორი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა xOyდა საერთო წარმომავლობით შესახებ, მაგრამ საპირისპირო ორიენტაციის მქონე, ღერძიდან ავღნიშნოთ კუთხე ოჰღერძისკენ (სიბრტყის ორიენტაცია დგინდება სისტემის მიერ xOy).

ვინაიდან კუთხე ღერძიდან ოჰვექტორის ტოლია, მაშინ ვექტორის კოორდინატები ტოლია:

ახლა კუთხე ვექტორიდან ვექტორამდე ტოლია (სურ. 146), ასე რომ, კუთხე ღერძიდან ოჰვექტორთან ტოლია (ჩასლესის თეორემით კუთხეებისთვის) და ამიტომ ვექტორის კოორდინატები ტოლია:

და ფორმულები (3) § 97 ფორმას იღებს

გარდამავალი მატრიცა

ორთოგონალური, მაგრამ მისი განმსაზღვრელი არის –1. (7)

ამის საპირისპიროდ, ნებისმიერი ორთოგონალური მატრიცა, რომლის განმსაზღვრელი ტოლია –1, განსაზღვრავს სიბრტყეზე ერთი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ტრანსფორმაციას სხვა მართკუთხა სისტემაში იგივე საწყისის, მაგრამ საპირისპირო ორიენტაციის მქონე. ასე რომ, თუ ორი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა xOyდა აქვს საერთო დასაწყისი, მაშინ

სად X, ზე- სისტემის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები xOy; და არის სისტემის ერთი და იგივე წერტილის კოორდინატები და

ორთოგონალური მატრიცა.

უკან თუ

თვითნებური ორთოგონალური მატრიცა, შემდეგ ურთიერთობები

გამოხატავს დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის გარდაქმნას დეკარტის ოთხკუთხედად სისტემა იგივე წარმოშობით; - კოორდინატები სისტემაში xOyერთეული ვექტორი, რომელიც იძლევა ღერძის დადებით მიმართულებას; - კოორდინატები სისტემაში xOyერთეული ვექტორი, რომელიც იძლევა ღერძის დადებით მიმართულებას.

კოორდინატთა სისტემები xOyდა აქვთ იგივე ორიენტაცია და ამ შემთხვევაში პირიქით.

3. ერთი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ზოგადი ტრანსფორმაცია სიბრტყეზე მეორე მართკუთხა სისტემად.

ამ პუნქტის 1) და 2) პუნქტებიდან გამომდინარე, ისევე როგორც § 96-ის საფუძველზე, დავასკვნით, რომ თუ სიბრტყეზე შემოტანილია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემები xOyდა შემდეგ კოორდინატები Xდა ზეთვითნებური წერტილი მთვითმფრინავები სისტემაში xOyიმავე წერტილის კოორდინატებით მსისტემაში დაკავშირებულია მიმართებებით - სისტემაში კოორდინატთა სისტემის წარმოშობის კოორდინატები xOy.

გაითვალისწინეთ, რომ ძველი და ახალი კოორდინატები X, ზედა , ვექტორები დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ზოგადი ტრანსფორმაციის ქვეშ დაკავშირებულია მიმართებით

იმ შემთხვევაში, თუ სისტემები xOyდა აქვთ იგივე ორიენტაცია და ურთიერთობები

იმ შემთხვევაში, თუ ამ სისტემებს აქვთ საპირისპირო ორიენტაცია, ან ფორმა

ორთოგონალური მატრიცა. გარდაქმნებს (10) და (11) ორთოგონალური ეწოდება.

თემა 5. წრფივი გარდაქმნები.

საკოორდინაციო სისტემაარის მეთოდი, რომელიც საშუალებას იძლევა ცალსახად დაადგინოს წერტილის პოზიცია რომელიმე გეომეტრიულ ფიგურასთან რიცხვების გამოყენებით. მაგალითებში შედის კოორდინატთა სისტემა სწორ ხაზზე - კოორდინატთა ღერძი და მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემები, შესაბამისად, სიბრტყეზე და სივრცეში.

მოდით გადავიდეთ ერთი xy კოორდინატთა სისტემიდან სიბრტყეზე მეორე სისტემაზე, ე.ი. მოდით გავარკვიოთ, როგორ არის დაკავშირებული ამ ორ სისტემაში ერთი და იგივე წერტილის დეკარტის კოორდინატები ერთმანეთთან.

ჯერ განვიხილოთ პარალელური გადაცემამართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა xy, ანუ შემთხვევა, როდესაც ღერძები და ახალი სისტემის ღერძები პარალელურია ძველი სისტემის შესაბამისი x და y ღერძებისა და მათთან აქვთ იგივე მიმართულებები.

თუ xy სისტემაში M (x; y) და (a; b) წერტილების კოორდინატები ცნობილია, მაშინ (სურ. 15) სისტემაში M წერტილს აქვს კოორდინატები: .

მოდით, ρ სიგრძის OM მონაკვეთმა შექმნას კუთხე ღერძთან და. შემდეგ (სურ. 16) სეგმენტი OM ქმნის კუთხეს x ღერძთან და M წერტილის კოორდინატები xy სისტემაში ტოლია. , .

იმის გათვალისწინებით, რომ სისტემაში M წერტილის კოორდინატები ტოლია და-ის, მივიღებთ

„საათის ისრის მიმართულებით“ კუთხით მობრუნებისას, შესაბამისად ვიღებთ:

პრობლემა 0.54. განსაზღვრეთ M(-3; 7) წერტილის კოორდინატები ახალ კოორდინატთა სისტემაში x/y/, რომლის საწყისი 0/ მდებარეობს (3; -4) წერტილში, ხოლო ღერძები არის ძველის ღერძების პარალელურად. კოორდინატთა სისტემა და აქვთ იგივე მიმართულებები, როგორც მათ.

გამოსავალი. ჩავანაცვლოთ M და O / წერტილების ცნობილი კოორდინატები ფორმულებში: x / = x-a, y / = y-b.
ვიღებთ: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. უპასუხე: M / (-6; 11).

§2. წრფივი ტრანსფორმაციის კონცეფცია, მისი მატრიცა.

თუ X სიმრავლის ყოველი x ელემენტი, ზოგიერთი f წესის მიხედვით, შეესაბამება Y სიმრავლის ერთ და მხოლოდ ერთ ელემენტს y, მაშინ ვამბობთ, რომ მოცემული ჩვენება F სიმრავლე X შევიდა Y სიმრავლეში და X სიმრავლე ეწოდება განმარტების სფეროჩვენება ვ . თუ, კერძოდ, ელემენტი x 0 Î X შეესაბამება y 0 Î Y ელემენტს, მაშინ ჩაწერეთ y 0 = f (x 0). ამ შემთხვევაში, ელემენტს y 0 ეწოდება გზაელემენტი x 0 და ელემენტი x 0 - პროტოტიპიელემენტი 0-ზე. Y სიმრავლის Y 0 ქვესიმრავლე, რომელიც შედგება ყველა გამოსახულებისგან, ეწოდება მნიშვნელობების ნაკრებიჩვენება ვ.

თუ f შედგენისას X სიმრავლის სხვადასხვა ელემენტები შეესაბამება Y სიმრავლის სხვადასხვა ელემენტებს, მაშინ f გამოსახვა ე.წ. შექცევადი.

თუ Y 0 = Y, მაშინ f გამოსახულებას ეწოდება X სიმრავლის გამოსახვა onკომპლექტიY.

X სიმრავლის შექცევად გამოსახვას Y სიმრავლეზე ეწოდება ერთი-ერთზე.

კომპლექტის კომპლექტად გადატანის კონცეფციის განსაკუთრებული შემთხვევები არის კონცეფცია რიცხვითი ფუნქციადა კონცეფცია გეომეტრიული რუქა.

თუ X სიმრავლის თითოეულ ელემენტთან f აკავშირებს იმავე X სიმრავლის ერთ ელემენტს, მაშინ ასეთი გამოსახვა ე.წ. ტრანსფორმაციაადგენს X.

მოყვანილი იყოს L n წრფივი სივრცის n განზომილებიანი ვექტორების სიმრავლე.

n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის L n ტრანსფორმაცია f ეწოდება ხაზოვანიტრანსფორმაცია თუ

ნებისმიერი ვექტორისთვის L n-დან და ნებისმიერი რეალური რიცხვებიდან α და β. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ტრანსფორმაციას ეწოდება წრფივი, თუ ვექტორების წრფივი კომბინაცია გარდაიქმნება მათი გამოსახულების ხაზოვან კომბინაციაში. იგივესთან ერთადკოეფიციენტები.

თუ ვექტორი მოცემულია გარკვეულ საფუძველზე და ტრანსფორმაცია f არის წრფივი, მაშინ განსაზღვრებით სად არის საბაზისო ვექტორების გამოსახულებები.

მაშასადამე, წრფივი ტრანსფორმაცია მთლიანად არის განსაზღვრული, თუ მოცემულია განსახილველი წრფივი სივრცის საბაზისო ვექტორების გამოსახულებები:

(12)

მატრიცა რომელშიც k-ე სვეტი არის ვექტორის კოორდინატთა სვეტი საფუძველში, ე.წ მატრიცახაზოვანი ტრანსფორმაციავ ამ საფუძველზე.

განმსაზღვრელს det L ეწოდება f გარდაქმნის განმსაზღვრელს, ხოლო Rg L-ს - წრფივი ტრანსფორმაციის რანგი f.

თუ წრფივი ტრანსფორმაციის მატრიცა არასიგნორულია, მაშინ ტრანსფორმაცია თავისთავად არასიგოლურია. იგი აქცევს სივრცეს L n ერთი-ერთ-ერთში, ე.ი. თითოეული ვექტორი L n-დან არის მისი უნიკალური ვექტორის გამოსახულება.

თუ წრფივი ტრანსფორმაციის მატრიცა სინგულარულია, მაშინ ტრანსფორმაცია თავისთავად სინგულარულია. იგი გარდაქმნის წრფივ სივრცეს L n მის ზოგიერთ ნაწილად.

თეორემა.ვექტორზე L მატრიცით f წრფივი ტრანსფორმაციის გამოყენების შედეგად ის ვექტორია ისეთივე როგორც .

ფრჩხილებში ჩაწერილი რიცხვები არის ვექტორის კოორდინატები საფუძვლის მიხედვით:

(13)

მატრიცის გამრავლების ოპერაციის განმარტებით, სისტემა (13) შეიძლება შეიცვალოს მატრიცით

თანასწორობა რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

მაგალითებიხაზოვანი გარდაქმნები.

1. x ღერძის გასწვრივ გაჭიმვა k 1-ჯერ, ხოლო y ღერძის გასწვრივ k 2-ჯერ xy სიბრტყეზე განისაზღვრება მატრიცით და კოორდინატების გარდაქმნის ფორმულებს აქვს ფორმა: x / = k 1 x; y / = k 2 y.

2. xy სიბრტყეზე y ღერძის მიმართ სარკის არეკვლა განისაზღვრება მატრიცით და კოორდინატების გარდაქმნის ფორმულებს აქვს ფორმა: x / = -x, y / = y.

შეამჩნია, რომ

ავღნიშნოთ O’ წერტილის კოორდინატები პირველ სისტემასთან მიმართებაში a და b-ით:

გავაფართოვოთ ვექტორები მე ’ და ჯ ’ საფუძველზე მე ჯ :

(*)

აქედან

მოდით, ჯერ განტოლებები (*) გავამრავლოთ სკალარულად მე , შემდეგ ჯ :

-ით ავღნიშნოთ კუთხე ვექტორებს შორის მე და მე ’ . საკოორდინაციო სისტემა მე ჯ შეიძლება გაერთიანდეს სისტემასთან მე ’ ჯ ’ პარალელური გადაყვანით და შემდგომი ბრუნვით  კუთხით. მაგრამ აქ ასევე შესაძლებელია რკალის ვარიანტი: კუთხე ფუძის ვექტორებს შორის მე მე ’ ასევე  და კუთხე ფუძე ვექტორებს შორის ჯ ’ ჯ ’ ტოლია  - . ეს სისტემები არ შეიძლება გაერთიანდეს პარალელურად თარგმნასა და ბრუნვასთან. ასევე აუცილებელია ღერძის მიმართულების შეცვლა ზეპირიქით.

ფორმულიდან (**) პირველ შემთხვევაში ვიღებთ:

მეორე შემთხვევაში

კონვერტაციის ფორმულებია:

პარალელური გადაცემის ფორმულები:

ღერძების ბრუნვის ფორმულები:

ინვერსიული კონვერტაციები:

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების ტრანსფორმაცია სივრცეში.

სივრცეში, მსგავსი გზით მსჯელობით, შეგვიძლია დავწეროთ:

(***)

და კოორდინატებისთვის მიიღეთ:

(****)

თითოეული ტოლობის (***) გამრავლება მასშტაბურად მე ’ ჯ ’ კ ’ ჩვენ ვიღებთ:

თავი 1. დამატება. დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების ტრანსფორმაცია სიბრტყეზე და სივრცეში. სპეციალური კოორდინატთა სისტემები თვითმფრინავსა და სივრცეში.

სიბრტყეზე და სივრცეში კოორდინატთა სისტემების აგების წესები განხილულია 1-ლი თავის ძირითად ნაწილში. აღინიშნა მართკუთხა კოორდინატთა სისტემების გამოყენების მოხერხებულობა. ანალიტიკური გეომეტრიის ხელსაწყოების პრაქტიკული გამოყენებისას ხშირად ჩნდება მიღებული კოორდინატთა სისტემის გარდაქმნის საჭიროება. ეს ჩვეულებრივ ნაკარნახევია მოხერხებულობის გათვალისწინებით: გეომეტრიული გამოსახულებები გამარტივებულია, ანალიტიკური მოდელები და გამოთვლებში გამოყენებული ალგებრული გამონათქვამები უფრო ნათელი ხდება.

სპეციალური კოორდინატთა სისტემების აგება და გამოყენება: პოლარული, ცილინდრული და სფერული ნაკარნახევია მოგვარებული პრობლემის გეომეტრიული მნიშვნელობით. სპეციალური კოორდინატთა სისტემების გამოყენებით მოდელირება ხშირად ხელს უწყობს ანალიტიკური მოდელების შემუშავებას და გამოყენებას პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას.

პირველი თავის დანართში მიღებული შედეგები გამოყენებული იქნება წრფივ ალგებრაში, მათი უმეტესობა კალკულუსსა და ფიზიკაში.

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების ტრანსფორმაცია სიბრტყეზე და სივრცეში.

სიბრტყეზე და სივრცეში კოორდინატთა სისტემის აგების პრობლემის განხილვისას აღინიშნა, რომ კოორდინატთა სისტემა იქმნება რიცხვითი ღერძებით, რომლებიც კვეთენ ერთ წერტილში: სიბრტყეზე საჭიროა ორი ღერძი, სამი სივრცეში. ვექტორების ანალიტიკური მოდელების აგებასთან, ვექტორების მუშაობის სკალარული ნამრავლის დანერგვასთან და გეომეტრიული შინაარსის ამოცანების გადაწყვეტასთან დაკავშირებით, ნაჩვენებია, რომ ყველაზე სასურველია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემების გამოყენება.

თუ კონკრეტული კოორდინატთა სისტემის გარდაქმნის პრობლემას განვიხილავთ აბსტრაქტულად, მაშინ ზოგად შემთხვევაში შესაძლებელი იქნება კოორდინატთა ღერძების თვითნებური გადაადგილება მოცემულ სივრცეში ღერძების თვითნებურად გადარქმევის უფლებით.

ჩვენ დავიწყებთ პირველადი კონცეფციიდან საცნობარო სისტემები , მიღებულია ფიზიკაში. სხეულების მოძრაობაზე დაკვირვებით გაირკვა, რომ იზოლირებული სხეულის მოძრაობა თავისთავად არ შეიძლება განისაზღვროს. თქვენ უნდა გქონდეთ მინიმუმ ერთი სხეული, რომლის მიმართაც შეინიშნება მოძრაობა, ანუ მასში ცვლილება ნათესავი დებულებები. ანალიტიკური მოდელების, კანონებისა და მოძრაობის მისაღებად კოორდინატთა სისტემა უკავშირდებოდა ამ მეორე სხეულს, როგორც საცნობარო სისტემას და ისე, რომ კოორდინატთა სისტემა იყო მყარი !

ვინაიდან ხისტი სხეულის თვითნებური მოძრაობა სივრცეში ერთი წერტილიდან მეორეში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი დამოუკიდებელი მოძრაობით: მთარგმნელობითი და ბრუნვით, კოორდინატთა სისტემის გარდაქმნის ვარიანტები შემოიფარგლებოდა ორი მოძრაობით:

1). პარალელური გადაცემა: მივყვებით მხოლოდ ერთ წერტილს - წერტილს.

2). კოორდინატთა სისტემის ღერძების ბრუნვა წერტილის მიმართ: როგორც ხისტი სხეული.

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების გადაყვანა სიბრტყეზე.

მოდით გვქონდეს კოორდინატთა სისტემები სიბრტყეზე: , და . კოორდინატთა სისტემა მიიღება სისტემის პარალელური გადათარგმნით. კოორდინატთა სისტემა მიიღება სისტემის კუთხით ბრუნვით, ხოლო ბრუნის დადებითი მიმართულება აღებულია ღერძის ბრუნვის საწინააღმდეგოდ.

განვსაზღვროთ მიღებული კოორდინატთა სისტემების საბაზისო ვექტორები. ვინაიდან სისტემა მიიღეს სისტემის პარალელური გადაცემით, მაშინ ორივე ამ სისტემისთვის ვიღებთ საბაზისო ვექტორებს: , და ერთეულებს და ემთხვევა მიმართულებით კოორდინატთა ღერძებს , შესაბამისად. სისტემისთვის, როგორც საბაზისო ვექტორები, ჩვენ ავიღებთ ერთეულ ვექტორებს, რომლებიც ემთხვევა ღერძებს მიმართულებით, .

მიეცით კოორდინატთა სისტემა და მასში განისაზღვროს წერტილი =. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ტრანსფორმაციამდე გვაქვს დამთხვევა კოორდინატთა სისტემები და . გამოვიყენოთ პარალელური ტრანსლაცია ვექტორით განსაზღვრულ კოორდინატულ სისტემაზე. საჭიროა წერტილის კოორდინატთა ტრანსფორმაციის განსაზღვრა. გამოვიყენოთ ვექტორული ტოლობა: = + , ან:

მოდი, პარალელური თარგმანის ტრანსფორმაცია ილუსტრირდეს ელემენტარულ ალგებრაში ცნობილი მაგალითით.

მაგალითი D–1 : პარაბოლის განტოლება მოცემულია: = = . შეამცირეთ ამ პარაბოლის განტოლება მის უმარტივეს ფორმამდე.

გამოსავალი:

1). მოდით გამოვიყენოთ ტექნიკა ხაზს უსვამს სრულ კვადრატს : = , რომელიც ადვილად შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც: –3 = .

2). გამოვიყენოთ კოორდინატთა ტრანსფორმაცია - პარალელური გადაცემა :=. ამის შემდეგ პარაბოლის განტოლება იღებს ფორმას: . ალგებრაში ეს ტრანსფორმაცია განისაზღვრება შემდეგნაირად: პარაბოლა = მიიღება უმარტივესი პარაბოლის მარჯვნივ გადაწევით 2-ით და ზევით 3 ერთეულით.

პასუხი: პარაბოლის უმარტივესი ფორმაა: .

მიეცით კოორდინატთა სისტემა და მასში განისაზღვროს წერტილი =. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ტრანსფორმაციამდე გვაქვს დამთხვევა კოორდინატთა სისტემები და . მოდით გამოვიყენოთ ბრუნვის ტრანსფორმაცია კოორდინატთა სისტემაზე ისე, რომ მის თავდაპირველ პოზიციასთან, ანუ სისტემასთან შედარებით, აღმოჩნდეს, რომ ის ბრუნავს კუთხით. საჭიროა წერტილის კოორდინატთა ტრანსფორმაციის განსაზღვრა = . დავწეროთ ვექტორი კოორდინატულ სისტემებში და : = . (2) = 1. მეორე რიგის წრფეების თეორიიდან გამომდინარეობს, რომ მიღებულია ელიფსის უმარტივესი (კანონიკური!) განტოლება.