გაუსის მატრიცა. გაუსის მეთოდი დუმიტებისთვის: გადაწყვეტილებების მაგალითები. პრობლემები გაუსის წესის გამოყენებისას

მოდით, მოცემული იყოს წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა, რომელიც უნდა გადაწყდეს (იპოვეთ უცნობი xi– ის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც სისტემის თითოეულ განტოლებას აქცევს თანასწორობად).

ჩვენ ვიცით, რომ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემას შეუძლია:

1) არ გაქვთ გადაწყვეტილებები (იყავით შეუსაბამო).
2) უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი გქონდეთ.
3) გქონდეთ უნიკალური გამოსავალი.

როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცული მეთოდი არ გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი ამოხსნა ან შეუსაბამოა. გაუსის მეთოდი – ხაზოვანი განტოლებების ნებისმიერი სისტემის ამოხსნების პოვნაში ყველაზე ძლიერი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი, რომელი ყოველ შემთხვევაშიპასუხამდე მიგვიყვანს! თვით მეთოდის ალგორითმი ერთნაირად მუშაობს სამივე შემთხვევაში. თუ დეტერმინანტების ცოდნა საჭიროა კრამერისა და მატრიცის მეთოდებში, მაშინ გაუსის მეთოდის გამოყენებისთვის საჭიროა მხოლოდ არითმეტიკული მოქმედებების ცოდნა, რაც მას ხელმისაწვდომს ხდის დაწყებითი კლასების მოსწავლეებისთვისაც კი.

გაფართოებული მატრიცული გარდაქმნები ( ეს არის სისტემის მატრიცა - მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობი კოეფიციენტებისგან, პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი)ხაზოვანი ალგებრული განტოლების სისტემები გაუსის მეთოდით:

1) დან სიმები მატრიცა შეიძლება გადალაგებაადგილ-ადგილ.

2) თუ მატრიცა შეიცავს (ან არის) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იგივე) სტრიქონები, მაშინ იგი შემდეგნაირია წაშლა მატრიციდან ყველა ეს რიგი, გარდა ერთისა.

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში გამოჩნდა ნულოვანი მწკრივი, ისიც შემდეგნაირად წაშლა.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს გამრავლება (გაყოფა)ნულის გარდა სხვა ნებისმიერ რიცხვზე.

5) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს დაამატე კიდევ ერთი სტრიქონი გამრავლებული რიცხვზენულოვანი.

გაუსის მეთოდით ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებების სისტემის ამოხსნას.

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან:

1. "პირდაპირი სვლა" - ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით, ხაზოვანი ალგებრული განტოლების სისტემის გაფართოებული მატრიცა შეამცირეთ "სამკუთხა" ნაბიჯ – ნაბიჯ ფორმაზე: ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ განლაგებული გაფართოებული მატრიცის ელემენტები ნულის ტოლია ("ზემოდან ქვემოთ" სვლა). მაგალითად, ამ ფორმით:

ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი მოქმედებები:

1) დავუშვათ, რომ განვიხილავთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლების სისტემის პირველ განტოლებას და x 1 კოეფიციენტი უდრის K. მეორე, მესამე და ა.შ. განტოლებები შემდეგნაირად გარდაიქმნება: თითოეული განტოლება (უცნობი კოეფიციენტები, თავისუფალი ტერმინების ჩათვლით) იყოფა უცნობი x 1 კოეფიციენტზე, რომელიც თითოეულ განტოლებაშია და ჩვენ ვამრავლებთ K- ზე. ამის შემდეგ, ჩვენ გამოვყავთ პირველი მეორე განტოლებას (უცნობი კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები). მივიღებთ კოეფიციენტს 0 x 1 – სთვის მეორე განტოლებაში. პირველი განტოლების გამოკლება მესამე გარდაქმნილი განტოლებიდან, სანამ ყველა განტოლება, გარდა პირველი, უცნობი x– ს აქვს 0 კოეფიციენტი.

2) გადადით შემდეგ განტოლებაზე. მოდით ეს იყოს მეორე განტოლება და x 2 – ის კოეფიციენტი უდრის მ – ს. ყველა "ქვედა" განტოლებით ჩვენ ვაგრძელებთ ზემოთ აღწერილს. ამრიგად, "განტოლების" ქვეშ უცნობი x 2 იქნება ყველა ნული.

3) გადადით შემდეგ განტოლებაზე და ასე შემდეგ, სანამ არ იქნება ბოლო უცნობი და გარდაქმნილი თავისუფალი ტერმინი.

1. გაუსის მეთოდის "უკუ" - ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის მიღება ("ქვემოდან ზემოთ" სვლა). ბოლო "ქვედა" განტოლებიდან ვიღებთ ერთ პირველ ამოხსნას - უცნობი x n. ამისათვის ჩვენ ამოხსნით ელემენტარულ განტოლებას A * x n \u003d B. ზემოთ მოყვანილ მაგალითში x 3 \u003d 4. ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლება "ზედა" მომდევნო განტოლებაში და ამოხსენით შემდეგი უცნობი. მაგალითად, x 2 - 4 \u003d 1, ე.ი. x 2 \u003d 5. და ასე შემდეგ, სანამ ყველა უცნობს არ ვიპოვით.

მაგალითი.

მოდით გადავჭრათ ხაზოვანი განტოლებების სისტემა გაუსის მეთოდით, როგორც ზოგიერთი ავტორი გვირჩევს:

მოდით, ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივად:

ჩვენ გადავხედავთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". ჩვენ იქ უნდა გვქონდეს დანაყოფი. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტს საერთოდ არ ჰყავს, ამიტომ რიგების გადაწყობა ვერაფერს გადაჭრის. ასეთ შემთხვევებში საჭიროა ელემენტის ორგანიზება ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. როგორც წესი, ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. Მოდი გავაკეთოთ ეს:
1 ნაბიჯი ... პირველ სტრიქონს დაუმატეთ მეორე სტრიქონი გამრავლებული -1-ზე. ანუ, ჩვენ გონებით გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი –1 – ზე და დავამატეთ პირველი და მეორე სტრიქონები, ხოლო მეორე სტრიქონი არ შეცვლილა.

ახლა მარცხენა ზედა ნაწილში არის "მინუს ერთი", რაც ჩვენთვის შესანიშნავია. ყველას, ვისაც სურს +1 მიიღოს, შეუძლია დამატებითი მოქმედების შესრულება: პირველი სტრიქონის გამრავლება –1 – ზე (შეცვალოს ნიშანი).

ნაბიჯი 2 ... პირველი სტრიქონი გამრავლებული 5-ზე დაემატა მეორე სტრიქონს. პირველი სტრიქონი გამრავლებული 3-ით დაემატა მესამე სტრიქონს.

ნაბიჯი 3 ... პირველი სტრიქონი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში, ეს სილამაზისთვისაა. მესამე ხაზის ნიშანიც შეიცვალა და ის მეორე ადგილზე გადავიდა, ამრიგად, მეორე „ნაბიჯზე, ჩვენ გვაქვს საჭირო ერთეული.

ნაბიჯი 4 ... მეორე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი 2-ზე გამრავლებული.

ნაბიჯი 5 ... მესამე ხაზი გაიყო 3-ით.

ნიშანი, რომელიც მიუთითებს შეცდომების შეცვლაში (ნაკლებად ხშირად - typo) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ ბოლოში მივიღეთ მსგავსი რამ (0 0 11 | 23) და, შესაბამისად, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, მაღალი ალბათობით შეიძლება ითქვას, რომ შეცდომა მოხდა ელემენტარული გარდაქმნები.

ჩვენ ვახორციელებთ საპირისპირო სვლას, მაგალითების დიზაინში, სისტემა ხშირად არ იწერება და განტოლებები "პირდაპირ მოცემულია მატრიციდან". საპირისპირო სვლა, შეგახსენებთ, მუშაობს ქვევიდან ზემოთ. ამ მაგალითში მივიღეთ საჩუქარი:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, შესაბამისად x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

პასუხი: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

მოდით, მოვაგვაროთ იგივე სისტემა შემოთავაზებული ალგორითმის მიხედვით. მივიღებთ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

მეორე განტოლება გავყოთ 5-ზე და მესამე გავყოთ 3. მივიღებთ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

ჩვენ ვამრავლებთ მეორე და მესამე განტოლებებს 4-ზე, მივიღებთ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

მეორე და მესამე განტოლებების პირველი განტოლების გამოკლება გვაქვს:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

მესამე განტოლების გაყოფა 0.64-ზე:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

მესამე განტოლების გამრავლება 0.4-ზე

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

მესამე განტოლებიდან მეორის გამოკლება, მივიღებთ "ეტაპობრივად" გაფართოებულ მატრიცას:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ამრიგად, მას შემდეგ, რაც გამოთვლების დროს დაგროვილი შეცდომაა, მივიღებთ x 3 \u003d 0.96 ან დაახლოებით 1.

x 2 \u003d 3 და x 1 \u003d -1.

ამ გზით გადაჭრისას, თქვენ არასდროს დაიბნევით გამოთვლებში და, მიუხედავად გაანგარიშების შეცდომებისა, მიიღებთ შედეგს.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი მარტივად პროგრამირებადია და არ ითვალისწინებს კოეფიციენტების სპეციფიკურ მახასიათებლებს უცნობი ფაქტორებისთვის, რადგან პრაქტიკაში (ეკონომიკურ და ტექნიკურ გამოთვლებში) უნდა მოგვარდეს არაინტეგრაციული კოეფიციენტები.

წარმატებებს გისურვებთ! გნახავ კლასში! რეპეტიტორი.

ბლოგი. საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

მოდით, მოცემული იყოს წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა, რომელიც უნდა გადაწყდეს (იპოვეთ უცნობი xi– ის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც სისტემის თითოეულ განტოლებას აქცევს თანასწორობად).

ჩვენ ვიცით, რომ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემას შეუძლია:

1) არ გაქვთ გადაწყვეტილებები (იყავით შეუსაბამო).
2) უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი გქონდეთ.
3) გქონდეთ უნიკალური გამოსავალი.

როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცული მეთოდი არ გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი ამოხსნა ან შეუსაბამოა. გაუსის მეთოდი – ხაზოვანი განტოლებების ნებისმიერი სისტემის ამოხსნების პოვნაში ყველაზე ძლიერი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი, რომელი ყოველ შემთხვევაშიპასუხამდე მიგვიყვანს! თვით მეთოდის ალგორითმი ერთნაირად მუშაობს სამივე შემთხვევაში. თუ დეტერმინანტების ცოდნა საჭიროა კრამერისა და მატრიცის მეთოდებში, მაშინ გაუსის მეთოდის გამოყენებისთვის საჭიროა მხოლოდ არითმეტიკული მოქმედებების ცოდნა, რაც მას ხელმისაწვდომს ხდის დაწყებითი კლასების მოსწავლეებისთვისაც კი.

გაფართოებული მატრიცული გარდაქმნები ( ეს არის სისტემის მატრიცა - მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობი კოეფიციენტებისგან, პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი)ხაზოვანი ალგებრული განტოლების სისტემები გაუსის მეთოდით:

1) დან სიმები მატრიცა შეიძლება გადალაგებაადგილ-ადგილ.

2) თუ მატრიცა შეიცავს (ან არის) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იგივე) სტრიქონები, მაშინ იგი შემდეგნაირია წაშლა მატრიციდან ყველა ეს რიგი, გარდა ერთისა.

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში გამოჩნდა ნულოვანი მწკრივი, ისიც შემდეგნაირად წაშლა.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს გამრავლება (გაყოფა)ნულის გარდა სხვა ნებისმიერ რიცხვზე.

5) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს დაამატე კიდევ ერთი სტრიქონი გამრავლებული რიცხვზენულოვანი.

გაუსის მეთოდით ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებების სისტემის ამოხსნას.

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან:

1. "პირდაპირი სვლა" - ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით, ხაზოვანი ალგებრული განტოლების სისტემის გაფართოებული მატრიცა შეამცირეთ "სამკუთხა" ნაბიჯ – ნაბიჯ ფორმაზე: ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ განლაგებული გაფართოებული მატრიცის ელემენტები ნულის ტოლია ("ზემოდან ქვემოთ" სვლა). მაგალითად, ამ ფორმით:

ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი მოქმედებები:

1) დავუშვათ, რომ განვიხილავთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლების სისტემის პირველ განტოლებას და x 1 კოეფიციენტი უდრის K. მეორე, მესამე და ა.შ. განტოლებები შემდეგნაირად გარდაიქმნება: თითოეული განტოლება (უცნობი კოეფიციენტები, თავისუფალი ტერმინების ჩათვლით) იყოფა უცნობი x 1 კოეფიციენტზე, რომელიც თითოეულ განტოლებაშია და ჩვენ ვამრავლებთ K- ზე. ამის შემდეგ, ჩვენ გამოვყავთ პირველი მეორე განტოლებას (უცნობი კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები). მივიღებთ კოეფიციენტს 0 x 1 – სთვის მეორე განტოლებაში. პირველი განტოლების გამოკლება მესამე გარდაქმნილი განტოლებიდან, სანამ ყველა განტოლება, გარდა პირველი, უცნობი x– ს აქვს 0 კოეფიციენტი.

2) გადადით შემდეგ განტოლებაზე. მოდით ეს იყოს მეორე განტოლება და x 2 – ის კოეფიციენტი უდრის მ – ს. ყველა "ქვედა" განტოლებით ჩვენ ვაგრძელებთ ზემოთ აღწერილს. ამრიგად, "განტოლების" ქვეშ უცნობი x 2 იქნება ყველა ნული.

3) გადადით შემდეგ განტოლებაზე და ასე შემდეგ, სანამ არ იქნება ბოლო უცნობი და გარდაქმნილი თავისუფალი ტერმინი.

1. გაუსის მეთოდის "უკუ" - ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის მიღება ("ქვემოდან ზემოთ" სვლა). ბოლო "ქვედა" განტოლებიდან ვიღებთ ერთ პირველ ამოხსნას - უცნობი x n. ამისათვის ჩვენ ამოხსნით ელემენტარულ განტოლებას A * x n \u003d B. ზემოთ მოყვანილ მაგალითში x 3 \u003d 4. ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლება "ზედა" მომდევნო განტოლებაში და ამოხსენით შემდეგი უცნობი. მაგალითად, x 2 - 4 \u003d 1, ე.ი. x 2 \u003d 5. და ასე შემდეგ, სანამ ყველა უცნობს არ ვიპოვით.

მაგალითი.

მოდით გადავჭრათ ხაზოვანი განტოლებების სისტემა გაუსის მეთოდით, როგორც ზოგიერთი ავტორი გვირჩევს:

მოდით, ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივად:

ჩვენ გადავხედავთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". ჩვენ იქ უნდა გვქონდეს დანაყოფი. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტს საერთოდ არ ჰყავს, ამიტომ რიგების გადაწყობა ვერაფერს გადაჭრის. ასეთ შემთხვევებში საჭიროა ელემენტის ორგანიზება ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. როგორც წესი, ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. Მოდი გავაკეთოთ ეს:
1 ნაბიჯი ... პირველ სტრიქონს დაუმატეთ მეორე სტრიქონი გამრავლებული -1-ზე. ანუ, ჩვენ გონებით გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი –1 – ზე და დავამატეთ პირველი და მეორე სტრიქონები, ხოლო მეორე სტრიქონი არ შეცვლილა.

ახლა მარცხენა ზედა ნაწილში არის "მინუს ერთი", რაც ჩვენთვის შესანიშნავია. ყველას, ვისაც სურს +1 მიიღოს, შეუძლია დამატებითი მოქმედების შესრულება: პირველი სტრიქონის გამრავლება –1 – ზე (შეცვალოს ნიშანი).

ნაბიჯი 2 ... პირველი სტრიქონი გამრავლებული 5-ზე დაემატა მეორე სტრიქონს. პირველი სტრიქონი გამრავლებული 3-ით დაემატა მესამე სტრიქონს.

ნაბიჯი 3 ... პირველი სტრიქონი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში, ეს სილამაზისთვისაა. მესამე ხაზის ნიშანიც შეიცვალა და ის მეორე ადგილზე გადავიდა, ამრიგად, მეორე „ნაბიჯზე, ჩვენ გვაქვს საჭირო ერთეული.

ნაბიჯი 4 ... მეორე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი 2-ზე გამრავლებული.

ნაბიჯი 5 ... მესამე ხაზი გაიყო 3-ით.

ნიშანი, რომელიც მიუთითებს შეცდომების შეცვლაში (ნაკლებად ხშირად - typo) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ ბოლოში მივიღეთ მსგავსი რამ (0 0 11 | 23) და, შესაბამისად, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, მაღალი ალბათობით შეიძლება ითქვას, რომ შეცდომა მოხდა ელემენტარული გარდაქმნები.

ჩვენ ვახორციელებთ საპირისპირო სვლას, მაგალითების დიზაინში, სისტემა ხშირად არ იწერება და განტოლებები "პირდაპირ მოცემულია მატრიციდან". საპირისპირო სვლა, შეგახსენებთ, მუშაობს ქვევიდან ზემოთ. ამ მაგალითში მივიღეთ საჩუქარი:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, შესაბამისად x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

პასუხი: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

მოდით, მოვაგვაროთ იგივე სისტემა შემოთავაზებული ალგორითმის მიხედვით. მივიღებთ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

მეორე განტოლება გავყოთ 5-ზე და მესამე გავყოთ 3. მივიღებთ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

ჩვენ ვამრავლებთ მეორე და მესამე განტოლებებს 4-ზე, მივიღებთ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

მეორე და მესამე განტოლებების პირველი განტოლების გამოკლება გვაქვს:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

მესამე განტოლების გაყოფა 0.64-ზე:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

მესამე განტოლების გამრავლება 0.4-ზე

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

მესამე განტოლებიდან მეორის გამოკლება, მივიღებთ "ეტაპობრივად" გაფართოებულ მატრიცას:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ამრიგად, მას შემდეგ, რაც გამოთვლების დროს დაგროვილი შეცდომაა, მივიღებთ x 3 \u003d 0.96 ან დაახლოებით 1.

x 2 \u003d 3 და x 1 \u003d -1.

ამ გზით გადაჭრისას, თქვენ არასდროს დაიბნევით გამოთვლებში და, მიუხედავად გაანგარიშების შეცდომებისა, მიიღებთ შედეგს.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი მარტივად პროგრამირებადია და არ ითვალისწინებს კოეფიციენტების სპეციფიკურ მახასიათებლებს უცნობი ფაქტორებისთვის, რადგან პრაქტიკაში (ეკონომიკურ და ტექნიკურ გამოთვლებში) უნდა მოგვარდეს არაინტეგრაციული კოეფიციენტები.

წარმატებებს გისურვებთ! გნახავ კლასში! რეპეტიტორი დიმიტრი ასტრახანოვი.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

წრფივი განტოლების სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით.მოდით, უნდა ვიპოვოთ სისტემის გამოსავალი ნ წრფივი განტოლებები ნ უცნობი ცვლადები
რომლის ძირითადი მატრიცის განმსაზღვრელი არა ნულოვანია.

გაუსის მეთოდის არსი შედგება უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრაში: პირველი, x 1 სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული, შემდგომი გამორიცხვა x 2ყველა განტოლების, მესამედან დაწყებული და ა.შ. სანამ ბოლო განტოლებაში მხოლოდ უცნობი ცვლადი არ დარჩება x n... სისტემის განტოლებების გარდაქმნის ასეთ პროცესს უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრისთვის ეწოდება გაუსის მეთოდის პირდაპირი კურსით... გაუსის მეთოდის წინსვლის დასრულების შემდეგ, ბოლო განტოლებიდან, ვხვდებით x n, ამ მნიშვნელობის გამოყენება წინასწარ გამოითვლება x n-1და ა.შ. პირველი განტოლებიდან, რასაც ვიპოვით x 1... უცნობი ცვლადების გამოთვლის პროცესს ეწოდება სისტემის ბოლო განტოლებიდან პირველზე გადასვლისას ჩამორჩენილი გაუსის მეთოდი.

მოკლედ აღწერეთ უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის ალგორითმი.

ვივარაუდებთ, რომ ამის მიღწევა ყოველთვის შეგვიძლია სისტემის განტოლებების გადალაგებით. აღმოფხვრა უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული. ამისათვის სისტემის მეორე განტოლებას ვუმატებთ პირველს, გამრავლებულზე, მესამე განტოლებას ვამატებთ პირველს, გამრავლებულზე და ა.შ. მეცხრეგანტოლებას დავამატებთ პირველს, გამრავლებული. განტოლებების სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ იღებს ფორმას

სად, ა.

ჩვენ იგივე შედეგს მივაღწევდით, თუ გამოვთქვამდით x 1 სისტემის პირველი განტოლების სხვა უცნობი ცვლადების საშუალებით და შედეგად მიღებული გამოხატვა შეიცვალა ყველა სხვა განტოლებაში. ცვლადი x 1 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული.

ამისათვის, სისტემის მესამე განტოლებას ვამატებთ მეორეს გამრავლებული, მეოთხე განტოლებას ვამატებთ მეორეზე გამრავლებულს და ა.შ. მეცხრეგანტოლებას დავამატებთ მეორეზე, გამრავლებული. განტოლებების სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ იღებს ფორმას

სად, ა. ცვლადი x 2 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, დაწყებული მესამედან.

ასე რომ, ჩვენ გავაგრძელებთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსს, სანამ სისტემა არ მიიღებს ფორმას

ამ მომენტიდან ვიწყებთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსს: გამოთვალეთ x n ბოლო განტოლებიდან, როგორც, მიღებული მნიშვნელობის გამოყენებით x n იპოვნე x n-1 ბოლოსწინა განტოლებიდან და ა.შ. x 1 პირველი განტოლებიდან.

მაგალითი.

წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდის გამოყენებით. ...

პასუხი:

x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

RHB- ის დაცვის სამხედრო უნივერსიტეტის კოსტრომის ფილიალი

დეპარტამენტი "ჯარების მართვისა და კონტროლის ავტომატიზაცია"

მხოლოდ მასწავლებლებისთვის

"Ვადასტურებ"

ნომერი 9 განყოფილების უფროსი

პოლკოვნიკი ა.ბ. იაკოვლევი

"____" ______________ 2004 წ

ასოცირებული პროფესორი ა.ი. სმირნოვა

"MATRIXES. GAUSS'S მეთოდი"

ლექცია No2/3

განიხილეს მე –9 განყოფილების სხდომაზე

"____" ___________ 2003 წ

ოქმი ___________

კოსტრომა, 2003 წ

გშეპყრობილი

შესავალი

1. მოქმედებები მატრიცებზე.

2. წრფივი განტოლების სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

დასკვნა

ლიტერატურა

1. ვ. შნაიდერი და სხვ., მოკლე კურსი უმაღლეს მათემატიკაში, ტომი I, თავი 2, §6, 7.

2. ვ.ს. შჩიპაჩოვი, უმაღლესი მათემატიკა, ჩვ. 10, § 1, 7.

შესავალი

ლექციაზე განხილულია მატრიცის კონცეფცია, მოქმედებები მატრიცებზე, აგრეთვე გაუსის მეთოდი ხაზოვანი განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის. სპეციალური შემთხვევისთვის, ე.წ. კვადრატული მატრიცა, შეიძლება გამოითვალოს დეტერმინანტები, რომელთა კონცეფცია განიხილეს წინა ლექციაზე. გაუსის მეთოდი უფრო ზოგადია, ვიდრე ადრე განხილული კრამერის მეთოდი ხაზოვანი სისტემების გადაჭრისთვის. ლექციაზე განხილული კითხვები გამოიყენება მათემატიკის სხვადასხვა დარგში და გამოყენებულ კითხვებში.

1-ლი სასწავლო კითხვა მოქმედებები მათეებზე

განმარტება 1. მართკუთხა მაგიდამ, ნ რიცხვების შემცველიმ - ხაზები დან - სვეტები, ტიპი:

დაურეკა ზომის მატრიცა მ ´ ნ

რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან მატრიცას, ეწოდება მატრიცის ელემენტები.

ნივთის პოზიცია და მე კ მატრიცაში ხასიათდება ორმაგი ინდექსით:

პირველი მე - ხაზის ნომერი;

მეორე კ - სვეტის ნომერი, რომლის გადაკვეთაზე დგას ელემენტი.

შემოკლებული ფორმით, მატრიცა აღინიშნება დიდი ასოებით: A, B, C ...

მოკლედ, შეგიძლიათ ასე დაწეროთ:

განმარტება 2.მატრიცა მწკრივების რაოდენობის ტოლი სვეტების რაოდენობით, ე.ი.მ = ნ ეწოდება მოედანი.

კვადრატული მატრიცის მწკრივების (სვეტების) რაოდენობას ეწოდება მატრიცის ბრძანება.

მაგალითი

შენიშვნა 1. ჩვენ გავითვალისწინებთ მატრიცებს, რომელთა ჩანაწერები არის რიცხვები. მათემატიკაში და მის გამოყენებებში არსებობს მატრიცა, რომელთა ელემენტებია სხვა ობიექტები, მაგალითად, ფუნქციები, ვექტორები.

შენიშვნა 2. მატრიცა არის სპეციალური მათემატიკური ცნება. მატრიცების დახმარებით მოსახერხებელია სხვადასხვა გარდაქმნების, წრფივი სისტემების და ა.შ. დაწერა, ამიტომ მატრიცა ხშირად გვხვდება მათემატიკურ და ტექნიკურ ლიტერატურაში.

განმარტება 3.ზომის მატრიცა1 ნერთ სტრიქონს უწოდებენ მატრიცა - სიმებიანი.

T ზომის მატრიცა1 შედგება ერთი სვეტისგან ე.წ. მატრიცა - სვეტი.

განმარტება 4. ნულოვანი მატრიცა მატრიცა ეწოდება, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია.

განვიხილოთ წესრიგის კვადრატული მატრიცა ნ:

გვერდითი დიაგონალი

მთავარი დიაგონალი

კვადრატული მატრიცის დიაგონალი, რომელიც მიდის მაგიდის ზედა მარცხენა ელემენტიდან ქვედა მარჯვნივ, ეწოდება მატრიცის მთავარი დიაგონალი (მთავარი დიაგონალი შეიცავს ფორმის ელემენტებს და მე მე).

დიაგონალი, რომელიც ზედა მარჯვენა ელემენტიდან ქვედა მარცხენა მხარეს მიდის, ეწოდება მატრიცის გვერდითი დიაგონალი.

განვიხილოთ კვადრატული მატრიცების რამდენიმე სპეციალური ტიპი.

1) კვადრატული მატრიცა ეწოდება დიაგონალითუ მთავარ დიაგონალზე არ არის ყველა ელემენტი ნულის ტოლი.

2) ეწოდება დიაგონალური მატრიცა, რომელშიც ძირითადი დიაგონალის ყველა ელემენტი ერთის ტოლია მარტოხელა... მითითებულია:

3) კვადრატული მატრიცა ეწოდება სამკუთხა, თუ ძირითადი დიაგონალის ერთ მხარეს ყველა ელემენტი ნულოვანია:

ზედა ქვედა

სამკუთხა მატრიცა სამკუთხა მატრიცა

კვადრატული მატრიცისთვის შემოდის კონცეფცია: მატრიცის განმსაზღვრელი... ეს არის მატრიცული ელემენტებისგან შემდგარი დეტერმინანტი. მითითებულია:

ნათელია, რომ პირადობის მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლია 1: 1-ის ე½ \u003d 1

კომენტარი არაკვადრატულ მატრიცას არა აქვს დეტერმინანტი.

თუ კვადრატული მატრიცის დეტერმინანტი არის ნულოვანი, მაშინ მატრიცა ეწოდება არა დეგენერატი, თუ დეტერმინანტი ნულია, მაშინ მატრიცა ეწოდება დეგენერატი.

განმარტება 5. ამისგან მიღებულ მატრიცას ეწოდება მისი რიგების იმავე რიცხვების სვეტებით ჩანაცვლება გადატანილია მოცემულზე.

მატრიცა გადატანილი და, აღნიშნავენ ა თ.

მაგალითი

3 3 2

განმარტებაიგივე ზომის ორი მატრიცა ეწოდება თანაბარი, თუ მათი ყველა შესაბამისი ელემენტი ტოლია .

მოდით განვიხილოთ ოპერაციები მატრიცებზე.

მატრიქსების დამატება.

დამატების ოპერაცია შემოდის მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცებისთვის.

განმარტება 7. ორი მატრიცების ჯამი A \u003d (a მე კ ) და B \u003d ( ბ ი კ ) იგივე ზომა მატრიცა С \u003d (თან მე კ) იგივე ზომის, რომლის ელემენტები ტოლია მატრიცული ტერმინების შესაბამისი ელემენტების ჯამების, ე.ი. დან i j \u003d a i j + b i j

აღინიშნება მატრიცების ჯამი A + B.

მაგალითი

მატარებლების ნამდვილი მრავლობა

განმარტება 8.მატრიცის გამრავლება რიცხვზეკ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მატრიცის თითოეული ელემენტი ამ რიცხვზე:

თუ ა \u003d(და მე კ )შემდეგ კ · ა= (კ · ა მე კ )

მაგალითი

მატრიქსის დამატებისა და მულტიპლიკაციის თვისებები რაოდენობის მიხედვით

1. გადაადგილების თვისება: A + B \u003d B + A

2. კომბინირებული თვისება: (A + B) + C \u003d A + (B + C)

3. სადისტრიბუციო ქონება: კ · (ა + ბ) = კ ა + კ ბსად კ – ნომერი

MATRIX MULTIPLICATION

Მატრიცა დადაერქმევა მატრიცის მქონე გლობულა INთუ მატრიცის სვეტების რაოდენობა და მატრიცის მწკრივების რაოდენობის ტოლია IN, ე.ი. თანმიმდევრული მატრიცებისთვის მატრიცა და აქვს ზომა მ ´ ნ , მატრიცა IN აქვს ზომა ნ ´ კ . კვადრატული მატრიცა თანმიმდევრულია, თუ ისინი ერთი და იგივე რიგისაა.

განმარტება 9.ზომის A მატრიცის პროდუქტიმ ´ ნ თითო მატრიცის ზომაზენ ´ კ უწოდებენ ზომის C მატრიცასმ ´ კრომლის ელემენტი ა მე კ მდებარეობსმე -მე ხაზი დაკ - ე სვეტი, უდრის ელემენტების პროდუქტების ჯამსმე - ა მატრიცის მე –3 რიგი შესაბამის ელემენტებთანკ - B მატრიცის სვეტი, ე.ი.

გ მე კ = ა მე 1 ბ 1 კ + ა მე 2 ბ 2 კ +……+ ა მე ნ ბ ნ კ

ჩვენ აღვნიშნავთ: C \u003d ა· IN

შემდეგ

კომპოზიცია IN´ და აზრი არ აქვს, რადგან მატრიცა

არ არის შეთანხმებული.

შენიშვნა 1. თუ და´ IN აზრი აქვს მაშინ IN´ და შეიძლება აზრი არ ჰქონდეს.

შენიშვნა 2. თუ ამას აზრი აქვს და´ IN და IN´ დაზოგადად რომ ვთქვათ

და´ IN ¹ IN´ და, ე.ი. მატრიცის გამრავლებას არ აქვს ტრანსპოზიციის კანონი.

შენიშვნა 3. თუ დაარის კვადრატული მატრიცა და ემაშ, იგივე პირადობის მატრიცაა და´ ე= ე´ ა \u003d ა.

აქედან გამომდინარეობს, რომ პირადობის მატრიცა ასრულებს ერთიანობის როლს გამრავლებაში.

მაგალითები... თუ შესაძლებელია, იპოვნეთ და´ IN და IN´ და.

გადაწყვეტილება: იგივე მეორე რიგის კვადრატული მატრიცა ემთხვევა იმავე თანმიმდევრობით, ასე რომ და´ IN და IN´ და არსებობა