ფორმის კანონიკურ ფორმად გადაქცევის მეთოდები. კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმაზე შემცირების მეთოდები. კვადრატული ფორმის კონცეფცია
220400 ალგებრა და გეომეტრია Tolstikov A.V.
ლექციები 16 ბილინარული და კვადრატული ფორმები.
Გეგმა
1. ბილინარული ფორმა და მისი თვისებები.
2. კვადრატული ფორმა. კვადრატული მატრიცა. კოორდინაცია ტრანსფორმაცია.
3. კვადრატული ფორმის შემცირება კანონიკურ ფორმაზე. ლაგრანგის მეთოდი.
4. კვადრატული ფორმების ინერციის კანონი.
5. კვადრატული ფორმის შემცირება კანონიკურ ფორმაზე განსაკუთრებული მნიშვნელობების მეთოდით.
6. სილვერტის კრიტერიუმი კვადრატული ფორმის პოზიტიური განსაზღვრისთვის.
1. ანალიტიკური გეომეტრიისა და ხაზოვანი ალგებრის კურსი. მოსკოვი: ნაუკა, 1984 წ.
2. ბუგროვი ია.ს., ნიკოლსკი ს.მ. წრფივი ალგებრის ელემენტები და ანალიტიკური გეომეტრია. 1997 წ.
3. ვოევოდინი ვ.ვ. ხაზოვანი ალგებრა .. მ .: ნაუკა 1980 წ.
4. ტექნიკური კოლეჯების დავალებების კრებული. ხაზოვანი ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის საფუძვლები. რედ. Efimova A.V., Demidovich B.P .. მოსკოვი: ნაუკა, 1981 წ.
5. ბუტუზოვი ვ.ფ., კრუტიტსკაია ნ.ჩ., შიშკინი ა.ა. წრფივი ალგებრა კითხვებსა და პრობლემებში. მოსკოვი: ფიზმატლიტი, 2001 წ.
, , , ,
1. ბილინარული ფორმა და მისი თვისებები. დაე ვ - ნ-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე ველზე პ.
განმარტება 1.ბილინარული ფორმაგანსაზღვრულია V, ასეთ რუკას ეწოდება გ: V 2 პ, რომელიც თითოეულ შეკვეთილ წყვილს ( x , y ) ვექტორები x , y დან აყენებს ვ ემთხვევა რიცხვს ველიდან პაღინიშნა გ(x , y ), და ხაზოვანი თითოეულ ცვლადში x , y , ე.ი. გააჩნია თვისებები:
1) ("x , y , ზ Î ვ) გ(x + y , ზ ) = გ(x , ზ ) + გ(y , ზ );
2) ("x , y Î ვ) ("a პ) გ(ა x , y ) \u003d ა გ(x , y );
3) ("x , y , ზ Î ვ) გ(x , y + ზ ) = გ(x , y ) + გ(x , ზ );
4) ("x , y Î ვ) ("a პ) გ(x , ა y ) \u003d ა გ(x , y ).
მაგალითი 1... ვექტორულ სივრცეზე განსაზღვრული ნებისმიერი წერტილოვანი პროდუქტი ვ არის ბილინარული ფორმა.
2 ... ფუნქცია თ(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 2 y 1, სად x = (x 1 , x 2), y = (y 1 , y 2) რ 2, ბილინარული ფორმა ჩართულია რ 2 .
განმარტება 2.დაე ვ = (ვ 1 , ვ 2 ,…, ვ ნ ვ.ბილინარული მატრიცაგ(x , y ) საფუძველზევ მატრიცა ეწოდება ბ=(b ij) ნ ´ ნრომლის ელემენტები გამოითვლება ფორმულით b ij = გ(ვ მე, ვ კ):
მაგალითი 3... ბილინარული მატრიცა თ(x , y ) (იხ. მაგალითი 2) საფუძვლის მიმართ ე 1 = (1,0), ე 2 \u003d (0,1) ტოლია.
თეორემა 1. დაეX, Y- კოორდინატთა სვეტები, შესაბამისად ვექტორები x , y საფუძველშიv, B - ბილინარული ფორმის მატრიცაგ(x , y ) საფუძველზევ. შემდეგ ბილინარული ფორმა შეიძლება დაიწეროს როგორც
გ(x , y )=X t by. (1)
მტკიცებულებები. ბილინარული ფორმის თვისებებით ვიღებთ
მაგალითი 3... ბილინარული ფორმა თ(x
,
y
) (იხილეთ მაგალითი 2) შეიძლება დაიწეროს როგორც თ(x
, y
)=
.
თეორემა 2. დაე ვ = (ვ 1 , ვ 2 ,…, ვ ნ), შენ = (შენ 1 , შენ 2 ,…, შენ ნ) - ვექტორული სივრცის ორი საფუძველი V, T - საფუძვლიდან გადასვლის მატრიცაv საფუძველსშენ დაე ბ= (b ij) ნ ´ ნ და ფრომიდან=(იჯ-ით) ნ ´ ნ - ბილინარული მატრიცაგ(x , y ) შესაბამისად ფუძეებთან მიმართებაშივ დაშენ შემდეგ
ფრომიდან= T t BT.(2)
მტკიცებულებები. გარდამავალი მატრიცისა და ბილინარული მატრიცის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:
განმარტება 2.ბილინარული ფორმა გ(x , y ) ეწოდება სიმეტრიული, თუ გ(x , y ) = გ(y , x ) ნებისმიერი x , y Î ვ.
თეორემა 3. ბილინარული ფორმაგ(x , y )- სიმეტრიული თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ბილინარული ფორმის მატრიცა სიმეტრიულია ნებისმიერი საფუძვლის მიმართ.
მტკიცებულებები.დაე ვ = (ვ 1 , ვ 2 ,…, ვ ნ) არის ვექტორული სივრცის საფუძველი V, B= (b ij) ნ ´ ნ - ბილინარული ფორმის მატრიზები გ(x , y ) საფუძვლის მიმართ ვ.მოდით ბილინარული ფორმა გ(x , y ) - სიმეტრიული. შემდეგ, განმარტება 2-ით, ნებისმიერი მე, კ = 1, 2,…, ნ ჩვენ გვაქვს b ij = გ(ვ მე, ვ კ) = გ(ვ კ, ვ მე) = ბ ჯი... შემდეგ მატრიცა ბ - სიმეტრიული.
და პირიქით, მოდით მატრიცა ბ - სიმეტრიული. შემდეგ B t= ბ და ნებისმიერი ვექტორებისთვის x = x 1 ვ 1 + …+ x n ვ ნ = vX, y = y 1 ვ 1 + y 2 ვ 2 +…+ y n ვ ნ = VY Î ვ ფორმულის მიხედვით (1) მივიღებთ (გავითვალისწინებთ რომ ნომერი არის 1 რიგის მატრიცა და არ იცვლება ტრანსპოზიციის შემდეგ)
გ(x , y ) = გ(x , y ) ტ = (X t by) ტ = Y t B t X = გ(y , x ).
2. კვადრატული ფორმა. კვადრატული მატრიცა. კოორდინაცია ტრანსფორმაცია.
განმარტება 1.კვადრატული ფორმა განსაზღვრულია V, რუკების დასახელებას ვ: V პ, რომელიც ნებისმიერი ვექტორისთვის x საქართველოს ვ განისაზღვრება თანასწორობით ვ(x ) = გ(x , x ), სად გ(x , y ) არის სიმეტრიული ბილინარული ფორმა, განსაზღვრული მასზე ვ .
საკუთრება 1.მოცემული კვადრატული ფორმით ვ(x ) ბილინარული ფორმა უნიკალურად გვხვდება ფორმულით
გ(x , y ) = 1/2(ვ(x + y ) - ვ(x )- ვ(y )). (1)
მტკიცებულებები.ნებისმიერი ვექტორებისთვის x , y Î ვ ვიღებთ ბილინარული ფორმის თვისებებიდან
ვ(x + y ) = გ(x + y , x + y ) = გ(x , x + y ) + გ(y , x + y ) = გ(x , x ) + გ(x , y ) + გ(y , x ) + გ(y , y ) = ვ(x ) + 2გ(x , y ) + ვ(y ).
აქედან მოდის ფორმულა (1). ამასობაში, ამის ცოდნა საჭირო არ არის “.
განმარტება 2.კვადრატული ფორმის მატრიცავ(x ) საფუძველზევ = (ვ 1 , ვ 2 ,…, ვ ნ) არის შესაბამისი სიმეტრიული ბილინარული ფორმის მატრიცა გ(x , y ) საფუძვლის მიმართ ვ.
თეორემა 1. დაეX= (x 1 , x 2 ,…, x n) ტ- ვექტორული კოორდინატების სვეტი x საფუძველშიv, B - კვადრატული ფორმის მატრიცავ(x ) საფუძველზევ. შემდეგ კვადრატული ფორმავ(x )
შესავალი
კვადრატული ფორმის კანონიკური ფორმის განტოლება
თავდაპირველად, კვადრატული ფორმების თეორიას იყენებდნენ მეორე რიგის განტოლებებით განსაზღვრული მრუდებისა და ზედაპირების შესასწავლად, რომლებიც შეიცავს ორ ან სამ ცვლადს. მოგვიანებით, ამ თეორიამ სხვა პროგრამებიც იპოვა. კერძოდ, ეკონომიკური პროცესების მათემატიკური მოდელირებისას, ობიექტური ფუნქციები შეიძლება შეიცავდეს კვადრატულ ტერმინებს. კვადრატული ფორმების მრავალმა გამოყენებამ მოითხოვა ზოგადი თეორიის აგება, როდესაც ცვლადების რაოდენობა ტოლია ნებისმიერი, ხოლო კვადრატული ფორმის კოეფიციენტები ყოველთვის არ არის რეალური რიცხვები.
კვადრატული ფორმების თეორია პირველად შეიმუშავა ფრანგმა მათემატიკოსმა ლაგრანჯმა, რომელსაც ეკუთვნის მრავალი იდეა ამ თეორიაში, კერძოდ მან წარმოადგინა შემცირებული ფორმის მნიშვნელოვანი კონცეფცია, რომლის დახმარებით მან დაამტკიცა, რომ მოცემული დისკრიმინატორის ბინარული კვადრატული ფორმების კლასების რაოდენობა სასრულია. შემდეგ ეს თეორია მნიშვნელოვნად გააფართოვა გაუსმა, რომელმაც მრავალი ახალი ცნება შემოიტანა, რის საფუძველზეც მან შეძლო რთული და ღრმა თეორემების მტკიცებულებების მიღება რიცხვის თეორიაში, რომლებიც ამ სფეროში მის წინამორბედებს გაურბოდა.
სამუშაოების მიზანია კვადრატული ფორმების ტიპების და კვადრატული ფორმების კანონიკურ ფორმაზე შემცირების გზების შესწავლა.
ამ ნაშრომში დასმულია შემდეგი ამოცანები: შეარჩიეთ საჭირო ლიტერატურა, გაითვალისწინეთ განმარტებები და ძირითადი თეორემები, გადაჭრით ამ საკითხის მთელ რიგ პრობლემებს.
კვადრატული ფორმის შემცირება კანონიკურ ფორმაზე
კვადრატული ფორმების თეორიის წარმოშობა ანალიზურ გეომეტრიაში, კერძოდ მეორე რიგის მოსახვევთა თეორიაშია. ცნობილია, რომ თვითმფრინავში მეორე რიგის ცენტრალური მრუდის განტოლებას, მართკუთხა კოორდინატების წარმოშობის ამ მრუდის ცენტრში გადატანის შემდეგ, აქვს ფორმა
რომ ახალ კოორდინატებში ჩვენი მრუდის განტოლებას ექნება "კანონიკური" ფორმა
ამ განტოლებაში, უცნობი პროდუქტის კოეფიციენტი ნულოვანია. კოორდინატების (2) გარდაქმნა აშკარად შეიძლება განისაზღვროს, როგორც უცნობი პირების ხაზოვანი გარდაქმნა, უფრო მეტიც, ეს არის არა დეგენერატი, რადგან მისი კოეფიციენტების განმსაზღვრელი ტოლია ერთისა. ეს გარდაქმნა გამოიყენება განტოლების მარცხენა მხარეს (1) და, შესაბამისად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ განტოლების მარცხენა მხარე (1) არასასურველი ხაზოვანი ტრანსფორმაციით (2) გადადის განტოლების მარცხენა მხარეს (3).
მრავალრიცხოვან აპლიკაციებში საჭიროა მსგავსი თეორიის აგება იმ შემთხვევისთვის, როდესაც უცნობი ადამიანების რიცხვი ორის ნაცვლად ტოლია ნებისმიერი, და კოეფიციენტები ან რეალურია ან ნებისმიერი რთული რიცხვი.
განტოლების (1) მარცხენა მხარეს გამოხატვის განზოგადება შემდეგ კონცეფციაზე მივალთ.
კვადრატული ფორმა უცნობი არის ჯამი, რომლის თითოეული ტერმინი არის ან ამ უცნობი ერთების კვადრატი, ან ორი განსხვავებული უცნობი პროდუქტი. კვადრატულ ფორმას უწოდებენ რეალურს ან რთულს, დამოკიდებულია იმაზე, რეალურია თუ არა მისი კოეფიციენტები, ან შეიძლება იყოს რაიმე რთული რიცხვები.
ვთქვათ, რომ მსგავსი ტერმინები უკვე შემცირებულია კვადრატულ ფორმაში, ამ ფორმის კოეფიციენტებისათვის შემოვიღებთ შემდეგ აღნიშვნას: at კოეფიციენტი აღინიშნება და კოეფიციენტი პროდუქტზე - by (შედარება (1)!
რადგან, ამ პროდუქტის კოეფიციენტის აღნიშვნა ასევე შეიძლება, ე.ი. ჩვენს მიერ შემოღებული ნოტაცია გულისხმობს თანასწორობას
ახლა ტერმინი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად
და მთელი კვადრატული ფორმა - ყველა შესაძლო ტერმინის ჯამის სახით, სადაც და ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად იღებენ მნიშვნელობებს 1-დან:
კერძოდ, როდესაც ტერმინს მივიღებთ
კოეფიციენტებიდან შესაძლებელია შეიქმნას წესრიგის კვადრატული მატრიცა; მას ეწოდება კვადრატული ფორმის მატრიცა და მისი რანგი არის ამ კვადრატული ფორმის წოდება.
თუ, კერძოდ, ე.ი. მატრიცა არ არის დეგენერატი, შემდეგ კვადრატულ ფორმას ასევე უწოდებენ არა დეგენერატს. თანასწორობის გათვალისწინებით (4), A მატრიცის ელემენტები მთავარ დიაგონალთან მიმართებაში ერთმანეთის ტოლია, ე.ი. A მატრიცა არის სიმეტრიული. და პირიქით, ნებისმიერი რიგის სიმეტრიული მატრიცისთვის, უცნობებში შეიძლება მიეთითოს კარგად განსაზღვრული კვადრატული ფორმა (5), რომელსაც აქვს კოეფიციენტებით A მატრიცის ელემენტები.
კვადრატული ფორმა (5) შეიძლება დაიწეროს სხვა ფორმით, მართკუთხა მატრიცების გამრავლების გამოყენებით. პირველ რიგში მოდით შევთანხმდეთ შემდეგ ნოტაციაზე: თუ მოცემულია A კვადრატი ან ზოგადად მართკუთხა მატრიცა, მაშინ მეშვეობით აღინიშნება A მატრიციდან მიღებული მატრიცა გადაადგილებით თუ A და B მატრიკები ისეთია, რომ მათი პროდუქტი განისაზღვრება, მაშინ თანასწორობა ხდება:
იმ პროდუქტის ტრანსპოზიციით მიღებული მატრიცა ტოლია მატრიცების პროდუქტისა, რომელიც მიიღება ფაქტორების ტრანსპოზიციით, უფრო მეტიც, აღებულია საპირისპირო რიგით.
მართლაც, თუ AB პროდუქტი განისაზღვრება, განისაზღვრება რამდენად ადვილია მისი შემოწმება და პროდუქტი: მატრიცის სვეტების რაოდენობა ტოლია მატრიცის მწკრივების რაოდენობისა. მისი რიგისა და m სვეტის მატრიცის ელემენტი მდებარეობს AB რიგის რიგში და რიგის m და სვეტში. ამიტომ, ის ტოლია A მატრიცის I რიგისა და B მატრიცის მე –6 სვეტის შესაბამისი ელემენტების პროდუქტების ჯამს, ე.ი. არის მატრიცის მე –6 სვეტისა და მატრიცის მე –5 მწკრივის შესაბამისი ელემენტების პროდუქტების ჯამი. ეს ადასტურებს თანასწორობას (6).
გაითვალისწინეთ, რომ A მატრიცა იქნება სიმეტრიული, თუ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის ემთხვევა მის ტრანსპოზიციას, ე.ი. თუ
მოდით ახლა აღვნიშნოთ სვეტით, რომელიც შედგება უცნობებისგან.
არის მატრიცა, რომელსაც აქვს მწკრივები და ერთი სვეტი. ამ მატრიცის ტრანსპოზიციით მივიღებთ მატრიცას
ერთი ხაზისგან შედგება.
კვადრატული ფორმა (5) მატრიზით ახლა შეიძლება დაიწეროს შემდეგ პროდუქტად:
მართლაც, პროდუქტი იქნება ერთსვეტიანი მატრიცა:
ამ მატრიცის მარცხნივ მატრიცის გამრავლებით მივიღებთ "მატრიცას", რომელიც შედგება ერთი რიგისა და ერთი სვეტისგან, კერძოდ, თანასწორობის მარჯვენა მხრიდან (5).
რა ემართება კვადრატულ ფორმას, თუ მასში შეტანილი უცნობები განიცდიან ხაზოვან გარდაქმნას
აქედან გამომდინარე, (6)
(9) და (10) ჩანაცვლების ფორმის ჩანაწერში (7) ვიღებთ:
მატრიცა В იქნება სიმეტრიული, რადგან თანასწორობის თვალსაზრისით (6), რომელიც მოქმედებს, ცხადია, ნებისმიერი რაოდენობის ფაქტორისთვის და მატრიცის სიმეტრიის ტოლფასია, ჩვენ გვაქვს:
ამრიგად, დამტკიცებულია შემდეგი თეორემა:
უცნობების კვადრატული ფორმა, რომელსაც აქვს მატრიცა, უცნობების წრფივი ტრანსფორმაციის მატრიცის შემდეგ, იქცევა ახალი უცნობების კვადრატულ ფორმაში და პროდუქტი ემსახურება ამ ფორმის მატრიცას.
დავუშვათ ახლა, რომ ჩვენ ვაწარმოებთ არა დეგენერატულ ხაზოვან გარდაქმნას, ე.ი. , და ამიტომ ასევე არის არაგენერაციული მატრიცა. პროდუქტი მიიღება ამ შემთხვევაში მატრიცის არადეგენერაციული მატრიცების გამრავლებით და, შესაბამისად, ამ პროდუქტის წოდება ტოლია მატრიცის წოდების. ამრიგად, კვადრატული ფორმის წოდება არ იცვლება არასასურველი ხაზოვანი გარდაქმნის განხორციელებისას.
ახლა განვიხილოთ ამ განყოფილების დასაწყისში მითითებული მეორე რიგის ცენტრალური მრუდის განტოლების კანონიკური ფორმის (3) შემცირების გეომეტრიული პრობლემის ანალოგიური საკითხი, რომ შემცირდეს თვითნებური კვადრატული ფორმა ზოგიერთი არაგენერალური ხაზოვანი ტრანსფორმაციით უცნობი კვადრატების ჯამის სახით, ანუ ასეთ ფორმას, როდესაც სხვადასხვა უცნობი პროდუქტის ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია; კვადრატული ფორმის ამ განსაკუთრებულ სახეობას კანონიკურს უწოდებენ. პირველ რიგში, ჩავთვალოთ, რომ კვადრატული ფორმა უცნობებში უკვე შემცირებულია არაწრფივი ხაზოვანი გარდაქმნით კანონიკურ ფორმაში
სად არის ახალი უცნობი. ზოგიერთი კოეფიციენტი შეიძლება. რა თქმა უნდა, იყავით ნულები. მოდით დავადასტუროთ, რომ არაოფიციტური კოეფიციენტების რაოდენობა (11) –ში ნამდვილად ტოლია ფორმის წოდებას.
მართლაც, ვინაიდან (11) მივედით არა დეგენერაციული გარდაქმნის გამოყენებით, თანასწორობის მარჯვენა მხარეს (11) კვადრატული ფორმაც უნდა იყოს რანგის.
ამასთან, ამ კვადრატული ფორმის მატრიცას აქვს დიაგონალური ფორმა
და მოთხოვნა, რომ ამ მატრიცას აქვს წოდება, ექვივალენტურია მოსაზრებისა, რომ მის მთავარ დიაგონალზე ზუსტად არაზულოვანი ელემენტებია.
ჩვენ მივდივართ შემდეგი ძირითადი თეორემის დამტკიცებაზე კვადრატულ ფორმებზე.
ნებისმიერი კვადრატული ფორმა შეიძლება შემცირდეს კანონიკური ფორმით რაიმე არასასურველი ხაზოვანი ტრანსფორმაციით. თუ ამ შემთხვევაში განიხილება რეალური კვადრატული ფორმა, მაშინ მითითებული წრფივი ტრანსფორმაციის ყველა კოეფიციენტი შეიძლება ჩაითვალოს რეალობად.
ეს თეორემა მართებულია კვადრატული ფორმების შემთხვევაში ერთ უცნობში, ვინაიდან ნებისმიერ ასეთ ფორმას აქვს კანონიკური ფორმა. აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია დავადასტუროთ უცნობი რაოდენობის ინდუქციური გზით, ე.ი. დაამტკიცეთ კვადრატული ფორმების თეორემა n უცნობში, იმის გათვალისწინებით, რომ ეს უკვე დადასტურებულია ნაკლები უცნობი ფორმებისათვის.
კვადრატული ფორმა ცარიელია
n უცნობიდან. ჩვენ შევეცდებით აღმოვაჩინოთ არა დეგენერატული წრფივი ტრანსფორმაცია, რომელიც გამოყოფს მოედნიდან ერთ უცნობს, ე.ი. გამოიწვევს ამ კვადრატის ჯამის ფორმას და დარჩენილი უცნობი რაღაც კვადრატული ფორმას. ეს მიზანი მარტივად მიიღწევა, თუ მატრიცაში კოეფიციენტთა შორის მთავარ დიაგონალზე ფორმები არა ნულოვანია, ე.ი. თუ (12) შეიცავს მინიმუმ ერთის უცნობი კვადრატს არა ნულოვანი კოეფიციენტებით
მოდით, მაგალითად. მაშინ, როგორც ადვილი შესამოწმებელია, გამოხატვა, რომელიც კვადრატული ფორმაა, შეიცავს იგივე ტერმინებს უცნობთან, როგორც ჩვენი ფორმა და, შესაბამისად, განსხვავება
იქნება კვადრატული ფორმა, რომელიც შეიცავს მხოლოდ უცნობებს, მაგრამ არა. აქედან
თუ ნოტაციას შემოვიტანთ
ვიღებთ
სადაც ახლა იქნება უცნობი კვადრატული ფორმა. გამოხატვა (14) არის ფორმის სასურველი გამოხატულება, ვინაიდან იგი მიიღება (12) –ისგან არაგენერაციული ხაზოვანი ტრანსფორმაციით, კერძოდ, ხაზოვანი გარდაქმნის ინვერსიული გარდაქმნიდან (13), რომელსაც აქვს თავისი განმსაზღვრელი და, შესაბამისად, არ არის გადაგვარებული.
თუ არსებობს ტოლობები, პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეასრულოთ დამხმარე წრფივი ტრანსფორმაცია, რაც ჩვენს ფორმაში უცნობი კვადრატების გამოჩენას იწვევს. ვინაიდან ამ ფორმის ჩანაწერში (12) კოეფიციენტებს შორის უნდა იყოს ნულოვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ვერაფერი დაადასტურებს, მოდით, მაგალითად, ე.ი. არის წევრისა და წევრების ჯამი, რომელთაგან თითოეული მოიცავს თუნდაც ერთ უცნობს.
მოდით ახლა შევასრულოთ წრფივი ტრანსფორმაცია
ეს იქნება არა დეგენერატი, რადგან მას აქვს განმსაზღვრელი
ამ გარდაქმნის შედეგად, ჩვენი ფორმის წევრი მიიღებს ფორმას
იმ სახით, არა ნულოვანი კოეფიციენტებით, ერთდროულად გამოჩნდება ორი უცნობი კვადრატი და მათ არ შეუძლიათ გაუქმება რომელიმე სხვა ტერმინებით, რადგან ყოველი მათგანი მოიცავს მინიმუმ ერთ უცნობს; ახლა უკვე ზემოთ განხილული საქმის პირობებში ვართ იმ კიდევ ერთი არასასურველი ხაზოვანი ტრანსფორმაციით, ჩვენ შეგვიძლია ფორმა მივიტანოთ ფორმამდე (14).
მტკიცებულების დასასრულებლად, უნდა აღვნიშნოთ, რომ კვადრატული ფორმა დამოკიდებულია უცნობების რაოდენობაზე ნაკლები და, შესაბამისად, ინდუქციური ჰიპოთეზის მიხედვით, იგი შემცირდება კანონიკურ ფორმაზე უცნობების ზოგიერთი არაგენერაციული გარდაქმნის შედეგად. ამ გარდაქმნას, რომელიც განიხილება, როგორც (არა დეგენერატი, როგორც ადვილი მისახვედრია) ყველა უცნობი გარდაქმნა, რომელშიც ის უცვლელი რჩება, იწვევს (14) კანონიკურ ფორმას. ამრიგად, კვადრატული ფორმა ორი ან სამი არა დეგენერაციული ხაზოვანი გარდაქმნით, რომელთა ჩანაცვლება შესაძლებელია ერთი არადეგენერაციული ტრანსფორმაციით - მათი პროდუქტით, მცირდება უცნობი კვადრატების ჯამის ფორმაზე გარკვეული კოეფიციენტებით. ამ კვადრატების რაოდენობა ტოლია, როგორც ვიცით, ფორმის წოდებას. თუ უფრო მეტიც, კვადრატული ფორმა რეალურია, მაშინ კოეფიციენტები, როგორც ფორმის კანონიკურ ფორმაში და ამ ფორმაში მყოფი წრფივი ტრანსფორმაციისას, რეალური იქნება; სინამდვილეში, ინვერსიული ხაზოვანი ტრანსფორმაციის (13) და ხაზოვანი ტრანსფორმაციის (15) რეალური კოეფიციენტებია.
მთავარი თეორემის მტკიცებულება დასრულებულია. ამ მტკიცებულებაში გამოყენებული მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტულ მაგალითებში, რათა რეალურად შემცირდეს კვადრატული ფორმა კანონიკურ ფორმაზე. საჭიროა მხოლოდ ინდუქციის ნაცვლად, რომელიც გამოსაყენებლად გამოვიყენეთ, უცნობი კვადრატების თანმიმდევრული გამოყოფა ზემოთ მოცემული მეთოდის გამოყენებით.
მაგალითი 1. შემცირება კანონიკურ ფორმაზე კვადრატული ფორმა
მას შემდეგ, რაც ამ ფორმაში უცნობი კვადრატები არ არის, ჩვენ პირველად ვაწარმოებთ არაგენერალურ ხაზოვან გარდაქმნას
მატრიცით
რის შემდეგაც მივიღებთ:
ახლა კოეფიციენტები ნულოვანია და, შესაბამისად, ჩვენი ფორმიდან შეგვიძლია შევარჩიოთ ერთი უცნობი კვადრატი. ვთქვათ
იმ ხაზოვანი გარდაქმნის შესრულება, რომლისთვისაც ინვერსიას ექნება მატრიცა
გონებაში მოვიყვანთ
ჯერჯერობით მხოლოდ უცნობი კვადრატი გამოირჩეოდა, ვინაიდან ფორმა კვლავ შეიცავს კიდევ ორი \u200b\u200bუცნობის პროდუქტს. გამოიყენეთ კოეფიციენტის ნულოვანთან უტოლობა, ჩვენ კიდევ ერთხელ გამოვიყენებთ ზემოთ მოცემულ მეთოდს. ხაზოვანი ტრანსფორმაციის განხორციელება
რომლისთვისაც ინვერსიას აქვს მატრიცა
ჩვენ საბოლოოდ მივიტანთ ფორმას კანონიკურ ფორმაში
წრფივი გარდაქმნა, რომელსაც (16) უშუალოდ ფორმაში მოაქვს (17), მატრიცად ექნება პროდუქტი
ასევე შესაძლებელია პირდაპირი ჩანაცვლებით დავადგინოთ, რომ არასასურველი (რადგან განმსაზღვრელი ტოლია) ხაზოვანი ტრანსფორმაცია
(16) იქცევა (17).
კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმაზე შემცირების თეორია აგებულია მეორე რიგის ცენტრალური მრუდების გეომეტრიული თეორიის ანალოგიით, მაგრამ არ შეიძლება ჩაითვალოს ამ უკანასკნელი თეორიის განზოგადება. მართლაც, ჩვენს თეორიაში ნებადართულია ნებისმიერი არადეგენერაციული ხაზოვანი გარდაქმნების გამოყენება, ხოლო მეორე რიგის მრუდის შემცირება კანონიკურ ფორმაზე მიიღწევა ძალიან განსაკუთრებული ფორმის ხაზოვანი გარდაქმნების გამოყენებით,
რომლებიც თვითმფრინავის ბრუნვაა. ამ გეომეტრიული თეორიის განზოგადება შესაძლებელია კვადრატული ფორმების შემთხვევაში უცნობი ფაქტორებით რეალური კოეფიციენტებით. ქვემოთ მოცემულია მოცემული განზოგადების ანგარიში, რომელსაც ეწოდება კვადრატული ფორმების შემცირება მთავარ ღერძებზე.
კვადრატული ფორმის შემცირება კანონიკურ ფორმაზე.
კვადრატული ფორმის კანონიკური და ნორმალური ფორმები.
ცვლადების ხაზოვანი გარდაქმნები.
კვადრატული ფორმის კონცეფცია.
კვადრატული ფორმები.
განმარტება: ამ ცვლადების მიმართ მეორე ხარისხის ჰომოგენური მრავალკუთხედი ცვლადებში ეწოდება კვადრატულ ფორმას.
ცვლადები შეიძლება ჩაითვალოს A წერტილის აფინის კოორდინატად A n არითმეტიკულ სივრცეში ან n n- განზომილებიანი სივრცის ვექტორის კოორდინატებად. ცვლადებში აღვნიშნავთ კვადრატულ ფორმას, როგორც.
მაგალითი 1:
თუ მსგავსი ტერმინები უკვე შემცირდა კვადრატული ფორმით, მაშინ აღნიშნულია კოეფიციენტები at და () - ზე. ამრიგად, ითვლება, რომ. კვადრატული ფორმა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
მაგალითი 2:
სისტემის მატრიცა (1):
- დაუძახა კვადრატული ფორმის მატრიცა.
მაგალითი: კვადრატული ფორმების მატრიცა 1 მაგალითში არის:
კვადრატული მატრიცა მაგალითი 2:
ცვლადების ხაზოვანი გარდაქმნა ცვლადების სისტემიდან ცვლადების სისტემაში ასეთ გადასვლას ეწოდება, რომელშიც ძველი ცვლადები ახლის საშუალებით გამოიხატება ფორმების გამოყენებით:
სადაც კოეფიციენტები წარმოქმნიან არადეგენერატულ მატრიცას.
თუ ცვლადები განიხილება როგორც ვექტორის კოორდინატები ევკლიდურ სივრცეში გარკვეული საფუძვლის მიმართ, მაშინ ხაზოვანი ტრანსფორმაცია (2) შეიძლება ჩაითვალოს ამ სივრცეში გადასვლის ახალ საფუძვლად, რომლის მიმართაც იგივე ვექტორს აქვს კოორდინატები.
შემდეგში, ჩვენ გავითვალისწინებთ კვადრატულ ფორმებს მხოლოდ რეალური კოეფიციენტებით. ჩავთვლით, რომ ცვლადები იღებენ მხოლოდ რეალურ მნიშვნელობებს. თუ კვადრატული ფორმის (1) ცვლადები განიცდიან წრფივ ტრანსფორმაციას (2), მაშინ ახალ ცვლადებში ვიღებთ კვადრატულ ფორმას. შემდეგში ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ ტრანსფორმაციის შესაბამისი არჩევანით (2), კვადრატული ფორმა (1) შეიძლება შემცირდეს ფორმაზე, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ახალი ცვლადების კვადრატებს, ე.ი. ... ამგვარი კვადრატული ფორმა ეწოდება კანონიკური... ამ შემთხვევაში, კვადრატული მატრიცა დიაგონალურია:.
თუ ყველა კოეფიციენტს შეუძლია მხოლოდ ერთი მნიშვნელობის აღება: -1,0,1 შესაბამის ფორმას ეწოდება ნორმალური.
მაგალითი: მეორე რიგის ცენტრალური მრუდის განტოლება ახალ საკოორდინატო სისტემაზე გადასვლის გზით
შეიძლება შემცირდეს ფორმაში :, და კვადრატული ფორმა ამ შემთხვევაში მიიღებს ფორმას:
ლემა 1: თუ კვადრატული ფორმა(1) არ შეიცავს ცვლადების კვადრატებს, მაშინ წრფივი ტრანსფორმაციის გამოყენებით ის შეიძლება შემცირდეს ფორმაში, რომელიც შეიცავს მინიმუმ ერთი ცვლადის კვადრატს.
მტკიცებულება: პირობითად, კვადრატული ფორმა შეიცავს მხოლოდ ტერმინებს ცვლადების პროდუქტებთან. მოდით ეს იყოს ნულოვანი i და j- ს ნებისმიერი განსხვავებული მნიშვნელობისთვის, ე.ი. - ერთ – ერთი ასეთი ტერმინი, რომელიც შედის კვადრატულ ფორმაში. თუ თქვენ სწორხაზოვან გარდაქმნას ასრულებთ და ყველა დანარჩენს არ შეცვლით, ე.ი. (ამ გარდაქმნის განმსაზღვრელი არის ნულოვანი), მაშინ ცვლადების კვადრატებით ორი ტერმინიც კი გამოჩნდება კვადრატული ფორმით: ამ ტერმინების გაქრობა შეუძლებელია, როდესაც ასეთი ტერმინები შემცირდება, რადგან თითოეული დარჩენილი ტერმინი შეიცავს მინიმუმ ერთ ცვლადს, გარდა ან დან.
მაგალითი:
ლემა 2: თუ კვადრატული ფორმა (1) შეიცავს ჯამს ცვლადის კვადრატთან, მაგალითად, მინიმუმ კიდევ ერთი ტერმინი ცვლადით , შემდეგ წრფივი ტრანსფორმაციის გამოყენებით, ვ შესაძლებელია ცვლადიდან ფორმად გადაკეთება , ფორმის მქონე: (2), სად გ - კვადრატული ფორმა, რომელიც არ შეიცავს ცვლადს .
მტკიცებულება: კვადრატული ფორმით გამოვყოთ (1) ტერმინების ჯამი, რომელიც შეიცავს: (3) აქ g 1-ით ყველა ტერმინის ჯამი, რომელიც არ შეიცავს.
ჩვენ აღვნიშნავთ
(4), სადაც აღნიშნულია ყველა ტერმინის ჯამი, რომელიც არ შეიცავს.
(4) -ის ორივე მხარეს ვყოფთ და შედეგად თანასწორობას გამოვაკლებთ (3) -ს, მსგავსი შემცირების შემდეგ გვექნება:
მარჯვენა მხარეს გამოხატვა არ შეიცავს ცვლადს და არის კვადრატული ფორმა ცვლადებში. მოდით აღვნიშნოთ ეს გამოთქმა g- ის საშუალებით, ხოლო კოეფიციენტი მეშვეობით და შემდეგ f ტოლი იქნება:. თუ ჩვენ შევასრულებთ წრფივ ტრანსფორმაციას:, რომლის განმსაზღვრელი არა ნულოვანია, მაშინ g იქნება კვადრატული ფორმა ცვლადებში, ხოლო კვადრატული ფორმა f შემცირდება ფორმამდე (2). ლემა დადასტურებულია.
თეორემა: ნებისმიერი კვადრატული ფორმა შეიძლება გარდაიქმნას კანონიკურ ფორმაში ცვლადი გარდაქმნების გამოყენებით.
მტკიცებულება: ჩვენ ვიყენებთ ინდუქციას ცვლადების რაოდენობაზე. კვადრატული ფორმაა :, რაც უკვე კანონიკურია. დავუშვათ, რომ თეორემა მართებულია კვადრატული ფორმისთვის n-1 ცვლადებში და დაამტკიცეთ, რომ მართებულია კვადრატული ფორმისთვის n ცვლადებში.
თუ f არ შეიცავს ცვლადების კვადრატებს, მაშინ Lemma 1-ის საშუალებით იგი შეიძლება შემცირდეს ფორმაში, რომელიც შეიცავს მინიმუმ ერთი ცვლადის კვადრატს; რადგან კვადრატული ფორმა დამოკიდებულია n-1 ცვლადებზე, შემდეგ ინდუქციური ვარაუდის მიხედვით იგი შეიძლება შემცირდეს კანონიკურ ფორმაზე ამ ცვლადების ხაზოვანი გარდაქმნის ცვლადებზე, თუ ამ გადასვლის ფორმულებს დავამატებთ ფორმულას, მივიღებთ ხაზოვან გარდაქმნას ფორმულას, რაც კანონიკურს მივყავართ ქმნიან კვადრატულ ფორმას, რომელიც შეიცავს თანასწორობას (2). ცვლადების ყველა განხილული გარდაქმნის შემადგენლობა არის სასურველი წრფივი გარდაქმნა, რასაც კვადრატული ფორმის კანონიკური ფორმა მივყავართ (1).
თუ კვადრატული ფორმა (1) შეიცავს რომელიღაც ცვლადის კვადრატს, მაშინ ლემა 1-ს გამოყენებას არ საჭიროებს. ზემოხსენებულ მეთოდს ეწოდება ლაგრანგის მეთოდი.
კანონიკური ფორმიდან, სად შეგიძლიათ გადადით ნორმალურ ფორმაში, სად, თუ და, თუ გარდაქმნის გამოყენებით:
მაგალითი: კვადრატული ფორმა კანონიკურ ფორმაში მიიტანეთ ლაგრანგის მეთოდით:
რადგან კვადრატული ფორმა f უკვე შეიცავს ზოგიერთი ცვლადის კვადრატს, მაშინ ლემა 1-ს გამოყენებას არ საჭიროებს.
აირჩიეთ წევრები, რომლებიც შეიცავს:
3. სწორხაზოვანი გარდაქმნის მისაღებად, რომელიც უშუალოდ ამცირებს f ფორმას (4), ჩვენ ჯერ აღმოვაჩენთ გარდაქმნებს (2) და (3) საპირისპირო გარდაქმნებს.
ახლა, ამ გარდაქმნების გამოყენებით, მოდით ავაშენოთ მათი შემადგენლობა:
თუ მიღებულ მნიშვნელობებს (5) ჩავანაცვლებთ (1) -ში, მაშინვე მივიღებთ კვადრატული ფორმის წარმოდგენას სახით (4).
კანონიკური ფორმიდან (4) ტრანსფორმაციით
შეგიძლიათ გადადით ნორმალურ ხედზე:
ხაზოვანი ტრანსფორმაცია, რომელსაც კვადრატული ფორმა (1) ნორმალურ ფორმაში მოაქვს, გამოხატულია ფორმულებით:
ბიბლიოგრაფია:
1. ვოევოდინი ვ.ვ. ხაზოვანი ალგებრა. სანქტ-პეტერბურგი: ლანი, 2008, 416 გვ.
2. ბეკლემიშევი DV ანალიტიკური გეომეტრიისა და ხაზოვანი ალგებრის კურსი. მოსკოვი: ფიზმატლიტი, 2006, 304 გვ.
3. კოსტრიკინი ა.ი. შესავალი ალგებრაში. ნაწილი II. ალგებრის საფუძვლები: სახელმძღვანელო უნივერსიტეტებისთვის, -მ. : ფიზიკურ-მათემატიკური ლიტერატურა, 2000, 368 გვ.
ლექციის ნომერი 26 (II სემესტრი)
Თემა: ინერციის კანონი. პოზიტიური განსაზღვრული ფორმები.
განმარტება 10.4.კანონიკური ხედი კვადრატული ფორმა (10.1) ეწოდება შემდეგ ფორმას:. (10.4)
მოდით დავანახოთ, რომ თავისებური ვექტორების საფუძველზე, კვადრატული ფორმა (10.1) იღებს კანონიკურ ფორმას. დაე
- ნორმალიზებული ეიგენქტორები, რომლებიც შეესაბამება საკუთარი მნიშვნელობებს λ 1, λ 2, λ 3 მატრიცა (10.3) ორთონორმალურ საფუძველზე. მაშინ ძველი საფუძვლიდან ახალზე გადასვლის მატრიცა იქნება მატრიცა
... ახალ საფუძველზე, მატრიცა და იღებს დიაგონალურ ფორმას (9.7) (ეგვიპტორების თვისებით). ამრიგად, კოორდინატების გარდაქმნა ფორმულების გამოყენებით:
,
ჩვენ მივიღებთ ახალ საფუძველზე კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმას, რომლის კოეფიციენტებია საკუთარი მნიშვნელობების ტოლი λ 1, λ 2, λ 3:
შენიშვნა 1. გეომეტრიული თვალსაზრისით, კოორდინატების გათვალისწინებული გარდაქმნა წარმოადგენს კოორდინატების სისტემის ბრუნვას, რომელიც ძველ კოორდინატთა ღერძებს უთანაბრდება ახლებს.
შენიშვნა 2. თუ მატრიცის რომელიმე განსაკუთრებული მნიშვნელობები (10.3) ემთხვევა, შესაბამის ორთონორმალურ ეიგენექტორებს შეგიძლიათ თითოეულ მათგანს დაამატოთ ერთეული ვექტორი ორთოგონალური, და ამრიგად ავაშენოთ საფუძველი, რომელშიც კვადრატული ფორმა კანონიკურ ფორმას მიიღებს.
ჩვენ მივიღებთ კანონიკურ ფორმას კვადრატულ ფორმას
x² + 5 y² + ზ² + 2 xy + 6xz + 2yz.
მეტრიქს აქვს ფორმა
მოდით შევადგინოთ ამ ვექტორების ბაზაზე გადასვლის მატრიცა:
(ვექტორების რიგი შეიცვალა ისე, რომ ისინი ქმნიან სწორ სამჯერ). ჩვენ კოორდინატებს გარდაქმნით ფორმულების გამოყენებით:
.
ასე რომ, კვადრატული ფორმა შემცირდება კანონიკურ ფორმამდე, ხოლო კოეფიციენტები ტოლია კვადრატული ფორმის მატრიცის განსაკუთრებული მნიშვნელობებისა.
ლექცია 11.
მეორე რიგის მოსახვევები. ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა, მათი თვისებები და კანონიკური განტოლებები. მეორე რიგის განტოლების შემცირება კანონიკურ ფორმაზე.
განმარტება 11.1.მეორე რიგის მოსახვევები სიბრტყეზე არის წრიული კონუსის გადაკვეთის ხაზები თვითმფრინავებთან, რომლებიც არ გადიან მის წვერზე.
თუ ასეთი თვითმფრინავი კვეთს კონუსის ერთი ღრუს ყველა გენერატორს, მაშინ მონაკვეთში აღმოჩნდება ელიფსი, ორივე ღრუების გენერატორების გადაკვეთაზე - ჰიპერბოლა, და თუ სეკანტ სიბრტყე პარალელურია ნებისმიერი გენერატორისა, მაშინ კონუსის მონაკვეთია პარაბოლა.
კომენტარი მეორე რიგის ყველა მოსახვევში მოცემულია მეორე ხარისხის განტოლებები ორ ცვლადში.
ელიფსი.
განმარტება 11.2.ელიფსი ეწოდება თვითმფრინავის წერტილების ერთობლიობას, რომლისთვისაც მანძილების ჯამი ორ ფიქსირებულ წერტილამდე ვ 1 და ვ ხრიკები, არსებობს მუდმივი მნიშვნელობა.
კომენტარი როდესაც წერტილები ემთხვევა ერთმანეთს ვ 1 და ვ 2 ელიფსი წრედ იქცევა.
ჩვენ ვიღებთ ელიფსის განტოლებას, ვირჩევთ კარტეზიანულ სისტემას
y M (x, y) კოორდინატებს ისე, რომ ღერძი ოჰდაემთხვა სწორ ხაზს ვ 1 ვ 2, დაწყება
r 1 r 2 კოორდინატები - სეგმენტის შუა ნაწილთან ვ 1 ვ 2 მოდით ამის სიგრძე
სეგმენტი უდრის 2-ს დან, შემდეგ შერჩეულ კოორდინატთა სისტემაში
F 1 O F 2 x ვ 1 (-გ, 0), ვ 2 (გ, 0). მოდით წერტილი M (x, y) დევს ელიფსზე და
მანძილის ჯამი იქიდან ვ 1 და ვ 2 უდრის 2-ს და.
შემდეგ რ 1 + რ 2 = 2ამაგრამ,
ამიტომ, ნოტაციის შემოღება ბ² = ა²- გSimple და მარტივი ალგებრული გარდაქმნების განხორციელებით, ვიღებთ კანონიკური ელიფსის განტოლება: (11.1)
განმარტება 11.3.ექსცენტრიულობა ელიფსს მნიშვნელობა ეწოდება e \u003d s / a (11.2)
განმარტება 11.4.ხელმძღვანელი დ იელიფსის შესაბამისი ფოკუსირება F მე F მე ღერძის შესახებ OUღერძის პერპენდიკულარული ოჰმანძილზე ა / ე წარმოშობიდან.
კომენტარი კოორდინატების სისტემის განსხვავებული არჩევანის შემთხვევაში, ელიფსის დაზუსტება შესაძლებელია არა კანონიკური განტოლებით (11.1), არამედ სხვა სახის მეორე ხარისხის განტოლებით.
ელიფსის თვისებები:
1) ელიფსს აქვს ორი სიმეტრიის ურთიერთპერპენდიკულარული ღერძი (ელიფსის ძირითადი ღერძი) და სიმეტრიის ცენტრი (ელიფსის ცენტრი). თუ ელიფსს აძლევს კანონიკური განტოლება, მაშინ მისი ძირითადი ღერძებია საკოორდინატო ღერძი, ხოლო მისი ცენტრი წარმოშობაა. ვინაიდან ელიფსის მთავარ ღერძებთან კვეთის შედეგად წარმოქმნილი სეგმენტების სიგრძეა 2 დადა 2 ბ (2ა>2ბ), მაშინ კერაში გავლის მთავარ ღერძს ელიფსის ძირითადი ღერძი ეწოდება, ხოლო მეორე მთავარ ღერძს - უმნიშვნელო ღერძი.
2) მთელი ელიფსი შეიცავს მართკუთხედს
3) ელიფსის ექსცენტრიულობა ე< 1.
ნამდვილად, 
4) ელიფსის დირიდრიქსი მდებარეობს ელიფსის გარეთ (ვინაიდან მანძილი ელიფსის ცენტრიდან პირდაპირი მიმართულებამდე არის ა / ედა ე<1, следовательно, ა / ე\u003e ადა მთელი ელიფსი სწორკუთხედშია)
5) მანძილის კოეფიციენტი მე ელიფსის წერტილიდან ფოკუსირება F მე დაშორება დ ი ამ წერტილიდან ფოკუსის შესაბამისი დირიტრიქსამდე უდრის ელიფსის ექსცენტრიულობას.
მტკიცებულებები.
მანძილი წერტილიდან M (x, y) სანამ ელიფსის ფოკუსები წარმოდგენილი იქნება შემდეგნაირად:
მოდით შევადგინოთ Directrix განტოლებები:
(დ 1), (დ 2) შემდეგ 
აქედან რ ი / დ ი \u003d ეროგორც საჭიროა ამის დასამტკიცებლად.
ჰიპერბოლა.
განმარტება 11.5.ჰიპერბოლა არის სიბრტყის წერტილების ერთობლიობა, რომელთათვისაც მანძილს შორის სხვაობის მოდულია ორ ფიქსირებულ წერტილამდე ვ 1 და ვ ამ თვითმფრინავის 2, ე.წ. ხრიკები, არსებობს მუდმივი მნიშვნელობა.
ავიღოთ კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლება ელიფსის განტოლების დერივაციის ანალოგიით, იგივე აღნიშვნის გამოყენებით.
|რ 1 - რ 2 | \u003d2ა, საიდანაც თუ აღვნიშნავთ ბ² = გ² - ა, აქედან შეგიძლიათ მიიღოთ
- კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლება. (11.3)
განმარტება 11.6.ექსცენტრიულობა ჰიპერბოლას მნიშვნელობა ეწოდება e \u003d s / a.
განმარტება 11.7.ხელმძღვანელი დ ი ფოკუსირება ჰიპერბოლა F მე, ეწოდება სწორ ხაზს, რომელიც მდებარეობს ერთ ნახევარ სიბრტყეში F მეღერძის შესახებ OUღერძის პერპენდიკულარული ოჰ მანძილზე ა / ე წარმოშობიდან.
ჰიპერბოლას თვისებები:
1) ჰიპერბოლას აქვს სიმეტრიის ორი ღერძი (ჰიპერბოლის ძირითადი ღერძი) და სიმეტრიის ცენტრი (ჰიპერბოლას ცენტრი). უფრო მეტიც, ერთ-ერთი ასეთი ღერძი კვეთს ჰიპერბოლას ორ წერტილზე, რომელსაც ჰიპერბოლას ვერტიკებს უწოდებენ. მას ჰიპერბოლას (ღერძი) რეალურ ღერძს უწოდებენ ოჰკოორდინატების სისტემის კანონიკური არჩევანისთვის). სხვა ღერძს საერთო წერტილი არ აქვს ჰიპერბოლასთან და ეწოდება მისი წარმოსახვითი ღერძი (კანონიკურ კოორდინატებში, ღერძი OU) მის ორივე მხარეს ჰიპერბოლას მარჯვენა და მარცხენა ტოტებია. ჰიპერბოლას კერები განლაგებულია მის რეალურ ღერძზე.
2) ჰიპერბოლის ტოტებს აქვთ ორი ასიმპტოტი, რომლებიც განისაზღვრება განტოლებებით
3) ჰიპერბოლასთან ერთად (11.3) შეიძლება განვიხილოთ კანონიკური განტოლებით განსაზღვრული ე.წ. კონიუგირებული ჰიპერბოლა
რისთვისაც ნამდვილი და წარმოსახვითი ღერძი ერთმანეთთან შეცვლილია, იგივე ასიმპტოტების შენარჩუნებით.
4) ჰიპერბოლას ექსცენტრიულობა ე> 1.
5) მანძილის კოეფიციენტი მეჰიპერბოლას წერტილიდან ფოკუსირება F მე დაშორება დ ი ამ წერტილიდან ფოკუსის შესაბამისი დირიტრიქსამდე უდრის ჰიპერბოლას ექსცენტრიკას.
მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს ისევე, როგორც ელიფსისთვის.
პარაბოლა.
განმარტება 11.8.პარაბოლა ეწოდება სიბრტყის წერტილების ერთობლიობას, რომლის მანძილზე მანძილი გარკვეულ ფიქსირებულ წერტილამდეა ვეს სიბრტყე უდრის მანძილს ფიქსირებულ სწორ ხაზამდე. წერტილი ვ დაურეკა ფოკუსირება პარაბოლა და მისი სწორი ხაზია ხელმძღვანელი.
პარაბოლას განტოლების გამოსაყვანად ვირჩევთ კარტეზიანს
საკოორდინაციო სისტემა ისე, რომ მისი წარმოშობა შუა იყოს
D M (x, y) პერპენდიკულარული FDაქცენტი პირდაპირზე არ ხდება
r cy და კოორდინატთა ღერძი განლაგებული იყო პარალელურად და
პერპენდიკულარულია დირიტრიქსზე. მოდით სეგმენტის სიგრძე FD
D O F x უდრის რ... შემდეგ თანასწორობიდან r \u003d დ შემდეგს რომ
იმდენად, რამდენადაც
ალგებრული გარდაქმნებით, ეს განტოლება შეიძლება შემცირდეს ფორმამდე: y² \u003d 2 px, (11.4)
დაურეკა კანონიკური პარაბოლის განტოლება... Რაოდენობა რდაურეკა პარამეტრიპარაბოლა
პარაბოლას თვისებები:
1) პარაბოლას აქვს სიმეტრიის ღერძი (პარაბოლას ღერძი). პარაბოლას ღერძთან გადაკვეთის წერტილს ეწოდება პარაბოლას მწვერვალი. თუ პარაბოლა მოცემულია კანონიკური განტოლებით, მაშინ მისი ღერძია ღერძი ოჰ,და წვერი წარმოშობაა.
2) მთელი პარაბოლა განლაგებულია თვითმფრინავის მარჯვენა ნახევარ სიბრტყეში ოოჰ
კომენტარი Directrix ელიფსისა და ჰიპერბოლის თვისებების გამოყენებით და პარაბოლის განსაზღვრისას, ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ შემდეგი დებულება:
წერტილების ერთობლიობა სიბრტყეზე, რომლის თანაფარდობაცაა ემანძილი გარკვეულ ფიქსირებულ წერტილამდე მანძილამდე რაიმე სწორი ხაზამდე არის მუდმივი მნიშვნელობა, ეს არის ელიფსი ( ე<1), гиперболу (при ე\u003e 1) ან პარაბოლა (ამისთვის ე=1).
მსგავსი ინფორმაცია.
