მანძილი c წერტილიდან AB სწორ ხაზამდე. განსაზღვრავს მანძილს წერტილიდან სწორ ხაზამდე. ორი სწორი ხაზის ფარდობითი პოზიცია

ამ სტატიაში საუბარია ამ თემაზე « მანძილი წერტილიდან ხაზამდე », განიხილება მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე კოორდინატების მეთოდით ილუსტრირებული მაგალითებით. თეორიის თითოეულმა ბლოკმა აჩვენა მსგავსი პრობლემების გადაჭრის მაგალითები.

მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე გვხვდება წერტილიდან წერტილამდე მანძილის განსაზღვრის საშუალებით. მოდი უფრო დეტალურად განვიხილოთ.

მოდით იყოს წრფე a და წერტილი M 1, რომელიც არ ეკუთვნის მოცემულ სტრიქონს. მისი მეშვეობით დახაზეთ b ხაზი, რომელიც პერპენდიკულარულია a წრფეზე. ხაზების გადაკვეთის წერტილი მიიღება როგორც H 1. მივიღებთ რომ M 1 H 1 არის პერპენდიკულარული, რომელიც M 1 წერტილიდან A ხაზამდე დაიწია.

განმარტება 1

მანძილი М 1 წერტილიდან a ხაზამდე ეწოდება მანძილი M 1 და H 1 წერტილებს შორის.

არსებობს განმარტების ჩანაწერები პერპენდიკულარის სიგრძის ფიგურით.

განმარტება 2

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის მოცემული წერტილიდან მოცემული სწორი ხაზის პერპენდიკულარის სიგრძე.

განმარტებები ეკვივალენტურია. განვიხილოთ ქვემოთ მოცემული ფიგურა.

ცნობილია, რომ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე ყველაზე მცირეა ყველა შესაძლოზე. მოდით ვნახოთ მაგალითი.

თუ ავიღებთ a წერტილს, რომელიც მდებარეობს a სწორ წრფეზე, რომელიც არ ემთხვევა M 1 წერტილს, მაშინ მივიღებთ, რომ M 1 Q სეგმენტს ეწოდება დახრილი, M 1-დან a ხაზამდე. აუცილებელია აღინიშნოს, რომ М 1 წერტილიდან პერპენდიკულური ნაკლებია, ვიდრე ნებისმიერი სხვა დახრილი ხაზი წერტილიდან სწორი ხაზისკენ.

ამის დასადასტურებლად განვიხილოთ სამკუთხედი M 1 Q 1 H 1, სადაც M 1 Q 1 ჰიპოტენუზაა. ცნობილია, რომ მისი სიგრძე ყოველთვის უფრო მეტია, ვიდრე რომელიმე ფეხის სიგრძე. ჩვენ გვაქვს ეს M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

წერტილიდან სწორ ხაზამდე მოძიების საწყისი მონაცემები საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ამოხსნის რამდენიმე მეთოდი: პითაგორას თეორემის საშუალებით, სინუსის, კოსინუსის, კუთხის ტანგენტის განსაზღვრა და სხვა. ამ ტიპის უმეტეს დავალებებს წყვეტენ სკოლაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე.

როდესაც წერტილიდან სწორ ხაზამდე დაშორების აღმოჩენისას შეგიძლიათ მართკუთხა კოორდინატების სისტემა შეიტანოთ, მაშინ გამოიყენება კოორდინატების მეთოდი. ამ აბზაცში განვიხილავთ მოცემულ წერტილთან სასურველი მანძილის პოვნის ორ მთავარ მეთოდს.

პირველი მეთოდი გულისხმობს მანძილის პოვნას, როგორც M 1-დან a სწორხაზოვან ხაზამდე პერპენდიკულარულად. მეორე მეთოდით, a სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება გამოიყენება სასურველი მანძილის მოსაძებნად.

თუ თვითმფრინავში არის წერტილი კოორდინატებით M 1 (x 1, y 1), რომელიც მდებარეობს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში, სწორი ხაზი a, და თქვენ უნდა იპოვოთ მანძილი M 1 H 1, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ორი გზით. მოდით განვიხილოთ ისინი.

პირველი გზა

თუ H 1 წერტილის კოორდინატებია x 2, y 2 ტოლი, მაშინ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე გამოითვლება კოორდინატებით M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 კოორდინატებით.

ახლა გადავიდეთ H 1 წერტილის კოორდინატების მოძიებაზე.

ცნობილია, რომ O x y- ში სწორი ხაზი შეესაბამება სწორი ხაზის განტოლებას სიბრტყეზე. ავიღოთ სწორი სტრიქონის a განსაზღვრის მეთოდი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ან დახრილობით განტოლების დაწერის საშუალებით. ჩვენ ვადგენთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის a 1 მოცემული წრფის პერპენდიკულარულ M 1 წერტილში. სწორი ხაზი აღინიშნება წიფლით b. H 1 არის a და b წრფეების გადაკვეთის წერტილი, რაც ნიშნავს, რომ კოორდინატების დასადგენად უნდა გამოიყენოთ სტატია, რომელიც ეხება ორი ხაზის გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებს.

ჩანს, რომ მოცემული წერტილიდან M 1 (x 1, y 1) a წრფივი ხაზის დაშორების ალგორითმი ხორციელდება წერტილების მიხედვით:

განმარტება 3

• სწორი წრფის ზოგადი განტოლების პოვნა, რომელსაც აქვს ფორმა A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ან განტოლება დახრილობით, y \u003d k 1 x + b 1 ფორმის მქონე;
• სწორი წრფის ზოგადი განტოლების მიღება, რომელსაც აქვს ფორმა A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ან განტოლება y \u003d k 2 x + b 2 ფერდობთან, თუ სწორი ხაზი b კვეთს M 1 წერტილს და მოცემულია სწორი ხაზის a პერპენდიკულარული;
• x 1, y 2 წერტილის კოორდინატების განსაზღვრა, რომელიც არის a და b გადაკვეთის წერტილი, ამისათვის სისტემა ამოხსნილია ხაზოვანი განტოლებები A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ან y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• საჭირო მანძილის გაანგარიშება წერტილიდან სწორ ხაზამდე M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) ფორმულის გამოყენებით 2.

მეორე გზა

ამ თეორემას შეუძლია დაეხმაროს პასუხის გაცემაზე სიბრტყეზე მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე მანძილი.

თეორემა

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას აქვს O x y აქვს წერტილი M 1 (x 1, y 1), საიდანაც სწორი ხაზი აზიდულია სიბრტყეზე, მოცემულია თვითმფრინავის ნორმალური განტოლებით, რომელსაც აქვს ფორმა α α + კოს β y - p \u003d 0, ტოლი წრფის ნორმალური განტოლების მარცხენა მხარეს მიღებული მნიშვნელობის მოდულს, რომელიც გამოითვლება x \u003d x 1, y \u003d y 1, რაც ნიშნავს, რომ M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p.

მტკიცებულებები

A ხაზი შეესაბამება სიბრტყის ნორმალურ განტოლებას, რომელსაც აქვს ფორმა α α + კოს β y - p \u003d 0, მაშინ n → \u003d (cos α, cos β) ითვლება a წრფის ნორმალურ ვექტორად a საწყისი მანძილიდან a ხაზამდე და p ერთეულებით ... აუცილებელია ფიგურაში მოცემული ყველა მონაცემის ჩვენება, წერტილის დამატება კოორდინატებით M 1 (x 1, y 1), სადაც M 1 წერტილის რადიუსის ვექტორია - O M 1 → \u003d (x 1, y 1). აუცილებელია წრფივი წრფივი წერტილიდან სწორი ხაზის დახაზვა, რომელსაც აღვნიშნავთ M 1 H 1. საჭიროა აჩვენოთ М 2 და Н 2 წერტილების პროგნოზები М 1 და Н 2 წერტილებზე O წერტილზე გადასასვლელი O ხაზის მიმართულებით, n \u003d (cos α, cos β), ხოლო ვექტორის რიცხვითი პროექცია აღინიშნება OM 1 → \u003d (x 1, y 1) n → \u003d მიმართულებით (cos α, cos β) npn → OM 1 as.

ვარიაციები დამოკიდებულია თვით M 1 წერტილის ადგილმდებარეობაზე. განვიხილოთ ქვემოთ მოცემულ ფიგურაზე.

ჩვენ ვაფიქსირებთ შედეგებს ფორმულის გამოყენებით M 1 H 1 \u003d n p n → O M → 1 - p. შემდეგ ჩვენ შევამცირებთ თანასწორობას ამ ფორმაზე M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p, რათა მივიღოთ n p n → O M → 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1.

შედეგად, ვექტორების სკალარული პროდუქტი იძლევა ფორმა n →, OM → 1 \u003d n → npn → OM 1 → \u003d 1 npn → OM 1 → \u003d npn → OM 1 formula, რომელიც წარმოადგენს პროდუქტის ფორმის n →, OM კოორდინაციის ფორმას. 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ იმას, რომ n p n → O M 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1. აქედან გამომდინარეობს, რომ M 1 H 1 \u003d n p n → O M 1 → - p \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - გვ. დადასტურებულია თეორემა.

ჩვენ ვიღებთ მას, რომ ვიპოვოთ მანძილი M 1 წერტილიდან (x 1, y 1) თვითმფრინავის a სწორ ხაზამდე, თქვენ უნდა შეასრულოთ რამდენიმე მოქმედება:

განმარტება 4

• სწორი წრფის ნორმალური განტოლების მიღება cos α x + cos β y - p \u003d 0, იმ პირობით, რომ იგი არ არის ამოცანაში;
• გამოთვლა cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, სადაც მიღებულ მნიშვნელობას იღებს M 1 H 1.

მოდით, ეს მეთოდები გამოვიყენოთ პრობლემის გადასაჭრელად წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილი.

მაგალითი 1

იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან კოორდინატებით M 1 (- 1, 2) ხაზამდე 4 x - 3 y + 35 \u003d 0.

გადაწყვეტილება

გამოვიყენოთ პირველი მეთოდი გადასაჭრელად.

ამისათვის საჭიროა b სწორი წრფის ზოგადი განტოლების პოვნა, რომელიც გადის მოცემულ M 1 წერტილში (- 1, 2), წრფეზე 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. პირობიდან ჩანს, რომ b ხაზი პერპენდიკულარულია a წრფეზე, მაშინ მისი მიმართულების ვექტორს აქვს კოორდინატები (4, - 3) ტოლი. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა დავწეროთ b სწორი წრფის კანონიკური განტოლება სიბრტყეზე, ვინაიდან არსებობს კოორდინატები, რომ M 1 წერტილს ეკუთვნის b სტრიტს. განსაზღვრეთ b სწორი წრფის მიმართულების ვექტორის კოორდინატები. მივიღებთ x - (- 1) 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 \u003d y - 2 - 3. შედეგად მიღებული კანონიკური განტოლება უნდა გადაკეთდეს ზოგადზე. შემდეგ მივიღებთ იმას

x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) \u003d 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

მოდით ვიპოვოთ სწორი ხაზების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები, რომლებსაც მივიღებთ როგორც აღნიშვნას H 1. გარდაქმნები ასე გამოიყურება:

4 x - 3 y + 35 \u003d 0 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 y \u003d 5 x \u003d 3 4 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს, რომ H 1 წერტილის კოორდინატებია (- 5; 5).

საჭიროა გამოთვალოთ მანძილი M 1 წერტილიდან a ხაზამდე. ჩვენ გვაქვს M წერტილების კოორდინატები (1, 2) და H 1 (- 5, 5), შემდეგ ვცვლით მანძილის პოვნის ფორმულას და მივიღებთ ამას

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

მეორე გამოსავალი.

სხვა გზით გადასაჭრელად საჭიროა წრფის ნორმალური განტოლების მიღება. შეაფასეთ ნორმალიზების ფაქტორი და გამრავლეთ განტოლების 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. აქედან მივიღებთ, რომ ნორმალიზების კოეფიციენტია - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5, ხოლო ნორმალური განტოლება იქნება ფორმის - 1 5 4 x - 3 y + 35 \u003d - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 წ - 7 \u003d 0.

გაანგარიშების ალგორითმის მიხედვით, საჭიროა სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების მიღება და მისი გამოთვლა x \u003d - 1, y \u003d 2 მნიშვნელობებით. შემდეგ მივიღებთ იმას

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 \u003d - 5

ამრიგად, ჩვენ ვხვდებით, რომ მანძილი M 1 წერტილიდან (- 1, 2) მოცემულ სწორ ხაზამდე 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 აქვს მნიშვნელობა - 5 \u003d 5.

პასუხი: 5 .

ჩანს, რომ ამ მეთოდში მნიშვნელოვანია სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების გამოყენება, რადგან ეს მეთოდი უმოკლესია. მაგრამ პირველი მეთოდი მოსახერხებელია იმით, რომ ის თანმიმდევრული და ლოგიკურია, თუმცა მასში გაანგარიშების მეტი რაოდენობაა.

მაგალითი 2

სიბრტყეზე არის მართკუთხა კოორდინატების სისტემა O x y წერტილით M 1 (8, 0) და სწორი ხაზი y \u003d 1 2 x + 1. იპოვნეთ მანძილი მოცემული წერტილიდან სწორ ხაზამდე.

გადაწყვეტილება

ამოხსნა, პირველ რიგში, გულისხმობს მოცემული განტოლების დახრილობით ზოგად განტოლებამდე მიყვანას. სიმარტივისთვის, ამის გაკეთება სხვაგვარად შეგიძლიათ.

თუ პერპენდიკულარული ხაზების დახრილობის პროდუქტს აქვს მნიშვნელობა - 1, მაშინ მოცემული y \u003d 1 2 x + 1 -ზე პერპენდიკულარული ხაზის დახრა არის 2. ახლა მივიღებთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც წერტილში გადის კოორდინატებს M 1 (8, 0). ჩვენ გვაქვს y - 0 \u003d - 2 (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16.

ჩვენ მივმართავთ H 1 წერტილის კოორდინატების მოძიებას, ანუ გადაკვეთის წერტილებს y \u003d - 2 x + 16 და y \u003d 1 2 x + 1. ჩვენ ვადგენთ განტოლებების სისტემას და მივიღებთ:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ y \u003d 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

აქედან გამომდინარეობს, რომ მანძილი წერტილიდან კოორდინატებით M 1 (8, 0) სწორი ხაზით y \u003d 1 2 x + 1 უდრის დაშორებას საწყისი წერტილიდან და ბოლო წერტილიდან კოორდინატებით M 1 (8, 0) და H 1 (6, 4) ... ჩვენ გამოვთვლით და მივიღებთ, რომ M 1 H 1 \u003d 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5.

გამოსავალი მეორე გზით არის კოეფიციენტის განტოლებიდან ნორმალურ ფორმაში გადასვლა. ანუ, მივიღებთ y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, მაშინ ნორმალიზების კოეფიციენტის მნიშვნელობა იქნება - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5. აქედან გამომდინარეობს, რომ წრფის ნორმალური განტოლება იღებს ფორმას - 2 5 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. მოდით გავაკეთოთ გამოთვლა M 1 8, 0 წერტილიდან ფორმის სწორი ხაზისკენ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. მივიღებთ:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

პასუხი: 2 5 .

მაგალითი 3

საჭიროა გამოვთვალოთ მანძილი წერტილიდან კოორდინატებით M 1 (- 2, 4) სწორ ხაზებამდე 2 x - 3 \u003d 0 და y + 1 \u003d 0.

გადაწყვეტილება

მივიღებთ სწორი ხაზის ნორმალური ფორმის განტოლებას 2 x - 3 \u003d 0:

2 x - 3 \u003d 0 1 2 2 x - 3 \u003d 1 2 0 ⇔ x - 3 2 \u003d 0

შემდეგ ჩვენ ვაგრძელებთ დაშორებას M 1 - 2, 4 წერტილიდან სწორი ხაზის x - 3 2 \u003d 0-მდე. მივიღებთ:

M 1 H 1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2

Y + 1 \u003d 0 სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ნორმალიზაციის კოეფიციენტი -1. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება მიიღებს ფორმას - y - 1 \u003d 0. ჩვენ ვაგრძელებთ მანძილს M 1 წერტილიდან (- 2, 4) სწორ ხაზამდე - y - 1 \u003d 0. მივიღებთ რომ ის ტოლია - 4 - 1 \u003d 5.

პასუხი: 3 1 2 და 5.

დეტალურად განვიხილოთ სიბრტყის მოცემული წერტილიდან O x და O y კოორდინირებულ ღერძებამდე მანძილის აღმოჩენა.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში, O y ღერძს აქვს სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც არასრულია და აქვს x \u003d 0 ფორმა, და O x - y \u003d 0. განტოლებები ნორმალურია საკოორდინატო ღერძებისთვის, მაშინ უნდა იპოვოთ მანძილი წერტილიდან კოორდინატებით M 1 x 1, y 1 სწორ ხაზებთან. ეს კეთდება M 1 H 1 \u003d x 1 და M 1 H 1 \u003d y 1 ფორმულების საფუძველზე. განვიხილოთ ქვემოთ მოცემულ ფიგურაზე.

მაგალითი 4

იპოვნეთ მანძილი M 1 (6, - 7) წერტილიდან O x y სიბრტყეში მდებარე საკოორდინატო ხაზებამდე.

გადაწყვეტილება

მას შემდეგ, რაც განტოლება y \u003d 0 ეხება O ხაზის ხაზს, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ მანძილი M 1 მოცემული კოორდინატებით ამ სწორ ხაზამდე ფორმულის გამოყენებით. მივიღებთ რომ 6 \u003d 6.

მას შემდეგ, რაც განტოლება x \u003d 0 ეხება O წრფე ხაზს, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ მანძილი M 1 – დან ამ სწორ ხაზამდე ფორმულის გამოყენებით. შემდეგ მივიღებთ ამას - 7 \u003d 7.

პასუხი:მანძილი M 1 – დან O x– მდე არის 6, ხოლო M 1 – დან O y– მდე 7.

როდესაც სამგანზომილებიან სივრცეში გვაქვს წერტილი კოორდინატებით M 1 (x 1, y 1, z 1), საჭიროა A წერტილიდან a წრფის დაშორება.

გაითვალისწინეთ ორი მეთოდი, რომლის საშუალებითაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე, რომელიც მდებარეობს სივრცეში. პირველი შემთხვევა ითვალისწინებს მანძილს M 1 წერტილიდან სწორ ხაზამდე, სადაც სწორ ხაზზე მდებარე წერტილს უწოდებენ H 1 და წარმოადგენს M 1 წერტილიდან სწორხაზოვან ხაზამდე გაყვანილი პერპენდიკულარის ფუძეს. მეორე შემთხვევა ვარაუდობს, რომ ამ სიბრტყის წერტილები უნდა ვეძებოთ, როგორც პარალელოგრამის სიმაღლე.

პირველი გზა

განსაზღვრებიდან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს, რომ მანძილი სწორხაზოვანზე მდებარე M 1 წერტილიდან არის პერპენდიკულარული M 1 H 1 სიგრძე, შემდეგ მივიღებთ ამას H 1 წერტილის კოორდინატებით, შემდეგ ვიპოვით მანძილი M 1 (x 1, y 1, z 1) ) და H 1 (x 1, y 1, z 1), ფორმულის საფუძველზე M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

ვიღებთ, რომ მთელი ამოხსნა მიდის მ 1-დან a წრფეზე დახრილი პერპენდიკულარის ფუძის კოორდინატების მოსაძებნად. ეს კეთდება შემდეგნაირად: H 1 არის წერტილი, სადაც a სწორი ხაზი კვეთს სიბრტყეს, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში.

მაშასადამე, ალგორითმი M 1 წერტილიდან (x 1, y 1, z 1) წერტილიდან a მანძილზე სივრცის განსაზღვრისთვის, გულისხმობს რამდენიმე წერტილს:

განმარტება 5

• χ სიბრტყის განტოლების შედგენა, როგორც მოცემული წერტილით გამავალი სიბრტყის განტოლება, რომელიც პერპენდიკულარულია სწორი ხაზის მიმართ;
• კოორდინატების (x 2, y 2, z 2) კუთვნილების განსაზღვრა, რომელიც ეკუთვნის H 1 წერტილს, რომელიც არის a ხაზის და χ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი;
• წერტილიდან სწორ ხაზამდე მანძილის გაანგარიშება M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 ფორმულის გამოყენებით.

მეორე გზა

პირობადან ჩვენ გვაქვს a სწორი ხაზი, მაშინ შეგვიძლია განვსაზღვროთ მიმართულების ვექტორი a → \u003d a x, a y, a z კოორდინატებით x 3, y 3, z 3 და გარკვეული წერტილი M 3, რომელიც ეკუთვნის a სტრიტს. თუ არსებობს M 1 (x 1, y 1) და M 3 x 3, y 3, z 3 წერტილების კოორდინატები, შეგიძლიათ გამოთვალოთ M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → \u003d (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

თქვენ უნდა გადადოთ ვექტორები a → \u003d a x, a y, a z და M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 M 3 წერტილიდან, დააკავშირეთ და მიიღეთ პარალელოგრამის სურათი. M 1 H 1 არის პარალელოგრამის სიმაღლე.

განვიხილოთ ქვემოთ მოცემულ ფიგურაზე.

ჩვენ გვაქვს, რომ სიმაღლე M 1 H 1 არის სასურველი მანძილი, მაშინ აუცილებელია მისი პოვნა ფორმულით. ეს არის ის, რომ ჩვენ ვეძებთ M 1 H 1.

ჩვენ აღვნიშნავთ პარალელოგრამის ფართობს ასო S- ს, ის გვხვდება ფორმულის გამოყენებით a ვექტორის a \u003d (a x, a y, a z) და M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. ფართობის ფორმულაა S \u003d a → × M 3 M 1. ასევე, ფიგურის ფართობი ტოლია მისი გვერდების სიგრძის პროდუქტის სიმაღლის მიხედვით, მივიღებთ რომ S \u003d a → M 1 H 1 a \u003d ax 2 + ay 2 + az 2, რაც არის ვექტორის სიგრძე a → \u003d (ax, ay, az), რაც პარალელოგრამის გვერდის ტოლია. მაშასადამე, M 1 H 1 არის მანძილი წერტილიდან ხაზამდე. ის გვხვდება ფორმულით M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a.

იმისათვის, რომ იპოვოთ მანძილი კოორდინატებით M 1 (x 1, y 1, z 1) წერტილამდე სივრცეში a სწორი ხაზით, თქვენ უნდა შეასრულოთ ალგორითმის რამდენიმე ეტაპი:

განმარტება 6

• a ხაზის მიმართულების ვექტორის განსაზღვრა - a → \u003d (a x, a y, a z);
• მიმართულების ვექტორის სიგრძის გამოთვლა a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2;
• x 3, y 3, z 3 კოორდინატების მიღება, რომელიც მიეკუთვნება M 3 წერტილს, რომელიც მდებარეობს a სწორ ხაზზე;
• ვექტორის კოორდინატების გაანგარიშება M 3 M 1;
• a → (ax, ay, az) და M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ვექტორული პროდუქტის პოვნა, როგორც → 3 M 3 M 1 → \u003d i → j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 სიგრძის მისაღებად ფორმულით a → × M 3 M 1 →;
• წერტილიდან სწორ ხაზამდე მანძილის გაანგარიშება M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a.

პრობლემების გადაჭრა მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე მანძილზე

მაგალითი 5

იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან კოორდინატებით M 1 2, - 4, - 1 ხაზამდე x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5.

გადაწყვეტილება

პირველი მეთოდი იწყება H სიბრტყის განტოლების წერილობით, რომელიც გადის M 1 -ზე და პერპენდიკულარულად მითითებული წერტილი... ჩვენ ვიღებთ ფორმის გამოხატვას:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

აუცილებელია H 1 წერტილის კოორდინატების პოვნა, რომელიც წარმოადგენს სიბრტყის χთან გადაკვეთის წერტილს პირობით განსაზღვრულ ხაზამდე. თქვენ უნდა გადახვიდეთ კანონიკურიდან კვეთაზე. შემდეგ მივიღებთ ფორმის განტოლებების სისტემას:

x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) \u003d 2 y 5 (x + 1) \u003d 2 (z + 5) 5 y \u003d - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

საჭიროა გამოთვალოთ სისტემა x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y + 5 z \u003d 3 კრამერის მეთოდის მიხედვით, შემდეგ მივიღებთ შემდეგს:

∆ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 ∆ x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d ∆ x ∆ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 ∆ y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ y \u003d ∆ y ∆ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 ∆ z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ z \u003d ∆ z ∆ \u003d 0 - 60 \u003d 0

აქედან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს ეს H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

მეორე გზაა დაიწყოს კოორდინატების ძებნა კანონიკური განტოლება... ამისათვის ყურადღება უნდა მიაქციოთ წილადის მნიშვნელებს. მაშინ a → \u003d 2, - 1, 5 არის x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 წრფის მიმართულების ვექტორი. საჭიროა სიგრძის გამოთვლა ფორმულით a → \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30.

ცხადია, რომ წრფე x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 კვეთს M 3 წერტილს (- 1, 0, - 5), აქედან გამომდინარე, გვაქვს ვექტორი წარმოშობის M 3 (- 1, 0, - 5) და მისი დასასრული M 1 2, - 4, - 1 არის M 3 M 1 → \u003d 3, - 4, 4. იპოვნეთ ვექტორული პროდუქტი a → \u003d (2, - 1, 5) და M 3 M 1 → \u003d (3, - 4, 4).

მივიღებთ ფორმის გამოხატვას → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 J → \u003d 16 i → + 7 j → - 5 k

ვიღებთ რომ ვექტორული პროდუქტის სიგრძეა → × M 3 M 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330.

ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი სწორი ხაზის წერტილიდან მანძილის გამოსათვლელად ფორმულის გამოყენებისათვის, ასე რომ, ჩვენ ვიყენებთ მას და მივიღებთ:

M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a → \u003d 330 30 \u003d 11

პასუხი: 11 .

თუ ტექსტში შეცდომა შენიშნეთ, გთხოვთ, აირჩიოთ იგი და დააჭირეთ Ctrl + Enter

სიბრტყიდან წერტილიდან სწორ ხაზამდე მანძილის გაანგარიშების ფორმულა

თუ მოცემულია სწორი ხაზის Ax + By + C \u003d 0 განტოლება, მაშინ მანძილი M წერტილიდან (M x, M y) სწორ ხაზამდე შეგიძლიათ იხილოთ შემდეგი ფორმულის გამოყენებით

ამოცანის მაგალითები სიბრტყეზე წერტილამდე ხაზამდე მანძილის გამოსათვლელად

მაგალითი 1.

იპოვნეთ მანძილი 3x + 4y ხაზს - 6 \u003d 0 და M წერტილს (-1, 3).

გადაწყვეტილება. ფორმულაში შეცვალეთ წრფის კოეფიციენტები და წერტილის კოორდინატები

პასუხი: მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე არის 0,6.

ვექტორის პერპენდიკულარულ წერტილებზე გამავალი სიბრტყის განტოლება სიბრტყის ზოგადი განტოლება

მოცემული სიბრტყის პერპენდიკულარულად ნულოვანი ვექტორი ეწოდება ნორმალური ვექტორი (ან, მოკლედ, ნორმალური ) ამ თვითმფრინავისთვის.

მიეცით საკოორდინატო სივრცე (მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში):

ა) წერტილი ;

ბ) არა ნულოვანი ვექტორი (სურათი 4.8, ა).

საჭიროა წერტილის გავლით სიბრტყის განტოლების შედგენა ვექტორის პერპენდიკულარული მტკიცების დასასრული.

ახლა განვიხილოთ სიბრტყეზე სწორი ხაზის სხვადასხვა ტიპის განტოლებები.

1) სიბრტყის ზოგადი განტოლებაპ .

ეს განტოლების წარმოებიდან გამომდინარეობს, რომ ერთდროულად ა, ბ და გ არ უდრის 0-ს (ახსენით რატომ).

წერტილი თვითმფრინავს ეკუთვნის პ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ სიბრტყის განტოლებას. შანსებზეა დამოკიდებული ა, ბ, გ და დთვითმფრინავი პ იკავებს ამა თუ იმ პოზიციას:

- თვითმფრინავი გადის კოორდინატების სისტემის სათავეში, - თვითმფრინავი არ გადის საკოორდინატო სისტემის წარმოშობას,

- თვითმფრინავი ღერძის პარალელურია X,

X,

- თვითმფრინავი ღერძის პარალელურია ი,

- თვითმფრინავი არ არის ღერძის პარალელური ი,

- თვითმფრინავი ღერძის პარალელურია ზ,

- თვითმფრინავი არ არის ღერძის პარალელური ზ.

თავად დაამტკიცეთ ეს განცხადებები.

განტოლება (6) ადვილად მიიღება განტოლებისგან (5). მართლაც, მოდით წერტილი თვითმფრინავში იყოს პ... შემდეგ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (5) განტოლების გამოკლება (5) და ტერმინების დაჯგუფება, მივიღებთ (6) განტოლებას. ახლა განვიხილოთ ორი ვექტორი შესაბამისად კოორდინატებით. (6) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ მათი სკალარული პროდუქტი ნულის ტოლია. ამიტომ, ვექტორი არის ვექტორის პერპენდიკულარული. ბოლო ვექტორის დასაწყისი და დასასრული შესაბამისად იმ წერტილებშია, რომლებიც თვითმფრინავს ეკუთვნის პ... ამიტომ, ვექტორი პერპენდიკულარულია სიბრტყეზე პ... მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე პ, რომლის ზოგადი განტოლებაა ფორმულით განსაზღვრული ამ ფორმულის მტკიცებულება სრულიად ანალოგიურია ფორმულის მტკიცებულებას წერტილსა და ხაზს შორის მანძილზე (იხ. ნახ. 2).
ფიგურა: 2. თვითმფრინავსა და სწორ ხაზს შორის მანძილის ფორმულის გამოსაყვანად.

მართლაც, მანძილი დ სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის არის

სად არის წერტილი თვითმფრინავში. აქედან გამომდინარე, როგორც ლექცია No11- ში, მიიღება ზემოთ მოცემული ფორმულა. ორი სიბრტყე პარალელურია, თუ მათი ნორმალური ვექტორები პარალელურია. აქედან ვიღებთ ორი სიბრტყის პარალელიზმის პირობას - სიბრტყეების ზოგადი განტოლებების კოეფიციენტები. ორი სიბრტყე პერპენდიკულარულია, თუ მათი ნორმალური ვექტორები პერპენდიკულარულია, აქედან გამომდინარე, ვიღებთ ორი სიბრტყის პერპენდიკულარულობის პირობას, თუ მათი ზოგადი განტოლებები ცნობილია

კუთხე ვ ორ სიბრტყეს შორის ტოლია მათი ნორმალური ვექტორების კუთხე (იხ. სურათი 3) და, შესაბამისად, შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით
კუთხის განსაზღვრა სიბრტყეებს შორის.

(11)

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე და მისი პოვნის გზები

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავი - პერპენდიკულარის სიგრძე დაეშვა წერტილიდან ამ სიბრტყეზე. მინიმუმ ორი გზა არსებობს წერტილიდან თვითმფრინავამდე მანძილის დასადგენად: გეომეტრიული და ალგებრული.

გეომეტრიული მეთოდით პირველ რიგში უნდა გესმოდეთ, თუ როგორ მდებარეობს პერპენდიკულური წერტილიდან სიბრტყემდე: იქნებ იგი მდგომარეობს რაიმე მოსახერხებელ სიბრტყეში, არის სიმაღლე რომელიმე მოსახერხებელ (ან არც თუ ისე) სამკუთხედში, ან იქნებ ეს პერპენდიკულარი ზოგადად არის სიმაღლე რომელიმე პირამიდაში.

ამ პირველი და ყველაზე რთული ეტაპის შემდეგ, ამოცანა იშლება რამდენიმე სპეციფიკურ პლანმეტრიულ ამოცანად (შესაძლოა სხვადასხვა სიბრტყეებში).

ალგებრული გზით იმისათვის, რომ იპოვოთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე, უნდა მიუთითოთ საკოორდინატო სისტემა, იპოვოთ წერტილის კოორდინატები და სიბრტყის განტოლება და შემდეგ გამოიყენოთ წერტილიდან თვითმფრინავამდე დაშორების ფორმულა.

ოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოლოდ ამიტომ, პირველ მონაკვეთზე გადავალთ, იმედი მაქვს, სტატიის ბოლოსთვის მხიარული ვიქნები.

ორი სწორი ხაზის ფარდობითი პოზიცია

შემთხვევა, როდესაც მაყურებელი გუნდთან ერთად მღერის. ორი სწორი ხაზი შეიძლება:

1) მატჩი;

2) იყოს პარალელური :;

3) ან იკვეთება ერთ წერტილზე:.

დახმარება Dummies : გახსოვდეთ გადაკვეთის მათემატიკური ნიშანი, ეს ძალიან გავრცელებული იქნება. აღნიშვნა მიუთითებს იმაზე, რომ სწორი ხაზი სწორ ხაზს კვეთს წერტილზე.

როგორ განვსაზღვროთ ორი სწორი ხაზის ფარდობითი პოზიცია?

დავიწყოთ პირველი შემთხვევით:

ორი სწორი ხაზი ემთხვევა თუ და მხოლოდ მათი შესაბამისი კოეფიციენტები პროპორციულია, ანუ არსებობს ისეთი რიცხვი "ლამბდა", რომ ტოლობები

განვიხილოთ სწორი ხაზები და შევადგინოთ სამი განტოლება შესაბამისი კოეფიციენტებიდან:. თითოეული განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ, შესაბამისად, ეს ხაზები ემთხვევა ერთმანეთს.

მართლაც, თუ განტოლების ყველა კოეფიციენტი გამრავლეთ –1 – ზე (შეცვალეთ ნიშნები) და შეამცირეთ განტოლების ყველა კოეფიციენტი 2 – ით, შემდეგ მიიღებთ იგივე განტოლებას:.

მეორე შემთხვევა, როდესაც ხაზები პარალელურია:

ორი სწორი ხაზი პარალელურია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი კოეფიციენტები ცვლადებისთვის პროპორციულია: მაგრამ.

მაგალითად, განვიხილოთ ორი ხაზი. ჩვენ ვამოწმებთ შესაბამისი კოეფიციენტების პროპორციულობას ცვლადებისთვის:

ამასთან, ცხადია, რომ.

და მესამე შემთხვევა, როდესაც ხაზები იკვეთება:

ორი სწორი ხაზი იკვეთება მხოლოდ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი კოეფიციენტები ცვლადებისთვის არ არის პროპორციული, ანუ, ასეთი ”ლამბდა” მნიშვნელობა არ არსებობს ტოლობის შესადგენად

ასე რომ, სწორი ხაზებისთვის ჩვენ შევადგენთ სისტემას:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, და მეორე განტოლებიდან :, სისტემა არათანმიმდევრულია (გამოსავალი არ არის). ამრიგად, ცვლადების კოეფიციენტები არ არის პროპორციული.

დასკვნა: ხაზები იკვეთება

პრაქტიკულ პრობლემებში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ახლახან განხილული ამოხსნის სქემა. სხვათა შორის, ის ძალიან ჰგავს ვექტორების კოლინერულობის შემოწმების ალგორითმს, რომელიც გაკვეთილზე განვიხილეთ. ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულების ცნება. ვექტორული საფუძველი... მაგრამ არსებობს უფრო ცივილიზებული შეფუთვა:

მაგალითი 1

გაეცანით სწორი ხაზების ფარდობით პოზიციას:

გადაწყვეტილება სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორების შესწავლის საფუძველზე:

ა) განტოლებებიდან ვხვდებით სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორებს: .

, ასე რომ ვექტორები არ არის ხაზოვანი და ხაზები იკვეთება.

ყოველი შემთხვევისთვის, გზაჯვარედინზე დავდებ ქვას მითითებით:

დანარჩენები გადადი ქვაზე და მიჰყევით პირდაპირ Kashchei the Immortal \u003d)

ბ) იპოვნეთ სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები:

ხაზებს აქვთ იგივე მიმართულების ვექტორი, რაც ნიშნავს, რომ ისინი ან პარალელურია ან ემთხვევა ერთმანეთს. აქ საჭირო არ არის დეტერმინანტის დათვლა.

აშკარაა, რომ უცნობი კოეფიციენტები პროპორციულია, ხოლო.

მოდით გაირკვეს, შეესაბამება თუ არა თანასწორობა:

ამრიგად,

გ) იპოვნეთ სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები:

მოდით გამოვთვალოთ დეტერმინანტი, რომელიც შედგება ამ ვექტორების კოორდინატებისგან:
შესაბამისად, მიმართულების ვექტორები კოლინერულია. ხაზები ან პარალელურია ან ემთხვევა ერთმანეთს.

პროპორციულობის კოეფიციენტი "ლამბდა" ადვილად ჩანს პირდაპირ კოლინარული მიმართულების ვექტორების თანაფარდობიდან. ამასთან, მისი პოვნა ასევე შესაძლებელია განტოლებების კოეფიციენტების საშუალებით: .

ახლა გავეცნოთ სიმართლეს შეესაბამება თუ არა სიმართლე. ორივე უფასო ტერმინი ნულოვანია, ასე რომ:

მიღებული მნიშვნელობა აკმაყოფილებს ამ განტოლებას (ნებისმიერი რიცხვი ზოგადად აკმაყოფილებს მას).

ამრიგად, ხაზები ემთხვევა ერთმანეთს.

პასუხი:

ძალიან მალე გაიგებთ (ან თუნდაც უკვე ისწავლეთ) თუ როგორ უნდა გადაწყვიტოთ განხილული პრობლემა სიტყვიერად წამში. ამ მხრივ, მე ვერ ვხედავ რაიმე მიზეზს დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, უკეთესია გეომეტრიული საფუძვლის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი აგურის ჩაყრა:

როგორ უნდა ავაშენოთ მოცემული ხაზის პარალელურად სწორი ხაზი?

ამ მარტივი ამოცანის არცოდნისთვის, ბულბული ყაჩაღი მკაცრად სჯის.

მაგალითი 2

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. გაუტოლეთ პარალელური ხაზი, რომელიც გადის წერტილზე.

გადაწყვეტილება: მოდით აღვნიშნოთ უცნობი პირდაპირი წერილი. რას ამბობს მდგომარეობა მის შესახებ? სწორი ხაზი გადის წერტილს. და თუ სწორი ხაზები პარალელურია, მაშინ აშკარაა, რომ სწორი ხაზის "tse" - ს მმართველი ვექტორი შესაფერისია "de" სწორი ხაზის შესაქმნელად.

განტოლებიდან ამოიღეთ მიმართულების ვექტორი:

პასუხი:

გეომეტრია მაგალითი მარტივად გამოიყურება:

ანალიტიკური შემოწმება შედგება შემდეგი ნაბიჯებისაგან:

1) ჩვენ ვამოწმებთ, რომ სტრიქონებს აქვთ იგივე მიმართულების ვექტორი (თუ წრფის განტოლება სწორად არ არის გამარტივებული, მაშინ ვექტორები კოლინარული იქნება).

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას.

ანალიტიკური მიმოხილვა უმეტეს შემთხვევაში ადვილად ხდება ზეპირად. გადახედეთ ორ განტოლებას და ბევრი თქვენგანი სწრაფად განსაზღვრავს სწორი ხაზების პარალელიზმს ყოველგვარი ნახაზის გარეშე.

დღეს თვითგამორკვევის მაგალითები შემოქმედებითი იქნება. იმიტომ, რომ ბაბა იაგას კონკურენციას მაინც უწევთ და ის, იცით, ყველანაირი გამოცანების მოყვარულია.

მაგალითი 3

გააკეთე სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის წრფეზე პარალელურად წერტილზე, თუ

არსებობს რაციონალური და არც თუ ისე რაციონალური გადაწყვეტა. უმოკლესი გზა არის გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ ცოტა რამ გავაკეთეთ პარალელური ხაზებით და მათ მოგვიანებით დავუბრუნდებით. სწორი ხაზების დამთხვევის შემთხვევა მცირე ინტერესს იწვევს, ამიტომ გაითვალისწინეთ ის პრობლემა, რომელიც თქვენთვის კარგად არის ცნობილი სკოლის სასწავლო გეგმა:

როგორ მოვძებნოთ ორი ხაზის გადაკვეთის წერტილი?

თუ პირდაპირ იკვეთება ერთ წერტილში, მაშინ მისი კოორდინატებია გამოსავალი წრფივი განტოლების სისტემები

როგორ მოვძებნოთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი? მოაგვარეთ სისტემა.

შენთვის იმდენი ორი უცნობი განტოლების სისტემის გეომეტრიული მნიშვნელობა სიბრტყეზე ორი გადაკვეთა (ყველაზე ხშირად) სწორი ხაზია.

მაგალითი 4

იპოვნეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი

გადაწყვეტილება: გადაჭრის ორი გზა არსებობს - გრაფიკული და ანალიტიკური.

გრაფიკული გზაა უბრალოდ ხაზების დახაზვა და პირდაპირ ნახაზიდან გაკვეთის წერტილის გარკვევა:

აი, ჩვენი აზრი: მისი შესამოწმებლად, თქვენ უნდა შეცვალოთ მისი კოორდინატები სწორი ხაზის თითოეულ განტოლებაში, ისინი უნდა შეესაბამებოდეს იქ და იქ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილის კოორდინატები წარმოადგენს სისტემის ამოხსნას. ძირითადად, ჩვენ გადავხედეთ გადაჭრის გრაფიკულ გზას წრფივი განტოლების სისტემები ორი განტოლებით, ორი უცნობით.

გრაფიკული მეთოდი, რა თქმა უნდა, არ არის ცუდი, მაგრამ აქ არის შესამჩნევი უარყოფითი მხარეები. არა, საქმე იმაში არ არის, რომ მეშვიდე კლასის მოსწავლეები ასე წყვეტენ, საქმე იმაშია, რომ დრო დაჭირდება სწორი და ზუსტი ნახატის მისაღებად. გარდა ამისა, ზოგიერთი სწორი ხაზის აგება არც ისე ადვილია, და თავად გადაკვეთის წერტილი შეიძლება მდებარეობდეს სადღაც ოცდაათ სამეფოში, ბლოკნოტის ფურცლის გარეთ.

ამიტომ, უფრო მიზანშეწონილია გადაკვეთის წერტილის ძებნა ანალიტიკური მეთოდის გამოყენებით. მოდით გადავჭრათ სისტემა:

სისტემის გადასაწყვეტად გამოყენებულ იქნა განტოლებათა პერიოდული დამატების მეთოდი. ეწვიეთ გაკვეთილს შესაბამისი უნარების შესაქმნელად. როგორ გადავჭრათ განტოლებათა სისტემა?

პასუხი:

შემოწმება ტრივიალურია - გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს სისტემაში არსებულ ყველა განტოლებას.

მაგალითი 5

იპოვნეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი, თუ ისინი იკვეთება.

ეს არის მაგალითი საკუთარი თავის გაკეთების შესახებ. მოსახერხებელია დავალების დაყოფა რამდენიმე ეტაპად. მდგომარეობის ანალიზი მიანიშნებს რა არის საჭირო:
1) გააკეთე სწორი ხაზის განტოლება.
2) გააკეთე სწორი ხაზის განტოლება.
3) გაირკვეს სწორი ხაზების ფარდობითი პოზიცია.
4) თუ ხაზები იკვეთება, იპოვეთ გადაკვეთის წერტილი.

მოქმედებების ალგორითმის შემუშავება დამახასიათებელია მრავალი გეომეტრიული პრობლემისთვის და ამაზე განმეორებით გავამახვილებ ყურადღებას.

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს:

ფეხსაცმლის ფეხსაცმელი ჯერ არ არის ნახმარი, რადგან გაკვეთილის მეორე ნაწილზე მივედით:

პერპენდიკულარული სწორი ხაზები. მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.
კუთხე სწორ ხაზებს შორის

დავიწყოთ ტიპიური და ძალიან მნიშვნელოვანი დავალებიდან. პირველ ნაწილში ჩვენ ვისწავლეთ, თუ როგორ უნდა ავაშენოთ სწორი ხაზი პარალელურად, ახლა ქათმის ფეხებზე ქოხი 90 გრადუსი გახდება:

როგორ უნდა ავაშენოთ მოცემული ხაზის პერპენდიკულარული ხაზი?

მაგალითი 6

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. წერტილის გავლით პერპენდიკულარული წრფის გათანაბრება.

გადაწყვეტილება: პირობითად ცნობილია, რომ. კარგი იქნება სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის პოვნა. მას შემდეგ, რაც ხაზები არის პერპენდიკულარული, შეასრულა მარტივია:

განტოლებიდან "ამოიღეთ" ნორმალური ვექტორი:, რომელიც იქნება სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

მოდით, შევადგინოთ სწორი ხაზის განტოლება წერტილით და მიმართულების ვექტორით:

პასუხი:

მოდით გავაფართოვოთ გეომეტრიული ესკიზი:

ჰმმმ ... ნარინჯისფერი ცა, ნარინჯისფერი ზღვა, ნარინჯისფერი აქლემი.

ამოხსნის ანალიზური შემოწმება:

1) განტოლებებიდან ამოიღეთ მიმართულების ვექტორები და დახმარებით ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი მივდივართ დასკვნამდე, რომ სწორი ხაზები მართლაც პერპენდიკულარულია:.

სხვათა შორის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი ვექტორები, ეს კიდევ უფრო ადვილია.

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას .

შემოწმება, მარტივია, ზეპირად გაკეთება.

მაგალითი 7

იპოვნეთ პერპენდიკულარული ხაზების გადაკვეთის წერტილი, თუ განტოლება ცნობილია და მიუთითეთ.

ეს არის მაგალითი საკუთარი თავის გაკეთების შესახებ. ამოცანაში რამდენიმე მოქმედებაა, ამიტომ მოსახერხებელია ამოხსნის ეტაპობრივი დალაგება.

ჩვენი საინტერესო მოგზაურობა გრძელდება:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

ჩვენს წინაშე მდინარის სწორი ზოლია და ჩვენი ამოცანაა მასზე უმოკლესი გზით მივაღწიოთ. არანაირი დაბრკოლება არ არსებობს და ყველაზე ოპტიმალური მარშრუტი იქნება მოძრაობა პერპენდიკულურის გასწვრივ. ანუ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე არის პერპენდიკულარული ხაზის სიგრძე.

გეომეტრიაში მანძილი ტრადიციულად აღინიშნება ბერძნული ასოთი "ro", მაგალითად: - მანძილი "em" წერტილიდან სწორი ხაზის "de".

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე ფორმულით გამოხატული

მაგალითი 8

იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

გადაწყვეტილება: თქვენ გჭირდებათ ციფრების გულდასმით შეტანა ფორმულაში და გაანგარიშება:

პასუხი:

მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

მანძილი წერტილიდან ნაპოვნი ხაზამდე ზუსტად არის წითელი ხაზის სიგრძე. თუ შუშის ქაღალდზე შეადგენთ ნახატს 1 ერთეულის მასშტაბით. \u003d 1 სმ (2 უჯრედი), მაშინ მანძილი შეიძლება გავზომოთ ჩვეულებრივი სახაზავით.

განვიხილოთ კიდევ ერთი ამოცანა იგივე გეგმისთვის:

ამოცანაა წერტილის კოორდინატების პოვნა, რომელიც სიმეტრიულია წერტილის მიმართ სწორი ხაზის მიმართ ... მე ვთავაზობ მოქმედებების შესრულებას თვითონ, მაგრამ გამოვსახავ ამოხსნის ალგორითმს შუალედური შედეგებით:

1) იპოვნეთ წრფე, რომელიც წრფის პერპენდიკულარულია.

2) იპოვნეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი: .

ორივე ნაბიჯი მოცემულია ამ სახელმძღვანელოში.

3) წერტილი არის წრფის სეგმენტის შუა წერტილი. ჩვენ ვიცით შუა და ერთ-ერთი ბოლოების კოორდინატები. ავტორი სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატების ფორმულები ჩვენ ვიპოვეთ.

არ იქნება ზედმეტი იმის შემოწმება, რომ მანძილი ასევე 2.2 ერთეულია.

აქ სირთულეები შეიძლება წარმოიშვას გამოთვლებში, მაგრამ კოშკში, მიკრო კალკულატორი შესანიშნავად გეხმარებათ, რაც საშუალებას გაძლევთ დაითვალოთ ჩვეულებრივი წილადები. განმეორებით ურჩია, გირჩევთ და ისევ.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი ორ პარალელურ ხაზს შორის?

მაგალითი 9

იპოვნეთ მანძილი ორ პარალელურ ხაზს შორის

ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტის კიდევ ერთი მაგალითი. ნება მიბოძეთ ცოტათი მინიშნოთ: მისი გადაჭრის უსასრულოდ მრავალი გზა არსებობს. გაკვეთილის ბოლოს დებრიფინგი, ოღონდ სცადეთ თავად გამოიცნოთ, ვფიქრობ, რომ კარგად მოახერხეთ თქვენი გონებამახვილობის გაფანტვა.

კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის

ყველა კუთხე არის jamb:


გეომეტრიაში, კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის მიიღება, როგორც ყველაზე მცირე კუთხე, რაც ავტომატურად ნიშნავს, რომ ის არ შეიძლება იყოს ბლაგვი. ნახატზე, წითელი რკალით მითითებული კუთხე არ ითვლება გადაკვეთულ სწორ ხაზებს შორის. და მისი "მწვანე" მეზობელი ასეთად ითვლება, ან საწინააღმდეგოდ ორიენტირებული "ჟოლოსფერი" კუთხე.

თუ სწორი ხაზები პერპენდიკულარულია, მაშინ 4 კუთხიდან რომელიმე შეიძლება მივიღოთ მათ შორის კუთხედ.

რით განსხვავდება კუთხეები? ორიენტაცია. პირველი, ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს კუთხის "გადახვევის" მიმართულებას. მეორე, უარყოფითად ორიენტირებული კუთხე იწერება მინუს ნიშნით, მაგალითად, თუ.

რატომ ვუთხარი ამას? როგორც ჩანს, შეგიძლია კუთხის ჩვეული კონცეფციით გათავისება. ფაქტია, რომ იმ ფორმულებში, რომლითაც ჩვენ ვიხილავთ კუთხეებს, შეგიძლიათ მარტივად მიიღოთ უარყოფითი შედეგი და ეს არ უნდა გაგიკვირდეთ. უარყოფითი ნიშანი არ არის კუთხე მინუს ნიშნით და აქვს ძალიან სპეციფიკური გეომეტრიული მნიშვნელობა. ნახატზე, უარყოფითი კუთხისთვის, აუცილებლად მიუთითეთ მისი ორიენტაცია ისრით (საათის ისრის მიმართულებით).

როგორ მოვძებნოთ კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის? არსებობს ორი სამუშაო ფორმულა:

მაგალითი 10

იპოვნეთ კუთხე სწორ ხაზებს შორის

გადაწყვეტილება და მეთოდი პირველი

განვიხილოთ განტოლებებით ზოგადი ფორმით მოცემული ორი სწორი ხაზი:

თუ პირდაპირ არა პერპენდიკულარულიშემდეგ ორიენტირებული მათ შორის კუთხის გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით:

დიდი ყურადღება მივაქციოთ მნიშვნელს - ეს ზუსტად ის არის სკალარული პროდუქტი სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები:

თუ, მაშინ ფორმულის მნიშვნელი გაქრება, ხოლო ვექტორები ორთოგონალური იქნება, ხოლო სწორი ხაზები პერპენდიკულარული. ამიტომ გაკეთდა დათქმა ფორმულირებაში სწორი ხაზების არაპერპენდიკულარულობის შესახებ.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოსახერხებელია გამოსავალი მოვაწყოთ ორ ეტაპად:

1) გამოთვალეთ სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორების სკალარული პროდუქტი:
, შესაბამისად, სწორი ხაზები არ არის პერპენდიკულარული.

2) სწორ ხაზებს შორის კუთხე გვხვდება ფორმულით:

მეშვეობით შებრუნებული ფუნქცია კუთხის პოვნა ადვილია. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიყენებთ არქტანგენტის უცნაურობას (იხ. ელემენტარული ფუნქციების დიაგრამა და თვისებები):

პასუხი:

პასუხში, ჩვენ მიუთითეთ ზუსტი მნიშვნელობა, ისევე როგორც სავარაუდო მნიშვნელობა (სასურველია როგორც გრადუსებში, ასევე რადიანებში), რომელიც გამოითვლება კალკულატორის გამოყენებით.

კარგი, მინუსი, ასე მინუსი, კარგია. აი გეომეტრიული ილუსტრაცია:

გასაკვირი არ არის, რომ კუთხეს უარყოფითი ორიენტაცია აქვს, რადგან პრობლემის დებულებაში პირველი რიცხვი არის სწორი ხაზი და ამით იწყება კუთხის „გადახვევა“.

თუ ნამდვილად გსურთ მიიღოთ პოზიტიური კუთხე, თქვენ უნდა შეცვალოთ სწორი ხაზები, ანუ აიღოთ კოეფიციენტები მეორე განტოლებიდან , და კოეფიციენტები აღებულია პირველი განტოლებიდან. მოკლედ, თქვენ უნდა დაიწყოთ სწორი ხაზით .

მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე არის პერპენდიკულარის სიგრძე, რომელიც დაეშვა წერტილიდან სწორ ხაზამდე. აღწერილ გეომეტრიაში გრაფიკულად განისაზღვრება ქვემოთ მოცემული ალგორითმის გამოყენებით.

ალგორითმი

1. სწორი ხაზი გადადის პოზიციაზე, რომელშიც ის იქნება ნებისმიერი პროექციული სიბრტყის პარალელური. ამისათვის გამოიყენება ორთოგონალური პროგნოზების ტრანსფორმაციის მეთოდები.
2. წერტილიდან პერპენდიკულური სწორხაზოვნად იხაზება. ეს კონსტრუქცია ემყარება პროექციის თეორემას მართი კუთხე.
3. პერპენდიკულარის სიგრძე განისაზღვრება მისი პროგნოზების გარდაქმნით ან მართკუთხა სამკუთხედის მეთოდის გამოყენებით.

შემდეგ ნახატზე მოცემულია M სეგმენტის და b ხაზის რთული ნახაზი, რომელიც განისაზღვრება CD სეგმენტით. საჭიროა მათ შორის მანძილის პოვნა.

ჩვენი ალგორითმის თანახმად, პირველი, რაც უნდა გავაკეთოთ, არის ხაზის გადატანა საპროექციო სიბრტყის პარალელურ პოზიციაზე. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ გარდაქმნების შემდეგ, რეალური მანძილი წერტილსა და ხაზს შორის არ უნდა შეიცვალოს. ამიტომ აქ მოსახერხებელია თვითმფრინავების ჩანაცვლების მეთოდი, რომელიც არ გულისხმობს სივრცეში მოძრავ ფიგურებს.

მშენებლობის პირველი ეტაპის შედეგები ნაჩვენებია ქვემოთ. ნახატზე ნაჩვენებია, თუ როგორ ხდება დამატებითი შუბლის სიბრტყის P 4 შემოღება b პარალელურად. ახალ სისტემაში (P 1, P 4) წერტილები C "" 1, D "" 1, M "" 1 X ღერძი 1-დან იმავე მანძილით არის, როგორც C "", D "", M "" ღერძიდან X

ალგორითმის მეორე ნაწილის შესრულება, M "" 1-დან ჩვენ დაწევა პერპენდიკულარულ M "" 1 N "" 1 სწორ ხაზამდე b "" 1, ვინაიდან MND- ის სწორი კუთხე b და MN- ს პროგნოზირებულია P 4 სიბრტყეზე მთლიანი ზომით. საკომუნიკაციო ხაზზე განვსაზღვრავთ N წერტილის პოზიციას და ვასრულებთ MN სეგმენტის პროექციას M "N".

დასკვნით ეტაპზე, თქვენ უნდა განსაზღვროთ MN სეგმენტის მნიშვნელობა მისი პროგნოზებით M "N" და M "" 1 N "" 1. ამისათვის ჩვენ ვაშენებთ მართკუთხა სამკუთხედი M "" 1 N "" 1 N 0, რომელშიც ფეხი N "" 1 N 0 ტოლია სხვაობისა (Y M 1 - Y N 1) X "ღერძიდან M" და N "წერტილების ამოღება. ჰიპოტენუზის სიგრძე M "" 1 N 0 სამკუთხედის M "" 1 N "" 1 N 0 შეესაბამება სასურველი მანძილი M- დან b- მდე.

მეორე გამოსავალი

• CD– ს პარალელურად, ჩვენ წარმოგიდგენთ ახალ შუბლის თვითმფრინავს P 4. ის კვეთს П 1 X 1 ღერძის გასწვრივ და X 1 ∥C "D". თვითმფრინავების ჩანაცვლების მეთოდის შესაბამისად, განვსაზღვრავთ C "" 1, D "" 1 და M "" 1 წერტილების პროგნოზებს, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახატზე.
• C "" 1 D "" 1-ის პერპენდიკულარულად ვაშენებთ დამატებით ჰორიზონტალურ სიბრტყეს P 5, რომელზედაც აისახება b სწორი ხაზი C "2 \u003d b" 2 წერტილამდე.
• მანძილი M წერტილსა და b ხაზს შორის განისაზღვრება M "2 C" 2 სეგმენტის სიგრძით, რომელიც მონიშნულია წითლად.

მსგავსი დავალებები:

155 * ზოგადი მდგომარეობის სწორი ხაზის AB სეგმენტის რეალური ზომის დადგენა (ნახ. 153, ა).

გადაწყვეტილება. როგორც მოგეხსენებათ, სწორი თვითმფრინავის სეგმენტის პროექცია ნებისმიერ სიბრტყეზე ტოლია თვით სეგმენტისა (ნახაზის მასშტაბის გათვალისწინებით), თუ ის პარალელურია ამ სიბრტყეზე

(ნახ. 153, ბ). აქედან გამომდინარეობს, რომ ნახაზის გარდაქმნით საჭიროა მოედნის ამ სეგმენტის პარალელიზმის მიღწევა. V ან pl. H ან შეავსეთ V, H სისტემა pl სხვაზე პერპენდიკულარული სხვა სიბრტყით. V ან pl. H და ამავე დროს ამ სეგმენტის პარალელურად.

ნახ. 153, გვიჩვენებს დამატებითი სიბრტყის S დანერგვას, pl- ის პერპენდიკულარულს. H და მოცემული სეგმენტის AB პარალელურად.

A s b s პროექცია უდრის AB სეგმენტის ბუნებრივ მნიშვნელობას.

ნახ. 153, d გვიჩვენებს სხვა ტექნიკას: AB სეგმენტი ბრუნავს სწორი ხაზის გარშემო, რომელიც B წერტილში გადის და pl- ზე პერპენდიკულარულია. H, პოზიციის პარალელურად

pl V. ამ შემთხვევაში, B წერტილი რჩება და A წერტილი იკავებს ახალ პოზიციას A 1. ჰორიზონტი ახალ მდგომარეობაშია. პროექცია а 1 b || x ღერძი. პროექცია a "1 b" უდრის AB სეგმენტის ბუნებრივ მნიშვნელობას.

156. მოცემულია SABCD პირამიდა (ნახ. 154). განსაზღვრეთ AS და CS პირამიდის კიდეების რეალური ზომა, პროექტორის სიბრტყეების შეცვლის მეთოდით, და კიდეები BS \u200b\u200bდა DS, ბრუნვის მეთოდის გამოყენებით და წაიღეთ ბრუნვის ღერძი კვადრატის პერპენდიკულარულად. ჰ.

157 *. განსაზღვრეთ მანძილი A წერტილიდან BC წრფეზე (ნახ .155, ა).

გადაწყვეტილება. მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე იზომება წერტილიდან სწორხაზოვანზე დახრილი პერპენდიკულარული სეგმენტით.

თუ სწორი ხაზი ნებისმიერი სიბრტყის პერპენდიკულარულია (ნახ. 155.6), მაშინ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე იზომება წერტილის პროექციასა და წერტილოვანი პროექცია სწორი ხაზი ამ თვითმფრინავზე. თუ სწორ ხაზს ზოგადი პოზიცია უჭირავს V, H სისტემაში, მაშინ, რომ პროექტორის სიბრტყეების შეცვლით წერტილიდან სწორ ხაზამდე მანძილი განისაზღვროს, V, H სისტემაში უნდა შეიტანოს ორი დამატებითი თვითმფრინავი.

პირველ რიგში (ნახ. 155, გ) შევდივართ pl. S ძვ.წ. სეგმენტის პარალელურად (ახალი S / H ღერძი bc პროექტორის პარალელურია) და ააშენეთ b s c s და s s პროექციებს. შემდეგ (ნახ .155, დ) შემოგთავაზებთ სხვა pl. T პრპენდიკულარულია BC ხაზზე (ახალი T / S ღერძი პერპენდიკულარულია b s c s- ზე). ჩვენ ვაშენებთ წრფის და წერტილის პროგნოზებს - t (b t) და t. მანძილი a t და t (b t) წერტილებს შორის უდრის l მანძილს A წერტილიდან BC წერტილამდე.

ნახ. 155e, იგივე ამოცანა შესრულებულია როტაციის მეთოდის გამოყენებით, რომელსაც პარალელური მოძრაობის მეთოდი ეწოდება. პირველი, წრფივი წრფე და A წერტილი, ერთმანეთის პოზიციის უცვლელად შენარჩუნებისას, გადაუხვიეთ ზოგიერთი (ნახაზი არ არის მითითებული) სწორი ხაზი pl- ზე. H, ისე, რომ BC წრფე პარალელურია კვადრატისა. V. ეს უდრის A, B, C წერტილების მოძრაობას კვადრატის პარალელურად. H. ამ შემთხვევაში, ჰორიზონტი. მოცემული სისტემის პროექცია (BC + A) არ იცვლება არც სიდიდით და არც კონფიგურაციით, იცვლება მხოლოდ მისი პოზიცია x ღერძთან მიმართებაში. ჩვენ განვათავსებთ ჰორიზონტს. სწორი ხაზის პროექცია x ღერძის პარალელურად (პოზიცია b 1 c 1) და განისაზღვროს a1 პროექცია, გადადება c 1 1 1 \u003d c-1 და 1 1 1 \u003d a-1 და 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. ვხატავთ სწორ ხაზებს b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 x ღერძის პარალელურად, მათ წინა მხარეს ვხვდებით. პროექცია b "1, a" 1, c "1. შემდეგ, ჩვენ გადავაადგილებთ B 1, C 1 და A 1 წერტილებს V კვადრატის პარალელურად (ასევე მათი შედარებითი პოზიციის შეცვლის გარეშე), ისე რომ მივიღოთ B 2 C 2 ⊥ კვადრატი H. ამ შემთხვევაში, სწორი ხაზის პროექცია განლაგდება პერპენდიკულარულად x, b ღერძი 2 გ "2 \u003d ბ" 1 გ "1, და პროექტორის ა" 2 "ასაშენებლად აიღეთ ბ" 2 2 "2 \u003d ბ" 1 2 "1, დახაზეთ 2" ა "2 ⊥ ბ" 2 გ "2 და გადადეთ a "2 2" 2 \u003d a "1 2" 1. ახლა, 1 – დან 2 – მდე და 1 – დან 2 – მდე დახარჯვის შემდეგ || x 1 ვიღებთ b 2 პროგნოზებს 2-ით და 2-ით და საჭირო მანძილი l წერტილიდან A წრფეზე BC წერტილამდე. A– დან BC– მდე მანძილის დადგენა შეგიძლიათ A წერტილით განსაზღვრული სიბრტყის და BC ხაზის ამ სიბრტყის ჰორიზონტის გარშემო T || pl H (ნახ. 155, ვ)

A წერტილით და BC წრფივი ხაზით განსაზღვრულ სიბრტყეზე დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი A-1 (ნახ .155, გ) და მოაბრუნეთ B წერტილი მის გარშემო. B წერტილი გადადის კვადრატზე. R (ნახაზზე მოცემულია ბილიკი R h), A-1 პერპენდიკულარულად; O წერტილში არის B წერტილის ბრუნვის ცენტრი. ახლა ჩვენ განვსაზღვრავთ VO– ს ბრუნვის რადიუსის რეალურ მნიშვნელობას (ნახ. 155, გ). საჭირო მდგომარეობაში, ანუ როდესაც pl. T წერტილით და BC ხაზით განსაზღვრული T გახდება || pl H, B წერტილი აღმოჩნდება R h- ზე O წერტილიდან Ob 1 მანძილზე (შეიძლება იმავე პოზიციაზე იყოს სხვა პოზიცია R h, მაგრამ O- ს მეორე მხარეს). B 1 წერტილი არის ჰორიზონტი. B წერტილის პროექცია სივრცეში B 1 პოზიციაზე გადაადგილების შემდეგ, როდესაც A წერტილით და BC ხაზით განსაზღვრულმა თვითმფრინავმა მიიღო T პოზიცია.

ნახაზის (ნახ .155, ი) სწორი ხაზი b 1 1-ის გავლით, ჩვენ ვიღებთ ჰორიზონტს. სწორი ხაზის პროექცია ძვ.წ., უკვე მდებარე || pl H იგივე თვითმფრინავში A. ამ პოზიციაში, მანძილი a- დან b 1 1-მდე ტოლია სასურველი მანძილი l. თვითმფრინავი P, რომელშიც მოცემულია მოცემული ელემენტები, შეიძლება შერწყმდეს pl. H (ნახ. 155, კ), გარდამტეხი pl. მის გარშემო ჰორიზონტი. კვალი. მივდივართ სიბრტყის A წერტილისა და BC წრფის მითითებით, BC და A-1 სწორი ხაზების დაზუსტებაზე (ნახ .155, ლ), ვხვდებით ამ სწორი ხაზების კვალს და მათ მეშვეობით ვხატავთ P ϑ და P h კვალს. ჩვენ ვაშენებთ (ნახ .155, მ) შერწყმული pl. H პოზიცია წინა. კვალი - P ϑ0.

დახაზეთ ჰორიზონტი a წერტილის გავლით. შუბლის პროექცია; გასწორებული ფრონტალი გადის point0 – ზე პარალელურად, რ გზაზე 2 წერტილში. წერტილი A 0 - შერწყმული pl. H არის წერტილის პოზიცია A. ანალოგიურად, ჩვენ ვხვდებით B 0 წერტილს. პირდაპირი მზე შერწყმული pl. H პოზიცია გადის B 0 წერტილსა და m წერტილში (ჰორიზონტალური ხაზის კვალი).

მანძილი A 0 წერტილიდან B 0 C 0 ხაზამდე უდრის საჭირო მანძილს l.

თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ მითითებული კონსტრუქცია, იპოვოთ მხოლოდ ერთი კვალი P h (ნახ .155, n და o). მთელი კონსტრუქცია ჰორიზონტლის გარშემო მობრუნების მსგავსია (იხ. ნახ. 155, გ, გ, ი): კვალი Рh კვადრატის ერთ-ერთი კონტურია. რ.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად ნახაზის გარდაქმნის მეთოდებიდან სასურველია ჰორიზონტალური ან შუბლის გარშემო ბრუნვის მეთოდი.

158. მოცემულია SABC პირამიდა (ნახ. 156). განსაზღვრეთ მანძილი:

ა) ფუძის B ზემოდან მის გვერდით AC პარალელური მოძრაობით;

ბ) S პირამიდის ზემოდან ძირისა და ფუძის გვერდებამდე ჰორიზონტალური ბრუნვის გზით;

გ) ზემო S– დან ბაზის AC– ის მხარეს პროექციული სიბრტყეების შეცვლით.

159. მოცემულია პრიზმა (ნახ. 157). განსაზღვრეთ მანძილი:

ა) AD და CF კიდეებს შორის პროექციული სიბრტყეების შეცვლით;

ბ) ნეკნებს შორის BE და CF შუბლის გარშემო ბრუნვით;

გ) AD და BE კიდეებს შორის პარალელური მოძრაობით.

160. განსაზღვრეთ ABCD ოთხკუთხედის რეალური ზომა (ნახ .158) pl- თან გასწორებით. H. გამოიყენეთ მხოლოდ ჰორიზონტალური სიბრტყის კვალი.

161 *. განისაზღვრება მანძილი AB და CD გადაკვეთის ხაზებს შორის (ნახ. 159, ა) და ააშენეთ მათზე საერთო პერპენდიკულარული პროგნოზები.

გადაწყვეტილება. გადაკვეთილ ხაზებს შორის მანძილი იზომება ორივე ხაზის პერპენდიკულარული სეგმენტის (MN) მიხედვით (ნახ. 159, ბ). ცხადია, თუ რომელიმე სწორი ხაზი მოთავსებულია რომელიმე კვადრატის პერპენდიკულარულად. თ მაშინ

ორივე ხაზის პერპენდიკულარული MN სეგმენტი კვადრატის პარალელური იქნება. ამ სიბრტყეზე T პროექცია აჩვენებს სასურველ მანძილს. მარჯვენა კუთხის პროექცია MN n AB კვადრატზე. T ასევე არის სწორი კუთხე m t n t- სა და t t t- ს შორის, ვინაიდან AMN- ის კუთხის ერთ-ერთი მხარე, კერძოდ MN. პლ-ის პარალელურად. თ.

ნახ. 159, c და d სასურველი მანძილი l განისაზღვრება პროექტორის სიბრტყეების შეცვლის მეთოდით. პირველი, ჩვენ წარმოგიდგენთ დამატებით კვადრატს. პროგნოზები S, პერპენდიკულარული pl. H და სწორი ხაზის CD პარალელურად (ნახ .159, გ). შემდეგ ჩვენ შემოგთავაზებთ სხვა დამატებით კვადრატს. T, pl- ის პერპენდიკულარული. S და პერპენდიკულარულია იმავე სწორი ხაზის CD– ზე (ნახ. 159, დ). ახლა თქვენ შეგიძლიათ ააშენოთ საერთო პერპენდიკულურის პროექცია m t n t წერტილით c t (d t) წერტილიდან p პერპენდიკულარულად a t b t პროექციისთვის. M t და n t წერტილები არის ამ პერპენდიკულარის გადაკვეთის წერტილების პროგნოზები AB და CD სწორი ხაზებით. M t წერტილზე (ნახ. 159, ე) m s- ზე ვხვდებით m: პროექცია m s n s უნდა იყოს T / S ღერძის პარალელური. გარდა ამისა, m s და n s ვხვდებით m და n ab და cd, და მათზე m "და n" a "b" და c "d".

ნახ. 159, გ გვიჩვენებს ამ პრობლემის მოგვარებას პარალელური მოძრაობების მეთოდით. პირველი, ჩვენ დავაყენეთ სწორი CD მოედნის პარალელურად. V: პროექცია c 1 d 1 || x შემდეგ, ჩვენ გადავდივართ CD და AB სწორ ხაზებს C 1 D 1 და A 1 B 1 პოზიციიდან C 2 B 2 და A 2 B 2 პოზიციებზე ისე, რომ C 2 D 2 პერპენდიკულარული იყოს H: პროექციაზე "2 d" 2 ⊥ x. ძებნილი პერპენდიკულარის სეგმენტი მდებარეობს || pl H და, შესაბამისად, m 2 n 2 გამოხატავს სასურველ მანძილს l AB– სა და CD– ს შორის. იპოვნეთ პროგნოზების პოზიცია m "2, და n" 2 a "2 b" 2 და c "2 d" 2, შემდეგ პროგნოზები და m 1 და m "1, n 1 და n" 1, და ბოლოს პროგნოზები m "და n" ", მ და ნ.

162. მოცემულია SABC პირამიდა (ნახ. 160). დაადგინეთ მანძილი SB- ის პირას და მის გვერდით AC პირამიდის ფუძეს და ააშენეთ SB და AC- ის საერთო პერპენდიკულარული პროგნოზები, პროექტორის თვითმფრინავების შეცვლის მეთოდის გამოყენებით.

163. მოცემულია SABC პირამიდა (ნახ. 161). განსაზღვრეთ მანძილი SH პირსა და პირამიდის ფუძის BC მხარეს შორის და ააშენეთ SX და BC საერთო პერპენდიკულურის პროექცია, პარალელური გადაადგილების მეთოდის გამოყენებით.

164 * განსაზღვრეთ მანძილი A წერტილიდან სიბრტყემდე იმ შემთხვევებში, როდესაც სიბრტყეზე მოცემულია: ა) BCD სამკუთხედი (ნახ. 162, ა); ბ) კვალი (ნახ. 162, ბ).

გადაწყვეტილება. როგორც მოგეხსენებათ, მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე იზომება წერტილიდან სიბრტყემდე დახრილი პერპენდიკულარის მნიშვნელობით. ეს მანძილი დაპროექტებულია ნებისმიერ მოედანზე. სრული ზომის პროგნოზები, თუ ეს სიბრტყე კვადრატის პერპენდიკულარულია. პროგნოზები (ნახ. 162, გ). ამ სიტუაციის მიღწევა შესაძლებელია ნახაზის გარდაქმნით, მაგალითად, კვადრატის შეცვლით. პროგნოზები. ჩვენ დანერგვა pl. S (ნახ .16 გ, დ), pl- ის პერპენდიკულარულად. სამკუთხედი BCD. ამისათვის ჩვენ ვხარჯავთ pl. სამკუთხედი ჰორიზონტალური B-1 და მოათავსეთ პროექტორის ღერძი S ჰორიზონტალური ბ-1 პროექციის პერპენდიკულარულად. ჩვენ ვაშენებთ წერტილისა და სიბრტყის პროექციებს - s და სეგმენტი c s d s. მანძილი s- დან c s d s- მდე ტოლია წერტილის საჭირო მანძილი l სიბრტყემდე.

რიოზე. 162, ე გამოიყენება პარალელური მოძრაობის მეთოდი. ჩვენ მთელ სისტემას ვამოძრავებთ მანამ, სანამ B-1 სიბრტყის ჰორიზონტალური ვერტიკალურია V სიბრტყეზე: პროექცია b 1 1 1 უნდა იყოს x ღერძზე პერპენდიკულარული. ამ მდგომარეობაში, სამკუთხედის სიბრტყე გახდება წინა-პროექცია, ხოლო A მანძილი l მანძილიდან L აღმოჩნდება კვადრატი. V დამახინჯების გარეშე.

ნახ. 162, b თვითმფრინავი განისაზღვრება კვალით. ჩვენ წარმოგიდგენთ (ნახ. 162, ე) დამატებით კვადრატს. S, პერპენდიკულარული pl. P: S / H ღერძი P- ს პერპენდიკულარულად. დანარჩენი ნახაზიდან ნათელია. ნახ. 162, პრობლემა გადაწყდა ერთი მოძრაობით: pl. P გადადის პოზიციაში P 1, ანუ ის ხდება წინა – პროექცია. სიმღერა Р 1h არის x ღერძის პერპენდიკულარული. ჩვენ ვაშენებთ ფრონტს თვითმფრინავის ამ პოზიციაში. ჰორიზონტალური კვალი - წერტილი n "1, n 1. კვალი P 1ϑ გაივლის P 1x და n 1. მანძილი" 1-დან P 1ϑ-მდე ტოლია სასურველი მანძილი l.

165. მოცემულია SABC პირამიდა (იხ. სურ. 160). პარალელური მოძრაობის მეთოდის გამოყენებით დაადგინეთ მანძილი A წერტილიდან პირამიდის SBC სახემდე.

166. მოცემულია SABC პირამიდა (იხ. სურათი 161). პირამიდის სიმაღლის დადგენა პარალელური მოძრაობის მეთოდის გამოყენებით.

167 *. განისაზღვრება მანძილი AB და CD გადაკვეთის ხაზებს შორის (იხ. ნახ. 159, ა), როგორც მანძილი ამ ხაზების გავლით პარალელურ სიბრტყეებს შორის.

გადაწყვეტილება. ნახ. 163, და გვიჩვენებს პარალელურ სიბრტყეებს P და Q, რომელთა pl. Q ხორციელდება CD– ს საშუალებით AB პარალელურად, და pl. R - AB პარალელურად pl. Q. მანძილი ასეთ სიბრტყეებს შორის არის მანძილი AB და CD გადაკვეთის ხაზებს შორის. ამასთან, თქვენ შეგიძლიათ შემოიფარგლოთ მხოლოდ ერთი თვითმფრინავის აგებით, მაგალითად, Q, AB პარალელურად, შემდეგ კი განსაზღვროთ მანძილი მინიმუმ A წერტილიდან ამ სიბრტყემდე.

ნახ. 163c გვიჩვენებს Q სიბრტყეს, რომელიც CD– ით არის პარალელურად AB; "ე" -ით დახატულ პროგნოზებში || a "b" და ce || აბ. კვადრატის შეცვლის მეთოდის გამოყენება. პროგნოზები (ნახ. 163, გ), ჩვენ შემოგთავაზებთ დამატებით კვადრატს. S, პერპენდიკულარული pl. V და ამავე დროს

პლპენდიკულური pl. Q. S / V ღერძის დასახატად, მიიღეთ თვითმფრინავი შუბლის D-1. ახლა ჩვენ ვხატავთ S / V პერპენდიკულარულს d "1" - ს (ნახ. 163, გ). პლ. Q გამოჩნდება pl. S როგორც სწორი ხაზი s d s- ით. დანარჩენი ნახაზიდან ნათელია.

168. გათვალისწინებულია პირამიდა SABC (იხ. სურ. 160). განისაზღვროს მანძილი SC და AB ნეკნებს შორის. გამოიყენეთ: 1) კვადრატის შეცვლის მეთოდი. პროგნოზები, 2) პარალელური მოძრაობის მეთოდი.

169 *. განსაზღვრეთ მანძილი პარალელურ სიბრტყეებს შორის, რომელთაგან ერთი მოცემულია AB და AC სწორი ხაზებით, ხოლო მეორე სწორი ხაზებით DE და DF (ნახ. 164, ა). ასევე შეასრულეთ კონსტრუქცია იმ შემთხვევისთვის, როდესაც თვითმფრინავები მოცემულია კვალით (ნახ. 164, ბ).

გადაწყვეტილება. მანძილი (ნახ. 164, გ) პარალელურ სიბრტყეებს შორის შეიძლება განისაზღვროს ერთი სიბრტყის ნებისმიერი წერტილიდან მეორე სიბრტყემდეზე პერპენდიკულარის დახაზვით. ნახ. 164, გ შემოიღო დამატებითი pl. S პლპენდიკულარული pl. H და ორივე მოცემულ თვითმფრინავს. S.H ღერძი ჰორიზონტის პერპენდიკულარულია. ერთ – ერთ სიბრტყეზე დახატული ჰორიზონტალური პროექცია. ჩვენ ვაშენებთ ამ თვითმფრინავის პროექციას და წერტილს სხვა სიბრტყეზე მოედანზე. 5. d s წერტილის დაშორება სწორ ხაზამდე l s a s ტოლია საჭირო მანძილს პარალელურ სიბრტყეებს შორის.

ნახ. 164, დ მოცემულია სხვა კონსტრუქცია (პარალელური მოძრაობის მეთოდის მიხედვით). იმისათვის, რომ სიბრტყე, გამოხატული AB და AC გადაკვეთის სწორი ხაზებით, პერპენდიკულარული იყოს pl. V, ჰორიზონტი. ჩვენ ვაყენებთ ამ სიბრტყის ჰორიზონტალური პროექციას x ღერძზე პერპენდიკულარულად: 1 1 2 1 ⊥ x. მანძილი ფრონტს შორის. პროექცია d "1 წერტილი D და სწორი ხაზი a" 1 2 "1 (წინა. თვითმფრინავის პროექცია) უდრის საჭირო მანძილს თვითმფრინავებს შორის.

ნახ. 164, ე გვიჩვენებს დამატებითი pl. S, H ფართობის პერპენდიკულარულად და მოცემული თვითმფრინავები P და Q (S / H ღერძი პერპენდიკულარულია P h და Q h ბილიკებზე). ჩვენ ვაშენებთ კვალი P s, და Q s. მანძილი მათ შორის (იხ. ნახ. 164, გ) უდრის საჭირო მანძილს l სიბრტყეებს P და Q– ს შორის.

ნახ. 164, გ გვიჩვენებს თვითმფრინავების P 1 n Q 1 მოძრაობას, P 1 და Q 1 პოზიციებზე, როდესაც ჰორიზონტი მდებარეობს. ტრეკები აღმოჩნდება x- ღერძის პერპენდიკულარულად. მანძილი ახალ ფრონტს შორის. P 1ϑ და Q 1ϑ კვალით ტოლია საჭირო მანძილი l.

170. მოცემულია ABCDEFGH პარალელეპიპედი (ნახ. 165). განსაზღვრეთ მანძილი: ა) პარალელეპიპედის ფუძეებს შორის - l 1; ბ) ABFE და DCGH სახეებს შორის - l 2; გ) კიდეებს ADHE და BCGF-l 3.