რიცხვითი დაყოფის ტესტები- ეს არის წესები, რომლებიც საშუალებას იძლევა, დაყოფის გარეშე, შედარებით სწრაფად გაირკვეს, იყოფა თუ არა ეს რიცხვი მოცემულზე დანარჩენის გარეშე.
Ზოგიერთი დაყოფის კრიტერიუმები საკმაოდ მარტივი, ზოგი უფრო რთული. ამ გვერდზე ნახავთ როგორც უბრალო რიცხვების დაყოფის კრიტერიუმებს, მაგალითად, 2, 3, 5, 7, 11 და კომპოზიციური რიცხვების დაყოფის კრიტერიუმებს, მაგალითად, 6 ან 12.
იმედი მაქვს, რომ ეს ინფორმაცია გამოგადგებათ.
ბედნიერი სწავლა!

დაყოფა 2-ზე

ეს არის დაყოფის ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი კრიტერიუმი. ეს ასე ჟღერს: თუ ბუნებრივი რიცხვის ჩაწერა მთავრდება ლუწი ციფრით, ეს არის ლუწი (იყოფა 2-ზე დარჩენილი ნაწილის გარეშე), და თუ რიცხვის ჩაწერა დასრულდა უცნაური ციფრით, ეს რიცხვი უცნაურია.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რიცხვის ბოლო ციფრია 2 , 4 , 6 , 8 ან 0 - რიცხვი იყოფა 2-ზე, თუ არა, მაშინ ის არ იყოფა
მაგალითად, ციფრები: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 იყოფა 2-ზე, რადგან ისინი ლუწი არიან.
და ციფრები: 23 5 , 137 , 2303
არ იყოფა 2-ზე, რადგან ისინი უცნაურია.

დაყოფა 3-ზე

დაყოფის ამ კრიტერიუმს აქვს სრულიად განსხვავებული წესები: თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე, მაშინ რიცხვი ასევე იყოფა 3-ზე; თუ რიცხვის ციფრების ჯამი არ იყოფა 3-ზე, მაშინ რიცხვი არც 3-ზე იყოფა.
ასე რომ, იმის გასაგებად, იყოფა თუ არა რიცხვი 3-ზე, უბრალოდ უნდა დაამატოთ ის რიცხვები, რომელთაგან ის შედგება.
ასე გამოიყურება: 3987 და 141 იყოფა 3-ზე, რადგან პირველ შემთხვევაში 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - იყოფა 3-ზე ostak- ის გარეშე), ხოლო მეორეში 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - ასევე იყოფა 3-ზე ostak- ის გარეშე).
მაგრამ ციფრები: 235 და 566 არ იყოფა 3-ზე, რადგან 2 + 3 + 5 \u003d 10 და 5 + 6 + 6 \u003d 17 (და ჩვენ ვიცით, რომ არც 10 და არც 17 არ იყოფა 3-ზე დარჩენილი ნაწილის გარეშე).

დაყოფა 4-ზე

დაყოფის ეს კრიტერიუმი უფრო რთული იქნება. თუ რიცხვის ბოლო 2 ციფრი ქმნის რიცხვს, რომელიც იყოფა 4-ზე ან არის 00, მაშინ რიცხვი იყოფა 4-ზე, წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს რიცხვი არ იყოფა 4-ზე დანარჩენი ნაწილის გარეშე.
მაგალითად: 1 00 და 3 64 იყოფა 4-ზე, რადგან პირველ შემთხვევაში, რიცხვი მთავრდება 00 და მეორეში 64 , რაც, თავის მხრივ, იყოფა 4-ზე, დარჩენილი ნაწილის გარეშე (64: 4 \u003d 16)
რიცხვები 3 57 და 8 86 არ იყოფა 4-ზე, რადგან არც 57 არც 86 არ იყოფა 4-ზე, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეესაბამება გაყოფის მოცემულ კრიტერიუმს.

დაყოფა 5-ზე

და ისევ გვაქვს საკმაოდ მარტივი დაყოფის ნიშანი: თუ ბუნებრივი რიცხვის ჩანაწერი მთავრდება ციფრით 0 ან 5, მაშინ ეს რიცხვი იყოფა დარჩენილი ნაწილის გარეშე 5-ზე. თუ რიცხვის ჩანაწერი მთავრდება სხვა ციფრით, მაშინ რიცხვი არ იყოფა 5-ზე დარჩენილი ნაწილის გარეშე.
ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ციფრებით მთავრდება 0 და 5 მაგ. 1235 წ 5 და 43 0 , ხვდება წესის ქვეშ და იყოფა 5-ზე.
და, მაგალითად, 1549 წ 3 და 56 4 არ მთავრდება 5-ით ან 0-ით, რაც ნიშნავს რომ ისინი 5-ზე არ შეიძლება იყოფა ნარჩენების გარეშე.

დაყოფა 6-ზე

ჩვენს წინაშე არის კომპოზიტური რიცხვი 6, რომელიც არის 2 და 3 რიცხვების პროდუქტი. მაშასადამე, 6-ზე დაყოფა ასევე კომპოზიტურია: იმისათვის, რომ რიცხვი იყოფა 6-ზე, იგი უნდა შეესაბამებოდეს ერთდროულად ორ დაყოფის მახასიათებელს: დაყოფის მახასიათებელი 2-ზე და გამყოფი ნიშანი 3-ზე. ამავე დროს, გაითვალისწინეთ, რომ ისეთ კომპოზიციურ რიცხვს, როგორიცაა 4, აქვს დაყოფის ინდივიდუალური ნიშანი, რადგან იგი თავისთავად არის რიცხვი 2-ის პროდუქტი. მაგრამ დავუბრუნდეთ 6 კრიტერიუმზე დაყოფას.
ციფრები 138 და 474 არის ლუწი და შეესაბამება დაყოფის კრიტერიუმებს 3-ზე (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 და 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), რაც ნიშნავს რომ ისინი იყოფა 6-ზე. მაგრამ 123 და 447, მართალია ისინი იყოფა 3-ზე (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 და 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), მაგრამ ისინი უცნაურია, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეესაბამება გაყოფის კრიტერიუმს 2-ზე, და ამიტომ არ შეესაბამება დაყოფის კრიტერიუმს 6-ზე.

დაყოფა 7-ზე

დაყოფის ეს ნიშანი უფრო რთულია: რიცხვი იყოფა 7-ზე, თუ ამ რიცხვის ათეულების ბოლო გაორმაგებული ციფრის გამოკლების შედეგი იყოფა 7-ზე ან უდრის 0-ს.
საკმაოდ გაუგებარია, მაგრამ პრაქტიკაში მარტივი. თავად ნახეთ: ნომერი 95 9 იყოფა 7-ზე, რადგან 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 იყოფა 7-ზე დარჩენილი ნაწილის გარეშე). უფრო მეტიც, თუ ტრანსფორმაციების დროს მიღებულ რაოდენობასთან დაკავშირებული სირთულეები წარმოიშვა (მისი ზომის გამო, ძნელი გასაგებია, იყოფა იგი 7-ზე თუ არა, მაშინ ეს პროცედურა შეიძლება გაგრძელდეს იმდენჯერ, რამდენჯერაც საჭიროდ მიიჩნევთ).
Მაგალითად, 45 5 და 4580 1-ს აქვს 7-ზე დაყოფის ნიშნები. პირველ შემთხვევაში, ყველაფერი საკმაოდ მარტივია: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. მეორე შემთხვევაში, ჩვენ ამას გავაკეთებთ: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. ჩვენთვის ძნელი გასაგებია თუ 457 8-ით 7-ით, მოდით, გავიმეოროთ პროცესი: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. და ისევ გამოვიყენებთ დანაწილების კრიტერიუმს, რადგან ჯერ კიდევ გვაქვს სამნიშნა რიცხვი 44 1. ასე რომ, 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, ე.ი. 42 იყოფა 7-ზე ნარჩენის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 45801 იყოფა 7-ზე.
მაგრამ ციფრები 11 1 და 34 5 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 11 -2 * 1 \u003d 11 - 2 \u003d 9 (9 თანაბრად არ იყოფა 7-ზე) და 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 თანაბრად არ იყოფა 7-ზე).

დაყოფა 8-ზე

8-ზე დაყოფა შემდეგია: თუ ბოლო 3 ციფრი ქმნის რიცხვს, რომელიც იყოფა 8-ზე, ან 000-ზე, მაშინ მოცემული რიცხვი იყოფა 8-ზე.
ნომრები 1 000 ან 1 088 იყოფა 8-ზე: პირველი მთავრდება 000 , მეორე 88 : 8 \u003d 11 (ნაწილის გარეშე იყოფა 8-ზე).
მაგრამ ციფრები 1 100 ან 4 757 არ იყოფა 8-ზე, რადგან ციფრები 100 და 757 თანაბრად არ იყოფა 8-ზე.

დაყოფა 9-ზე

დაყოფის ეს ნიშანი 3-ზე გაყოფის ნიშნის მსგავსია: თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე, მაშინ რიცხვი ასევე იყოფა 9-ზე; თუ რიცხვის ციფრების ჯამი არ იყოფა 9-ზე, მაშინ რიცხვიც არ იყოფა 9-ზე.
მაგალითად: 3987 და 144 იყოფა 9-ზე, რადგან პირველ შემთხვევაში 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - იყოფა 9-ზე ostak- ის გარეშე), ხოლო მეორეში 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - ასევე იყოფა 9-ზე ostak- ის გარეშე).
მაგრამ ციფრები: 235 და 141 არ იყოფა 9-ზე, რადგან 2 + 3 + 5 \u003d 10 და 1 + 4 + 1 \u003d 6 (და ჩვენ ვიცით, რომ არც 10 და არც 6 არ იყოფა 9-ზე დანარჩენის გარეშე).

დაყოფა 10, 100, 1000 და სხვა ბიტიან ერთეულებზე

დანაწევრების ეს ნიშნები გავაერთიანე, რადგან მათი ანალოგიურად აღწერა შეიძლება: რიცხვი იყოფა ბიტის ერთეულად, თუ ნულის რიცხვი რიცხვის ბოლოს მოცემულ ბიტიან ერთეულში მეტია ან ტოლია ნულის რაოდენობისა.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ გვაქვს ასეთი რიცხვები: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... რომელთაგან ყველა იყოფა 1-ზე 0 ; 46400 და 867 000 ასევე იყოფა 1-ზე 00 ; და მხოლოდ ერთი მათგანი - 867 000 იყოფა 1-ზე 000 .
ნებისმიერი რიცხვი, რომელსაც ბოლოს ნაკლები ნული აქვს, ვიდრე bit ერთეულს, არ იყოფა ამ bit ერთეულზე, მაგალითად 600 30 და 7 93 არ იყოფა 1 00 .

დაყოფა 11-ზე

იმისათვის, რომ გაიგოთ, იყოფა თუ არა რიცხვი 11-ზე, უნდა მიიღოთ სხვაობა ამ რიცხვის ლუწი და კენტი ციფრების ჯამებს შორის. თუ ეს სხვაობა ტოლია 0-ის ან იყოფა 11-ზე დარჩენილი ნაწილის გარეშე, მაშინ თვით რიცხვი იყოფა 11-ზე დარჩენილი ნაწილის გარეშე.
უფრო გასაგებად რომ ვთქვა, მე გთავაზობთ მაგალითების განხილვას: 2 35 4 იყოფა 11-ზე, რადგან ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 ასევე იყოფა 11-ზე, ვინაიდან ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
მაგრამ 1 1 1 ან 4 35 4 არ იყოფა 11-ზე, ვინაიდან პირველ შემთხვევაში მივიღებთ (1 + 1) - 1 \u003d 1, ხოლო მეორეში ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

დაყოფა 12-ზე

რიცხვი 12 არის რთული. მისი დაყოფის კრიტერიუმია დაყოფის კრიტერიუმებთან შესაბამისობა 3 და 4 ერთდროულად.
მაგალითად, 300 და 636 შეესაბამება ორივე დაყოფის ნიშნებს 4-ზე (ბოლო 2 ციფრი არის ნულები ან იყოფა 4-ზე) და დაყოფის ნიშნები 3-ზე (ციფრების ჯამი და პირველი და სამჯერ იყოფა რიცხვი 3-ზე) და znit, ისინი იყოფა 12-ზე დარჩენილი ნაწილის გარეშე.
მაგრამ 200 ან 630 არ იყოფა 12-ზე, რადგან პირველ შემთხვევაში ეს რიცხვი შეესაბამება მხოლოდ დაყოფის კრიტერიუმს 4-ზე, ხოლო მეორეში - მხოლოდ დაყოფის კრიტერიუმს 3-ზე, მაგრამ არა ორივე ნიშნის ერთდროულად.

დაყოფა 13-ზე

13-ზე გაყოფის ნიშანი არის ის, რომ თუ რიცხვის ათეულების რიცხვი, რომელსაც დაემატება ამ რიცხვის 4 ერთზე გამრავლებული, არის 13-ის ჯერადი ან უდრის 0-ს, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 13-ზე.
მაგალითად ავიღოთ 70 2. ასე რომ, 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 იყოფა 13-ზე დარჩენილი ნაწილის გარეშე), რაც ნიშნავს 70 2 იყოფა 13-ზე, დარჩენილი ნაწილის გარეშე. კიდევ ერთი მაგალითია რიცხვი 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. რიცხვი 130 იყოფა 13-ზე, დარჩენილი ნაწილის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული რიცხვი შეესაბამება დაყოფის კრიტერიუმს 13-ზე.
თუ ციფრებს ავიღებთ 12 5 ან 21 2, შემდეგ მივიღებთ 12 + 4 * 5 \u003d 32 და 21 + 4 * 2 \u003d 29, შესაბამისად, არც 32 და არც 29 არ იყოფა 13 – ზე დარჩენილი ნაწილის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული რიცხვები თანაბრად არ იყოფა 13 – ზე.

რიცხვების დაყოფა

როგორც ზემოდან ჩანს, შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ რომელიმე ბუნებრივი რიცხვები თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ საკუთარი ინდივიდუალური დაყოფის მახასიათებელი ან "კომპოზიტური" მახასიათებელი, თუ ეს რიცხვი მრავლდება რამდენიმე სხვადასხვა რიცხვისა. როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ზოგადად, რაც უფრო დიდი რიცხვია, მით უფრო რთულია მისი ნიშანი. გაყოფის კრიტერიუმის შემოწმებაზე დახარჯული დრო შეიძლება იყოს ტოლი ან მეტი, ვიდრე თავად დაყოფა. ამიტომ, ჩვენ ჩვეულებრივ ვიყენებთ დაყოფის კრიტერიუმების უმარტივეს კრიტერიუმებს.

სტატიაში განხილულია მთელი რიცხვის დანარჩენი ნაწილის დაყოფის კონცეფცია. მოდით დავამტკიცოთ თეორემა მთლიანი რიცხვის დაყოფის დანარჩენი ნაწილის თეორემის შესახებ და განვიხილოთ კავშირი დივიდენდებსა და გამყოფებს შორის, არასრული კოეფიციენტები და ნარჩენები. განვიხილოთ წესები, როდესაც სრულდება მთლიანი რიცხვის ნარჩენებით დაყოფა, მაგალითების დეტალური გათვალისწინებით. ამოხსნის ბოლოს მოდით გადავამოწმოთ.

მთლიანი რიცხვის გაყოფის გაგება ნარჩენებით

მთლიანი რიცხვის დაყოფა ნაშთთან ერთად განიხილება, როგორც განზოგადებული დაყოფა ბუნებრივი რიცხვების ნარჩენებით. ეს კეთდება იმიტომ, რომ ნატურალური რიცხვები მთელი რიცხვების განუყოფელია.

თვითნებური რიცხვის ნარჩენთან დაყოფა ნიშნავს, რომ a მთელი რიცხვი იყოფა არა ნულოვანი რიცხვით b. თუ b \u003d 0, მაშინ არ ხდება ნაშთის დაყოფა.

ისევე როგორც ნატურალური რიცხვების დაყოფა ნაშთი, a და b მთელი რიცხვების დაყოფა, თუ b განსხვავდება ნულისგან, ასრულებს c და d. ამ შემთხვევაში, a და b ეწოდება დივიდენდს და გამყოფს, ხოლო d არის გაყოფის დარჩენილი ნაწილი, c არის მთელი რიცხვი ან არასრული კოეფიციენტი.

თუ ვივარაუდებთ, რომ დარჩენილი ნაწილი არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი, მაშინ მისი მნიშვნელობა არ აღემატება b რიცხვის მოდულს. მოდით, ასე დავწეროთ: 0 ≤ d ≤ b. უტოლობების ეს ჯაჭვი გამოიყენება 3 ან მეტი რიცხვის შედარებისას.

თუ c არასრული კოეფიციენტია, მაშინ d არის a რიცხვი a -ზე b გაყოფის დარჩენილი ნაწილი, მოკლედ შეგიძლიათ დააფიქსიროთ: a: b \u003d c (დარჩენილი d).

დარჩენილი რიცხვი a- ზე b- ზე გაყოფისას ნულის ტოლია, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ a იყოფა b- ზე, ანუ ნარჩენის გარეშე. განყოფილება დანარჩენის გარეშე ითვლება დაყოფის განსაკუთრებულ შემთხვევად.

თუ ნულს გავყოფთ ზოგიერთ რიცხვზე, შედეგად მივიღებთ ნულს. განყოფილების დარჩენილი ნაწილი ასევე იქნება ნული. ეს შეიძლება ითქვას ნულის მთლიანი რიცხვის დაყოფის თეორიაში.

მოდით გადავხედოთ მთელი რიცხვის დარჩენილი ნაწილის დაყოფის მნიშვნელობას.

ცნობილია, რომ დადებითი მთელი რიცხვები ბუნებრივია, მაშინ ნარჩენთან გაყოფისას მიიღებ იგივე მნიშვნელობას, რაც ნატურალური რიცხვების ნარჩენზე გაყოფისას.

ნ უარყოფითი მთელი რიცხვი a დადებით რიცხვზე დაყოფისას აზრი აქვს. მოდით ვნახოთ მაგალითი. სიტუაციის წარმოდგენა, როდესაც ჩვენ გვაქვს საგნების დავალიანება თანხის ოდენობით, რომელიც უნდა დაფარონ ბ ადამიანებმა. ეს მოითხოვს ყველას, რომ იგივე წვლილი შეიტანონ. თითოეული სესხის ოდენობის დასადგენად ყურადღება უნდა მიაქციოთ კერძო პირების ოდენობას. დანარჩენ დ-ში ნათქვამია, რომ ცნობილია საქონლის რაოდენობა ვალების დაფარვის შემდეგ.

ავიღოთ მაგალითი ვაშლთან. თუ 2 ადამიანს 7 ვაშლი სჭირდება. თუ ჩათვლით, რომ ყველამ 4 ვაშლი უნდა დააბრუნოს, სრული გაანგარიშების შემდეგ მათ 1 ვაშლი ექნებათ. მოდით, დავწეროთ ეს თანასწორობის სახით: (- 7): 2 \u003d - 4 (o პუნქტით 1).

ნებისმიერი რიცხვის a დაყოფას მთელი რიცხვისთვის აზრი არ აქვს, მაგრამ ეს შესაძლებელია, როგორც ვარიანტი.

დაყოფის თეორემა მთელი რიცხვისთვის დარჩენილი ნაწილისთვის

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ a არის დივიდენდი, შემდეგ b არის გამყოფი, c არასრული კოეფიციენტია, ხოლო d არის დარჩენილი. ისინი ერთმანეთთან არიან დაკავშირებული. ჩვენ ვაჩვენებთ ამ კავშირს a \u003d b c + d თანასწორობის გამოყენებით. მათ შორის კავშირი ხასიათდება დანარჩენი დაყოფის თეორემით.

თეორემა

ნებისმიერი მთელი რიცხვის წარმოდგენა შესაძლებელია მხოლოდ მთელი რიცხვისა და ნულოვანი რიცხვის მეშვეობით b ამ გზით: a \u003d b q + r, სადაც q და r არის მთელი მთელი რიცხვი. აქ გვაქვს 0 ≤ r ≤ b.

მოდით დავამტკიცოთ a \u003d b q + r არსებობის შესაძლებლობა.

მტკიცებულებები

თუ არსებობს ორი რიცხვი a და b, და a იყოფა b- ზე, ნარჩენების გარეშე, მაშინ განმარტება გულისხმობს, რომ არსებობს q რიცხვი, რომელიც მართალი იქნება a \u003d b q თანასწორობა. მაშინ ტოლობა შეიძლება ჭეშმარიტად ჩაითვალოს: a \u003d b q + r ამისთვის r \u003d 0.

მაშინ აუცილებელია q ისეთი მივიღოთ, რომ მოცემულია b q უტოლობით< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

ჩვენ გვაქვს, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა a - b q მეტია ნულზე და არა უმეტეს b რიცხვის მნიშვნელობაზე, აქედან გამომდინარეობს, რომ r \u003d a - b q. მივიღებთ, რომ a ნომერი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს a \u003d b q + r- ით.

ახლა საჭიროა განვიხილოთ b \u003d უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის a \u003d b q + r წარმოდგენის შესაძლებლობა.

რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა დადებითია, შემდეგ მივიღებთ a \u003d b q 1 + r, სადაც მნიშვნელობა q 1 არის მთელი რიცხვი, r არის მთელი რიცხვი, რომელიც ემთხვევა პირობას 0 condition r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

უნიკალურობის დამადასტურებელი საბუთი

დავუშვათ, რომ a \u003d bq + r, q და r არის მთელი რიცხვი ნამდვილი პირობით 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 და რ 1 რამდენიმე რიცხვია, სად q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1< b .

როდესაც მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან გამოკლდება უტოლობა, მაშინ მივიღებთ 0 \u003d b · (q - q 1) + r - r 1, რაც ექვივალენტურია r - r 1 \u003d b · q 1 - q. ვინაიდან გამოიყენება მოდული, ვიღებთ თანასწორობას r - r 1 \u003d b q 1 - q.

მოცემული პირობა ამბობს, რომ 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qდა q 1- მთელი რიცხვები და q ≠ q 1, შემდეგ q 1 - q ≥ 1. აქედან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს b q 1 - q ≥ b. შედეგად მიღებული უტოლობები r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

აქედან გამომდინარეობს, რომ a ნომერი სხვაგვარად ვერ იქნება წარმოდგენილი, გარდა ასეთი აღნიშვნით a \u003d b q + r.

კავშირი დივიდენდს, გამყოფს, არასრულ კოეფიციენტს და ნაშთს შორის

A \u003d b c + d ტოლობის გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ უცნობი დივიდენდი a, როდესაც იცით b გამყოფი არასრული კოეფიციენტი c და დარჩენილი d.

მაგალითი 1

დაადგინეთ დივიდენდი, თუ გაყოფაში მივიღებთ - 21, არასრული კოეფიციენტი 5 და დარჩენილი 12.

გადაწყვეტილება

აუცილებელია დივიდენდის გამოთვლა ცნობილი გამყოფი b \u003d - 21, არასრული კოეფიციენტი c \u003d 5 და დარჩენილი d \u003d 12. აუცილებელია მივმართოთ a \u003d b c + d თანასწორობას, საიდანაც მივიღებთ a \u003d (- 21) 5 + 12. მოქმედებების შესრულების წესის შესაბამისად, ვამრავლებთ - 21-ზე 5-ზე, ამის შემდეგ მივიღებთ (- 21) 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93-ს.

პასუხი: - 93 .

კავშირი გამყოფსა და არასრულ კოეფიციენტსა და ნაშთს შორის შეიძლება გამოიხატოს ტოლობების გამოყენებით: b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b და d \u003d a - b c. მათი დახმარებით შეგვიძლია გამოვთვალოთ გამყოფი, ნაწილობრივი კოეფიციენტი და ნაშთი. ეს ინახება მუდმივად ნაშთის პოვნაში a მთლიანი რიცხვის a -ზე გაყოფის შემდეგ, ცნობილი დივიდენდით, გამყოფი და არასრული კოეფიციენტით. ფორმულა გამოიყენება d \u003d a - b c. დეტალურად განვიხილოთ გამოსავალი.

მაგალითი 2

იპოვნეთ მთლიანი რიცხვის დაყოფის დარჩენილი ნაწილი - 19 მთელი 3-ზე, ცნობილი არასრული კოეფიციენტით - 7-ით.

გადაწყვეტილება

გაყოფის დარჩენილი ნაწილის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ისეთი ფორმულა, როგორიცაა d \u003d a - b · c. პირობითად, ყველა მონაცემი ხელმისაწვდომია a \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7. აქედან ვიღებთ d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (სხვაობაა - 19 - (- 21). ეს მაგალითი გამოითვლება გამოკლების წესის შესაბამისად მთელი უარყოფითი რიცხვი.

პასუხი: 2 .

ყველა დადებითი მთელი რიცხვი ბუნებრივია. აქედან გამომდინარეობს, რომ დაყოფა ხორციელდება დაყოფის ყველა წესის შესაბამისად, ნატურალური რიცხვების დარჩენილი ნაწილით. მნიშვნელოვანია ბუნებრივი რიცხვების ნარჩენებთან დაყოფის სიჩქარე, რადგან მას ემყარება არა მხოლოდ პოზიტიურის დაყოფა, არამედ თვითნებური მთელი რიცხვების გაყოფის წესები.

დაყოფის ყველაზე მოსახერხებელი მეთოდი არის სვეტი, ვინაიდან უფრო ადვილია და უფრო სწრაფია არასრული ან მხოლოდ დანარჩენი კოეფიციენტის მიღება. მოდით განვიხილოთ გამოსავალი უფრო დეტალურად.

მაგალითი 3

14671 გაყო 54-ზე.

გადაწყვეტილება

ეს დაყოფა უნდა შესრულდეს სვეტში:

ანუ არასრული კოეფიციენტი აღმოჩნდება 271, ხოლო დარჩენილია 37.

პასუხი: 14 671: 54 \u003d 271. (გაჩერება 37)

უარყოფითი მთელი რიცხვის მიერ დადებითი მთლიანი რიცხვის დარჩენილი ნაწილის გაყოფის წესი, მაგალითები

უარყოფითი მთელი რიცხვით დადებითი რიცხვის დარჩენილი ნაწილის განყოფილების შესასრულებლად აუცილებელია წესის ფორმულირება.

განმარტება 1

პოზიტიური მთლიანი a რიცხვის უარყოფითი რიცხვი უარყოფითი რიცხვისთვის b მივიღებთ რიცხვს, რომელიც ეწინააღმდეგება არასრული კოეფიციენტისა a რიცხვების აბსოლუტური მნიშვნელობების გაყოფას b- ზე. მაშინ ნარჩენი ტოლია ნაშთის, როდესაც a იყოფა b- ზე.

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს, რომ მთელი პოზიტიური რიცხვის დაყოფის არასრული კოეფიციენტი უარყოფითი მთელი რიცხვით ითვლება არა-პოზიტიური მთელი რიცხვით.

მივიღებთ ალგორითმს:

• დაყოფის ნაწილის მოდული გამყოფი მოდულის მიხედვით, მაშინ მივიღებთ არასრულ კოეფიციენტს და
• დარჩენილი ნაწილი;
• მივიღებთ მიღებულ რიცხვის საპირისპირო რიცხვს.

განვიხილოთ ალგორითმის მაგალითი დადებითი მთლიანი რიცხვის უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის დაყოფისთვის.

მაგალითი 4

17-ის დარჩენილი ნაწილის გაყოფა - 5-ზე.

გადაწყვეტილება

მოდით გამოვიყენოთ დაყოფის ალგორითმი დადებითი მთლიანი რიცხვის ნეგატიური მთელი რიცხვით. 17 უნდა გაყოთ 5 – ზე მოდულად. აქედან ვიღებთ რომ არასრული კოეფიციენტია 3, ხოლო დარჩენილია 2.

მივიღებთ, რომ საჭირო რიცხვი 17-ის გაყოფისგან - 5 \u003d - 3 დანარჩენი 2-ით.

პასუხი: 17: (- 5) \u003d - 3 (დანარჩენი 2).

მაგალითი 5

45-ის გაყოფა - 15-ზე.

გადაწყვეტილება

აუცილებელია რიცხვების მოდულის გაყოფა. რიცხვი 45-ზე გავყოთ 15-ზე, მივიღებთ კოეფიციენტს 3 ნარჩენების გარეშე. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 45 იყოფა 15-ზე დანარჩენი ნაწილის გარეშე. პასუხში მივიღებთ - 3, ვინაიდან დაყოფა შესრულდა მოდულად.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

პასუხი: 45: (− 15) = − 3 .

დაყოფის წესის ფორმულირება ნარჩენებით შემდეგია.

განმარტება 2

იმისათვის, რომ მიიღოთ არასრული კოეფიციენტი c უარყოფითი მთელი რიცხვი a –ზე დაყოფისას b, უნდა გამოიყენოთ ამ რიცხვის საპირისპირო და გამოაკლოთ 1 მას, შემდეგ კი დარჩენილი d გამოითვლება ფორმულით: d \u003d a - b · c.

წესის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ გაყოფისას მივიღებთ არაუარყოფითი მთელი რიცხვის რიცხვს. ამოხსნის სიზუსტისთვის გამოიყენება a- ს b- ზე დარჩენილი ნაწილის დაყოფის ალგორითმი:

• დივიდენდისა და გამყოფი მოდულების პოვნა;
• მოდულის მიხედვით გაყოფა;
• დაწერე საპირისპირო რიცხვი და გამოკლე 1;
• გამოიყენეთ ფორმულა დარჩენილი ნაწილისთვის d \u003d a - b გ.

განვიხილოთ ამოხსნის მაგალითი, სადაც გამოიყენება ეს ალგორითმი.

მაგალითი 6

იპოვნეთ არასრული კოეფიციენტი და დაყოფის დარჩენილი ნაწილი - 17 5-ზე.

გადაწყვეტილება

გაყავით მოცემული რიცხვების მოდული. მივიღებთ ამას, რომ კოეფიციენტი იყოფა 3, ხოლო დარჩენილია 2. მას შემდეგ, რაც ჩვენ მივიღეთ 3, პირიქით არის 3. თქვენ უნდა გამოაკლოთ 1.

− 3 − 1 = − 4 .

მივიღებთ სასურველ მნიშვნელობას, ტოლი - 4-ის.

დარჩენილი ნაწილის გამოსათვლელად საჭიროა a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, შემდეგ d \u003d a - b c \u003d - 17 - 5 (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3

ეს ნიშნავს, რომ დაყოფის არასრული კოეფიციენტია რიცხვი - 4, ნარჩენი ტოლია 3-ით.

პასუხი: (- 17): 5 \u003d - 4 (დანარჩენი .3)

მაგალითი 7

დაიყოს უარყოფითი მთელი 1404 პოზიტიური 26-ზე.

გადაწყვეტილება

აუცილებელია სვეტით და ჯორით დაყოფა.

მივიღეთ რიცხვების აბსოლუტური მნიშვნელობების დაყოფა ნარჩენების გარეშე. ეს ნიშნავს, რომ დაყოფა შესრულებულია ნარჩენების გარეშე და სასურველი კოეფიციენტი \u003d - 54.

პასუხი: (− 1 404) : 26 = − 54 .

დაყოფის წესი ნეგატიური მთლიანი რიცხვის დარჩენილი ნაწილით, მაგალითები

საჭიროა განყოფილების წესის ფორმულირება უარყოფითი მთელი რიცხვის ნარჩენებით.

განმარტება 3

C არასრული კოეფიციენტის მისაღებად a უარყოფითი მთელი a რიცხვი უარყოფითი რიცხვის b- ზე, საჭიროა შესრულდეს გამოთვლების მოდული, შემდეგ დავამატოთ 1, შემდეგ შეგვიძლია შევასრულოთ გამოთვლები ფორმულის d \u003d a - b · c გამოყენებით.

აქედან გამომდინარეობს, რომ უარყოფითი რიცხვების დაყოფის არასრული კოეფიციენტი იქნება დადებითი რიცხვი.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ ეს წესი ალგორითმის სახით:

• დივიდენდისა და გამყოფი მოდულების პოვნა;
• დაყოფის ნაწილის მოდული გამყოფი მოდულის მიხედვით, არასრული კოეფიციენტის მისაღებად
• დარჩენილი ნაწილი;
• არასრული კოეფიციენტის 1-ის დამატება;
• დარჩენილი ნაწილის გაანგარიშება, ფორმულის საფუძველზე d \u003d a - b · c.

მოდით განვიხილოთ ეს ალგორითმი მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი 8

გაყოფისას იპოვნეთ არასრული კოეფიციენტი და ნაშთი - 17 - 5.

გადაწყვეტილება

ამოხსნის სისწორისთვის, ჩვენ გამოვიყენებთ დაყოფის ალგორითმს დარჩენილი ნაწილით. პირველ რიგში, რიცხვების მოდულის გაყოფა. აქედან მივიღებთ რომ არასრული კოეფიციენტი \u003d 3, ხოლო დარჩენილია 2. წესის თანახმად, საჭიროა არასრული კოეფიციენტის და 1-ის დამატება. მივიღებთ რომ 3 + 1 \u003d 4. აქედან ვიღებთ რომ მოცემული რიცხვების დაყოფის არასრული კოეფიციენტია 4.

დარჩენილი ნაწილის გამოსათვლელად გამოვიყენებთ ფორმულას. ჰიპოთეზის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს რომ a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, შემდეგ ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ d \u003d a - b c \u003d - 17 - (- 5) 4 \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. სასურველი პასუხი, ანუ დარჩენილია 3 და არასრული კოეფიციენტი 4.

პასუხი: (- 17): (- 5) \u003d 4 (დანარჩენი 3).

მთელი რიცხვების დარჩენილი ნაწილის დაყოფის შედეგის შემოწმება

რიცხვების გაყოფის დარჩენილი ნაწილის შესრულების შემდეგ, თქვენ უნდა შეამოწმოთ. ეს შემოწმება მოიცავს 2 ეტაპს. პირველ რიგში, d დარჩენილი ნაწილი მოწმდება არაუარყოფისთვის, 0 0 d მდგომარეობა< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

მოდით ვნახოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 9

დაყოფა გაკეთდა - 521 by - 12. კოეფიციენტი 44, დანარჩენი 7. Ჩეკი.

გადაწყვეტილება

რადგან დარჩენილი პოზიტიური რიცხვია, მისი მნიშვნელობა ნაკლებია გამყოფის მოდულზე. გამყოფი არის - 12, რაც ნიშნავს, რომ მისი მოდული არის 12. შეგიძლიათ გააგრძელოთ შემდეგი გამშვები პუნქტი.

ჰიპოთეზის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს, რომ a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. აქედან გამოვთვლით b c + d, სადაც b c + d \u003d - 12 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. აქედან გამომდინარეობს, რომ თანასწორობა ჭეშმარიტია. გადამოწმება გაიარა

მაგალითი 10

განყოფილების შემოწმების შესრულება (- 17): 5 \u003d - 3 (დანარჩენი - 2). სიმართლე მართალია?

გადაწყვეტილება

პირველი ეტაპის აზრი არის ის, რომ საჭიროა მთელი რიცხვების დარჩენილი ნაწილის გადანაწილება. ამრიგად, ცხადია, რომ მოქმედება არასწორად შესრულდა, რადგან დარჩენილია მოცემული, ტოლია - 2-ის. დარჩენილი ნაწილი არ არის უარყოფითი.

ჩვენ გვაქვს, რომ მეორე პირობა დაკმაყოფილებულია, მაგრამ ამ საქმისთვის არასაკმარისია.

პასუხი: არა

მაგალითი 11

ნომერი - 19 გაყოფილი - 3-ზე. არასრული კოეფიციენტია 7, ხოლო დარჩენილია 1. შეამოწმეთ სწორია თუ არა გაანგარიშება.

გადაწყვეტილება

მოცემულია 1-ის დარჩენილი ნაწილი. ის პოზიტიურია. ეს უფრო ნაკლებია, ვიდრე გამყოფი მოდული, რაც ნიშნავს, რომ პირველი ეტაპი შესრულებულია. გადავიდეთ მეორე ეტაპზე.

გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა b c + d. ჰიპოთეზის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, შესაბამისად, ციფრული მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, მივიღებთ b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. აქედან გამომდინარეობს, რომ a \u003d b c + d ტოლობა არ არის, რადგან a \u003d - 19 მოცემულია პირობით.

აქედან გამომდინარეობს, რომ დაყოფა მოხდა შეცდომით.

პასუხი: არა

თუ ტექსტში შეცდომა შენიშნეთ, გთხოვთ, აირჩიოთ იგი და დააჭირეთ Ctrl + Enter

ამ სტატიაში გავაანალიზებთ მთლიანი რიცხვების დაყოფა დარჩენილი ნაწილით... დავიწყოთ მთლიანი რიცხვის დარჩენილი ნაწილის დაყოფის ზოგადი პრინციპიდან, ჩამოვაყალიბოთ და დავამტკიცოთ თეორემა მთლიანი რიცხვის დაყოფის შესახებ, გავაკვლიოთ კავშირები დივიდენდს, გამყოფს, არასრულ კოეფიციენტს და ნაშთს. შემდეგ, ჩვენ გავაჟღერებთ წესებს, რომლითაც ხორციელდება მთლიანი რიცხვის დაყოფა დარჩენილი ნაწილით და განვიხილავთ ამ წესების გამოყენებას მაგალითების ამოხსნისას. ამის შემდეგ, ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა შეამოწმოთ მთლიანი რიცხვის დანარჩენი ნაწილის დაყოფის შედეგი.

გვერდის ნავიგაცია.

დანარჩენი მთელი განყოფილების გაგება

ჩვენ განვიხილავთ ნარჩენების მთელი რიცხვის გაყოფას, როგორც განყოფილების განზოგადება ბუნებრივი რიცხვების ნარჩენთან. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ბუნებრივი რიცხვები მთელი რიცხვების შემადგენელი ნაწილია.

დავიწყოთ ტერმინებით და აღნიშვნებით, რომლებიც აღწერილობაშია გამოყენებული.

ანალოგიით ნატურალური რიცხვების ნარჩენთან გაყოფასთან ერთად, ვივარაუდებთ, რომ a და b მთელი რიცხვის ნარჩენის გაყოფის შედეგი (b არ არის ნულის ტოლი) არის ორი მთელი c და d რიცხვი. A და b რიცხვებს ეწოდება გაყოფადი და გამყოფი შესაბამისად, რიცხვი d - დარჩენილი a- ს დაყოფაზე b, და მთელი რიცხვი c ეწოდება არასრული პირადი (ან უბრალოდ კერძოთუ დარჩენილი ნულოვანია).

მოდით, ვეთანხმებით ვივარაუდოთ, რომ დარჩენილი ნაწილი არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი და მისი ღირებულება არ აღემატება b- ს, ანუ (ჩვენ შევხვდით უტოლობების მსგავს ჯაჭვებს, როდესაც ვსაუბრობდით სამი ან მეტი მთელი რიცხვის შედარებაზე).

თუ რიცხვი c არასრული კოეფიციენტია, ხოლო რიცხვი d არის a რიცხვი a -ზე რიცხვი b მთლიანი რიცხვის გაყოფა, მაშინ ამ ფაქტს მოკლედ დავწერთ, როგორც a ფორმა: b \u003d c (დარჩენილი d).

გაითვალისწინეთ, რომ a რიცხვი a -ზე მთელი b გაყოფისას, დარჩენილი ნაწილი შეიძლება იყოს ნული. ამ შემთხვევაში ნათქვამია, რომ a იყოფა b- ზე ნარჩენების გარეშე (ან მთლიანად) ამრიგად, მთლიანი რიცხვის ნარჩენების გარეშე დაყოფა წარმოადგენს მთლიანი რიცხვის დარჩენილი ნაწილის დაყოფის განსაკუთრებულ შემთხვევას.

აღსანიშნავია ისიც, რომ ნულის გაყოფისას მთელი რიცხვისთვის, ჩვენ ყოველთვის გვაქვს საქმე დაყოფის ნარჩენების გარეშე, რადგან ამ შემთხვევაში კოეფიციენტი იქნება ნულის ტოლი (იხილეთ თეორიის განყოფილება ნულის გაყოფაზე მთელი რიცხვის შესახებ), ხოლო დარჩენილი ნულის ტოლიც იქნება.

ჩვენ გადავწყვიტეთ ტერმინოლოგია და აღნიშვნები, ახლა მოდით გაერკვნენ, თუ რა მნიშვნელობით არის დაყოფილი მთელი რიცხვები დანარჩენზე.

უარყოფითი მთელი რიცხვის a –ს დაყოფა პოზიტიური მთელი რიცხვის b- ს ასევე შეიძლება ჰქონდეს აზრი. ამისათვის ჩათვალეთ უარყოფითი მთელი რიცხვი, როგორც დავალიანება. წარმოვიდგინოთ შემდეგი სიტუაცია. დავალიანება, რომელიც წარმოადგენს ნივთებს, უნდა გადაიხადოს b ადამიანმა, იგივე შენატანი. აბსოლუტური ღირებულება არასრული პირადი c ამ შემთხვევაში განსაზღვრავს თითოეული ამ ვალის ოდენობას, ხოლო დანარჩენი d აჩვენებს, თუ რამდენი ნივთი დარჩება სესხის გადახდის შემდეგ. მოდით მოვიყვანოთ მაგალითი. ვთქვათ, 2 ადამიანს 7 ვაშლი სჭირდება. თუ ჩავთვლით, რომ თითოეულ მათგანს 4 ვაშლი აქვს, მაშინ ვალის გადახდის შემდეგ მათ 1 ვაშლი ექნებათ. ეს სიტუაცია შეესაბამება თანასწორობას (−7): 2 \u003d −4 (დანარჩენი 1).

ჩვენ არ მივცემთ მნიშვნელობას დაყოფას ნეგატიური მთელი რიცხვის თვითნებური მთელი რიცხვის დარჩენილი ნაწილით, მაგრამ მას მას ვტოვებთ არსებობის უფლებით.

დაყოფის თეორემა მთელი რიცხვისთვის დარჩენილი ნაწილისთვის

როდესაც ვისაუბრეთ ნატურალური რიცხვების ნარჩენებზე დაყოფაზე, გავარკვიეთ, რომ დივიდენდი a, გამყოფი b, არასრული კოეფიციენტი c და ნარჩენი d დაკავშირებულია a \u003d b c + d თანასწორობით. მთელი რიცხვები a, b, c და d ერთნაირი ურთიერთობა აქვთ. ეს კავშირი დამტკიცებულია შემდეგის მიერ დარჩენილი გაყოფის თეორემა.

თეორემა.

ნებისმიერი მთელი a რიცხვი შეიძლება ცალსახად წარმოდგეს მთელი და არაზულოვანი რიცხვის b სახით a \u003d b q + r სახით, სადაც q და r არის მთელი რიცხვი და.

მტკიცებულებები.

პირველი, ჩვენ დავამტკიცებთ a \u003d b q + r წარმოდგენის შესაძლებლობას.

თუ a და b მთელი რიცხვები ისეთია, რომ a თანაბრად იყოფა b- ზე, მაშინ განსაზღვრებით არსებობს მთელი რიცხვი q ისეთი, რომ a \u003d b q. ამ შემთხვევაში, თანასწორობა a \u003d b q + r მოქმედებს r \u003d 0 –ზე.

ახლა ვივარაუდებთ, რომ b არის დადებითი მთელი რიცხვი. აირჩიეთ მთელი რიცხვი q ისეთი, რომ b q პროდუქტი არ აღემატებოდეს a- ს, ხოლო b პროდუქტი (q + 1) უკვე მეტია ვიდრე a. ანუ, ჩვენ ვიღებთ q- ს ისე, რომ უტოლობები b q

ეს რჩება a \u003d b q + r უარყოფითი b- ს წარმოდგენის შესაძლებლობის დასადასტურებლად.

ვინაიდან b რიცხვის მოდული ამ შემთხვევაში არის დადებითი რიცხვი, ამისათვის არსებობს გამოსახვა, სადაც q 1 არის მთელი რიცხვი, ხოლო r არის მთელი პირობა, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს. შემდეგ q \u003d −q 1-ის აღებით, ვიღებთ საჭირო წარმოდგენას a \u003d b q + r უარყოფითი b- სთვის.

ჩვენ გადავდივართ უნიკალურობის მტკიცებულებაზე.

დავუშვათ, რომ წარმოდგენის გარდა a \u003d bq + r, q და r არის მთელი რიცხვი და, არსებობს კიდევ ერთი წარმომადგენლობა a \u003d bq 1 + r 1, სადაც q 1 და r 1 მთელი რიცხვია, და q 1 q და.

პირველი ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან, შესაბამისად, მეორე ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარის გამოკლების შემდეგ, მივიღებთ 0 \u003d b (q - q 1) + r - r 1, რაც ექვივალენტურია r - r 1 \u003d b (q 1 −q) ... შემდეგ ფორმის თანასწორობა და რიცხვის მოდულის თვისებების მიხედვით, თანასწორობა .

პირობებიდან და ჩვენ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ. მას შემდეგ, რაც q და q 1 არის მთელი რიცხვი და q q 1, ამიტომ დავასკვნათ, რომ ... მიღებული უტოლობებიდან და აქედან გამომდინარეობს, რომ ფორმის თანასწორობა ჩვენი ვარაუდით შეუძლებელია. ამიტომ, a რიცხვის სხვა წარმოდგენა არ არსებობს, გარდა a \u003d b q + r.

ბმულები დივიდენდს, გამყოფს, არასრული კოეფიციენტი და დარჩენილი ნაწილი

A \u003d b c + d ტოლობა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ უცნობი დივიდენდი a, თუ იცით b გამყოფი, არასრული კოეფიციენტი c და დარჩენილი d. მოდით ვნახოთ მაგალითი.

მაგალითი.

რა არის დივიდენდი, თუ მისი რიცხვი the21-ზე დაყოფისას არასრული კოეფიციენტია 5, ხოლო დარჩენილია 12?

გადაწყვეტილება.

ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ დივიდენდი a, როდესაც ვიცით გამყოფი b \u003d −21, ნაწილობრივი კოეფიციენტი c \u003d 5 და დარჩენილი d \u003d 12. მივდივართ a \u003d b c + d თანასწორობაზე, მივიღებთ a \u003d (- 21) 5 + 12. დაკვირვებით, ჯერ ვამრავლებთ gers21 და 5 მთელ რიცხვს სხვადასხვა ნიშნით მთელი რიცხვის გამრავლების წესის მიხედვით, რის შემდეგაც ვამატებთ სხვადასხვა ნიშნის მქონე მთელ რიცხვებს: (−21) 5 + 12 \u003d −105 + 12 \u003d −93.

პასუხი:

−93 .

დივიდენდს, გამყოფს, არასრულ კოეფიციენტს და ნაშთს შორის კავშირები ასევე გამოხატულია b \u003d (a - d) ფორმის ტოლობებით: c, c \u003d (a - d): b და d \u003d a - b · c. ეს ტოლობები საშუალებას იძლევა გამოყოს შესაბამისად გამყოფი, ნაწილობრივი კოეფიციენტი და დარჩენილი ნაწილი. ხშირად ჩვენ უნდა მივაგნოთ a მთლიანი რიცხვი a -ზე რიცხვი b -ს, როდესაც ცნობილია დივიდენდი, გამყოფი და ნაწილობრივი კოეფიციენტი, d \u003d a - b · c ფორმულის გამოყენებით. დამატებითი კითხვების თავიდან ასაცილებლად, მოდით გადავხედოთ დარჩენილი ნაწილის გაანგარიშების მაგალითს.

მაგალითი.

იპოვნეთ მთელი რიცხვი ger19 დაყოფილი მთელი რიცხვი 3-ზე, თუ იცით რომ ნაწილობრივი კოეფიციენტია −7.

გადაწყვეტილება.

გაყოფის დარჩენილი ნაწილის გამოსათვლელად, ჩვენ ვიყენებთ ფორმის d \u003d a - b · c ფორმულას. პირობიდან გვაქვს ყველა საჭირო მონაცემი a \u003d −19, b \u003d 3, c \u003d −7. მივიღებთ d \u003d a - b c \u003d −19−3 )

პასუხი:

დაყოფა დადებითი მთლიანი რიცხვის დანარჩენი რიცხვებით, მაგალითები

როგორც ერთხელ აღვნიშნეთ, დადებითი მთელი რიცხვები ბუნებრივი რიცხვებია. ამიტომ, დადებითი მთლიანი რიცხვის ნარჩენთან გაყოფა ხორციელდება ბუნებრივი რიცხვების ნარჩენების ყველა დაყოფის წესის შესაბამისად. ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ ადვილად შეგეძლოს დაყოფის განხორციელება ბუნებრივი რიცხვების ნარჩენებთან, რადგან სწორედ ეს არის საფუძველი არა მხოლოდ დადებითი მთელი რიცხვების გაყოფაზე, არამედ ყველა დაყოფის წესის საფუძველში თვითნებური მთელი რიცხვების დანარჩენ ნაწილთან.

ჩვენი გადმოსახედიდან ყველაზე მოსახერხებელია გრძელი დაყოფის შესრულება, ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ როგორც არასრული კოეფიციენტი (ან უბრალოდ კოეფიციენტი) და დარჩენილი. განვიხილოთ დაყოფის მაგალითი დადებითი მთლიანი რიცხვების დარჩენილი ნაწილით.

მაგალითი.

14 671 გაყოფილი 54-ზე დანარჩენზე.

გადაწყვეტილება.

მოდით გავყოთ ეს დადებითი მთელი რიცხვები სვეტით:

ნაწილობრივი კოეფიციენტი აღმოჩნდა 271, ხოლო დარჩენილია 37.

პასუხი:

14 671: 54 \u003d 271 (დანარჩენი 37).

უარყოფითი მთელი რიცხვის მიერ დადებითი მთლიანი რიცხვის დარჩენილი ნაწილის გაყოფის წესი, მაგალითები

მოდით ჩამოვაყალიბოთ წესი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს განყოფილება შევასრულოთ დადებითი მთელი რიცხვის ნეგატიური მთელი რიცხვით.

პოზიტიური მთელი a რიცხვის a უარყოფითი რიცხვის b დაყოფის არასრული კოეფიციენტი a- ს b მოდულის გაყოფის არასრული კოეფიციენტის საპირისპიროა, ხოლო a- ს b- ზე გაყოფის დარჩენილი ტოლია გაყოფის დარჩენილი ნაწილისა.

ამ წესიდან გამომდინარეობს, რომ პოზიტიური მთლიანი რიცხვის უარყოფითი რიცხვი უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის არის არა – პოზიტიური მთელი რიცხვი.

მოდით განვახორციელოთ გამოცხადებული წესი ალგორითმად დაყოფისთვის დადებითი მთელი რიცხვის ნეგატიური მთელი რიცხვით:

• გაყოფის მოდულს ვყოფთ გამყოფის მოდულზე, მივიღებთ არასრულ კოეფიციენტს და ნაშთს. (თუ დარჩენილი ნულის ტოლია, ორიგინალი რიცხვები იყოფა ნაშთის გარეშე და საპირისპირო ნიშნებით მთელი რიცხვის გაყოფის წესის მიხედვით, სასურველი კოეფიციენტი უდრის მოდულის განაწილების კოეფიციენტის საწინააღმდეგო რიცხვს.)
• მივიღებთ მიღებულ არასრული კოეფიციენტის საპირისპირო რიცხვს და დანარჩენს. ეს რიცხვები, შესაბამისად, სასურველი კოეფიციენტია და თავდაპირველი პოზიტიური მთლიანი რიცხვის უარყოფითი მთელი რიცხვის გაყოფის დარჩენილი ნაწილი.

მოდით მოვიყვანოთ ალგორითმის გამოყენების მაგალითი დადებითი მთლიანი რიცხვის უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის დაყოფისთვის.

მაგალითი.

დაიყოს პოზიტიური მთელი 17 რიცხვი უარყოფით რიცხვზე −5.

გადაწყვეტილება.

გამოვიყენოთ დაყოფის ალგორითმი დადებითი მთლიანი რიცხვის ნეგატიური მთელი რიცხვით.

გამყოფი

3-ის საპირისპიროა −3. ამრიგად, 17-ზე −5-ზე დაყოფის სასურველი ნაწილობრივი კოეფიციენტია −3, ხოლო დარჩენილია 2.

პასუხი:

17: (- 5) \u003d - 3 (დანარჩენი 2).

მაგალითი.

გაყოფა 45-დან -15-მდე.

გადაწყვეტილება.

დივიდენდისა და გამყოფი მოდულებია შესაბამისად 45 და 15. რიცხვი 45 იყოფა 15-ზე, დარჩენილი ნაწილის გარეშე, ხოლო კოეფიციენტია 3. მაშასადამე, დადებითი მთელი რიცხვი 45 იყოფა ნეგატიური მთელი რიცხვით by15 ნარჩენის გარეშე და კოეფიციენტი უდრის 3 – ის, ანუ −3 – ის საპირისპიროდ. მართლაც, სხვადასხვა ნიშნით მთელი რიცხვების დაყოფის წესის თანახმად, ჩვენ გვაქვს.

პასუხი:

45:(−15)=−3 .

დაყოფა უარყოფითი მთელი რიცხვის დარჩენილი ნაწილის დადებით რიცხვზე, მაგალითები

მოდით მივცეთ დაყოფის წესის ფორმულირება ნეგატიური მთელი რიცხვის ნარჩენისთვის დადებითი მთლიანი რიცხვით.

იმისათვის, რომ არასრული კოეფიციენტი c უარყოფითი მთელი a რიცხვის დაყოფით დადებითი რიცხვი b, თქვენ უნდა აიღოთ არასრული კოეფიციენტის საპირისპირო საწყისი ორიგინალი რიცხვების მოდულების გაყოფა და გამოაკლოთ ერთი, შემდეგ გამოთვალოთ დარჩენილი d ფორმულათ d \u003d a - b c.

დარჩენილი ნაწილის დაყოფის ამ წესიდან გამომდინარეობს, რომ უარყოფითი მთელი რიცხვის დაყოფის არასრული სრული დადებითად არის უარყოფითი მთელი რიცხვი.

გაჟღერებული წესიდან გამომდინარეობს დაყოფის ალგორითმი ნეგატიური მთელი a რიცხვის a დადებითი და მთელი რიცხვი b:

• იპოვნეთ დივიდენდისა და გამყოფი მოდულები.
• გაყოფის მოდულს ვყოფთ გამყოფის მოდულზე, მივიღებთ არასრულ კოეფიციენტს და ნაშთს. (თუ ნულოვანი ნულოვანია, ორიგინალი მთელი რიცხვები იყოფა ნაშთის გარეშე და სასურველი კოეფიციენტი ტოლია რიცხვის მოდელის განაწილების კოეფიციენტისა).
• მივიღებთ მიღებული არასრული კოეფიციენტის საპირისპირო რიცხვს და მისგან გამოვაკლებთ რიცხვს 1-ს. გამოანგარიშებული რიცხვი არის საჭირო არასრული კოეფიციენტი c საწყისი უარყოფითი მთელი რიცხვის დადებითი მთლიანი რიცხვის დაყოფისგან.

მოდით გავაანალიზოთ მაგალითის ამოხსნა, რომელშიც წერილობითი დაყოფის ალგორითმს ვიყენებთ დარჩენილი ნაწილით.

მაგალითი.

იპოვნეთ არასრული კოეფიციენტი და უარყოფითი მთელი რიცხვი -17 დარჩენილი გაყოფილი დადებით რიცხვზე 5.

გადაწყვეტილება.

დივიდენდის მოდული −17 არის 17, ხოლო გამყოფი 5 – ისა 5.

გამყოფი 17-ით 5-ით მივიღებთ არასრულ კოეფიციენტს 3 და დანარჩენ 2-ს.

3-ის საპირისპიროა −3. Sub3-დან გამოაკელით ერთი: −3−1 \u003d 4. ასე რომ, საჭირო არასრული კოეფიციენტია −4.

ეს რჩება დარჩენილი ნაწილის გამოსათვლელად. ჩვენს მაგალითში, a \u003d −17, b \u003d 5, c \u003d −4, შემდეგ d \u003d a - b c \u003d −17−5 (−4) \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

ამრიგად, უარყოფითი მთელი რიცხვის -17 დაყოფის ნაწილობრივი კოეფიციენტი დადებითი მთელი 5-ზე არის -4, ხოლო დარჩენილია 3.

პასუხი:

(−17): 5 \u003d −4 (დანარჩენი 3).

მაგალითი.

დაიყოს უარყოფითი მთელი რიცხვი -1404 პოზიტიური მთელი 26-ზე.

გადაწყვეტილება.

დივიდენდის მოდული არის 1 404, გამყოფი - 26.

1 404 გაყოფილი 26-ზე სვეტით:

მას შემდეგ, რაც დივიდენდის მოდული იყოფა გამყოფი მოდულის მიერ დანარჩენი ნაწილის გარეშე, ორიგინალი მთელი რიცხვები იყოფა ნარჩენების გარეშე და სასურველი კოეფიციენტი უდრის 54 – ის, ანუ ,54 – ის საპირისპიროდ.

პასუხი:

(−1 404):26=−54 .

დაყოფის წესი ნეგატიური მთლიანი რიცხვის დარჩენილი ნაწილით, მაგალითები

მოდით ჩამოაყალიბოთ დაყოფის წესი ნეგატიური მთლიანი რიცხვის დარჩენილი ნაწილით.

იმისათვის რომ მიიღოთ არასრული კოეფიციენტი c უარყოფითი მთელი a რიცხვი უარყოფითი რიცხვის b გაყოფაზე, უნდა გამოთვალოთ არასრული კოეფიციენტი ორიგინალი რიცხვების მოდულების გაყოფისგან და დაამატოთ მას ერთი, შემდეგ გამოთვალოთ დარჩენილი d ფორმულათ d \u003d a - b c.

ამ წესიდან გამომდინარეობს, რომ უარყოფითი რიცხვების დაყოფის არასრული კოეფიციენტი არის დადებითი მთელი რიცხვი.

მოდით, გადავწერთ მითითებულ წესს, როგორც უარყოფითი მთელი რიცხვების გაყოფის ალგორითმს:

• იპოვნეთ დივიდენდისა და გამყოფი მოდულები.
• გაყოფის მოდულს ვყოფთ გამყოფის მოდულზე, მივიღებთ არასრულ კოეფიციენტს და ნაშთს. (თუ ნულოვანი ნულოვანია, ორიგინალი მთელი რიცხვები იყოფა ნარჩენების გარეშე, ხოლო სასურველი კოეფიციენტი ტოლია გამყოფი მოდულის გამყოფი მოდულისა და გამყოფი ნაწილის ტოლი).
• მიღებულ არასრულ კოეფიციენტს დავამატებთ ერთს, ეს რიცხვი არის სასურველი არასრული კოეფიციენტი ორიგინალური უარყოფითი რიცხვების გაყოფისგან.
• დანარჩენს გამოვთვლით ფორმულით d \u003d a - b · c.

მაგალითის ამოხსნისას განვიხილოთ ნეგატიური მთელი რიცხვების გაყოფის ალგორითმის გამოყენება.

მაგალითი.

იპოვნეთ უარყოფითი მთელი რიცხვის ნაწილობრივი კოეფიციენტი და დარჩენილი ნაწილი გაყოფილი იყო უარყოფითი რიცხვი -5-ზე.

გადაწყვეტილება.

გამოვიყენოთ შესაბამისი განყოფილება დარჩენილი ალგორითმით.

დივიდენდის მოდული არის 17, გამყოფი მოდული არის 5.

სამმართველო 17-ით 5 მოცემულია არასრული კოეფიციენტი 3 და დანარჩენი 2.

არასრული კოეფიციენტის დამატება 3: 3 + 1 \u003d 4. ამიტომ, −17-ზე −5-ზე დაყოფის საჭირო არასრული კოეფიციენტია 4.

ეს რჩება დარჩენილი ნაწილის გამოსათვლელად. ამ მაგალითში, a \u003d −17, b \u003d −5, c \u003d 4, შემდეგ d \u003d a - b c \u003d −17 - (- 5) 4 \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

ასე რომ, უარყოფითი მთელი რიცხვი -17 და უარყოფითი მთელი რიცხვი -5-ზე დაყოფის არასრული კოეფიციენტია 4, ხოლო დარჩენილია 3.

პასუხი:

(−17): (- 5) \u003d 4 (დანარჩენი 3).

მთელი რიცხვების დარჩენილი ნაწილის დაყოფის შედეგის შემოწმება

მთელი რიცხვების ნარჩენებზე დაყოფის შემდეგ, სასარგებლოა შედეგის შემოწმება. შემოწმება ხორციელდება ორ ეტაპად. პირველ ეტაპზე შემოწმებულია, არის თუ არა დარჩენილი ნ. ნეგატიური რიცხვი და ასევე შემოწმებულია მდგომარეობა. თუ გადამოწმების პირველი ეტაპის ყველა პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ შეგიძლიათ გადადით გადამოწმების მეორე ეტაპზე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება ითქვას, რომ დაყოფის დროს მოხდა შეცდომა დანარჩენ ნაწილთან ერთად. მეორე ეტაპზე შემოწმებულია a \u003d b c + d თანასწორობის სისწორე. თუ ეს თანასწორობა მართალია, მაშინ დანარჩენთან დაყოფა სწორად განხორციელდა, წინააღმდეგ შემთხვევაში, სადმე შეცდომა მოხდა.

მოდით განვიხილოთ მაგალითების ამოხსნები, რომლებშიც ამოწმებულია მთლიანი რიცხვის დაყოფის შედეგი.

მაგალითი.

The521 რიცხვის −12-ზე დაყოფისას მიიღეთ არასრული კოეფიციენტი 44 და დარჩენილი 7, შეამოწმეთ შედეგი.

გადაწყვეტილება. −2 b \u003d −3, c \u003d 7, d \u003d 1. Ჩვენ გვაქვს b c + d \u003d −3 7 + 1 \u003d −21 + 1 \u003d −20... ამრიგად, a \u003d b c + d თანასწორობა არასწორია (ჩვენს მაგალითში, a \u003d −19).

ამიტომ, დანარჩენთან დაყოფა არასწორად განხორციელდა.