როგორ გადავჭრათ ლოგარითმული უტოლობები. ყველაფერი ლოგარითმული უტოლობების შესახებ. მაგალითების ანალიზი. ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა
უთანასწორობის მოგვარება ინტერნეტით
უტოლობების ამოხსნამდე საჭიროა კარგად გვესმოდეს, როგორ წყდება განტოლებები.
არ აქვს მნიშვნელობა უტოლობა მკაცრია () თუ არა მკაცრი (≤, ≥), პირველი რაც უნდა გააკეთოთ არის განტოლების ამოხსნა, უტოლობის ნიშნის ჩანაცვლება თანასწორობით (\u003d).
მოდით ავუხსნათ რას ნიშნავს უთანასწორობის მოგვარება?
სტუდენტის თავში განტოლებების შესწავლის შემდეგ ვითარდება შემდეგი სურათი: თქვენ უნდა იპოვოთ ცვლადის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებშიც განტოლების ორივე მხარე ერთსა და იმავე მნიშვნელობებს იღებს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იპოვნეთ ყველა წერტილი, სადაც თანასწორობა დგას. Სწორია!
როდესაც ვსაუბრობთ უთანასწორობაზე, ვგულისხმობთ იმ ინტერვალების (სეგმენტების) პოვნას, რომელზეც უთანასწორობა დგას. თუ უთანასწორობაში ორი ცვლადია, მაშინ გამოსავალი აღარ იქნება ინტერვალი, არამედ თვითმფრინავის ზოგიერთი უბანი. გამოიცანით რა იქნება სამი ცვლადის უთანასწორობის ამოხსნა?
როგორ გავუმკლავდეთ უთანასწორობას?
უტოლობების ამოხსნის უნივერსალურ მეთოდად ითვლება ინტერვალების მეთოდი (ანუ ინტერვალების მეთოდი), რომელიც შედგება ყველა ინტერვალის განსაზღვრისას, რომლის განმავლობაშიც დაკმაყოფილდება მითითებული უთანასწორობა.
უთანასწორობის ტიპში შესვლის გარეშე, ამ შემთხვევაში ეს არსია, საჭიროა შესაბამისი განტოლების ამოხსნა და მისი ფესვების განსაზღვრა რიცხვითი ღერძის ამ ამონახსნების შემდგომი აღნიშვნით.
როგორ სწორად დავწეროთ უტოლობის ამოხსნა?
როდესაც დაადგენთ უტოლობის ამოხსნის ინტერვალებს, საჭიროა სწორად ჩამოწეროთ თავად ამოხსნა. არსებობს მნიშვნელოვანი ნიუანსი - არის თუ არა ინტერვალის საზღვრები ხსნარში?
აქ ყველაფერი მარტივია. თუ განტოლების ამოხსნა აკმაყოფილებს GDV- ს და უტოლობა არ არის მკაცრი, მაშინ ინტერვალის საზღვარი შედის უტოლობის ამოხსნაში. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არა.
თითოეული ინტერვალის გათვალისწინებით, უთანასწორობის ამოხსნა შეიძლება იყოს თავად ინტერვალი, ან ნახევარი ინტერვალი (როდესაც მისი რომელიმე საზღვარი აკმაყოფილებს უთანასწორობას), ან სეგმენტი - ინტერვალი თავის საზღვრებთან ერთად.
მნიშვნელოვანი წერტილი
არ იფიქროთ, რომ მხოლოდ ინტერვალები, ნახევრად ინტერვალები და წრფივი სეგმენტები შეიძლება იყოს უთანასწორობის გამოსავალი. არა, გამოსავალი შეიძლება შეიცავდეს ინდივიდუალურ წერტილებს.
მაგალითად, უტოლობა | x | ≤0 მხოლოდ ერთი გამოსავალია - ეს არის 0 წერტილი.
და უთანასწორობა | x |
რისთვის არის უთანასწორობის კალკულატორი?
უთანასწორობის კალკულატორი იძლევა სწორ საბოლოო პასუხს. ამ შემთხვევაში, უმეტეს შემთხვევაში, მოცემულია რიცხვითი ღერძის ან სიბრტყის ილუსტრაცია. ჩანს, ინტერვალის საზღვრები შედის ხსნარში, თუ არა - წერტილები აისახება შევსებული ან გახვრეტილი.
ინტერნეტის უთანასწორობის კალკულატორის წყალობით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ, იპოვნეთ თუ არა ტოლობის ფესვები სწორად, მონიშნეთ ისინი რიცხვის ღერძზე და შეამოწმეთ უთანასწორობის მდგომარეობა ინტერვალებზე (და საზღვრებზე)?
თუ თქვენი პასუხი განსხვავდება კალკულატორის პასუხისგან, მაშინ აუცილებლად უნდა გადაამოწმოთ თქვენი გადაწყვეტილება და გამოავლინოთ შეცდომა.
ყველა ჯიშს შორის ლოგარითმული უტოლობები ცალკეა შესწავლილი ცვალებადი ფუძის უტოლობები. ისინი წყდება სპეციალური ფორმულის გამოყენებით, რომელსაც რატომღაც იშვიათად ყვებიან სკოლაში:
ჟურნალი k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0
"∨" ნიშნულის ნაცვლად, შეგიძლიათ განათავსოთ ნებისმიერი უტოლობის ნიშანი: მეტნაკლებად. მთავარია, რომ ორივე უტოლობებში ნიშნები ერთნაირია.
ასე რომ, ჩვენ თავი დავაღწიეთ ლოგარითმებს და დავამცირებთ პრობლემას რაციონალურ უთანასწორობამდე. ამ უკანასკნელის გადაჭრა ბევრად უფრო ადვილია, მაგრამ ლოგარითმების ჩაშვებისას შეიძლება ზედმეტი ფესვები გაჩნდეს. მათი გათიშვისთვის საკმარისია იპოვოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. თუ დაგავიწყდათ ლოგარითმის ODZ, გირჩევთ გამეორებით - იხილეთ "რა არის ლოგარითმი".
ყველაფერი რაც დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს უკავშირდება, უნდა დაიწეროს და გადაწყდეს ცალკე:
f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1.
ეს ოთხი უთანასწორობა წარმოადგენს სისტემას და უნდა შესრულდეს ერთდროულად. როდესაც მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი მოიძებნება, რჩება მისი გადაჭრა გადაჭრით რაციონალური უთანასწორობა - და პასუხი მზად არის.
Დავალება. გადაჭრის უთანასწორობა:
პირველი, მოდით დავწეროთ ლოგარითმის ODZ:
პირველი ორი უტოლობა ავტომატურად სრულდება და ბოლოს უნდა აღწერილი იყოს. მას შემდეგ, რაც რიცხვის კვადრატი არის ნულოვანი, თუ მხოლოდ და მხოლოდ მაშინ, თუ ნომერი ნულოვანია, ჩვენ გვაქვს:
x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 0;
x ≠ 0.
გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ არის ყველა რიცხვი, გარდა ნულისა: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). ახლა ჩვენ გადავჭრით მთავარ უთანასწორობას:
ჩვენ ვატარებთ გადასვლას ლოგარითმული უტოლობიდან რაციონალურზე. თავდაპირველ უთანასწორობაში არის "ნაკლები" ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ შედეგად მიღებული უთანასწორობა ასევე უნდა იყოს "ნაკლები" ნიშნით. Ჩვენ გვაქვს:
(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.
ამ გამოთქმის ნულები: x \u003d 3; x \u003d −3; x \u003d 0. უფრო მეტიც, x \u003d 0 მეორე სიმრავლის ფესვია, რაც ნიშნავს, რომ მასში გავლისას ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება. Ჩვენ გვაქვს:
მივიღებთ x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). ეს ნაკრები მთლიანად შეიცავს ლოგარითმის ODZ- ს, რაც ნიშნავს რომ ეს არის პასუხი.
გარდაქმნის ლოგარითმული უტოლობებს
ხშირად ორიგინალური უთანასწორობა განსხვავდება ზემოაღნიშნულიდან. მისი გამოსწორება მარტივია ლოგარითმებთან მუშაობის სტანდარტული წესების შესაბამისად - იხილეთ ”ლოგარითმების ძირითადი თვისებები”. კერძოდ:
- ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმად, მოცემული ფუძით;
- იგივე ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი და სხვაობა შეიძლება შეიცვალოს ერთი ლოგარითმით.
ასევე მინდა შეგახსენოთ მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონის შესახებ. მას შემდეგ, რაც ორიგინალური უთანასწორობა შეიძლება შეიცავდეს რამდენიმე ლოგარითმს, საჭიროა თითოეული მათგანისთვის ODV- ს პოვნა. ამრიგად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ზოგადი სქემა ასეთია:
- იპოვნეთ თითოეული ლოგარითმის ODV, რომელიც შედის უთანასწორობაში;
- შეამცირონ უტოლობა სტანდარტთან ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების ფორმულების შესაბამისად;
- გადაჭერით მიღებული უთანასწორობა ზემოთ მოცემული სქემის მიხედვით.
Დავალება. გადაჭრის უთანასწორობა:
მოდით ვიპოვოთ პირველი ლოგარითმის განსაზღვრის დომენი (ODZ):
ჩვენ ვხსნით ინტერვალების მეთოდით. იპოვნეთ მრიცხველის ნულები:
3x - 2 \u003d 0;
x \u003d 2/3.
შემდეგ მნიშვნელის ნულები:
x - 1 \u003d 0;
x \u003d 1.
ჩვენ აღვნიშნავთ ნულებსა და ნიშნებს კოორდინატთა ისარზე:
მივიღებთ x ∈ (−∞ 2/3) (1; + ∞). ODV– ის მეორე ლოგარითმი იგივე იქნება. არ დაიჯერო - შეგიძლია შეამოწმო. ახლა ჩვენ გადავაკეთებთ მეორე ლოგარითმს, რომ ძირში იყოს ორი:
როგორც ხედავთ, ბაზაზე და ლოგარითმის წინ სამმაგებმა დააკუმშეს. მიიღო ორი ლოგარითმი იგივე ფუძით. ჩვენ ვამატებთ მათ:
ჟურნალი 2 (x - 1)< 2;
ჟურნალი 2 (x - 1)< log 2 2 2 .
მიიღო სტანდარტული ლოგარითმული უტოლობა. ლოგარითმებს თავი დავაღწიეთ ფორმულით. მას შემდეგ, რაც ორიგინალი უთანასწორობა ნიშანზე ნაკლებია, შესაბამისად რაციონალური გამოხატულებაც უნდა იყოს ნულზე ნაკლები. Ჩვენ გვაქვს:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
ჩვენ ორი კომპლექტი მივიღეთ:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
- კანდიდატის პასუხი: x ∈ (−1; 3).
რჩება ამ ნაკრებების გადაკვეთა - ჩვენ მივიღებთ რეალურ პასუხს:
ჩვენ დაინტერესებული ვართ ნაკრებების გადაკვეთაზე, ამიტომ ვირჩევთ ორივე ისრის შევსებულ ინტერვალებს. მივიღებთ x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - ყველა პუნქტი პუნქტირებულია.
როგორ ფიქრობთ, გამოცდამდე ჯერ კიდევ რჩება დრო და მომზადების დრო გექნებათ? ალბათ ეს ასეა. ნებისმიერ შემთხვევაში, რაც უფრო ადრე იწყებს სტუდენტი ტრენინგს, მით უფრო წარმატებით გაივლის გამოცდებს. დღეს გადავწყვიტეთ სტატია დავუთმოთ ლოგარითმული უტოლობების შესახებ. ეს არის ერთ-ერთი ამოცანა, რაც ნიშნავს დამატებითი ქულის მიღების შესაძლებლობას.
უკვე იცით რა არის ლოგარითმი? იმედი ნამდვილად გვაქვს. მაშინაც კი, თუ ამ კითხვაზე პასუხი არ გაქვთ, ეს პრობლემა არ არის. ძალიან მარტივია იმის გაგება, თუ რა არის ლოგარითმი.
რატომ ზუსტად 4? თქვენ უნდა აამაღლოთ რიცხვი 3 ასეთ ძალაში 81-ის მისაღებად. როდესაც გაიგებთ პრინციპს, შეგიძლიათ გააგრძელოთ უფრო რთული გამოთვლები.
უთანასწორობა რამდენიმე წლის წინ გაიარეთ. და მას შემდეგ, ისინი მუდმივად გვხვდება მათემატიკაში. თუ უთანასწორობის მოგვარების პრობლემები გაქვთ, იხილეთ შესაბამის განყოფილებაში.
ახლა, როდესაც ჩვენ ცალკე გავეცანით ცნებებს, გადავდივართ ზოგადად მათ განხილვაზე.
უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობა.
უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობები არ შემოიფარგლება ამ მაგალითით, კიდევ სამი, მხოლოდ სხვადასხვა ნიშნით. რატომ არის ეს საჭირო? უკეთ რომ გავიგოთ როგორ გადავჭრათ უტოლობა ლოგარითმებით. ახლა მოვიყვანთ უფრო გამოყენებულ მაგალითს, ის ჯერ კიდევ საკმაოდ მარტივია, შემდეგ რთულ ლოგარითმულ უტოლობებს დავტოვებთ.
როგორ უნდა მოგვარდეს ეს? ყველაფერი ODZ– ით იწყება. ღირს ამის შესახებ მეტი ცოდნა, თუ ყოველთვის გსურთ ნებისმიერი უთანასწორობის მოგვარება.
რა არის ODU? ODZ ლოგარითმული უტოლობებისათვის
აბრევიატურა ნიშნავს მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონს. გამოცდისთვის დავალებებში ეს ფორმულა ხშირად ჩნდება. ODZ თქვენთვის სასარგებლოა არა მხოლოდ ლოგარითმული უტოლობების შემთხვევაში.
კიდევ ერთხელ გადახედეთ ზემოთ მოყვანილ მაგალითს. ჩვენ DHS- ს გავითვალისწინებთ მასზე დაყრდნობით, ისე რომ გაიგოთ პრინციპი და ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა კითხვებს არ იწვევს. ლოგარითმის განმარტებადან გამომდინარეობს, რომ 2x + 4 უნდა იყოს ნულზე მეტი. ჩვენს შემთხვევაში, ეს ნიშნავს შემდეგს.
ეს რიცხვი განმარტებით, პოზიტიური უნდა იყოს. ზემოთ მოცემული უტოლობის ამოხსნა. ეს შეიძლება გაკეთდეს ზეპირად, აქ ნათელია, რომ X არ შეიძლება იყოს 2-ზე ნაკლები. უთანასწორობის ამოხსნა დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრა იქნება.
ახლა გადავიდეთ უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნაზე.
ჩვენ უგულებელყოფთ თვით ლოგარითმებს უთანასწორობის ორივე მხრიდან. რა დაგვრჩა შედეგად? მარტივი უთანასწორობა.
მისი მოგვარება არ არის რთული. X უნდა იყოს -0,5-ზე მეტი. ახლა ჩვენ სისტემაში ვაერთიანებთ ორ მიღებულ მნიშვნელობას. ამრიგად,
ეს იქნება დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი განხილული ლოგარითმული უტოლობისთვის.
რატომ გჭირდებათ ODZ საერთოდ? ეს არის არასწორი და შეუძლებელი პასუხების ამოღების შესაძლებლობა. თუ პასუხი მისაღები მნიშვნელობების ფარგლებში არ არის, მაშინ პასუხს უბრალოდ აზრი არ აქვს. ამის გახსენება დიდი ხნის განმავლობაში ღირს, რადგან USE– ში ხშირად გვხვდება ODZ– ს ძიების საჭიროება და ეს ეხება არა მხოლოდ ლოგარითმულ უტოლობებს.
ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი
გამოსავალი რამდენიმე ეტაპისგან შედგება. პირველ რიგში, თქვენ უნდა იპოვოთ მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი. ODZ– ში ორი მნიშვნელობა იქნება, რაც ზემოთ განვიხილეთ. შემდეგ, თქვენ თავად უნდა მოაგვაროთ უთანასწორობა. ამოხსნის მეთოდები შემდეგია:
- მულტიპლიკატორის ჩანაცვლების მეთოდი;
- დაშლა;
- რაციონალიზაციის მეთოდი.
სიტუაციიდან გამომდინარე, უნდა გამოიყენოთ ზემოთ ჩამოთვლილი მეთოდებიდან ერთი. მოდით გადავდეთ პირდაპირ გამოსავალზე. ჩვენ გამოავლენთ ყველაზე პოპულარულ მეთოდს, რომელიც გამოსადეგია USE ამოცანების გადასაჭრელად თითქმის ყველა შემთხვევაში. შემდეგ, ჩვენ გადავხედავთ დაშლის მეთოდს. ეს დაგეხმარებათ, თუ განსაკუთრებით რთულ უთანასწორობას წააწყდებით. ასე რომ, ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი.
ამოხსნის მაგალითები :
ჩვენ არაფრისთვის არ გვაქვს აღებული მხოლოდ ასეთი უთანასწორობა! ყურადღება მიაქციეთ ბაზას. დაიმახსოვრე: თუ ის ერთზე მეტია, ნიშანი იგივე რჩება, როდესაც მიიღება მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი; წინააღმდეგ შემთხვევაში, უთანასწორობის ნიშანი უნდა შეიცვალოს.
შედეგად, ჩვენ მივიღებთ უთანასწორობას:
ახლა მარცხენა მხარე მივუტანეთ ნულის ტოლობის განტოლების ფორმას. იმის ნაცვლად, რომ ნიშანი "ნაკლები" ჩვენ დააყენა "ტოლი", ჩვენ ამოხსნა განტოლება. ამრიგად, ჩვენ ვიპოვით ODZ. ვიმედოვნებთ, რომ ამის მოგვარებასთან ერთად მარტივი განტოლება პრობლემა არ გექნებათ. პასუხები არის -4 და -2. ეს ყველაფერი არ არის. თქვენ უნდა აჩვენოთ ეს წერტილები დიაგრამაზე, მოათავსოთ "+" და "-". რა უნდა გაკეთდეს ამისათვის? შეცვალეთ რიცხვები ინტერვალებიდან გამოხატვაში. სადაც მნიშვნელობები პოზიტიურია, იქ დავსვათ "+".
პასუხი: x არ შეიძლება იყოს -4-ზე მეტი და -2-ზე ნაკლები.
ჩვენ ვიპოვეთ მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი მხოლოდ მარცხენა მხარისთვის, ახლა უნდა ვიპოვოთ მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი მარჯვენა მხარისთვის. ეს ბევრად უფრო ადვილია. პასუხი: -2. გადავკვეთთ ორივე მიღებულ ადგილს.
და მხოლოდ ახლა ვიწყებთ თავად უთანასწორობის მოგვარებას.
მოდით, მაქსიმალურად გავამარტივოთ ის, რომ უფრო ადვილად მოგვარდეს.
გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი კვლავ ხსნარში. მოდით, გამოტოვოთ გამოთვლები, მასთან ყველაფერი უკვე გასაგებია წინა მაგალითიდან. პასუხი
მაგრამ ეს მეთოდი შესაფერისია, თუ ლოგარითმული უთანასწორობა იგივე საფუძველს აქვს.
სხვადასხვა ბაზასთან ლოგარითმული განტოლებების და უტოლობების ამოხსნა თავდაპირველ შემცირებას ერთ ფუძემდე გულისხმობს. შემდეგ დაიცავით ზემოთ მოცემული მეთოდი. მაგრამ აქ არის უფრო რთული საქმეც. განვიხილოთ ლოგარითმული უტოლობების ერთ-ერთი ყველაზე რთული ტიპი.
ცვლადი ფუძის ლოგარითმული უტოლობები
როგორ გადავჭრათ უთანასწორობა ასეთი მახასიათებლებით? დიახ, და ასეთი შეგიძლიათ იხილოთ გამოცდაზე. უთანასწორობის შემდეგი გზით გადაჭრა ასევე სასარგებლო იქნება თქვენი სასწავლო პროცესისთვის. საკითხს დეტალურად გავიგებთ. მოდით, უარი ვთქვათ თეორიაზე, მოდით, პრაქტიკაში გადავიდეთ ლოგარითმული უტოლობების გადასაჭრელად საკმარისია ერთხელ წაიკითხოთ მაგალითი.
წარმოდგენილი ფორმის ლოგარითმული უტოლობის გადასაჭრელად საჭიროა მარჯვენა ფენის შემცირება იგივე ფუძით ლოგარითმამდე. პრინციპი ექვივალენტურ გადასვლებს ჰგავს. შედეგად, უთანასწორობა ასე გამოიყურება.
სინამდვილეში, რჩება უთანასწორობის სისტემის შექმნა ლოგარითმების გარეშე. რაციონალიზაციის მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ გადავდივართ უტოლობების ეკვივალენტურ სისტემაში. თავად წესს გაიგებთ, როდესაც შეცვლით შესაბამის მნიშვნელობებს და თვალყურს ადევნებთ მათ ცვლილებებს. სისტემას ექნება შემდეგი უტოლობები.
უტოლობების ამოხსნისას რაციონალიზაციის მეთოდის გამოყენებით უნდა გახსოვდეთ შემდეგი: აუცილებელია გამოყოთ ფუძიდან, x, ლოგარითმის განმარტებით, გამოკლებულია უთანასწორობის ორივე მხრიდან (მარჯვნივ მარცხნიდან), ორი გამოხატვა მრავლდება და ორიგინალი ნიშნის ქვეშ დგება ნულის მიმართ.
შემდგომი გადაწყვეტა ხორციელდება ინტერვალების მეთოდით, აქ ყველაფერი მარტივია. თქვენთვის მნიშვნელოვანია გააცნობიეროთ განსხვავებები ამოხსნის მეთოდებში, შემდეგ ყველაფერი იწყებს მარტივად შემუშავებას.
ლოგარითმული უტოლობების მრავალი ნიუანსია. უმარტივესი მათგან ამოხსნა საკმარისად მარტივია. როგორ დავრწმუნდეთ, რომ თითოეული მათგანის გადაჭრა უპრობლემოდ შეგიძლიათ? თქვენ უკვე მიიღეთ ყველა პასუხი ამ სტატიაში. ახლა თქვენ გელოდებათ ხანგრძლივი პრაქტიკა. თანმიმდევრულად ივარჯიშეთ გამოცდის ფარგლებში სხვადასხვა პრობლემის გადასაჭრელად და შეძლებთ მიიღოთ უმაღლესი ქულა. წარმატებებს გისურვებთ თქვენს რთულ საქმეში!
ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები მათემატიკის გამოცდის ვარიანტებში ეძღვნება ამოცანა C3 ... თითოეულმა სტუდენტმა უნდა ისწავლოს C3 დავალებების ამოხსნა მათემატიკის გამოცდადან, თუ მას სურს ჩააბაროს მომავალი გამოცდა "კარგი" ან "წარჩინებული". ამ სტატიაში მოცემულია საერთო ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების მოკლე მიმოხილვა, აგრეთვე მათი გადაჭრის ძირითადი მეთოდები.
მოდით, დღეს განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი. ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები, რომლებიც შესთავაზეს სტუდენტებს გასული წლების მათემატიკის გამოცდის ვერსიებში. მაგრამ მე დავიწყებ ძირითადი თეორიული პუნქტების შეჯამებით, რომელთა მოგვარებაც გვჭირდება.
ლოგარითმული ფუნქცია
განმარტება
ნახვის ფუნქცია
0, \\, a \\ ne 1 \\] "title \u003d" (! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com– ის მიერ">!}
დაურეკა ლოგარითმული ფუნქცია.
ძირითადი თვისებები
ძირითადი თვისებები ლოგარითმული ფუნქცია y \u003d ჟურნალი ნაჯახი:
ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკია ლოგარითმული მრუდი:
ლოგარითმების თვისებები
პროდუქტის ლოგარითმი ორი დადებითი რიცხვი უდრის ამ რიცხვების ლოგარითმების ჯამს:
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
კოეფიციენტის ლოგარითმი ორი დადებითი რიცხვი უდრის ამ რიცხვების ლოგარითმების სხვაობას:
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
Თუ ა და ბ ა 1 ≠, შემდეგ ნებისმიერი რიცხვისთვის რ სამართლიანი თანასწორობა:
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
Თანასწორობა ჟურნალი ა ტ \u003d ჟურნალი ა სსად ა > 0, ა ≠ 1, ტ > 0, ს \u003e 0, მართალია თუ და მხოლოდ მაშინ ტ = ს
Თუ ა, ბ, გ დადებითი რიცხვებია და ა და გ განსხვავდება ერთიანობისგან, მაშინ თანასწორობა ( ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა):
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
თეორემა 1. Თუ ვ(x)\u003e 0 და გ(x)\u003e 0, შემდეგ ლოგარითმული განტოლების ჟურნალი ა ვ(x) \u003d ჟურნალი გ(x) (სად ა > 0, ა ≠ 1) ტოლია ტოლობის ვ(x) = გ(x).
ლოგარითმული განტოლებების და უტოლობების ამოხსნა
მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება:
გადაწყვეტილება. მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონში შედის მხოლოდ ის xრომლისთვისაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამოხატვა ნულზე მეტია. ეს მნიშვნელობები განისაზღვრება უთანასწორობის შემდეგი სისტემით:
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
Იმის გათვალისწინებით
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
ჩვენ ვიღებთ ინტერვალს, რომელიც განსაზღვრავს ამ ლოგარითმული განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს:
თეორემა 1-ის საფუძველზე, რომლის ყველა პირობა აქ არის დაკმაყოფილებული, გადავდივართ შემდეგ ეკვივალენტურ კვადრატულ განტოლებაზე:
მხოლოდ პირველი ფესვი არის მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონში.
პასუხი: x \u003d 7.
მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება:
გადაწყვეტილება. განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი განისაზღვრება უტოლობების სისტემით:
ql-right-eqno "\u003e
გადაწყვეტილება.განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი აქ ადვილად განისაზღვრება: x > 0.
ჩვენ ვიყენებთ ჩანაცვლებას:
განტოლება იღებს ფორმას:
უკუ ჩანაცვლება:
ორივე პასუხი შედის განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში, რადგან ისინი დადებითი რიცხვებია.
მაგალითი 4. ამოხსენით განტოლება:
გადაწყვეტილება.დავიწყოთ ამოხსნა ისევ განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრით. იგი განისაზღვრება უთანასწორობის შემდეგი სისტემით:
ql-right-eqno "\u003e
ლოგარითმების საფუძვლები იგივეა, ასე რომ დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში შეგიძლიათ გადახვიდეთ შემდეგ კვადრატულ განტოლებაზე:
პირველი ფუძე არ შედის განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში, მეორე შედის.
პასუხი: x = -1.
მაგალითი 5. ამოხსენით განტოლება:
გადაწყვეტილება. ინტერვალში ვეძებთ ამოხსნებს x > 0, x≠ 1 ჩვენ განტოლებას ექვივალენტად ვაქცევთ:
ორივე პასუხი შედის განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში.
მაგალითი 6. ამოხსენით განტოლება:
გადაწყვეტილება. უტოლობების სისტემას, რომელიც განსაზღვრავს განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს, ამჯერად აქვს ფორმა:
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ განვატოლებას გარდავქმნით ტოლობის ექვივალენტად მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში:
ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი მოიცავს მხოლოდ ერთს პასუხი: x = 4.
მოდი ახლა წავიდეთ ლოგარითმული უტოლობები ... ეს არის ზუსტად ის, რის გამოც თქვენ მოგიწევთ გამოცდა მათემატიკაში. შემდგომი მაგალითების გადასაჭრელად, ჩვენ გვჭირდება შემდეგი თეორემა:
თეორემა 2. Თუ ვ(x)\u003e 0 და გ(x)\u003e 0, შემდეგ:
საათზე ა \u003e 1 ლოგარითმული უტოლობის ჟურნალი a ვ(x)\u003e ჟურნალი ა გ(x) იგივე მნიშვნელობის უტოლობის ტოლფასია: ვ(x) > გ(x);
0-ზე< ა < 1 логарифмическое неравенство log a ვ(x)\u003e ჟურნალი ა გ(x) საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობის ტოლფასია: ვ(x) < გ(x).
მაგალითი 7. გადაჭრის უთანასწორობა:
გადაწყვეტილება. დავიწყოთ უთანასწორობის სწორი მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრით. ლოგარითმული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ მყოფმა გამოხატულობამ მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობები უნდა მიიღოს. ეს ნიშნავს, რომ დასაშვები მნიშვნელობების სპექტრი განისაზღვრება უთანასწორობის შემდეგი სისტემით:
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
ვინაიდან ლოგარითმის ფუძეზე არის რიცხვი ერთზე ნაკლები, შესაბამისი ლოგარითმული ფუნქცია იკლებს და, შესაბამისად, შემდეგ კვადრატულ უტოლობაზე გადასვლა ეკვივალენტური იქნება თეორემის 2-ისთვის:
დაბოლოს, დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის გათვალისწინებით, ვიღებთ პასუხი:
მაგალითი 8. გადაჭრის უთანასწორობა:
გადაწყვეტილება. დავიწყოთ თავიდან მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრით:
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების ფონზე ჩვენ ვატარებთ ექვივალენტურ გარდაქმნებს:
თეორემის 2-ის ტოლფასი გაუქმების გაუქმების და გადატანის შემდეგ ვიღებთ:
დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის გათვალისწინებით, ვიღებთ საბოლოოს პასუხი:
მაგალითი 9. გადაჭერით ლოგარითმული უტოლობა:
გადაწყვეტილება. უთანასწორობის მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი განისაზღვრება შემდეგი სისტემით:
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
ჩანს, რომ დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში, ლოგარითმის ბაზაზე გამოხატვა ყოველთვის უფრო მეტია, ვიდრე ერთი და ამიტომ შემდეგ უთანასწორობაზე გადასვლა ეკვივალენტური იქნება თეორემის 2-ისთვის:
დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის გათვალისწინებით, მივიღებთ საბოლოო პასუხს:
მაგალითი 10. გადაჭრის უთანასწორობა:
გადაწყვეტილება.
უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი განისაზღვრება უთანასწორობის სისტემით:
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
მეთოდი I. გამოვიყენოთ ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა და გადავიდეთ ტოლფასი ტოლობისთვის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში.
ლოგარითმული შესაძლებლობები გამოყენებისას
სეჩინ მიხეილ ალექსანდროვიჩი
მცირე მეცნიერებათა აკადემია ყაზახეთის რესპუბლიკის სტუდენტებისთვის "მაძიებელი"
MBOU "სოვეტსკაიას secondary1 საშუალო სკოლა", მე -11 კლასი, ქალაქი. სოვეტსკის ოლქი
გუნკო ლუდმილა დმიტრიევნა, MBOU "საბჭოთა school1 სკოლის" მასწავლებელი
საბჭოთა ოლქი
მიზანი: არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით C3 ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მექანიზმის გამოკვლევა, იდენტიფიცირება საინტერესო ფაქტები ლოგარითმი.
სასწავლო საგანი:
3) ისწავლეთ კონკრეტული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა C3 არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.
შედეგები:
შინაარსი
შესავალი ………………………………………………………………………… .4
თავი 1. ფონი ………………………………………………… ... 5
თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული ………………………… 7
2.1. ექვივალენტური გადასვლები და ინტერვალით განზოგადებული მეთოდი …………… 7
2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი ………………………………………………… 15
2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება ……………… .......................................... ..... 22
2.4. ხაფანგის მისიები 27 ფუნტი სტერლინგი
დასკვნა …………………………………………………………………… 30
ლიტერატურა. 31
შესავალი
მე -11 კლასში ვარ და ვგეგმავ უნივერსიტეტში ჩასვლას პროფილის საგანი მათემატიკაა. ამიტომ, მე ბევრს ვმუშაობ C ნაწილის პრობლემებთან დაკავშირებით. C3 ამოცანაში თქვენ უნდა მოაგვაროთ არასტანდარტული უთანასწორობა ან უთანასწორობის სისტემა, რომელიც ჩვეულებრივ ასოცირდება ლოგარითმებთან. გამოცდისთვის მომზადების დროს, მე შეექმნა პრობლემა C3– ში შემოთავაზებული საგამოცდო ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მეთოდებისა და ტექნიკის არარსებობის პრობლემა. ნასწავლი მეთოდები სკოლის სასწავლო გეგმა ამ თემაზე, ნუ შექმნით საფუძველს C3 ამოცანების გადასაჭრელად. მათემატიკის მასწავლებელმა მიმიწვია C3 დავალებებთან სამუშაოდ, მისი ხელმძღვანელობით. გარდა ამისა, მაინტერესებდა კითხვა: არის ჩვენს ცხოვრებაში ლოგარითმები?
ამის გათვალისწინებით, თემა შეირჩა:
"ლოგარითმული უტოლობები გამოცდაში"
მიზანი: არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით C3 პრობლემების გადაჭრის მექანიზმის გამოკვლევა, ლოგარითმის საინტერესო ფაქტების გამოვლენა.
სასწავლო საგანი:
1) მოიძიეთ საჭირო ინფორმაცია ლოგარითმული უტოლობების გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდების შესახებ.
2) მოიძიეთ მეტი ინფორმაცია ლოგარითმების შესახებ.
3) ისწავლეთ კონკრეტული C3 პრობლემების გადაჭრა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.
შედეგები:
პრაქტიკული მნიშვნელობა მდგომარეობს აპარატის გაფართოებაში C3 პრობლემების გადასაჭრელად. ამ მასალის გამოყენება შესაძლებელია ზოგიერთ გაკვეთილზე, წრეებში, კლასგარეშე აქტივობებისთვის მათემატიკაში.
პროექტის პროდუქტი იქნება კრებული "ლოგარითმული C3 უტოლობები გადაწყვეტილებებთან".
თავი 1. ფონი
XVI საუკუნის განმავლობაში სავარაუდო გამოთვლების რაოდენობა სწრაფად გაიზარდა, პირველ რიგში, ასტრონომიაში. ინსტრუმენტების გაუმჯობესება, პლანეტარული მოძრაობების შესწავლა და სხვა სამუშაოები კოლოსალურ, ზოგჯერ მრავალწლიან გამოთვლებს მოითხოვდა. ასტრონომიას შეუსრულებელი გათვლებით დაღუპვის რეალური საფრთხე ემუქრებოდა. სხვა სფეროებში სირთულეები წარმოიშვა, მაგალითად, სადაზღვევო ბიზნესში, საინტერესო ინტერესების ცხრილები იყო საჭირო. ძირითადი სირთულე წარმოდგენილი იყო გამრავლებით, მრავალნიშნა ციფრების გაყოფით, განსაკუთრებით ტრიგონომეტრიული რაოდენობით.
ლოგარითმების აღმოჩენას საფუძვლად დაედო პროგრესების ცნობილი თვისებები XVI საუკუნის ბოლოს. არქიმედემ ისაუბრა ფსალმუნში გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა q, q2, q3, ... და მათი 1, 2, 3, ... არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ. კიდევ ერთი წინაპირობა იყო ხარისხის ცნების გაფართოება ნეგატიურ და ფრაქციულ მაჩვენებლებზე. ბევრმა ავტორმა აღნიშნა, რომ გამრავლება, გაყოფა, გამოხატვა და ფესვების ამოღება ექსპონენციალურად შეესაბამება არითმეტიკას - იმავე თანმიმდევრობით - გარდა ამისა, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა.
ეს იყო ლოგარითმის, როგორც ექსპონენტის, იდეა.
ლოგარითმების დოქტრინის განვითარების ისტორიაში რამდენიმე ეტაპი გავიდა.
ეტაპი 1
ლოგარითმები გამოიგონა არა უგვიანეს 1594 წლისა დამოუკიდებლად შოტლანდიელმა ბარონმა ნაპიერმა (1550-1617) და ათი წლის შემდეგ შვეიცარიელმა მექანიკოსმა ბურგიმ (1552-1632). ორივეს სურდა არითმეტიკული გამოთვლების ახალი მოსახერხებელი საშუალების მიცემა, თუმცა ამ ამოცანას ისინი სხვადასხვა გზით მიუდგნენ. ნეპერმა კინემატიკური თვალსაზრისით გამოხატა ლოგარითმული ფუნქცია და ამით შევიდა ფუნქციის თეორიის ახალ სფეროში. ბურღი დარჩა დისკრეტული პროგრესიების განხილვის საფუძველზე. ამასთან, ლოგარითმის განმარტება ორივესთვის არ ჰგავს თანამედროვეს. ტერმინი "ლოგარითმი" (logarithmus) ეკუთვნის ნაპიერს. ეს წარმოიშვა ბერძნული სიტყვების კომბინაციისგან: ლოგოსი - „მიმართება“ და არიქმო - „რიცხვი“, რაც ნიშნავდა „ურთიერთობათა რიცხვს“. თავდაპირველად, ნაპიერმა სხვა ტერმინი გამოიყენა: numeri artificialiales - "ხელოვნური რიცხვები", განსხვავებით რიცხვითი ნატურალტებისგან - "ბუნებრივი რიცხვები".
1615 წელს ლონდონში, გრეშის კოლეჯის მათემატიკის პროფესორ ჰენრი ბრიგსთან (1561-1631) საუბრისას, ნაპიერმა შემოგვთავაზა ნულის მიღება ერთიანობის ლოგარითმისთვის და 100 – ის ათი ლოგარითმისთვის, ანუ იგივე იგივე, რაც უბრალოდ 1. ასე გამოჩნდა ათობითი ლოგარითმები და დაიბეჭდა პირველი ლოგარითმული მაგიდები. მოგვიანებით, ბრიგსის ცხრილებს ავსებს ჰოლანდიელი წიგნის გამყიდველი და მათემატიკის მოყვარული ანდრიან ფლეკი (1600-1667). ნაპიერმა და ბრიგსმა, მართალია, ისინი ლოგარითმებზე უფრო ადრე მოვიდნენ, ვიდრე სხვები, მაგრამ მათი მაგიდები სხვაზე გვიან გამოაქვეყნეს - 1620 წელს. ჟურნალი და ჟურნალი ნიშნები შემოიღო 1624 წელს ი. კეპლერმა. ტერმინი "ბუნებრივი ლოგარითმი" შემოიღო მენგოლმა 1659 წელს, შემდეგ მოჰყვა ნ. მერკატორს 1668 წელს და ლონდონის მასწავლებელმა ჯონ სფეიდელმა გამოაქვეყნა 1-დან 1000-მდე რიცხვი ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილები სათაურით "ახალი ლოგარითმები".
პირველი ლოგარითმული ცხრილები რუსულ ენაზე გამოქვეყნდა 1703 წელს. ყველა ლოგარითმული ცხრილში შეცდომები დაშვებულია გაანგარიშებისას. პირველი უშეცდომო ცხრილი გამოიცა ბერლინში 1857 წელს, რედაქტირებულია გერმანელი მათემატიკოსის კ. ბრემიკერის მიერ (1804-1877).
ეტაპი 2
ლოგარითმების თეორიის შემდგომი განვითარება ასოცირდება ანალიტიკური გეომეტრიისა და უსასრულოდ მცირე ქვის უფრო ფართო გამოყენებასთან. ტოლობის ჰიპერბოლის კვადრატურასა და ბუნებრივ ლოგარითმს შორის კავშირის დამყარება იმ დროიდან იწყება. ამ პერიოდის ლოგარითმების თეორია უკავშირდება არაერთი მათემატიკოსის სახელს.
გერმანელი მათემატიკოსი, ასტრონომი და ინჟინერი ნიკოლაუს მერკატორი კომპოზიციაში
"ლოგარითმტექნიკა" (1668) იძლევა სერიას, რომელიც იშლება ln (x + 1) ში
x ძალა:
ეს გამონათქვამი ზუსტად შეესაბამება მისი აზრის მსვლელობას, თუმცა მან, რა თქმა უნდა, არ გამოიყენა ნიშნები d, ..., მაგრამ უფრო რთული სამუშაო სიმბოლოები. ლოგარითმული სერიის აღმოჩენისთანავე შეიცვალა ლოგარითმების გაანგარიშების ტექნიკა: მათი დადგენა დაიწყო უსასრულო სერიების გამოყენებით. 1907-1908 წლებში წაკითხულ ლექციებში "დაწყებითი მათემატიკა უმაღლესი თვალსაზრისით", ფ. კლეინმა შემოგვთავაზა ფორმულის გამოყენება, როგორც ლოგარითმების თეორიის აგების საწყისი წერტილი.
ეტაპი 3
ლოგარითმული ფუნქციის განმარტება, როგორც ინვერსის ფუნქცია
ექსპონენციალური, ლოგარითმი, როგორც მოცემული ფუძის ხარისხის მაჩვენებელი
დაუყოვნებლივ არ იქნა ჩამოყალიბებული. ლეონარდ ეილერის კომპოზიცია (1707-1783)
შესავალი ანალიზის Infinitesimal (1748) მსახურობდა შემდგომი
ლოგარითმული ფუნქციის თეორიის განვითარება. ამრიგად,
ლოგარითმების პირველად შემოღებიდან 134 წელი გავიდა
(ითვლიან 1614 წლიდან) სანამ მათემატიკოსები დადგებოდნენ
ლოგარითმის კონცეფცია, რომელიც ახლა სკოლის კურსის საფუძველია.
თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული
2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და განზოგადებული ინტერვალის მეთოდი.
ეკვივალენტური გადასვლები
თუ a\u003e 1
თუ 0 <
а <
1
განზოგადებული ინტერვალის მეთოდი
ეს მეთოდი ყველაზე მრავალფეროვანია თითქმის ნებისმიერი ტიპის უტოლობების გადასაჭრელად. გამოსავალი სქემა ასე გამოიყურება:
1. შეამცირეთ უთანასწორობა იმ ფორმისა, სადაც ფუნქციაა 
და მარჯვნივ 0.
2. იპოვნეთ ფუნქციის დომენი .
3. იპოვნეთ ფუნქციის ნულები , ანუ განტოლების ამოხსნა 
(და განტოლების ამოხსნა, როგორც წესი, უფრო ადვილია, ვიდრე უთანასწორობის ამოხსნა).
4. დახაზეთ ფუნქციის დომენი და ნულები რიცხვით წრფეზე.
5. განსაზღვრეთ ფუნქციის ნიშნები მიღებული ინტერვალებით.
6. აირჩიეთ ინტერვალი, სადაც ფუნქცია იღებს საჭირო მნიშვნელობებს და დაწერეთ პასუხი.
მაგალითი 1.
გადაწყვეტილება:
მოდით გამოვიყენოთ დაშორების მეთოდი
საიდან
ამ მნიშვნელობებისთვის, ლოგარითმების ნიშნის ქვეშ ყველა გამონათქვამი დადებითია.
პასუხი:
მაგალითი 2.
გადაწყვეტილება:
1-ლი გზა . ODZ განისაზღვრება უთანასწორობით x \u003e 3. ლოგარითმის აღება ასეთი x ბაზა 10, მივიღებთ
ბოლო უტოლობის მოგვარება შეიძლება დაშლის წესების გამოყენებით, ე.ი. ფაქტორების ნულის შედარება. ამასთან, ამ შემთხვევაში მარტივია ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალების დადგენა
ამიტომ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ინტერვალის მეთოდი.
ფუნქცია ვ(x) = 2x(x- 3,5) გგǀ x- 3ǀ უწყვეტია x \u003e 3 და ქრება წერტილებში x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. ამრიგად, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალებს ვ(x):
პასუხი:
მე -2 გზა . მოდით, ინტერვალის მეთოდის იდეები პირდაპირ თავდაპირველ უთანასწორობას გამოვიყენოთ.
ამისათვის გაიხსენეთ გამონათქვამები ა ბ - ა გ და ( ა - 1)(ბ - 1) აქვს ერთი ნიშანი. მაშინ ჩვენი უთანასწორობა x \u003e 3 უტოლობის ტოლფასია
ან
ინტერვალის მეთოდით იხსნება ბოლო უტოლობა
პასუხი:
მაგალითი 3.
გადაწყვეტილება:
მოდით გამოვიყენოთ დაშორების მეთოდი
პასუხი:
მაგალითი 4.
გადაწყვეტილება:
2 წლიდან x 2 - 3x + 3\u003e 0 ყველასათვის რეალური xშემდეგ
მეორე უტოლობის გადასაჭრელად, ჩვენ ვიყენებთ ინტერვალების მეთოდს
პირველ უთანასწორობაში, ჩვენ ვიცავთ ჩანაცვლებას
შემდეგ მივაღწევთ უთანასწორობას 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yრომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას -0.5< y < 1.
სად, მას შემდეგ
ჩვენ ვიღებთ უთანასწორობას
რომელიც ხორციელდება მათთან xრისთვისაც 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
ახლა, სისტემის მეორე უთანასწორობის ამოხსნის გათვალისწინებით, საბოლოოდ მივიღებთ
პასუხი:
მაგალითი 5.
გადაწყვეტილება:
უთანასწორობა უდრის სისტემების ერთობლიობას
ან
მოდით გამოვიყენოთ ინტერვალების მეთოდი ან
პასუხი:
მაგალითი 6.
გადაწყვეტილება:
უთანასწორობა სისტემის ეკვივალენტურია
დაე
შემდეგ y > 0,
და პირველი უთანასწორობა
სისტემა იღებს ფორმას
ან გაფართოებით
კვადრატული ტრინიუმი ფაქტორების მიხედვით,
ინტერვალის მეთოდის გამოყენება ბოლო უთანასწორობამდე,
ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი გადაწყვეტილებები აკმაყოფილებს პირობას y \u003e 0 იქნება ყველაფერი y > 4.
ამრიგად, ორიგინალური უთანასწორობა სისტემის ეკვივალენტურია:
ასე რომ, უთანასწორობის გადაჭრა ყველაა
2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი.
ადრე არ იყო გადაჭრილი უთანასწორობის რაციონალიზაციის მეთოდი, ეს არ იყო ცნობილი. ეს არის "ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობების გადაჭრის ახალი თანამედროვე ეფექტური მეთოდი" (ციტატა ს. ი. კოლესნიკოვას წიგნიდან)
მაშინაც კი, თუ მასწავლებელმა იგი იცოდა, იყო შეშფოთება - იცნობს მას გამომცდელი და რატომ არ აძლევენ მას სკოლაში? იყო სიტუაციები, როდესაც მასწავლებელმა უთხრა სტუდენტს: "საიდან მოიტანე? დაჯექი - 2."
ახლა მეთოდი ფართოდ არის დაწინაურებული. ექსპერტებისთვის მოცემულია ამ სახელმძღვანელოსთან დაკავშირებული სახელმძღვანელო მითითებები და C3 ხსნარში "მოდელის ვარიანტების ყველაზე სრულყოფილი გამოცემებში ..." ეს მეთოდი გამოიყენება.
მშვენიერი მეთოდი!
"ჯადოსნური მაგიდა"
სხვა წყაროებში
თუ a\u003e 1 და b\u003e 1, შემდეგ შედით a b\u003e 0 და (a -1) (b -1)\u003e 0;
თუ a\u003e 1 და 0 თუ 0<ა<1 и b
>1, შემდეგ შედით a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
თუ 0<ა<1 и 00 და (a -1) (b -1)\u003e 0. ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა მარტივია, მაგრამ ის მნიშვნელოვნად ამარტივებს ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნას. მაგალითი 4.
ჟურნალი x (x 2 -3)<0
გადაწყვეტილება:
მაგალითი 5.
ჟურნალი 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) გადაწყვეტილება: მაგალითი 6.
ამ უტოლობის გადასაჭრელად მნიშვნელის ნაცვლად ვწერთ (x-1-1) (x-1), ხოლო მრიცხველის ნაცვლად პროდუქტს (x-1) (x-3-9 + x). მაგალითი 7.
მაგალითი 8.
2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება. მაგალითი 1.
მაგალითი 2.
მაგალითი 3.
მაგალითი 4.
მაგალითი 5.
მაგალითი 6.
მაგალითი 7.
ჟურნალი 4 (3 x -1) ჟურნალი 0.25 მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება y \u003d 3 x -1; მაშინ ეს უთანასწორობა ფორმას იღებს შესვლა 4 ჟურნალი 0.25 როგორც ჟურნალი 0,25 ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას t \u003d log 4 y და ვიღებთ უტოლობას t 2 -2t + ≥0, რომლის ამოხსნაა ინტერვალი - ამრიგად, y- ის მნიშვნელობების დასადგენად, ჩვენ გვაქვს ორი უმარტივესი უტოლობების ნაკრები აქედან გამომდინარე, ორიგინალური უთანასწორობა უდრის ორი ექსპონენციალური უტოლობების სიმრავლეს, ამ სიმრავლის პირველი უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ მაგალითი 8.
გადაწყვეტილება:
უთანასწორობა სისტემის ეკვივალენტურია მეორე უთანასწორობის ამოხსნა, რომელიც განსაზღვრავს DHS, არის მათი ნაკრები x,
რისთვისაც x > 0.
პირველი უტოლობის გადასაჭრელად, ჩვენ შევიტანთ ცვლილებას შემდეგ მივიღებთ უთანასწორობას ან ბოლო უთანასწორობის ამოხსნების კომპლექტი მოცემულია მეთოდით ინტერვალით: -1< ტ < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, ჩვენ ვიღებთ ან ბევრი მათგანი xრომლებიც აკმაყოფილებენ ბოლო უთანასწორობას ეკუთვნის ODZ- ს ( x \u003e 0), შესაბამისად, ეს არის სისტემის გამოსავალი და აქედან ორიგინალური უთანასწორობა. პასუხი: 2.4. ხაფანგის სტუმარი. მაგალითი 1.
გადაწყვეტილება. ODZ უტოლობები x აკმაყოფილებს 0 პირობას მაგალითი 2.
ჟურნალი 2 (2 x + 1-x 2)\u003e ჟურნალი 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
პასუხი... (0; 0,5) უ.
პასუხი :
(3;6)
.
\u003d -ლოგი 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, შემდეგ გადაწერეთ ბოლო უტოლობა, როგორც 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
ამ ნაკრების ამოხსნა არის ინტერვალი 0<у≤2 и 8≤у<+.
ანუ მთლიანობა 
... ამრიგად, ორიგინალური უთანასწორობა იკავებს x- ის მნიშვნელობებს 0 ინტერვალიდან<х≤1 и 2≤х<+.
.
... ამიტომ, ყველა x ინტერვალიდან 0
დასკვნა
ადვილი არ იყო C3 პრობლემების გადაჭრის სპეციალური მეთოდების პოვნა სხვადასხვა საგანმანათლებლო წყაროების დიდი სიმრავლიდან. შესრულებული სამუშაოს განმავლობაში მე შემეძლო რთული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესწავლა. ესენია: ექვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი, რაციონალიზაციის მეთოდი , არასტანდარტული ჩანაცვლება , ამოცანები ხაფანგებით ODZ- ზე. ეს მეთოდები არ არსებობს სკოლის სასწავლო გეგმაში.
სხვადასხვა მეთოდების გამოყენებით გადავწყვიტე გამოცდაზე შემოთავაზებული 27 უტოლობა C ნაწილში, კერძოდ C3. ეს უტოლობები მეთოდებით ამოხსნებთან ერთად საფუძვლად დაედო კრებულს "ლოგარითმული C3 უტოლობები ამოხსნებთან", რომელიც გახდა ჩემი ნამუშევრის საპროექტო პროდუქტი. დადასტურდა ჰიპოთეზა, რომელიც მე წამოვაყენე პროექტის დასაწყისში: C3 ამოცანების ეფექტურად გადაჭრა შესაძლებელია ამ მეთოდების ცოდნით.
გარდა ამისა, მე აღმოვაჩინე საინტერესო ფაქტები ლოგარითმების შესახებ. ჩემთვის საინტერესო იყო ამის გაკეთება. ჩემი დიზაინის პროდუქტები გამოდგება როგორც სტუდენტებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის.
დასკვნები:
ამრიგად, პროექტის დასახული მიზანი მიღწეულია, პრობლემა მოგვარებულია. და მე მივიღე ყველაზე სრულყოფილი და მრავალმხრივი გამოცდილება პროექტის საქმიანობაში მუშაობის ყველა ეტაპზე. პროექტზე მუშაობის დროს, ჩემი განვითარების მთავარი გავლენა იყო გონებრივ კომპეტენციაზე, ლოგიკურ ფსიქიკურ ოპერაციებთან დაკავშირებული საქმიანობა, შემოქმედებითი კომპეტენციის განვითარება, პირადი ინიციატივა, პასუხისმგებლობა, შეუპოვრობა, აქტივობა.
წარმატების გარანტია კვლევითი პროექტის შექმნისას გავხდი: სასკოლო მნიშვნელოვანი გამოცდილება, ინფორმაციის სხვადასხვა წყაროდან მოპოვების, მისი საიმედოობის შემოწმების, მნიშვნელობის მიხედვით შეფასების შესაძლებლობა.
მათემატიკაში უშუალო საგნობრივი ცოდნის გარდა, მან გააფართოვა პრაქტიკული უნარ-ჩვევები კომპიუტერულ მეცნიერებაში, მიიღო ახალი ცოდნა და გამოცდილება ფსიქოლოგიის სფეროში, დაამყარა კონტაქტები თანაკლასელებთან და შეისწავლა მოზარდებთან თანამშრომლობა. პროექტის საქმიანობის განმავლობაში ჩამოყალიბდა ორგანიზაციული, ინტელექტუალური და კომუნიკაციური ზოგადი საგანმანათლებლო უნარები და შესაძლებლობები.
ლიტერატურა
1. კორიანოვი ა. გ., პროკოფიევი ა. უტოლობების სისტემები ერთ ცვლადთან (ტიპიური დავალებები C3).
2. Malkova AG მოსამზადებელი გამოცდისთვის მათემატიკაში.
3. სამაროვა SS ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა.
4. მათემატიკა. A.L.- ს რედაქტირებული სასწავლო სამუშაოების კრებული. სემიონოვი და ი.ვ. იაშჩენკო. -მ .: MTsNMO, 2009 წ. - 72 გვ. -
