Сандарға бөлінгіштік тесттері- бұл ережелер, бөлуді жасамай, бұл санның берілген санға қалдықсыз бөлінетіндігін салыстырмалы түрде тез анықтауға мүмкіндік береді.
Кейбір бөлінгіштік критерийлері өте қарапайым, кейбіреуі қиын. Бұл бетте сіз жай сандардың бөлінгіштік критерийлерін, мысалы, 2, 3, 5, 7, 11 және құрама сандардың бөлінгіштік критерийлерін, мысалы, 6 немесе 12 табасыз.
Бұл ақпарат сізге пайдалы болады деп үміттенемін.
Бақытты оқу!

2-ге бөліну

Бұл бөлуге болатын қарапайым тесттердің бірі. Бұл былай естіледі: егер натурал санның жазылуы жұп цифрмен аяқталса, онда ол жұп (2-ге қалдықсыз бөлінеді), ал егер санның жазылуы тақ цифрмен аяқталса, онда бұл сан тақ болады.
Басқаша айтқанда, егер санның соңғы цифры болса 2 , 4 , 6 , 8 немесе 0 - сан 2-ге бөлінеді, егер бөлінбесе, онда ол бөлінбейді
Мысалы, сандар: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 2-ге бөлінеді, өйткені олар жұп.
Ал сандар: 23 5 , 137 , 2303
олар тақ болғандықтан 2-ге бөлінбейді.

3-ке бөліну

Бұл бөлінгіштік критерийінде мүлдем басқа ережелер бар: егер санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінетін болса, онда сан да 3-ке бөлінеді; егер санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінбейтін болса, онда сан да 3-ке бөлінбейді.
Сонымен, санның 3-ке бөлінетіндігін түсіну үшін оның құрамына кіретін сандарды қосу керек.
Бұл келесідей: 3987 және 141 3-ке бөлінеді, өйткені бірінші жағдайда 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - остаксыз 3-ке бөлінеді), ал екіншісінде 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - остаксыз 3-ке де бөлінеді).
Бірақ 235 және 566 сандары 3-ке бөлінбейді, өйткені 2 + 3 + 5 \u003d 10 және 5 + 6 + 6 \u003d 17 (және біз білеміз, 10 да, 17 де 3-ке қалдықсыз бөлінбейді).

4-ке бөліну

Бұл бөлінгіштік критерийі неғұрлым күрделі болады. Егер санның соңғы 2 цифры 4-ке бөлінетін санды құраса немесе ол 00-ге тең болса, онда сан 4-ке бөлінеді, әйтпесе бұл сан 4-ке қалдықсыз бөлінбейді.
Мысалы: 1 00 және 3 64 4-ке бөлінеді, өйткені бірінші жағдайда сан аяқталады 00 , ал екіншісінде 64 , ол өз кезегінде 4-ке қалдықсыз бөлінеді (64: 4 \u003d 16)
Сандар 3 57 және 8 86 4-ке бөлінбейді, өйткені екеуі де болмайды 57 не 86 4-ке бөлінбейді, яғни олардың бөлінгіштік критерийіне сәйкес келмейді.

5-ке бөліну

Бізде тағы да қарапайым бөлінгіштік белгісі бар: егер натурал санның жазбасы 0 немесе 5 цифрымен аяқталса, онда бұл сан 5-ке қалдықсыз бөлінеді. Егер санның жазбасы басқа цифрмен аяқталса, онда сан 5-ке қалдықсыз бөлінбейді.
Бұл цифрлармен аяқталатын кез-келген сандарды білдіреді 0 және 5 мысалы, 1235 5 және 43 0 , ережеге сәйкес келеді және 5-ке бөлінеді.
Мысалы, 1549 ж 3 және 56 4 5-ке немесе 0-ге аяқталмаңыз, демек, оларды 5-ке қалдықсыз бөлуге болмайды.

6-ға бөліну

Біздің алдымызда 2 және 3 сандарының көбейтіндісі болатын 6 саны бар, сондықтан 6-ға бөлінгіштік те құрама болып табылады: санның 6-ға бөлінуі үшін ол бір уақытта екі бөлінгіштік белгісіне сәйкес келуі керек: бөлінгіштік белгісі 2-ге және бөлінгіштік белгісі 3-ке. Сонымен қатар, 4 сияқты құрама санның жеке бөлінгіштік белгісі бар екенін ескеріңіз, өйткені ол 2 санының өздігінен көбейтіндісі. 6 критерий бойынша бөлінгіштікке қайта оралыңыз.
138 және 474 сандары жұп және 3-ке бөлінгіштік критерийлеріне сәйкес келеді (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 және 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), бұл олардың 6-ға бөлінетіндігін білдіреді. және 447, бірақ олар 3-ке бөлінеді (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 және 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), бірақ олар тақ, яғни олар бөлінгіштік критерийіне 2-ге сәйкес келмейді, сондықтан 6-ға бөлінгіштік критерийіне сәйкес келмейді.

7-ге бөліну

Бұл бөлінгіштік белгісі анағұрлым күрделі: егер санның ондығынан соңғы екі еселенген цифрды шегеру нәтижесі 7-ге бөлінсе немесе 0-ге тең болса, сан 7-ге бөлінеді.
Шындығында да түсініксіз, бірақ іс жүзінде қарапайым болып көрінеді. Өзіңіз қараңыз: нөмір 95 9 7-ге бөлінеді, өйткені 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 қалдыққа 7-ге бөлінеді). Сонымен қатар, егер түрлендірулер кезінде алынған санға байланысты қиындықтар туындаған болса (оның мөлшеріне байланысты оның 7-ге бөлінетіндігін немесе болмайтынын түсіну қиын болса, онда бұл процедураны қажет деп санай отырып жалғастыруға болады).
Мысалға, 45 5 және 4580 1-де 7-ге бөлінгіштік белгілері бар. Бірінші жағдайда барлығы қарапайым: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. Екінші жағдайда біз мұны жасаймыз: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Бізге түсіну қиын 457 8-ден 7-ге дейін, сондықтан процедураны қайталайық: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. Біз тағы да бөлінгіштік критерийін қолданамыз, өйткені бізде үш таңбалы сан бар 44 1. Сонымен, 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, яғни. 42 саны 7-ге қалдықсыз бөлінеді, яғни 45801 7-ге бөлінеді.
Бірақ сандар 11 1 және 34 5 7-ге бөлінбейді, өйткені 11 -2 * 1 \u003d 11 - 2 \u003d 9 (9-ға 7-ге тең бөлінбейді) және 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 7-ге біркелкі бөлінбейді).

8-ге бөліну

8-ге бөлінгіштік келесідей: егер соңғы 3 цифр 8-ге немесе 000-ға бөлінетін сан құраса, онда берілген сан 8-ге бөлінеді.
Сандар 1 000 немесе 1 088 8-ге бөлінеді: біріншісі аяқталады 000 , екінші 88 : 8 \u003d 11 (8-ге қалдықсыз бөлінеді).
Бірақ сандар 1 100 немесе 4 757 8-ге бөлінбейді, өйткені сандар 100 және 757 8-ге тең бөлінбейді.

9-ға бөліну

Бұл бөлінгіштік белгісі 3-ке бөлінгіштік белгісіне ұқсас: егер санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда сан да 9-ға бөлінеді; егер сан цифрларының қосындысы 9-ға бөлінбейтін болса, онда сан 9-ға да бөлінбейді.
Мысалы: 3987 және 144 9-ға бөлінеді, өйткені бірінші жағдайда 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - остаксыз 9-ға бөлінеді), ал екіншісінде 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - 9-ға остаксыз бөлінеді).
Бірақ 235 және 141 сандары 9-ға бөлінбейді, өйткені 2 + 3 + 5 \u003d 10 және 1 + 4 + 1 \u003d 6 (және біз білеміз, 10 да, 6 да 9-ға қалдықсыз бөлінбейді).

10, 100, 1000 және басқа биттік бірліктерге бөлінгіштік

Мен осы бөлінгіштік белгілерін біріктірдім, өйткені оларды дәл осылай сипаттауға болады: егер сан соңындағы нөлдер саны берілген биттік бірліктегі нөлдер санынан көп немесе оған тең болса, сан биттік бірлікке бөлінеді.
Басқаша айтқанда, мысалы, бізде осындай сандар бар: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... оның барлығы 1-ге бөлінеді 0 ; 46400 және 867 000 сонымен бірге 1-ге бөлінеді 00 ; және олардың біреуі ғана - 867 000 1-ге бөлінеді 000 .
Соңында биттік бірліктен аз нөлге ие кез-келген сандар сол биттік бірлікке бөлінбейді, мысалы 600 30 және 7 93 бөлінбейді 1 00 .

11-ге бөліну

Санның 11-ге бөлінетіндігін білу үшін, осы санның жұп және тақ цифрларының қосындыларының арасындағы айырмашылықты алу керек. Егер бұл айырмашылық 0-ге тең болса немесе 11-ге қалдықсыз бөлінсе, онда санның өзі 11-ге қалдықсыз бөлінеді.
Түсінікті болу үшін мысалдарды қарастыруды ұсынамын: 2 35 4 11-ге бөлінеді, өйткені ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 сонымен бірге 11-ге бөлінеді, өйткені ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Бірақ 1 1 1 немесе 4 35 4 11-ге бөлінбейді, өйткені бірінші жағдайда біз (1 + 1) - аламыз 1 \u003d 1, ал екіншісінде ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12-ге бөліну

12 саны күрделі. Оның бөлінгіштік критерийі 3 пен 4-ке бөлінгіштік критерийлеріне сәйкес келуі.
Мысалы, 300 мен 636 4-ке бөлінгіштік белгілеріне сәйкес келеді (соңғы 2 цифр нөлге тең немесе 4-ке бөлінеді) және 3-ке бөлінгіштік белгілері (цифрлардың қосындысы және бірінші және үш еселік сан 3-ке бөлінеді), ал znit, олар 12-ге қалдықсыз бөлінеді.
Бірақ 200 немесе 630 12-ге бөлінбейді, өйткені бірінші жағдайда сан тек 4-ке бөлінгіштік критерийіне сәйкес келеді, ал екіншісінде - тек 3-ке бөлінгіштік критерийіне сәйкес келеді, бірақ екі белгі де бір уақытта емес.

13-ке бөліну

13-ке бөлінгіштік белгісі, егер бұл санның бірліктерімен 4-ке көбейтілген ондықтардың саны 13-ке еселік болса немесе 0-ге тең болса, онда санның өзі 13-ке бөлінеді.
Мысалға алайық 70 2. Сонымен, 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 қалдыққа 13-ке бөлінеді), яғни 70 2 саны 13-ке қалдықсыз бөлінеді. Тағы бір мысал - нөмір 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. 130 саны 13-ке қалдықсыз бөлінеді, яғни берілген сан 13-ке бөлінгіштік критерийіне сәйкес келеді.
Егер сандарды алсақ 12 5 немесе 21 2, содан кейін аламыз 12 + 4 * 5 \u003d 32 және 21 + 4 * 2 \u003d 29 сәйкесінше, ал 32 де, 29 да 13-ке қалдықсыз бөлінбейді, яғни берілген сандар 13-ке біркелкі бөлінбейді.

Сандардың бөлінгіштігі

Жоғарыда айтылғандардан көрініп тұрғандай, кез келген үшін деп ойлауға болады натурал сандар егер сіз жеке жеке бөлінгіштік қасиетті немесе «құрама» функцияны таңдай аласыз, егер бұл сан бірнеше түрлі сандардың еселігі болса. Бірақ тәжірибе көрсеткендей, жалпы саны неғұрлым көп болса, соғұрлым оның белгісі соғұрлым күрделі болады. Мүмкін бөлінгіштік критерийін тексеруге кеткен уақыт бөлінудің өзіне тең немесе одан да көп болуы мүмкін. Сондықтан, біз көбіне бөлінгіштік критерийлерін қолданамыз.

Мақалада бүтін сандарды қалдықпен бөлу ұғымы талқыланады. Бүтін сандардың қалдыққа бөлінгіштігі туралы теореманы дәлелдеп, дивидендтер мен бөлгіштердің, толық емес квотенттер мен қалдықтардың байланыстарын қарастырайық. Мысалдармен егжей-тегжейлі қарастыра отырып, бүтін сандарды қалдықтармен бөлу ережелерін қарастырайық. Шешімнің соңында тексеріп көрейік.

Қалған бүтін бөлімді түсіну

Бүтін сандардың қалдықпен бөлінуі натурал сандардың қалдығы бар жалпыланған бөліну ретінде қарастырылады. Бұл натурал сандар бүтін сандармен ажырамас болғандықтан жасалады.

Еркін санның қалдықымен бөлу а бүтін санының нөлге тең емес санға бөлінетіндігін білдіреді. Егер b \u003d 0 болса, онда қалдық бөлу орындалмайды.

Натурал сандарды қалдықпен бөлу сияқты а және b бүтін сандарды бөлу, егер b нөлден өзгеше болса, с және d арқылы орындалады. Бұл жағдайда a және b дивиденд және бөлгіш деп аталады, ал d - бөлінудің қалдығы, c - бүтін немесе толық емес бөлік.

Егер қалдықты теріс емес бүтін сан деп есептесек, онда оның мәні b санының модулінен аспайды. Осылай жазайық: 0 ≤ d ≤ b. Бұл теңсіздіктер тізбегі 3 немесе одан көп сандарды салыстыру кезінде қолданылады.

Егер c - толық емес баға болса, онда d - бүтін а-ны b-ге бөлудің қалған бөлігі, сіз қысқаша түзете аласыз: a: b \u003d c (d d).

A сандарын b-ге бөлгенде қалдық нөлге тең болады, сонда олар а-ны b-ге толығымен, яғни қалдықсыз бөлінеді дейді. Қалдықсыз бөлу бөлудің ерекше жағдайы болып саналады.

Егер нөлді қандай да бір санға бөлсек, нәтижесінде нөл шығады. Бөлудің қалған бөлігі де нөлге тең болады. Мұны нөлді бүтін санға бөлу теориясынан іздеуге болады.

Енді бүтін сандарды қалдыққа бөлудің мағынасын қарастырайық.

Натурал сандар табиғи болатыны белгілі, содан кейін қалдықпен бөлгенде натурал сандарды қалдықпен бөлгендегідей мағына шығады.

Теріс бүтін а-ны оң натурал санға бөлгенде мағынасы бар. Мысалға тоқталайық. Жағдайдың елестетуі, бізде а адамдар қарыздары бар, оны б адамдар қайтаруы керек. Бұл бәрінен бірдей үлес қосуды талап етеді. Әрқайсысы бойынша қарыздың мөлшерін анықтау үшін жеке p мөлшеріне назар аудару қажет. Қалған заттардың саны қарыздарды төлегеннен кейін белгілі болады дейді.

Алма мысалын алайық. Егер 2 адамға 7 алма қажет болса. Егер сіз барлығы 4 алма қайтаруы керек деп есептесеңіз, толық есептелгеннен кейін оларда 1 алма болады. Оны теңдік түрінде жазайық: (- \u200b\u200b7): 2 \u003d - 4 (o 1 нүктесімен).

Кез-келген а санын бүтін санға бөлудің мағынасы жоқ, бірақ бұл опция ретінде мүмкін.

Қалған бүтін сандарға бөлінгіштік теоремасы

А - дивиденд, одан b - бөлгіш, с - аяқталмаған, ал d - қалдық. Олар бір-бірімен байланысты. Бұл байланысты a \u003d b c + d теңдігін пайдаланып көрсетеміз. Олардың арасындағы байланыс қалған бөлінгіштік теоремасымен сипатталады.

Теорема

Кез келген бүтін санды тек бүтін және нөлдік емес сан арқылы көрсетуге болады: a \u003d b q + r, мұндағы q және r - кейбір бүтін сандар. Мұнда бізде 0 ≤ r ≤ b бар.

A \u003d b q + r болу мүмкіндігін дәлелдеейік.

Дәлелдемелер

Егер екі а және b саны болса, а а-ға b-ге қалдықсыз бөлінеді, онда анықтама q саны бар екенін білдіреді, бұл a \u003d b q теңдігі шын болады. Сонда теңдікті шын деп санауға болады: r \u003d 0 үшін a \u003d b q + r.

Онда b q теңсіздігі берген q-ны қабылдау керек< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Бізде a - b q өрнегінің мәні нөлден үлкен және b санының мәнінен үлкен емес, бұдан r \u003d a - b q шығады. A санын a \u003d b q + r түрінде көрсетуге болатындығын аламыз.

Енді b-нің теріс мәндері үшін a \u003d b q + r ұсыну мүмкіндігін қарастыру қажет.

Санның абсолюттік мәні оң, содан кейін a \u003d b q 1 + r аламыз, мұндағы q 1 мәні бүтін сан, r - 0 0 r шартына сәйкес келетін бүтін сан< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Бірегейліктің дәлелі

A \u003d bq + r, q және r - шынайы шарты 0 ≤ r болатын бүтін сандар болсын делік< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 және r 1 бірнеше сандар бар, қайда q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1< b .

Теңсіздікті сол жақтан және оң жақтан алып тастаған кезде 0 - b · (q - q 1) + r - r 1 аламыз, ол r - r 1 \u003d b · q 1 - q-ға тең. Модуль қолданылғандықтан, r - r 1 \u003d b q 1 - q теңдігін аламыз.

Берілген шарт 0 ≤ r дейді< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qжәне q 1- бүтін сандар, және q ≠ q 1, содан кейін q 1 - q ≥ 1. Демек, b q 1 - q ≥ b. Алынған теңсіздіктер r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Демек, а санын a \u003d b q + r белгілеуінен басқа жағдайда, басқа жолмен көрсетуге болмайды.

Дивиденд, бөлгіш, толық емес бөлік және қалдық арасындағы байланыс

A \u003d b c + d теңдігін пайдаланып, толық емес с, ал d d бөлімдері бар b бөлгішін білген кезде белгісіз а дивидендін табуға болады.

1-мысал

Дивидендті анықтаңыз, егер бөлінгенде - 21, толық емес 5 және қалған 12 алсақ.

Шешім

A дивидендін белгілі b \u003d - 21 бөлгішімен, толық емес с \u003d 5 бөлігімен және d \u003d 12 қалдықпен есептеу керек. Біз a \u003d b c + d теңдігіне жүгінуіміз керек, одан a \u003d (- 21) 5 + 12 аламыз. Іс-әрекеттерді орындау тәртібін ескере отырып, біз 21-ді 5-ке көбейтеміз, содан кейін (- 21) 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93 аламыз.

Жауап: - 93 .

Бөлгіш пен толық емес бөлік пен қалдық арасындағы байланысты теңдіктер арқылы өрнектеуге болады: b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b және d \u003d a - b c. Олардың көмегімен бөлгішті, ішінара үлесті және қалдықты есептей аламыз. Бұл а бүтін санды белгілі дивидендпен, бөлгішпен және толық емес бөлікпен бөлгеннен кейін қалдықты үнемі табуға дейін төмендейді. Формула d \u003d a - b c қолданылады. Шешімді егжей-тегжейлі қарастырайық.

2-мысал

Бүтін - 19-ны бүтін 3-ке белгілі - 7-ге тең толық емес бөлімді бөлудің қалдықтарын табыңыз.

Шешім

Бөлудің қалдықтарын есептеу үшін d \u003d a - b · c сияқты формуланы қолданыңыз. Шарт бойынша барлық деректер a \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7 қол жетімді. Бұдан d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 аламыз (айырмашылық - 19 - (- 21). Бұл мысал шегеру ережесімен есептеледі бүтін теріс сан.

Жауап: 2 .

Барлық оң сандар табиғи болып табылады. Бұдан бөліну натурал сандардың қалдықтарымен бөлудің барлық ережелері бойынша орындалатындығы шығады. Натурал сандардың қалдықтарымен бөлу жылдамдығы маңызды, өйткені оң санды бөлу ғана емес, оған ерікті бүтін сандарды бөлу ережелері де негізделген.

Бөлудің ең ыңғайлы әдісі - баған, өйткені толық емес немесе жай қалдықты алу оңай және жылдамырақ. Шешімді толығырақ қарастырайық.

3-мысал

14671-ді 54-ке бөл.

Шешім

Бұл бөлу бағанда орындалуы керек:

Яғни, толық емес бөлік 271 болып шығады, ал қалғаны 37-ге тең.

Жауап: 14 671: 54 \u003d 271. (37 аялдама)

Оң бүтін санды теріс бүтін санмен қалдыру ережесі, мысалдар

Оң қалдықпен теріс бүтін санға бөлу үшін ереже тұжырымдау керек.

Анықтама 1

Натурал а-ны теріс b-ге бөлудің толық емес квотасы, а сандарының абсолюттік мәндерін b-ге бөлуден толық емес санға қарама-қарсы сан шығады. Сонда қалдықты а-ға бөлгенде қалдыққа тең болады.

Демек, бүтін оң санды теріс санға бөлудің толық емес квотасы оң емес бүтін сан болып саналады.

Алгоритмді аламыз:

• бөлінгіштің модулін бөлгіштің модуліне бөл, сонда біз толық емес квотаны аламыз және
• қалғаны;
• алынған санға қарама-қарсы санды жазамыз.

Натурал санды теріс бүтін санға бөлу алгоритмінің мысалын қарастырайық.

4 мысал

17-дің қалдықтары - 5-ке бөлінеді.

Шешім

Бөлу алгоритмін оң бүтін санмен теріс бүтінге қалдырамыз. 17 - 5 модуліне бөлу керек. Осыдан біз толық емес квотаның 3-ке, ал қалдықтың 2-ге тең болатындығын аламыз.

17-ді - 5 \u003d - 3-ке 2-ге қалдықпен бөлгенде қажетті сан шығады.

Жауап: 17: (- 5) \u003d - 3 (демалыс 2).

Мысал 5

45-ті 15-ке бөліңіз.

Шешім

Сандарды модульге бөлу керек. 45 санын 15-ке бөліңіз, біз 3 бөлігін қалдықсыз аламыз. Бұл 45 саны 15-ке қалдықсыз бөлінетіндігін білдіреді. Жауапта біз 3 аламыз, өйткені бөлу модуль бойынша жүргізілді.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Жауап: 45: (− 15) = − 3 .

Қалдықпен бөлу ережесін тұжырымдау келесідей.

Анықтама 2

Теріс бүтін а-ны оң b-ге бөлген кезде толық емес с квотасын алу үшін, осы санға қарама-қарсы амал қолданып, одан 1-ді шығару керек, сонда d d формуласы бойынша есептеледі: d \u003d a - b · c.

Ережеге сүйене отырып, бөлу кезінде теріс емес бүтін сан аламыз деген қорытынды жасауға болады. Шешімнің дәлдігі үшін а-ны b-ға қалдықпен бөлудің алгоритмі қолданылады:

• дивиденд пен бөлгіштің модульдерін табу;
• модуль бойынша бөлу;
• қарама-қарсы санды жазып, 1-ді алып тастаңыз;
• d \u003d a - b c қалдықтарының формуласын қолданыңыз.

Осы алгоритм қолданылатын шешімнің мысалын қарастырайық.

6-мысал

Толымсыз бөлімді және бөлудің қалған бөлігін табыңыз - 17-ге 5-ке.

Шешім

Берілген сандарды модульге бөліңіз. Бөлшекті бөлгенде 3, ал қалдық 2-ге тең болады. Біз 3 алғандықтан, керісінше 3 болады. Сіз 1-ді алып тастауыңыз керек.

− 3 − 1 = − 4 .

Қажетті мәнді - 4-ке тең аламыз.

Қалдықты есептеу үшін a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4 керек, содан кейін d \u003d a - b c \u003d - 17 - 5 (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Бұл дегеніміз, бөлудің толық емес квотасы - 4-ге тең, қалдығы 3-ке тең.

Жауап: (- 17): 5 \u003d - 4 (демалыс. 3).

7-мысал

1404 теріс бүтін санды 26-ға бөліңіз.

Шешім

Бағанаға және қашырға бөлу керек.

Сандардың абсолюттік мәндерінің бөлінуін қалдықсыз алдық. Бұл дегеніміз, бөлу қалдықсыз орындалады, ал қалаған бөлігі \u003d - 54.

Жауап: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Қалған теріс сандармен бөлу ережесі, мысалдар

Қалған теріс сандармен бөлу ережесін тұжырымдау қажет.

Анықтама 3

Теріс бүтін а-ны теріс b санына бөлуден толық емес с-ті алу үшін, модуль бойынша есептеулер жүргізу керек, содан кейін 1 қосу керек, содан кейін d \u003d a - b · c формуласын пайдаланып есептеулер жүргізе аламыз.

Бұдан шығатыны, бүтін теріс сандарды бөлудің толық емес бөлігі оң сан болады.

Осы ережені алгоритм түрінде тұжырымдайық:

• дивиденд пен бөлгіштің модульдерін табу;
• бөлінбейтін модульді бөлгіштің модуліне бөліп, толық емес квоент алу керек
• қалғаны;
• толық емес бөлікке 1 қосу;
• d \u003d a - b · c формуласы негізінде қалдықты есептеу.

Осы алгоритмді мысал келтіре отырып қарастырайық.

8-мысал

Бөлінген кезде толық емес және қалдықты табыңыз - 17-ге - 5.

Шешім

Шешімнің дұрыстығы үшін бөлу алгоритмін қалдықпен қолданамыз. Алдымен сандарды модульге бөліңіз. Осыдан біз толық емес баға \u003d 3, ал қалғаны 2 болады. Ережеге сәйкес, толық емес квотаны және 1 қосу керек. Біз 3 + 1 \u003d 4 деп аламыз. Бұдан біз берілген сандарды бөлудің толық емес квотасы 4-ке тең болатындығын аламыз.

Қалғанын есептеу үшін формуланы қолданамыз. Гипотеза бойынша бізде a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, сонда формуланы пайдаланып, d \u003d a - b c \u003d - 17 - (- 5) 4 \u003d - 17 - (- 20) аламыз. \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Қажетті жауап, яғни қалдық 3, ал толық емес баға 4 құрайды.

Жауап: (- 17): (- 5) \u003d 4 (демалыс 3).

Бүтін сандарды қалдықпен бөлудің нәтижесін тексеру

Қалған сандарды бөлуден кейін тексеру керек. Бұл тексеру 2 кезеңнен тұрады. Алдымен d қалдықсыздығына тексеріледі, жағдайы 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Енді бірнеше мысал қарастырайық.

9-мысал

Бөлім жасалды - 521 - 12. Бағасы - 44, қалғаны - 7. Тексеріңіз.

Шешім

Қалғаны оң сан болғандықтан, оның мәні бөлгіштің модулінен аз болады. Бөлгіш - 12, яғни оның модулі 12-ге тең екенін білдіреді. Сіз келесі тексеру нүктесіне өтуіңізге болады.

Гипотеза бойынша бізде a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7 болады. Осыдан b c + d есептейміз, мұндағы b c + d \u003d - 12 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. Демек, теңдік шындыққа сәйкес келеді. Тексеру өтті.

10-мысал

Бөлуді тексеруді орындаңыз (- 17): 5 \u003d - 3 (демалыс - 2). Теңдік рас па?

Шешім

Бірінші кезеңнің мәні - бүтін сандардың бөлінуін қалдықпен тексеру керек. Демек, іс-әрекеттің дұрыс орындалмағаны түсінікті, өйткені қалғаны - 2-ге тең. Қалғаны теріс емес.

Бізде екінші шарт қанағаттандырылған, бірақ бұл жағдайда жеткіліксіз.

Жауап: емес.

11-мысал

Сан - 19-ға бөлінген - 3. Толымсыз бөлік 7-ге, ал қалғаны 1-ге тең. Есептеудің дұрыстығын тексеріңіз.

Шешім

1-нің қалдығы берілген. Ол позитивті. Бұл бөлгіш модульден аз, яғни бірінші кезең орындалады деген сөз. Енді екінші кезеңге көшейік.

B c + d өрнегінің мәнін есептейік. Гипотеза бойынша бізде b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, демек, сандық мәндерді ауыстырып, b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20 аламыз. Бұдан \u003d a 19 - шартта берілгендіктен, a \u003d b c + d теңдік орындалмайды.

Бөлім қателікпен жасалған деген тұжырым осыдан шыққан.

Жауап: емес.

Егер сіз мәтінде қате байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелерін басыңыз

Бұл мақалада біз талдаймыз бүтін сандарды қалдықпен бөлу... Бүкіл сандарды қалдыққа бөлудің жалпы принципінен бастайық, бүтін сандардың қалдыққа бөлінгіштігі туралы теореманы тұжырымдап, дәлелдеейік, дивиденд, бөлгіш, жартылай үлестік және қалдық арасындағы байланыстарды анықтайық. Содан кейін, біз бүтін сандарды қалдықпен бөлу ережелерін шығарамыз және мысалдарды шешкен кезде осы ережелерді қолдануды қарастырамыз. Осыдан кейін біз бүтін сандарды қалдықпен бөлудің нәтижесін қалай тексеруге болатындығын білеміз.

Бетті шарлау.

Қалған бүтін бөлімді түсіну

Біз бүтін сандарды қалдықпен бөлуді натурал сандардың қалғанымен бөлуді қорыту деп қарастырамыз. Бұл натурал сандар бүтін сандардың құрамдас бөлігі екендігіне байланысты.

Сипаттамада қолданылатын терминдер мен белгілерден бастайық.

Натурал сандарды қалдықпен бөлуге ұқсастық бойынша біз екі бүтін a және b сандарының (b нөлге тең емес) қалдықтарымен бөлудің нәтижесі екі бүтін с және d болады деп есептейміз. А және b сандары шақырылады бөлінетін және бөлгіш сәйкесінше d саны - қалғаны a-ны b-ге бөлуден бастап, бүтін с деп аталады толық емес жеке (немесе жай жекеегер қалдық нөлге тең болса).

Қалғанды \u200b\u200bтеріс емес бүтін сан деп қабылдауға келісейік, ал оның мәні b-ден аспайды, яғни (біз осындай теңсіздіктер тізбегін үш немесе одан да көп бүтін сандарды салыстыру туралы әңгімелескенде кездестірдік).

Егер с саны толық емес дәйексөз болса, ал d саны а бүтін санды b бүтін санына бөлудің қалған бөлігі болса, онда біз бұл фактіні қысқаша түрде a: b \u003d c (қалдық d) түріндегі теңдік ретінде жазамыз.

Бүтін а санын b бүтін санына бөлгенде, қалдық нөлге тең болатындығын ескеріңіз. Бұл жағдайда а-ны b-ге бөлуге болады дейді қалдықсыз (немесе толығымен). Сонымен, бүтін сандарды қалдықсыз бөлу бүтін сандарды қалдыққа бөлудің ерекше жағдайы болып табылады.

Нөлді қандай да бір бүтін санға бөлгенде, біз әрқашан бөлумен қалдықсыз жұмыс істейтінімізді айту керек, өйткені бұл жағдайда үлес нөлге тең болады (нөлді бүтін санға бөлу туралы теория бөлімін қараңыз), ал қалған бөлігі нөлге тең болады.

Біз терминология мен белгілерді шештік, енді бүтін сандарды қалдықпен бөлудің мағынасын анықтайық.

Теріс а-ны оң бүтін b-ге бөлудің де мағынасы болуы мүмкін. Ол үшін теріс бүтін санды қарыз ретінде қарастырыңыз. Келесі жағдайды елестетіп көрейік. Бөлшектерді құрайтын қарызды бірдей адамдар төлей отырып төлеуге тиіс. Абсолюттік мән толық емес жеке с, бұл жағдайда осы адамдардың әрқайсысының қарыз сомасын анықтайды, ал қалған d қарызды төлегеннен кейін қанша зат қалатынын көрсетеді. Мысал келтірейік. Айталық, 2 адамға 7 алма қажет. Егер олардың әрқайсысында 4 алма қарыздар деп есептесек, онда қарызды төлегеннен кейін оларда 1 алма болады. Бұл жағдай теңдікке сәйкес келеді (-7): 2 \u003d -4 (тыныштық 1).

Біз ерікті бүтін а санын теріс бүтін санмен бөлуге ешқандай мағына бермейміз, бірақ оны болу құқығымен қалдырамыз.

Қалған бүтін сандарға бөлінгіштік теоремасы

Натурал сандарды қалдықпен бөлу туралы әңгіме болғанда, дивиденд а, бөлгіш b, с квоталі және d d қалдықтары a \u003d b c + d теңдігімен байланысты екенін анықтадық. A, b, c және d бүтін сандар бірдей қатынасқа ие. Бұл байланыс келесілермен бекітілген бөлінгіштік теоремасы.

Теорема.

Кез-келген а санды бүтін және нөлдік емес сан арқылы a \u003d b q + r түрінде ұсынуға болады, мұндағы q және r - кейбір бүтін сандар, және.

Дәлелдемелер.

Біріншіден, біз a \u003d b q + r-ді ұсыну мүмкіндігін дәлелдейміз.

Егер a және b бүтін сандар а-ны b-ге теңдей етіп бөлетін болса, онда анықтама бойынша a \u003d b q болатын бүтін q болады. Бұл жағдайда r \u003d 0 кезінде a \u003d bq + r теңдігі орындалады.

Енді b - оң бүтін сан деп қабылдаймыз. B q көбейтіндісі a-дан аспайтындай етіп q бүтін санын таңдаңыз, ал b (q + 1) көбейтіндісі a-дан үлкен болады. Яғни q q теңсіздіктері b q болатындай етіп аламыз

Теріс b үшін a \u003d b q + r ұсыну мүмкіндігін дәлелдеу қалады.

B санының модулі бұл жағдайда оң сан болғандықтан, онда ұсыну болады, мұндағы q 1 бүтін, ал r шарттарды қанағаттандыратын бүтін сан. Онда q \u003d −q 1 алып, теріс b үшін қажетті a \u003d b q + r бейнесін аламыз.

Біз бірегейліктің дәлелдемесіне көшеміз.

Айталық, a \u003d bq + r, q және r - бүтін сандар және тағы бір а \u003d bq 1 + r 1, онда q 1 мен r 1 - кейбір бүтін сандар, ал q 1 ≠ q және.

Бірінші теңдіктің сол және оң жақтарынан сәйкесінше екінші теңдіктің сол және оң жақтарын алып тастағаннан кейін 0 \u003d b (q - q 1) + r - r 1 аламыз, бұл r - r 1 \u003d b (q 1 −q) теңдігіне тең болады. ... Сонда форманың теңдігі , және сан модулі қасиеттерінің арқасында теңдік .

Шарттардан және біз мынандай қорытынды жасауға болады. Q және q 1 бүтін сандар және q ≠ q 1 болғандықтан, біз қайдан шығамыз ... Алынған теңсіздіктерден және бұдан форманың теңдігі шығады біздің болжамымыз бойынша мүмкін емес. Демек, а санының a \u003d b q + r-ден басқа бейнесі жоқ.

Дивиденд, бөлгіш, толық емес баға және қалдық арасындағы байланыстар

A \u003d b c + d теңдігі, егер сіз бөлгішті, с толық емес бөлігін және қалған d-ді білсеңіз, а белгісіз дивидендті табуға мүмкіндік береді. Мысалға тоқталайық.

Мысал.

Егер оны −21 бүтін санына бөлгенде 5-ке толық емес, ал 12-ге қалдық қалса, қандай дивиденд болады?

Шешім.

B дивидендін b \u003d -21, бөлгіштік с \u003d 5, ал d \u003d 12 бөлігін білгенде есептеу керек. A \u003d b c + d теңдігіне жүгінсек, a \u003d (- 21) 5 + 12 аламыз. Байқағанымыздай, алдымен signs21 және 5 сандарын таңбалары әртүрлі бүтін сандарды көбейту ережесі бойынша көбейтеміз, содан кейін әр түрлі белгілері бар сандарды қосамыз: (−21) 5 + 12 \u003d -105 + 12 \u003d -93.

Жауап:

−93 .

Дивиденд, бөлгіш, толық емес бөлік пен қалдық арасындағы байланыстар сонымен қатар b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b және d \u003d a - b · c түріндегі теңдіктермен өрнектеледі. Бұл теңдіктер сәйкесінше бөлгішті, бөліктік үлесті және қалдықты есептеуге мүмкіндік береді. D \u003d a - b · c формуласын пайдаланып, дивиденд, бөлгіш және бөлшек үлес белгілі болған кезде көбіне a бүтін санын b бүтін санына бөлудің қалдықтарын табуымыз керек. Басқа сұрақтар туындамас үшін, қалдықты есептеудің мысалын қарастырайық.

Мысал.

Бөлшектік бөлік −7 екенін білсеңіз, −19 бүтін санды 3 бүтін санға бөлудің қалдықтарын табыңыз.

Шешім.

Бөлудің қалдықтарын есептеу үшін d \u003d a - b · c формуласының формуласын қолданамыз. Шарттан бастап бізде барлық қажетті деректер бар a \u003d -−19, b \u003d 3, c \u003d -−7. D \u003d a - b c \u003d −19−3 (-7) \u003d -−19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 аламыз (айырымы −19 - (- 21) теріс бүтін санды азайту ережесімен есептелген ).

Жауап:

Қалған натурал сандармен бөлу, мысалдар

Бірнеше рет атап өткендей, натурал сандар - натурал сандар. Демек, натурал сандардың қалдықтарымен бөлу натурал сандардың қалдықтарымен бөлудің барлық ережелері бойынша жүзеге асырылады. Натурал сандардың қалдықтарымен бөлуді оңай орындай білу өте маңызды, өйткені дәл осы бүтін натурал сандарды бөлудің ғана емес, сонымен қатар ерікті бүтін сандардың қалдықтарымен бөлудің барлық ережелерінің негізін қалады.

Біздің көзқарасымыз бойынша, ұзақ бөлуді орындау өте ыңғайлы, бұл әдіс толық емес квотаны (немесе жай квота) да, қалдықты да алуға мүмкіндік береді. Қалған натурал сандармен бөлудің мысалын қарастырайық.

Мысал.

14 671-ді 54-ке қалдықпен бөліңіз.

Шешім.

Осы натурал сандарды бағанға бөлейік:

Ішінара үлесі 271, ал қалғаны 37-ге тең болды.

Жауап:

14 671: 54 \u003d 271 (қалған 37).

Оң бүтін санды теріс бүтін санмен қалдыру ережесі, мысалдар

Оң бүтін санды теріс бүтін санмен бөлуге мүмкіндік беретін ережені тұжырымдайық.

Натурал а-ны теріс бүтін b-ге бөлудің толық емес квотасы - а-ны b модуліне бөлудің толық емес квотасына қарама-қарсы, ал а-ны b-ге бөлудің қалдықтары бөлінудің қалғанына тең.

Осы ережеден оң бүтін санды теріс бүтінге бөлудің толық емес квотасы оң емес бүтін сан болатыны шығады.

Жарияланған ережені оң бүтін санмен теріс бүтінге бөлу алгоритміне қайта келтірейік:

• Бөлінетін модульді бөлгіштің модуліне бөлеміз, толық емес квотент пен қалдық аламыз. (Егер қалдық нөлге тең болса, онда бастапқы сандар қалдықсыз бөлінеді, ал қарама-қарсы таңбалары бар бүтін сандарды бөлу ережесіне сәйкес, қалаған шама модульдерді бөлуден алынған бөлікке қарама-қарсы санға тең болады.)
• Алынған толық емес санға қарама-қарсы санды, ал қалғанын жазамыз. Бұл сандар, тиісінше, қалаған квота және бастапқы оң бүтін санды теріс бүтінге бөлудің қалдығы.

Натурал санды теріс бүтін санға бөлу алгоритмін қолдануға мысал келтірейік.

Мысал.

Натурал 17-ді теріс бүтін −5-ке бөліңіз.

Шешім.

Бөлу алгоритмін оң бүтін қалдықпен теріс бүтінге қалдырып қолданайық.

Бөлу

3-ке қарама-қарсы −3. Сонымен, 17-ді −5-ке бөлудің қажетті ішінара квоенті −3, ал қалғаны 2-ге тең.

Жауап:

17: (- 5) \u003d - 3 (демалыс 2).

Мысал.

Бөлу 45-тен -15-ке дейін.

Шешім.

Дивиденд пен бөлгіштің модульдері сәйкесінше 45 және 15 құрайды. 45 саны 15-ке қалдықсыз бөлінеді, ал бөлім 3-ке тең. Демек, 45 натурал саны теріс бүтінге −15 қалдықсыз бөлінеді, ал квотация қарама-қарсы 3 санына тең, яғни −3. Шынында да, таңбалары әртүрлі бүтін сандарды бөлу ережесіне сәйкес бізде бар.

Жауап:

45:(−15)=−3 .

Қалған теріс бүтін санды оң бүтін санмен бөлу, мысалдар

Бөлу ережесінің теріс бүтін қалдықтың оң бүтін санымен тұжырымдамасын келтірейік.

Толымсыз с бөлігін теріс бүтін а-ны оң b санына бөлуден алу үшін, толық емес квотаға қарама-қарсы санды бастапқы сандардың модулін бөліп, одан біреуін алып тастау керек, содан кейін d d \u003d a - b с формуласы бойынша есептеу керек.

Қалдықпен бөлудің осы ережесінен теріс бүтін санды оң бүтінге бөлудің толық емес квотасы теріс бүтін сан болатыны шығады.

Дыбыстық ережеден теріс бүтін а-ны оң натурал санға бөлу алгоритмі шығады:

• Дивиденд пен бөлгіштің модульдерін табыңыз.
• Бөлінетін модульді бөлгіштің модуліне бөлеміз, толық емес квотент пен қалдық аламыз. (Егер қалдық нөлге тең болса, онда түпнұсқалық сандар қалдықсыз бөлінеді, ал қалаған бөлігі модулді бөлу санына қарама-қарсы санға тең болады.)
• Алынған толық емес бағаға қарама-қарсы санды жазып, одан 1 санын шығарамыз. Есептелген сан - бастапқы теріс бүтін санды оң бүтін санға бөлу үшін қажетті толық емес с.

Жазбаша бөлу алгоритмін қалдықпен қолданатын мысалдың шешімін талдайық.

Мысал.

Толық емес квотаны және теріс санның -17 натурал 5-ке бөлгенде, қалғанын табыңыз.

Шешім.

−17 дивидендтің модулі 17, ал 5 бөлгіштің модулі 5-ке тең.

Бөлу 17-ден 5-ке дейін, біз толық емес 3 және қалдық 2 аламыз.

3-ке қарама-қарсы −3. −3-тен біреуін алып тастаңыз: −3−1 \u003d −4. Сонымен, талап етілмеген толық емес баға - −4.

Қалғанын есептеу керек. Біздің мысалда a \u003d -17, b \u003d 5, c \u003d -4, сосын d \u003d a - b c \u003d -−17−5 (-4) \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Сонымен, теріс бүтін сан -17-ді натурал 5-ке бөлудің ішінара квотасы -4, ал қалдық 3-ке тең.

Жауап:

(-17): 5 \u003d -4 (қалған 3).

Мысал.

-1404 теріс бүтін санды 26-ға бөліңіз.

Шешім.

Дивидендтің модулі - 1 404, бөлгіштің модулі - 26.

1 404-ті 26-ға бағанмен бөліңіз:

Дивидендтің модулі бөлгіштің модуліне қалдықсыз бөлінгендіктен, алғашқы бүтін сандар қалдықсыз бөлінеді, ал қажетті бөлік 54-ке қарама-қарсы санға тең, яғни -54.

Жауап:

(−1 404):26=−54 .

Қалған теріс сандармен бөлу ережесі, мысалдар

Бөлу ережесін теріс бүтін сандардың қалдықтарымен тұжырымдайық.

Теріс бүтін а-ны теріс b санына бөлуден толық емес с квотасын алу үшін бастапқы сандардың модульдерін бөлуден толық емес квоентті есептеп, оған біреуін қосу керек, содан кейін d d \u003d a - b с формуласы бойынша қалдықты есептеу керек.

Осы ережеден теріс бүтін сандарды бөлудің толық емес квотасы натурал сан болатыны шығады.

Келтірілген ережені теріс сандарды бөлудің алгоритмі ретінде қайта жазайық:

• Дивиденд пен бөлгіштің модульдерін табыңыз.
• Бөлінетін модульді бөлгіштің модуліне бөлеміз, толық емес квотент пен қалдық аламыз. (Егер қалдық нөлге тең болса, онда бастапқы бүтін сандар қалдықсыз бөлінеді, ал қалаған бөлгіш бөлгіштің модулін бөлгіштің модуліне бөлу бөлігіне тең болады.)
• Алынған толық емес сандарға біреуін қосамыз, бұл сан бастапқы теріс бүтін сандардың бөлінуінен қалаған толық емес баға.
• Қалғанын d \u003d a - b · c формуласы бойынша есептейміз.

Мысалды шешу кезінде теріс бүтін сандарды бөлу алгоритмін қолдануды қарастырыңыз.

Мысал.

Теріс бүтін санды -17 теріс бүтінге -5 бөлудің бөліктік бөлігін және қалғанын табыңыз.

Шешім.

Сәйкес модульді бөлу алгоритмін қолданайық.

Дивидендтің модулі 17, бөлгіштің модулі 5-ке тең.

Бөлім 17-ден 5-ке дейін толық емес 3, ал 2-ге қалдық беріледі.

Аяқталмаған 3-ке 3: 3 + 1 \u003d 4 қосыңыз. Демек, −17-ді −5-ке бөлудің қажетті толық емес квотасы 4-ке тең.

Қалғанын есептеу керек. Бұл мысалда a \u003d -17, b \u003d -5, c \u003d 4, содан кейін d \u003d a - b c \u003d -17 - (- 5) 4 \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Сонымен, теріс бүтінді -17 теріс бүтінге -5-ке бөлудің толық емес квотасы 4-ке, ал қалған 3-ке тең.

Жауап:

(-17): (- 5) \u003d 4 (демалыс 3).

Бүтін сандарды қалдықпен бөлудің нәтижесін тексеру

Бүтін сандарды қалдыққа бөлгеннен кейін нәтижені тексеру пайдалы. Тексеру екі кезеңде жүзеге асырылады. Бірінші кезеңде d-дің теріс емес сан екендігі тексеріліп, шарты да тексеріледі. Егер тексерудің бірінші кезеңінің барлық шарттары орындалса, онда сіз тексерудің екінші кезеңіне өтуге болады, әйтпесе бөлу кезінде қалдықтармен бір жерде қате жіберілді деп айтуға болады. Екінші кезеңде a \u003d b c + d теңдігінің дұрыстығы тексеріледі. Егер бұл теңдік рас болса, онда қалдықпен бөлу дұрыс жүргізілді, әйтпесе бір жерде қате жіберілді.

Бүтін сандарды қалдықпен бөлудің нәтижесі тексерілетін мысалдардың шешімдерін қарастырайық.

Мысал.

−521 санын −12-ге бөлгенде, сіз 44-ті толық емес және 7-ді алдыңыз, нәтижені тексеріңіз.

Шешім. B \u003d -3, c \u003d 7, d \u003d 1 үшін −2. Бізде бар b c + d \u003d -−3 7 + 1 \u003d -21 + 1 \u003d -20... Сонымен, a \u003d b c + d теңдігі дұрыс емес (біздің мысалда a \u003d -−19).

Сондықтан қалдықпен бөлу дұрыс жүргізілмеген.