Функцияның ең кіші нүктесі неге тең? Теориялық материал. Біз бірге функцияның экстремумдарын іздеуді жалғастырамыз

Функцияның экстремум нүктесі деп функцияның мәні ең кіші немесе ең үлкен мән алатын функцияның анықталу облысындағы нүктені айтады. Бұл нүктелердегі функцияның мәндері функцияның экстремумдары (минимум және максимум) деп аталады.

Анықтама. Нүкте x1 функция домені f(x) аталады функцияның максималды нүктесі , егер функцияның осы нүктедегі мәні оның оң және сол жағында орналасқан оған жеткілікті жақын нүктелердегі функцияның мәндерінен үлкен болса (яғни, теңсіздік f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 максимум.

Анықтама. Нүкте x2 функция домені f(x) аталады функцияның ең кіші нүктесі, егер функцияның осы нүктедегі мәні оның оң және сол жағында орналасқан оған жеткілікті жақын нүктелердегі функция мәндерінен кіші болса (яғни, теңсіздік f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Бұл жағдайда функция нүктеде бар деп айтылады x2 минимум.

Нүкте айтайық x1 - функцияның максималды нүктесі f(x). Содан кейін дейін аралықта x1 функциясы артады, сондықтан функцияның туындысы нөлден үлкен ( f "(x) > 0 ) және одан кейінгі аралықта x1 функция төмендейді, сондықтан функцияның туындысынөлден аз ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Сондай-ақ, мәселе деп есептейік x2 - функцияның минималды нүктесі f(x). Содан кейін дейін аралықта x2 функция кемиді, ал функцияның туындысы нөлден кіші ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 функция өсуде, ал функцияның туындысы нөлден үлкен ( f "(x) > 0). Бұл жағдайда да нүктеде x2 функцияның туындысы нөлге тең немесе жоқ.

Ферма теоремасы ( функцияның экстремум ының бар болуының қажетті белгісі. Егер нүкте x0 - функцияның экстремум нүктесі f(x) онда осы нүктеде функцияның туындысы нөлге тең ( f "(x) = 0 ) немесе жоқ.

Анықтама. Функцияның туындысы нөлге тең немесе жоқ нүктелер деп аталады сыни нүктелер .

1-мысал.функциясын қарастырайық.

Нүктеде x= 0 функциясының туындысы нөлге тең, сондықтан нүкте x= 0 - критикалық нүкте. Дегенмен, функцияның графигінен көрініп тұрғандай, ол анықтаудың бүкіл облысы бойынша өседі, сондықтан нүкте x= 0 бұл функцияның экстремум нүктесі емес.

Сонымен, нүктедегі функцияның туындысы нөлге тең немесе жоқ болатын шарттар экстремум үшін қажетті шарттар болып табылады, бірақ жеткіліксіз, өйткені бұл шарттар орындалатын функциялардың басқа мысалдарын келтіруге болады, бірақ функция сәйкес нүктеде экстремум болмайды. Сондықтан жеткілікті дәлелдер болуы керек, белгілі бір критикалық нүктеде экстремум бар-жоғын және оның қандай экстремум екенін - максимум немесе минимум деп бағалауға мүмкіндік береді.

Теорема (функцияның экстремумының бар екендігінің бірінші жеткілікті белгісі).Сыни нүкте x0 f(x) егер осы нүкте арқылы өткенде функцияның туындысы таңбасын өзгертсе, ал таңбасы «плюс» -тен «минусқа» өзгерсе, онда ол максимум нүкте, ал «минус» -тен «плюс» болса, онда бұл ең төменгі нүкте.

Егер нүктеге жақын болса x0 , оның сол жағында және оң жағында туынды өз таңбасын сақтайды, бұл функция нүктенің кейбір маңайында не тек азаяды немесе тек артады дегенді білдіреді x0 . Бұл жағдайда нүктеде x0 экстремалдылық жоқ.

Сонымен, функцияның экстремум нүктелерін анықтау үшін келесі әрекеттерді орындау керек :

1. Функцияның туындысын табыңыз.
2. Туындыны нөлге теңестіріп, критикалық нүктелерді анықтаңыз.
3. Ойша немесе қағазда сан түзуіндегі критикалық нүктелерді белгілеп, алынған интервалдардағы функция туындысының белгілерін анықтаңыз. Егер туындының таңбасы «плюс»-тен «минусқа» өзгерсе, онда критикалық нүкте максималды нүкте, ал «минус» -тен «плюс» болса, онда ең төменгі нүкте.
4. Функцияның экстремум нүктелеріндегі мәнін есептеңіз.

2-мысал.Функцияның экстремумын табыңыз .

Шешім. Функцияның туындысын табайық:

Критикалық нүктелерді табу үшін туындыны нөлге теңестірейік:

.

Кез келген «x» мәндері үшін бөлгіш нөлге тең болмағандықтан, алымды нөлге теңейміз:

Бір сыни нүкте бар x= 3. Осы нүктемен шектелген интервалдардағы туындының таңбасын анықтайық:

минус шексіздіктен 3-ке дейінгі диапазонда - минус таңбасы, яғни функция азаяды,

3-тен плюс шексіздікке дейінгі аралықта қосу таңбасы бар, яғни функция артады.

Яғни, кезең x= 3 - ең төменгі нүкте.

Функцияның минималды нүктесіндегі мәнін табайық:

Осылайша, функцияның экстремум нүктесі табылды: (3; 0), және ол ең кіші нүкте.

Теорема (функцияның экстремумының бар екендігінің екінші жеткілікті белгісі).Сыни нүкте x0 функцияның экстремум нүктесі болып табылады f(x) егер осы нүктедегі функцияның екінші туындысы нөлге тең болмаса ( f ""(x) ≠ 0 ) және егер екінші туынды нөлден үлкен болса ( f ""(x) > 0 ), онда ең үлкен нүкте, ал егер екінші туынды нөлден аз болса ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Ескертпе 1. Егер нүктеде болса x0 Егер бірінші де, екінші туынды да жоғалып кетсе, онда бұл кезде екінші жеткілікті критерийге сүйене отырып, экстремумның бар-жоғын бағалау мүмкін емес. Бұл жағдайда функцияның экстремумы үшін бірінші жеткілікті критерийді пайдалану керек.

Ескертпе 2. Функцияның экстремумының екінші жеткілікті критерийі бірінші туынды стационарлық нүктеде болмаған кезде де қолданылмайды (онда екінші туынды да жоқ). Бұл жағдайда функцияның экстремумының бірінші жеткілікті белгісін де пайдалану керек.

Функцияның экстремумының жергілікті сипаты

Жоғарыда келтірілген анықтамалардан функцияның экстремумы локальді сипатқа ие екендігі шығады - ол жақын мәндермен салыстырғанда функцияның ең үлкен және ең кіші мәні болып табылады.

Сіз бір жылдағы табысыңызды қарап жатырсыз делік. Егер мамыр айында сіз 45 000 рубль, ал сәуірде 42 000 рубль және маусымда 39 000 рубль тапсаңыз, мамыр айындағы табыс жақын маңдағы мәндермен салыстырғанда табыс функциясының максималды мәні болып табылады. Бірақ қазан айында сіз 71 000 рубль, қыркүйекте 75 000 рубль және қарашада 74 000 рубль таптыңыз, сондықтан қазан айындағы табыс жақын маңдағы мәндермен салыстырғанда табыс функциясының ең төменгі мәні болып табылады. Сәуір-мамыр-маусым айларындағы мәндер арасындағы максимум қыркүйек-қазан-қарашадағы минимумнан аз екенін оңай көруге болады.

Жалпы айтқанда, интервалда функцияның бірнеше экстремумдары болуы мүмкін және функцияның кейбір минимумы кез келген максимумнан үлкен болып шығуы мүмкін. Сонымен, жоғарыдағы суретте көрсетілген функция үшін .

Яғни, функцияның максималды және минимумы, сәйкесінше, оның барлық қарастырылатын сегменттегі ең үлкен және ең кіші мәндері деп ойлауға болмайды. Максималды нүктеде функция барлық нүктелерде максималды нүктеге жеткілікті жақын болатын мәндермен салыстырғанда ең үлкен мәнге ие болады, ал минималды нүктеде тек сол мәндермен салыстырғанда ең кіші мәнге ие болады. оның барлық нүктелерінде минималды нүктеге жеткілікті жақын болуы.

Сондықтан функцияның экстремум нүктелерінің жоғарыдағы түсінігін нақтылай аламыз және минимум нүктелерді жергілікті минимум нүктелер, ал максимум нүктелерді жергілікті максимум нүктелер деп атауға болады.

Функцияның экстремумын бірге іздейміз

3-мысал.

Шешуі: Функция бүкіл сан түзуінде анықталған және үздіксіз. Оның туындысы сонымен қатар бүкіл сандар жолында бар. Сондықтан, бұл жағдайда сыни нүктелер тек оларда, яғни. , қайдан және . Критикалық нүктелер және функцияның барлық анықтау облысын монотондылықтың үш интервалына бөліңіз: . Олардың әрқайсысында бір бақылау нүктесін таңдап алайық және осы нүктедегі туындының таңбасын табайық.

Аралық үшін басқару нүктесі болуы мүмкін: табу. Интервалдағы нүктені алып, біз аламыз, ал аралықтағы ұпайды аламыз. Сонымен, аралықтарда және , және аралықта . Экстремум үшін бірінші жеткілікті критерий бойынша нүктеде экстремум болмайды (себебі туынды интервалда таңбасын сақтайды), ал нүктеде функция минимумға ие болады (себебі туынды өткенде таңбаны минустан плюске өзгертеді. осы нүкте арқылы). Функцияның сәйкес мәндерін табайық: , a . Интервалда функция төмендейді, өйткені бұл аралықта , ал аралықта ол артады, өйткені осы аралықта .

Графиктің құрылысын нақтылау үшін оның координата осьтерімен қиылысу нүктелерін табамыз. Түбірлері және болатын теңдеуді алған кезде, яғни функция графигінің екі нүктесі (0; 0) және (4; 0) табылады. Барлық алынған ақпаратты пайдалана отырып, біз графикті саламыз (мысалдың басын қараңыз).

Есептеу кезінде өзін-өзі тексеру үшін пайдалануға болады онлайн туынды калькулятор .

4-мысал.Функцияның экстремумын тауып, оның графигін құрыңыз.

Функцияның анықталу облысы нүктеден басқа бүкіл сан сызығы болып табылады, яғни. .

Зерттеуді қысқарту үшін сіз бұл функцияның жұп екенін пайдалана аласыз, өйткені . Сондықтан оның графигі оське қатысты симметриялы Ойжәне зерттеу тек интервал үшін орындалуы мүмкін.

Туындыны табу және функцияның критикалық нүктелері:

1) ;

2) ,

бірақ функция осы нүктеде үзіліске ұшырайды, сондықтан ол экстремум нүктесі бола алмайды.

Осылайша, берілген функцияның екі критикалық нүктесі бар: және . Функцияның паритеттігін ескере отырып, біз экстремум үшін екінші жеткілікті критерийді пайдаланып нүктені ғана тексереміз. Ол үшін екінші туындыны табамыз және оның таңбасын анықтаңыз: аламыз. және болғандықтан, бұл функцияның ең кіші нүктесі, және .

Функция графигінің толық бейнесін алу үшін оның анықтау облысы шекарасындағы әрекетін білейік:

(мұнда таңба тілекті білдіреді xоң жақтан нөлге, және xоң болып қалады; сол сияқты ұмтылуды білдіреді xсол жақтан нөлге, және xтеріс болып қалады). Осылайша, егер болса, онда . Әрі қарай, біз табамыз

,

анау. егер, онда.

Функция графигінің осьтермен қиылысу нүктелері жоқ. Сурет мысалдың басында.

Есептеу кезінде өзін-өзі тексеру үшін пайдалануға болады онлайн туынды калькулятор .

Біз бірге функцияның экстремумдарын іздеуді жалғастырамыз

8-мысал.Функцияның экстремумын табыңыз.

Шешім. Функцияның анықталу облысын табайық. Теңсіздік қанағаттандырылуы керек болғандықтан, -ден аламыз.

Функцияның бірінші туындысын табайық.

Максимум – жетуге болатын ең жоғары сан немесе ең жоғары шек. Минимум - бұл бәріміз жақсы білетініміздей, максимумға тікелей қарама-қарсы, яғни. бұл ең кіші сан және ең кіші шек. Минимум және максимум сөздері, сондай-ақ олардың туындылары мынадай тіркестер мен сөз тіркестерінде кездеседі:

Қарым-қатынастан барынша пайда алыңыз.

Өлеңді үйрену үшін оны кемінде 3-4 рет оқу керек.

Ол жасай алатын максималды нәрсе ...

Олардың кем дегенде екі ортақ досы бар.

Ол максималды балл алды.

Мүмкіндіктеріңізді барынша пайдаланыңыз!

Бұл сіз білуіңіз керек минимум.

Күнкөріс деңгейі.

Минималды атмосфералық қысым.

……жылдардағы ең төменгі/максималды суық ауа райы.

Бұл жұмысты аяқтау үшін сізге кемінде бірнеше сағат қажет.

Максимум, минимум сияқты ұғымдарды арнайы ғылыми терминдерде де кездестіруге болады. Мысалы, математикада функцияның максимумы мен минимумы деген ұғым бар.

Сонымен, математикада функцияның ең үлкен мәні максимум деп аталады. Бұл жағдайда функцияның ең үлкен мәні оның барлық көрші мәндерінен үлкен болады. Функцияның максимумы оның мәні бірінші өскенде, содан кейін бірден төмендей бастағанда, ал функцияның өсу мен кему бірінен екіншісіне өтетін жерінде максимумы болады. Функцияның минимумы сәйкесінше функцияның ең кіші мәні болып табылады.

Функцияның бірінші туындысы айнымалыны көбейткенде жоғарыласа, оң деп санауға болады, онда функцияны оң деп санауға болады. Егер туынды өскен сайын бірінші айнымалы азайса, онда функцияны теріс деп санау керек.

Туынды дифференциалдық есептеулерде қолданылатын негізгі шама (математикалық функцияларды зерттеуге көмектесетін туындылар мен дифференциалдарды зерттеу), оны функцияның белгілі бір нүктедегі өзгеру жылдамдығы деп түсінуге болады. Жылдамдық неғұрлым көп болса, функция соғұрлым аз, соғұрлым баяу өзгереді (бірақ бұл функция оң болса ғана дұрыс болады). Осылайша, бұл функцияның берілген нүктедегі өзгеру жылдамдығы оның еңістері мен дөңестерін анықтайды. Айнымалы – өз мәнін өзгерте алатын шама. Ол х немесе уақыт ретінде белгіленеді.

Айнымалыны оның мәнін өзгерте алатын жүйенің (физикалық және абстрактілі) атрибуты деп санауға болады. Ғаламдық мағынада айнымалыны уақыт, температура және жалпы алғанда бүкіл өмір деп атауға болады (олар өзгеруі мүмкін). Айнымалының өзі қабылдай алатын көптеген мәндері бар. Бұл жиын айнымалы деп болжауға болады.

Функцияның өзіне келетін болсақ, ол нөл арқылы оң мәннен теріс мәнге өтуі керек. Сонымен, функцияның максимумы сәйкес келетін айнымалының мәнінде оның туындысы нөлге тең болады. Дәл функцияның бұл қасиеті функция максимумға жететін х мәндерін анықтауға мүмкіндік береді. Алайда, егер айнымалыны көбейтсек және сонымен бірге функция алдымен артып, содан кейін кемитін болса, онда функция теріс мәннен оң мәнге ауысқанда (нөлден өткенде) максимумға жетпейді, бірақ, керісінше, ең төменгі мән. Дегенмен, логикалық тұрғыдан бұл максималды мән ретінде қабылдануы мүмкін (ол функцияның жоғарғы нүктесінде орналасқан).

Функцияның ең үлкен және ең кіші нүктелері экстремум нүктелері деп те аталады.

Осылайша, қарапайым өмірде де, математикада да максимум мен минимум ең үлкен нәрсені және ең кіші нәрсені білдіретін екі шектен тыс қарама-қайшылықтар болып табылады.

Функция мәндері және максималды және минималды нүктелер

Ең үлкен функция мәні

Ең кіші функция мәні

Өкіл әкесі айтқандай: «Жеке ештеңе жоқ». Тек туындылар!

12-ші статистикалық тапсырма өте қиын болып саналады, мұның бәрі жігіттер бұл мақаланы оқымағандықтан (әзіл). Көп жағдайда абайсыздық кінәлі.

12 тапсырма екі түрде болады:

1. Максималды/минималды нүктені табыңыз («x» мәндерін табуды сұраңыз).
2. Функцияның ең үлкен/ең кіші мәнін табыңыз («y» мәндерін табуды сұраңыз).

Бұл жағдайларда қалай әрекет ету керек?

Максималды/минималды нүктені табыңыз

1. Оны нөлге теңестіріңіз.
2. Табылған немесе табылған «x» ең аз немесе максималды ұпайлар болады.
3. Интервал әдісі арқылы белгілерді анықтаңыз және тапсырмада қай нүкте қажет екенін таңдаңыз.

Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмалары:

Функцияның ең үлкен нүктесін табыңыз

• Біз туындыны аламыз:

Дұрыс, алдымен функция артады, содан кейін азаяды - бұл максималды нүкте!
Жауабы: −15

Функцияның ең кіші нүктесін табыңыз

• Түрлендіріп, туындысын алайық:

• Тамаша! Алдымен функция төмендейді, содан кейін артады - бұл ең төменгі нүкте!

Жауабы: −2

Функцияның ең үлкен/ең кіші мәнін табыңыз

1. Ұсынылған функцияның туындысын алыңыз.
   
2. Оны нөлге теңестіріңіз.
   
3. Табылған «x» ең төменгі немесе максималды нүкте болады.
   
4. Интервал әдісі арқылы белгілерді анықтаңыз және тапсырмада қай нүкте қажет екенін таңдаңыз.
5. Мұндай тапсырмаларда әрқашан бос орын көрсетіледі: 3-қадамда табылған X осы бос орынға қосылуы керек.
6. Алынған ең үлкен немесе ең кіші нүктені бастапқы теңдеуге ауыстырып, функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәнін аламыз.

Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмалары:

[−4 аралықтағы функцияның ең үлкен мәнін табыңыз; −1]

Жауабы: −6

Функцияның кесіндідегі ең үлкен мәнін табыңыз

• Функцияның ең үлкен мәні «11» ең үлкен нүктесінде (осы сегментте) «0».

Жауабы: 11

Қорытындылар:

1. Қателердің 70%-ы жігіттердің не деп жауап бергенін есіне түсірмейді функцияның ең үлкен/ең кіші мәні «y» деп жазылуы керек, және одан әрі максимум/минимум «x» нүктесін жазыңыз.
2. Функцияның мәндерін табу кезінде туындының шешімі жоқ па?Мәселе жоқ, алшақтықтың шеткі нүктелерін ауыстырыңыз!
3. Жауап әрқашан сан немесе ондық бөлшек түрінде жазылуы мүмкін.Жоқ? Содан кейін мысалды қайта қарастырыңыз.
4. Көптеген тапсырмаларда біз бір ұпай аламыз және максималды немесе минимумды тексерудегі жалқаулығымыз ақталады. Бізде бір ұпай бар - сіз қауіпсіз түрде жаза аласыз.
5. Ал міне Функцияның мәнін іздеу кезінде мұны істемеу керек!Бұл дұрыс нүкте екенін тексеріңіз, әйтпесе алшақтықтың экстремалды мәндері үлкенірек немесе кішірек болуы мүмкін.

Экстремалды табудың қарапайым алгоритмі.

• Функцияның туындысын табу
• Біз бұл туындыны нөлге теңестіреміз
• Алынған өрнектің айнымалы мәндерін табамыз (туынды нөлге түрленетін айнымалының мәндері)
• Осы мәндерді пайдалана отырып, біз координаталық түзуді интервалдарға бөлеміз (үзу нүктелері туралы ұмытпаңыз, олар да сызықта көрсетілуі керек), бұл нүктелердің барлығы экстремум үшін «күдікті» нүктелер деп аталады.
• Осы интервалдардың қайсысының туындысы оң, қайсысы теріс болатынын есептейміз. Ол үшін интервалдағы мәнді туындыға ауыстыру керек.

Экстремумға күдікті нүктелердің ішінен табу керек. Ол үшін координаталық түзудегі интервалдарымызды қарастырамыз. Егер қандай да бір нүкте арқылы өткенде туындының таңбасы плюстен минусқа өзгерсе, онда бұл нүкте болады. максимум, ал егер минустан плюсқа дейін болса, онда минимум.

Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін сегменттің соңындағы және экстремум нүктелеріндегі функцияның мәнін есептеу керек. Содан кейін ең үлкен және ең кіші мәнді таңдаңыз.

Мысал қарастырайық
Туындыны тауып, оны нөлге теңейміз:

Біз координаталық түзуде айнымалылардың алынған мәндерін саламыз және әрбір интервал бойынша туындының белгісін есептейміз. Мысалы, біріншісін алайық-2 , онда туынды тең болады-0,24 , екінші үшін біз қабылдаймыз0 , содан кейін туынды болады2 , ал үшінші үшін біз аламыз2 , содан кейін туынды болады-0,24. Тиісті белгілерді қоямыз.

Көреміз -1 нүктесі арқылы өткенде туынды таңбаны минустан плюске өзгертеді, яғни бұл ең төменгі нүкте болады, ал 1-ден өткенде таңбаны плюстен минусқа өзгертеді, сәйкесінше бұл максималды нүкте.

Функция және оның ерекшеліктерін зерттеу қазіргі математиканың негізгі тарауларының бірін алады. Кез келген функцияның негізгі құрамдас бөлігі оның қасиеттерін ғана емес, сонымен қатар осы функцияның туындысының параметрлерін бейнелейтін графиктер болып табылады. Осы қиын тақырыпты түсінейік. Сонымен, функцияның ең үлкен және ең төменгі нүктелерін табудың ең жақсы жолы қандай?

Қызметі: анықтау

Қандай да бір жолмен басқа шаманың мәндеріне тәуелді кез келген айнымалыны функция деп атауға болады. Мысалы, f(x 2) функциясы квадраттық болып табылады және бүкіл x жиынының мәндерін анықтайды. Айталық, x = 9, онда функциямыздың мәні 9 2 = 81-ге тең болады.

Функциялар әр түрлі болады: логикалық, векторлық, логарифмдік, тригонометриялық, сандық және т.б. Оларды Лакруа, Лагранж, Лейбниц және Бернулли сияқты көрнекті ақыл-ой иелері зерттеді. Олардың еңбектері функцияларды зерттеудің заманауи әдістерінде негізгі тірек болып табылады. Минималды нүктелерді таппас бұрын, функцияның және оның туындысының мағынасын түсіну өте маңызды.

Туынды және оның рөлі

Барлық функциялар олардың айнымалыларына тәуелді, яғни олар өз мәнін кез келген уақытта өзгерте алады. Графикте бұл ордината осі бойымен түсетін немесе көтерілетін қисық ретінде бейнеленеді (бұл тік график бойындағы «y» сандарының бүкіл жиынтығы). Сонымен, функцияның ең үлкен және ең кіші нүктелерін анықтау дәл осы «тербелістерге» байланысты. Бұл қатынастың не екенін түсіндірейік.

Кез келген функцияның туындысы оның негізгі сипаттамаларын зерттеу және функцияның қаншалықты жылдам өзгеретінін есептеу үшін (яғни, «x» айнымалысына байланысты оның мәнін өзгертетінін) есептеу үшін графигін түсіреді. Функция өскен сәтте оның туындысының графигі де өседі, бірақ кез келген секундта функция азая бастайды, содан кейін туындының графигі кемиді. Туынды минус таңбасынан плюс таңбасына ауысатын нүктелер минималды нүктелер деп аталады. Минималды ұпайларды қалай табуға болатынын білу үшін сіз жақсырақ түсінуіңіз керек

Туындыны қалай есептеу керек?

Анықтама мен функциялар бірнеше ұғымды білдіреді Жалпы алғанда, туынды анықтаманың өзін келесідей көрсетуге болады: бұл функцияның өзгеру жылдамдығын көрсететін шама.

Оны анықтаудың математикалық тәсілі көптеген оқушылар үшін күрделі болып көрінеді, бірақ іс жүзінде бәрі әлдеқайда қарапайым. Кез келген функцияның туындысын табудың стандартты жоспарын орындау керек. Төменде дифференциалдау ережелерін қолданбай және туындылар кестесін жаттамай-ақ функцияның минималды нүктесін қалай табуға болатынын сипаттаймыз.

1. Функцияның туындысын график арқылы есептеуге болады. Мұны істеу үшін функцияның өзін бейнелеу керек, содан кейін оның бір нүктесін алу керек (суреттегі А нүктесі абсцисса осіне тігінен төмен түсіріңіз, ал А нүктесінде жанама сызыңыз). функцияның графигі. х осі мен жанама белгілі бір бұрышты құрайды. Функцияның қаншалықты жылдам өсетінінің мәнін есептеу үшін осы бұрыштың тангенсін есептеу керек a.
2. Тангенс пен х осінің бағыты арасындағы бұрыштың тангенсі А нүктесі бар шағын аудандағы функцияның туындысы болып табылады.Бұл әдіс туындыны анықтаудың геометриялық әдісі болып саналады.

Функцияны зерттеу әдістері

Мектеп математикасының оқу бағдарламасында функцияның минимум нүктесін екі жолмен табуға болады. Біз бірінші әдісті график арқылы қарастырдық, бірақ туындының сандық мәнін қалай анықтауға болады? Ол үшін туындының қасиеттерін сипаттайтын және «x» сияқты айнымалыларды сандарға түрлендіруге көмектесетін бірнеше формулаларды үйрену керек. Келесі әдіс әмбебап болып табылады, сондықтан оны функциялардың барлық дерлік түрлеріне (геометриялық және логарифмдік) қолдануға болады.

1. Функцияны туынды функцияға теңестіру керек, содан кейін дифференциалдау ережелерін пайдаланып өрнекті жеңілдету керек.
2. Кейбір жағдайларда «х» айнымалысы бөлгіште болатын функция берілгенде, одан «0» нүктесін алып тастап, қолайлы мәндер ауқымын анықтау қажет (қарапайым себеппен математикада ешқашан нөлге бөлу).
3. Осыдан кейін функцияның бастапқы түрін бүкіл өрнекті нөлге теңестіретін қарапайым теңдеуге түрлендіру керек. Мысалы, егер функция былай көрінсе: f(x) = 2x 3 +38x, онда дифференциалдау ережелері бойынша оның туындысы f"(x) = 3x 2 +1-ге тең. Сонда бұл өрнекті түрлендіреміз. келесі түрдегі теңдеу: 3x 2 +1 = 0 .
4. Теңдеуді шешіп, «х» нүктелерін тапқаннан кейін оларды х осіне салып, белгіленген нүктелер арасындағы осы бөлімдердегі туындының оң немесе теріс екенін анықтау керек. Белгілеуден кейін функция қай кезде төмендей бастайтыны белгілі болады, яғни таңбаны минустан керісінше өзгертеді. Осылайша сіз ең төменгі және максималды нүктелерді таба аласыз.

Дифференциация ережелері

Функцияны және оның туындысын зерттеудегі ең негізгі компонент дифференциалдау ережелерін білу болып табылады. Тек олардың көмегімен қиын өрнектер мен үлкен күрделі функцияларды түрлендіруге болады. Олармен танысайық, олардың саны өте көп, бірақ олардың барлығы дәрежелік және логарифмдік функциялардың табиғи қасиеттеріне байланысты өте қарапайым.

1. Кез келген тұрақтының туындысы нөлге тең (f(x) = 0). Яғни, f(x) = x 5 + x - 160 туындысы келесі пішінді алады: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Екі мүшенің қосындысының туындысы: (f+w)" = f"w + fw".
3. Логарифмдік функцияның туындысы: (log a d)" = d/ln a*d. Бұл формула логарифмдердің барлық түрлеріне қолданылады.
4. Дәреженің туындысы: (x n)"= n*x n-1. Мысалы, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Синусоидалы функцияның туындысы: (sin a)" = cos a. Егер a бұрышының күнәсы 0,5 болса, онда оның туындысы √3/2 болады.

Экстремум нүктелері

Минималды нүктелерді қалай табуға болатынын біз жоғарыда талқыладық, бірақ функцияның максималды нүктелері туралы түсінік бар. Егер минимум функция минус таңбасынан плюске өзгеретін нүктелерді белгілесе, онда функцияның туындысы плюстен қарама-қарсы - минусқа өзгеретін х осіндегі нүктелер максималды нүктелер болып табылады.

Сіз оны жоғарыда сипатталған әдіс арқылы таба аласыз, бірақ олар функция төмендей бастайтын аймақтарды көрсететінін ескеру керек, яғни туынды нөлден аз болады.

Математикада екі ұғымды да «экстремум нүктелері» тіркесімен алмастыру әдеттегідей. Тапсырма осы нүктелерді анықтауды сұрағанда, бұл берілген функцияның туындысын есептеп, ең кіші және максималды нүктелерді табу керек екенін білдіреді.